modulo séptimo 2015

Mdulo Matemticas-grado Sptimo Docente: Franklin Garca Lloreda 1

REA DE MATEMTICAS

GRADO SPTIMO

DOCENTE: FRANKLIN GARCA LLOREDA

PARA LEVANTAR EL TROFEO NECESITAMOS: DISCIPLINA + DEDICACIN + DESEO

MDULO DE ESTUDIO DE MATEMTICAS

INSTITUCIN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA

ESTUDIANTE


MDULO DE ENSEANZA DE MATEMTICAS

ENERO 09 DE 2015 Rev. N 4

1. ESTNDARES.

1.1. ESTNDARES DE LA ASIGNATURA.

Pensamiento numrico y sistemas numricos

Utilizo nmeros racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medidas.

Justifico procedimientos aritmticos, utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

Resuelvo y formulo problemas cuya solucin requiere de la potenciacin o la radicacin.

Establezco el valor absoluto de un nmero. Pensamiento espacial y sistemas geomtricos

Resuelvo y formulo problemas usando modelos geomtricos.

Identifico caractersticas de localizacin de objetos en sistemas de representacin cartesiana y geogrfica.

Clasifico polgonos en relacin con sus propiedades. Pensamiento mtrico y sistemas de medidas

Utilizo tcnicas y herramientas para la construccin de figuras planas y cuerpos con medidas dadas.

Calculo reas y volmenes a travs de composicin y descomposicin de figuras y cuerpos.

Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos estadsticos

Reconozco la relacin entre un conjunto de datos y su representacin.


Uso representaciones grficas adecuadas para representar diversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares).

Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.

Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

1.2. ESTNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.

1.2. ESTNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.

Es atento y respetuoso ante la intervencin de las dems personas.

Solicita con respeto atencin y colaboracin por parte de los dems miembros de la comunidad.

Se reconoce como una persona de bien, de comportamientos y decisiones racionales.

Es solidario y prestante con sus compaeros y dems miembros de la comunidad. 1.3. ESTANDARES LABORALES

Establece juicios argumentados y define acciones adecuadas para resolver una situacin determinada.

Cambia y transforma procesos con mtodos y enfoques innovadores.

Observa, descubre y analiza crticamente deficiencias en distintas situaciones para definir alternativas e implementar soluciones acertadas y oportunas.

2. COMPETENCIAS.

2.1 COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA. 2.1.1. Interpretativa

Reconocer los diferentes mtodos usados para solucionar situaciones algortmicas.


Comprender los conceptos estudiados en cada conjunto numrico y relacionarlos con situaciones reales.

Determinar si las soluciones que resultan al resolver algoritmos y problemas tienen sentido en los contextos cotidianos que han sido planteados.

: 2.1.2. Argumentativa

Justificar, utilizando modelos matemticos, las soluciones planteadas a diferentes problemas.

Escribir en forma coherente, clara y concreta las conclusiones de un hecho real en el cual se han usado algoritmos y conceptos matemticos

2.1.3. Propositiva

Utilizar los conceptos matemticos para plantear y resolver problemas en contextos cotidianos.

Inventar situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemticos.

Aplicar los conceptos, algoritmos y representaciones aprendidos en estadstica y probabilidad en la solucin de de situaciones de contexto real.

2.2. COMPETENCIAS CIUDADANAS.

Participar de manera activa y racional frente a las decisiones de carcter grupal e individual.

Resolver conflictos de manera pacifica y constructiva.

Comunicar sus ideas de manera abierta al cambio y asertiva.

2.3. COMPETENCIAS LABORALES.


Identificar las situaciones cercanas a su entorno (casa, barrio, colegio) que tienen diferentes modos de resolverse.

Escuchar la informacin, opinin y argumentos de otros sobre una situacin.

Reconocer las posibles formas de enfrentar una situacin.

Seleccionar una de las formas de actuar posibles.

Asumir las consecuencias de sus decisiones.

Observar una situacin cercana a mi entorno (casa, barrio, colegio) y registrar informacin para describirla.

Analizar las situaciones desde distintos puntos de vista (padres, amigos, personas conocidas, entre otras).

Identificar los elementos que pueden mejorar una situacin dada.

Inventar nuevas formas de hacer cosas cotidianas.

Analizar los cambios que se producen al hacer las cosas de manera diferente.

3. LOGROS

COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

*identifica las caractersticas del conjunto de los nmeros enteros * Reconoce las caractersticas de los nmeros racionales. *reconoce las caractersticas generales de los polgonos *Relaciona diferentes tipos de grficos

*Resuelve situaciones que involucren operaciones bsicas con nmeros enteros *Resuelve situaciones que involucren operaciones bsicas con nmeros racionales * Realiza problemas donde se involucren las unidades de medida con las figuras geomtricas *Realiza estudios estadsticos a una determinada situacin problema

*Demuestra una adecuada actitud de escucha durante las explicaciones. *cumple a cabalidad con las actividades propuestas. *Trae los materiales necesarios para trabajar en clase *Participa activamente en el desarrollo de la clase


El camin de basura (reflexionemos) Con qu frecuencia permites que la estupidez y la insensatez de otras personas cambien tu estado de nimo? Te enfadas cuando otro conductor comete un error de transito, un empleado te trata irrespetuosamente, cuando alguien se burla de ti, o un jefe te exige injustificadamente ms trabajo de lo que te corresponde hacer? Hace varios aos, como de costumbre sub a un taxi para ir a mi trabajo, habamos entablado una conversacin con el conductor y de repente, sin saber por qu otro automvil, se cruz tan bruscamente, que para no causar una tragedia, el conductor del taxi tuvo que girar el auto y frenar sbitamente. Milagrosamente no ocurri nada, pero el conductor del vehculo que haba cometido la imprudencia, se bajo bruscamente de su auto y comenz a gritar e insultar al taxista. El taxista, a pesar de lo injusto de la situacin, sonri, levant su mano y lo saludo muy amablemente dicindole lo siento, que Dios le bendiga y que tenga un buen da y luego sin decir nada ms retom la marcha. Sorprendido por esta actitud, le pregunte: -Porque le ha respondido as, esa persona por poco destruye su automvil y adems casi nos enva a los dos al hospital. Entonces el taxista me dio una leccin que jams olvidar, me dijo: -Muchas personas son como el camin de la basura. Estn cargados de enojo, odio, frustracin, resentimiento... y ante cualquier situacin aprovechan para descargarla. -Pero, porque lo hacen ante una situacin como esta, si usted no le ofendi y solo fue su culpa. -Lo hacen ante la primera oportunidad, porque necesitan eliminar de su interior toda la basura acumulada, porque ya no hay lugar para ms. Desde aquel da no he vuelto a permitir que los camiones de basura, tomen el control de mis sentimientos y mucho menos de mis reacciones. Aprend, que sonrerles a los insatisfechos, malhumorados y frustrados es la mejor medicina que puede ayudarles a cambiar su perspectiva de la vida. S amable con las personas alteradas y entiende que estn librando su propia batalla. Pero

asegrate de no ser t, el lugar en el que descargan toda su basura. T no eres un basurero

Pienso en lo grande que puedo ser, como resultado de un creador perfecto, que

todo lo que hace es a su imagen y semejanza.


4. PRUEBA DIAGNSTICA

Fecha Propuesta De La Actividad : Da ____ Mes ____ Ao ____ Hora ____ Fecha De Entrega De La Actividad : Da ____ Mes ____ Ao ____ Hora ____


5. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 1

5.1. NMEROS ENTEROS

Duracin: Entre __________________ Y __________________

5.2 TABLA DE LOGROS

5.3 CONTENIDOS:

5.3.1 Conceptos de nmero entero


Resuelve operaciones de adicin y sustraccin entre nmeros enteros.

Comprende los pasos del proceso de resolucin de problemas.

Resuelve situaciones problemticas con nmeros enteros. Aplica propiedades de las operaciones y relaciones entre nmeros enteros.

Cumple a cabalidad con las actividades propuestas. Manifiesta sentido de pertenencia por la institucin.


5.3.2 El conjunto de los nmeros enteros

5.3.3 Representacin de los nmeros enteros en la recta

5.3.4 Valor absoluto de un nmero

5.3.5 Orden en el conjunto de los nmeros enteros

5.3.6 Adicin y sustraccin de nmeros enteros

5.3.7 Multiplicacin de nmeros enteros

5.3.8 Divisin de nmeros enteros

5.3.9 Polinomios con nmeros enteros

5.3.10 Potenciacin de nmeros enteros; propiedades

5.3.11 Radicacin de nmeros enteros; propiedades

NMEROS ENTEROS Los nmeros no positivos aparecieron por primera vez en la India; en el libro de Brahmagupta (matemtico hind), en el ao 628 de nuestra era. En l, se distingue entre bienes, deudas y la nada. Es decir, los nmeros positivos, los nmeros negativos y el cero. Los hindes representaban los nmeros negativos poniendo un punto encima de las cifras. Ms tarde; los chinos utilizaron los nmeros negativos pero los diferenciaban de los positivos escribindolos de otra forma. Por ejemplo; escriban los nmeros negativos de color rojo en contraposicin a los positivos que aparecan de color rojo. De ah viene la expresin estar en nmeros rojos, es decir, tener deudas.. En cursos anteriores se hizo un estudio detallado del conjunto de los nmeros naturales, sus elementos, las diferentes relaciones y las operaciones que se definen entre ellas. Esta unidad estar dedicada a trabajar en torno a otro de los conjuntos numricos, el de los nmeros enteros. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS

Los nmeros positivos {+1, +2, +3, +4, +5, . }, se llaman enteros positivos y se representan con el smbolo +.

+ = {+1, +2, +3, +4, +5, . }

Los nmeros negativos { , 5, 4, 3, 2, 1} son llamados enteros negativos y se representan con el smbolo .

= { , 5, 4, 3, 2, 1}

El nmero 0 pertenece al conjunto de los nmeros enteros y es el nico que no se considera ni positivo ni negativo.


, 5, 4, 3, 2, 1

, 5, 4, 3, 2, 1

Los nmeros negativos se usan en muchas situaciones cotidianas. Usted seguramente habr odo expresiones como 3 grados centgrados bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel del mar cuando se habla de la profundidad de una mina, o nmeros rojos cuando se habla de contabilidad. Todas esas expresiones hacen referencia a nmeros negativos. Un nmero natural y su correspondiente negativo son simtricos con respecto al cero: estn a la misma distancia del cero.

A esa distancia le llamamos valor absoluto del nmero y la representamos poniendo el nmero entre barras. Por ejemplo: |384| = 384 y |384| = 384 Estas expresiones se leen: el valor absoluto de menos 384 es 384 y el valor absoluto de 384 es 384. Observe que el valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia.

REPRESENTACIN DE LOS NMEROS ENTEROS

En una rec ta hor izon ta l , se toma un pun to cua lqu ie ra que se sea la como cero .

A su derecha y a d is tanc ias igua les se van sea lando los nmeros pos i t i vos : 1 , 2 , 3 , . . .

A la izqu ie rda de l ce ro y a d is tanc ias igua les que las an te r io res , se van sea lando los nmeros nega t ivos : 1 , 2 , 3 , . . .

El conjunto de los nmeros enteros est formado por los enteros negativos, el cero y los enteros positivos. As, se tiene que

= { , 5, 4, 3, 2, 1,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5, . }

= {0} +


ORDEN EN LOS NMEROS ENTEROS

Los nmeros en te ros es tn o rdenados. De dos nmeros represen tados g r f icamente , es mayor a l que l es t s i tuado ms a la derecha, y menor e l s i tuado ms a la i zqu ie rda.

CRITERIOS PARA ORDENAR LOS NMEROS ENTEROS

1 . Todo nmero nega t ivo es menor que ce ro.

7 < 0

2 . Todo nmero pos i t ivo es ma yor que ce ro.

7 > 0

3 . De dos en te ros nega t ivos es mayor e l que t iene menor va lor abso lu to .

7 > 10 |7 | < |10 |

4 . De los en te ros pos i t i vos , es mayor e l que t iene mayor va lo r abso lu to .

10 > 7 |10 | > |7 |

Actividad de apropiacin


1. Escribe mayor o menor segn corresponda

7 ----- 5 4 ----- 3 8 ----- 5 2001 ----- 1987 2485 ----- 1254

2. Dibuje sobre la lnea una recta numrica y represente el valor absoluto de 3 y el valor absoluto de 3:

Recuerde que: |3|=3 y |3|=3

3. En cada inciso ordene los nmeros de menor a mayor y escriba entre ellos el smbolo > o el smbolo


4. En cada inciso ordene los nmeros de mayor a menor y escriba entre ellos el smbolo > o el smbolo


a) los nmeros 0, 10, 10, 20, 20, 30 y 30 b) los nmeros 27, 28, 29, 30, 31 c) Los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

8. Resuelve las siguientes situaciones utilizando el concepto de nmero entero.

a) El lunes, Salom deba en la tienda de la esquina $4500, El viernes siguiente deba $3450. Mejor o empeor su situacin? b) En Bogot, el da 19 de enero estaban a 5 bajo cero, y el 20 del mismo mes estaban a 7 bajo cero. Qu da fue ms alta la temperatura? c) El buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. Cul de los dos est ms cerca de la superficie?


d) El saldo de la empresa LEYMA, S.A. es de $12 807 en nmeros rojos, y el de la empresa Marulo, S.A. es de 6 014 en nmeros negros. Cul de las dos est en mejor situacin? (utilizando el concepto de ganancia y prdida)

Valoracin Firma Del(a) Estudiante

EXPRSATE! Pinta sobre la madera un grafiti

SUMA Y RESTA DE NMEROS ENTEROS

S i los sumandos son de l mismo s igno, se suman los va lores absolutos y a l resul tado se le pone e l s igno comn.

3 + 5 = 8


(3) + (5) = 8

Si los sumandos son de d is t into s igno, se restan los va lores absolutos (a l mayor le restamos e l menor) y a l resul tado se le pone e l s igno de l nmero de mayor va lor absoluto .

3 + 5 = 2

3 + (5) = 2

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NMEROS ENTEROS

1 . In terna :

E l resu l tado de sumar dos nmeros en te ros es o t ro nmero en te ro .

a + b

3 + (5)

2 . Asocia t iva :

E l modo de agrupar los sumandos no va r a e l resu l tado .

(a + b) + c = a + (b + c )

(2 + 3 ) + (5) = 2 + [3 + (5) ]

5 5 = 2 + (2)

0 = 0

3 . Conmutat iva :

E l o rden de los sumandos no va r a la suma.

a + b = b + a

2 + (5) = (5) + 2


3 = 3

4 . E lemento neutro :

E l 0 es e l e lemento neu t ro de la suma porque todo nmero sumado con l da e l mismo nmero .

a + 0 = a

(5) + 0 = 5

5 . E lemento opuesto

Dos nmeros son opues tos s i a l sumar los ob tenemos como resu l tado e l ce ro .

a + ( -a ) = 0

5 + (5) = 0

El opuesto de l opuesto de un nmero es igua l a l mismo nmero.

(5) = 5

La resta de nmeros enteros se obt iene sumando a l minuendo el opuesto de l sustraendo.

a b = a + (b)

7 5 = 2

7 (5) = 7 + 5 = 12

PROPIEDADES DE LA RESTA DE NMEROS ENTEROS

1 . In terna :

La resta dos nmeros enteros es o t ro nmero entero .

a b


10 (5)

2 . No es Conmutat iva :

a b b a

5 2 2 5

Actividades de aplicacin

1. Resuelva las siguientes operaciones

13 386 = 103 505 =

265 1571 = 168 925 =

1397 6998 = 635 661 =

287 740 = 4481 6248 =


561 870 = 81 99 =

50 566 = 4366 73637 =

2. Utiliza la ley de signos para resolver los siguientes ejercicios

a) 32 + (4) = b) 60 + (42) + (71) c) 906 + (826) + (672) + (217) = d) 784 + (64) + (4101) + (149) =


3. Haga las siguientes sumas de nmeros enteros: RECUERDE QUE NMEROS CON IGUAL SIGNO

SE SUMAN; Y AL RESULTADO SE LE COLOCA EL MISMO SIGNO

- 6291 - 15847 - 6874 + + + - 8497 - 65841 - 5412 6780 - 64587 - 32657 + + + 5845 25487 10201 - 587 - 698 - 695 + + - 658 - 658 - 987 g) +527 + (261) = i) +825 + (67) = h) 504 + (+480) = j) 658 + (+861) =


4. Desarrolla las siguientes sumas de nmeros enteros:

a) 27 + (19) + (+31) + (12) b) +82 + (7) + (+5) + (2) + (13) c) 608 + (+102) + (327) + (+14) + (1006) d) 248 + (624) + (26) + (+879)


Realiza un mapa conceptual de lo que has aprendido hasta el momento



Escribe en el recuadro cuales han sido tus aportes al desarrollo de la clase

PROFUNDIZACIN 1. Hacer las siguientes restas de nmeros enteros:

EFECTOS DE LA AUSENCIA DE CARICIAS

El hambre de caricias no espera. El nio que somos durante toda la vida, necesita sentir y saber satisfecha, razonable y establemente, su insaciable HAMBRE DE CARICIAS. Entre los efectos ms frecuentes de la privacin de caricias encontramos: 1) Disminucin de oxgeno en la sangre. 2) Disminucin o aumento exagerados del apetito. 3) Debilitamiento del sistema inmunolgico. 4) Lentitud del tono muscular. 5) Tendencia a sufrir accidentes. 6) Enfermedades de diversa ndole. 7) Desnutricin general. 8) Abulia depresin e ideas de suicidio. 9) Anemia y falta de capacidad para rechazar infecciones orgnicas. 10) Juegos psicolgicos mortales. 11) Depresin o psicosis agudas. 12) La muerte.


- 12321 - 2345 - 556 - 15487 - 9422 - 353 - 15487 - 9422 - 353 - 15321 - 2945 - 956 g) +119 (749) = i) +983 (54) = h) 7702 (+837) = j) 714 (+608) =

Actividad de aplicacin 2. Santiago le debe $12 500 a Camila y $13 000 a Miguel. La prxima quincena recibir $78 000 y

piensa pagarles.

a) Cunto debe pagar por sus deudas? b) Con cunto dinero se quedar Santiago la prxima quincena?


3. Camilo registra cada noche los ingresos y egresos que tuvo ese da en su tiendita. En la tabla que se

muestra a continuacin aparecen los datos que anot la ltima semana.

4. Resuelve los siguientes tems:

a) Complete la tabla anotando el saldo correspondiente a cada da y el que se va acumulando al agregrselo al del da anterior. b) Con qu saldo qued Camilo el martes por la noche? c) Qu da doa Camilo comenz a tener un saldo positivo? d) Cunto pag Camilo esa semana?


e) Segn Camilo, la semana anterior a la que se muestra obtuvo $150 ms de saldo, aunque tuvo que pagar 85 pesos ms. Cules fueron en total la entrada y la salida de esa semana?

5. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas en algunas ciudades a las 7, 15 y 22

horas del 11 da de enero de este ao. Considere la informacin de la tabla para responder las

preguntas que se hacen a continuacin.

Ciudad 7 horas 15 horas 22 horas

Bogot -3o 7o -2o

Pasto -4o 0o -1o

Pereira 6o 20o 9o

Manizales 2o 13o 4o

Cali 18o 29o 21o

a) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 7 de la maana? b) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 10 de la noche? c) Cunto aument la temperatura en cada ciudad entre las 7 de la maana y las 3 de la tarde? d) Cunto disminuy la temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la noche?

6. Realice las siguientes sumas


7. Realice las siguientes operaciones


Actividades de apropiacin 8. Para cada una de las siguientes situaciones, resuelva el problema y represente la solucin en una recta numrica.

a) El submarino amarillo lleg a -134 metros en su primera inmersin y despus se desplaz -75 metros ms. Cuntos metros debe subir para volver a la superficie?

b) Ral le pag al tendero $34 500 y ste le dijo que ahora su cuenta quedaba en $78 800 Cul era el saldo de Ral antes de hacer el pago?

c) El lunes, la temperatura en Bogot era de 15 C, el martes descendi seis grados, el mircoles descendi otros seis grados y el jueves otros seis. Si el viernes aument un grado, qu temperatura registraba el termmetro en Bogot ese da?


d) Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura, durante el da sube tres metros y en las noches se duerme se resbala y desciende 2 metros, al cabo de cuantos das logra llegar a la cima.


La siguiente frase tiene poco sentido pero si reordenan las letras de las palabras subrayadas aparecen las capitales de cuatro pases.

SOLO SE LIBREN DE PISAR LA MORA

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS ENTEROS Multiplicacin de enteros Como los nmeros naturales, los nmeros enteros tambin se pueden multiplicar. Esta operacin se realiza como si se tratara de una multiplicacin de naturales y el signo del resultado o producto se pone de acuerdo a la siguiente regla: Esta regla nos dice que: Si se multiplican dos enteros positivos, el resultado es positivo. Si se multiplican dos enteros negativos, el resultado tambin es positivo. Si se multiplican un entero positivo y uno negativo, el resultado es negativo. Esta regla es llamada LA LEY DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION REALIZA CON LOS SIGNOS RESPECTIVOS EL ENUNCIADO DE LA LEY DE LOS SIGNOS

El producto de dos nmeros de igual signo siempre es positivo; El producto de dos nmeros de distinto signo siempre es negativo.


ESCRIBE UNA REFLEXION PARA TU FAMILIA. Veamos unos ejemplos:

8 x 20 = +360 12 x (-8) = -96 Nota: En los ejemplos anteriores hemos utilizado el signo + para denotar a los enteros positivos pero en general no se escribe el signo +. Cuando un nmero no tiene escrito ningn signo, se entiende que se trata de un nmero positivo. As, por ejemplo, podemos escribir tambin (-11) x (-15) = 165.

Escribe una ancdota que te haga sonrer cuando la recuerdas


JUEGO

PUEDES ADIVINAR EL DA EN QUE NACI TU MEJOR AMIGO!!

VOY ADIVINAR EL DIA DE TU NACIMENTO TIENES QUE CONCENTRARTE Y REALIZAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES PRIMERO MULTLIPICA POR DOS (2) EL DIA EN QUE NACISTE AHORA SUMALE CINCO (5) AL RESULTADO ANTERIOR LO QUE TE D MULTIPLICALO POR 50 RESTALE 250 AL RESULTADO SUMALE EL NUMERO QUE INDICA EL MES EN TUS CUMPLEAOS PREGUNTALE CUANTO LE DIO? AHORA MIRA BIEN LO QUE DICE TU COMPAERO EJEMPLO SI EL TE CONTESTA 2007 PUES EL DIA DE TU CUMPLEAOS ES EL 20 DE JULIO, ES DECIR DIA 20 DEL MES 7

PRACTICALO ES DIVERTIDO

EL PRNCIPE DE LAS MATEMTICAS

Carl Friederich Gauss, llamado Prncipe de las Matemticas, domino en el siglo XIX en matemticas, fsica y astronoma. Desde nio mostr una prodigiosa habilidad con los nmeros. A los tres aos de edad, corrigi un error que su padre haba cometido en el clculo de los salarios de unos albailes que trabajaban para l. A los diez aos, su maestro de escuela, que quera paz en clase, ordeno a los nios que sumaran todos los nmeros del 1 al 100. El pequeo Gauss, casi inmediatamente, escribi el resultado en el tablero 5050 Luego explico con mucha sabidura como lo hizo.


Divisin de enteros A partir de los ejemplos anteriores encontramos las siguientes relaciones: Como 18 x 20 = 360, sabemos que 360 20 = 18 y 360 18 = 20 Como (-11) x (-15) = 165, sabemos que 165 (-15) = -11 y 165 (-11) = -15 Como 12 x (-8) = -96, sabemos que -96 (-8) = 12 y -96 12 = -8 Como (-5) x 14 = -70, sabemos que -70 14 = -5 y -70 (-5) = 14 Observa en estos ejemplos de divisiones, cmo son los signos del dividendo, el divisor y el cociente (o resultado de la divisin). La relacin entre estos signos se puede expresar como sigue: Ahora veamos otros ejemplos de divisin de enteros: -105 7 = -15 144 (-12) = -12 -256 -8 = + 32 (+320) (+32) = +10

Actividades de apropiacin 1. Resuelva las siguientes operaciones: a) 10 x (-14) i) -160 10 b) (-5) x (-8) j) -56 (-8)

Si el dividendo tiene el mismo signo que el divisor, el cociente es positivo; Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.


c) +12 x (+3) k) 420 (-7) d) (-11) x (+7) l) -99 (+11) e) -360 x (-12) m) -2800 14 f) 1278 x (-556) n) 4032 (+56) g) -1356 x (-12) o) -2992 (-88) h) -521 x (+15) p) 624 (-13) 2. En cada uno de los siguientes incisos, indique si la operacin se puede efectuar o no. Cuando se pueda efectuar, resulvala. a) 16 x 0 g) 0 18


b) -1587 x 0 h) 0 (-76) c) 0 x (-51) i) 1 0 d) 0 x 1642 j) -567 0 e) 1 x 0 k) 0 0 f) 1 x 1 l) 1 1

3. Mara se qued sin dinero el da 22 y cobraba su prxima quincena el da 30. Cuatro amigos le prestaron $12500 cada uno, y Mara se termin de gastar ese dinero el da 29.

a) Cul era el saldo de Mara el da 30, antes de cobrar la quincena?


b) Si el da 30 cobr $143000, cul fue su saldo despus de pagar la deuda


ORDEN EN LAS OPERACIONES

1 . E fec tuar las operac iones en t re parntesis , corchetes y l laves .

2 . Ca lcu la r las potenc ias y ra ces .

3 . E fec tuar los productos y cocientes .

4 . Rea l iza r las sumas y restas .

Operaciones combinadas

1 . Sin parn tes is

1 .1 Sumas y d i ferencias .

9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 =

Comenzando por la i zqu ie rda , vamos efec tuando las operac iones segn

aparecen .

= 9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 = 7


1 .2 Sumas, restas y productos .

3 2 5 + 4 3 8 + 5 2 =

Rea l izamos pr imero los productos po r tener mayor pr ior idad .

= 6 5 + 12 8 + 10 =

E fec tuamos las sumas y restas .

= 6 5 + 12 8 + 10 = 15

1 .3 Sumas, restas , productos y d iv is iones .

10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 16 : 4 =

Rea l izamos los productos y coc ientes en e l o rden en e l que los

encon t ramos porque las dos operac iones t ienen la misma pr ior idad .

= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 =


= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 = 10

1 .4 Sumas, restas , productos , d iv is iones y potencias.

2 3 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 2 16 : 4 =

Rea l izamos en p r imer lugar las potenc ias po r tener mayor pr ior idad .


= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 4 16 : 4 =

Segu imos con los productos y coc ientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 10 8 + 16 4 =


= 26

2 . Con parntes is

(15 4 ) + 3 (12 5 2 ) + (5 + 16 : 4 ) 5 + (10 2 3 )=

Rea l i zamos en p r imer lugar las operaciones contenidas en e l los .

= (15 4 ) + 3 (12 10) + (5 + 4 ) 5 + (10 8 )=

Qui tamos parntes is rea l izando las operac iones .

= 11 + 3 2 + 9 5 + 2 = 18

3 . Con parntes is y corchetes

[15 (2 3 10 : 2 ) ] [5 + (3 2 4 ) ] 3 + (8 2 3 ) =

Pr imero operamos con las potenc ias, productos y coc ientes de los

parntes is .

= [15 (8 5 ) ] [5 + (6 4 ) ] 3 + (8 6 ) =

Rea l izamos las sumas y restas de los parntes is .


= [15 3 ] [5 + 2 ] 3 + 2=

En vez de poner co rche tes pondremos parn tes is d i rec tamente :

= (15 3 ) (5 + 2 ) 3 + 2=

Operamos en los parntes is .

= 12 7 3 + 2

Mult ip l icamos .

= 84 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83

Actividades de apropiacin

Resuelva las siguientes operaciones: a) (6 - 18) 3 g) 15 - (-20) x (-5) + 2 b) 6 - 18 3 h) [15 - (-20)] x [(-5) + 2] c) 2 + 3 x 4 i) -264 [(-11) -(-3)]


d) (2 + 3) x 4 j) -264 (-11) - (-3) e) (12 + 8) (4 - 9) k) 301 + (-301) x 49 - (-17) f) 12 + 8 4 9 l) [301 + (-301)] x [49 - (-17)]


POTENCIACIN DE NMEROS ENTEROS

Una potenc ia es una fo rma abrev iada de escr ib i r un producto fo rmado por

va r ios fac tores igua les .

6 6 6 6 6 = 6 5

Base de una potenc ia

La base de una potenc ia es e l nmero que mult ip l icamos po r s mismo, en

es te caso e l 6 .


Exponente de una potenc ia

El exponente de una potenc ia ind ica e l nmero de veces que mult ip l icamos la base , en e l e jemp lo es e l 5 .

La potenc ia de exponente natura l de un nmero entero es o t ro nmero entero , cuyo va lo r absoluto es e l valor absoluto de la potenc ia y cuyo s igno es e l que se deduce de la ap l icac in de las s igu ientes reglas :

1 . Las po tenc ias de exponen te par son s iempre pos i t i vas .

2 . Las po tenc ias de exponen te impar t ienen e l mismo s igno de la base .

Propiedades

1 . a 0 = 1

2 . a 1 = a

3 . Producto de potenc ias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .

a m a n = a m + n

(2) 5 (2 ) 2 = (2) 5 + 2 = (2) 7 = 128

4 . Div is in de potenc ias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la diferenc ia de los exponentes .


a m : a n = a m n

(2) 5 : (2 ) 2 = (2) 5 2 = (2) 3 = 8

5 . Potencia de una potenc ia :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l producto de los exponentes .

(a m ) n = a m n

[ (2) 3 ] 2 = (2) 6 = 64

6 . Producto de potenc ias con el mismo exponente :

Es o t ra po tenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l producto de las bases

a n b n = (a b ) n

(2) 3 (3 ) 3 = (6) 3 = 216

7 . Cociente de potenc ias con el mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponen te y cuya base es e l coc ien te de las bases .

a n : b n = (a : b ) n

(6) 3 : 3 3 = (2) 3 = 8


Un nmero e levado a 1 , es e l inverso de d icho nmero .

E jercic ios de potencias

Escr ibe en fo rma de una so la potenc ia :

1 3 3 3 4 3 =

2 5 7 : 5 3 =

3 (5 3 )4 =

4 (5 2 3 ) 4 =

5 (3 4 )4 =

6 [ (5 3 )4 ] 2 =


7 (8 2 )3

8 (9 3 )2

9 2 5 2 4 2 =

10 2 7 : 2 6 =

11 (2 2 ) 4 =

12 (4 2 3 ) 4 =

13 (2 5 )4 =

14 [ (2 3 ) 4 ] 0 =

15 (27 2 ) 5 =

16 (4 3 ) 2 =

Rea l iza r las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :

1 (2) 2 (2 ) 3 (2 ) 4 =

2 (8) (2 ) 2 (2 ) 0 (2) =

3 (2) 2 (2 ) 3 (2 ) 4 =

4 2 2 2 3 2 4 =

5 2 2 : 2 3 =

6 2 2 : 2 3 =

7 2 2 : 2 3 =

8 2 2 : 2 3 = 2

9 [ (2 ) 2 ] 3 (2 ) 3 (2 ) 4 =

10 [ (2 )6 : (2 ) 3 ] 3 (2 ) (2 ) 4 =


Rea l iza r las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :

1 (3) 1 (3 ) 3 (3 ) 4 =

2 (27) (3) (3 ) 2 (3 ) 0 =

3 (3) 2 (3 ) 3 (3 ) 4 =

4 3 2 3 4 3 4 =

5 5 2 : 5 3 =

6 5 2 : 5 3 =

7 5 2 : 5 3 =

8 5 2 : 5 3 =

9 (3) 1 [ (3 ) 3 ] 2 (3) 4 =

10 [ (3 )6 : (3 ) 3 ] 3 (3 ) 0 (3 ) 4 =


RADICACIN DE NMEROS ENTEROS

Recordemos que la radicacin es la operacin inversa de la

potenciacin y se representa con el smbolo de la figura

siguiente. Es la operacin mediante la cual se busca un

nmero que multiplicado por s mismo 2, 3, 4 o ms

veces nos da el nmero propuesto. El signo de la

radicacin se llama radical.

Raz de un Numero


La raz de un nmero es otro nmero que multiplicado

por s mismo dos o ms veces es igual al nmero dado.

Si el nmero se multiplica por s mismo 2 veces se

llama raz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raz

cbica; 4 veces, raz cuarta, etc.

Los trminos que intervienen en la radicacin son: el ndice,

la cantidad subradical, el radical(smbolo de la radicacin y la

raz (el resultado buscado).

La potenciacin y la radicacin son operaciones

respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior

encontrars la relacin entre la potenciacin y la radicacin

Eje rc ic ios


RECAPITULACION Realice un mapa mental acerca del tema: OPERACIONES CON ENTEROS Socialcelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer ante el grupo. AUTOEVALUACION - Debes tener en cuenta los conocimientos previos. - Valora el grado de participacin que tuviste en las actividades. - Ser objeto de evaluacin la presentacin ordenada y limpia del PORTAFOLIOS, as como la bsqueda de informacin y el aporte de materiales. - Valora el grado de adquisicin de nuevos conocimientos.

ITEM A EVALUAR VALORACION

CONOCIMIENTOS PREVIOS

ACTITUD EN CLASE

PREPARACION DE LAS EVALUACIONES

ESTUDIO EN CASA

DESARROLLO DEL MODULO

PORTAFOLIO

ASISTENCIA Y PARTICIPACION

COMPETENCIAS DESARROLLADAS


PREPARATE PARA PRUEBAS TIPO ICFES Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera ms estructurada los conceptos matemticos con las condiciones particulares de la situacin problema. Ncleo comn Los puntajes de un juego de vdeo aparecen en la pantalla como nmeros positivos para los aciertos y nmeros negativos para los errores. 1. En una serie de cuatro juegos los puntajes de Lus fueron, en su orden: -18, -15, -7, 2. Al mirarlos, podemos decir: A. Lus fue mejorando, porque los puntajes estn ordenados de menor a mayor. B. El primer puntaje fue el mejor, porque ese es el mayor de los cuatro nmeros.

TRASCENDAMOS EL CONOCIMIENTO

Este un espacio para reflexionar sobre la importancia

que tiene el cuidado del agua en nosotros como seres

humanos, nuestra familia, nuestra comunidad, nuestra

ciudad, nuestro pas y nuestro planeta,

.


C. Cada vez que Lus jugo, tuvo un puntaje mejor que el anterior, porque 2 es el mayor de los cuatro nmeros. D. Se ve que el puntaje solo depende de la suerte, porque los cuatro nmeros no estn en ningn orden. 2. En su primer juego Andrs y Jos tuvieron, respectivamente, -7 y -8 puntos. Decidieron entonces apostar un helado; ganara el que, en cualquiera de los tres juegos siguientes, elevara mas su puntaje inicial. Sus puntajes fueron:

Para saber quin gan el helado: A. Miramos quin tuvo el puntaje mayor. Andrs gan el helado porque en su mejor juego tuvo 9. B. Miramos en cuantos puntos mejor cada uno. Como Jos mejor hasta 7 y Andrs mejor hasta 9, Andrs gan el helado. C. Comparamos, para cada uno, el puntaje mayor con el de su primer juego. Como Jos elevo su puntaje en 15 puntos y Andrs en 16, Andrs gan el helado. D. Revisamos cul de ellos comenz con un puntaje menor. Andrs gan porque comenz con un puntaje menor que el de Jos. 3. El valor absoluto de un nmero puede interpretarse como la distancia que separa a cero en la recta numrica del punto que representa dicho nmero. Segn lo anterior, el valor absoluto de un nmero negativo es: A. Negativo, porque este es el signo del nmero y el valor absoluto indica la posicin respecto a cero. b. Positivo, porque el valor absoluto indica una distancia y las distancias siempre son positivas. C. Positivo, porque el valor absoluto siempre es positivo. D. No se puede saber; depende de cul sea el nmero entero negativo. Ncleo de profundizacin El sbado 3 de febrero del ao 2001, el diario El Tiempo publico la siguiente tabla, con algunas cifras referidas al nmero de muertes por accidentes de trnsito en Bogot. Muertes por accidentes de trnsito en Bogot Enero a diciembre 1999 2000

1999

2000

Diferencia entre 1999 y 2000


Condicin de la vctima

Casos

%

Casos

%

Casos

% de variacin

Peatn

603

69

569

69

-34

-6%

Pasajero

76

9

64

8

-12

- 1 6%

Conductor

36

4

33

4

-3

-8%

Motociclista

90

10

57

7

-33

-37%

Ciclista

59

7

95

11

+ 36

+ 61%

Otros

8

1

10

1

+ 2

+ 25%

Total

872

100

828

100

-44

-5%

4. Los signos de las cifras de la penltima columna indican que: A. Aunque en la mayora de los casos el nmero de muertos disminuy, en el ao 2000 se presentaren ms vctimas entre los ciclistas que en el ao 1999. B. En el ao 2000 murieron menos conductores y pasajeros que en el ao anterior, pero murieron ms peatones y motociclistas. C. La diferencia entre los valores de 1999 y los del ao 2000 es negativa si muri menos gente en el 2000 y positiva si muri ms gente por causa de los accidentes de trnsito. D. La diferencia entre los valores de 1999 y los del ao 2000 es negativa si muri menos gente en 1999 y positiva si muri ms gente por causa de los accidentes de trnsito. 5. Los valores correspondientes al porcentaje de variacin son tiles para concluir que: A. Las campaas para controlar el exceso de velocidad en motocicleta han surtido efecto, pero el estimulo al uso de la bicicleta debe ir unido a mas controles de seguridad. B. Pese a las campaas educativas de la alcalda, durante los dos aos han muerto ms ciclistas y motociclistas que peatones y conductores. C. Los ciclistas y conductores de motos son los ms imprudentes y por eso se ha incrementado el porcentaje de vctimas en los dos casos. D. El menor porcentaje de variacin se obtuvo entre los peatones y conductores. 6. En los siguientes frascos de salsa se ha indicado, con un nmero entero negativo, cuntos meses faltan para la fecha de vencimiento y, con un nmero entero positivo, cuntos meses hace que el producto venci. Segn las etiquetas:


A

B

C

D

E

+ 4

-3

+ 2

0

- 7

A. Conviene comprar el frasco E porque su fecha de vencimiento es la mas lejana. B. Conviene comprar el frasco B porque como - 3 es mayor que - 7 su fecha de vencimiento es la ms lejana. C. Conviene comprar el frasco E porque - 7 es el que tiene mayor valor absoluto. D. Conviene comprar el frasco D porque su fecha de vencimiento coincide con la de compra. Selecciona entre las opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera mas estructurada los conceptos matemticos con las condiciones particulares de la situacin problema. Ncleo comn El nivel de una represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 das y luego descendi 8 cm diarios durante 4 das.

1. Para encontrar la modificacin total:

A. Adicionamos los dos descensos: (-12) 5 + (-8) 4 = (-92). El nivel descendi 92 cm. B. Buscamos la diferencia entre el primer descenso y el segundo: (- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendi 28 cm. C. Como el descenso duro 9 das, multiplicamos cada valor por 9: (- 12) 9 + (- 8) 9 = (- 180). El nivel descendi 180 cm. D. Adicionamos lo que baj los primeros 5 das con lo que baj los ltimos 4 das: (-12) 5 + (-8) 4 = 60-32 = 28. El nivel ascendi 28 cm. 2. A partir del dcimo da el nivel de la represa comenz a subir 2 cm diarios. En cuntos das habr recuperado el nivel inicial? A. Como haba bajado 12 cm diarios durante 5 das, subiendo 2 cm diarios recupera el nivel en 30 das. B. Como el descenso duro 9 das, se necesitan otros 9 das para recuperar el nivel. C. Como el nivel baj primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 , hasta 92: 2+ 2+ 2+ 2+ .. + 2 = 92. El ascenso dura 46 das. D. Como el descenso total fue 60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2: 92-5-2 = 46. El ascenso dura 46 das.

2. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que no

acierta. Si de 30 tiros acierta 13, en qu situacin queda despus del juego?


A. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero ganado. B. Le quedan $ 14 150 porque: 13- 500+ (-17) (-450) = 14 150 C. Gana $ 650 porque el nmero de aciertos es mayor que el nmero de prdidas. D. Queda debiendo $ 1150 porque: 13 500 + 17 (-450) = -11 50 Ncleo de profundizacin 4. Juan Pablo observa detenidamente las siguientes series de operaciones: 3x2 = 6 (- 3) x 2 = (- 6) 3x1 = 3 (- 3) x 1 = (- 3) 3x0 = 0 (- 3) x o = o 3 x (- 1) =-3 (- 3) x (- 1) = 3 3 x (-2) = (-6) (-3) x (-2) =6 3 x (- 3) = (- 9) (- 3) x (- 3) = 9 Al identificar un patrn de variacin, concluye: A. Para conservar la regularidad que se observa en las tablas, el producto de dos nmeros negativos debe ser positivo. B. Al multiplicar respectivamente 3 y (- 3) por la misma serie de nmeros, se obtienen series ordenadas en forma descendente. C. El producto de nmeros enteros cumple la propiedad conmutativa. D. Cada vez que se multiplican dos nmeros enteros, el producto ser mayor que cualquiera de los factores. 5. La ciudad de Campo verde est situada a orillas del ro Iguanas. Durante varios aos se ha medido la temperatura del agua del ro a lo largo de los meses, y se ha construido esta grfica que muestra los promedios:

Se conoce tambin que la temperatura mxima de supervivencia para distintas especies de peces es:


Trucha

15 C

Lucio

24 C

Carpa

32 C

Bagre

34 C

6. Cmo puede encontrarse la temperatura media del ro en el mes de diciembre? A. Calculando la diferencia 15 - 7 = 8. La temperatura es 8 C. B. Resolviendo el polinomio 15 + 12 + (-17)+ 7 = 17. La temperatura es 17 C. C. Restando 17-7 = 10. La temperatura es 10 C. D. Calculando la diferencia entre los ascensos y los descensos: (1 5 + 1 7) - (12 + 7) = 13. La temperatura es 13 C. 7. En el mes de junio se celebra en Campo verde el torneo de pesca. Qu especies de peces encontrarn los pescadores? A. Encontrarn solamente truchas porque en junio la temperatura del agua es 12 C y las truchas sobreviven a temperaturas menores de 15 C. B. Encontrarn solo carpas y bagres porque la temperatura del agua en junio no sobrepasa los 32C. C Encontrarn truchas y lucios, ya que las temperaturas mximas que ests especies soportan son menores que la temperatura del ro en el mes de junio. D. Encontrarn carpas y bagres, porque son los peces que soportan temperaturas altas y junio es el mes en que el agua est ms caliente. 8. Por un comportamiento anormal del clima, en el ao 1994 hubo una variacin de la temperatura del agua del ro, as: En marzo fue 3 grados ms alta que el promedio para ese mes. En junio fue 5 grados ms baja que el promedio para ese mes. En octubre fue 2 grados ms baja que el promedio para ese mes. En diciembre fue 1 grado ms alto que el promedio para ese mes. Cul fue la temperatura del ro en diciembre de 1994? La expresin correcta para la pregunta es: A. 1 5 + 12 + 1 7 + 7 + (- 5) + (- 2) + 1 B. 15 + 12 + (-17) + 7 + 3 + (-5) + (-2) + 1 C. 15+(-12)+ 17+ (-7)+ 3 + 5 + 2 + 1 D. 15 + 12 + (-17) + 7 + (-3) + 5 + 2 + (-1)



REFLEXIONEMOS Existe el mal? Ocurri en Alemania al inicio del siglo 20. Durante una conferencia con varios universitarios, un profesor de la Universidad de Berln, propuso un desafo a sus alumnos con la siguiente pregunta: -Cre Dios todo lo que existe? Un alumno respondi valientemente: -S, l cre todo lo que existe Pregunt nuevamente el maestro: -Dios realmente cre todo lo que existe? -S seor, respondi el joven. El profesor, dijo: -Si Dios cre todo lo que existe, entonces Dios hizo el mal, ya que el mal existe! Y si decimos que nuestras obras son un reflejo de nosotros mismos, entonces Dios es malo, porque el creo el mal. El joven se call frente a la respuesta del maestro, que se regocijaba de haber probado, una vez ms, que la fe era un mito. Otro estudiante levant la mano y dijo: -Puedo hacerle una pregunta, profesor? -Claro que s, fue la respuesta del profesor. El joven se puso en pie y pregunt: -Profesor, el fro existe? -Pero que pregunta es esa? Lgico que existe, o acaso nunca sentiste fro? El muchacho respondi: -En realidad, seor, el fro no existe. Segn las leyes de la Fsica, lo que consideramos fro, en verdad es la ausencia de calor. Todo cuerpo u objeto es factible de estudio cuando posee o transmite energa; el calor es lo que hace que este cuerpo tenga o transmita energa. El cero absoluto es la ausencia total de calor; todos los cuerpos quedan inertes, incapaces de reaccionar, pero el fro no existe. Nosotros creamos esa definicin para describir de qu manera nos sentimos cuando no tenemos calor. -Y, existe la oscuridad? Continu el estudiante. -Por supuesto que existe: Dijo el profesor. -La oscuridad tampoco existe. La oscuridad, en realidad, es la ausencia de luz. Respondi el estudiante respondi. La luz la podemos estudiar, pero la oscuridad, no. A travs del prisma de Nichols, se puede descomponer la luz blanca en sus varios colores, con sus diferentes longitudes de ondas, pero eso es

Donde hubo fuego cenizas quedaron. Es difcil olvidar los hechos cuando la persona se involucr

profundamente.


imposible con la oscuridad. Cmo podemos saber cun oscuro est un espacio determinado? Solo con base a la cantidad de luz presente en ese espacio. Porque la oscuridad es una definicin utilizada por el hombre para describir qu ocurre cuando hay ausencia de luz. Finalmente, el joven pregunto nuevamente al profesor: -Seor El mal existe? El profesor respondi: -Por supuesto, como afirm al inicio, vemos robos, crmenes, violencia en todo el mundo. Esas cosas son del mal. El estudiante, dijo: -No Seor, el mal no existe o por lo menos no existe por s mismo. El mal es simplemente la ausencia del bien De conformidad con los anteriores casos, el mal es una definicin que el hombre invent para describir la ausencia de Dios Dios no cre el mal. El mal es el resultado de la ausencia de Dios en el corazn de los seres humanos. Es igual a lo que ocurre con el fro cuando no hay calor, o con la oscuridad cuando no hay luz. El joven fue aplaudido de pie por los dems alumnos y el maestro, moviendo la cabeza, permaneci en silencio. El director de la Universidad, se dirigi al joven estudiante y le pregunt: -Cul es tu nombre? -Me llamo, ALBERT EINSTEIN

6. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 2

6.1. FRACCIONES DECIMALES

Duracin: Entre __________________ Y __________________

6.2 TABLA DE LOGROS

6.3 CONTENIDOS:

6.3.1 Sistema de numeracin

6.3.2 Clasificacin de nmeros decimales

6.3.3 Orden en los nmeros decimales

6.3.4 Adicin y sustraccin de nmeros decimales

6.3.5 Multiplicacin de nmeros decimales

6.3.6 Divisin de nmeros decimales


Reconoce los nmeros decimales. Realiza conversiones de fraccin a decimal.

Utiliza la representacin decimal de un nmero. Plantea y resuelve situaciones aditivas y multiplicativas con nmeros decimales

Termina a tiempo la actividad en clase, optimizando su tiempo en el colegio. Es responsable con sus compromisos acadmicos


6.3.7 Ecuaciones que involucran nmeros decimales

PRECONCEPTUALIZACION Sistema de numeracin No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo. En esta leccin veremos una manera de expresar partes de una unidad a travs del sistema de numeracin decimal, que ya hemos empezado a estudiar. Recuerde que nuestro sistema de numeracin es decimal porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice de qu tamao son los grupos que estamos contando. Para contar cuntos grupos de cada tamao tenemos, este sistema utiliza diez smbolos, que son los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes se llama dcima. Si con una primera particin no podemos todava expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez partes, etc. Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de rea que tenemos sombreada en la anterior figura, utilizando como unidad el cuadrado R. El rea sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qu parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectngulo, partimos el rectngulo en diez partes. Cada una de esas rebanadas es un dcimo del rea. Tenemos 3 dcimos sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es ms chico que un dcimo. Para saber de qu tamao es el pedazo que nos falta medir, partimos los dcimos en diez partes cada uno. El rectngulo nos queda partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos pedacitos es un centsimo. Con siete de ellos, ahora s abarcamos exactamente el rea sombreada. Sabemos entonces que toda esa rea es: 1 unidad, 3 dcimos y 7 centsimos.


Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de cada tamao empezando con los pedazos ms grandes, los dcimos, y luego los centsimos. En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres dcimos y siete centsimos: entonces escribimos 1.37. Este nmero lo podemos leer tambin como un entero treinta y siete centsimos. Observe en el ltimo dibujo que los tres dcimos que contamos inicialmente quedaron partidos en 30 centsimos. Por ejemplo, trescientas cuarenta y dos unidades, 4 dcimos, 6 centsimos y 9 milsimos se escriben 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos unidades cuatrocientos sesenta y nueve milsimos. Se puede seguir partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en cuntas partes se divide el entero. Observe que cada vez que partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando por diez. Aqu vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene entonces detenernos un momento para hacer un acuerdo de notacin.


Aunque no sepamos cmo se llaman las partes en que se divide el entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez partecitas. Se pueden escribir decimales con cualquier cantidad de cifras. Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto decimal de un nmero se llama la expansin decimal del nmero. Hay nmeros que tienen una expansin decimal que no termina; se dice que tienen expansin decimal infinita. Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este nmero significan que sigue 3 un nmero infinito de veces. Cuando la expansin decimal de un nmero se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene expansin decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751. Esto ltimo no incluye a los ceros que se pueden agregar a la derecha de la ltima cifra; por ejemplo, 6.7705000000 es un nmero con expansin decimal finita, porque es igual a 6.7705.

Actividades de apropiacin

1. Escriba con notacin decimal los nmeros segn la escritura: a) doce unidades doce centsimos b) cuarenta y siete dcimos c) doscientos treinta y cinco milsimos d) dos unidades quince milsimos e) ciento seis milsimos f) diecinueve milsimo g) cinco centsimos h) cinco dcimos


i) dos diezmilsimos j) ciento treinta centsimos k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonsimos l) seis millones setecientas unidades, un milln veintisiete mil once diezmillonsimos 2. Escriba la lectura correcta de los siguientes nmeros: a) 354.7 e) 123.321 I) .00315 b) 32.007 f) 4702.0934 j) .772 c) 302.07 g) 2791.579 k) .039 d) 9.777 h) 0.550 l) .630038



Desde el avenimiento de la civilizacin las pirmides han cautivado la imaginacin de los arquitectos y de los sacerdotes. Sin embargo, unos y otros pudieron erigir estos monumentos religiosos y/o fnebres gracias al concurso de los calculistas, es decir, de los matemticos. En qu consiste? Hay que estudiar el "ejemplo", pues all se encuentra la clave. El 136 de la cspide es la suma de 50 y 86; a su vez, 50 es la suma de sus dos nmeros inmediatos inferiores: 18 y 32; y 32 es tambin la suma de sus dos nmeros inmediatos inferiores: 7 y 25. Esa es la frmula, y ahora llene usted todos los vacos, pero no tarde ms de 15 minutos en cada pirmide. EJEMPLO


Orden en los nmeros decimales Para saber si un nmero decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera es mayor, el nmero es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son iguales, nos fijamos en los dcimos, que son las fracciones decimales ms grandes. El nmero que tiene ms dcimos es ms grande. Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69. 12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299. 52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4. Si tanto la parte entera como los dcimos de dos nmeros son iguales, nos fijamos en los centsimos. El nmero que tiene ms centsimos es ms grande. Por ejemplo: 3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11. 98.567 es mayor que 98.5589; escribimos 98.567 > 98.5589. 47.547 es menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06. 16.28 es mayor que 16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2. Este proceso de comparacin se puede seguir siempre.


A continuacin lo planteamos para todos los nmeros decimales: Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a derecha en la que son distintos y el nmero que tiene esa cifra ms grande es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras decimales para poder hacer esta comparacin, siempre se pueden agregar ceros a la derecha sin alterar el nmero, como en el ltimo ejemplo. Tambin los nmeros decimales se representan en la recta numrica, partiendo cada unidad del dibujo en diez, cada dcimo en diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el nmero 3.7, dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la sptima divisin estar 3.7.

Si queremos representar en la recta el nmero 12.43, dividimos en diez partes el segmento que Va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la siguiente Divisin, 12.5; dividimos en diez partes el segmento Que va de 12.4 a 12.5 y en la tercera divisin estar 12.43.

Como antes, en la recta numrica los nmeros son ms grandes mientras ms se alejan del cero en la direccin del uno. Con el dibujo en esta posicin, los nmeros son ms grandes si estn ms a la derecha. En algunas ocasiones la recta numrica no se coloca en posicin horizontal sino en posicin vertical, y la direccin del cero hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los nmeros son ms grandes si estn ms arriba del cero y meros si estn abajo del cero.


Actividad 1. Realiza una recta en forma vertical y enumrala segn lo que acabas de leer

2. En cada par de nmeros indique cul es el mayor:

a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491 b) 364.846 y 325.787 h) 8.66 y 8.656 c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002 d) 6.328 y 6.32 j) 0.00637 y 0.0063 e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5


f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03

3. En cada par de nmeros indique cul es el menor:

a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900 b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016 y 0.001 c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555 d) 6.57 y 4.75 j) 6.14 y 6.104 e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087 f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040

4. Entre cada par de nmeros coloque el smbolo =, el smbolo > o el smbolo < segn corresponda:


5. Escriba un nmero:

a) Mayor que 2.1 b) mayor que 17.53 c) menor que 12.33 d) menor que 0.01 e) mayor que 0.2194 y menor que 1 f) dos dcimos mayor que 2.5 g) un centsimo menor que 0.068 h) tres unidades y un dcimo mayor que 1.42 i) dos dcimos y un centsimo mayor que 9.73 j) un dcimo y un milsimo menor que 9.614


6. Dibuje en rectas numricas los nmeros:

a) 1.5, 1.7, 1 y 2 b) 1.190, 1.195 y 1.2 c) 100, 50, 70 y 60 d) 8.88, 8.882 y 8.885 e) 22.43, 22.44 y 22.435 f 0.1, 0.01 y 0.05

7. Resuelve las situaciones problema

a) En una tienda de Estados Unidos cuesta US 2.50 un carrete de hilo y en otra cuesta US 2.05. En cul tienda es ms barato el hilo?

b) En una casa de cambio venden el dlar en US 10.49 y lo compran seis centavos ms bajo. En cunto compran el dlar?

c) Para ir a trabajar, Don Luis puede usar dos rutas distintas. En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Km. y la segunda es dos kilmetros y cinco dcimos ms corta.


d) De cunto es el recorrido en la segunda ruta?

e) Don Pedro reparti un terreno entre sus dos hijos. El terreno que le toc a Lupercio mide de frente 18

m. y 8 dcimos, y el que le toc a Gumesindo tiene un frente de 18 m. y 55 centsimos.

Exprese con nmeros decimales las medidas de los frentes de los dos terrenos A quin le toc el terreno de mayor frente? Valoracin Firma Del(a)

Estudiante

OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES Las operaciones con nmeros decimales son casi idnticas a las operaciones con nmeros naturales. En esta leccin veremos cmo se hacen. Suma y resta con decimales


Para sumar o restar nmeros decimales debemos fijarnos en sumar o restar las cifras con el mismo valor posicional, es decir los nmeros del mismo orden. Para hacer esto, alineamos los nmeros por el punto decimal, sumamos o restamos como si fueran enteros y ponemos el punto en el mismo lugar que est en los sumandos o en el mismo lugar que est en el sustraendo y en el minuendo. Por ejemplo, si queremos sumar 111.1, 123.45 y 87.76, los alineamos por el punto decimal y los sumamos como si fueran enteros. El punto decimal queda abajo de los puntos decimales de los sumandos en el resultado. Restemos ahora estos mismos nmeros, es decir, restemos 123.45 menos 87.76. Alineamos los nmeros por el punto decimal, los restamos como si fueran enteros y ponemos el punto decimal en el resultado abajo del punto decimal del minuendo y del sustraendo. Actividades de apropiacin Resuelva las siguientes operaciones con nmeros decimales.


Multiplicacin con decimales Para multiplicar nmeros decimales multiplicamos como si fueran nmeros naturales pero, para colocar el punto decimal en el resultado, contamos las cifras decimales de cada factor y en el producto ponemos tantos decimales como la suma de los que tienen los factores. Por ejemplo, si multiplicamos 32.5 por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviramos 325 por 214 y al resultado le ponemos el punto para que queden tres cifras decimales porque en el primer factor tenemos una cifra decimal y en el segundo factor tenemos dos cifras decimales:

En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicacin, cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar por mltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por 1000. Para que el resultado no nos quede multiplicado por 1000, tenemos que dividirlo entre 1000. sa es la razn por la que pusimos las 3 cifras decimales en el producto.

Actividades de apropiacin Haga las siguientes multiplicaciones con nmeros decimales.


Divisin con decimales En esta operacin s vamos a encontrar una diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aqu s veremos las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos sucesivamente diferentes casos. Para dividir un nmero decimal entre un nmero natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la casita de la divisin ponemos el punto decimal arriba del punto del dividendo. Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3, empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aqu son las decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el cociente y seguimos con los dcimos y los centsimos: Observe que al hacer esta divisin repartimos las 5 decenas que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. stas las agregamos a las cuatro unidades que ya tenamos. Dividimos las 24 unidades entre 3y no nos sobr nada. Repartimos los 7 dcimos que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobr un dcimo. ste se lo agregamos a los 2 centsimos que tenamos. Dividimos los 12 centsimos entre 3 y no nos sobr nada. Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad que le agregamos a los dcimos que tenemos. Dividimos los 15 dcimos entre 4 y nos sobran 3 dcimos. Como queremos seguir con el reparto, partimos los 3 dcimos que sobraron en centsimos (frecuentemente decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centsimos entre 4; nos sobran 2 centsimos que partimos en milsimos. Quedan 20 milsimos que repartimos entre 4 y ya no sobra nada. Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un nmero en el que se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se repite el tres. En 1.333..., tenemos 3


dcimos, 3 centsimos, 3 milsimos, etc. Este nmero que se repite se llama perodo y para indicar su repeticin hasta el infinito podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una pequea lnea sobre l que indica lo mismo:

3.1...333.1 No siempre tenemos perodos con una sola cifra decimal. Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que partir los dos enteros en dcimos; nos que -dan 20 dcimos. Al repartir van a tocar dos dcimos a cada uno de los 7 y sobran 6 dcimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para indicar que el resultado empieza en dcimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para repartir los 6 dcimos que sobran, los tenemos que partir en centsimos, tenemos as 60 centsimos entre 7, toca a 8 y sobran 4 centsimos, que son 40 milsimos. Seguimos el proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y tambin empiezan a repetirse las cifras del cociente. Por ms que sigamos haciendo la divisin, se seguirn repitiendo los residuos y en el cociente se repetirn las cifras 285714, este es ahora el perodo. Podemos escribir el resultado de esta divisin repitiendo 3 veces el perodo y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el perodo una lnea para indicar esta repeticin hasta el infinito:

2857140. ...57142857140.28571428 7 2 Si queremos dividir por un nmero con ms de una cifra se procede como con los nmeros naturales. Por ejemplo, si queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos cifras del mayor orden


del dividendo, que aqu forman 43 decenas, y vemos que s se puede dividir ese nmero entre 12. Como 12 x 3 = 36, nos toca a 3 y sobran 43 - 36 = 7 decenas. Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este mismo nmero. Las 7 decenas que sobran se las agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 x 6 = 72 y 75 - 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron, convertidas a 30 dcimos, se las agregamos a los 9 dcimos del dividendo y dividimos los 39 dcimos entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 dcimos. Agregamos los 3 dcimos sobrantes a los 8 centsimos que tenemos y dividimos los 38 centsimos entre 12. Nos toca a 3 centsimos y sobran 2 centsimos. Si queremos seguir la divisin partimos esos 2centsimos sobrantes en 20 milsimos y los dividimos entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milsimo. Se puede seguir la divisin hasta donde queramos; aqu vamos a parar en el milsimo.

El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un nmero decimal entre cualquier nmero natural. Para dividir un nmero decimal entre otro nmero decimal el procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos despus de hacer una pequea observacin. Observe que si dividimos un nmero entre otro obtenemos lo mismo que si dividimos el primer nmero multiplicado por una potencia de diez entre el segundo nmero multiplicado por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos 25 = 2.5 x 10 entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc. Veamos ahora cmo se divide un nmero decimal entre otro, por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor como el dividendo por diez para tener un nmero natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que 2.3 x 10 = 23 y que 67.46 x 10 = 674.6, as que la divisin ser 674.6 entre 23: Realiza la divisin 674.623


El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la segunda divisin el divisor y el dividendo son los de la primera divisin multiplicada por diez. Si queremos dividir entre un nmero con ms cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en el divisor un nmero natural. Por ejemplo, para dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos por 1000 los dos nmeros, 5.517 x 1000 = 5517 y 46.75 x 1000 = 46750, y dividimos 46750 entre 5517. Podemos hacer la divisin con la cantidad de cifras decimales que queramos; aqu la hacemos hasta dcimos. Realiza la divisin: 467505517 Actividades de apropiacin 1. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones con nmeros decimales.


2 . Rea l iza r las s igu ien tes o perac iones con nmeros dec imales :

3 .6669 1000 =


3 .6669 : 1000 =

0 .036 10 =

0 .036 : 10 =

0 .000012 10 000 =

123 .005 : 10 000 =

26 .36 10 000 =

2 .36 : 1000 =

0 .261 100 =

5 .036 : 10 =

3 . Resue lve las s igu ien tes d iv is iones de nmeros dec ima les :

324 : 0 .018

12 .96 : 6


RECAPITULACIN Realice un mapa conceptual acerca del tema: nmeros decimales, Socialcelo con su equipo de trabajo y entre todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer.


Una pldora de entretenimiento!

REFLEXIONEMOS.. Aborto

El padre es asmtico, la madre tuberculosa. Tienen cuatro hijos, el primero es ciego, el segundo es sordo, el tercero muri y el cuarto tiene tuberculosis. La madre est embarazada de nuevo. Recomendaras el aborto en esta situacin?

Verde como el campo, campo no es, habla como hombre, hombre no es.


Si tu decisin es afirmativa, hubieras evitado que el mundo conociera a Ludwig Van Beethoven. Un hombre blanco viola a una nia negra de 13 aos y sta queda embarazada. Si fueras el padre de esta joven. Le recomendaras el aborto? Si tu decisin es afirmativa, jams hubiera nacido Ethel Walters, una de las cantantes negras ms famosas de toda la historia. Un predicador y su esposa con graves problemas econmicos (son realmente pobres) ya tienen 14 hijos. Considerando su extrema pobreza. Recomendaras que la esposa abortara su decimoquinto hijo? Si tu decisin es afirmativa, el mundo no hubiera podido escuchar a John Wesley, uno de los predicadores ms grandes de todos los tiempos. Una joven est embarazada; no est casada y su prometido no es el pap del nio que est esperando. Le recomendaras que abortara? Si tu decisin es afirmativa, hubieras impedido que Mara trajera al mundo el regalo ms precioso de toda la humanidad: JESS Las leyes de los hombres te amparan, puedes ir a un hospital a practicarte un aborto, es muy simple y adems nadie te va a preguntar nada, quizs ni tu nombre. Pero considera: Dios sabe perfectamente que llevas vida dentro de tu vientre. No mates a quien puede ser un regalo para toda la humanidad 7. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 3

7.1. NMEROS RACIONALES

Duracin: Entre __________________ Y __________________

7.2 TABLA DE LOGROS


Resuelve operaciones de adicin y sustraccin entre nmeros racionales.

Comprende los pasos del proceso de resolucin de

Resuelve situaciones problemticas con nmeros racionales. Utiliza las propiedades de las operaciones y relaciones entre

Demuestra una actitud de respeto a compaeros y docentes Su disposicin en el aula permite apreciar inters y


7.3 CONTENIDOS:

7.3.1 Concepto de nmero racional

7.3.2 Representacin fraccionaria de un nmero racional

7.3.3 Fracciones equivalentes

7.3.4 Representacin de los nmeros racionales en la recta numrica

7.3.5 Expresin racional de un nmero racional

7.3.6 Adicin y sustraccin de nmeros racionales

7.3.7 Multiplicacin de nmeros racionales

7.3.8 Divisin de racionales en forma de fraccin

7.3.9 Potenciacin de nmeros racionales

7.3.10 Radicacin de nmeros racionales

7.3.11 Polinomios aritmticos con nmeros racionales

Fracciones equivalentes No siempre podemos trabajar con nmeros decimales; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cunto tenemos en total. En esta leccin vamos a trabajar sobre estos conceptos. Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectngulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo

expresamos como 2

21 .

Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3

tercios. Eso se expresa como 3

31

En el dibujo de abajo tambin hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.

problemas. nmeros racionales. voluntad de trabajo.


En la forma en que estamos expresando estas particiones el nmero de abajo sirve para decir en cuntas partes iguales se fraccionaron la unidad y el nmero de arriba para decir cuntas partes tomamos. De estos nmeros, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresin se llama completa fraccin o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad. Para decir de qu tamao es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notacin. Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cmo se escribe la parte sombreada. Observe que en las figuras G, J y K se marc la misma cantidad de rea aunque la manera de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las figuras H e I. En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes iguales pero hemos tomado

dos de ellas y juntas tambin son la mitad del rectngulo; esto se expresa como 4

2

2

1


En las figuras H e I tenemos 6

2

3

1 pero hay muchas otras maneras de tener esa misma cantidad.

Observe las siguientes figuras en las que el rectngulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de rea de muchas maneras:


En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del rea del rectngulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio:

Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo nmero:

24

8

83

81

3

1

12

4

43

41

3

1

6

2

23

21

3

1

x

x

x

x

x

x

Estas operaciones corresponden a obtener una particin ms fina, de partes ms

modulo séptimo 2015

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