modulo matematica i -esap

8/20/2019 Modulo Matematica i -Esap

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MMMMATEMÁTICAS IIII

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL

DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA


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ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

DirectorHONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO

Subdirector académicoCARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE

Decano de pregradoJAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO

Coordinador Nacional de A.P.TJOSE PLACIDO SILVA RUIZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICADORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

Bogotá D.C., Noviembre de 2008


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TABLA DE CONTENIDO

DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOSINTRODUCCIÓN

CAPITULO 1. ECUACIONES

1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable1.2 Aplicaciones1.3 Ecuaciones lineales en dos variables1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable1.5 Aplicaciones

1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables1.7 Sistemas de ecuaciones lineales1.8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Ejercicios de repaso de la unidad

CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS

2.1 Definición de función2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares2.3 Funciones especiales


CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

3.1 Funciones exponenciales3.2 Funciones logarítmicas3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales3.4 Aplicaciones


CAPITULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD

4.1 Noción de límite4.2 Álgebra de límites4.3 Límites infinitos4.4 Límites al infinito4.5 Continuidad4.6 Aplicaciones


CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN

5.1 La derivada5.2 Reglas de diferenciación5.3 Aplicaciones



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DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS

El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidada distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez,se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en laexposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidoscomplementarios específicos.

Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene unavaloración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el

número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier procesode formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que seanecesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración ennúmero de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática delestado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lopúblico, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos.

De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en elprincipio de la problematización. En otras palabras, la formación en AdministraciónPública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constantecambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos queimplican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar yresolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública.

EL TRABAJO DEL TUTOR

El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológicafrente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de losmódulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutorespodrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatoriopara el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de losmódulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamentelos contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberádiseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo.

El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación lasactividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría(incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (unasesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias deevaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso deautoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de doscréditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32


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horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:

MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos) No.

Créditos Horas por

crédito Totalhoras

Tutoría Grupal

No. desesiones

Horas porsesión

No. mínimode

encuentros

tutoriales*

No. max.sesiones

por

encuentro 2 16 32 8 4 2 8 3 16 48 12 4 3 12 4 16 64 16 4 4 16

* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial alCETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se

podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos.

Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo.Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.


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MATEMÁTICAS I

CONTENIDO SINTÉTICO

Este módulo brinda a los estudiantes las basesmatemáticas necesarias en cuanto a ecuaciones,funciones, límites y derivadas, que contribuyen tanto anivel teórico como práctico a su desarrollo en materiasespecíficas de Administración y economía.

OBJETIVOS GENERALES

Comprender, interpretar y solucionar problemasespecíficos en administración pública.

Definir los objetos que se estudian con ayuda delas nociones introducidas precedentemente y así,


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organizar la adquisición de nuevos conocimiento

Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija

poner en acción los conocimientos de cada tema.

Buscar la correcta representación de losconocimientos y tomar conciencia de losresultados.

Encontrar buenas preguntas y hallar posiblessoluciones.

Actuar, formular, probar, construir modelos,lenguajes, conceptos y teorías que puedaintercambiar con otros.

Adaptar los conocimientos a situacionesespecíficas, planteando modelos para resolverlos,pues las posibilidades se crean en un contexto yen unas relaciones con el medio. Así, losconocimientos aparecen como solución óptima.

Valorar la importancia que tienen los procesosconstructivos y de interacción social en laenseñanza y en el aprendizaje de lasmatemáticas, utilizándolos en situacionesproblemáticas que pueden provenir de la vida

cotidiana, generando preguntas y situacionesinteresantes.

Reconocer que existe un núcleo de conocimientosmatemáticos básicos que debe dominar todociudadano.

Reconocer el impacto de las nuevas tecnologíascomo herramientas computacionales para resolverproblemas y tomar decisiones.

Reflexionar sobre el propio proceso de

pensamiento con el fin de mejorarloconscientemente.

Adquirir confianza en sí mismo.

Divertirse con su propia actividad mental, creandoestrategias informales y de sentido común.

Tener en cuenta en el desarrollo del programa lahistoria, la génesis y la práctica de lasmatemáticas, como aspectos internos del ser y delconocer.


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Desarrollar las competencias lógico matemáticasdel futuro administrador público territorial, basefundamental para la toma de decisiones, la

comunicación y planificación.

Adquirir herramientas de análisis que permitanapoyar la comprensión de algunas de lastemáticas estudiadas en la carrera.

Estudiar algunas aplicaciones de la matemática enla administración y la economía, especialmente lasque se refieren a la maximización de losbeneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismoque a la minimización de los costos.

INTRODUCCIÓN

Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superiorde Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de AdministraciónPúbica Territorial.

El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre aprácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de lasnuevas tecnologías.

Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen losconceptos a través de la guía del tutor.

Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con informaciónpertinente al campo de la administración pública.

Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad delmanejo de un software.

Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigacionessobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio dela administración pública.


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El enfoque metodológico aplicado en la enseñanza de la matemática genera una relaciónentre el tutor y el estudiante que se caracteriza por la iniciativa, experimentación, prácticay construcción del conocimiento de acuerdo con el ritmo y con los descubrimientos

progresivos que va logrando el dicente; el tutor es un orientador y un asesor para lasinquietudes y logros.

Atendiendo a que nuestro quehacer diario debe dirigirse hacia las metas anteriores, serántenidos en cuenta todos los aspectos que constituyen el ser integral del alumno, por locual tomamos como referencia las preguntas:

1. ¿Qué queremos que el estudiante aprenda?

2. ¿Cómo puede lograrse ese aprendizaje?

3. ¿Cómo sabemos cuándo hay aprendizaje?

4. ¿Qué tiempo se necesita?

Así, la metodología, apuntará a desarrollar las siguientes ideas:

o Formación en la solución de problemas como competencia básica no solo enmatemáticas. Así, se experimenta la potencia y utilidad de las matemáticas en elmundo que nos rodea.

o La capacidad para resolver problemas, que es la conducta más inteligente delhombre y la preocupación central de las matemáticas.

o El manejo de códigos matemáticos como elemento esencial para comprender elnivel abstracto inmerso en varias situaciones de la vida real.

o El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, que permite la ubicación denuestro ser y nuestro entorno.o Búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes.o Manejo de material (representación espacio-temporal), representación gráfica

(puramente espacial, no hay tiempo) y manejo de símbolos: formas y tamaños,proposiciones, ambiente de las figuras, palabras que aportan y dan informaciónadicional al dibujo, todo lo cual evidencie una construcción de conocimiento.

o Las matemáticas como verdades de razón (competencias básicas: interpretativa,argumentativa y propositiva).

La dinámica de las sesiones presenciales consistirá en una explicación sobre el tema o

temas a tratar, con suficientes ejemplos ilustrativos, ejercicios y problemas de aplicación ala administración y economía, a lo cual seguirá la realización de un taller en grupos. Lainvestigación en matemáticas en los ámbitos numérico, lógico y geométrico es de especialimportancia, ya que con ella el estudiante muestra su capacidad de análisis, interpretacióny argumentación del tema y podrá solucionar problemas que requieran inferencias lógicascomo estrategia didáctica fundamental.

Se realizarán tutorías en las cuales se observará el desarrollo y la aplicación de algunosconceptos, reforzando el proceso operativo con el uso de programas como elMATHEMATICA y / o DERIVE.


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En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para eldesarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico.

El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal odiferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramentematemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de laadministración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondaren demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación.

La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, quedebemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las leccionesestán conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos,explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncianejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar oclarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una

autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite alestudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad depresentar sus evaluaciones.


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Contenido sintético de este módulo


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Contenido sintético de los capítulos 1, 2 y 3


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CAPITULO 1. ECUACIONES

Objetivos Generales:

1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales. 2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación

Objetivos específicos:

Resolver ecuaciones con métodos algebraicos Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o

intervalo.

Subtemas:

1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable1.2 Aplicaciones1.3 Ecuaciones lineales en dos variables1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable1.5 Aplicaciones1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables1.7 Sistemas de ecuaciones1.8 Aplicaciones

Ejercicios de repaso del capítulo

Palabras clave:

IgualdadDespeje de una variablePlano cartesianoCoordenadaFactorizaciónOperaciones con reales


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Repaso sobre los Números Reales (R)

Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números

naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguientemanera:N Z Q

Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número enteroes también racional y por lo tanto todo número natural es racional.

Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los númerosirracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como elconjunto de los números reales, nominado con la letra R.

Recordemos que:

N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...}R: Números Reales = Q U IC: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuyanotación incluye la letra i.

ECUACIONES

Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió enAlejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajoinfluyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura quesobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio:

Diofante pasó una sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nacióun niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de suedad (final).

Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anteriorpuede representarse con la ecuación

En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas


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tre

ecuaciones más que podremos aplicar a problemas prácticos.

1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable

Conceptos básicos: Operaciones con reales, factorizaciones y operaciones confracciones algebraicas.

Una ecuación es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dosexpresiones algebraicas. Por ejemplo:

;

En ella se relacionan partes literales (letras o variables) y partes numéricas.

Solucionar, resolver o hallar la (s) raíz (ces) de una ecuación consiste en

determinar el o los valores de la incógnita o variable, que al ser reemplazados enla ecuación dada la verifiquen, es decir, que conduzcan a una proposiciónverdadera (la expresión a la izquierda del signo igual sea equivalente a la de laderecha). Se dice que un número satisface la ecuación si es una solución.

Ejemplo 1. Los números -5 y 5 son soluciones o raíces de la ecuación:

ya que . (Recordemos que ).

Ejemplo 2. tiene como raíz a ya que si reemplazamosen la ecuación 3 (-2) – 1 = 2(-2)-3 obtenemos -7 = -7 que es una proposiciónverdadera.

Ejemplo 3. Los valores que puede tomar la variable en

son todos aquellos reales diferentes de 1 ya que con esteúltimo, el denominador nos daría cero y la división no se podría efectuar. Loexpresaremos así: S = R\

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

3x+2 = 0 ; 3x = -2 ; x =

Para obtener ecuaciones equivalentes o identidades podemos realizar lassiguientes operaciones:

• Sumar o restar la misma expresión (que represente un número real) aambos lados de la ecuación.

• Multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por la misma expresión (querepresente un número real diferente de cero).

Ejemplo 4. 3 x + 2 = 03x + 2 - 2 = 0 - 2

3 x = - 2

• Recuerda que:

25 -25


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(3x) = (-2)

x =

Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S = .

Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemosque genera una proposición verdadera, así:

3 x + 2 = 0

3 + 2 = 0-2 + 2 = 0

0 = 0

Ecuaciones Lineales

Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la formaan x

n + an-1 xn-1 + an-2 x

n-2 + an-3 xn-3 + an-4 x

n-4 + …+ a1 x1 + a0 x

0 , con a i R y n unentero no negativo.

Aquellas que tienen la forma a 1 x 1 + a 2 x

0 = 0; con a 1, a 2 R; a 1 ≠ 0 y n = 1son lineales.

Ejemplo 5.

Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta elorden presentado por los paréntesis:

o

Por tanto, el conjunto solución es: S =

Ejemplo 6.

Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuaciónlineal:


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Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemosverificar que x = 5 sea efectivamente una solución:

Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y

por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S = o S =Ø.

Ejemplo 7.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominadorque en este caso es (diferencia de cuadrados), ya que la factorización es

Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores sevuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S = .

Ejemplo 8.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominadorque en este caso es , ya que la factorización es (Factorcomún)


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Sustituyendo por 3 en la ecuación original, hallamos que este valor satisfacela ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es S = .

1.2 Aplicaciones de ecuaciones lineales

Áreas. El área de una figura plana se puede cambiar a una forma másconveniente despejando o solucionando para una de las variables en términos delas variables restantes, encontrando ecuaciones equivalentes.

Ejemplo 9. El área de un triángulo de base y altura se halla mediante la

fórmula .Para despejar , multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, así:

Ahora, multiplicamos por :

Ejemplo 10. Así mismo, el área de un trapecio con bases y y alturaestá dada por

Al despejar tenemos:

O, al expresar con común denominador:

h

b

B

h

b


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En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problemaen una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente,identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar unavariable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad entérminos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisiónla relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que larespuesta concuerde con las condiciones planteadas.Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años.¿Cuántos años tiene?

Asignamos x = edad actual de Bryan

x + 5 será entonces la edad en cinco años

x – 7 la edad que tenía hace 7 años

3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años

La ecuación que expresa la relación del problema será:

x + 5 = 3 ( x – 7 )

despejando x para hallar la solución:

x + 5 = 3 x - 21

x – 3x = - 21 - 5

-2 x = - 26

x =

x = 13 años

Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años.

Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple:

I = C r t

Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasade interés simple r de porcentaje por t años.

Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de

• Recuerda que: altener un númeronegativomultiplicando en unlado de laecuación, lopasamos con elmismo signo, paradespejar lavariable.


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ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%.Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en eltítulo?

Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros.

Podemos organizar la información dada en un cuadro así:Capital C Tasa de

interés rTiempot

Interés ganadoI = C r t

Certificado deahorros 10.000 -x 0,07 1 (10.000-x)(0,07)(1)=

700- 0,07 x

Título x 0,12 1 x (0,12) (1) = 0,12 x

Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene:

700- 0,07 x + 0,12 x = 900 de donde,

- 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700

0,05 x = 200

x = 4.000

Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título.

Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entoncesla distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por

d = v t , o , t = d / v , o , v = d / t

Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicletafue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad.

Distancia Velocidad TiempoEn auto 289

En bicicleta 50

Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos:


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(velocidad del auto)

¼ = ¼ (40,75) = 10,1875 Km / h ( velocidad de la bicicleta)

Problemas de mezclas. Se dan principalmente en química, farmacología,manufactura. Al resolver este tipo de problemas nos centramos en la cantidadque tiene un elemento en cada una de las diferentes combinaciones. Es útil, igualque en los casos anteriores organizar la información en forma de matriz (filas ycolumnas).

Ejemplo 14. Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. desolución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30%de alcohol.

Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces,

15 + x representa la cantidad en litros en la nueva solución.

Litros de solución Concentración de alcohol Litros de alcohol

Soluciónoriginal 15 0,20 0,20 (15)Alcohol

puro x 1,00 1,00 xMezclaresultante 15 + x 0,30 0,30 ( 15 + x)

Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puroañadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene:

0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x)

3 + x = 4,5 + 0,3 x

0,7 x = 1,5


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x =

Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es lt.

Recordemos que podemos probar la respuesta reemplazando en a ecuaciónoriginal el valor encontrado.

Problemas de trabajo. Si un individuo puede hacer un trabajo en T unidades detiempo, se concluye que en x unidades de tiempo, x/T del trabajo se completa.Por ejemplo, si una persona hace un trabajo en 7 horas, entonces en 3 horaspodrá hacer 3/7 de trabajo.

Ejemplo 15. Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas yuna bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas puedenllenar el tanque trabajando juntas?

Siendo el número de horas que se gastan las dos bombas en llenar el tanque,entonces,

será la fracción de trabajo de la bomba A en x horas

la fracción de trabajo culminado en x horas por la bomba B.

Así,Tiempo para completar

todo el trabajoFracción del trabajo

completado en x horasBomba A 2Bomba B 3

Ambas bombas 1

La suma de lo que aporta cada bomba en fracción de trabajo en x horas debe serla unidad, que en este caso representa el trabajo completo, por lo tanto:

= horas

Trabajando ambas bombas se demoran horas (1 horas 12 minutos) parallenar el tanque.


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1.3 Ecuaciones lineales en dos variables.

El descubrimiento del sistema de coordenadas cartesianas representó un avance

muy importante en matemáticas. Gracias a él, René Descartes, filósofo ymatemático francés, logró transformar los problemas geométricos, que exigíanlargos y tediosos razonamientos en problemas algebraicos que se podíanresolver más fácilmente. Esta relación entre la geometría y el álgebra dio comoresultado la geometría analítica, que en un principio resolvió los siguientesplanteamientos:

- Dada una ecuación, hallar la gráfica correspondiente- Dada una figura geométrica, encontrar la respectiva ecuación.

Cualquier ecuación que se pueda escribir como , con R ; yvariables, se llama ecuación lineal en dos variables.

Una solución de una ecuación de este tipo es un par ordenado de númerosreales, que satisfacen la expresión, es decir que la ecuación es cierta cuando lascoordenadas obtenidas se sustituyen por y .

Ejemplo 16. ¿Cuál de los pares ordenados (2,-3) y (-2,-2) es una solución de laecuación lineal y = 4x -11?

Al sustituir el valor de la abscisa por x y el valor de la ordenada por y para elpunto (2,-3), obtenemos:

y = 4x -11-3 = 4 ( 2 ) – 11-3 = 8 – 11

-3 = -3

Como la expresión obtenida es verdadera, concluimos que la pareja ordenada(2,-3) sí es solución a la ecuación.

Efectuando el mismo procedimiento con ( -2,-2) tenemos:

y = 4x -11-2 = 4 ( -2 ) – 11

-2 = -8 – 11-3 = -19

Proposición falsa, por lo cual la pareja ordenada escogida no es solución.

Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar todaslas soluciones, sustituimos x por un valor real y resolvemos para y (o despejamosy).

Ejemplo 17. Formemos una tabla de datos con algunas soluciones yrepresentemos en el plano cartesiano, para la ecuación y = 2 x – 4:

• Recuerda que: elhecho de que losexponentes de lasdos variables (x, y)sean uno, hace quela ecuación sealineal.


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Valor para x Valor para y Par ordenado (x , y)

-4 2 (-4) – 4 = -12 (-4,-12)-2 2 (-2) – 4 = -8 (-2,-8)0 2 (0) – 4 = -4 (0,-4)2 2 (2) – 4 = 0 (2,0)4 2 (4) – 4 = 4 (4,4)6 2 (6) – 4 = 8 (6,8)8 2 (8) – 4 = 12 (8,12)

Cuando se representan gráficamente los pares ordenados los puntos caen enuna línea recta. Así, hemos representado gráficamente la solución de la ecuaciónlineal ya que la recta representa todas las soluciones de la ecuación.

Ejemplo 18. Teniendo en cuenta uno de los teoremas de la GeometríaEuclidiana, en el cual enuncia que para trazar una recta es suficiente tener dospuntos, ahora realizamos la gráfica con las coordenadas al origen, es decir lasparejas ordenadas en las cuales la gráfica corta a los ejes coordenados, para laecuación: x + 3y = 6

x 0 6y 2 0

Si tomamos x = 0 y reemplazamos en la ecuación, obtenemos que y = 2. Conesto tenemos el corte de la recta con el eje y o la ordenada al origen, (0, 2)

Si tomamos y = 0, al reemplazar en la ecuación, obtenemos que x = 6. Con estotenemos el corte de la recta con el eje x o la abscisa al origen, (6,0)


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1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable.

Son ecuaciones polinómicas de la forma a x 2 + bx + c = 0 ; con a, b, c R y a ≠ 0.

Para resolver o hallar los valores de la variable en una ecuación cuadráticacontamos con tres métodos: factorización, raíz o la fórmula cuadrática.

Método de factorización. Este método se basa en la propiedad de la

multiplicación por cero: si a y b representan números reales y a.b = 0 entonces,a = 0, o, b = 0.

Ejemplo 19. Resuelva

Factorizando el polinomio tenemos:

Sacando factor común en el primer paréntesis y cancelando con el 2 deldenominador:

Así,

de donde

Por lo tanto el conjunto solución es: S =

Al igual que con las ecuaciones anteriores, podemos probar nuestras respuestassustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.


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Ejemplo 20. ResuelvaEscribiendo nuestra ecuación de la forma :

Sacando factor común 3 :

Y pasando el 3 a dividir:

Factorizando:

Así,

de donde

Luego el conjunto colusión es: S =

Método de la raíz cuadrada. Utilizado cuando la ecuación cuadrática tiene laforma .

Aquí, sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:


Luego el conjunto solución es: S =

Podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en laecuación original.


• Recuerda que:para resolver unaecuacióncuadrática porfactorización esnecesario igualara cero para poderaplicar lapropiedad.


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Sacando raíz cuadrada en ambos lados obtenemos:

Despejando :

Y por lo tanto el conjunto solución es: S =

La fórmula cuadrática. El más potente de los métodos de solución, que se basa

en la fórmula cuadrática, , cuya deducción presentamos acontinuación:

Partimos de nuestra forma original:

Dividiendo los dos términos de la igualdad entre a se tiene:

Agrupando los términos que tienen y haciendo completación de cuadrados, es

decir sumando a ambos lados de la ecuación el término necesario paraformar, al lado izquierdo, un trinomio al cuadrado perfecto:

Y factorizando el trinomio,


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Sacando raíz cuadrada en ambos lados:

Sacando denominador común:

Extrayendo la raíz del denominador:

Despejando :

, o ,

La naturaleza de las raíces está dada por el radicando, llamado discriminante,así:

Si la ecuación tiene dos raíces reales igualesSi la ecuación tiene dos raíces reales distintasSi la ecuación tiene dos raíces complejas


Identificando = 3 , = -7 ,y, = 2, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas:

• Recuerda que:la fórmulacuadrática soloutiliza loscoeficientes dela ecuacióncuadrática.


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Luego el conjunto solución es: S =


Identificando = 9 , = 30 ,y, = 25, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas iguales:

Tenemos una solución doble: S =


Organizando la ecuación:

Identificando = -2 , = 3 ,y, = -3/2, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas pertenecientes al conjunto numérico delos complejos:


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Así, la solución viene dada por: S =

1.5 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 26. El área de un rectángulo es 138 m2. , si la longitud es 5m. más quetres veces el ancho, halle las dimensiones del rectángulo.

Designamos como el ancho, por lo que el largo será 3 + 5.

Como se tiene el valor del área tenemos:

Aplicando la propiedad distributiva,

Y resolviendo por la fórmula cuadrática se encuentra que 1 = -23/3 y 2 = 6.

Como el ancho de un rectángulo no puede ser negativo, descartamos la primerarespuesta y tomamos el ancho igual a 6, de donde, reemplazando en 3 + 5obtenemos que el largo es de 3(6) + 5 = 23 m.

El Teorema de Pitágoras es uno de los más utilizados y muchas de susaplicaciones incluyen ecuaciones cuadráticas.

3 + 5

• Recuerda que: ElTeorema dePitágoras diceque en untriángulorectángulo elcuadrado de lalongitud de lahipotenusa esigual a la sumade los cuadradosde los catetos.

hipotenusa


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Ejemplo 27. En un parque dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, elpuesto de refrigerio R y el estacionamiento E, como muestra la figura. Lalongitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar a través del pastodirectamente del estacionamiento al patio, los niños pueden acortar la distanciaen 200 m. ¿Cuáles son las longitudes de las aceras?

Designamos = longitud de la acera del punto P al R.700 – = longitud de la acera de R a E

Puesto que la distancia de P a E es 200 m. menor que la longitud total de las dosaceras, se tiene,

700 – 200 = 500 distancia de P a E

Así, obtenemos la siguiente relación por el Teorema de Pitágoras:

Reescribiendo la ecuación y solucionando por factorización:

De donde,o

P

R E-

500


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Al reemplazar por = 400, la longitud de la acera desde el patio hasta el puestode refrigerio R es de 400 m. y la longitud de la acera desde el punto R hasta elestacionamiento es 700 – 400 = 300.

Si hacemos los mismo con = 300 obtenemos los valores invertidos, con lo cualhay dos posibles soluciones al problema (300,400) o (400,300).

Ejemplo 28. Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vinoañejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio.¿Cuántas botellas se compraron?

Si designamos = número de botellas compradas, entonces representa elcosto por botella.

Así, al precio más alto, – 10 es el número de botellas compradas, y

, sería el costo por botella.

Se establece la relación:

(Costo por botella) ( número de botellas) = 800

De donde aplicando la propiedad distributiva, y resolviendo la ecuación

,

obtenemos que el número de botellas de vino compradas es 50.

1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables.

Al igual que con las ecuaciones lineales en dos variables, la solución de este tipo

de ecuaciones es una gráfica, que en este caso se denomina parábola.

Una ecuación cuadrática, es aquella de la forma , con ,donde , y c son constantes.

En general, la gráfica de la parábola depende de las siguientes características dela ecuación:

Gráfica Ecuación


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,

La variable que está al cuadrado es .

Si > 0 , la parábola abre haciaarriba, por ejemplo:

,

La variable que está al cuadrado es .

Si < 0 , la parábola abre haciaabajo, por ejemplo:

,

La variable que está al cuadrado es

.

Si > 0 , la parábola abre hacia laderecha, por ejemplo:


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,

La variable que está al cuadrado es.

Si < 0 , la parábola abre hacia laizquierda, por ejemplo:

Para hallar los puntos pertenecientes a una parábola, que abre hacia arriba ohacia abajo, comenzaremos con el vértice o la punta de la parábola, que se

encuentra en y luego tabularemos dos valores a la izquierda ydos a la derecha de esta coordenada, con el fin de ver la simetría de la curva.

Ejemplo 29. Hallar la solución de la ecuación

Para hallar el vértice: tenemos: = -8 ; = 2

Abscisa del vértice: = = 2

Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en laecuación:

Valor para Valor para Par ordenado

2 (2,3)1 (1,-1)0 (0,5)3 (3,-1)4 (4,5)


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Organizando la ecuación:

Para hallar el vértice: tenemos: = 12 ; = -2

Abscisa del vértice: = = 3

Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en laecuación:

Relacionaremos ahora con ecuaciones cuadráticas en una sola variable, ya quesi resolvemos la ecuación:

Obtendremos los cortes de la parábola con el eje :

Factorizando:

Y aplicando nuestra propiedad:


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,o,

De donde ,o,

Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (6,0)

Valor para Valor para Par ordenado3 (3,18)2 (2,16) 1 (1,10)0 (0,0)4 (4,16)5 (5,10)6 (6,0)


Utilizando la propiedad distributiva:

Para hallar el vértice, debemos tener en cuenta que la variable que está al

cuadrado es y, por lo cual con la fórmula obtendremos no la abscisa sino laordenada del vértice, así:

= -8 ; = 2


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Ordenada del vértice: = = 2

Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en laecuación:

Así, el vértice está en (-8,2)

Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:

, con lo cual el único corte está en (0,0).

Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0:

Factorizando:

Y aplicando nuestra propiedad:

,o,

De donde ,o,

Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (0,4)

Valor para Valor para Par ordenado2 (-8,2) 3 (-6,3) 4 (0,4)1 (-6,1)0 (0,0)-1 (10,-1)


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Ordenando la ecuación:

Obtenemos la ordenada del vértice,

= -5 ; = -1

Ordenada del vértice: = = -5/2

Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en laecuación:

Así, el vértice está en

Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:

, con lo cual el único corte está en (2,0).

Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0:

Resolviendo por la fórmula cuadrática u otro método se obtiene:

Por lo tanto los puntos hallados son: y , o


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y

Valor para Par ordenado

-5/2 (33/4,-5/2)

0 (2,0)

(0, )

(0, )

-1 (6,-1)

-3 (8,-3)

1.7 Sistemas de ecuaciones


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Sistemas de ecuaciones lineales.

Muchos problemas se pueden resolver adecuadamente planteando un sistema

con dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, si una tabla de 12 pies secorta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 pies más de largo quela otra, ¿Cuál será la longitud de cada parte?

Si asignamos = la longitud de la parte mayor= la longitud de la parte menor

entonces:

Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de númerosreales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nosinteresa resolver sistemas del siguiente tipo:

donde , , , , , son constantes reales.

Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, en un plano, sedeben relacionar de una de estas tres maneras:

1) Se intersecan en un solo punto, es decir tienen una única solución,situación ilustrada en el siguiente gráfico:

2) No se intersecan en ningún punto, es decir son paralelas y la solución esvacía, cuya posible representación es:


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3) Todos los puntos son comunes, es decir las rectas coinciden. El sistematiene infinitas soluciones., como se puede observar en la gráfica siguiente:

Aunque la gráfica brinda una información útil, puede resultar difícil obtenersoluciones racionales y/o decimales, por lo cual veremos tres métodos desolución que nos darán las aproximaciones deseadas. Estos implican lasustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente más simple,para ello se aplican las transformaciones apropiadas y se continúa el procesohasta obtener un sistema cuya solución sea obvia.Solución por sustitución.

Ejemplo 1. Para resolver nuestro problema inicial,

Primero despejamos de una de las dos ecuaciones una de las dos incógnitas:

Luego reemplazamos en la ecuación que no hemos utilizado la expresiónencontrada para :


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Al quedar una sola ecuación lineal con una incógnita, podemos resolverdespejando :

Con el valor hallado, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones,convenientemente en:

Por lo tanto el punto de corte y la solución del sistema es el punto (8,4)

Procedemos ahora a elaborar la gráfica de ambas ecuaciones en el mismosistema de coordenadas, ya que el punto que tienen en común debe ser lasolución, ya que satisface ambas ecuaciones:

Solución por igualación.

Ejemplo 2. Resuelva el sistema


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Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones:

= = 1 – 2x

Por la propiedad transitiva, tenemos que la primera expresión debe ser igual a latercera, atendiendo a que el valor de que buscamos debe ser el mismo paralas dos ecuaciones.

Así nos queda una sola ecuación en la que podemos despejar :

=

Sustituyendo para hallar el valor de tenemos:

Por lo tanto la solución es el conjunto unitario: S = (2,-3)


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Solución por eliminación.


Escogemos una variable para ser eliminada mediante suma de ecuaciones.Recordemos que se necesita que los coeficientes sean opuestos para que nos decero la suma. Así, si elegimos , debemos convertir cada uno de los coeficientesde esta variable que intervienen en el mínimo común múltiplo de los dos, en estecaso m.c.m. (3,5) =15, por lo cual debemos multiplicar la ecuación primera por (5)y la segunda por (3) así:

Obteniendo:

Sumando las dos ecuaciones término a término :

de donde

Y reemplazando en cualquiera para hallar :

• Recuerda que: Almultiplicar unaecuación por unnúmero debemos

multiplicar todoslos términos de laecuación.


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Por lo tanto la solución es S = (-2,3)


Por igualación tenemos:

Lo cual constituye una proposición verdadera. Pero como no nos generó valorpara la variable, concluimos que son la misma recta, es decir que el sistema tieneun número infinito de soluciones. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, sedice que el sistema es dependiente.


Por eliminación, multiplicando la primera ecuación por (-2) para convertir elcoeficiente de en el m.c.m. (3,6) = 6.


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Y sumando las ecuaciones.

Por lo cual, al ser una proposición falsa, debe ser falsa nuestra suposición de quehay valores para y para que satisfacen simultáneamente las dosecuaciones. Si verificamos la pendiente de cada recta encontraremos que soniguales (pero las ordenadas al origen son diferentes); por tanto, las rectas sonparalelas y el sistema no tiene solución. Los sistemas de este tipo se llamanincompatibles.

1.8 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar enmonedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, despuésde introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe?

Sean = número de monedas de 25 centavos= número de monedas de 5 centavos

Resolviendo el sistema, obtenemos que = 2 ,y, = 10

Ejemplo 7. Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates yla otra de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a

de pureza: el de 18, a de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramosde cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gr. de oro de 14 quilates?


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Sean = número de gramos utilizados de oro de 12 quilates.= número de gramos utilizados de oro de 18 quilates.

Resolviendo el sistema tenemos que se necesitan x = , y, = gramos deoro de 12 y 18 quilates respectivamente.

Resumen:

Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtenerecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente lasmismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen lasuma (o resta) del mismo polinomio a ambos miembros, así como lamultiplicación o división) de ambos miembros por (entre) la misma constante,excepto por (entre) cero.

Una ecuación lineal en es de primer grado y tiene la formadonde

0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolverla leaplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta obtener una ecuaciónequivalente en la que la incógnita queda aislada en un lado de la ecuación.

Una ecuación cuadrática en es de segundo grado y tiene laforma , donde . Tiene dos raíces reales y diferentes,exactamente una raíz real o no tiene raíces reales. Una ecuación de este tipopuede ser resuelta ya sea factorizando o por medio de la fórmula cuadrática

.

Cuando se resuelve una ecuación fraccionaria o radical, con frecuencia seaplican operaciones que no garantizan que la ecuación resultante sea

equivalente a la original. Estas operaciones incluyen la multiplicación de ambosmiembros por una expresión que contenga a la variable, y elevar ambosmiembros a la misma potencia; todas las soluciones obtenidas al final de dichosprocedimientos deben verificarse en la ecuación dada. De esta manera sepueden encontrar las llamadas soluciones extrañas.

Un problema expresado en palabras se debe plantear transformando losenunciados en una ecuación. Esto es modelación matemática. Es importante queprimero lea el problema más de una vez de modo que entienda con claridad quése le pide encontrar. Después debe seleccionar una letra para representar lacantidad desconocida que quiere determinar. Utilice las relaciones y hechosdados en el problema y forme una ecuación que implique a dicha letra. Por último


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resuelva la ecuación y mire si su solución responde a lo preguntado. Algunasveces la solución de la ecuación no es la respuesta al problema, pero puede serútil para obtenerla. Algunas relaciones básicas que son utilizadas en problemas

de administración son:Costo total = costo variable + costo fijoIngreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas)Utilidad = ingreso total – costo total

GLOSARIO

Ecuación: expresión algebraica que contiene dos miembros uno a cada lado deun signo igual.

Variable: letra del alfabeto, usualmente x o y que representa cualquier valor ouno específico, dependiendo si hace parte de la solución de una ecuación.

Raíz de una ecuación: o solución, es el valor (o valores ) que la variable puedetomar para que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual al derecho.

Conjunto solución: es la expresión en simbología de conjunto de la solución osoluciones de una ecuación.

Ecuación equivalente: es aquella que con base en operaciones algebraicas oentre reales, produce una expresión que tiene las mismas soluciones que la

ecuación original.

Solución extraña: es aquella que, siendo solución de una ecuación, al probarlaes decir al reemplazarla en la ecuación no genera una proposición verdadera.

1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado deahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversionesque produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno paraobtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año?

Rta. 1’600.000 , $800.0002. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6%

3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual deUS$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%.Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa deinterés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11%

4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7%

EJERCICIOSDE REPASODELCAPÍTULO


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de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió untotal de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta.US$ 4.000

5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%.Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentajede 10% sobre el total, ¿cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000

6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos(nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántasmonedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes.

7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular demodo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del terreno sea el doble delancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies

8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de$2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3,¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidadde 50.000? Rta. 181.250

9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que elingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otratiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una?Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000

10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una

ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse elproducto? Rta. $ 4,25

11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando elprecio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidasa fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades

12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p 2,donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingresoserá de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100.

13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un

fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidoresdemandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a lademanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p.Rta. 77

14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después devender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costooriginal; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueronvendidos? Rta. 60

15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidadde A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son


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respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B.¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o125 de A y 100 de B.

16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incrementoen los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerloconservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno.El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm.Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumenV de un disco sólido es de

π r2 h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. 13±

17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinasherramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división deensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el productoterminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división yque cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos:sillas y mesas. Una silla requiere

17

384 horas de maquinado y17

480 horas de

ensamble y terminado. Una mesa requiere17

240 horas de maquinado y17

640 horas

de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada deestos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos susempleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica?

18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas detréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La

alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene.Una porción de amor requiere13

13 onzas de tréboles y

13

22 onzas de mandrágora.

Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere13

55 onzas de

tréboles y13

1010 onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del

remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de sualacena?

19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento.Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% delrequerimiento diario de proteína y 15 % del de carbohidratos. Una unidadestándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del decarbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de losrequerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidadesde cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día?

20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representael precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo,encuentre el punto de equilibrio para:

a) Oferta: 2100

1+= q p ; Demanda: 12

100

7+

−= q p


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b) Oferta: 025023 =+− pq ; Demanda: 05,57365 =−+ pq

c) Oferta: 2)10( += q p ; Demanda: 216388 qq p −−=

d) Oferta: 10+= q p ; Demanda: q p −= 20 21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un

fabricante son10

1000100

+−=q

y ; 40+= q y , respectivamente. En ellas q

representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidadesvendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama.

BIBLIOGRAFIA

Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo . Vol. 1 y 2 .Ed. Mc. Graw- Hill. Bogotá, 1.996.

Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de unavariable . Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.

Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas paraAdministración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida .Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002

WEB- GRAFIA

www. Matematicastyt.cl/calculo-diferencial/

es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/

www.emagister.com/calculo-diferencial

matematicas.uniandesx.edu.co/


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CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS

Objetivos Generales:

1. Realizar la gráfica de una función a partir de sus elementos para describirlay explicar su comportamiento

2. Analizar las propiedades numéricas, geométricas y analíticas de la funciones3. Analizar y explicar distintas representaciones de una función4 .Identificar y analizar diferentes tipos de funciones como: lineal, cuadrática,

racional y polinómica.5. Resolver situaciones a partir de los diferentes tipos de funciones estudiados.6. Solucionar sistemas de ecuaciones (funciones) y aplicarlos a problemas de la

vida cotidiana

Objetivos específicos:

Utilizar distintas herramientas matemáticas (sistemas numéricos,geometría, aproximación) para trazar la gráfica de una función o parahallar elementos relevantes de la misma.

Expresar verbal o simbólicamente características de funciones y deexpresiones matemáticas.

Comprender y resolver problemas referentes a funciones

Subtemas:

2.1 Definición2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares2.3 Funciones especiales

Ejercicios de repaso del capítulo

Palabras Clave:

Operaciones con realesEcuaciónPolinomioPropiedades de exponentesPropiedades de radicales


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Muchas relaciones usuales involucran a dos variables de modo tal que el valor deuna ellas depende del valor de la otra. Así, las ventas de un producto dependende su precio. La distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad.Consideremos la relación entre el área de un círculo y su radio. Puede serexpresada por la ecuación , donde el valor de depende delelegido. Hablamos de como variable dependiente y de como variableindependiente.

2.1 Definición de función

Una relación es un proceso que indica una correspondencia entre un primerconjunto de elementos denominado dominio y un segundo conjunto denominadorango, tal que a cada elemento del primero le corresponde uno o más elementosdel segundo.

Una relación se puede expresar como una regla que puede estar dada por unaecuación o un sistema de ecuaciones.

Dominio y rango

En una relación, al conjunto de todos los valores posibles del primer

componente ( ), se le llama dominio y al conjunto de todos los valores delsegundo componente ( ), que resulta del uso de los valores en el dominio, sele llama rango.

Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio lecorresponde uno y sólo un elemento del rango. Toda función es una relaciónpero existen relaciones que no son funciones.

En el conjunto de pares ordenados: {(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)}El dominio corresponde a los primeros componentes {1 , 2 , 5 , -2}El rango corresponde a los segundos componentes {3 , 6 , 9 , -4}

2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares

Ejemplo 1. Supongamos que la relación entre y , en la que representa lasunidades de servicio producidas y representa el costo total de producción, conunos costos fijos de $ 2, está dada por la siguiente ecuación:

Si damos a un valor de 1, entonces = 3(1) + 2 = 5

• Recuerda que:el costo deproducir un bien

o serviciodepende de loscostos fijos(servicios,gastos depersonal,arrendamientos, etc.), y de loscostos variables(que dependenexclusivamentedel nivel deproducción ounidadesproducidas,como materiaprimas).Además, loscostos totalesson iguales alos fijos más losvariables.


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Si damos a un valor de 4, entonces = 3(4) + 2 = 14

Si damos a un valor de -3, entonces = 3(-3) + 2= -7.

Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentro del ejemplo?

Así, algunos pares ordenados que definen la relación entre y son: (1 , 5),(4, 14) y (-3, -7). Como se puede observar, los pares ordenados son de la forma

En la función , a se le denomina variable independiente, ya que nodepende de ninguna otra, y, a la variable dependiente porque su valordepende del valor elegido para .

Para realizar la gráfica de una función, podemos elaborar una tabla en donde semuestren algunos valores de las respectivas variables. Asignamos valores deldominio a la variable independiente y encontramos el correspondiente valor parala variable dependiente. A continuación ubicamos en el plano cartesiano lasparejas de la forma igual que con las ecuaciones ya vistas, y según eldominio de la función, dichos puntos se podrán unir mediante un trazo continuo.

x 1 4 - 3y 5 14 -7

Ejemplo 2. En la ecuación , el único valor que no puede asignarle aes 2 porque en ese caso el denominador sería igual a cero y recuerde que la

división entre cero no está definida. Teniendo en cuenta esto, el dominio de lafunción será el conjunto de todos los números reales excepto el 2.


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Dominio = { : R ; ≠ 2} o R

Ahora bien como nunca es igual a cero porque para que una fracción sea iguala cero es necesario que el numerador sea igual a cero y en este caso elnumerador siempre es 1, el rango son todos los números reales excepto el 0.

Rango = { : R ; ≠ 0}

La gráfica de esta función corresponde a:

Gráficamente se puede decir que una relación es una función si una recta verticaltrazada en el sistema de coordenadas no interseca a la gráfica en más de unpunto.

Como la recta azul, en nuestra gráfica, corta a la curva en un solo punto, decimosque la relación es función.

Ejemplo 3. En la relación , debido a que sólo es posible extraer laraíz cuadrada de números reales no negativos, tenemos que - 9 debe sermayor o igual a cero así que:

- 9 ≥ 0, transponiendo el 9 tenemos:

x ≥ 9

Por lo tanto,Dominio = { : ≥ 9}

Esta ecuación podría ser escrita como . Elevando al cuadrado amboslados y según lo visto anteriormente, su gráfica es una parábola abierta hacia laderecha, por lo cual a cada valor de le corresponde más de un valor en ,razón por la que no es una función.


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Pero atendiendo a que una raíz cuadrada tiene doble signo, para que pueda sertratada como función, solo tomaremos uno de los dos signos, en este caso elpositivo, es decir la raíz principal.

Rango = { : ≥ 0}

Usualmente una función se define mediante una letra o grupo de letras como f, g,h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si es la variable independiente y es lavariable dependiente, entonces el número que pertenece a se puede designarcomo ƒ( ), g( ), h( ), f( ), G( ), dependiendo de cómo se identifique lafunción.

La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x". En algunos casos se utiliza la notación f: A → Bque significa que A es el dominio de la función y B es el conjunto en donde estáncontenidos los elementos del rango.

Ejemplo 4. Sea la función: = 3 + 5 se puede escribir como ƒ( ) = 3 + 5.

Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer el valor de una función enun punto específico, así si se desea conocer el valor de cuando = -2,tenemos que:

ƒ(-2) = 3 (-2) + 5= - 6 + 5

= - 1

El valor de (-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado (-2, -1).


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Ejemplo 7. Si : R→ R, tal que = ƒ ( ) = 5, obtenemos una recta, ya que esuna ecuación lineal con pendiente cero.

Ejemplo 8. Para = , haremos la tabla de datos y la gráfica.

x -2 1 0 -3 -4y -1 -3/2 3 3/2

Podemos utilizar el símbolo en lugar de las palabras “No existe”.


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Al valor de en donde el denominador se vuelve cero, es decir aquel quesacamos del dominio, se le llama Asíntota vertical y es aquella recta imaginaria,paralela al eje , en donde la gráfica no existe y que divide la curva en dos. Eneste caso, la asíntota es = -2. Como se puede observar, las dos ramas de lahipérbola se acercan a esta recta pero nunca la cruzan.

2.3 Funciones especiales.

Función lineal. Es aquella cuya gráfica es una recta, y con ecuación de la formay=ƒ(x) = m x + b , en donde m representa el grado de inclinación o pendiente de larecta y b representa el punto de corte con el eje vertical, conceptos ya estudiadosen las ecuaciones lineales en dos variables.

Ejemplo 9. Si ƒ(x) = = 3x - 4;

g(x) = = -2x - 4;

h(x) = = 2/3 x - 4;

p(x) = = -3/5 x – 4

Se espera que todas corten al eje en el valor - 4.

• Señale sobre la figura la ecuación que corresponde a cada recta.

• Recuerda que:para hallar lapendiente de unarecta teniendodos puntosutilizamos lafórmula

,para los puntos

y(


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• Escriba la ecuación de tres rectas que corten al eje en el valor 3 y hagalas gráficas en un mismo plano, para observar que el punto deintersección es efectivamente (0,3).

Ejemplo 10. Las rectas ƒ(x) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1; h(x) = y =3 x + 2; p(x) = y =3 x + 4 ; son todas paralelas y tienen la pendiente positiva 3.

Funciones Lineales de Costo.

A las empresas industriales y comerciales del Estado les interesan los costosporque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse alpago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, calefacción, servicios


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públicos y otros gastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores,economistas y administradores públicos definen el costo total en términos de doscomponentes: costo total variable y costo total fijo. Ambos componentes deben

sumarse para determinar el costo total.

Ejemplo 11. Si para un puesto de salud local se pretende comprar unaambulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmente equipado es deUS$18.000 y el costo promedio de operación es de US$0.40 dólares. La funciónde costo de compra y operación del carro de ambulancia es un ejemplo defunción lineal de costo. La función de costo: p = C(q) = 0.40q + 18.000 tienecostos variables que cambian con el número de millas recorridas (q) y costos fijosde US$18.000.

Los costos totales variables cambian con el nivel de producción y se calculancomo el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. En unambiente de producción, el costo variable por unidad suele estar constituido porlos costos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo de la ambulancia, elcosto variable por milla se compone de los costos de operación por milla, comogasolina, aceite, gastos de mantenimiento y depreciación.

Ejemplo 12. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar lafunción que expresa el costo total anual C(q) en función de la cantidad deunidades producidas q . En contabilidad indican que los gastos fijos cada año sonde 50.000 dólares. También han estimado que las materias primas por cadaunidad producida ascienden a $5,50 y que los gastos de mano de obra son de$1,50 en el departamento de montaje, $0,75 en el cuarto de acabado y $1,25 enel departamento de empaque y embarque.

Costo Total Costo total variable Costo total fijo

C(q )= De materiasprimas (5,50)

De mano de obra

- Dpto. de montaje (5,50)-Sala de acabado (0,75)

Costo total fijo(50.000)


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-Dpto. de embarque (1,25) C(q) = 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000

C(q) = 9 q + 50.000

En la ecuación anterior, el 9 representa el costo variable combinado (US$9.00)por unidad producida.

Si graficamos en un plano cartesiano, tomando a q como y a C(q) comotenemos:

Depreciación Lineal.

Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios y otros tipos de"bienes de capital", en contabilidad se le asigna el costo del bien a lo largo delperiodo de uso. En el caso de un camión que cueste US$10.000 dólares y quetenga una vida útil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo de

poseer el camión. El costo asignado a un periodo determinado de tiempo sellama depreciación. Por ejemplo, el valor del camión aparecerá en los estadoscontables como US$10.000 en el momento de su compra,

US$10.000 - US$2.000 = US$8.000,

un año después de su adquisición y así sucesivamente.

La depreciación puede considerarse así mismo como el monto que ha disminuidoel valor en libros de un activo.


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Ejemplo 13. Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciación es elde la línea recta, en el cual es constante la tasa de depreciación y corresponde ala pendiente de dicha recta. Si V es el valor en libros de un activo y t indica el

tiempo medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado,

V = f(t) = costo de compra – depreciaciónV = 10.000 - 2.000 t .

Depreciación lineal con valor de salvamento.

Muchos activos tienen un valor de reventa o de salvamento, aún después de

haber cumplido con el propósito para el cual fueron adquiridos inicialmente. Entales casos el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre elcosto de compra y el de reventa. El costo asignado en cada periodo es el que seobtiene al dividirlo entre la vida útil.

Ejemplo 14. Suponga que el camión del caso anterior tiene una vida útil de 5años y que transcurrido ese lapso, puede venderse en US$1.000. El costo totalque puede asignarse a lo largo de la vida del bien es de US$10.000 - US$1.000 =US$9.000. Si el camión debe depreciarse con este método, la depreciación anualserá de


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La función que expresa el valor en libros V en función del tiempo es

V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t

Oferta y Demanda Lineal.

En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda son aproximadamentelineales en un intervalo particular, otras son no lineales. Aún en estos últimoscasos, las ecuaciones lineales proporcionan representaciones razonablementeprecisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado.

Para el análisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfica que apareceen el primer cuadrante, porque la oferta, precio y cantidad son, en general cero opositivas.

Por tal razón, se ha dejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes.

Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado,sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio

satisfactorio. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores paraque se lleven los bienes del mercado. Una capacidad de demanda negativa,implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercadohasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio.

La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pendiente negativa, esdecir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada decrece yviceversa.

En algunos casos la pendiente de una curva de demanda puede ser cero ( precioconstante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede noestar definida (demanda constante sin importar el precio).


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En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir,que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al disminuir el

precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero loque indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos lapendiente de la curva de oferta puede no estar definida (oferta constante eindependiente del precio).

Ejemplo 15. Demanda con pendiente negativa. En una empresa de telefoníaTPBC (Telefonía Pública Básica Conmutada) se determinó que cuando el preciodel impulso (impulso: tres minutos o fracción de comunicación efectiva continua)era de $80, el consumo promedio diario por suscriptor era de 10 impulsos y seconsumían 20 cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecuación de demanda?

p−

80 −

2q

20

o, en términos de y , siendo = q y = p :

Ejemplo 16. Demanda con pendiente cero. Por ser la leche un artículo de primeranecesidad y cuyo consumo produce un impacto en la calidad de vida de losgrupos de población con menores recursos, el alcalde ordena a los productores


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que el precio de la leche durante un año será de $1.200 el litro, sin importar lacantidad demandada. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

Ejemplo 17. Demanda con pendiente no definida. Por considerarse necesariospara la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores, sinimportar el precio. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

q = 50

Ejemplo 18. Oferta dependiente del precio. Cuando el precio es US$ 50, haydisponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio esUS$ 75 hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

=

p = 1200


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Ejemplo 19. Oferta lineal constante. De acuerdo con el contrato entre lacompañía A y la de teléfonos, la compañía A pagará US$ 500 al mes por lasllamadas de larga distancia sin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de laoferta?

y = 500

Equilibrio del Mercado.

Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio) en el que lacantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. Así pues, sise usan las mismas unidades para precio p y la cantidad, en ambas ecuaciones(de oferta y demanda), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibriocorresponden a las coordenadas del punto de intersección de tales curvas.

Algebraicamente la cantidad y el precio se hallan resolviendo simultáneamentelas ecuaciones de oferta y demanda.

Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben ser positivos o cero, esdecir que las curvas de oferta y demanda se han de intersecar en el primer


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cuadrante. En otros casos el punto de equilibrio no tiene sentido para fineseconómicos.

Ejemplo 20. Equilibrio del mercado – modelo lineal. Hallar el punto de equilibriopara las siguientes ecuaciones de oferta y demanda:

Oferta ; Demanda .

Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por igualación:


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Donde, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que le puntode equilibrio está en:

S =

Función cuadrática. Es aquella cuya gráfica es una parábola, y con ecuación dela forma y=ƒ(x) = a x 2 + b x + c , en donde a, b, c son constantes reales,conceptos ya estudiados en las ecuaciones del mismo nombre.

Función Cuadrática de Ingreso.

La función del ingreso en economía nos muestra el comportamiento de lascantidades recibidas por vender en el mercado un producto, las cuales dependende la cantidad demandada en el mercado. Esta función es fácilmente modelablecon una función cuadrática. A menudo la demanda del producto de una empresapuede describirse en función del precio que se le fija.

Ejemplo 21. Ingreso por ventas. Supóngase que la empresa ha descubierto quela cantidad de demanda de uno de sus productos depende del precio. La función


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que describe esta relación es:

f ( p ) = q = 1.500 − 50 p

donde q es la cantidad demandada en miles de unidades y p indica el precio endólares.

El ingreso total logrado con la venta de q unidades se formula como elproducto de p y q , es decir, = p q. Puesto que q se expresa en función de p , el

ingreso total se formulará en función del precio, así:

Y(q ) = : estamos diciendo que es una función que depende de q . Así,reemplazando q = 1.500 − 50.p , tenemos:

= p .q = p (1.500 − 50.p )

q = 1.500 p − 50 p2

Ésta ecuación corresponde a una función cuadrática. La función del ingreso totalestá representada en la gráfica anterior. Observe que el dominio restringido de lafunción consta de los valores no negativos de p .

• ¿tiene esto sentido?

El ingreso total esperado al cobrar determinado precio se calculará sustituyendoel valor de p en la función del ingreso total. Por ejemplo, el ingreso totalcorrespondiente al precio de $10 es: Y (10) = 1.500(10) − 50(10)2 = 15.000 −5.000 = 10.000

• Dadas las intersecciones con el eje en la gráfica, ¿qué valor de pproduce el valor máximo de ? ¿Cuál es el máximo ingreso totalesperado? ¿Qué cantidad se demanda a ese precio? ¿Qué sucederá si


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p > 30?

Curvas de Oferta y Demanda.

Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante, de distintos tipos deparábolas, frecuentemente son adecuadas para representar funciones de oferta ydemanda. La porción del primer cuadrante de una hipérbola equilátera confrecuencia se usa para representar una función de demanda. Estas ecuacionesse obtienen a partir de graficar observaciones recolectadas por medio deencuestas o de resultados de operaciones efectivas. Si se verifica que elcomportamiento de la función se asemeja a una parábola, entonces se crea unsistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se genera la respectivaecuación. Este procedimiento se estudiará en el próximo curso de matemática.Por ahora concentrémonos en las ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas.

Ejemplo 22. Función cuadrática de oferta. La función que determina la oferta deun producto es: q = 0,5 p 2 − 200 y pretendemos determinar la cantidad ofrecidacuando el precio del mercado para el artículo es de $50.

q = 0,5p 2 − 200= 0,5(2.500) − 200=1050 unidades en miles.

•

¿Cuál es el dominio restringido de la función de oferta? En la gráfica,interprete el significado de las intersecciones con los ejes, recuerde quelos valores para la variable p están en el eje y los de la variable q aparecen en el eje .

Ejemplo 23. Función cuadrática de la demanda. En relación con el ejemploanterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin dedeterminar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadorespreguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios ycon sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a variosprecios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a laconclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma


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óptima por una función cuadrática.

También encontraron que la representación cuadrática, sólo era válida entre los

precios $5 y $45. Al sustituir los puntos graficados en la ecuación general de lafunción y resolver simultáneamente se obtiene la función de demanda:

q = p 2 − 100 p + 2500 donde p es el precio de venta en dólares y q denota lademanda expresada en miles de unidades.

La cantidad demandada a cualquier precio se calculará al sustituir el precio en lafunción de demanda. Por ejemplo, a un precio de $30, la cantidad demandadaserá:q (30) = (30)2 − 100(30) + 2500 = 900 − 3.000 + 2.500 = 400 unidades (en miles).

Equilibrio de Mercado.

El precio y la cantidad de equilibrio en el mercado se pueden hallargeométricamente como las coordenadas del punto de intersección de las curvasde oferta y demanda en cualquier forma adecuada, por lo que se puededeterminar una solución aproximada geométricamente.

Por otra parte, en unos casos sólo se requiere la solución de ecuaciones desegundo grado. Esto sucede por ejemplo, si una de las ecuaciones es lineal y laotra es parabólica o hiperbólica, o bien si ambas ecuaciones son cuadráticasrespecto a la misma variable.

Ejemplo 24. Equilibrio entre oferta y demanda. El equilibrio del mercado puedeestimarse para las funciones de oferta y demanda de los ejemplos anteriores, consólo determinar el precio de mercado que iguale la cantidad ofrecida y la cantidaddemandada. Esta condición se expresa con la ecuación:

0.5 2 − 200 = 2 − 100 + 2500


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ecuación que puede arreglarse de modo que:

0.5 2 − 100 + 2700 = 0

Ahora emplearemos la fórmula cuadrática para determinar las raíces de laecuación:

Los dos valores que satisfacen la ecuación cuadrática obtenida son 1= $32.18 y2 = $167.82. La segunda raíz se encuentra fuera del dominio relevante (dominio

restringido) de la función de demanda y por lo tanto, carece de significado.

Al sustituir = 32.18 en las funciones de oferta y demanda, se produce lacantidad de equilibrio del mercado.

q = 0.5 2 − 200 = 0.5 (32.18)2 − 200 = 317.77

En conclusión, se alcanza el equilibrio del mercado cuando el precio del mercadoes igual a $32.18 y la cantidad ofrecida y demandada es aprox. de 317.77

unidades.Revisemos esto en la gráfica.

Ejemplo 25. Demanda lineal y oferta no lineal. Hallar el precio y la cantidad deequilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes, donde prepresenta el precio y q la cantidad.


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2q + p − 10 = 0 ; p 2 − 8q − 4 = 0

Resolviendo el sistema por sustitución,

q = (− p + 10) / 2, de la primera ecuación y 8q = p 2 − 4 de la segunda.

Así, 8 (− p + 10) / 2 = p 2 – 4,

-4 p + 40 = p 2 – 4,

p 2 + 4 p − 44 = 0

Al resolver esta ecuación tenemos dos valores para p : p 1 = 4.9 y p 2 = 8.9 , yreemplazar en la ecuación adecuada, obtenemos que las solucionesaproximadas son (2.5, 4.9) y (9.5,-8.9) y el punto de equilibrio es (2.5, 4.9),aproximadamente, teniendo en cuenta que el otro punto de la solución carece desentido en términos económicos.

Ejemplo 26. Demanda hiperbólica y oferta lineal. Hallar la cantidad y el precio deequilibrio del mercado para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes (endonde q representa la cantidad y p el precio)

(q − 12)(p + 6)= 169

q − p + 6 = 0

Sustituyendo, p = q + 6 , en la primera ecuación

(q − 12)((q + 6)+ 6)= 169

entonces, (q − 12)(q + 12)= 169 ,de donde, q = ±17.69 aprox.


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Entonces deducimos que p = 23.69 en un caso y p = -11.69 en el otro.

La solución es entonces (17.69, 23.69).

Ejemplo 27. Curva de transformación parabólica. Una empresa de economíamixta de acerías, produce cantidades y de dos clases diferentes de acero

utilizando el mismo proceso de producción. La curva de transformación deproducto para la materia prima utilizada está dada por .

(a)¿Cuáles son las mayores cantidades de y que se pueden producir? (b)¿Qué cantidades y se deben producir para que la producción de sea 4veces la de ?

(a) es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayor cantidad dees 20. Ahora, es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayorcantidad es

luego = 2.9 aprox.; = - 6.9 aprox. son los valores que solucionan laecuación. Concluimos que la mayor cantidad de es 2.9.

(b) Sustituyendo en


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Como no puede haber cantidades de producto negativo, entonces tenemos queel valor válido para es 2. Luego las cantidades producidas son = 8, = 2.

Resumen:

Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada número deentrada x exactamente un número de salida f (x). Por lo común, una función estáespecificada por una ecuación que indica lo que debe hacerse a una entrada xpara obtener f(x). Para conseguir un valor particular de la función, f(a),reemplazamos cada en la ecuación por a.

El dominio de una función lo constituyen todos los números de entrada, y el rangotodos los números de salida. A menos que se diga lo contrario, el dominio de fconsiste en todos los números reales x para los cuales f (x) también es un real.

Algunos tipos especiales de funciones son: funciones constantes,

modulo matematica i -esap

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