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Módulo I: Estratégias de Controle
l ó óRegulatório e Diagnóstico de Desempenho de de Desempenho de
MalhasMalhasParte I – Conceitos Básicos de Malhas SISO
Jorge Otávio TrierweilerJorge Otávio [email protected]
Departamento de Engenharia QuímicaDepartamento de Engenharia QuímicaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Parte I Parte I Conceitos Básicos de Malhas SISO Conceitos Básicos de Malhas SISO Parte I Parte I –– Conceitos Básicos de Malhas SISO Conceitos Básicos de Malhas SISO Datas: 03 e 04 de Agosto de 2009a) Conceitos básicos de controle de processos – camadas básicas de
controle e divisão hierárquica de controleb) Linearização, Funções de Transferências, Matriz de Transferência
e Representação no Espaço de Estadop ç p çc) Ganho, pólo e zerosd) Malhas de controle retroalimentadas, antecipativas e cascatas) , pe) Estabilidade de malhas de controle (critérios de nyquist e bode)f) Controladores P PI e PIDf) Controladores P, PI e PIDg) Ajuste de malhas de controle h) Fatores que limitam o desempenho de malhas de controleh) Fatores que limitam o desempenho de malhas de controlei) Malhas de inventário – colunas de destilação
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Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Parte II: Sistemas Parte II: Sistemas MultivariáveisMultivariáveisParte II: Sistemas Parte II: Sistemas MultivariáveisMultivariáveisDatas: 24 e 25 de Agosto de 2009a) Generalização de conceitos para sistemas multivariáveis: Ganho,
zeros e pólosb) Interação e Direcionalidadec) Generalização de conceitos de robustez e desempenho para ) ç p p
sistemas multivariáveisd) Determinando o desempenho alcançável de malhas de controle ) p ç
através dos índices RPN e rRPNe) Determinação do grau de não linearidade de sistemase) Determinação do grau de não linearidade de sistemas
multivariáveis através do nRPN, nRPNSTAT e nRPNDYN
f) Ajuste de controladores multivariáveis estruturados de baixaf) Ajuste de controladores multivariáveis estruturados de baixa ordem
g) Camada supervisória – aplicado a colunas de destilação
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g) Camada supervisória aplicado a colunas de destilação
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Parte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasDatas: 14 e 15 de Setembro de 2009a) Conceitos básicos de tratamento de sinais aplicados à auditoria
de malhas de controleb) Revisão das técnicas de auditoria de malhas de controlec) Índices disponíveis para se determinar o desempenho de forma ) p p p
não intrusivad) Técnicas para quantificar o agarramento de malhas de válvulas ) p q g
de controlee) Diagnóstico de desempenho e robusteze) Diagnóstico de desempenho e robustezf) Auditoria e Diagnóstico de oscilações em processos industriais.
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Afinal para que serve controle de processos ?
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial
Esquema de Reação:A(g) + C(g) + D(g) → G(liq)A(g) + C(g) + D(g) → G(liq)A(g) + C(g) + E(g) → H(liq)A(g) + E(g) → F(liq)
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3D(g) → 2F(liq)
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord. Importância do Controle de - Segurança e proteção
Q lid d d d t
Controle de Processos
- Qualidade dos produtos
- Operação suaveOperação suave
- Monitoração dos processosç p
Melhoria dos processos
C t lFlexibilidade nos projetos
Controle Limites operacionais
Aumento da produtividade
Lucro7
28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO
Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
Lucro
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Especificação
1ª regiãoV i bilid d
2ª regiãoV i bilid d
3ª regiãoP ó iVariabilidade
originalVariabilidade reduzida
Próximaà especificação
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MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Ó i PressãoÓtimo econômico
Composição Vazões
‘
Temperatura
DP Coluna
Freq. bombas
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DP Coluna
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MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Ó PressãoÓtimo econômico
Composição Vazões
Temperatura
DP Coluna
Freq. bombas
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DP Coluna
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação
Ó PressãoÓtimo econômico
Composição Vazões
Temperatura
DP Coluna
Freq. bombas
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DP Coluna
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Camadas de ControleCamadas de ControleCamadas de ControleCamadas de Controle
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Tipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos Utilizados
Linearidade Natureza Base IOs Camadas Li Nã E t Di â F S i E SISO MIMOCamadas Linear Não
Linear Esta-
cionária Dinâ- mica
Fen.. Semi Emp. SISO MIMO
Regulatória X X X X Supervisória X X X X RTO X X X X X Programação de X X X X X XProgramação de produção
X X X X X X
Planejamento de produção
X X X X produção
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Classificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de Processo
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Controle Avançado de Processos Controle Avançado de Processos –– CAPCAP
Essência: Trata-se de uma definição que varia com o
Controle Avançado de Processos Controle Avançado de Processos –– CAPCAP
Essência: Trata se de uma definição que varia com o tempo e tem que se adaptar aos desenvolvimentos tecnológicos da área de controle de processos.g p
Atualmente: Se considera que CAP são um conjunto de técnicas que vão além de malhas PID malhas de técnicas que vão além de malhas PID, malhas cascatas ou malhas antecipativas.*
Normalmente: São projetos de controle associados com elevados custos devido não fazerem parte de psistemas de controle comumente utilizados requerendo uma adaptação e customização para cada aplicação.
* Marlin T E Barton G W Brisk M L and Perkins J D (1987) Advanced Process Control: Project
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* Marlin, T.E., Barton, G.W., Brisk, M.L. and Perkins, J.D. (1987). Advanced Process Control: Project Report and Technical Papers. Sydney: Warren Centre for Advanced Engineering.
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Os cinco pilares do CAPOs cinco pilares do CAP
Estrutura & Estratégia de Controle
Os cinco pilares do CAPOs cinco pilares do CAP
Estrutura & Estratégia de Controle
Analisadores Virtuais (AV)Analisadores Virtuais (AV)
Identificação & Geração de ModelosIdentificação & Geração de Modelos
Algoritmos de Controle (tipos de g ( pcontroladores: PID, MPC, Robusto etc)
Técnicas de Auditoria de Desempenho & Diagnóstico de FalhasDiagnóstico de Falhas (Gerenciamento de Ativos)
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Camadas de Controle AvançadoCamadas de Controle Avançado
Gestão do Negócio
Camadas de Controle AvançadoCamadas de Controle Avançado
Gestão do Negócio(ERP)
Planej. & Cont. da Produção(PCP)( )
Controle Avançado do Processo(Otimizadores)
(MPCs)
Controle Regulatório do Processo(CLP, PID, Inst. Campo)
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
GerenciamentoGerenciamento de de AtivosAtivos
Gestão do Negócio
GerenciamentoGerenciamento de de AtivosAtivos
Gestão do Negócio(ERP)
ivos
Planej. & Cont. da Produção(PCP)de
Ati
ento
d
Controle Avançado do Processo(Otimizadores)ia
me
(MPCs)
eren
c
Controle Regulatório do Processo(CLP, PID, Inst. Campo)G
e
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
PrincipaisPrincipais FerramentasFerramentas de CAPde CAPGerenciamento de Ativos Atuação no Processo
PrincipaisPrincipais FerramentasFerramentas de CAPde CAP
Otimizador (RTO)
MPC NMPC e OutrosMPC, NMPC e Outros
Inferências e Analisadores
Processo(SDCD, SCADA, historiadores)
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Custo e benefícios do controleCusto e benefícios do controleCusto e benefícios do controleCusto e benefícios do controle
Item Custo BenefícioSDCD Básico 50% 15%
SDCD Avançado 2% 10%SDCD Avançado 2% 10%APC 12% 40%RTO 36% 35%RTO 36% 35%
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Benefício Potencial Benefício Potencial –– Refino do Petróleo Refino do Petróleo Benefício Potencial Benefício Potencial –– Refino do Petróleo Refino do Petróleo
B il 2 MBPD• Brasil processa 2 MBPD
• MPC pode trazer um ganho potencial de:• MPC pode trazer um ganho potencial de:
▫ US$ 0,05 / BP na destilação (2MBPD)
▫ US$ 0,10 / BP no FCC (0,66 MBPD)
▫ US$ 170 mil por dia!
US$ 60 ilhõ !!!▫ US$ 60 milhões por ano!!!
• Por isso são populares na indústria do Petróleo &• Por isso são populares na indústria do Petróleo & Petroquímica!
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MPC MPC –– RealidadeRealidadeMPC MPC –– RealidadeRealidadeRealidade – status quo Problemas no Controle
i. Muitos MPCs não saíram do papel!ii. Muitos MPCs desligados após menos
Regulatório!i. Malhas que operam abertas/saturadas
de 1 ano de operação!iii. Muitos MPCs operando parcialmente!
ii. Válvulas com agarramentoiii. Problemas com estratégias de controle
Problemas com os analisadores e inferências!
iv. Problemas de sintonia e instrumentação
Problemas com os modelos!analisadores e inferências!i. Acompanhamento e
manutenção
Problemas com os modelos!i. Processo em nova condição
operacionalmanutenção
Falta de Treinamento dos usuários
operacionalii. Modelos defasados – nova
identificaçãousuáriosi. Acompanhamento e
manutenção
iii. Processos não‐lineares
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ç
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Aproximando por hiperplanos tangentes hipercurvas no hhiperespaço...
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
O que é linearidade?O que é linearidade?O que é linearidade?O que é linearidade?
• Matematicamente uma função ou operador F(x) é dito linear se for válido:dito linear se for válido:
F(a.x+b.y) = a.F(x) + b.F(y)
• Em resumo, a única função linear é uma reta, l f ã “ ” é ã li dqualquer função “curva” é não‐linear, mas pode ser
aproximada por uma reta dentro de um intervalo de validade.
E t di t é h d d li i ã• Este procedimento é chamado de linearização.
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Vamos exemplificarVamos exemplificarVamos exemplificarVamos exemplificarFIN dh hCDF
dtdhA IN −= 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=CDFh SS
SS
SSSSIN hCDF −= ,0 ⎠⎝ CD
80
100 hSS
FOUT = CD. sqrt(h) 40
60
OUT q ( )
0
20FSS
CD => coeficiente de descargah => nível do tanque A=> área da seção transversal
0 5 100
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
100hSS
ss Fdhh Δ=Δ80
ssFhss
ss FdF
h Δ=Δ0,0
60ΔhSS = hss –h0
40 ssss dhhm =Δ
=40
ΔF
0,0 Fhssss dFFΔh0
20F
ΔFSS
0 5 100
FSSF0
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0 5 10
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Linearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialFIN
hCDFdhA hCDFdtdhA IN −=
{ }1IN hCDF
Adtdh
−= { }44 344 21
),( INFhf
INAdt
( ) ( )FhfFhfhd ∂∂Δ ( ) ( ) hhFhfF
FFhf
dthd
ININ Fh
ININ
FhIN
IN Δ∂
∂+Δ
∂∂
=Δ
0000 ,,
,,
FOUT = CD sqrt(h)
N 00
hCDFhdIN Δ−Δ=
Δ .1FOUT CD. sqrt(h) h
hAF
Adt IN ΔΔ02
.
2 CDhdΔ 21( ) hthh =Δ 20
0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=CDFh h
AFCDF
Adthd
ININ Δ−Δ=
Δ
0,
2
2.1( )
( ) 0,
0
INININ FtFFhthh
−=Δ−=Δ
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization⎧ FFFFFFdV 0
( ) ( )⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
+−+−=
+=⇒=−+=
QTTFTTFdTV
FFFFFFdt
2211
2121 0
( ) ( )⎪⎪⎩ cdt ρ2211
⎧
⎪⎪⎪⎧
=⇒≈+= VKFHseHhRF 0,
⎪⎪⎧ −+= FFF
dtdV
21⎪⎪
⎪⎪
⎨ −+= VKFFdtdV
21
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
+−+=c
QFTTFTFdtVTd
dt
ρ2211 ( ) ( )⎪⎪⎪⎪
⎩+−+−=
cQTTFTTF
dtdTV
ρ2211
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28
⎩ ρ⎩ cdt ρ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization
⎪⎪⎧ −+=
44 344 21VKFF
dtdV
21 [ ]TTVx ,,=
( )( )
( ) ( )⎪⎪
⎪⎪⎨
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+−=⇔=
2uxf
cQTTFTTF
VdtdT
dtuxf
dtdx
2211
,1
1,
ρ
[ ][ ]Td
Tm
TTu
QFFu
21
21 ,,,
=
=
0 i d t d t t i t
( )⎪⎪⎩
⎭⎩ 444444 3444444 21uxf
cVdt,2
ρ [ ]d TTu 21,=
( ) ( ) ( ) ( ),, 0000 ufuu
xfxxuxfuxf +−+−+=
∂∂
∂∂
=0, since x0 and u0 are steady state point
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,000
1100
2
00
,
n
uxux
uxfuuxxuxfuuxx
ux
⎪⎬⎫⎪
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ −+−++⎪
⎬⎫⎪
⎨⎧
⎥⎤
⎢⎡ −+−+
∂∂∂∂
∂∂
ffxddx ⎤⎡⎤⎡Δ ∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,00,0
,!
...,!2 0000
uxux
uxfu
uux
xxn
uxfu
uux
xx⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣
+++⎪⎭⎬
⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣
++∂∂∂∂
ddddΔ ( ) uufx
xf
dtxduxf
dtdx
BAuxux
Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
Δ→=
4342143421 0,000 ,,
∂∂
∂∂
{ dtdx
dtdx
dtdx
dtxd
=−=Δ
=0
0
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BA
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization
⎧ dV
( )( )⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎫⎧
−+=
⇔
44 344 21uxf
VKFFdtdV
fdx ,21
1
( )( ) ( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎨
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+−=⇔=
444444 3444444 21c
QTTFTTFVdt
dTuxfdt 2211
1,
ρ
⎤⎡ K
( )⎪⎩ uxf ,2
( ) ⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⎫⎧ +
−
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎤⎡011
02
TTFVK
Tf
Vf
f ∂∂
∂∂
∂ ( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
+−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
002020
01010
22
,, 0000
0,0
FFcQTTF
TTF
Tf
Vf
TVxf uxux
uxρ∂
∂∂∂
∂∂∂∂
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣
+−
⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣0
20102
0
, 0,000
VFF
VcTV uxux ρ∂∂
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization
⎧ 0
( )( )
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎫⎧
−+=
⇔=
44 344 21001 ,
21
1
0
0uxf
Q
VKFF
uxfSteady State solution:( ) ( ) ( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎨
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+−=⇔=
444444 3444444 21002
221100 10
,0
uxf
cQTTFTTF
Vuxf
ρ
2
( )⎪⎩ 002 ,uxf
,0
0
0
0
00
02
20100 ==⇔=∴⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=Δ
FV
VF
VK
VFK
KFFV τ
( ) ( ) 00
020201010
++∴⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
QTTFTTFc
QTFTFT
ρ ( ) ( ) 000202001010
20100 =+−+−∴
+⎠⎝=
cQTTFTTF
FFT
ρ
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization
⎤⎡
( ) ⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⎫⎧
−
⎥⎤
⎢⎡
⎤⎡011
02
TTFVK
Tf
Vf
∂∂
∂∂
( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
+−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢⎢
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
002020
01010
22
,, 0000
0,0
FFQTTF
TTF
Tf
Vf
TVxf uxux
ux∂∂
∂∂
∂∂∂∂
( )⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣
+−
⎪⎭⎪⎩⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
0
20102
0
02020, 0,000
VFF
VcTV uxux ρ∂∂
⎤⎡
0=
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡−
=⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡ −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ∂∂
1
0210
2 0
0
FVF
f
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣−
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
−⎥⎦⎢⎣
τ∂ 100
0
00,0
VFx ux
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearization⎪⎧ −+= VKFF
dtdV
21 [ ]TTVx ,,=( )
( ) ( )⎪
⎪⎪⎪
⎨⎬⎫
⎨⎧
+−+−=
44 344 21uxf
QTTFTTFdT
dt
2211
,1
1
[ ][ ][ ]T
Tm
TT
QFFu 21 ,,,=( ) ( )
( )⎪⎪⎪
⎩⎭⎬
⎩⎨
444444 3444444 21uxf
cVdt,
2211
2
ρ [ ]Td TTu 21,=
( ) ( ) ⎥⎤
⎢⎡⎥
⎥⎤
⎢⎢⎡
⎤⎡1
2
1
1
1
1011
TTTTQf
Ff
Ff
f uxuxux ∂∂
∂∂
∂∂
∂ ( ) ( )⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣
−−=
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
020
0
0102
2
2
1
2
,,2,1 1000000
0,0 cVVTT
VTT
Qf
Ff
Ff
Q
uf uxuxux
uxm ρ∂∂
∂∂
∂∂∂
∂
⎥⎦
⎢⎣ ,2,1 000,000
Q uxuxux
⎥⎤
⎢⎡⎥
⎥⎤
⎢⎢⎡
⎤⎡ 2
1
1
100
FFTf
Tf
f uxux ∂∂
∂∂
∂⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣=
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
20
0
10
2
2
1
2
,2,10000
0,0 VF
VF
Tf
Tfu
f uxux
uxd
∂∂
∂∂∂
∂
3328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
⎥⎦
⎢⎣ 2,1
0,000TT uxux ∂∂
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
LinearizationLinearizationLinearizationLinearizationFinally
7876
7 dm u
u
Fx Δ
Δ
⎤⎡ΔΔ⎤⎡ 1
Finally,
( ) ( )876876
TT
VF
VF
QFF
cVVTT
VTT
TV
TV
dtd
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
2
120102
1
020010
001011
10
02
1
ρτ
43421444444 3444444 2143421
du BVVQ
BcVVV
A
⎦⎣⎥⎦
⎢⎣⎥⎦⎢⎣ Δ
⎥⎦
⎢⎣⎦⎣⎥
⎦⎢⎣
⎦⎣ 2000000 ρτ
equivalently
⎪⎪⎨
⎧ Δ+Δ+Δ−
=Δ
2121 FFV
dtVd
τ( ) ( )
⎪⎪⎩
⎨Δ+Δ+Δ+Δ
−+Δ
−+Δ
−=
Δ2
0
201
0
10
02
0
0201
0
010 11 TVFT
VFQ
cVF
VTTF
VTTT
dtTd
ρτ
3428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler PPGEQ - Eng. Química / UFRGS - EQP 027 Controle Avançado de Processos - 3
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Representação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de Estados
⎪⎧ = VKF ( ) gg
Δ⎥⎤
⎢⎡+Δ⎥
⎤⎢⎡Δ
∂∂( ) ( )
( ){⎪
⎩
⎪⎨
=∴=
uxg
uxgTT
uxgy ,1,321 ( ) u
ugx
xgyuxgy
DCuxux
Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=Δ→=
4342143421 0,000 ,,
∂∂
876 dm u
ux Δ
ΔΔ
( )⎩ uxg ,2 DC
876876 d
TT
FF
x
TV
TF
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡ΔΔ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
2
12
1
0000
000000
10
021τ
3214342143421du
TD
QD
T
C
T ⎦⎣Δ⎦⎣⎥⎦⎢⎣ Δ⎦⎣⎦⎣Δ⎥⎦⎢⎣⎦⎣Δ 20000010State Space Representation
⎪⎪⎨
⎧
Δ+Δ+ΔΔ
Δ+Δ+Δ=Δ
DDC
uBuBxAdt
xdddmu
x -> state variablesu -> inputs
(um-> manipulated variables, ud->disturbances)
( )⎪⎪⎩
⎨
=ΔΔ+Δ+Δ=Δ
00xuDuDxCy ddmu
( m p , d )
y -> outputs
3528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Transfer FunctionTransfer FunctionTransfer FunctionTransfer Function( ) ( ) TFTFQFTTFTTTTdL 2010020010 11
⎬⎫
⎨⎧
Δ+Δ+Δ+Δ−
+Δ−
=Δ+Δ
( ) ( )sTsTs
TV
TV
QcV
FV
FV
Tdt
L 20
100
20
10
1=Δ+Δ
⎭⎬
⎩⎨ Δ+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ+
ρτ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sTFsTFsQsFTTsFTT
sTsTs
220
110
2020
1010 1
Δ+Δ+Δ+Δ−
+Δ−
=Δ+Δτ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )VV
QcVVV 2
01
002
01
0 ρ
( )( ) ( ) ( )010010010 −−− TTTTTT τ( )
( ) ( )1111
10001
1 +=
+=
+=
+==
ΔΔ
sK
sF
sV
s
VsGsFsT
ττττ
( ) ( ) ( )020020020 −−− TTTTTT ττ ( )( ) ( )
11112000
22 +
=+
=+
=+
==ΔΔ
sK
sF
sV
s
VsGsFsT
τττ
τ
111 ττ( )( ) ( )
11113000
3 +=
+=
+=
+==
ΔΔ
sK
scF
scV
s
cVsGsQsT
ττρ
τρ
τρ
3628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
+sτ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
3728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de Transferência
⎧ Δ 1 CDhd
⎪
⎪⎨⎧ Δ−Δ=
Δ2
.10
hhA
CDFAdt
hdIN
( )⎪⎩ =Δ 00h
CD1( ) ( ) ( ) ( )sHhA
CDsFA
hsHs IN Δ−Δ=Δ−Δ= 00
2.10321
CD ⎞⎛ 1 1( ) ( )sFA
sHhA
CDs INΔ=Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
12 0
( )( ) ⎞⎛
=ΔΔ
1
CDA
sFsH( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ
02 hACDs
sFIN
3828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de Transferência
( )Δ1AsH
( )( )
( )sFsKsH INΔ+
=Δ1τ( )
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=Δ
02 hACDs
AsFIN
( )
⎠⎝ 02 hA
( )2 0h K( )sFINΔ ( )sHΔ
( )( )
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+=
ΔΔ
12 0 shACD
sFsH
IN
( )1+sτ( )IN ( )
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+1sCD
( )( )
( )( )1+
==ΔΔ
sKsG
sFsH
IN τ
3928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( )IN
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Resposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitário
( ) KHΔ1( )
( )( )
{sFIN
sssH
Δ+
=Δ1τ
( )sFIN1
=Δ( )IN
( )1+sK
τ
( )sN
( )sHΔ( ) ( )( )τ/exp1 tKth −−=Δ
( )tF
( )
( )tFIN
t0,INF ( )tFINΔ
t
4028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Step Response
1Δ y(t) / K
0.8
Δ y(t) / K
0.60,63 ( ) ( )( ) KKty 63,0/exp1 =−−=Δ ττ
0 4 ( )0.4 ( ) Kdt
tydmt
=Δ
== τ0
0.2
tym
ΔΔ
=
0 1 2 3 4 50
t /τ
4128/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Interpretação do Conceito de Ganho Estacionário 2 0,FIN
100h
Estacionário( )
⎟⎞
⎜⎛
=12 0
20,
hACDsG
IN
80
hSS ss
Fhss
ssss F
dFdhh Δ=Δ
0,0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+10 s
CD
60 ΔhSS = hss –h0( )( )
ssuy
tutyK
ΔΔ
=∞→Δ∞→Δ
=
4000 Fhss
ss
ss
ssdFdh
Fhm =
ΔΔ
=
h
( ) ssutu Δ∞→Δ
⎞⎛20
FΔFSS
0,0h0 ( ) sss s
ussG ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
= →0lim
0 5 100
FSSF0 ssuΔ
( )0GK42
28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO
Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( )0GK =
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Q T
Malhas Malhas T
Q
TTin
Tinf
Malhas Malhas de de
controlecontrole
TanqueT2Tubulação
T1Fin
TA controlecontroleT2
T2
Tinf
T1T T1
• MV =>Q (Manipulated Variable), CV T (C ll d V i bl )
TA
CV => T2 (Controlled Variable) , Distúrbio=>Tin, Fin, TA , Tinf etc
T1
4328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Descrição Matemática Descrição Matemática –– Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaDescrição Matemática Descrição Matemática Funções de TransferênciaFunções de Transferência
( ) ( ) ( ) ( )s
FLAin
sF
LAVF
sTFcs⋅
−⋅
− ΔΔΤ1
ρ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) F
in
din
F
in
in inin es
FV
VsGsTsTande
sFV
FcsGsQs
+==
ΔΔ
+==
ΔΔΤ
11
ρ
4428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
inin
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
4528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Resposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da Freqüência
• Quando uma FT é perturbada por um sinal senoidal o• Quando uma FT é perturbada por um sinal senoidal, o sinal de saída tb. será senoidal mas com uma d d l d d f ddeterminada amplitude e defasado.
Δu(t) = sen(ωt) Δy(t) = RA sen(ωt + φ)G(s)
Razão de Amplitude (RA): relação entre aRazão de Amplitude (RA): relação entre a amplitude do sinal de saída e o sinal de entradaDefasagem (φ ) entre o sinal de saída e o de entrada
4628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
entrada
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Algoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da Defasagem• Os valores de RA e φ podem ser calculados da seguinte φ p gforma:a) faça s jω e substitua na FT i e G(s jω)a) faça s=jω e substitua na FT, i.e., G(s=jω)
b) obtenha o número complexo G(jω) = R(ω)+ j I(ω)
c) represente o número complexo gerado em coordenadas polares,c) represente o número complexo gerado em coordenadas polares, RA será igual ao módulo e φ a fase, i.e., RA = |G(jω)| = sqrt (R2(ω)+ I2(ω))RA = |G(jω)| = sqrt (R (ω)+ I (ω))φ = ATAN (I(ω)/R(ω))
4728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo: FT de 1º OrdemExemplo: FT de 1º Ordem ( ) KGExemplo: FT de 1 OrdemExemplo: FT de 1 Ordem ( )1+
=s
sGτ
K ωτ KjK 1( )1+
=ωτ
ωj
KjG ( )( )( )[ ]ωτωτωτ
ωτωτ
ω jKjj
jKjG −
+=
−−
×+
= 111
11 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( )22 1,
1 ωτωτω
ωτωωωω
+−
=+
=+=KIKRondejIRjG
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )2
22 1 ωτω =+==
KKjGRA ( )( )( ) ( )
( )22 11 ωτωτ ++j
ωτ K ⎞⎛( )( )
( )( ) ( )ωτωτωτ
ωωφ ATANK
K
ATANRIATAN −=
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
+−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=21
( )( )( )ωτ
ω KR⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ +⎠⎝
21
4828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Diagrama de Bode Diagrama de Bode FT 1º Ordem (lag)FT 1º Ordem (lag)Diagrama de Bode Diagrama de Bode –– FT 1 Ordem (lag)FT 1 Ordem (lag)
K ωτ KjK 1( )
1+=
sKsG
τ( )
( )( )ωτ
ωτωτωτ
ωτω jK
jj
jKjG −
+=
−−×
+⋅= 1
111
1 2
( )( )21 ωτ
ω+
==KjGRA ( )ωτφ ATAN−=( )1 ωτ+
( ) ( )( )21log1loglog ωτω += KjG( ) ( )( )101010 1log2
loglog ωτω +−= KjG
A l l í
( ) KjG 1010 loglog0 =⇒→ ωω
Agora vamos calcular as assíntotas:
( ) KjG 1010 loglog0 ⇒→ ωω
( ) ( )ωτωω 101010 logloglog −=⇒∞→ KjG
4928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Diagrama de Bode – FT 1º OrdemDiagrama de Bode – FT 1 Ordem
( ) KjG 1010 loglog0 =⇒→ ωω
( ) ( )ωτωω
logloglog =
⇒∞→
KjGτω 1= ( ) ( )ωτω 101010 logloglog −= KjGτ
5028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Diagrama de Bode – FT 1º OrdemDiagrama de Bode – FT 1 Ordem
5128/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Surgimento de pólos complexos e comportamento oscilatório.
5228/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
FT de 2º OrdemFT de 2º OrdemFT de 2 OrdemFT de 2 Ordem• Surgem de duas formas:• Surgem de duas formas:▫ A partir de sistemas de 1º ordem em série.
1K 2KΔT0(t) ΔT1(t) ΔT2(t)
11
1+sτ 12
2+sτ
21KKΔT0(t) ΔT2(t)
( )( )11 21 ++ ss ττ
A partir de sistemas modelados por equações diferenciais de segunda ordem.
5328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Manômetro em U Manômetro em U Manômetro em U Manômetro em U Equacionamento Matemáticopara detalhes veja Bird et al (1966) pág 229Bird et al. (1966), pág. 229
PA(t) PB(t)( )PPhgdhhd
⎟⎞
⎜⎛+⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
+μ 33262
h(t){
( )BA
cba
PPL
hLg
dtRdt−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
+ρρ
μ44
222321321
h(t)
h(t)( ) ( ) ( ) )(2 sPcsbHsasHsHs Δ=++
( )( ) b
cP
sH=
Δ 2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
UUnidadeYUnidadeK
( ) basssP ++Δ 2
[ ] [ ]−==⎦⎣
ζτ ;tempo
Forma genérica de FT 2º ordem
( )1222 ++
=ss
KsGζττ
5428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
FT 2 ordem ζ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
DenominaçãoZeta Pólos “Cara” resp degrau
1ζ
DenominaçãoZeta Pólos Cara resp. degrau
ζζ 12 −±
−=pSuper-1>ζ ττ2,1 ±=p ( ) tptp ececcty 21
210 ++=Pólos reais distintos
Super-amortecido
1=ζζ−
=p ( ) ( ) ptetcccty ++Amorteci-mentoζ
τp ( ) ( ) petcccty 210 ++=
Pólos reais repetidos
mento crítico
10 << ζ ζζ 2
2,11−
±−
= jp( )
⎟⎞
⎜⎛ −
+=
− ζζ
cty
t 2
0
1Sub-amortecido ττ2,1 jp
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+φτ
ζτ tsinec11
Pólos complexos
amortecido
0≤ζPólo(s) instável(is)
Instabilidade seguindo comportamento padrão acima
Sistema Instável
5528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Resposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempo
OVERSHOOT
Razão Decaimento =SO2 / SO1
Tempo de subida
Tempo de Assentamento
5628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.Frequency Response ofFrequency Response ofSISO SystemsSISO Systems
Freq_int.mdl
5728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler PPGEQ - Eng. Química / UFRGS - EQP 027 Controle Avançado de Processos - 5
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
5828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler PPGEQ - Eng. Química / UFRGS - EQP 027 Controle Avançado de Processos - 5
Var_zeta.m
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Mapeamento do comportamento dinâmico baseado na localização d óldos pólos e zeros.
5928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Pólos e ZerosPólos e Zeros
( ) K( )( )( )( )1121 32
2221 +−+++
=sssss
KsYτζτττ
( ) ⎟⎞
⎜⎛⎟
⎞⎜⎛ −
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ − 21 ζζ ttt( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
33
222
110 exp1senexpexp
ταφ
τζ
τζα
ταα tttty
• A “cara” da inversa depende basicamente das localização dos pólos Cada pólo contribui com uma das basesdos pólos. Cada pólo contribui com uma das bases dinâmicas.
6028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Pólos reais Pólos reais Pólos reais Pólos reais Impulse Response
4.5
5From: U(1)
de
3
3.5
4
)
Am
plitu
1.5
2
2.5
To: Y
(1)
0
0.5
1
Time (sec.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
ImagImag
Real
6128/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Pólos Complexos Pólos Complexos Pólos Complexos Pólos Complexos
1
Imag
0 4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
Real
-0.6
-0.4
-0.2Real
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
−⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
φζζt 21
{ ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
+⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
− φτ
ζτζ
43421IMAGREAL
22senexp
6228/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
⎠⎝
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Inclusão de zerosInclusão de zerosInclusão de zerosInclusão de zerosOs zeros são as raízes do NUMERADOR enquanto que os PÓLOS são asOs zeros são as raízes do NUMERADOR, enquanto que os PÓLOS, são as raízes do denominador
( ) ( )( )( )( )1121
1
3222
21 +−++++
=sssss
sKsYτζτττ
ββ1−
=zero( )( )( )3221 ζ β
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
33
2
2
22
110 exp1senexpexp
ταφ
τζ
τζα
ταα tttty
• Observe que a “cara” da inversa independe dos zeros. Os zeros só alteram a
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 3221
ponderação das bases dinâmicas (i.e. os valores dos alfas e fi), mas não a sua forma.
6328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????
Os zeros surgem normalmente através de dinâmicas colocadas em paralelo ouOs zeros surgem normalmente através de dinâmicas colocadas em paralelo, ou seja,
K11
1+s
Kτ
ΔU(t) ΔY(t)+
K
( ) ΔY(t)
+
12
2+
−sK
τ
( ) 1122121 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− sKKKKKK ττ ΔY(t)ΔU(t)
( )( )11 21
21
++⎦⎣ ⎠⎝ −
ssKK
ττ
6428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
⎤⎡ ⎞⎛( ) 121
122121 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−− s
KKKKKK ττ ΔY(t)ΔU(t)
( )( )11 21 ++ ss ττ
Escrevendo de uma forma mais genérica:
[ ]( )( )11
121 +++
sssKττ
β ΔY(t)ΔU(t)
( )( )21
6528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
K11
1+s
Kτ
ΔU(t) ΔY(t)+
Tipos de Respostas
K
ΔY(t)
+
12
2+
−sK
τStep Response
5
6From: U(1)
Step Response
5
6From: U(1)
Step Response
5
6From: U(1)
de 2
3
4
)2
3
4
)ude
2
3
4
) Comum Overshoot Resposta
Am
plitu
d
0
1
2
To: Y
(1)
0
1
2
To: Y
(1)
Am
plitu
0
1
2
To: Y
(1 Comum Overshoot RespostaInversa
|K1|>|K2|, τ1 ≈ τ2 |K1|>|K2|, τ1 < τ2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1 |K1|>|K2|, τ1 > τ2
6628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
Time (sec.)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Time (sec.)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Time (sec.)
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
ImagImag
Comum Overshoot Resposta InversaOvershoot Resposta Inversa
Real
Step Response
5
6From: U(1)
Step Response
5
6From: U(1)
Step Response
5
6From: U(1)
tude 2
3
4
(1)2
3
4
(1)tude 2
3
4
Y(1)
Am
plit
1
0
1To: Y
(
1
0
1To: Y
(
Am
pli
-1
0
1To: Y
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3
-2
1
6728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
Time (sec.)Time (sec.)Time (sec.)
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos pólos e zerospólos e zeros
Veja o seguinte SITE para verificar como fica aVeja o seguinte SITE para verificar como fica a resposta a um degrau para sistemas gerados a partir de diversas combinações de Pólos e Zerospartir de diversas combinações de Pólos e Zeros
http://www cheric org/education/control/PZEffect/PZeff• http://www.cheric.org/education/control/PZEffect/PZeffect.html
6828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Animação no MATLABAnimação no MATLABAnimação no MATLABAnimação no MATLABcd v:\grad\controle\apostila\ictools
6928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseVan de VusseVan de Vussereaction: CBA kk ⎯→⎯⎯→⎯ 21
DA k⎯→⎯ 32
Manipulated Variables
C t ll dControlled Variables
Disturbances
7028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseExemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseStationary values of component B for different temperaturesStationary values of component B for different temperatures.
1 4 OR21.2
1.4 OR2
• Negative Gain
Mi i0.8
1
/L] OR3
• Minimum Phase0.6C
B [mol
/
OR1• Positive Gain
0.2
0.4OR1T=110 °C
Gain• Non-minimum Ph
0 5 10 15 20 25 30 350
f [1/h]
7128/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
Phase
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseExemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusse( ) [ ]
312
31 AAAAinA ckckccf
dtdc
+−−⋅=4444 34444 21
1Fdt
A FfFFFcdΔ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛ ∂
Δ⎟⎞
⎜⎛ ∂
Δ⎟⎞
⎜⎛ ∂
Δ⎟⎞
⎜⎛ ∂Δ 1111
AinssAinss
BssB
AssA
A cc
ff
cc
ccdt
Δ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
+Δ⎟⎠
⎜⎝ ∂
+Δ⎟⎠
⎜⎝ ∂
+Δ⎟⎠
⎜⎝ ∂
= 1111
cdΔ
dc
( ) ( ) ( ) AinssssAAinBAssAA cffccccckkf
dtcd
Δ+Δ−+Δ+Δ−−−=Δ 02 31
[ ]444 3444 21
2
21F
BABB ckckcf
dtdc
−+⋅−=
2
AinA
BB
AA
B ccFf
fFc
cFc
cF
dtcd
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+Δ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=Δ 2222
ssAinssssBssA cfccdt ⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) AinBBAB cfcckfckcd
Δ+Δ−+Δ+−Δ=Δ 021
7228/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( ) ( ) ( ) AinssssBBssAss cfcckfckdt
Δ+Δ+Δ+Δ 021
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de Vusse( ) ( ) ( )A cffccccckkfcd
Δ+Δ−+Δ+Δ−−−=Δ 02( ) ( ) ( ) AinssssAAinBAssA cffccccckkfdt
Δ+Δ−+Δ+Δ−−−= 02 31
( ) ( ) ( ) ( )BcdΔ ( ) ( ) ( ) ( ) AinssssBBssAssB cfcckfck
dtcd
Δ+Δ−+Δ+−Δ=Δ 021
7328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler PPGEQ - Eng. Química / UFRGS - EQP 027 Controle Avançado de Processos - 7
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
7428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples
( ) XfdX ( )
XdS
Xfdt
μ ⋅−= ( )( ) ( ) ( )1+
==ΔΔ
sKsG
sfsS
τ( )
YXSSf
dtdS
in μ−−=( ) ( )1+Δ ssf τ
⎪⎪⎧
=S
2maxμ
μ
⎪
⎪⎪⎨
++
i
m
FSkSk 2
1
μ
⎪⎪⎩
=R
in
VFf
7528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelBA ⎯→←
Reação reversível em que o controle do componente B é feito at a és da tempe at aB é feito através da temperatura.
Haverá um máximo na curva de produção de B, p çuma vez que a reação é reversível.
A mudança no sinal do ganho é decorrente da A mudança no sinal do ganho é decorrente da mundança do sinal do k*
Generalizando:
( ) ( )( ) ( )( )( )21
*
pspszsksG−−
−= ( ) ( )
( )( )21
*0pp
zkGK−−
−==
7628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Produção de Etanol com Z. mobilisProdução de Etanol com Z. mobilis
( ) ⎫⎧⎞⎛ ( )( )
,10 SoutSinXS
SS
ES
SX
S CDCDCmCK
CCYdt
dC−+−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
( )( )
,0 XoutXin
ESX CDCDCK
CCdt
dC−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
( )
{ } ( )2321 EEi
ESPP
E
SS
CDCDCCCkCkkdC
CKdt
−+⎬⎫
⎨⎧
+−=
⎭⎩ +
{ }( )
,0321 EoutEin
SSPP CDCD
CKCkCkk
dt+
⎭⎬
⎩⎨ +
+=
( ) ( )PACCdC⎟⎞
⎜⎛⎫⎧
⎟⎞
⎜⎛ 1 ( )
( )( )
mPPF
MPoutPinXP
SS
ES
PX
P CCV
PACDCDCmCK
CCYdt
dC
⎞⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0,1
( )moutminm
mPMPMPP
F
MP CDCDCCV
PAdt
dC−+−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0
7728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
F ⎠⎝
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
MatrizMatriz de de TransferênciaTransferênciaFunçãoFunção de de TransferênciaTransferência MatrizMatriz de de TransferênciaTransferência(MIMO)(MIMO)
dx
FunçãoFunção de de TransferênciaTransferência(SISO(SISO))d ( ) ( )
( ) ( ) ( )tDtCt
tButxAdtdx
+=( ) ( ) DBAsICsG +−= −1( ) ( )
( ) ( ) ( )
tbutxadtdx
+=
( ) ( ) ( )tuDtxCty +=( ) ( ) ( )tudtxcty +=
( ) ( ) ( )bUXX + ( ) ( ) ( )BUXAX +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sUdscXsY
sbUsXassX+=
+= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDUsCXsY
sBUsXAssX+=
+=
( ) ( ) ( )sbUsXas =− ( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−
( ) ( ) ( )sUas
bsX−
=( ) ( )UdbY ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
( ) ( ) ( )sUAsIsX 1−−=( )as
( ) ( ) ( )sUdscXsY +=( ) ( )
( )
( )sUdas
csY
sg44 344 21
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+−
=( ) ( ) ( )sUDsCXsY +=
7828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( )sg
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Matriz de Transferência (visualizando em um sistema 2x2)(visualizando em um sistema 2x2)
( ) ( ) DBAsICsG +−= −1 ( ) ( ) ( )⎥⎤
⎢⎡
=sgsg
sG 1211( ) ( ) DBAsICsG + ( ) ( ) ( )⎥⎦⎢⎣
=sgsg
sG2221
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )susgsgsy
sUsGsY⎤⎡⎤⎡⎤⎡
=
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )313131susu
sgsgsgsg
sysy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
( ) ( ) ( )32144 344 21321
sUsGsY
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )susgsusgsy
susgsusgsy
2221212
2121111
×+×=×+×=
7928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2221212
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Transfer MatrixTransfer MatrixTransfer MatrixTransfer Matrix
Simple Example:( ) ( ) DBAsICsG +−= −1
Matrix Inversion
8028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Transfer Matrixd ( ) ( )
( ) ( ) ( )tuDtxCty
tButxAdtdx
+=
+=
( ) ( ) ( )tuDtxCty +=
( ) ( ) DBAsICsG +−= −1
( ) ( ) ( )susGsy =
( ) ( )
SS TMATRIX MDL81
28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO
Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
SS_TMATRIX.MDL
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
A partir de blocos simples se pode gerar dinâmicas complexas.
8228/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
ÁÁÁlgebra de BlocosÁlgebra de Blocos• Quando se conecta diversos blocos pode‐se gerar diversos comportamentos dinâmicos.
• Para se chegar a função de transferência final que descreve o sistema, deve‐se fazer uso da álgebra de blocos.
• Para que se entenda a álgebra de blocos é fundamental que se acompanhe o fluxo do sinal (da informação) e como ela está conectada entre os diferentes blocos
• Nesta disciplina a álgebra de blocos surge em duas situações:Representação dinâmica e conexão de diversos equipamentos (aqui temos tipicamente malhas de realimentação positivas)M lh d t l á i l t l t áti dMalhas de controle, responsáveis pelo controle automático de processos (aqui imperam as malhas com realimentação negativa)
8328/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos --Como surgem nos processos industriaisComo surgem nos processos industriais
Correnstes SistemaI
Sistema
II
Correnstes de Reciclo
• Correntes de reciclo surgem quando dois sistemas são conectados pelo menos
I II
• Correntes de reciclo surgem quando dois sistemas são conectados pelo menos uma corrente de ida e outra de volta.
• Embora que os subsistemas sejam simples (p.ex., pratos de uma coluna de destilação) o seu comportamento global pode ser bastante complexo.
• O comportamento complexo é decorrente da malha feedback positiva formada entre os subsistemas
8428/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
entre os subsistemas.
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Unidade de Aquecimento Unidade de Aquecimento -- Exemplo Exemplo Unidade de Aquecimento Unidade de Aquecimento Exemplo Exemplo
8528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
UnidadeUnidade de de AquecimentoAquecimento -- ExemploExemploUnidadeUnidade de de AquecimentoAquecimento ExemploExemplo
( ) ( )s
sGs
sG+
=+
= 21 ,1
1,1
1ττ ( )
( )( )
( )sGkss
ss3
212
21
212
21
11
sEL3TI_301(s)
−++++++
=ττττ
ττττ
( ) ( ) ksGandKsG
ss
==
++
43
3
21
1
11 ττ
( ) 10,if idi
sistema nomantida energia EL
QEL4 ≤≤=
−== kksG
( ) ( ) kss 2121 1sEL3 +++ ττττ
8628/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( )s + 4
33 1τ
( ) ,sistema aofornecida energia EL4
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Tin
TA Tinfe=erro=T2SET –T2
T2SET
TanqueT2
Q
TubulaçãoT1Tin
Fine
-C Q
RetroalimentaçãoRetroalimentação(Feedback)(Feedback)
8728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler 8
( )( )
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.TA Tinf
TanqueT2Tubulação
T1Tin
FinTT2SET
-C1
q
Q
çFin
C2
T1SET
-
TC
TC
MalhasMalhasCascataCascata
8828/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.Tin
T
Tinf
TTanque
T2TubulaçãoT1
Fin
TA
eCF
T2SET
-C
Qe
TYTY
RetroalimentaçãoRetroalimentaçãoRetroalimentaçãoRetroalimentaçãocom com AntecipaçãoAntecipação((FeedforwardFeedforward))
8928/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
((FeedforwardFeedforward))
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Descrição MatemáticaDescrição MatemáticaDescrição MatemáticaDescrição MatemáticaFunções de TransferênciaFunções de Transferência Tin
sLAinF ⋅ sF
in
ines
FV
V −
+1
CT2T2set
Q
1
1
VFc inρ s
FLA
ine⋅−
T1
in
- 1+sF in
e
T
TA Tinf
T2SET
Tanque T2
Q
TubulaçãoT1Tin
Fine2SET
-C Qe
9028/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Conexões Básicas Conexões Básicas Série e ParaleloSérie e ParaleloConexões Básicas Conexões Básicas -- Série e ParaleloSérie e Paralelo
Bl Sé iBlocos em Série(já vimos quando introduzimos sistemas de 2ºordem)
ΔU( ) ΔX( ) ΔY( )
( ) ( )( )sUsXsG
ΔΔ
=1
ΔU(s) ΔX(s) ΔY(s)
( ) ( )( )sXsYsG
ΔΔ
=2( )sUΔ ( )sXΔ
( ) ( ) ( )XYY ΔΔΔΔU(s) ΔY (s)( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
( )
( ) ( )sGsGsUsX
sXsY
sUsYsG 12=
ΔΔ
ΔΔ
=ΔΔ
=321321
ΔU(s) ΔY (s)
( ) ( )sGsG 12
9128/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
C õ Bá i C õ Bá i Sé i P l lSé i P l lConexões Básicas Conexões Básicas -- Série e ParaleloSérie e Paralelo
Bl P l lBlocos em Paralelo (já vimos quando introduzimos o conceito de zeros)
ΔY1(s)
ΔU(s)ΔY(s) ΔY (s)+ ΔY (s)
+( ) ( )
( )sUsYsG
ΔΔ
= 11
ΔY1(s)
( )ΔY(s) = ΔY1 (s)+ ΔY2(s)
+( )YΔ( ) ( )( )sUsYsG
ΔΔ
= 22
ΔY2(s)
( ) ( ) ( ) ( )sYΔ ΔY(s)ΔU(s)( ) ( )
( )( ){
( )321
UY
UY
sGsGsUsYsG
ΔΔ
ΔΔ
+=ΔΔ
=
21
21ΔY(s)( )
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UU ΔΔ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo Exemplo Envolvendo série e paraleloEnvolvendo série e paraleloExemplo Exemplo -- Envolvendo série e paraleloEnvolvendo série e paralelo
U( ) +( )sG1
ΔY(s)ΔU(s) +
( )sG3
+ ΔY(s)
+( )sG2
Resolução tem que ser de dentro para fora ou seja primeiro resolve-se aResolução tem que ser de dentro para fora, ou seja, primeiro resolve-se a conexão em paralelo e depois a série
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo Exemplo Envolvendo série e paralelo (cont )Envolvendo série e paralelo (cont )Exemplo Exemplo -- Envolvendo série e paralelo (cont.)Envolvendo série e paralelo (cont.)
U( ) ΔY(s)ΔU(s)
( ) ( )sGsG 21 + ( )sG3
+ ΔY(s)
Agora vamos resolver o série e depois o paraleloAgora vamos resolver o série e depois o paralelo
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo Exemplo Envolvendo série e paralelo (cont )Envolvendo série e paralelo (cont )Exemplo Exemplo -- Envolvendo série e paralelo (cont.)Envolvendo série e paralelo (cont.)
1
U( ) ΔY(s)ΔU(s)
( ) ( ){ }sGsGG 213 ++ ΔY(s)
Finalemente podemos escrever:p
ΔU(s)
( ) ( ) ( ){ }sGsGGsG 2131 ++=ΔY(s)
9528/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Malhas FeedBack Malhas FeedBack -- Versão SISOVersão SISO(M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)
ΔU(s) ΔY(s)ΔV(s)ΔU(s)
+( )sG
ΔY(s)ΔV(s)
( ) ( )GYΔ
( )sHΔZ(s)
( )( )
( )( ) ( )sHsG
sGsUsY
−=
ΔΔ
1
( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ+Δ=Δ ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ+ΔΔ
( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ+Δ=Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ−Δ
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Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY ΔΔΔ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Malhas FeedBack Malhas FeedBack (M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)
ΔU(s) ΔY(s)ΔV(s)ΔU(s)
-( )sG
ΔY(s)ΔV(s)
( ) ( )GYΔ
( )sHΔZ(s)
( )( )
( )( ) ( )sHsG
sGsUsY
+=
ΔΔ
1
( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ−Δ=Δ ( ) ( ) ( )sZsUsV ΔΔΔ
( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ−Δ=Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ+Δ
9728/7/2009 23:12
Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY ΔΔ+Δ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Malhas FeedBack Malhas FeedBack (M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)
ΔV(s)ΔU(s) ΔY(s)
+( )sG
ΔV(s)ΔU(s) ΔY(s)
( )sHΔZ(s)
-
CAMINHO DIRETO
ΔU(s)
ΔY(s) CAMINHO DIRETO
CAMINHO-ΔU(s) CAMINHO do LAÇO
1 +98
28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO
Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Malhas FeedBack – Versão MIMO (Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)( )
ΔU(s)( )sG
ΔY(s)ΔV(s)
-( )sG
ΔZ( )( )sH
ΔZ(s)
( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )( ) ( ) )(1 sUsGsHsGIsY Δ+=Δ −
( ) ( ) ( )sVsGsY ΔΔ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ−Δ=Δ
( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ ( ) ( ) ( )sYsHsZ ΔΔ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ−Δ=Δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99
28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO
Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ+Δ
CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack
ΔU(s) ΔY(s)
-s1ΔU(s) ΔY(s)
s1
-
1a
0a
Resolução de dentro para fora.
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack
ΔU(s) ΔY(s)
-s1ΔU(s) ΔY(s)
s1
-
1a
0a
Resolução de dentro para fora.
10128/7/2009 23:12
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack
1ΔU(s) ΔY(s)
-a
s11+
ΔU(s) ΔY(s)
s1
s
0a
10228/7/2009 23:12
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack
ΔU(s) ΔY(s)
- 1
1as +
ΔU(s) ΔY(s)
s1
0a
10328/7/2009 23:12
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CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.
Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack
( )1ΔU(s) ΔY(s)
-( )1ass +
0a
1ΔU(s) ΔY(s)
Resolvendo a malha feedback externa chegamos finalmente à:
012
1asas ++
ΔU(s) ΔY(s)
10428/7/2009 23:12
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