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Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limites
últimos de elementos com esforço axial não desprezável (pilares) 1. Flexão Composta (Flexão com esforço normal de tracção ou compressão)
1.1. ROTURA CONVENCIONAL
εs ≤ 10‰
εc(-) ≤ 3.5‰
Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
Tensões uniformes
σc εc
(-)
2‰
Tensões não uniformes
(-)
2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰σc
ou
εc = 3.5‰
(-)
σc
00
1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA
Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados à rotura:
As2
As1
MN 1
10‰
10‰
02‰3.5‰
2‰ εyd
2
3
45
Compressão Tracção
Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = 10‰, εs2 ≤ 10‰)
Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = 10‰, εc(-) ≤ 3.5‰)
Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd ≤ εs1 ≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)
Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1 ≤ εyd, εc(-) = 3.5‰)
Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ εcmáx ≤ 3.5‰)
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
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Conclusão:
Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil
Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil
1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão
armado com dois níveis de armadura (As1 e As2)
As1
As2 MRd
NRd
(-)
(+)
εcεs2
εs1
Fc
Fs1
Fs2
yc ys2
ys1
Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou
em relação ao nível da armadura inferior.
Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 − Fs1 = NRd
• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd
⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd – MRd
(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama
de interacção NRd – MRd
NRd
MRd
(-)
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(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
dimensionamento
MRd
(-)NRd
Grandezas adimensionais:
− Esforço normal reduzido ν = NRd
b h fcd
− Momento flector reduzido µ = MRd
b h2 fcd
− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h
fyd fcd
1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES 1.4.1. Armadura longitudinal
(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura
As quantidades mínimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas através de
percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado:
ρmin = 0.8% para A235
ρmin = 0.6% para A400 e A500
Quantidade máxima de armadura:
ρmáx = 8% (incluindo todas as armaduras nas secções de emenda)
Nota: evitar que ρ > 4%, caso contrário não será possível emendar todos os varões na mesma
secção transversal.
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A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = As
b ⋅ h × 100 .
(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento
1. Mínimo número de varões na secção transversal
1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou
6 varões em secções circulares (ou a tal assimiláveis)
2. Diâmetro mínimo dos varões
12mm para A235
10mm para A400 e A500
3. Espaçamento máximo dos varões
smáx = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor
varões junto dos cantos).
1.4.2. Armadura transversal
(i) Espaçamento das cintas
smáx = min (12 × φL,menor; bmin; 30cm)
(ii) Diâmetro
Se φL ≥ 25mm, φcinta ≥ 8mm
(iii) Forma da armadura / cintagem mínima
Cada varão longitudinal deve ser abraçado por ramos da armadura transversal,
formando um ângulo em torno do varão, não superior a 135°.
Não é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15cm
de varões cintados.
Em pilares circulares não é necessário respeitar a condição do ângulo.
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Função da armadura transversal
− Cintar o betão;
− Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;
− Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e
betonagem;
− Resistir ao esforço transverso.
Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.
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EXERCÍCIO 15
Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a secção.
As/2
As/2
0.30
0.50
Msd
Nsd
Nsd = -1200 kN
Msd = 150 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15
Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)
d1 ≅ 0.05m
h = 0.50m ⇒
d1 h = 0.10 ; A400
Esforço normal reduzido: ν = Nsd
b h fcd = -1200
0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60
Momento flector reduzido: µ = Msd
b h2 fcd = 150
0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15
ωTOT = 0.20 ⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.20 × 0.30 × 0.50 ×
13.3 348 × 104 = 11.47cm2
Na rotura εc2 εs1
= -3.5 0 a 1 ⇒
rotura pelo betão
armaduras não atingem a cedência
Zona
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EXERCÍCIO 16
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 16
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν =
Nsd
π r2 fcd =
-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152
⇒ ωTOT = 0.30
AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd fyd = 0.30 × π × 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2
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1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO
Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de
tensão na rotura para as situações A e B ilustradas.
µ
ν
0.4 B
A
As2
As1
b
h
A Fs2,A
As1 fyd
Fc,A
MRd,A
NRd
MRd,B
B
As1 fyd
Fs2,B
Fc,B
MRd,B > MRd,A
∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (Fc e Fs2) e,
consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de Fc.
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2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos
2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS
Nos elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em
geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem).
Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p.
ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não
devem ser aplicadas.
Exemplos:
N
vL
N
L
v
Teoria de 1ª ordem:
M = N × e
Teoria de 2ª ordem:
M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v
N × e – momento de 1ª ordem
N × v – momento de 2ª ordem
Nota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na
estrutura deformada.
Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = L0
i
M
N
N eN e N v
1
2
- λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis
(Teoria de 1ª ordem)
- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes
(Teoria de 2ª ordem)
Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis
se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)
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2.2. TIPOS DE ROTURA
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Ne1
N
M
Ne1
Ne1 Ne2
Ne2
Nu, Mu1 1
22Nu, Mu
2 2NCR, MCR
Nu, Mu33
NCR, MCR33
N
N
e1 e1
N
N
e2
e2
3 N
N
e1
Relação N - M para e2 = 0 (análise de 1ª ordem) Mu/Nu = e1
Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento pouco esbelto) ⇒ rotura da secção
Relação N - M para e 2 ≠ 0 (elemento muito esbelto) ⇒ rotura por instabilidade
2.3. ESBELTEZA
A esbelteza de um pilar é dada por:
λ = L0 i
onde,
L0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de
momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)
i representa o raio de giração da secção
i =
I A
Nota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo
perpendicular ao plano de encurvadura.
Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.
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2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ESTRUTURAS SIMPLES
Estruturas de nós fixos
L0 = L/2L0 = L
L0 = 0.7L
Estruturas de nós móveis
L0 = 2L L0 = L L0 = 2L
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2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM
Estruturas correntes (edifícios, em geral)
Métodos de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª
ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem.
(Método das excentricidades adicionais - REBAP, EC2) e
Ne
Nv
N
e+ead
Msd = Nsd (e + ead)
Outras (esbelteza grande)
Métodos de análise não linear de estruturas, tendo em conta as não linearidades
geométricas e as não linearidades físicas dos materiais.
2.5.1. Determinação da excentricidade de 2ª ordem
A excentricidade de 2ª ordem destina-se a ter em conta a deformação do elemento e,
consequentemente, a existência de efeitos de 2ª ordem, podendo ser calculada como
se indica em seguida.
Considere-se a seguinte coluna biarticulada “perfeita”
L
vNN
xPara N = NE, tem-se v ≈ A sen
π x L
(Deformada do tipo sinusoidal)
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A curvatura é dada por:
1 r = −
d2 v dx2 = A
π2 L2 sen
π x L ⇔
1 r ×
L2 π2 = A sen
π x L
Pelo que, v = 1 r ×
L2 π2 ≈
1 r
L2 10
Deste modo, a flecha na secção crítica é dada por:
vsc = 1 rsc
L2 10
A curvatura na secção crítica pode ser obtida de forma aproximada pela expressão:
1 r ≅ 5
h × 10-3 η
onde h representa a altura na secção no plano de encurvadura.
Este valor foi obtido com base no seguinte modelo:
yd
(-)
(+)
εc=3.5‰
d
1 r =
0.0035 + εyd d =
0.0045 d A235
0.0052 d A400
0.0057 d A500
η – coeficiente de redução que tem em conta a redução da curvatura (dada pela
expressão anterior), quando o esforço axial é elevado (ν > 0.4)
η = 0.4
ν = 0.4 fcd Ac Nsd ≤ 1.0 (Ac – área da secção transversal do pilar)
Nota: se ν (Nsd) for grande, a curvatura é menor (no limite, toda a secção pode estar
comprimida).
Para além dos efeitos de 2ª ordem, é necessário considerar ainda quer os efeitos das
imperfeições geométricas de execução devido à existência de tolerâncias construtivas
(excentricidade acidental), quer o acréscimo de deformação dos pilares ao longo do
tempo, devido ao efeito da fluência (excentricidade de fluência). Apresenta-se em
seguida as expressões propostas para cálculo destas excentricidades.
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2.5.2. Cálculo das restantes excentricidades adicionais
1. Excentricidade Acidental
A excentricidade acidental destina-se a ter em conta os efeitos das imperfeições
geométricas de execução (tolerâncias construtivas) e pode ser determinada através de
ea = max L0 / 300
0.02m
onde L0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.
2. Excentricidade de fluência
A excentricidade de fluência destina-se a ter em conta o acréscimo de deformação do
pilar devido aos efeitos da fluência e determina-se através da expressão,
ec =
Msg
Nsg + ea
exp
ϕc Nsg
NE − Nsg − 1
onde
Nsg, Msg representam os esforços devidos às acções com carácter de permanência
(que provocam fluência), não afectados do coeficiente γf
ea representa a excentricidade acidental
ϕc representa o coeficiente de fluência (em geral, ϕc = 2.5)
NE representa a carga crítica de Euler
NE = 10
EI L0
2 (EI da secção de betão)
A consideração da excentricidade de fluência só é importante para elementos muito
esbeltos (em geral despreza-se). Poderá deixar de ser considerada nos casos em que
se verifique uma das seguintes condições: Msd / Nsd ≥ 2.0 h ou λ ≤ 70.
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2.6. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA
1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção
mais esforçada), para os esforços
Nsd’ = Nsd
Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec)
2. Secção crítica
(i) Estruturas de nós fixos
A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd (conforme se pode
observar na figura seguinte, em geral a secção crítica localiza-se numa zona
intermédia, e não junto das extremidades).
ead
Nsd
Msd2ª ordem
Msd,a
Msd,b
1ª ordemMsd
TOTALMsd
+ =
Mcálculosd = máx
0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b
0.4 Msd,a
(secção crítica)
com |Msd,a| ≥ |Msd,b|
e
Msd' ≥ máx Msd (nós) = Msd,a
(ii) Estruturas de nós móveis
N
ad
1ª ordemMsd Msd
2ª ordem
A secção crítica situa-se no nó em que
Msd é máximo
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3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura
A consideração da excentricidade de 2ª ordem pode ser dispensada, caso se verifique
uma das seguintes condições:
a) (i) Estruturas de nós fixos
λ ≤ 35 se Msd,b = Msd,a vmáx
λ ≤ 50 – 15 Msd,b Msd.a
λ ≤ 65 se Msd,a = − Msd,b vmáx
(ii) Estruturas de nós móveis λ ≤ 35
ou
b)
Msd
Nsd ≥ 3.5 h para λ ≤ 70
Msd Nsd ≥ 3.5 h
λ 70 para λ > 70
, h – altura da secção transversal
(o momento de 1ª ordem é condicionante).
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EXERCÍCIO
Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:
N
H
3.00
Secção transversal
0.30
0.40
Esforços característicos: N = 800 kN; H = 20kN
Materiais: C 25/30; A 400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
2 × 3.0 0.0866 = 69.3
i = I A =
9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =
bh3 12 =
0.4 × 0.33 12 = 9×10-4 m4
2. Determinação dos esforços de dimensionamento
Nsd = 800 × 1.5 = 1200 kN; M1ª ordemsd = 20 × 3 × 1.5 = 90.0 kN
2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Numa estrutura de nós móveis para dispensar a verificação da segurança à
encurvadura, é necessário verificar as seguintes condições:
Msd Nsd =
90 1200 = 0.075 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.3 = 1.05 e λ ≤/ 35
⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
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2.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd’ = 1200kN
Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 90 + 1200 × (0.02 + 0.04 + 0) = 162kNm
(i) Cálculo da excentricidade acidental
ea = max L0 / 300 = 6 / 300 = 0.02 m 0.02 m
⇒ ea = 0.02m
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
10 = 11.13×10-3 × (2 × 3.0)2
10 = 0.04 m
1 r =
5 h × 10-3 η =
5 0.30 × 10-3 × 0.668 = 11.13 × 10-3
η = 0.4 × fcd × Ac
Nsd =
0.4 × 16.7×103 × 0.3 × 0.4 1200 = 0.668 ≤ 1.0
(iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70
3. Cálculo da armadura (flexão composta)
ν =
Nsd b h fcd =
-1200 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60
µ = Msd
b h2 fcd = 162
0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.27 ⇒ ωTOT = 0.62
d1 h =
0.05 0.3 = 0.167≅ 0.15 ; A400
ASTOT = ωTOT × bh × fcd fyd = 0.62 × 0.30 × 0.40 ×
16.7 348 × 104 = 35.7cm2
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EXERCÍCIO
Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:
5.00
N
Secção transversal
0.25
0.25
Esforços característicos: N = 600 kN
Materiais: C 20/25; A 400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
5 0.0722 = 69.3
i = I A =
3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =
b h3 12 =
0.254 12 = 3.255×10-4 m4
2. Esforços de dimensionamento Nsd = 600 × 1.5 = 900 kN
2.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Numa estrutura de nós fixos para dispensar a verificação da segurança à encurvadura,
é necessário verificar as seguintes condições:
λ ≤ 50 – 15 Msd,b Msd,a = 50 e λ = 69.3 ≤/ 50 ⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
2.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd’ = 900 kN
Msd’ = Msd + Nsd (ea + e2 + ec) = 900 × (0.02 + 0.018) = 34.2kNm
(i) Cálculo da excentricidade acidental
ea = max L0 / 300 = 5 / 300 – 0.017m 0.02m
⇒ ea = 0.02m
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
10 = 7.39 × 10-3 × 52
10 = 0.018m
1 r =
5 h × 10-3 η =
5 0.25 × 10-3 × 0.369 = 7.39×10-3
η = 0.4 fcd Ac
Nsd = 0.4 × 13.3×103 × 0.252
900 = 0.369
(iii) Excentricidade de fluência - Desprezável dado que λ < 70
3. Cálculo da armadura (flexão composta)
d1 h =
0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45
ν =
Nsd b h fcd =
-900 0.252 × 13.3×103 = -1.083
µ = Msd
b h2 fcd = 34.2
0.253 × 13.3×103 = 0.165 ⇒ ωTOT = 0.82
AsTOT = ωTOT × b h × fcd fyd = 0.82 × 0.252 ×
13.3 348 × 104 = 19.6cm2
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
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3. Estruturas em Pórtico
3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
3.1.1. Estruturas contraventadas
Estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para
absorver grande parte das acções horizontais.
Exemplo:
paredesou
núcleos
3.1.2. Estruturas não contraventadas
Estruturas sem elementos de contraventamento
Para efeitos da verificação da segurança em relação ao estado limite último de
encurvadura, o REBAP classifica as estruturas reticuladas em:
(i) Estruturas de nós fixos: estruturas cujos nós sofrem deslocamentos horizontais
desprezáveis
(ii) Estruturas de nós móveis: caso contrário
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
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3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA
O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento
nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado
pela expressão,
L0 = ηL
onde,
L representa o comprimento livre do elemento
η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do
elemento
Estruturas de nós fixos (contraventada)
L
L0 ≤ L
Estruturas de nós móveis (não contraventada)
L
L0 ≥ L
Estruturas de nós fixos η = min 0.7 + 0.05 (α1 + α2)
0.85 + 0.05 αmin
1.0
η ≤ 1
Estruturas de nós móveis η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)
2.0 + 0.3 αmin
η ≥ 1
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
α1 e α2 – parâmetros relativos às extremidades 1 e 2 do pilar, dadas por:
αi = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )EI / L vigas
nó i:
viga
pilar Este parâmetro pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:
Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.
Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação
α = 1 – fundações que confiram encastramento parcial
α = 0 – fundações que confiram encastramento perfeito
α = 10 – fundações cuja ligação ao pilar não assegure transmissão de momentos
(liberdade de rotação).
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
165
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Exemplo:
3.00
3.00
4.00
6.00 5.00
0.3
0.6 0.5
0.3
0.5
0.3 0.30.4
0.30.3
1
2
Classificação da estrutura: Estrutura de nós móveis
α1 = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )EI / L vigas =
∑
( )I / L pilares
∑
( )I / L vigas =
0.34 12 ×
1 4 +
0.34 12 ×
1 3
0.3 × 0.53 12 ×
1 6 +
0.3 × 0.43 12 ×
1 5
= 0.468
α2 =
0.34 12 ×
1 3 × 2
0.3 × 0.63 12 ×
1 6 +
0.3 × 0.53 12 ×
1 5
= 0.295
η = min 1 + 0.15 (α1 + α2) = 1 + 0.5 (0.468 + 0.295) = 1.11
2.0 + 0.3 αmin = 2 + 0.3 × 0.295 = 2.09
L0 = 3 × 1.11 = 3.33m
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
166
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.3. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM PÓRTICOS
De acordo com o REBAP, a análise de pórticos tendo em consideração os efeitos de
2ª ordem deve ser efectuada da forma seguinte:
Estruturas de nós fixos
É possível analisar os pilares do pórtico isoladamente
Estruturas de nós móveis
Os pilares podem ser analisados isoladamente, tomando para a esbelteza de cada
pilar a esbelteza média dos pilares do piso em causa.
Problemas que surgem com este tipo de abordagem em pórticos de nós móveis:
− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é
realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos
horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª
ordem em todos os pilares. A excentricidade a considerar deverá ser a correspondente
ao pilar mais rígido;
− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por
equilíbrio, conduz a um aumento de esforços nas vigas adjacentes (a análise de
pilares isolados não tem em conta este efeito).
Formas mais correctas de ter em conta os efeitos da encurvadura
1. Análise da estrutura inclinada (deformada)
θ
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
167
Betão Armado e Pré-Esforçado I
2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços
provocados pelas excentricidades acidentais e aos efeitos de 2ª ordem.
θ
∆H2
∆H1
Exemplos:
(i) Consola
θ
L
e N N∆H
M2ª ordem = N × e
∆H × L = N × e ⇒ ∆H = N × e L
(ii) Pórtico
L
Ne e N
θ
∆H
N∆H L/2
∆H L/2
M2ª ordem = N × e ⇒ ∆H × L 2 = N × e ⇒ ∆H = N × 2e
L
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
168
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO
Dimensione os pilares do pórtico representado na figura.
4.00
6.00
0.30.3
0.30.4
0.6
0.3
P1 P2
± 30 kN
500 kN 400 kN35 kN/m
Nota: os valores indicados para as
acções, referem-se aos
seus valores característicos.
Materiais: C20/25; A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
1. Classificação da estrutura ⇒ Estrutura de nós móveis
2. Cálculo do comprimento de encurvadura dos pilares
(i) Pilar P1
α1 = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )EI / L vigas =
0.3 × 0.43
12 × 1
4.0
0.3 × 0.63
12 × 1
6.0
= 0.444 ; α2 = 1.0 (encastramento parcial)
η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)
2.0 + 0.3 αmin= min
1.0 + 0.15 (0.444 + 1.0) = 1.217
2.0 + 0.3 × 0.444 = 2.133
⇒ L0 = ηL = 1.217×4.0 = 4.87m
(ii) Pilar P2
α1 = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )EI / L vigas =
0.34 12 ×
1 4
0.3 × 0.63 12 ×
1 6
= 0.187 ; α2 = 1.0
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
169
Betão Armado e Pré-Esforçado I
η = min 1.0 + 0.15 (α1 + α2)
2.0 + 0.3 αmin= min
1.0 + 0.15 (0.87 + 1.0) = 1.178
2.0 + 0.3 × 0.187 = 2.056
⇒ L0 = ηL = 1.178 × 4.0 = 4.71m
3. Cálculo da esbelteza
(i) Pilar P1
i = I A =
0.0016 0.3 × 0.4 = 0.115 m
I = b h3 12 =
0.3 × 0.43 12 = 0.0016 m4
λ = L0 i =
4.87 0.115 = 42.3
(ii) Pilar P2
i = I A =
0.675 × 10-3 0.32 = 0.087m
I = 0.34 12 = 0.675 × 10-3 m4
λ = L0 i =
4.71 0.087 = 54.1
4. Cálculo dos esforços de dimensionamento
4.1. Esforços de 1ª ordem
Combinação 1
Acções e reacções de cálculo
52.5 kN/m600 kN750 kN
45 kN
923.6 kN 741.4 kN
4.1 kN49.1 kN
81.6 kNm 1.8 kNm
DMF
[kNm]114.9
81.6
18.3
1.8
169.7
(+)
(+)
(-)(-)
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
170
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Combinação 2
Acções e reacções de cálculo
61.3 kNm769.4 kN
47.6 kNm
895.6 kN
35.3 kN9.7 kN
600 kN
45 kN52.5 kN/m
750 kN
(-)
61.3
DMF[kNm]
(+)
(+)
191.9
79.9(-)
(-)
47.6
8.7
4.2. Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
(i) Pilar P1
λ = 42.3 < / 35
Msd Nsd =
47.6 895.6 = 0.05 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.4 = 1.4 (Combinação 2 – mais desfavorável)
⇒ é necessário verificar a segurança à encurvadura
(ii) Pilar P2
λ = 54.1 < / 35
Msd Nsd =
18.3 741.4 = 0.02 ≥/ 3.5 h = 3.5 × 0.3 = 1.05 (Combinação 1 – mais desfavorável)
⇒ é necessário verificar a segurança à encurvadura
4.3. Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
10 com 1 r =
5 h × 10-3 η e η =
0.4 fcd Ac Nsd
Combinação 1
Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] η 1/r [m-1] e2 [m]
P1 4.87 0.4 0.12 923.6 0.69 8.63×10-3 0.020
P2 4.71 0.3 0.09 741.4 0.65 10.83×10-3 0.024
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
171
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Combinação 2
Pilar L0 [m] h [m] Ac [m2] Nsd [kN] η 1/r [m-1] e2 [m]
P1 4.87 0.4 0.12 895.6 0.71 8.88×10-3 0.021
P2 4.71 0.3 0.09 764.9 0.63 10.5×10-3 0.023
Nota: É o pilar mais rígido que condiciona o deslocamento horizontal. Para um
determinado deslocamento horizontal o pilar mais rígido atinge primeiro a cedência (a
curvatura é igual nos dois pilares, logo, as extensões são maiores no pilar mais rígido).
4.4. Cálculo da excentricidade acidental
ea = max L0/300
0.02m ⇒ ea = 0.02 m
4.5. Determinação da força horizontal equivalente
θ
2(e2+ea)∆H
M2ª ordem = N (e2 + ea)
⇒ ∆H = N 2 (e2 + ea)
L ⇔
⇔ ∆H = ∆H1 + ∆H2 = (N1 + N2) 2 (e2 + ea)
L
Combinação 1
∆H = (923.6 + 741.4) × 2 × (0.02 + 0.02)
4.0 = 33.3 kN
Combinação 2
∆H = (895.5 + 769.4) × 2 × (0.021 + 0.02)
4.0 = 34.1 kN
Esforços provocados por uma força unitária
(-)(+)
0.7
1.2 (-)
1.4
(+) (-)
0.7
DMF[kNm]
1 kN
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
172
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4.6. Esforços de dimensionamento
Combinação 1
(i) Pilar P1 (secção crítica – secção de topo)
Nsd = 923.6 kN
Msd' = 114.9 + 33.3 × 1.2 = 154.9 kNm
(ii) Pilar P2 (Secção crítica – secção do topo)
Nsd = 741.4 kN
Msd' = 18.3 + 33.3 × 0.7 = 41.6 kNm
Combinação 2
(i) Pilar P1 (secção crítica – secção da base)
Nsd = 895.6 kN
Msd' = 47.6 + 34.1 × 1.4 = 95.3 kNm
(ii) Pilar P2 (Secção crítica – secção do topo)
Nsd = 769.4 kN
Msd' = 80 + 34.1 × 0.7 = 103.9 kNm
5. Determinação das armaduras longitudinais
(i) Pilar P1 (combinação mais desfavorável: combinação 1)
ν =
923.6 0.3 × 0.4 × 13.3×103 = 0.58
µ = 154.9
0.3 × 0.42 × 13.3×103 = 0.24
d1 h =
0.05 0.40 = 0.125 , A400
⇒ ωTOT = 0.44 para d1/h = 0.10 ⇒ ωTOT = 0.480.52 para d1/h = 0.15
ASTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.48 × 0.3 × 0.4 ×
13.3 348 × 104 = 22.01 cm2 ⇒ Adoptam-se 8φ20
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
173
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(ii) Pilar P2 (combinação mais desfavorável: combinação 2)
ν =
769.4 0.3 × 0.3 × 13.3×103 = 0.66
µ = 103.9
0.33 × 13.3×103 = 0.29
d1 h =
0.05 0.30 = 0.167 ≅ 0.15
⇒ ωTOT = 0.72 ⇒ ASTOT = 24.77cm2
⇒ Adoptam-se 8φ20
6. Determinação das armaduras transversais
6.1. Verificação da segurança ao estado limite último de esforço transverso
(i) Pilar P1
(+)
128.2
(-)
154.9D M'sd[kNm]
(+)70.8
DET[kN]
Msd'base = 81.6 + 33.3 × 1.4 = 128.2 kNm
Vsd = 154.9 + 128.2
4 = 70.8 kN
• Verificação das compressões
σc = Vsd
bw × z × cos θ × sen θ = 70.8
0.3 × 0.9 × 0.35 × cos 26° sen 26° = 1901.5 kN/m2
0.6 fcd = 0.6 × 13.3×103 = 7980kN/m2
• Cálculo da armadura transversal
Asw s =
Vsd z cotg θ fyd
= 70.8
0.9 × 0.35 × cotg 26° × 348×103 × 104 = 3.15 cm2/m
Adoptam-se cintas φ6//0.15
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
174
Betão Armado e Pré-Esforçado I
(ii) Pilar P2
47.0 (-)
(-)
(+)
84.6
DET[kN]103.3D M'sd
[kNm]
Msd'base = 61.3 + 33.3 × 0.7 = 84.6 kNm
Vsd = 103.3 + 84.6
4 = 47.0 kN
• Verificação das compressões
σc = Vsd
bw × z × cos θ × sen θ = 47.0
0.3 × 0.9 × 0.25 × cos 26° × sen 26° = 1767.2 kN/m2
• Cálculo da armadura transversal
Asw s =
Vsd z cotg θ fyd
= 47.0
0.9 × 0.25 × cotg 26° × 348×103 × 104 = 2.92 cm2/m
Adoptam-se cintas φ6//0.15
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
175
Betão Armado e Pré-Esforçado I
3.4. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM EM ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS
Conforme se referiu anteriormente, uma estrutura de nós fixos é aquela que possui
elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver grande
parte das acções horizontais e cujos nós sofrem deslocamentos horizontais
desprezáveis.
Lpilar
Lparede
No que respeita à verificação da segurança dos pilares, os deslocamentos dos nós
podem ser desprezados, o mesmo não acontecendo quando se pretende verificar a
segurança das paredes. As paredes, por se tratarem de elementos com grande
rigidez, terão uma deformada semelhante à de uma consola, e os pequenos
deslocamentos horizontais serão importantes.
3.4.1. Verificação da segurança dos elementos verticais
(i) Pilares
Os pilares de pórticos de nós fixos podem ser analisados como pilares isolados.
Possíveis configurações deformadas e diagramas de momentos flectores
correspondentes
δ Msd
M'sd
δ Msd
M'sd
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
176
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Esforços de dimensionamento
- Nós: Nsd ; Msd
- Secção crítica: Nsd ; M’sd = Mcálculosd + Nsd (e2 + ea)
onde
Mcálculosd = máx
0.6 Msd,a + 0.4 Msd,b
0.4 Msd,acom |Msd,a| ≥ |Msd,b|
Nota: A secção crítica (onde os efeitos de 2ª ordem são mais desfavoráveis)
ocorre entre nós.
(ii) Paredes
Lparede
Comprimento de encurvadura: L0 = 2 Lparede
Nota: Na determinação dos esforços de
dimensionamento, devem ser consideradas as
excentricidades adicionais.
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
177
Betão Armado e Pré-Esforçado I
4. Flexão Desviada
4.1. ROTURA CONVENCIONAL
εs ≤ 10‰
εc(-) ≤ 3.5‰
Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia.
4.2. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES (i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão
armado
σc
Fs1Fs2
Fc
My
Mz
(-)
ε
(+)
Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um
par de esforço MRd,y – MRd,z
(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama
de interacção MRd,y – MRd,z
(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
dimensionamento
Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis
de esforço axial.
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
178
Betão Armado e Pré-Esforçado I
Grandezas adimensionais:
− Esforço normal reduzido: ν = NRd
b h fcd
− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y
b h2 fcd ; µz = MRd,z
b2 h fcd
− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h
fyd fcd
Nota:
Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como
se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. Neste caso, é
necessário verificar no final a seguinte condição:
Msd,y
MRd,y
α
+
Msd,z
MRd,z
α
≤ 1.0
onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os
seguintes valores:
• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2
• Secções transversais rectangulares
Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0
α 1.0 1.5 2.0
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
179
Betão Armado e Pré-Esforçado I
EXERCÍCIO 14
Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo
indicados.
z
0.50
0.30
y
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 14
Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) Msdz
Msdy
Astot/4
ν = Nsd
b h fcd = -1200
0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60
µy = Msdy
b h2 fcd = 150
0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15
µz = Msdz
b2 h fcd = 150
0.302 × 0.50 × 13.3×103 = 0.167
Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15
ν = -0.6
µ1 = 0.167 µ2 = 0.15
⇒ ωTOT = 0.60
⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd = 0.60 × 0.30 × 0.50 ×
13.3 348 × 104 = 34.4cm2
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
180
Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável
181
EXERCÍCIO 19
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;
Msdy = 200 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 19
Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν =
Nsd
π r2 fcd =
-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152
⇒ ωTOT = 0.30
AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd fyd = 0.30 × π × 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2