modulo 2 - v iti miliziano · 2013-01-24 · v iti informatica – corso di sistemi – a.s....

rev.00 21 gennaio 2013

V ITI INFORMATICA

CORSO DI SISTEMI a.s. 2012/13

MODULO 2 Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist

U.D.2.5:

o Diagrammi di Nyquist: regole di tracciamento;

U.D.2.3:

o Stabilità di un sistema reazionato;

U.D.2.4:

o Criterio di Bode;

o Esercizi risolti;

Obiettivi del modulo: Saper analizzare la stabilità di un circuito attraverso il criterio di Nyquist.

V ITI INFORMATICA – CORSO DI SISTEMI – a.s. 2012/13 MODULO 02 – Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist

U. D. 2.5: Diagramma di Nyquist, regole di tracciamento; U.D. 2.6: Stabilità di un sistema reazionato; U.D. 2.7: Criterio di Bode

rev.03 21 gennaio 2013 Pagina 2 di 27

SOMMARIO

SOMMARIO ........................................................................................................................ 2

1. DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST ........................................................................... 3

1.1. Definizione ............................................................................................................. 3

1.2. Regole di tracciamento ........................................................................................... 4

1.3. Esempio sul calcolo dei limiti .................................................................................. 5

1.4. ESERCIZIO 5.1 ...................................................................................................... 7

Svolgimento ..................................................................................................................... 7

1.5. ESERCIZIO 5.2 ...................................................................................................... 8

Svolgimento ..................................................................................................................... 8

1.6. ESERCIZIO 5.3 ...................................................................................................... 9

Svolgimento ..................................................................................................................... 9

I CASO: K0>0 .................................................................................. 9

II CASO: K0>0 ........................................................................... 10

III CASO: K0>0 .............................................................................. 11

1.7. ESERCIZIO 5.4 .................................................................................................... 12

Svolgimento ................................................................................................................... 12

1.8. ESERCIZIO 5.5 .................................................................................................... 14

Svolgimento ................................................................................................................... 14

I CASO: K0>0 .......................................................................... 14

II CASO: K0>0 ......................................................................... 15

2. Esempi .................................................................................................................... 16

3. Analisi della stabilità di un Sistema .......................................................................... 19

1.1. Definizione di stabilità ........................................................................................... 19

1.2. Sistemi a catena chiusa (o reazionati) .................................................................. 22

1.3. Guadagno d’anello ............................................................................................... 24

1.4. Disturbi ................................................................................................................. 25

1.5. Criteri di stabilità: criterio di Nyquist ...................................................................... 26




1. DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST

1.1. Definizione

Il diagramma polare di una funzione complessa F(s), definito anche come diagramma di

Nyquist, si disegna rappresentando la sua parte immaginaria e reale al variare della pulsazione ω.

In particolare, ponendo s=jω, la F(s) diventerà una funzione complessa con parte reale e

immaginaria dipendente da ω.




1.2. Regole di tracciamento

Per tracciare il suddetto diagramma occorre procedere con i seguenti passi.

1. calcolo dei seguenti limiti: (Si veda esempio sul calcolo dei limiti)

2. disegnare gli zeri e i poli sul grafico σ/ω (detto anche piano delle radici):

Nel diagramma, i poli vengono indicati con una x, mente gli zeri con una o.

3. tracciare il grafico qualitativo nel piano Re{ F (j ω)}/ Im { F (j ω)} al variare di ω, tenendo conto che:

a) i poli negativi (p<0) fanno ruotare la curva in senso orario

b) i poli positivi (p>0) fanno ruotare la curva in senso antiorario

c) gli zeri negativi (z<0) fanno ruotare la curva in senso antiorario

d) gli zeri positivi (z>0) fanno ruotare la curva in senso orario

e) l’ordine con cui gli zeri e i polo si trovano sul piano σ/ω 4. orientare la curva con delle frecce da ω0+ a ω+∞ 5. completare il diagramma disegnando la curva simmetrica di quella tracciata rispetto

all’asse orizzontale, orientandola da ω-∞ a ω 0- in modo da completare la curva precedente.

ω




1.3. Esempio sul calcolo dei limiti

1. determinare la costante (K), gli zeri (Z) e i poli (P) e calcolare KF e la sua fase: K = 10

p = -100 ω = 100 rad/sec

Kst = K(-Z)/(-P) = 10/100 = 1/10 >0

< KF = 0°

2. sostituire s = j ω nella F(s): F(j ω) = 10 / (j ω +100)

3. calcolare i limiti del modulo, sostituendo ad ω i rispettivi punti:

4. calcolare i limiti della fase rispettando queste regole:

A) Per il calcolo del primo limite occorre tenere conto solo dei contributi di KF e di eventuali zeri o poli all’origine. In particolare:

a)

b)

c) calcolo del limite del nostro esempio:

B) Per il calcolo del secondo limite, occorre tenere conto sia del risultato del primo limite, sia dei contributi di fase dei vari zeri e poli, secondo queste regole:

a)




b)

c) calcolo del limite del nostro esempio:




1.4. ESERCIZIO 5.1

Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento:

Con: K0, τ1, τ2 >0

Svolgimento

I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0+, risultano:

Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a , risultano:

Dati tali risultati, scaturisce il seguente diagramma di Nyqyust, nel quale viene riportato in

rosso il grafico con ed in blu la parte di grafico dovuta ad .

Generalmente viene disegnato solamente l’andamento qualitativo dovuto ad .




1.5. ESERCIZIO 5.2


Con: K0, τ1, τ2, τ3 >0

Svolgimento



Rispetto all’esercizio 5.1, si può notare che l’aggiunta di un polo ha avuto l’effetto di far

ruotare il diagramma in senso orario.

L’aggiunga di uno zero avrebbe avuto l’effetto opposto.




1.6. ESERCIZIO 5.3


Svolgimento

Analizziamo i vari casi:

I CASO: K0>0






II CASO: K0>0

In questo caso lo zero fa sentire prima il suo effetto, per cui, anche se la fase finale tende

comunque a 180° come nel caso precedente, il diagramma finale risulta essere il seguente:




III CASO: K0>0

Questa volta lo zero farà sentire da subito il suo effetto, per cui il diagramma prima tenderà

a 90°, ma in seguito l’azione dei tre poli lo porterà a -180°, come mostra il seguente diagramma:




1.7. ESERCIZIO 5.4


Svolgimento



Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist:

Le intersezioni con gli assi si determinano imponendo le seguenti condizioni:




Analogamente si determina l’intersezione con l’asse reale:

Per determinare l’asintoto verticale, bisogna invece calcolare il seguente limite:




1.8. ESERCIZIO 5.5


Svolgimento

Analizziamo i diversi casi:

I CASO: K0>0



Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist:




II CASO: K0>0




2. Esempi




σ

p1 z1




jω

σ

p2 p1 z1




3. Analisi della stabilità di un Sistema

1.1. Definizione di stabilità

Un sistema si dice stabile se ad un ingresso x(t) limitato, corrisponde un segnale di

uscita y(t) pure limitato.

Studiare la stabilità di un sistema, significa quindi analizzare come reagisce il sistema

quando in ingresso sono presenti disturbi o rumori esterni, facendone variare le caratteristiche

della grandezza di uscita.

In genere un sistema, quando è sottoposto ad opportuni ingressi, tende a stabilizzarsi,

dopo un certo tempo che chiameremo transitorio, ad un valore ben preciso e costante, che

chiameremo valore di regime.

Se per diverse cause (rumori o disturbi), gli ingressi subiscono variazioni, il sistema reagirà

modificando la sua uscita, in modo da trovare un nuovo equilibrio.

In particolare:

y

(t)

t

x

(t)

t

SISTEMA

STABILE INSTABILE




se la variazione, che è presente durante il transitorio, tende comunque a cessare, per cui

l’uscita si porterà nuovamente al suo valore di regime iniziale, allora il sistema si dirà stabile;

se invece la variazione tende a crescere, il sistema si dirà instabile e l’uscita tenderà a

crescere di ampiezza finché sarà limitata dalle non linearità del sistema stesso.

Nel caso di sistemi elettronici, la stabilità dipende dalla funzione di trasferimento che

modellizza il sistema stesso, e in particolare dai suoi poli (cioè i valori che annullano il

denominatore).

In particolare, data una funzione di trasferimento del tipo :

Con:

z = zero della funzione di trasferimento;

p1 e p2 = poli della funzione di trasferimento.

Diremo che:

1. il sistema è instabile quando la sua F(s) presenta almeno un polo positivo

(p>0):

Esempio:

dove: il polo p=+10

a cui corrisponderà un segnale di uscita che tende a crescere esponenzialmente di

ampiezza.




2. il sistema è debolmente stabile se la sua F(s) presenta almeno un polo

all’origine, e tutti gli altri negativi :

Esempio:

dove:

il polo p1=0;

il polo p2=-100<0

in questo caso il sistema, per quanto riguarda il polo nullo, si trova in una situazione

piuttosto critica, perché basterebbe una piccola perturbazione esterna affinché l’uscita aumenti in

modo esponenziale, rendendo instabile il sistema.

3. il sistema è stabile se la sua F(s) presenta tutti i poli con parte reale negativa:

Esempio:

dove:

y

(t)

t

y

(t)

t




il polo p1=-10 (<0);

il polo p2=-100 (<0)

in questo caso, anche se in ingresso al sistema si dovesse presentare una perturbazione

esterna, l’uscita, dopo una debole variazione, tenderà ad assestarsi al valore di regime iniziale.

1.2. Sistemi a catena chiusa (o reazionati)

In genere, soprattutto nel campo dell’Elettronica, nasce la necessità di avere dispositivi

molto stabili, nonostante eventuali variazioni degli ingressi (innalzamenti bruschi di tensione o

altro). Per tale motivo si ricorre all’introduzione di opportune reti di reazione negativa che

stabilizzano il sistema stesso e lo proteggono da disturbi esterni: si parla in questi casi di sistemi

reazionati.

Precisiamo che si definisce sistema a catena aperta quello formato da due o più blocchi in

cascata, come mostrato in figura:

Si definisce sistema a catena chiusa (o reazionato) quello in cui una parte del segnale di

uscita viene riportata in ingresso mediante un’opportuna rete di reazione, come mostrato in figura:

y

(t)

t

Blocco B

Blocco A

X




In cui: G(s) funzione di trasferimento del blocco diretto

H(s) funzione di trasferimento del blocco di reazione

In genere per lo studio dei sistemi reazionati, si definiscono due funzioni di trasferimento :

la funzione di trasferimento a catena aperta, ottenuta dallo schema precedente

togliendo la reazione e ponendo il blocco di reazione in cascata al blocco diretto,

come mostrato in figura:

da cui, si ricava:

la funzione di trasferimento a catena chiusa, riferita allo schema generale prima

disegnato, che, con opportuni passaggi matematici, risulta essere:

G(s) H(s)

X Y




1.3. Guadagno d’anello

La F(s) = G(s) H(s) viene anche chiamata funzione guadagno d’anello, perché rappresenta

il guadagno del sistema a catena chiusa quando non viene applicato nessun segnale di ingresso.

Essa risulta fondamentale per lo studio di un sistema reazionato, perché dal suo segno si

stabilisce il tipo di reazione che si sta utilizzando.

Più precisamente:

se F(s) > 0 si ha un reazione negativa, poiché parte del segnale di uscita viene

prelevato e sfasato di 180° rispetto al segnale di ingresso; come conseguenza, si

avrà che il guadagno complessivo a catena chiusa risulterà più piccolo rispetto al

singolo guadagno del blocco diretto:

W(s) < G(s)

se F(s) < 0 si ha una reazione positiva, poiché parte del segnale di uscita viene

prelevato e riportato in fase con il segnale di ingresso; in tal caso si avrà l’effetto

contrario, e cioè:

W(s) > G(s)

In genere, la reazione positiva viene usata per quelle applicazioni in cui si vuole rendere

instabile un sistema elettronico: è il caso degli oscillatori e dei generatori di segnali periodici.

Invece, la reazione negativa viene utilizzata quasi sempre in quei casi in cui si vuole

stabilizzare dispositivi in modo da renderli immuni dalla presenza di perturbazioni esterne

indesiderate (ad es. negli amplificatori,…).




1.4. Disturbi

Si definisce disturbo qualunque segnale esterno indesiderato che interagisce col sistema

in un punto qualunque dello schema a blocchi.

In particolare, facendo riferimento alla seguente figura:

Si può affermare che:

1. per quanto riguarda il disturbo D1 presente in ingresso, risulta quello più pericoloso,

perché si somma sin dall’inizio al segnale utile che ci interessa e con esso

amplificato; per tale motivo, se il segnale di ingresso non ha un’ampiezza molto più

grande del disturbo stesso, in uscita rischia di ‘annegare’ nel rumore: è necessario

allora porre in ingresso un opportuno filtro che tagli i segnali indesiderati e permetta

il passaggio solo di quelli utili, ottenendo così in uscita un rapporto segnale/rumore

molto alto (S/N +∞).

2. per quanto riguarda invece il disturbo D2 presente nella fase intermedia della

catena, può considerarsi trascurabile, in quanto, per effetto della reazione, verrà

quasi totalmente attenuato rispetto al segnale utile.

In conclusione, sono più pericolosi i disturbi in ingresso rispetto a quelli intermedi, perché

vengono maggiormente amplificati e quindi presenti ancora nel segnale di uscita, anche se

attenuati per effetto della reazione negativa.




1.5. Criteri di stabilità: criterio di Nyquist

Per studiare la stabilità di un sistema reazionato, esistono diversi metodi sia matematici sia

grafici, ma quello più usato, senza dubbio, risulta il Criterio di Nyquist.

Per applicare il criterio di Nyquist occorre tracciare nel piano complesso il diagramma

polare di W(s), tenendo presente che la parte di diagramma relativa alle pulsazioni negative (da

a 0), è speculare rispetto all’asse reale al diagramma tracciato per ω che va da 0 a , che

solitamente si traccia come modello grafico di una F.d.T. Il diagramma polare così costruito, con la

prosecuzione matematica nel campo delle pulsazioni negative, prende il nome di diagramma

polare completo.

Il criterio di Nyquist (generalizzato), per un sistema come quello in figura,

in cui:

(Funzione di trasferimento a catena chiusa)

(Funzione di trasferimento a catena aperta, o ‘Guadagno

d’anello)

afferma che: “un sistema è stabile se il diagramma polare completo della F.d.T. di

anello W(s) compie intorno al punto di coordinate (-1,j0) (detto punto critico), mentre la

pulsazione va da tante rotazioni complete in senso antiorario quanti sono i poli a

parte reale positiva della funzione W(s)”




Se dovesse sorgere qualche dubbio nel valutare se un diagramma ruota o meno intorno al

punto critico, si prenda in considerazione il vettore che, con origine nel punto critico, descrive con

la sua punta il diagramma al variare di ω, che va da a ; in ogni angolo giro descritto nel

movimento corrispondente ad una rotazione completa in un verso o nell’altro.

In definitiva, semplificando, si può dire che: il criterio di Nyquist afferma che se disegnando il grafico della F(s) nel digramma polare di Nyquist, si ottiene che la curva:

non circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta stabile;

passa per il punto (-1, j0), il sistema risulta debolmente stabile;

circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta instabile.

Quello appena esposto prende il nome di criterio di Bode:

Un sistema di controllo in retroazione, avente funzione d’anello aperto stabile (P=0),

è a sua volta stabile se e solo se il diagramma di NUquist della funzione d’anello aperto non

compie giri attorno al punto (-1,0).

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