modulo 1_aspectos didacticos y curriculares.pdf

7/25/2019 modulo 1_Aspectos didacticos y curriculares.pdf

1/59

Competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones decantidad

- Nmeros Enteros- Nmeros Racionales- Proporcionalidad

MDULO 1

Direccin Regional de Educacin

de Lima Metropolitana


2/59

1

MODULO 1

ASPECTOS CURRICULARES-DI-

DACTICOS

SESIN 1

Se plantea actividades para la reflexin de la resolucin de problemas y

el reconocimiento de la prctica didctica en relacin a la competen-

cia matemtica asociada a la cantidad, planteado desde las rutas de

aprendizaje. Asimismo se plantea lectura y situaciones de casos que

enfatizan la comprensin de la cantidad y magnitud, el significado del

signo en los nmeros enteros y el reconocimiento de errores o difi-

cultades las que podran estar incurriendo los estudiantes al resolver

estas situaciones.

SESIN 02

Se plantea actividades para la resolucin de problemas relacionadosal nmero racional con sus diferentes significados, asimismo los

participantes reflexionarn a travs de casos para plantear

supuestos sobre cules seran las dificultades o errores en la

resolucin de problemas. Por otro lado se plantea el anlisis de

casos y de mapas mentales para poder reconocer cuanto

comprenden el estudiante respecto al nmero racional.

SESIN 03

Se plantea actividades orientadas a la comprensin de la

proporcionalidad que involucra en cierta medida el entendimiento dela razn. En esta sesin se analizar las diferentes concepciones de

la razn que afectan la produccin y conduccin de secuencias

didcticas, que muchas veces es visto como una expresin numrica

racional. Asimismo, se reconocern estrategias de enseanza que

se pueden plantear a partir de las diferentes expresiones de la

proporcionalidad.

Direccin Regionalde Educacin deLima Metropol i tana

Jr. Julin Arce N 412(Ref. cdra. 4 de Av.

Canad) - Santa Catalina,La Victoria.

http://www.drelm.gob.pe/

Equipo deelaboracin:

Pedro David

Collanqui Diaz Jaime Luis Soto

Castro

Kasper Michael

Gutierrez Ibaceta

Colaborador:

Carlos Baca

Lima, Per


3/59

2

El Modulo de formacin curricular y didctica para docentes organizado de la siguiente manera:

Temas a trabajar por sesin:

Produ ctos esperados:

Duracin del Mdulo:

15 horas presencial

15 horas no presencial

Total de sesiones


4/59

3

Sesin 01

CONTENIDO

Lectura:Hablar de cantidades y magnitudes es hablar de nmeros?

Caso:Significado del nmero entero

Anlisis:Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del nmero entero.

Estrategias de aprendizaje y enseanza para con los numero enteros.

Actividades considerando sesiones JEC y tems tipo PISA

COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN EL DOCENTE

Expresa ideas y conceptos relacionados a la cantidad y magnitud, comprendiendo lasdiferencias y relaciones entre ambos trminos.

Aporta puntos de vista respecto al sentido y significado del signo en los nmeros enteros.

Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los nmerosenteros.

Elige la fuente de informacin ms coherente y relevante para reconocer y plantearsituaciones de enseanza y aprendizaje con los nmeros enteros.

Propone maneras de solucionar un problema y los desarrolla en equipos de trabajodefiniendo planteamientos didcticos especficos.


5/59

4

1.1 Cantidad y magnitud

LECTURA

En el planteamiento de las competencias propuestas en la educacin

bsica regular, reconocemos la competencia

Acta y piensa matemticamente en situac ion es de cantid ad

A continuacin te presentamos una lectura que pretende propiciar la reflexin en el equipo de

trabajo y aproximarnos al sentido de situaciones de cantidad.

Desde un punto de vista genrico se dice que la cantidad es la propiedad de lo que puede

medirse o numerarse; de que todo lo que es capaz de aumento o disminucin. Si queremos

especificar algo ms, hemos de tener en cuenta la definicin que se adopta para el concepto de

magnitud.

As, en matemticas, se llama cantidad de magnitud a cada uno de los elementos del semi grupo

(o grupo) que constituye la magnitud; cada cantidad es por tanto, una clase de equivalenciaformada por todos los elementos de un grupo homogneo que verifican la identidad respecto de

la caracterstica sobre la que se define la relacin de equivalencia.

En ciencias experimentales se dir, alternativamente que presenta en el mismo grado la

propiedad o caracterstica que define la magnitud (o que son elementos iguales desde el punto

de vista de la magnitud), lo que tambin suele expresar diciendo que una cantidad es un estado

determinado de una magnitud.

Por tanto, el concepto de cantidad en las ciencias experimentales es, igualmente, un concepto

abstracto, ya que se refiere a la propiedad comn de un conjunto de objetos o entes

pertenecientes al mundo sensible. Pero, adems de que esta propiedad se refiere al mundo

fsico y, por tanto, est sujeta a las condiciones y limitaciones empricas que la realidad impone,

la diferencia con respecto a las matemticas radica en el hecho de que existen cantidades

numerables o medibles experimentalmente que no son consideradas como tales desde el punto

de vista de la teora matemtica de magnitudes (ejemplo: temperatura, otras magnitudes

intensivas y no aditivas). Se puede decir, por tanto, que esta teora proporciona modelos

abstractos que son aplicables a una parte de las magnitudes y cantidades del mundo sensible.

En matemticas las medidas es un isomorfismo entre semi modulos que conservan el orden

(Chamorro, C; Belmonte, J.M. 1988) de manera que lo que se establece realmente es una

identificacin entre el conjunto de cantidades y un subconjunto de los nmeros reales. Segn que

este subconjunto sea N, Z, Q o R, la medida ser natural, entera, racional o real. Asimismo, como

consecuencia de la propia definicin de magnitud, cualquier medida de una cantidad de magnitudviene expresada por un nmero y por una unidad de medida que se toma como referencia.

Con independencia de las limitaciones empricas de la medicin, que conduce a la necesidad de

trabajar en algunos casos con valores aproximados, el concepto de la medida en ciencias

experimentales es ms general y ser el que adoptaremos medir supone asignar un nmero a

una cantidad de magnitud definicin que se adapta a cualquier enfoque, puesto que est

supeditada a lo que se entienda por magnitud y por cantidad de una magnitud

El concepto de cantidad, pg. 174, Jos Luis Gonzales Mari, Nmeros naturales relativos, 1988.

Haciendo uso d e revistas y peridicos elabora un mapa mental que aborde las

com prensio nes respecto a la cantid ad y las magnitu des, en ella no ol vidarexpresar aspectos de la m atemtica de cmo son interpretados y tratado s.


6/59

5

1.2 Nmero entero

ESTUDIO DE CASOS

Se reconoce situaciones que se pueden modelizar recurriendo a una estructura ordinal (Z, )

ejemplo: temperaturas, cronologa ordinaria, y otras. Como aquellos que se modelizan en

mediante el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ) ejemplo: saldos, bancarios, golf, y otras.

El estudio de los nmeros enteros implica la interpretacin y aplicacin del concepto y su

significado como nmero relativo en diferentes contextos (fsicos, geogrficos) de medida

(absolutos) y su ubicacin en la recta numrica.

A con tinuacin se presenta casos en los qu e es necesario recono cer el valor

de los sign os para el desarrollo de aprendizajes con los nmeros enteros.

Respond e cada caso y marca las alternativas que con sideres.

Atribucin de significados, signos y adjetivos duales a las regiones. Completa las siguientes

frases para que tengan sentido:

Caso 01

Las temperaturas sobre cero son . y las temperaturas bajo cero son .

No lo s

no es posible completar la frase

depende de

Caso 02

Subir escalones es .. y bajar escalones es ..

No lo s

No es posible completar la frase

Depende de


7/59

6

Caso 03

En cada uno de los siguientes casos, seala el tipo de nmero que se debe utilizar para que

la frase sea correcta y tenga sentido:

Caso 04

Subraya las opciones que consideres ciertas

-5 puede representar Un ingreso negativoUna subida negativa

Una ganancia negativa

Una variacin de temperatura

Un saldo deudor

Una temperatura negativa

+ 5 puede representar Un ingreso positivoUna subida positiva

Una ganancia positiva


Un saldo deudor

Una temperatura negativa

5puede representar Un ingresoUna subida

Una ganancia


Un saldo

Una temperatura

Caso 05

Decir si es posible o no posible que ocurran las siguientes cosas

Si No No s Depende

Una subida de temperatura menor que

cero

Una prdida econmica mayor que cero

Un ingreso mayor que cero

Una deuda menor que cero

Un saldo mayor que cero

Sin signo

(natural)

Signo (entero)

Una temperatura de

Una ganancia de .

Un saldo bancario de .

Una bajada de temperatura de


8/59

7

Caso 06

Cul es en teora el menor valor disponible? (si no existe, no se conoce o no lo sabes,

ponlo a continuacin)

De un saldo bancario ..

De un aumento de temperatura

En un ascensor, de una planta que est por debajo de la planta baja ..De una temperatura

De una perdida en un juego de canicas ..

De una fecha dada en aos (calendario)

De un reintegro en el banco (sacar dinero)

Caso 07

Dos personas han estado hablando en una mesa y se han marchado dejando un papel con

la siguiente nota: -2+4-(-1). de que pueden haber estado hablando? Inventa dos historias

diferentes:

Con gastar y perder en un juegoCon ingresos y reintegros bancarios

Caso 08

En una jugada, Juan ha pasado de ir perdiendo 3 a ir ganando 2. Qu ha pasado en esa

jugada? Simboliza aritmticamente y explica el significado de cada smbolo numrico que

utilices.

Caso 09

En una jugada juan ha perdido 3 y en la siguiente jugada ha ganado 2. Qu ha pasado

entre las dos jugadas? Simboliza con nmeros y operaciones y explica el significado de

cada uno de ellos.

Caso 10

Hacia 6 grados bajo cero y la temperatura ha subido 5 grados, luego hace

Debo 3 y pago 1, luego

Tengo 5 y gasto 7, luego ....


9/59

8

1.3 Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del

nmero entero.

ANALISIS

En algunos problemas de diversos contextos se reconoce las limitaciones que tiene

el campo de los nmeros naturales.

Con el campo de los nmeros enteros, tenemos la oportunidad de ampliar la

interpretacin y solucin de problemas que no tienen solucin en el conjunto de los

nmeros naturales y aplicarlos en la resolucin de situaciones de la vida diaria que se

relacionan con variaciones de temperatura ambiental, el orden cronolgico, ganancias

y prdidas, desplazamientos en busca de una direccin, el manejo de una cuenta de

ahorros, etc., haciendo corresponder a determinadas expresiones los signos +

(positivo) (negativo).

Es de conocimiento que los estudiantes tienen dificultades en la comprensin de los

naturales a los enteros, esta dificultad tiene un antecedente histrico. Hantranscurrido muchos aos para que los nmeros negativos dejaran de ser una simple

especulacin terica y se los admitiera como parte del campo matemtico.

Resolver las sit uacion es de la pgin a 14, analizar en entre los miemb ros d el

equipo los errores o po sibles respuestas de como hubieran resuelto los

estudiant es recono ciendo 5 dif icultad es o prob lemas qu e tendran los

estudiantes.

Sit uacin p ara anli sis 01

Se hizo una excavacin de 8 pies de profundidad al lado de un muro de 8 pies de altura.

Qu diferencia existe entre los 8 pies de altura del muro y los 8 pies de profundidad de la excavacin?

Con respecto a la figura 1 Existe alguna diferencia entre los 4 pies sobre el nivel del terreno y los 4 pies bajo el

nivel del terreno? Cmo diferenciarlos Cmo saber cundo son 5 pies sobre el nivel del terreno o 3 pies bajo

el nivel del terreno; sin tener que escribir las frases sobre el nivel del terreno o bajo nivel del terreno?Podras colocar a los nmeros de arriba y abajo alguna sea o signo para diferenciarlos? Intntalo!

Evidencias


10/59

9

Sit uac in para anlis is 02



11/59

10




12/59

11




13/59

12


A continuacin, se presenta algunas dificultades que los estudiantes podran manifestar frente a

cuestiones o problemas relacionados a los nmeros enteros.

o Los nmeros enteros se manejan como si se tratasen de naturales; lo que significa que

el signo se interpreta como smbolo de la resta entre nmeros naturales o bien

se ignora, lo que producen muchas respuestas errneas.


14/59

13

o El nmero est considerado como la medida de una cantidad y no puede ser ms que

positiva es decir, se reconoce que los enteros negativos son menores que los positivos,

pero la relacin de orden entre los negativos se establece en el mismo sentido que sus

valores absolutos.

o Se resuelve correctamente los problemas que ponen en juego la estructura aditiva de,

pero se utiliza, siempre que sea posible y permita obtener la respuesta correcta; si no se

trabaja separando a los positivos de los negativos. No se produce la unificacin delconjunto de los enteros, pero los unos se definen por oposicin de los otros.

o Las estrategias de resolucin en ponen de manifiesto su homogenizacin: positivos y

negativos son tratados como un todo, es decir no se manejan por separado. La relacin

de orden entre enteros negativos se establece correctamente y empiezan a utilizarse las

relaciones de compatibilidad entre el orden y la suma de enteros.

Coquin -Vienot (citado por Cid, 1985)

o Los estudiantes tienen la idea de que no existen nmeros menores que cero, es decir,

los significados ms familiares que han trabajado en la escolaridad sobre los nmeros

positivos y de las operaciones con ellos conducen a que los estudiantes tengan la idea

de que no hay otros nmeros menores que los positivos.

o Los cambios que se producen en la simbologa ( +a = a ), lo que indica que la

presentacin a los estudiantes de los nmeros enteros positivos con una escritura y una

denominacin diferentes a las que ya se conocan (antes: 1, 2, 3, naturales; ahora:

+1, +2, +3 enteros positivos) conduce a que sea muy difcil la consideracin del

antiguo sistema numrico como parte del nuevo.

o El surgimiento de nuevas reglas operatorias, como la de los signos para la suma y el

producto, es decir, en los problemas de combinacin de variaciones, cuando las dos

variaciones tienen signos opuestos son ms complejos que cuando tiene el mismo

signo. Bruno (1997)

o El ensear el nmero entero, buscando situaciones concretas para justificar

propiedades de estos nmeros; pero por otro lado, el situarlos de entrada en el plano

formal, tambin tiene el peligro de reducirlos a un formalismo vaco, presto a ser

olvidado y causar errores y confusiones.

o La creencia arraigada en la experiencia de cada cual, que identifica el nmero con

cantidad, lo que indica que al no abandonar el plano de lo real, es difcil concebir los

nmeros negativos, porque, simplemente no son necesarios, ejemplo: Nadie dice,

tengo puntos ni tengo metro.

o La suma como aumento, es decir, si un nmero se identifica con cantidad, la adicin se

asocia con la accin de aadir una cantidad a otra, por lo que conlleva siempre a unaumento; por lo que al hacerles la pregunta: Puedes encontrar un nmero que

sumado a d ? responden que no es posible.

o La sustraccin como disminucin, tambin permanece ligada al plano de la accin y la

identifican con quitar y por tanto, con disminucin, por lo cual donde no hay no se puede

quitar.

o El orden entre los negativos es el mismo que el orden natural, es decir, en la serie

natural los nmeros van aumentando a medida que van estando ms alejados del

origen, pero el trasladar esta secuencia a los negativos es la causa de que los

estudiantes al preguntarles Cul es el nmero mayor a unidades? respondan , por lo

que se refleja el obstculo de identificar nmero con cantidad.

Gonzlez (1999)


15/59

14

1.4 Orientaciones para la enseanza y aprendizajerelacionadas a los nmeros nmero entero.

Resolver los problemas planteados, y a con tinu acin:

Identi ficar q usitu acin se reco no ce.

Recono cer el mod elo didctico planteado en cada pro blema.

Evaluar qutipo de exten sin m atemtica a p artir d el nmero natu ral se

est pl antean do p ara cada pr ob lema.

PLANTEAMIENTO 01

GRANDES INVENTOS DE LA HUMANIDAD

Desde siempre el ser humano ha buscado por todos los medios a su alcance, la forma de mejorar su

calidad de vida, con su gran inteligencia ha desarrollado herramientas que le han hecho la vida ms

fcil y sencilla. Los siguientes, son algunos de los inventos que han cambiado para siempre la historia

de la humanidad. Los primeros hombres median el tiempo en das. Saban aproximadamente la

duracin del ao observando las estaciones y podan medir el tiempo en meses, mirando la luna. Los

primeros instrumentos para medir el tiempo fueron los relojes de sol y de agua, inventados hacia el

ao 1500 antes de Cristo; se cree que el primer reloj mecnico se hizo en China en el ao despus de

Cristo, meda unos 10m de altura y estaba accionado por agua.

As como el hombre empez a medir el tiempo observando estaciones y mirando la luna, los viajeros

tuvieron la necesidad de indicar su rumbo para orientarse, un instrumento que ayud a esto

fue la brjula, que se invent en China hacia el ao 1000 despus de Cristo y lleg a Europa

100 aos despus. La primera brjula fue una aguja de hierro sobre un trozo de corcho o caa que

flotaba en un vaso de agua.

Otro aspecto por el cual se preocup el hombre, fue por medir las masas, en el ao 4500 antes de

Cristo, el hombre logr pesar objetos con el primer instrumento creado como fue la balanza, en

Siria se us para pesar oro en polvo con pesas de piedra pulidas con gran precisin.


16/59

15

La inexactitud en los diversos sistemas de medicin rudimentarios, fue una de las causas

ms frecuentes de polmicas o disputas entre comerciantes, funcionarios de instituciones y

ciudadanos, en Europa. En el ao 1971 despus de Cristo, tras el derrocamiento de la

monarqua, la Asamblea Nacional Francesa aboli el sistema tradicional de pesas y medidas por

uno denominado mtrico (medida) en mltiplos de diez.

El primer instrumento para ayudar a contar fue el baco, consista en bolas perforadas que se

desplazaban sobre alambres sujetos a un marco, con las que se consegua operar para

representar nmeros; se construy en Babilonia hacia el ao 3000 antes de Cristo, otro instrumento

que se invent para hacer clculos fue la primera mquina calculadora creada en Francia en 1642

despus de Cristo.

Por otra parte, la primera evidencia de que el hombre ha tenido la necesidad de comunicarse

por escrito son los petroglifos dejados en cavernas prehistricas, pero fue hasta el ao 1300 aos

antes de Cristo, donde apareci el primer alfabeto en Siria. Los primeros libros que seimprimieron fueron pergaminos impresos con moldes de madera, creados en China y Corea, hacia

el ao 700 despus de Cristo


17/59

16

En el ao 1500 despus de Cristo se invent la imprenta, fue la mquina responsable de una de las

revoluciones sociales y tecnolgicas ms importantes para la poca, el primer libro elaborado

mediante este sistema fue La Biblia de 42 lneas.

Por otro lado se cree

que las gafas se usaron por primera vez en Italia hacia el ao 1285 despus de Cristo y su uso

se increment , debido a que estas mejoraban la visin de las personas para leer o seguir

trabajando en labores delicadas.

Otro invento importante del hombre fue el descubrimiento de la plvora, los chinos descubrieron

como mezclar salitre, azufre y carbn de encina para hacer plvora. La usaron por primera vez en el

ao 850 despus de Cristo, la plvora se empleaba slo para cohetes y juegos de artificio sin ninguna

intencin de guerra.

Otros inventos significativos para tener presente son: En el ao 3500 antes de Cristo se invent la

rueda en la ciudad de Ur Mesopotamia. En el ao 4000 antes de Cristo la primera teora atmica de

Demcrito, que afirma que la materia es discontinua y estaba formada por partculas indivisiblesllamadas tomos. En el ao 450 antes de Cristo se invent la polea en Grecia y en el ao 100 antes

de Cristo el descubrimiento de la cuchara de mineral magntica eran mgicas, se detenan siempre

con el mango apuntando hacia la misma direccin.


18/59

17

Elaboren fichas , como las siguientes, que contienen fechas y nombres de inventos, establezcancorrespondencia entre cada fecha y el invento asociado a ella.

Elabora una tira cuadriculada, tracen una lnea horizontal y divdanla en una escala de 100 en 100.Ubiquen en uno de los puntos de la escala al CERO (0) que corresponde al nacimiento deCristo. Ubiquen las fechas que elaboraron en sus fichas en la escala que han diseado.

- A las fechas que quedaron a la izquierda del cero anteceda el signo menos y a las fechas que

quedaron a la derecha del cero anteceda el signo ms. Por qu se puede asignar el

signo ms y el signo menos a una cantidad ubicada en la escala de hechos histricos?

- Expliquen la razn por la cual se puede tomar la fecha del nacimiento de Cristo,

como punto de referencia (cero) para diferenciar las fechas de los inventos.

- Entre los nmeros ubicados a la derecha del cero Cul es mayor? Justifica tu respuesta. Y

entre uno ubicado a la derecha y a la izquierda del cero Cul es mayor? Justifica tu

respuesta.

- Entre los nmeros ubicados a la izquierda del cero Cul es menor? Justifica tu respuesta.


19/59

18

PLANTEAMIENTO 02UN JUEGO DE CARRERAS

A continuacin se muestra un juego que involucra la aplicacin de la adicin y sustraccin denmeros enteros.


20/59

19

Tablero pista de las medidas, fichas de diferente color, 2 dados (1 dado verde con

valores positivos, 1 dado rosado con valores negativos).

Utilizando una ficha de diferente color para cada jugador. Se ubican en la salida.

El grupo decide el orden de los turnos para jugar.

El juego se empieza, lanzando los dos dados (verde y rosado), y para llegar a la meta se

procede de la siguiente manera:

o El dado verde marcado con los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5 (positivos), har correr la fichaen la direccin de avance positivo y el dado marcado con los nmeros -0, -1, -2, -3, -4,

-5 (negativos), har correr la ficha en la direccin de avance negativo en sentido

contrario a la flecha del tablero.(Cuando sale el 0 , no hay avances).

Cuando un jugador cae en un espacio marcado con X, debe retroceder espacios.

Cuando un jugador cae en un espacio marcado con A, debe adelantar espacios.

El primer jugador que llegue a cualquiera de las dos metas ser el ganador del juego.

1. Si un jugador tiene los dos dados y saca +5 y -5 en el primer lanzamiento, Dnde

queda ubicada la ficha?

2. Si un jugador tiene dos dados verdes (positivos) y en el primer lanzamiento saca4 y 1, Dnde queda ubicada la ficha? Se obtiene un avance o retroceso?Cmo se puede calcular operativamente el avance o retroceso en este caso?

3. Si un jugador tiene dos dados rosados (negativos) y en el primer lanzamientosaca -4 y -2, Dnde queda ubicada la ficha? Se obtiene un avance oretroceso? Cmo se puede calcular operativamente el avance o retroceso eneste caso?

4. Si un jugador tiene dos dados uno verde (positivo) y uno rosado (negativo) y enel primer lanzamiento saca -9 y 4 Dnde queda ubicada la ficha? Seobtiene un avance o retroceso? Cmo se puede calcular operativamente elavance o retroceso en este caso?


21/59

20

PLANTEAMIENTO 03

DOMINA EL DOMINO

Formen grupos de estudiantes y mediante el empleo del domin jueguen uniendo laoperacin indicada con su resultado y luego escriban las operaciones que realizaron.
http://www.iceni.com/unlock-pro.htmhttp://www.iceni.com/unlock-pro.htm


22/59

21

PLANTEAMIENTO 04

PLANTEAMIENTO 05


23/59

22

PLANTEAMIENTO 06

incluye tanto negativos como positivos: por ejemplo, (-3) < (-2) < (0) < (1).

ORIENTACIONES PARA LA ENSEANZA

Este breve examen de la evolucin histrica de los nmeros negativos muestra que

los negativos y las operaciones de algunos de ellos fueron reconocidos y empleados

muy pronto en situaciones de contexto de deudas, direccin, etc y se exigi, tambin,

a los matemticos profesionales, formar un sistema coherente de operaciones

algebraicas y geomtricas.

Sin embargo, la extensin de los nmeros positivos a una nueva clase, que incluyera

a los nmeros negativos se resisti hasta el siglo XIX. Esta extensin tuvo que

permitir la construccin de los nmeros negativos por la ampliacin de la comprensinprevia de los nmeros positivos (es decir, la aritmtica).

La comprensin de la aritmtica implica muchos aspectos: los sentidos de los

conceptos que tiene la aritmtica (por ejemplo, los diferentes sentidos que tiene el

nmero, "el nmero como posicin" y "el nmero como accin"), el lenguaje, las

formas de expresin, los procedimientos y principios. Para entender a los nmeros

negativos, cada uno de estos aspectos tuvo que ser extendido a partir de los nmeros

naturales.

Freudenthal (1983) propone cuatro tipos de extensiones:

1. Ampliacin del nmero para referirse a un conjunto (imaginario) de cantidades

iguales en magnitud pero de sentido opuesto (es decir, la direccin o el valor) a la

cantidad de objetos fsicos. El trmino matemtico para la estructura que contiene

tanto positivos como los nmeros negativos es un sis tema de magnitud

dir igido.

2. La extensin del dominio de aplicacin para operac iones bin ar iaspara inc luiroperac ionesen pares de positivos o negativos y mixtos, negativo-positivo.

3. Extensin de las operac iones u nar ias para inc luir los cambios (es decir, lasuma y resta), en ambos, nmeros positivos y negativos.

4. Extensin de la relacin d e orden a un nmero de la recta continu a que


24/59

23

Estas cuatro extensiones las denotaremos como Extensin 01, Extensin02,Extension 03, Extensin 04 y son descritas a continuacin:

Extensin 01:

Las magnitudes dirigidas son ob jetos que t ienen una magnitud y dos

posibles estados(2 direcciones, 2 colores posibles, o cargas). Pueden serrepresentadas por nmeros de la forma +a oa, donde a es la magnitud delobjeto, y (+/-) indica una de los 2 estados. Este sentido de magnitudesdirigidas confiere a los nmeros negativos un nivel de objeto matemtico.

Extensin 02:

La adic in y sustracc in b inar ia puede ser extendida a un co njunto d emagnitudes dir igidas. En otras palabras, es posible combinar las osepararlas. As estas acciones llevan a numerosas reglas. Aqu adicin ysustraccin se refieren como operacin binaria porquetienen 2 entradas yun a salida.

Extensin 03:

Sumar puede ser interpretado como un operador unario. La suma cambia unvalor de una magnitud d ir igida dada. La entrada de una operacin unariaes una magn itud d ir igida sencil la/simple/sola, y la salida es una nu evamagnitud q ue fue incrementada por un o perador de adic in. Por ejemplo,la adicin +3 transforma a +4 en +7 y -2 a +1, en este sentido la adicin esuna accin. Con esta nueva definicin de adicin es posible reformular lasreglas anteriores reemplazando +/-b (magnitud dirigida) por +/-b (adicin).Ejemplo: La regla -a + (-b) = -(a + b) Esta regla sera interpretada como sigue:Si el nmeroa es aumentado por (-b), el resultado ser el nmero(a + b).

La sustraccin tambin puede ser interpretada como una operacin unaria. La

accin -(a) es el inverso de la accin +(a). Esta regla modif icada serefi ere a sta: +a - (-b) = +(a + b) Asun a regl a pu ede ser ex pr esad a conla operacin - -que es idntica a la operacin + +porque el resultadode estas dos acciones en cualquier nmero seran idnticas. Similarmente,otras reglas pueden ser expresadas con la operacin - + como en laoperacin + -.

Extensin 4:

La adicin unaria definid a en todas las magn itudes dir ig idas indu ce aun a relacin de orden:Una magnitud xse puede decir que es ms grandeque una magnitud y(es decir x>y) si existe una adicin (unaria) +a (con apositivo) transforma a yen x(es decir,x = y + a); a expresa la diferencia

entre 2 magnitudes.

Por otro lado, Resnick (1991) y Greeno (1992) afirman que partes importantes del

conocimiento matemtico tienen su origen en la experiencia diaria dada por

cantidades de material fsico. Los nios empiezan con modelos didcticos de

actividad cognitiva en la cual comparan y razonan acerca de cambios, combinaciones

y descomposicin de cantidades de material fsico sin una cuantificacin.

La divulgacin de modelos didcticos concretos propuestos para la enseanza de los

nmeros enteros es tanta que cualquier identificacin del modelo conlleva a recurrir a

algn tipo de clasificacin que simplifique la tarea. A continuacin se presentanalgunos modelos didcticos reconocidos:


25/59

24

Personajes u objetos que avanzan o retroceden a lo largo de un camino (Puig

Adam, 1956, pp.45-46; Malpas, y otros)

Ejrcitos que se enfrentan cuerpo a cuerpo (Papy, 1968, pp. 112-148; Rowland,

1982),

Cargas elctricas positivas o negativas (Cotter, 1969; Peterson, 1972; Kohn,

1978, Battista, 1983),

Sumandos y sustraendos, acciones de aadir o quitar u operadores aditivos(Spagnolo, 1986; Davidson, 1987; Souza y otros).

Peldaos que se suben o bajan (Skemp, 1980, pp. 210-216; Gonzlez Alba y

otros, 1989).

Termmetros o escalas de diversas magnitudes (Cable, 1971; Grup Cero, 1980;

Bell, 1986; Sasaki, 1993; Strefland, 1996),

Ascensores que bajan a los garajes o suben a los pisos (Puig Adam, 1956, pp.

46-47; Alsina y otros, 1980; Grup Cero, 1980; Gadanidis, 1994),

Globos que se elevan o que se hunden por debajo del nivel del mar (Petri, 1986),

Cintas de video que se proyectan o rebobinan (Peterson, 1972; Cooke, 1993),

Variaciones en el nivel de agua de un depsito (Alsina y otros, 1980), etc.

Los modelos que pueden ser abordados de forma efectiva para una de las

extensiones a los nmeros enteros.

Situaciones de deudas:

Los nmeros negativos pueden ser representados como cantidades de deuda. Estas

cantidades pueden ser consideradas ficticias, pero el dinero o canica de deuda

tambin pueden ser pensadas como objetos concretos que cambiarn de manos en

algn momento en el futuro.

Un sistema de deudas e ingresos parece ser natural para la extensin 03, elcual tiene reglas que inclu yen adicin y sustraccin como accio nes (agregando

y quitando). La naturaleza de un sistema de deudas e ingresos puede llegar a ser

tenso cuando es usado como una base para ensear las otras extensiones.

Situ acion es de deud as con m ayor rep resentaci n fsica:

Freudenthal (1983) hace referencia a un posible modelo de enseanza de nmeros

negativos que envuelven un sistema de fichas. De acuerdo a este modelo, las fich as

de co lor b lanco y negro pod ran usarse para representar 2 tip os d iferente de

cantidades (extensin 01).

Situaciones con Elevado res (o distanci as):

Son modelos que se pueden relacionar toda la recta numrica con acciones que

permiten pasar de un punto a otro. En el sistema de elevadores, los nmeros pueden

ser usados para representar tanto posiciones (es decir, el tercer piso) como acciones

(es decir, subir esos tres pisos) pero no para representar cantidades. Estas accion es

de subir y bajar seran fciles de distinguir para la extensin 3. Por definicin,

este mod elo es adecuad o para darle u n sentido comp leto a la recta n umrica

neg ativa (Extensin 4).


26/59

25

Situaciones de t iempo:

Un modelo que usa al tiempo, con la escala de A.C. a D.C., puede tambin ser usado

en un esfuerzo por transmitir la informacin sobre los nmeros negativos. Tal modelo

puede tener limitantes similares en el conjunto relevante de reglas como los modelos

antes mencionados. La extensin 01 puede ser difcil de entender por las

mismas razones del modelo de elevador. La extensin 03 pueden ser

demostradas por agregar o quitar duraciones para y de fechas. La extensin04 puede tambin ser naturalmente entendido en trminos de fecha y duracin.

Situacion es de temperatura:

Un modelo usando temperatura para ensear las reglas de los nmeros negativos

tiene particulares ventajas y desventajas. Por un lado, los nios pueden estar

familiarizados con la terminologa de: grados bajo cero. Esto puede ser una

ventaja para la comprensin de las extensiones 01 y 04. Los nios pueden

pensar en grados negativos como un tipo diferente de cantidad y tener una imagen

mental, como un termmetro, para representar el orden y una mtrica.

Situ acion es matemticas (fo rmal es):Un modelo formal para ensear los nmeros negativos recae en la manipulacin de

smbolos. Los smbolos menos son utilizados para distinguir un nuevo y diferente tipo

de cantidad. Las reglas son pensadas para que los nios puedan aprender y

memorizar porque no pueden verificarlas directamente. Por ejemplo, no pueden

verificar que la operacin de sustraccin es un equivalente a la operacin de adicin.

Se espera que los nios aprendan las reglas que an no pueden entender. Todas las

extensiones presentadas previamente estn sostenidas con este modelo.

Nota:

Algunos investigadores manifiestan crticas a los modelos concretos- Bruno y Martinn, 1994; Ernest, 1985; Liebeck, 1990; Mukhopadhyay, 1997 y

otros, han puesto de manifiesto que los estudiantes tienen dificultades para

interpretar la suma y resta de nmeros naturales o enteros usando el modelo de

la recta numrica. Bsicamente, se observa que tienden a representar los

nmeros y el resultado de la operacin como puntos aislados en la recta, no

como desplazamientos (vectores), lo que no les permite dar una interpretacin de

las operaciones en el modelo.

- Lytle (1994), Gallardo (1994) dice que en el modelo de fichas de dos colores

surgen dificultades de interpretacin de la resta de nmeros enteros.

- Bell (1986) muestra que hay estudiantes que no saben dibujar correctamente la

escala de un termmetro, que cuando tienen que calcular la diferencia entre dostemperaturas efectan siempre una resta independientemente de los signos de

las mismas, que no interpretan adecuadamente la expresin ms abajo o ms

arriba.

Orientaciones p ara el aprendizaje

Adems de los artculos que recogen los errores y dificultades, existen otros que

tratan de relacionar los distintos comportamientos de los estudiantes, tanto correctos

como incorrectos, agrupndolos en estados de conocimiento, perfiles,

concepciones, etc., en un intento de dar una visin coherente de los mismos y

encontrar las causas ltimas que los producen. En este sentido, nos encontramos lostrabajos de Peled (1991) quien define, en funcin de las estrategias que utilizan los


27/59

26

estudiantes en las sumas y restas de dos nmeros enteros, unos niveles de

conocimiento de la estructura aditiva de Z. Se trata de niveles tericos, es decir, no

son el resultado del estudio estadstico de un cuestionario, sino un a priori que el

autor propone como instrumento facilitador del anlisis de observaciones posteriores.

Niveles de dominio d e conocimiento

Nivel 1o Se acepta la existencia de los nmeros negativos y se sitan en la recta

numrica a la izquierda del cero.

o Un nmero entero negativo es un nmero natural precedido del signo

menos.

o Dados dos nmeros enteros es mayor el que est situado a la derecha

del otro en la recta numrica.

o Los nmeros negativos representan cantidades que tienen alguna

caracterstica desfavorable, cuya existencia se marca con el signo

menos.

o Debido a esta connotacin negativa la relacin de orden en estos

nmeros se invierte respecto a los naturales: una cantidad negativa esmenor cuanto mayor es su valor absoluto porque representa una

situacin peor.

Nivel 2

o Se interpreta la suma y la recta de los nmeros naturales como

movimientos en la recta numrica a derecha o izquierda del primer

trmino, respectivamente.

o Se extiende la operacin de resta entre nmeros naturales al caso de

sustraendo mayor que el minuendo, efectuando la resta del menor

respecto al mayor y aadiendo al resultado el signo menos para indicar

que el resultado es una deuda o deficiencia.

Nivel 3

o Las operaciones se extienden a pares de nmeros que tienen el mismo

signo. Se asume que hay un sentido positivo: hacia la derecha, y un

sentido negativo: hacia la izquierda, y que sumar nmeros positivos

significa avanzar en el sentido positivo y sumar negativos avanzar en el

sentido negativo.

o Restar positivos significa ir hacia los negativos y restar negativos ir hacia

los positivos.

o Se asumen las sumas y restas de nmeros del mismo signo entendiendo

que sumar significa aadir y restar significa quitar. No se manejan

correctamente las restas de nmeros negativos con minuendo mayor

que el sustraendo, ni las sumas y restas de nmeros de distinto signo.

Nivel 4

o Se efectan sumas y restas de nmeros enteros cualesquiera sin ms

que fijarse en el segundo trmino de la operacin, avanzando en el

sentido que indica su signo si se trata de una suma y en el sentido

contrario si es una resta.

o Se realizan sumas y restas con cantidades de signos cualesquiera. El

examen conjunto de la operacin implicada y del signo de la segunda

cantidad permite decidir si la cantidad inicial mejora o empeora.


28/59

27

Sesin 02

CONTENIDO

Lectura:

Nmero racional, un nmero con varios significados.

Caso:Organizacin de ideas entorno a nmero racional (mapas mentales).

Anlisis:Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del nmero racional.

Estrategias de aprendizaje y enseanza para con los nmeros racionales.



Reconoce ideas y conceptos relacionados a los diferentes significados del nmeroracional.

Evala el sentido, significado, pertinencia y enlace de ideas entorno al nmero racional.

Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los nmerosracionales.

Elige la fuente de informacin ms coherente y relevante para reconocer y plantearsituaciones de enseanza y aprendizaje con los nmeros racionales.

Propone maneras de soluciones un problema y los desarrolla en equipos de trabajodefiniendo planteamientos didcticos especficos.


29/59

28

2.1 Nmero racional, un nmero con varios significados

LECTURA

Los conceptos del nmero racional estn dentro de los conceptos matemticos ms complejos y

ms importantes para los nios y adolescentes que se encuentran durante los aos escolares de

la primaria y la secundaria. Evaluaciones han demostrado que los nios experimentan

dificultades significativas de aprendizaje y la aplicacin de los nmeros racionales.

Estos bajos niveles pueden verse sorprendentes a la luz de los hechos a los programas

escolares que tienden dar ms nfasis a las destrezas procedimentales y calculo algortmicos

para los nmeros racionales.

El anlisis de los componentes del concepto de nmero racional (Kieren, 1981; Novillis, 1976;

Rappaport, 1962; Riess, 1964; Usiskin. 1979) sugiere una razn obvia por la que la comprensin

completa de nmeros racionales es una tarea de aprendizaje compleja. Los nmeros racionales

se pueden interpretar (Kieren, 1981; Freudenthal, 1983, Llinares y Sanches, 1988; Fandio 2009,

Morales 2011)1:

- Una comparacin parte-todo. - Una divisin indicada (cociente).

- Una medida. - Un operador.

- Una razn.

Esto contenidos de la comprensin completa de los nmeros racionales requiere no slo una

comprensin de cada uno de estos sub constructos por separados, sino tambin de cmo estn

interrelacionados. Los anlisis tericos y las evidencias empricas recientes sugieren que

diversas estructuras cognoscitivas puedan ser necesarias para enfrentarse con varios sub

constructos del nmero racional.

A continuacin mostramos las caractersticas de los nmeros racionales entendido como fraccin

y que pretende describir con que conceptos matemticos (por ejemplo: fracciones equivalentes,razn, proporcionalidad etc) permiten el tratamiento en profundidad de desarrollo y comprensin.

a) Fr ac cin como p ar te-to doLa fraccin partetodo se considera como un todo continuo o discreto que se divide enpartes iguales indicando esencialmente la relacin existente entre el todo y un nmerodesignado de partes. La fraccin, por tanto, es la parte en s misma y no, una relacinentre dos cantidades: la medida de la parte con respecto a la medida del todo. (Obando,2006)

La relacin parte-todo es un c am ino natural para la conceptu alizacin de algunaspropiedades (como la que conduce a la denominacin fraccin propia eimpropia), algunas relaciones (como la de equivalencia), y algunas operaciones

(como la suma y la resta).

1Las interpretaciones planteadas se precisan de algunos planteamientos de Fandio y Freudenthal.


30/59

29

b) Fracc in como coc ien teLa fraccin como cociente indicado es el resultado de dividir uno o varios objetos entre unnmero de personas o partes. Tambin, se puede definir como el valor numrico de lafraccin a/b. En este caso, la fraccin es el resultado de una situacin de reparto donde sebusca conocer el tamao de cada una de las partes resultantes al distribuir a unidades enb partes iguales. De esta manera, cuando la fraccin es interpretada como el resultado deuna divisin, esta fraccin tendr un significado y no ser un smbolo muerto, sin sentido

para quien lo utiliza. (Obando 2006).

El signif icado de la fraccin como co ciente es impor tante, porq ue permite prepararel cam ino para entender los nmero s racionales como un camp o de cocientes,teniend o de esta m anera una co nstr ucc in form al de stos .

c) Fracc in como op erado rUn nmero racional actuando sobre una parte, un grupo o un nmero modificndolo. As,la fraccin a/b empleada como operador es el nmero que modifica un valor particular nmultiplicndolo por a y dividindolo por b.

La fraccin com o op erador acta sobre los nmero s pu ros ms q ue sob re losconju ntos o sobre los objetos. La comp rensin de este signif icado les permit ir alos estudiantes resolver con mayor habil idad mult ipl icaciones de fracciones.

d) L a fracc in com o raznEs una comparacin entre dos cantidades o conjuntos de unidades (de igual o diferentemagnitud). Las razones pueden ser comparaciones parte-parte en un conjunto (magnituddiscreta) o comparaciones parte todo (magnitud continua y discreta). La generalidad de lainterpretacin de la fraccin como razn consiste en que nos permite comparar cantidadesde magnitudes diferentes, mientras que en la interpretacin parte todo en un contexto demedida slo permite comparar cantidades de la mismo tipo.

La com prensin del fraccin com o razn orienta a una com prensin ms clara parael poster ior desarrollo del razonamiento pro porcion al en los estudiantes de la EBR.

e) L a fracc in com o m edid a

La fraccin a/b aparece cuando se desea medir una determinada magnitud, en la cual launidad no est contenida un nmero entero de veces en la magnitud que se quiere medir.Para obtener la medida exacta se deben:

o Medir utilizando mltiplos y submltiplos de la unidad.o Realizar comparaciones con la unidad.

La conceptualizacin de fraccin com o medida permite al estudiante ser capaz deident ificar qu e una fracc in a/b es a veces, es decir, que si rep ite 3 veces obten dr, ysi lo repite 4 veces, obtendr.

La comprensin de este significado les permitir a los estudiantes resolver con mayor habilidadsumas y restas de fracciones y relacionarlos con otras representaciones como lo son losnmeros como expresin decimal y porcentaje.

Tomando como insumos rev is tas y per idicos, elabora un Col lage queexprese los diverso s sign if icados d el nmero racion al en su expresinfraccionaria.


31/59

30

2.2 Comprensin de los nmeros racionales a travsde mapas conceptuales

ESTUDIO DE CASOS

Analiza cada situacin y reconoc er semejanzas y diferencias manifestadas

entreellas , Cul sera aqu el que da ms sen tid o al nmer o racio nal? . Asim ism omuestra un a prop uesta de organizador visual para la com prensin d el nmeroracional

Caso 01

Caso 02


32/59

31

Caso 03

Caso 04


33/59

32

En los ltimos aos se han utilizado diversos procedimientos para reconocer lossaberes previos, el que y como estn adquiriendo y desarrollando los conocimientosmatemticos los estudiantes en sus aprendizajes. Esto permitira ilustrar de algunamanera los cambios cognoscitivos que se estn produciendo en sus prcticas deaprendizajes.

De entre los mtodos empleados de forma muy recurrente de reconocen:

- El dialogo y la discusin entre los estudiantes.- Las pruebas tipo test de lpiz y papel, este ltimo, se reconoce que existe un

consenso sobre la ineficacia, que tan slo parece poner de relieve en torno al10% de los conocimientos previos de los estudiantes (Novak,1988b).

Por otro lado, trabajos de investigacin han mostrado que el diseo de mapasconceptuales se manifestaba de forma til como instrumento para explicitar losesquemas conceptuales de los estudiantes van dominando y relacionando a susexperiencias en el proceso de enseanza y aprendizaje.

A continuacin a partir del trabajo de Contreras. Presentaremos situaciones que sepresentan respecto a la organizacin de mapas conceptuales caracterizando elnumero racional.

- Se eligen los nmeros racionales con representacin decimal finita o peridica.Considerando tambin a los nmeros inconmensurables, parece determinarlocomo uno de los ms complejos, que de hecho prcticamente demola las basesde la fe pitagrica en los nmeros enteros (Boyer, 1968, p. 106).

- Identificacin del conjunto de nmeros naturales, aunque no se sabe muy bienpor qu unas veces se incluye el cero y otras no.

- Identificacin del conjunto de nmeros enteros y asuncin de que(e incluso

que N = Z+ ). A veces suelen ignorar la necesidad de la construccin de Z.

- Reconocimiento de Q como el conjunto de nmeros fraccionarios. Aqu, el hecho

de que Q sea un conjunto de representantes puede plantear problemas para

identificar la relacin

Adems no justifican la necesidad de construir Q.

- De manera memorstica reconocen la relacin

, a veces se dan

cuenta de que en realidad hay ms nmeros como , , o el nmero ,que

recuerdan que no eran racionales, pero no saben muy bien por qu.

En el contexto escolar es frecuente observar que el paso de decimal a fraccin atravs de la fraccin generatriz se limita al uso (de forma memorstica) de las reglas

de conversin, sin haber justificado el procedimiento que nos lleva a ellas.

Por ltimo, una correcta caracterizacin de los racionales, en la lnea de lo expuestoanteriormente, debe traducirse en aplicaciones concretas, entre las que queremosresaltar la capacidad de representacin de cualquier nmero en la recta real y laresolucin de problemas aritmtico-geomtricos donde el nmero racional estpresente, asimismo los significados que tendrn la fraccin en diversos contextos ysituaciones.

A continuacin se muestra el desarrollo de mapas conceptuales recogidos de untrabajo de investigacin con un estudiante en el nivel secundario.


34/59

33

2.3 Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje delnmero racional.

A cont inuacin se muestra una situac in y los razonamientos manifestados por los

estudiant es. La actividad es sencil la, la com plejidad est en la interpretacin d e las ac-tivi dad es que realiza cada estudi antes. El objetivo d e esta activi dad es analizar cules

son los erro res qu e posib lemente estn teniendo los estu diantes. Esto n os p ermitir

inferir las dif icu ltades a los cuales se enfrentan.

Sit uac in de anlisi s 1

Don Luis tiene 7 pastelitos, los cuales desea repartir entre sus cinco hijos. Qu porcin de

pastelito le corresponde a cada hijo?

Sit uac in d e anlisi s 2

Doa Teresa desea repartir un pastel que compro entre ella y sus cuatro hijos. Qu fraccin del pastel

le corresponde a cada uno?


35/59

34


Por trabajar seis horas diarias, Leonardo recibe un salario mensual de S/. 5000. Cuntas horas debe

trabajar, para recibir un salario de S/. 6000?


Don Luis tiene 7 pastelitos, los cuales desea repartir entre sus cinco hijos. Qu

porcin de pastelito le corresponde a cada hijo?


El siguiente diagrama representa las preferencias de un grupo de estudiantes con relacin a los helados.

Con relacin a la informacin Qu fraccin de estudiantes prefieren las paletas?


Cuando Jorge camina normalmente, sus pasos tienen una longitud en promedio de tres quintos de

metro. En un da normal, Jorge camina 4Km. Cuntos pasos da Jorge en un da normal?


36/59

35

A decir verdad, son pocos los estudiantes que en la clase de matemticas levantan la mano y afirmancon marcada preocupacin -profesor, no entiendo-. Esto no debe halagarnos, sino ms bieninquietarnos, especialmente si estamos conscientes que el resto de los estudiantes no han externadoesta preocupacin por el temor al ridculo o la vergenza, al poner en evidencia su aparenteignorancia obligndolo a permanecer inmvil esperando que algn compaero cuestione por l, o ensu defecto, que el profesor, por mera casualidad, haga una exposicin aclarando sus dudas sobre el

tema trabajado.

Ojal cada vez sean menos los estudiantes que presenten esas interrogantes dentro de nuestrasaulas. Esto garantiza que las clases consideran al menos dos elementos sustantivos:

- La oportunidad que le estamos dando al nio para que construya por s mismo el conocimientomatemtico, lo cual asegurara que nuestros nios cada vez tendran menos dudas respecto a loque estn creando.

- El abandono de las exposiciones magistrales que por mucho tiempo han caracterizado lasprcticas del docente.

Pocas veces reflexionamos sobre esta situacin pues pensamos que un planteamiento de este tipo esproducto de la misma curiosidad natural de los estudiantes cuando en la mayora de las ocasiones,esto es consecuencia de nuestras propias imprecisiones al estar trabajando con una asignatura cuyoelemento sustantivo es precisamente lo contrario: la precisin.

Nuestros estudiantes no escuchan lo que estamos pensando y los errores no siempre son productode su incapacidad para resolver los planteamientos que les presentamos, sino ms bien, de lasimprecisiones que hacemos al presentar las matemticas.

1.1 Existe desco nexin entre los dist intos sign if icados de fraccin. El significado de la fraccin

depende de la clase de problema y de la forma de presentacin del mismo. (Haseman, 1987). Por

ejemplo: Problemas para identificar la unidad o todo, la divisin exhaustiva del todo, o la divisin

igualitaria del todo.

1.2 Investigaciones reconocen que entre los escolares hay un sentido prior itar io de la fraccin com ola relacin parte-todo, en contextos discretos y continuos; mientras que otro grupo de

investigadores identific ideas de razn y propo rcin como co nstruc tos de fraccin prior itar ios

en los jvenes (Pitkethly y Hunting, 1996).

1.3 Las notaciones: fraccionaria y decimal, son sistemas simblicos paralelos que representan los

mismos conceptos; para el estud iante es una id ea difcil de as imi lar el que cua lqu ier con cepto ,

especialm ente u n nmero, p ueda t ener ms de un smbol o(Owens y Super, 1993).

1.4 La mayora de los estudiantes no establecen conexion es entre el cono cim iento conceptual que

tienen de los nmeros racionales y los pro cedim ientos que ut i l izan en la manipu lacin de

smbo lo s, sobre todo con las expresiones decimales (Hiebert y Wearne, 1986).

1.5 Los estudiantes generalizan el signif icado d e las representaciones simb licas de los nmero s

naturales a fracciones, y viceversa (Marck, 1995).

1.6 Las expresiones decimales no se signif ican en el contexto de magnitudes m edibles.

1.7 Los errores en el orden de las expresiones decimales estn asociad os a la a par ent e s im etra

alrededor de la com a decimal y las dif icultades de dist inc in de los nomb res de los nmeros

naturales y decim ales(Owens y Super, 1993).

1.8 Errores al extrapolar procedim ientos relacionados c on los n mero s naturales para realizar

sumas y restas de fracciones. Olvidar algn paso del algoritmo (aditivo, comparacin o

equivalencia), u aplicar la simplificacin del producto a la suma o resta de fracciones.


37/59

36

2.4 Orientaciones para la enseanza y aprendizajerelacionadas a los nmeros nmero racional.

A continuacin te mostramos varias situaciones, resulvelas, analzalas ymuestra:- El significado de la fraccin que se est tratando.- El tipo de problema propuesto para la dinmica de enseanza y

aprendizaje.- Y los razonamientos y resultados planteados.

PLANTEAMIENTO 01DISEOS Y CONSTRUCCIONES

Un grupo de estudiantes disearon y construyeron el diseo de la siguiente maqueta de unacasa. Qu recursos se necesitaran para construir una casa de tales caractersticas?Cuantaspuertas y ventanas se necesitaran?Cmo estn distribuidas las dimensiones de la casa?

NMERO DE PUERTAS

Para reconocer el nmero de puertas que requerir cada ambiente se propone observar lainformacin disponible y registrar en una tabla o cuadro de doble entrada lo que reconoce el grupo:

Sala Dormitorio Vestbulo Bao Comedor Cocina

Puertas

para

Total de

puertasQuambien te tiene ms puer tas respec to al to tal en el d iseo?

En otros diseos de acuerdo a la presentacin distribuyen el nmero de puertas

Diseo A Diseo B Diseo C Diseo D Diseo E

Puertas para

comedor1 2 3 6 2

Total de puertas5 8 10 8 10

Exist en di seos que ti en en la mism a d ist r ibuc in de puer tas respec to al to tal?


38/59

37

Si expresamos que un diseo adecuado es aquel que muestra una relacin

donde N P ambiente = Nmero de puertas para un ambienteN P total = Nmero de puertas total del diseo

Quin sera el mejo r d iseo?

PLANTEAMIENTO 02 COMPLETANDODISEOS DE FIGURAS

En el p lano d el diseo se reco no ce los in teriores qu e la compon en, el sector d e la sala qu eparte expr esa de tod o el di seo d e la casa? .

A co ntin uacin, se muestran diseos de uno d e los ambien tes de los plan os, con los dato s

mo strados comp leta los planos de las casas planteadas.


39/59

38

PLANTEAMIENTO 03REPARTIMOS MATERIALES PARA LA MAQUETA

La madera de balsa (por otros nombres cientficos: Ochroma lagopus y Ochroma bicolor) es lamadera ms ligera que se conoce, con una densidad de 0.10 a 0.15 gramos por centmetro cbico,lo que la hace ms liviana que el corcho. Este material se utiliza,enaeromodelismo ymaquetas dearquitectura.

4 estudiantes se van a repartir 24 planchas de madera balsa. Cmo deben h acer la repartic in sitodos quieren comer la misma cant idad. Y si los estudiantes siguen siendo 4 y solo h ubieran6 planchas de madera?

PLANTEAMIENTO 04 MEDIDAS DE ZCALOS

A continuacin se muestra una ficha tcnica de zcalos de madera

FICHA TECNICA DEL PRODUCTO Producto: piso flotante lamina de madera especie de madera: guatambu

sistema de encastre: encolado en las juntas diseo tabla: 1 lama (visualmente se ve como un piso

entablonado)

a) espesor total: 7 mm.b) lamina superior: 0,6 mm. De madera naturalc) largo tabla: fijo 1220 mm.d) 4 tablas cubren 3 metros

Se requiere cubrir 18 metros, sabiendo que otro tipo de tabla (llamemos B) tiene una medida mspequea. Se realizan las medidas con los dos tipos de zcalos desde la posicin 0, en ocasioneslos bordes del ancho de los zcalos coinciden o se encuentran exactamente.Cul pu ed e ser lalongitud del zcalo B? Hay ms de una posibilidad? Cuntos zcalos de cada tipo sernnecesarios considerar? (considerar las po sicio nes equ idi stantes y en un a lnea recta).
https://es.wikipedia.org/wiki/Aeromodelismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Maquetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arquitecturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Maquetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aeromodelismo


40/59

39

PLANTEAMIENTO 05 VALIDANDO MEDIDAS

Para los diseos de las maquetas se ha realizado con medidasreferenciales que aparecen a continuacin. Un grupo de estudiantes hanreconocido que en ella se expresan escalas que respetan o no las medidasconsideradas. Explicar cmo es posible saberlo. Recuerda anotar otrospuntos sobre las rectas si te ayudan para averiguarlo.

PROBLEMAS EN OTROS CONTEXTOS

UN RAZONAMIENTO DIFERENTE


41/59

40

ALGO MS QUE MARCAS DEPORTIVAS

El salto de longitud o salto largo es una prueba actual del atletismo que consiste en recorrer lamxima distancia posible en el plano horizontal a partir de un salto tras una carrera. La siguientetabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la categora varonil.

Marca mundial de

atletismo(1991)

Marca mundial de juegos

olmpicos (1968)

Mejor marca en los juegos

olmpicos de Atenas(2004)

Mike Powell (EEUU)

8.95 m

Bob Beamon (EEUU)

8.9 m

Dwight Phillips (EEUU)

8.59 m

Localizar en la siguiente recta cada una de estas marcas:

Supero Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?___________________________________

Supero Dwight Phillips la marca de Mike Powell?___________________________________

En las rondas eliminatorias para el campeonato mundial del 2012 hubo cinco competidores conmejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell. Estos competidores tuvieronmarcas distintas.

Cunto pudieron haber saltado estos competidores?

HACIENDO ESPACIO EN EL USB

Una memoria USB es un dispositivo pequeo y porttil dealmacenamiento de datos informticos. Ivn tiene una memoriaUSB en la que almacena msica y fotos. La memoria USBtiene una capacidad de 1 GB (1000 MB). El siguiente grficomuestra la distribucin actual del disco de su memoria USB.

Ivn quiere pasar unlbum de fotos de 350

MB a su memoria USB, pero no hay suficiente espaciodisponible. Si bien no quiere eliminar ninguna de las fotos, nole importara eliminar hasta dos lbumes de msica. Eltamao de los lbumes de fotos que Ivn tiene almacenadosen su memoria USB estn en el cuadro adjunto:

Eliminando dos lbumes de msica como mximo, tendraIvn suficiente espacio en su memoria USB para aadir ellbum de fotos? Rodea con un crculo S o No y escribetus clculos para justificar tu respuesta.

8.5 9


42/59

41

EL RAZONAMIENTO DE ANABEL

Anabel dice: Para saber cuntos lugares despus de la coma tiene un nmero, hace lo siguiente:

por ejemplo, es equivalente a porque 4 x 25 = 100, y 4 x 7 = 28; entonces, Lo que

seala Anabel se puede hacer para cualquier fraccin?

DECISIONES PARA ALQUILAR DVD

Jimena trabaja en una tienda que alquila DVD y juegos de ordenador. En dicha tienda, la cuota anualde socio es de S/. 10. El precio de alquiler de los DVD para los socios es inferior al precio para los nosocios, tal y como se muestra en la siguiente tabla:

Precio de alquiler de un DVD

para los no socios

Precio de alquiler de un DVD

para los socios

S/. 3.2 S/. 2.5

Cul es el nmero mnimo de DVD que tiene que alquilar un socio para cubrir el coste de sucuota? Escribe tus clculos.

UN DESAYUNO SALUDABLE

En la tabla se muestra la cantidad de caloras que contiene cada uno de los alimentos incluidos en eldesayuno americano, as como los porcentajes correspondientes de protenas, carbohidratos ygrasas que contienen.

Considera la informacin de la tabla 1, as como los alimentos y las cantidades designadas para eldesayuno de la pregunta 1, y usa las tablas 2 y 3 para responder las preguntas:

Tabla 1

AlimentoCantidad de

alimento

Caloras

(kcal)

Porcentajes del total de caloras

Protenas Carbohidratos Grasas

Fruta 1 porcin de 120

g

48 6% 91% 3%

Pan 1 unidad 78 13% 77% 10%

Tostada 1 unidad 61 5% 53% 42%

Mantequilla 1 trozo de 5 g 36 1% 0% 99%

Mermelada 1 cucharada 55 1% 99% 0%

Huevo revuelto 1 porcin 199 28% 4% 68%

Leche 1 vaso de 240 ml 146 21% 30% 49%

Caf 1 taza de 240 ml 2 58% 20% 22%

T 1 taza de 240 ml 2 0% 100% 0%

Jugo de fruta 1 vaso de 240 ml 112 6% 90% 4%

Cuntas caloras de protenas, carbohidratos y grasas se consumieron por cada uno de losalimentos de este desayuno?


43/59

42

UN MEJOR PAGO UNA BUENA ENTIDAD FINANCIERA

Considera la informacin relacionada a la tasa de inters de los bancos, cajas municipales yfinancieras a travs de la siguiente infografa. En ella, podemos notar que las entidades con mayorTasa de Rendimiento Efectivo Anual (tasa de inters) son el banco 1 con 8%, la caja municipal 1 con7% y la financiera 1 con 9%. De igual modo, se observa las tasas de las otras entidades. Segn ello,establezca la comparacin de las fracciones porcentuales completando la tabla 3.

BANCO CAJAS MUNICIPALES

Empresa*TREA

(%)Monto a

retirar (s/.)Empresa TREA (%)

Monto aretirar (s/.)

Banco 1 8.00 5 400.0 Caja 1 7.0 5 350

Banco 2 6.75 5 337.5 Caja 2 6.8 5 340Banco 3 6.50 5 325.0 Caja 3 6.5 5 325Banco 4 5.20 5 250.0 Caja 4 6.5 5 325Banco 5 5.00 5 250.0 Caja 5 6.3 5 315Banco 6 4.95 5 247.5 Caja 6 6.0 5 300

Banco 7 4.95 5 247.5 Caja 7 6.0 5 300Banco 8 3.15 5 175.5 Caja 8 5.7 5 285Banco 9 3.50 5 175.5 Caja 9 5.6 5 280

Banco 10 3.50 5 175.5 Caja 10 5.5 5 275Banco 11 1.75 5 087.5 Caja 11 5.0 5 250Banco 12 1.35 5 067.5 Caja 12 5.0 5 250Banco 13 1.30 5 065.0 Caja 13 4.0 5 200

Banco 14 1.25 5 062.5 *Tasa de Rendimiento Efectivo Anual

FINANCIERAS

EmpresaTREA

(%)

Monto a

retirar (s/.)

Financiera 1 9.00 5450.0



Tabla 3Entidades

financieras conmayor TREA

TREA (%)Equivalente

en fracciones

Equivalente enpotencias de

base 10

Comparacin de lasfracciones obtenidas

Banco 1

Caja municipal 1

Financiera 1

Entidadesfinancieras

TREA (%)Equivalente

en fracciones

Equivalente enpotencias de

base 10

Comparacin de lasfracciones obtenidas

Banco 5

Caja municipal 9

Financiera 3

>

>


44/59

43

POBLACIN ECONMICAMENTE ACTIVA

La siguiente infografa presenta a 12 personas pertenecientes a la poblacin econmicamente activaque tienen todo el derecho de pertenecer al Sistema Nacional de Pensiones para garantizar supensin de jubilacin.

Qu fraccin del total de personas representa el nmero de asalariados informales? Qu fraccindel total de personas representa el nmero de independientes informales?

Qu fraccin del total de personas representa el nmero de desempleados?

Cul es la suma de los asalariados formales con los asalariados informales?

POBLACIN ECONMICAMENTE ACTIVA

Una de las caractersticas de las AFP es que los aportes que realiza cada persona van a su cuentaindividual generando rentabilidad por cada periodo de tiempo. Adems, en las AFP no existe montomnimo, ni monto mximo para la pensin. Segn esta informacin, resuelve las siguientessituaciones problemticas:El Sr. Carlos recibe su pensin de jubilacin de la AFP s/. 1 260, de los cuales los 2/3 lo destina parael pago de su departamento 1/5 lo destina para la alimentacin y 1/20 para las entradas al estadio.Qu fraccin del total representa los gastos? y Qu fraccin del total representa el monto que nogast?

El seor Jaime recibe su pensin de la AFP y la suma a la ganancia obtenida por su microempresa.Del monto total, destina para el pago de su carro, 1/3 para regalar a sus hijos y 1/10 para laalimentacin. Sabiendo que el gasto total es de S/. 5 600, cul es monto total que obtiene Pedrocada mes? Cul es la relacin entre el monto que le sobra y el monto que gasta?


45/59

44

LECTURA

Para el proceso de enseanza y aprendizaje se recomienda el desarrollo de problemasen variadas caractersticas, las mismas que debern de ser coherentes con losindicadores mostrados en las rutas de aprendizaje:

a. Plantear problemas de prop orcio nalidad di recta en los qu e la constante tiene lacaracterstica d e una exp resin frac cio naria

Esta tipo de problemas promueve la vinculacin con los que involucran laproporcionalidad directa, en el marco de la multiplicacin y la divisin con nmerosnaturales, distinguiendo que aqu la constante es una fraccin. Por ejemplo: Si con 2litros de agua toman 5 chicos, y todos toman la misma cantidad, cunto toma cadachico? En este caso, cada chico toma 2/5 que es la constante de proporcionalidad.

b. Plantear pro blemas que requieren con siderar a la fraccin com o una prop orcin

El docente promover la resolucin de situaciones que permitan a los estudiantesidentificar que si, por ejemplo, se habla de 3 de cada 4 alumnos, equivale a considerar partes del total de estudiantes. Tambin es posible proponer problemas en los quese deba comparar dos proporciones y determinar cul es mayor: En un grupo, 3 decada 5 personas son de un club los guilas. En otro grupo, 4 de cada 6 personas sondel club deportivo los guilas. En cul de los dos grupos hay ms cantidad dehinchas de Los guilasen proporcin a la cantidad de personas? Las fracciones 3/5 y4/6 permiten identificar la proporcin de fanticos del club en cada grupo. Compararlasser uno de los recursos que posibilitar responder el problema y en este caso, sepodr identificar que a 3/5 le faltan 2/5 para llegar al entero en tanto que a 4/6 le faltan2/6 para llegar al entero. Es decir, le falta menos, por lo tanto, 4/6 es ms grande que3/5. De all que en el segundo grupo hay ms cantidad de personas de los guilas, enrelacin al total.

c. Plantear problemas d e medid a en los cu ales las relacion es entre partes o entrepartes y el todo pu eden expresarse usand o fracciones

Algunos problemas involucran comparar unidades de medida diferentes, a partir de lasrelaciones entre estas unidades y una expresin entera. El docente deber proponerestos problemas para favorecer el establecimiento de relaciones entre longitudes queson fracciones de un mismas cantidad entera. Por ejemplo, si la tira A entra 4 veces enun entero y la tira B entra 3 veces en el entero, cuntas veces entra la tira A en la tiraB?

Mediante diferentes recursos se espera que los estudiantes establezcan que la tira Aes de la tira B, por comparacin entre las tiras o apelando a la cantidad entera, queser una tira como la siguiente:

d. Elaborar recurso s qu e permiten enco ntrar al meno s un a fraccin entre d osfraccion es dadas Ser tarea del do cente iniciar a los alumno s en la id ea dedensid ad del conjun to de nmeros racion ales.

Se proponen situaciones que muestren que, entre dos fracciones, es posible encontraralguna otra fraccin. Por ejemplo: Encontrar una fraccin entre 1/4 y 1/5. Para resolvereste problema, ser necesario que los estudiantes identifiquen que, as escritas, sehace ms difcil imaginar cul fraccin estar entre ellas. La idea de equivalencianuevamente vuelve a ser pertinente: 1/5 = 2/10 = 20/100 en tanto que 1/4 =25/100.Luego, entre 20/100 y 25/100 es ms fcil encontrar muchas fracciones, por ejemplo

21/100.


46/59

45

e. Plantear problemas que demand an comparar fracciones y enco ntrar fraccio nesentr e nmero s dados usand o l a recta n umrica

La recta numrica es un recurso que sirve como soporte para tratar problemas deorden de fracciones. El trabajo con este soporte permite tratar los nmerosfraccionarios como nmeros en s mismos, sin tener en cuenta un contexto. En un casodonde A es el punto medio de 14/3 y 15/3. Conviene entonces pensarlo en sextos:

28/6 y 30/6, luego A = 29/6. Otra situacin seria comparar 12/5 y 13/7 Tanto paraubicar nmeros fraccionarios en la recta, como para comparar fracciones, un recursoposible es considerar fracciones equivalentes para determinar nuevas subdivisiones encada intervalo entre nmeros.

f . Plantear prob lemas qu e demandan realizar sumas y restas entre fraccion esuti l izando diferentes recurso s d e clculo .

Se propone recuperar lo realizado en aos anteriores, afianzando los recursos declculo. Ser necesario que los nios reconozcan, por ejemplo, que para sumar quintosy dcimos es conveniente usar dcimos, que para sumar octavos y sptimos es posiblemultiplicar ambos denominadores para encontrar uno comn, y en cambio para sumarcuartos, medios y doceavos es suficiente con recurrir a equivalencias con doceavos. El

docente deber de promover que los estudiantes elijan diferentes recursos de clculosegn los nmeros involucrados, de manera tal de ejercer un cierto grado de controlsobre sus propios recursos. Tambin propiciar el anlisis de las equivalencias entrelas diferentes escrituras que circulen en la clase, tanto propuestas por los estudiantescomo por l mismo.

g. Resolver prob lemas que involu cran la multipl icacin entre una fraccin y un enteroy la multipl icacin entre fraccion es

El docente presentar problemas de proporcionalidad directa en los que la constantesea una fraccin y los valores de las magnitudes sean enteros y fracciones. Porejemplo: Completar la siguiente tabla de proporcionalidad directa:

Cantidad demezcla debaldes

1 2 3/4

Cantidad deagua

Se espera que los estudiantes reconozcan que, en este caso, la constante es y, porlo tanto, identifiquen que, para corresponde 1/8 litro de agua. Esta informacin,proveniente de las relaciones entre fracciones, permitir analizar que debe ser1/8 y elaborar un modo de multiplicar para que el resultado sea lo que se anticip. Losalumnos podrn reconocer, por ejemplo, que multiplicar por es equivalente a dividirpor 2, o bien que la cuarta parte de es tambin 1/8, ya que se multiplican losdenominadores para obtener el resultado.

h. Plantear problemas de divi sin entre una fraccin y un entero

El docente podr proponer el mismo tipo de anlisis que para situaciones queinvolucran multiplicaciones, para problemas como el siguiente: Se quiere repartir kilos de helado entre 5 personas, en partes iguales. Cunto le corresponde a cadauno? El clculo que representa el problema es : 5. Para tratarlo, los alumnos podrncomenzar partiendo en 5 la cantidad , obteniendo 1/20, para luego establecer quecada uno recibir 3 de 1/20, es decir, 3/20. Este abordaje permitir identificar que : 5= 3/20.

Pero a su vez, vincular a los alumnos con la idea de que : 5 equivale a buscar laquinta parte de , que es lo mismo que escribir 1/5 = 3/20. De all, podrn avanzar

en el reconocimiento de que : 5 = 1/5 = 1/5.


47/59


48/59

47

Sesin 03

CONTENIDO

Lectura:La razn como cuantificador, significado del nmero racional o una relacin deequivalencia.

Caso:La fraccin como parte todo y la compresin de la razn.

Anlisis:De las razones a la proporcionalidad y el razonamiento proporcional.

Estrategias de aprendizaje y enseanza para la enseanza de la proporcionalidad.



Reconoce ideas y conceptos relacionados a los diferentes significados de la razn.

Evala el sentido, significado, pertinencia de la fraccin como parte todo y la razn.

Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los nmerosracionales.

Elige la fuente de informacin ms coherente y relevante para reconocer yplantear situaciones de enseanza y aprendizaje con los nmeros racionales.

Propone maneras de soluciones un problema y los desarrolla en equipos de traba-jo definiendo planteamientos didcticos especficos.


49/59

48

3.1 La razn como cuantificador, significado del nmeroracional o una relacin de equivalencia

LECTURA

La importancia de desarrollar las fracciones, nmeros decimales, porcentajes, razn y proporcin

de manera relacionada, constituye el hecho de que forman una estructura que comparte ciertosaspectos relacionados en el practicas socio culturales, en lo matemtico y lo psicolgico.

En esta seccin vamos a realizar una aproximacin a los significados de la razn y la proporcincomo contenido asociado a los procesos de aprendizaje de las matemticas escolares en la

Educacin Bsica Regular, las caractersticas del aprendizaje de estas nociones desde el puntode vista de la manera en la que parece que los estudiantes construyen sus significados y lasimplicaciones que se pueden derivar sobre la enseanza.

Respecto a la nocin de razn, se tener una varias concepciones o definiciones, como un:

Concepcin 01

La razn es la relacin entre dos cantidades de magnitud, expresada en el cociente de lasmedidas, en la misma unidad, de tales cantidades; tomando como dividendo la mayor de lasmedidas (F. Fernndez, 2001; Garca y Bertran, 1987; Grupo Beta, 1990). Dos implicaciones deeste posicionamiento se refieren a que las cantidades han de ser homogneas, es decirpertenecer a la misma magnitud y que la razn, en este caso , correspon de a un nmero realmayor que 1.

Concepcin 02

La razn es una de las posib les interpretaciones o sign if icados del nmero racional(Bermejo, 2004; F. Fernndez, 2001; Godino, 2004; Llinares, 2003b, Llinares y Snchez, 1988).Tales autores plantean que en algunas ocasiones las fracciones son usadas como ndicecomparativo entre dos cantidades de igual o diferente magnitud. No obstante existen diferenciasentre una fraccin y una razn, que surgen del hecho de que las fracciones son cualquier parordenado de nmeros enteros cuya segunda componente es distinta de cero, mientras que unarazn es un par ordenado de cantidades de magnitud, cada una de las cuales vienen expresadasmediante un nmero real y una unidad de medida (Godino, 2004).

Concepcin 03

Segn A. Fernndez (2001), el estatuto lgico de la razn, desde el punto de vistafenomenolgico, ha de escribirse entonces en trminos de una relacin de igualdad tener lamisma razn, seala que este punto de vista guarda relacin con la visin de Euclides, ya queen el libro V de los Elementos lo que define no es razn sino guardar razn y cuandose refiere a cantidades proporcionales dice tener una misma razn.


50/59

49

Concepcin 04

Segn A. Fernndez (2001), el estatuto lgico de la razn, desde el punto de vistafenomenolgico, ha de escribirse entonces en trminos de una relacin de igualdad tener lamisma razn, seala que este punto de vista guarda relacincon la visin de Euclides, ya queen el libro V de los Elementos lo que define no es razn sino guardar razn y cuandose refiere a cantidades proporcionales dice tener una misma razn.

Concepcin 05

La razn es la cuantif icacinde una relacin multiplicativa que se puede calcular dividiendo (omultiplicando) una cantidad por otra. El cuantif icador m ult ipl icat ivo se determina dividiendo(o m ult ip l icando) dos magnitudes. (p. 25) Ben-Chaim, Keret e Ilany (2012).

Concepcin 06

Por su lado Freudenthal considera que la razn es una relacin de equivalenc ia en elconjun to de pares ordenados de nmeros(o valores de magnitud), indicada formalmente pora:b = c:d si el par (a, b) es equivalente al par (c,d). La consideracin de razn como relacin deequivalencia con lleva, segn Freudenthal, implicaciones relativas al estatuto lgico de tal nocinpues afirma que el significado propio de la razn es hablar sobre igualdad (o desigualdad) derazones sin conocer el tamao de la razn, ser capaz de decir con sentido a es a b como ces a dsin anticipar que a es a b puede reducirse a un nmero o valor de magnitud que es elmismo al que puede reducirse c es a d. Es evidente que tal perspectiva se opone a aquellasque consideran a la razn como un cociente, es decir como un nmero que se obtiene comoresultado de hacer la divisin entre dos cantidades.

Elaborar un cuadro comp arativo con ejemplos d e tareas que estn c omprend iendo lasconc epcio nes de la razn, para ello pu edes util izar tamb in d iverso s texto s dematemtica q ue abo rden la razn estos pu eden ser d e prim aria y secund aria.


51/59

50

3.2 La fraccin como parte todo y la compresin dela razn

ESTUDIO DE CASO

Quop inas respecto a la secuenc ia didctic a plant eada po r el doc ente. En quaspectos ests de acuerd o y en d esacuerd o. Comparte las id eas con el equ ipo yplanteen un a secuencia didctica qu e supere los aspectos en qu e recono cimejorar el equipo.

Docente: En un examen de 10 preguntas, Jorge contest slo 5. La razn de respuestacorrecta es 1 de cada ------- preguntas [] Qu fraccin contest correctamente?

Anlisis:La relacin en juego es parte-todo. En el problema se pregunta directamente por una raznexpresada como "1 por cada x". La relacin es muy sencilla, lo que permite a la mayora delos alumnos encontrar la respuesta: "una pregunta de cada dos".

Algunos se apoyan en grficos para dar la respuesta:Sin embargo el razonamiento no puede ser correcto.

Estudiante 1: [] contest 5. [En el cuaderno tenan lo siguiente:]Estudiante 2: Que de dos preguntas sac una buena, de 3 sac dos, de 4 sac 3 y de 5sac 4 [Escribi en el pizarrn lo siguiente:]

21324354

Asimismo, a la segunda pregunta los estudiantes contestan sin dificultad: qu fraccincontest correctamente? 5 /10

El maestro prosigueDocente: []le ponemos un medio, que sera lo que tenemos ac de la razn, una de cadados preguntas[]. El maestro propone ejercicios para pasar de una notacin a otra (razonesa fracciones) y simplificar (razones).

Docente: [] Bien, me van a escribir ahora [anota en el pizarrn:] Convierte razones a

fracciones. Es muy sencillo, lo que acabamos de hacer [escribe:] 1 de cada 2, cmo

convierto la fraccin? [escribe ] y lee "uno de cada dos" [] En tu equipo hay una nia

de

chamarra verde [] Son seis, y entonces eso sa es la razn y ahora convertida afraccin, pues quiere decir que de todo el entero, pues slo hay un sexto que trae chamarra

verde, uno de cada cuntos de tu equipo?

Estudiante 1: Seis

Docente: Son seis, y entonces, eso es la razn y ahora convertida a fraccin pues quieredecir que de todo el entero, pues slo hay un sexto que trae chamarra verde [] Anlisis:

Los contextos ya no estn presentes, se trata de nmeros abstractos. Los estudiantes

se van apropiando de una nueva manera de oralizar una fraccin: se lee "tres

octavos" y tambin "3 de cada 8". El problema "fuerte" de expresar una relacin entre dos

cantidades en la forma de razn simplificada y en la forma de fraccin ya no se plantea

aqu (por ejemplo, encontrar que 3 de 8 o es la razn simplificada que

subyace en "15 juegos ganados de 40")

Fragmento del articulo La razn y la fraccin: un vnculo difcil en las matemticas escolares


52/59

51

El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una

con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:

Las razones comparan entre s objetos heterogneos, o sea, objetos que se miden conunidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por S/. 145. Las fraccin es, por el contrario,

se usan para comparar el mismo tipo de objetos como dos de tres partes, lo que seindica con 2/3. Segn esto la razn 3 jamones/145 soles no es una fraccin.

Algunas razones no se representan con la notacin fraccional. Por ejemplo, 10 litros pormetro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notacin de fraccin parainformar de la relacin entre dichas cantidades.

Las razones se pueden designar mediante smbolos distintos de las fracciones. La razn

4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4 7.

En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos larazn de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero tambin se puede decir quepuede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna divisin por 0).

Las razones no son siempre nmeros racionales. Por ejemplo, la razn de la longitud deuna circunferencia a su dimetro C/D es el nmero , que sabemos no es racional, o la

razn de la longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su lado ( ). Esta es

una diferencia esencial entre razn y fraccin, ya que como vimos las fracciones sonsiempre interpretables como cociente de enteros.

Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que lasfracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, conestas fracciones se puede definir una suma de razones del siguiente modo. 2:5+ 3:7 =5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de fracciones.

Propo rcion alidad. Juan D. Godin o Carmen Batanero


53/59

52

3.3 De las razones a la proporcionalidad y el razonamientoproporcional

ANALISIS

Los procedimientos y razonamientos mostrados a continuacin fueron tomados de unainvestigacin realizada en Francia por Graciela Rico en 1982, sobre la nocin de

proporcionalidad.

Cules de los razonam ien to s so n co rrec tos?

Cules llev an a la so luc in del problem a?

Cmo podra in ter p ret ar el razonam ien to real izado po r lo s es tud i-antes

Complete la tabla siguiente muestra algunas respuestas que estudiantes dieron a unproblema de precios de un cuaderno.

Nmero de

cuadernos

comprados

Selene

(7,3)

Eric

(7,8)

Xavier

(8,9)

Paul

(8,1)

Emmanuel

(7,1)

Sandrine

(7,2)

Anne

(9,0)1 3 10 9 3 4 4 4

2 8 11 10 6 8 8 8

3 12 12 12 12 12 12 12

4 13 13 16 12 16 16 16

5 20 20 20 20 20 20 20

6 32 21 26 18 24 24 24

8 38 22 34 24 32 28 28

10 100 23 44 30 36 32 32

A continuacin se muestran las explicaciones que dieron los nios Selene: Un cuaderno costara S/. 3 (Cmo los sabes?) porque un cuaderno no es

mucho, comparado con los otros. 2 cuadernos costar S/. 8; 1 es ms chico que 2.Cuatro cuadernos, un poco ms caro que 3 cuadernos. Pongamos 13. Seis cuadernos,S/. 32 (Cmo supiste?) yo digo asi al zar. Ocho cuadernos todava ms caro, S/. 38.

Eric: 4 cuader

modulo 1_aspectos didacticos y curriculares.pdf

Documents