modul mtk iii

8/19/2019 Modul Mtk III

1/12

MODUL PERKULIAHAN

MatematikaIII(PD eksak dengan faktorintegrasi)

Solusi Umum dan Solusi Khusus PD:

1) PD eksak

2) Faktor integrasi

FakultasProgramStudi

TatapMuka

Kode MK Disusu Ole!

Fakultas Teknik Teknik Sipil

"#MK$$"%& Hendy Yusman F, M.Pd

A'stra(t Kompetesi

Pada modul ini akan dipelajaribagaimana menentukan solusiumum dan solusi khususpersamaan differensial eksak danmenelesaikan persamaandifferensial dengan menggunakanfaktor integrasi

!gar "ahasis#a dapat :1$ "enentukan Solusi Umum dan

Solusi Khusus PD :a$ PD %ksakb$ Dengan Faktor &ntegrasi


2/12

1. Persamaan Diferensial Eksak

1. 1 Pengertian Persamaan Diferensial Eksak

'entuk umum Persamaan Diferensial:

"enjadi Persamaan Diferensial %ksak jika persamaan diatas bagian ruas kiri sama dengan

nilai diferensial f() * +

Dimana

"aka

,ika maka bentuk umum persamaan differensial diatas merupakan

Persamaan Diferensial Eksak

1.2 Solusi Persamaan Diferensial Eksak

!ndaikan diberikan

adalah persamaan diferensial eksak$ Penelesaian umum adalah F() * - dimana F()

diberikan oleh :

dimana .() fungsi ang dihasilkan dari :

F() * /()

Dengan mendiferensialkan persamaan ini se-ara parsial terhadap maka dihasilkan :

,adi fungsi .() pada penelesaian umum persamaan diferensial eksak diberikan oleh

)"$* 2

Matematika IIIPusat +a!a A,ar da eLearig

0end usman F "$Pd http:###$mer-ubuana$a-$id

0),(),( =+ dy y xQdy y x P

0),( =∂∂+

∂∂= dy

y

f dx

x

f y xdf

y

f Q

x

f P

∂

∂=

∂

∂=

y x

f

x

Q

y x

f

y

P

∂∂

∂=

∂

∂

∂∂

∂=

∂

∂ 22

x

Q

y

P

∂

∂=

∂

∂

0),(),( =+ dy y xQdy y x P

)(),(),( ∫ += yC dx y x P y x F

),()(),( y xQ yC dx y x P y

=+∂

∂∫


3/12

Pendekatan lain untuk menentukan fungsi F() * - dapat diperoleh dari

Dengan .() fungsi dari diperoleh dari

F() * P()

,adi fungsi .() pada penelesaian umum persamaan diferensial eksak diberikan oleh

Contoh 1 :

3entukan solusi dari persamaan berikut :

jawab :

Sesuai persamaan bentuk umum maka ditentukan:

0asil differensial :

Karena hasil dari keduana sama maka disebut Persamaan Differensial Eksak

Untuk men-ari F() maka perlu di integralkan

"en-ari integral tetapi dari terlebih dahulu untuk dilambangkan .()

berikutna menentukan dari persamaan :

)"$* 3



0)43()32( =+++ dy y xdx y x

y xQ y x P 43 32 +=+=

3Q

3 =∂

∂=

∂

∂

x y

P

y x

y

f Q y x

x

f P 43 ,32 +=

∂

∂=+=

∂

∂=

)(3

)()32(),(

2 yC xy x

yC dx y x y x f

++=

++= ∫

y x yC x y

f 43)('3 +=+=

∂

∂

)(),(),( ∫ += yC dx y x P y x F

)(),(),( ∫ += yC dx y x P y x F

)(),(),( ∫ += yC dx y x P y x F

)),(),(()( ∫ ∫ +∂∂

−= cdydx y x P y

y xQ yC

)(),(),( ∫ += xC dy y xQ y x F

),()(),( y x P xC dy y xQ x

=+∂

∂∫

)),(),(()( ∫ ∫ +∂∂

−= cdxdy y xQ x

y x P xC


4/12

"aka.4() didapatkan kemudian untuk men-ari .() langsung menggunakan &ntegral

0asilna akhirna adalah :

Contoh 2 :

Diberikan persamaan diferensial

(-os 5 2 -os2)d 5 (62 7 2sin 2)d * +

3entukan solusi umum PD tersebut jika eksak$

Jawab :

Dari persamaan diferensial di atas didapat :

P() * -os 5 2 -os2

P() * 2(82 -os $sin )99999999$( sin 2 * 2 sin $ -os )

* 82 sin 2

/() * 62 7 2sin 2

/() * 82 sin 2

3ernata P() * /() * 82 sin 2 maka persamaan diferensial tersebut adalah eksak$

Solusi umumna adalah F() * - dimana

* 2 5 2 -os2 5 .()

)"$* 4



1

224)(

4)('

C ydy y yC

y yC

+==

=

∫

C y xy x y x f =++= 22 23),(

C y xy x =++

22

23

)(),(),( ∫ += yC dx y x P y x F

∫ +−= )()2sin6(),(22 xC dy y x y y x F

∫ +−= )()cossin26(22 xC dy y y x y


5/12

Dimana fungsi .() diperoleh dari

F() * P()

22 -os2 5 .() * -os 5 2 -os2

Sehingga dihasilkan .4() * -os dan .() *

,adi solusi umum persamaan diferensial eksakna adalah :

Sin 5 2 5 2 -os2 * -

Contoh 3 :

.arilah solusi khusus persamaan diferensial$

(1 5 e) d 5 (e 52)d * +

Dengan sarat * 2 bila * +

Jawab :

Solusi umum persamaan diferensial ini dihasilkan :

P() * 1 5 e

P() * e 5 e()

* (1 5 )e

/() * e 5 2

/() * e 5 e()

* (1 5 )e

Karena P() * /() * (1 5 )e

maka persamaan tersebut eksak$ Penelesaianumumna adalah F() * -dimana :

* 5 e 5 .()

Seperti -ontoh sebelumna fungsi .() diperoleh dari

F() * /()

)"$* 5



y x x yC y x y x

2223 cos2cos)(')cos2( +=++∂

∂

.sincos c xc xdx +=+∫

∫ ++= )()1(),( xC dy ye y x F xy

y x yC e x x

xye xy 2)(')( +=++

∂

∂


6/12

Sehingga dihasilkan .() * 2 ,adi solusi umum persamaan diferensial eksakna adalah :

5 e 5 2 * -

Selanjutna menetukan solusi khusus$

Diketahui * 2 bila * + dengan mensubstitusikan sarat ini ke solusi umum diperoleh :

+ 5 e(+)(2) 5 (2)2 * -

+ 5 1 5 ; * -

Sehingga diperoleh - * < dan didapat solusi khususna adalah

5 e 5 2 * <

2. Persamaan diferensial non eksak dan faktor integrasi.

Persamaan diferensial orde satu ang berbentuk

P()d 5 /()d * +

jika P y (x,y) ≠ Q x (x,y) atau P y (x,y) - Q x (x,y) ≠ 0, maka persmaan diferensial tersebut

dikatakan non eksak

Solusi persamaan diferensial non eksak diperoleh dengan men-ari suatu fungsi u()

sedemikian sehingga bila dikalikan ke persamaan diferensial semula diperoleh :

u()P()d 5 u()/()d * +

dimana persamaan diferensial ini adalah eksak$ Fungsi u() demikian ini disebut dengan

faktor integrasi $ Sedangkan solusi umum diperoleh dengan langkah8langkah men-ari

persamaan diferensial eksak$

2$1 ,ika berlaku bentuk :

maka faktor integrasina e P!" d! -

Contoh :

.arilah faktor integrasi dan solusi dari persamaan diferensial

)"$* 6



)( x pQ

x

Q

y

P

=∂

∂−

∂

∂

y x yC x xy xyee

2)(' +=+

y yC 2)(' =


7/12

(2 5 2 5 ) d 5 d * +

Jawab :

Persamaan Differensial tersebut tidak eksak karena

dan

Sehingga didapat :

Suatu fungsi saja sehingga mempunai faktor integrasi

(sifat logaritma)$

Diperoleh suatu persamaan

(2 5 2 5 ) d 5 2 d * +

( 5 2 5 2) d 5 2 d * +

P() * 5 2 5 2

/() * 2

Karena maka didapat persamaan differensial eksak$

Selanjutna

Dimana fungsi .() diperoleh dari :

F() * /()

)"$* 7



y y

P 2=

∂

∂

y x

Q=

∂

∂

x xy

y y

Q

x

Q

y

P

12=

−=

∂

∂−

∂

∂

xy x

Q2=

∂

∂

xy y

P 2=

∂

∂

xy x

Q

y

P 2=

∂

∂=

∂

∂

)(3

1

2

1

4

1)()(),(

3224223 yC x y x x yC dx x xy x y x F +++=+++= ∫

y x yC x y x x y

23224 )()31

21

41( =+++

∂∂


8/12

y x yC y x22

)( =+

C(y) = 0

c x y x x =+++ 0

3

1

2

1

4

1 324

Persamaan dikalikan 12 maka didapat solusi umum :

2$2 jika berlaku bentuk :

Suatu fungsi dari saja maka faktor integrasina

Contoh :

3entukan solusi dari persamaan differensial berikut :

(2e 5 ) d 5 (;e 5 2 2 5 ;) d * +

Jawab :

Persamaan Differensial tersebut tidak eksak karena

dan

mengingat

* 82e 7 2

* 82(e 5 )

Sehingga dapat disimpulkan bah#a persamaan diferensial tersebut non eksak selanjutna

perhatikan bah#a :

)"$* 8



)( yq P

x

Q

y

P

=∂

∂−

∂

∂

−

∫ dy yqe)(

x ye y

P x +=∂

∂2

x ye x

Q x34 +=

∂

∂

)34()2( x ye x ye xQ

y P x x +−+=∂

∂−∂

∂

y x ye y

x ye

x ye y

x ye

P

xQ

y P

x

x

x

x 2

)(

)(2

)(

))(2(=

+

+=

+

+−−=

∂∂−

∂∂

−


9/12

Suatu fungsi saja sehingga mempunai faktor integrasi

Diperoleh suatu persamaan

2(2 e 5 ) d 5 2(;e 5 2 2 5 ;) d * +

(; e 5 ) d 5 (; e 5 2 2 2 5 ;) d * +

Selanjutna dengan -ara ang sama seperti persamaan diferensial eksak maka didapat

solusi :

;e 5 = 5 ; * -

)"$* 9



2ln2

2

yee y

dy y ==∫


10/12

Soal >atihan

1$ !pakah persamaan differensial berikut eksak? ,ika a tentukan solusina

a$ 2 d 5 2 d * +

b$ @( 5 1)e 7 eA d 7 e d * +

-$ .os d 5 d * +

d$ (-ot 5 2) d * -ose-2 d

e$ e d 5 (15 e) d * +

f$ sinh d 5 81 -osh d * +

g$ ( 1 5 2) d 5 ( 1 5 2) d * +

2$ 3entukan solusi dari :

a$ 4 5 5 ; * +

b$ 2 sin d 5 (2 -os 5 2) d * +

-$ Sin -osh 7 4 -os sinh * + (+) * +

$ Selesaikan soal berikut :

a$ ; d 5 B d * + () * +

b$ ( 5 ) d 5 ( 7 2) d * +

-$ .os C -os 2C d * 2 sin C sin 2C d (2) * 12

)"$* !




11/12

Daftar Pustaka:

1. Frank. Ayrs !."., Kalkulus Diferensial dan Integral , #rlan$$a, !akarta, 200%.

2. &ry'i$, #r(in. Advanced Engineering Matheatics !"th

editi#n$ 200%3. Prayu)i, Mateatika %eknik ,*ra+a l-u, o$yakarta 2006

4. Purcll,#)(in !., Kalkulus &ilid II , #rlan$$a, !akarta, 2006

/. trou), &.A., Mateatika %eknik , !ili) , #rlan$$a, akarta, 200

)"$*




12/12

)"$* 2



modul mtk iii

Documents