modul-ke-2-medan-elektromagnetik.doc

Modul ke.2

Tunjukan bahwa

Nyatakan produk titik itu dalam bentuk komponen.

Tapi karena cos dalam produk scalar 1 kalau sudut itu 0 dan

untuk =90o, cos adalah 0, sehingga produk titik lainnya antara sesame vector

satuan itu adalah 0. maka :

1.5. Diberikan A = 2ax + 4ay – 3ay dan B = ax – ay , tentukan dab A x B

1.6. Tunjukan bahwa A = 4ax – 2ay – ax dam B = ax + 4ay – 4az tegaklurus sesamanya.

Karena titik mengandung cos produk titik bernilai 0 dari dua vector bukan 0

berarti . = 90o.

1.7. Diberikan A = 2ax + 4ay dan B = 6ay – 4az, dapatkan sudur terkecil antara kedua

vector itu memakai (a) . produk silang, (b) produk titik.

1.8. Diberikan F = ( y – 1 ) ax + 2xay, carilah vector F tersebut di (2,2,1) dan

proyeksinya ada pada vector B di mana B = 5ax – ay + 2az.

F(2,2,1) = ( 2 – 1 ) ax + (2) ay

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.

MEDAN ELEKTROMAGNETIK 1

= ax + 4ay

Gambar ditunjukan di gamabar 1.9 proyeksi dari suatu vector terhadap vector

lainnya diperoleh dengan jalan mengambil produk scalar dengan vector satuan

dalam arah vector terakhir.

Proyeksi A pada B =

Sehingga pada (2,2,1)

Proyeksi F pada B =

B aB

Proy. A pada B

Gambar 1.9

1.9 Diberikan A = ax + ay +, B = ax + 2az dan C = 2ay + az, carilah (A x B) C dan

dibandingkan dengan A x ( B x C)

Maka :

Suatu perhitungan serupa menghasilkan Ax (B x C) = 2ax – 2ay + 3az. Sebab itu letak

kurung yang menunjukan produk silang mana yang harus diambil lebih dulu, adalah

penting dalam suatu produk silang tiga vector.

Memakai vector-vektor A,B dan C dari soal 1.9, carilah A B x C dan bandingkanlah

dengan A x B C

Dari soal 1.9, B x C = - 4ay – ay + 2az, sehingga

A B x C = (1)( – 4)+(1)(-1) + (0)(2) = - 5

Juga dari soal 1.9. A x B = 2ax – 2ay – az . Maka



A x B c = (2)(0)+(-2)(2)+(2)+(-1)(1)= - 5

Kurung – kurung tidak perlu disini, karena perkalian scalar tiga vector hanya

mempunyai makna kalau produk silang disana dihitung lebih dahlu. Pada umumnya

dapat ditunjukan bahwa ;

Sepanjang vector – vector itu muncul dalam urutan siklus yang sama, hasilnya akan

sama pula. Dalam hal ini ia keluar dari urutan siklus tersebut, hasilnya akan berubah

dalam suatu pergantian tanda.

1.11 Nyatakan vector satuan yang mengarah dari titik z = h pada sumbu z ke

dalam koordinat silindris lihat gambar 1.10.

Z

h

R

(r,,0) X

Gambar 1.10

Vektor R adalah selisih dari dua vector ;

Sudut tak tampak secara ekplisit dalam ungkapan – ingkapan ini. Walapun

demikian, baik R maupun aR berubah dengan melalui ar.

1.12. Nyatakan vector satuan yang mengarah ke titik asal dari suatu titik sembarang

pada bidang datar z = - 5 , seperti ditunjukan di gambar 1.11



z

(0,0,0) y

x R

(x,y, - 5)

Gambar 1.11

Karena soal ini dalam koordinat kartesian, rumus bagi dua titik pada soal 1.1

berlaku di sini.

1.13 Gunakan system koodinat bola untuk menetapkan luas pada

permukaan bola dengan jari – jari ( gambar 1.12) apa hasilnya bila = 0 dan

= ?

Elemen permukaan deferensi ( lihat gambar 1.5 (c)

Maka

Kalau = 0 dan = , A = 4a2,, yakni seluruh permukaan bola itu.

1.13. Turunkan persamaan volume suatu bola dengan jari a dari ungkapan volume

diferensial.

Dari gambar 1.5 ( c ) , dv = r2 sin dr d d maka



1.14. Gunakan system koordinat silindris untuk memperoleh luas permukaan

melengkung dari suatu silinder tegak di mana r = 2m, h = 5 m, dan 30o

(lihat gambar 1.13).

Elemen permukaan tersebut adalah dS = r d dz. Maka

z

A

y

z

Gambar. 1.14

z

x /6

2/3

Gambar 1.13

1.15. Tranformasikan

Dari koordinat kartesian ke koordinat silindris, dengan melihat Gambar 1.2 (b)

x = r cos y = r sin

dari mana



5m

5/4

5

Dan

1.16. Suatu vector yang panjangnya 10 dari titik (5,5/4,0) dalam koordinat silindris

mengarah ke titik asal. Nyatakan vector itu dalam koodinat kartesian.

Dalam koordinat silindris, vector itu dapat dinyatkan sebagai 10ar, dengan =

/4. maka

Sehingga

Perhatikan bahwa nilai koordinat radiasi, 5, tak berpengaruh disini.

Soal – soal tambahan1.18. Diberikan A = Aay + 10az dan B = 2ax + 3ay, carilah proyeksi A dan B jawab.

12

1.19 Diberikan nyatakan proyeksi B

pada A sebagai suatu vektor yang searah dengan A. Jawan . 1,50 (ax + az)

1.20 Tetapkan sudut A = 1oay + 2az dan B = - 4ay + 0,5az, menggunakan produk

titik, maupun produk silang. Jawab. 161.50

1.21. Carilah sudut antara A = 8ay + 1,55az dan B = - 6,93ay + 4,0az menggunakan

produk titik, maupun produk silang.

1.22. Diberikan bidang datar 4x + 3y + 2z = 12, carilah vektor satuan yang normal

terhadap permukaan tersebut dan arahnya menjauhi titik asal. Jawab. (4ax

+ 3ay + 2az)

1.23. Tunjukan bahwa medan – medan vektor A dan B di mana – mana tegaklurus

antara sesamanya kalau AxBx + AyBy + AzBz = 0



1.24. Carilah hubungan yang harus dipenuhi oleh komponen – komponen dari medan

– medan vektor A dan B agar kedua medan itu selalu paralel dimana – mana.

Jawab.

1.25. Tentukan vektor satuan yang mengarah ke titik asal yang mengarah ke titik asal

dari suatu titik sembarang pada garis lurus yang ditentukan oleh : x = 0, y = 3.

Jawab .

1.26. Tetapkan vektor satuan yang mengarah ke titik (x1, y1, z1) dari suatu titik

sembarang pada bidang datar y = - 5 Jawab.

1.27 Tentukan vektor satuan yang mengarah ke titik asal dari suatu titik sembarang

pada garis lurus yang ditentukan oleh x = 0, y = 3. Jawab.

1.28. Diberikan A = 5ax dan B = 4ax + byay, carilah harga By yang membuat sudut

antara A dan B 45o kalau B juga mengandung suku Bzaz, hubungan bagaimana

mesti berlaku antara By dan Bz?

1.29. Tunjukan bahwa harga absolut dari adalah sama dengan volume paralel

epipendum dengan sisi – sisi A,B dan C (petunjuk: pertama – tama tunjukan

bahwa luas basisnya adalah

1.30. Diberikan A = 2ax – az, B = 3ax + ay, dan C = - 2ax + 6ay – 4az, tunjukan bahwa

C tegaklurus pada A, maupun B

1.31. Diberikan A = ax – ay, B = 2az, dan C = - ax + 3ay, carilah periksalah

variasi – variasi lain dari produk tripel itu. Jawab. – 4

1.32. Memakai vektor – vektor dari soal 1.31 dapatkanlah ( A x B) x C. Jawab.

– 8az

1.33. Terapkan vektor satuan yang mengarah ke (14, - 5,3 ) dari (2, - 5, 2). Jawab.



1.34. Tunjukan mengapa cara pada soal 1.1 tak dapat dipakai dalam koordinat

silindris antara titik – titik (r1, ф1, z1)

1.35. Perlihatkanlah bahwa jarak d antara kedua titi pada soal 1.34 diberikan oleh

d2 + + - cos

1.36. Carilah vektor yang diarahkan dari (10,3π/4, π/6) ke (5π/4,π), dimana koordinat-

koordinat tersebut adalah koordinat silindris. Jawab. –96,66ax – 3,54ay +

10,61az

1.37. Carilah jarak antara (2,π/6, 0) dan (1, π,2) di mana titik-titik itu dinyatakan

dalam koordinat silindris . Jawab. 3,53.

1.38. Carilah jarak antara(1,3π/4, 0) dan (1,3π/4, π) di mana titik – titik itu dinyatakan

dalam koordinat bola. Jawab. 2,0

1.39. Pergunakan koordinat bola dan integrasi untuk memperoleh luas dari daerah 0 ≤

ф ≤ α pada permukaan bola r = α. Bagaimana hasilnya kalau α = 2π? Jawab.

2 αa2 A = 4πa2

1.40. Pergunakan kordinat silindris untuk memperoleh luas permukaan lengkungdari

suatu silindris tegak berpenampang lingkaran dengan jari – jari a dan tinggi h.

Jawab. 2πa



modul-ke-2-medan-elektromagnetik.doc

Documents