modul alin 2012
TRANSCRIPT
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB I
VEKTOR
1.1 Pengertian
Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat dijelaskan
secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas seperti ini
dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap
sehingga baik besarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin
yang bergerak pada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya,
misalnya mendekati 20 mil / jam.
Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis
terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor
dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal (initial point) dari
vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).
Gambar 1.1
Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B, maka dituliskan
v = AB−→
Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar 3.1b
disebut ekivalen.
Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|
B
a
b
a+b
MODUL ALJABAR LINEAR
1.2 Operasi – operasi pada vector
a. Penjumlahan Vektor
Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor
a.1 Metode Jajaran Genjang
Gambar 1.2
Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang
dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan
berimpit.
a.2 Metode Segitiga
Gambar 1.3
a+b
a
b
a+b
a
b
MODUL ALJABAR LINEAR
Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik
ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik
awal a dan bertitik ujung di titik ujung b
Catatan :
1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a
2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.
Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di
titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e
3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)
b. Perkalian Skalar
Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama
dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka =0
disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.
Gambar 1.4
a
2a -2a
MODUL ALJABAR LINEAR
1.3 Susunan Koordinat Ruang-n
a. Ruang dimensi satu (R1)
Gambar 1.5
Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P(2
5 )
artinya P mewkili bilangan 2
5 dan kita letakkan P sehingga OP = 2
5 satuan ke arah E
(arah positif).
b. Ruang dimensi dua (R2)
Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada
suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua,
ditulis R2.
Gambar 1.6
MODUL ALJABAR LINEAR
c. Ruang dimensi tiga (R3)
Gambar 1.7
d. Ruang dimensi n (Rn)
Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rn
dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1, x2, ...,xn)
Beberapa Dalil pada Operasi Vektor
Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2, c3, . . ., cn] Rn,
dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :
(1). a + b = b + a
(2). (a + b) + c = a + (b + c)
(3). k(a + b) = ka + kb
MODUL ALJABAR LINEAR
(4). a + 0 = a
(5). a + (-a) = 0
(6). (k + m)a = ka + ma
(7). (km)a = k(ma) = m(ka)
Dot Product (Hasil Kali Titik)
Definisi
Bila v dan w adalah vektor, dan adalah sudut antara v dan w (0 )
Maka hasil kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :
v.w = {|v||w| cos θ
0
jika v≠0 dan w≠0jika v=0 atau w=0
. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(1 .1 )¿
¿
Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor tak nol. Dan adalah sudut antara v
dan w , maka hokum cosinus menghasilkan :
|PQ−→
|2 = |v|2 + |w|2 – 2|v||w| cos …………………………………………..(1.2)
Karena PQ−→
= w – v maka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :
2|v||w| cos = |v|2 + |w|2 - |w – v|2
|v||w| cos = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)
Atau
v . w = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)
Dengan mensubstitusikan
MODUL ALJABAR LINEAR
|v|2 = v12
+ v22
+ v32
dan |w|2 = w12 + w2
2 + w3
2
dan
|w – v|2 = (w1−v1 )2 + (w2−v2 )
2 + (w3−v3 )
2
Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :
v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan
Cos =
v . w|v||w|
Contoh 1.1
Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)
Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.
Jawab :
v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3
|v| = √4+1+1 = √6
|w| = √1+1+4 = √6
Jadi Cos =
36 =
12 , maka sudut antara v dan w adalah 60o
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB 2
RUANG VEKTOR
1. Pengertian dari suatu field
Field adalah sebuah system aljabar yang dibentuk oleh suatu himpunan tak kosong K
dan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (*)
2. Sifat-sifat dari field
Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan )
dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :
2.1 untuk setiap , K maka + K dan * K, dikatakan K tertutup
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
2.2 untuk setiap ,, K maka (+ ) + =+ ( + )
2.3 Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + = + 0 = ,
untuk setiap K
2.4 Untuk masing-masing K , terdapat - K disebut negatip dari
sedemikian sehingga (- ) + = +(- )=0
2.5 untuk setiap , K maka + = +
2.6 untuk setiap ,, K maka (*)* =* ( * )
2.7 untuk setiap ,, K
(i) *( + )=* + *
(ii) ( + )* = * + *
2.8 untuk setiap , K maka * = *
2.9 Terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1* = *1 = ,
untuk setiap K
2.10 Untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut negatip dari
sedemikian sehingga -1 * = *-1=1
Anggota dari Field disebut Skalar.
3. Pengertian dari ruang vektor di atas suatu field
Misal { V , + , * } , V adalah himpunan dan didefinisikan operasi + (penjumlahan)
dan * (perkalian). Maka V disebut Ruang Vektor di atas suatu Field K jika
dipenuhi syarat berikut :
MODUL ALJABAR LINEAR
3.1 untuk setiap u,v V dan K maka u + v V, u V dikatakan K
tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
3.2 untuk setiap u,v ,w V maka (u + v) + w = u + (v + w )
3.3 untuk setiap u,v V dan K maka *(u + v)=*u + *v
3.4 Terdapat 0 V disebut vektor nol, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0
= u , untuk setiap u V
3.5 Untuk masing-masing u V , terdapat - u V disebut sedemikian sehingga (-
u) + u = u +(- u) = 0
3.6 untuk setiap u,v V maka u + v = v + u
3.7 untuk setiap u V ,, K berlaku ( + ) *u = * u +* u
3.8 dan ( ) *u = (* u)
3.9 untuk setiap u V berlaku 1* u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K
Anggota dari Ruang Vektor disebut vektor.
Contoh :
Himpunan Vektor di ruang dimensi 3 Dengan operasi pejumlahan vektor dan
perkalian skalar.
SubRuang (subspace)
Definisi
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W itu
sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan
pada V.
Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier
Definisi
Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly dependent) bila
terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m yang tidak semuanya nol sedemikian hingga (u1, u2, …
um)
Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent) jika 1 u1 + 2
u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …= m = 0.
Catatan :
1. Jika m=1, maka :
MODUL ALJABAR LINEAR
a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0
0 = 0 terpenuhi juga untuk 0
b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0
2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka
himpunan itu tak bebas linier,
1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0
3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas
linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0 pada 1 v + 2 u = 0
Kombinasi Linier
Definisi
Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila terdapat
skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + …+ m um.
Contoh
a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]
Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c
Kita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]
2 = 1 + 3 2
1 = 2
2 = 3 1 + 5 2
Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1
Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c
Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur
MODUL ALJABAR LINEAR
(1). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v adalah
kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan u disebut koliner
(segaris).
(2). v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v adalah
diagonal jajaran genjang yang sisi – sisinya 1u1 dan 2u2 . u1 dan u2 disebut
koplanar (sebidang).
(3) v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v = 1u1 +
2u2 + 3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi – sisinya 1u1, 2u2
dan 3u3.
Dimensi dan Basis
Definisi
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan himpunan berhingga
dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika :
(i). S bebas linier
(ii) S merentang V
Definisi
Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya
vektor pada basis untuk V.
Contoh Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i). p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]
(ii). u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]
Jawab :
(i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier.
Berarti dimensi = 2
(ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduanya merupakan sistem
pembentuk yang tidak bebas linier. Berarti dimensi = 1
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB IIIM A T R I K
MODUL ALJABAR LINEAR
3.1 Pengertian
Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
dan kolom)
Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan: ( ), [ ], || ||
3.2 Notasi Matrik
Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik A=(a ij), artinya
suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana index i menunjukkan baris ke-i
dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .
Sehingga bila matrik disusun secara A(mxn) = (aij), mxn disebut ordo (ukuran) dari matrik
A.
3.3 Operasi pada Matrik
1. Penjumlahan matrik
Syarat : ukuran matrik harus sama.
Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah suatu matrik C =
(cij) dimana cij = aij + bij untuk setiap I dan j
2. Perkalian skalar terhadap matrik
Kalau suatu skalar (bilangan) dan A = (aij), maka matrik A = (aij), dengan kata lain,
matrik A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A dengan .
Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :
Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan adalah skalar maka :
1. A + B = B + A (komutatif)
2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)
3. (A + B) = A + B (distributif)
4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B
MODUL ALJABAR LINEAR
3. Perkalian matrik
Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA. Pada
perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik kedua.
Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua
Definisi :
Pandang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka perkalian AB
adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana :
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r
MODUL ALJABAR LINEAR
Hukum pada perkalian matrik :
1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif
2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif
3. Perkalian tidak komutatif, AB BA
4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah = 0,
kemungkinan kemungkinannya adalah :
(i). A = 0 dan B = 0
(ii) A = 0 atau B = 0
(iii) A 0 dan B 0
5. Bila AB = AC belum tentu B = C
4. Transpose dari suatu matrik
Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A adalah matrik
AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke – i dari A, i =
1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT. Dengan kata lain : AT = (aji)
Sifat – sifat matrik transpose
1. (A + B)T = AT + BT
2. (AT)T = A
3. (AT) = (A)T
4. (AB)T = BT AT
3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus
1. Matrik bujursangkar
adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga disebut berordo
n.
Barisan elemen a11, a22, … ann disebut diagonal utama dari matrik bujursangkar
A
MODUL ALJABAR LINEAR
2. Matrik nol
adalah matrik yang semua elemennya adalah 0
3. Matrik diagonal
matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya 0.
4. Matrik identitas
adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama adalah 1.
5. Matrik skalar
adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal utamanyanya = k
6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0.
7. Matrik segitiga atas (upper triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0.
8. Matrik simetris
adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
9. Matrik anti simetris
adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.
.
10. Matrik hermitian
adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama dengan dirinya
sendiri.
11. Matrik idempoten, nilpotent
Bila berlaku A.A = A2 = A, maka A dikatakan matrik idempoten.
Bila Ar = 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah bilangan bulat
positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)
MODUL ALJABAR LINEAR
3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik
Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu matrik A adalah
sebagai berikut :
1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis Hij (A)
b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis Kij (A)
2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar 0 , ditulis Hi( λ ) (A)
b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar 0 , ditulis Ki( λ ) (A)
3a. Menambah baris ke – i dengan kali baris ke – j ditulis Hij()(A)
b. Menambah kolom ke – i dengan kali kolom ke – j ditulis Kij()(A)
Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer dari A. Kita
dapat mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.
Matrik ekivalen
Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari
yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap baris dan atau kolom. Jika
transformasi elementernya pada baris saja, maka dikatakan ekivalen baris. Begitu juga
dengan kolom.
Matrik Elementer
Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat diperoleh dari matrik
identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal.
MODUL ALJABAR LINEAR
3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan
Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan bagi AX = 0
dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
.
.
.
an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0
Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka sistem
persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matrik yang
diperbesar akan menjadi :
x1 = 0
x2 = 0
.
.
xn = 0
dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :
[a11 a12 . . a1 n 0
a21 a22 . . a2 n 0
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .an 1 an2 . . ann 0
]
MODUL ALJABAR LINEAR
3.7 Mencari invers matrik
Contoh 3.1:
Cari invers matrik A = [1 2 32 5 31 0 8 ]
Jawab :
Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1] dari bentuk asal [A | I]
[1 2 32 5 31 0 8
1 0 00 1 00 0 1
]
dengan operasi elementer H21(−2) dan H21
(−1) menjadi
[1 2 30 1 −30 −2 5
1 0 0−2 1 0−1 0 1
]
dengan operasi elementer H32(2) menjadi
[1 2 30 1 −30 0 −1
1 0 0−2 1 0−5 2 1
]
dengan operasi elementer H3(−1) menjadi
[1 2 30 1 −30 0 1
1 0 0−2 1 05 −2 −1
]
MODUL ALJABAR LINEAR
dengan operasi elementer H13(−3) dan H23
(3 )menjadi
[1 2 00 1 00 0 1
−14 6 313 −5 −3
5 −2 −1]
dengan operasi elementer H12(−2) menjadi
[1 0 00 1 00 0 1
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1]
Jadi invers dari matrik A adalah [−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1 ]LATIHAN:
1. Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A = [2 13 4 ]
2. Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A = [−1 3 5
1 −3 −5−1 3 5 ]
3. Carilah invers dari A = [3 24 3 ]
MODUL ALJABAR LINEAR
4. Diketahui A = [3 1 2 14 1 0 21 3 0 1 ]
, matrik B dihasilkan dari sederetan transformasi
elementer H31(−1)
,H2(2) , H12 , K41
(1 ) , K3(2) terhadap A. Carilah B tersebut.
5. Tentukan transpose hermitian dari :
Q = [2+i i sin ix3+i x2 π ]
6. Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + + 8x3 = 17
7. Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian berikut :
a. X [−1 0 1
1 1 03 1 −1 ]
= [ 1 2 0−3 1 5 ]
b. X[1 −1 23 0 1 ]
= [−5 −1 0
6 −3 7 ]
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB IVD E T E R M I N A N
4.1 Pengertian
Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang disebut
Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil dahulu matrik A(2x2)
sebagai berikut : [a bc d ]
Didefinisikan ; det(A) = |a bc d
| = ad -bc
Contoh :
A = [1 35 5 ]
maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10
4.2 PERMUTASI
Definisi :
Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah susunan bilangan –
bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan
– bilangan tersebut.
MODUL ALJABAR LINEAR
Contoh 4.1:
Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1},
{3,2,1}, {3,1,2}
Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3 = 6
Definisi
Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji) padahal ji <
jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)
Contoh 4.2:
Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?
Ada 2 invers yaitu :
1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2
2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4
4.3 DETERMINAN
Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .
(-) (-) (-)
|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
|a11 a12
a21 a22
a31 a32
(+) (+) (+)
Contoh 4.3:
MODUL ALJABAR LINEAR
|2 3 12 1 23 1 2
|
2 32 13 1 = 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2
= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5
4.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN
1. det(A) = det(AT)
2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.
3. Harga determinan menjadi kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan skalar
4.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS
Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan
definisi determinan secara langsung.
Theorema :
Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada
diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann
Contoh 4.4 :
|
2 7 −3 8 30 −3 7 5 10 0 6 7 60 0 0 9 80 0 0 0 4
|
= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296
Contoh 4.5 :
MODUL ALJABAR LINEAR
Hitung det(A) dimana A =
|0 1 53 −6 92 6 1
|
Jawab :
Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -
|3 −6 90 1 52 6 1
|
= - 3
|1 −2 30 1 52 6 1
| ⇒ H31
(-2) ⇒ = - 3
|1 −2 30 1 50 10 −5
| ⇒ H32
(-10) ⇒
= - 3
|1 −2 30 1 50 0 −55
| = (-3) (-55)
|1 −2 30 1 50 0 1
| = (-3) (-55) (1) = 165
Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan menggunakan
komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan.
4.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER
Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan kolom ke – j
dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.
Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor
Contoh 4.6 :
MODUL ALJABAR LINEAR
A = [2 3 45 6 78 9 1 ]
Minor dari elemen a23 = |2 38 9
| = 18 – 24 = -6
Kofaktor dari elemen a23 = (-1)5
(-6) = 6
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu C ij = ±Mij .
Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau tanda – merupakan
penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan
kolom ke – j dari susunan :
[+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . ....
.. .. . . . . . . ]Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23
Theorema
Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen –
elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan
hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 i n dan 1 j n , maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)
dan
MODUL ALJABAR LINEAR
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)
Contoh 4.7 :
Det(A) bila A = [ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]
adalah
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
= 3 |−4 3
4 −2| - 1
|−2 35 −2
| + 0
|−2 −45 4
| = (3)(-4) – (1)(-11)
= -12 + 11
= -1
Definisi :
Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik
[C11 C12 C13 .. . C1n
C21 C22 C23 .. . C2n
. . . .. . .
. . . . .Cn 1 Cn 2 Cn3 .. . Cnn
] disebut matrik kofaktor A.
Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).
Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A−1 =
1det ( A ) adj(A)
MODUL ALJABAR LINEAR
ATURAN CRAMER
Theorema
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui
sehingga det(A) ¿ 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini
adalah :
x1 =
det ( A1 )det ( A ) , x2 =
det ( A2 )det ( A ) , … , xn =
det ( An )det ( A )
dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam kolom
ke j dari A dengan elemen matrik B = [ bb2
.bn
]Contoh
Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan
x1 + + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab :
A= [ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ]
,
MODUL ALJABAR LINEAR
A1= [ 6 0 230 4 68 −2 3 ]
, A2= [ 1 6 2−3 30 6−1 8 3 ]
, A3= [ 1 0 6−3 4 30−1 −2 8 ]
Maka
x1 =
det ( A1 )det ( A ) =
−4044 =
−1011 ,
x2=
det ( A2 )det ( A ) =
7244 =
1811 ,
x3 =
det ( A3 )det ( A ) =
15244 =
3811
Latihan
Latihan Soal :
1. Cari semua minor dan kofaktor dari A = [ 1 6 −3−2 7 13 −1 4 ]
2. Q = [1 2 32 3 41 5 7 ]
, cari :
a. adj(A)
b. det(A)
c. A−1
MODUL ALJABAR LINEAR
3. Carilah harga x,y,z,dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut :
2x + 4y + 3z + 2w = 1
3x + 6y + 5z + 2w = 1
2x + 5y + 2z - 3w = 0
4x + 5y + 14z + 14w = 0
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB V
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
1. Memahami Pengertian Sistem Persamaan Linier
Definisi :
Bentuk umum a1 x1+a2 x2+…+an xr=b adalah persamaan linear dengan a sebagai koefisien, x
variabel, dan b konstanta dan sekumpulan harga yang memenuhi nilai variabel x disebut
solusi (jawab) persamaan. Variabel di dalam persamaan linear bukan sebagai argumen fungsi
trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.
Definisi Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1,
x2, ..., xn dinamakan sistem persamaan linear
Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan sebuah pemecahan dari
sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2 ,… , xn = sn adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap
persamaan di dalam system tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linier mempunyai pemecahan. Persamaan linier yang
memiliki setidak- tidaknya satu pemecahan disebut konsisten (Consistent). Persamaan linier
yang tidak mempunyai pemecahan disebut takkonsisten (inconsistent).
Ada 3 kemungkinan penyelesaaian persamaan linier :
1. Tidak mempunyai pemecahan
2. Mempunyai persis satu pemecahan.
3. Mempunyai tak hingga banyaknya pemecahan
Definisi :
Sebuah Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m buah persamaan linier dengan n buah
bilangan yang tidak diketahui dapat dinyatakan dengan :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
MODUL ALJABAR LINEAR
dimana x1, x2, … , xn adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variable), a
menyatakan koefisien dan b menyatakan kontanta-konstanta
Dan sistem persamaan linear di atas jika dinyatakan dalam matriks adalah :
AX = B
[ a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn
][ x1
x2
⋮xn
]=[ b1
b2
⋮bm
]Apabila matriks A digabung dengan matriks B maka disebut augmented matriks (matriks
yang diperbesar), yaitu
[ a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn
b1
b2
⋮bm
]dan memiliki rank lengkap (r(A,B)).
Teorema Suatu system persamaan linear konsisten jika rank matriks koefisien (r(A)) = rank
matriks lengkap (r(A,B)
2. Memahami Sistem persamaan linier Homogen
Sistem Persamaan Linear Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki konstanta
sama dengan nol, AX = 0.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi, karena r(A) = r(A,0), paling sedikit
memiliki solusi nol atau solusi trivial.
MODUL ALJABAR LINEAR
3. Memahami Perbedaan sistem persamaan linier homogen trivial atau tidak
Suatu persamaan linear homogen memiliki solusi trivial jika r = n (banyaknya rank matriks
koefisien = banyaknya variable).
Suatu persamaan linear homogen selain memiliki solusi trivial juga memiliki solusi non
trivial jika r < n (rank matriks koefisien lebih sedikit dari banyaknya variable)
4. Memahami Syarat suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai solusi
( selain solusi trivial)
Misalkan banyaknya persamaan linear adalah m buah, jika m < n (banyaknya persamaan
lebih sedikit dari banyaknya variable) maka pasti ada solusi non trivial.
5. Memahami Pengertian sistem persamaan linier non homogen
Sistem Persamaan Linear Non Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki
konstanta sama dengan b, AX = b.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB VITRANSFORMASI LINIER
Pengantar
Definisi
Jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F
disebut transformasi linier, jika :
(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V
(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k
Contoh
Misal F:R2 R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :
F(v) = (x, x+y, x-y)
Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)
Sehingga ,
F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])
= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)
= F(u) + F(v)
Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)
= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)
= k F(u)
Jadi F adalah sebuah transformasi linier
Latihan :
Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :
MODUL ALJABAR LINEAR
1. F(x,y) = (2x, y)
2. F(x,y) = (2x+y, x-y)
3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)
4. F(x,y,z) = (1, 1)
Transformasi Linier dari Rn Rm
Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah matrik m x
n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor kolomnya.
Misal jika T:R2 R2 diberikan oleh :
T([x1
x2 ]) = [ x1+2x2
x1 − x2]
Maka
T(e1) = T([10 ])
= [11 ]
dan T(e2) = T([01 ])
= [ 2−1]
Jadi A = [1 21 −1 ]
adalah matrik baku untuk T di atas.
Jenis – jenis Transformasi Linier bidang
1. Rotasi (Perputaran)
Matrik baku untuk T adalah : [cos θ −sin θsin θ cos θ ]
2. Refleksi
MODUL ALJABAR LINEAR
Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing –
masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l
Matrik baku untuk :
a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah [ x
y ] menjadi
[−xy ]
) adalah :
[−1 00 1 ]
b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah [ x
y ] menjadi
[ x− y ]
) adalah :
[1 00 −1 ]
c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah [ x
y ] menjadi
[ yx ]
) adalah :
[0 11 0 ]
3. Ekspansi dan kompresi
Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k
yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam
arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah
x. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [k 00 1 ]
Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan
dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas
gambar bidang dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi
gambar bidang dalam arah y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y
dengan faktor k
MODUL ALJABAR LINEAR
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 00 k ]
4. Geseran
Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang
menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky
menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 k0 1 ]
Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang
menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx
menuju kedudukan yang baru (x , y + kx)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 0k 1 ]
Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan, maka hasil
yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.
Jika transformasi - transformasi matrik
T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,
Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi
matrik tunggal T(x) = Ax, dimana
A = Ak . . . A2 A1
MODUL ALJABAR LINEAR
Contoh
a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x
b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x
Jawab :
a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 = [1 20 1 ]
Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 = [0 11 0 ]
Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah
A2. A1 = [0 11 0 ][1 2
0 1 ] =
[0 11 2 ]
b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah
A1. A2 = [1 20 1 ][0 1
1 0 ] =
[2 11 0 ]
Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 A1. A2
Jika T:R2 R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T
memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka
[ x 'y ' ] = A
[ xy ]
Dan
[ xy ]
= A-1 [ x '
y ' ]
MODUL ALJABAR LINEAR
Contoh
Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A = [3 12 1 ]
Jawab :
[ x 'y ' ] =
[3 12 1 ]
[ x
y ]Dan
[ xy ]
= [3 12 1 ]−1
[ x 'y ' ] =
[ 1 −1−2 3 ][ x '
y ' ]Sehingga
x = x’ – y’
y = -2x’ + 3y’
Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :
-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1
-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1
5y’ = 4x’ + 1
y’ = 4
5 x’ + 1
5
MODUL ALJABAR LINEAR
Latihan
1. Carilah matrik bakunya
a. T([x1
x2 ])= [ x2
−x1
x1+3 x2
x1−x2]
b. T([
x1
x2
x3
x4])
= [7 x1+2x2−x3+x4
x2+x3
−x1]
2. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 R2 yang
memetakan titik (x,y) ke dalam :
(a). Refleksi terhadap garis y = -x
(b). Refleksi melalui titk pusat
(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x
(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y
3. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1),
dan (1,1) di bawah perkalian oleh A = [−3 0
0 1 ]4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =
[4 −33 −2 ]
MODUL ALJABAR LINEAR
BAB VIINILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Definisi
Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A
jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
Ax = x
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang
bersesuaian dengan .
Contoh
Vektor x = [12]
adalah vektor eigen dari A = [3 08 −1 ]
Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena
Ax = [3 08 −1 ][12]
= [36 ]
= 3[12]
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali
Ax = x sebagai Ax = Ix
(I – A)x = 0
Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika
det(I – A)=0 ...................................................(6.1)
Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.
Contoh
Carilah nilai – nilai eigen dari A = [ 3 2−1 0 ]
MODUL ALJABAR LINEAR
Jawab :
Karena
I – A = [1 00 1 ]
- [ 3 2−1 0 ]
= [ λ−3 −2
1 λ ]Det(I – A) = (-3) - (-2) = 0
= 2 - 3 + 2 = 0
1 = 2, 2 = 1
Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1
Latihan :
1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [10 −9
4 −2 ]
2. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [ 4 0 1−2 1 0−2 0 1 ]