Modul 7 Metode Numerik 1

MODUL 7

SOLUSI PERSAMAAN LANJAR Pengantar Dalam praktek rekayasa, perilaku sistem dimodelkan dalam persamaan matematika. Seringkali jumlah persamaan tersebut lebih dari satu dan harus diselesaikan secara serempak dan simultan. Jika sistem persamaan yang dihasilkan berbentuk aljabar lanjar (linier), maka diperlukan teknik penyelesaian yang lain. Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linear dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iterasi (iterative). Metode langsung merupakan metode dengan tidak adanya kesalahan pembulatan atau lain-lainnya, akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam jumlah operasi aritmatika elementer yang terbatas banyaknya. Metode dasar yang digunakan adalah eliminasi Gauss dan ada berbagai pilihan metode yang bervariasi dalam efisiensi dan kecermatan hitungan. Metode iterasi adalah dimulai dengan pendekatan permulaan menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan permulaan menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan yang lebih baik. Metode iterasi bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi. Kelebihan metode iterasi adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi yang dilakukan.

2 Modul 7 Metode Numerik

Metode penyelesaian sistem persamaan lanjar dengan determinan (aturan Cramer) tidak praktis untuk sistem yang besar. Beberapa metode penyelesaian praktis sistem persamaan lanjar antara lain : Metode eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss-Jordan Metode matriks balikan Metode dekomposisi LU Metode lelaran Jacobi Metode lelaran Gauss-Seidel Walaupun metode penyelesaian SPL beragam, namun sebagian besar metode tersebut, tetap didasarkan pada metode yang paling dasar, yaitu eliiminasi Gauss. Metode eliminasi Gauss-Jordan, metode matriks balikan, dan metode dekomposisi LU merupakan bentuk variasi lain dari metode eliminasi Gauss. Sedangkan metode lelaran Jacobi dan metode lelaran Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode lelaran pada solusi persamaan nirlanjar.

Metode Eliminasi Gauss Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuksegitiga seperti sistem persamaan berikut ini : !! !" !" !!0 !! !" !!0 0 !! !!0 0 0 !!!!!! =

!!!! maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution) :

Modul 7 Metode Numerik 3

!!!=! ! = !/!! !!!.!!!!!! + !!!.!!! = !!! !!! = !!! !!!.!!!!!.!!! !!!.!!!!!! + !!!!!!.!!!!!! + !!!.!!! = !!! !!! = !!! !!! ,!!! !!!! !!!,!!!!!.!!! dst. Sekali ! , !!!, !!!, , !!! diketahui , maka nilai ! dapat dihitung dengan ! = !!! !!"!!!!!!!!!!! , = 1, 2, . .1 dan !! 0 Kondisi !! 0 sangat penting, sebab bila !! = 0, maka persamaan di atas mengerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka sistem persamaan lanjar tidak mempunyai jawaban. Perhatikan contoh berikut : Selesaikan sistem persamaan lanjar berikut dengan teknik penyulihan mundur : 4! - x2 + 2x3 + 3x4 = 20 - 2x2 + 7x3 + 4x4 = -7 6x3 + 5x4 = 4 3x4 = 6

4 Modul 7 Metode Numerik

Penyelesaian : X4 = 6/3 = 2 X3 = !!! !! =-1 X2 = !!!! !! !!(!)!! = 4 X1 = !"!! !! !! !! !!(!)! = 3 Jadi, solusinya adalah = (3,4,1, 2)! Metode eliminasi Gauss pada prinsipnya bertujuan mentransformasikan sistem Ax=b menjadi sistem Ux = y Dengan U adalah matriks segitiga atas. Selanjutnya solusi x dapat dihitung dengan teknik penyuluhan mundur. Contohnya pada sistem denfan 4 persamaan lanjar berikut ( Elemen matriks A dan vector kolom b disatukan dalam bentuk satu bentuk matriks) : !! !" !" !"!" !! !" !"!" !" !! !"!" !" !" !!!!!!

!! !" !" !"0 !!(!) !"(!) !"(!)0 0 !!(!) !"(!)0 0 0 !!(!)!!(!)!(!)!(!) , , Tanda pangkat (1) , (2) , (3) menunjukkan bahwa elemen matriks A telah berubah satu kali, dua kali dan tiga kali.

Modul 7 Metode Numerik 5

Proses eliminasi terdiri atas tiga operasi baris elementer : 1. Pertukaran : Urutan dua persamaan dapat ditukar karena pertukaran tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir 2. Penskalaan : Persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan nol, karena perkalian tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir 3. Penggantian : Persamaan dapat diganti dengan penjumlahan persamaan itu dengan gandaan persamaan lain. Misalnya persamaan diganti dengan selisih persamaan itu dengan dua kali persamaan lain, yaitu : Baris : = barisr mp,r barisp Nilai !,! pada posisi (r,r) yang digunakan untuk mengeliminasi xr pada baris r + 1, r + 2,, N dinamakan elemen pivot dan persamaan pada baris ke-r disebut persamaan pivot. Pivot sendiri dalam kamus Webster berarti Critical,

cardinal or crucial factor. Ada kemungkinan pivot bernilai nol sehingga pembagian dengan nol tidak dapat dielakkan. Tata-ancang eliminasi yang tidak mempedulikan nilai pivot adalah tata ancang yang naf atau sederhana. Metode eliminasi tersebut dinamakan dengan metode eliminasi Gauss naf, karena metodenya tidak melakukan pemeriksaan kemungkinan pembagian dengan nol. Pada metode eliminasi Gauss naf, tidak ada operasi pertukaran baris dalam rangka menghindari Pivot yang bernilai nol itu.

6 Modul 7 Metode Numerik

Perhatikan contoh berikut : Selesaikan sistem persamaan lanjar dengan metode eliminasi Gauss naf 2! + 3x2 - x3 = 5 4! + 4x2 - 3x3 = 3 2! + 3x2 - x3 = 1 Penyelesaian : 3 14 4 32 3 1 531 !

!!!! !!! !2 3 10 10 6 2 576 !

!!! 2 3 10 2 10 0 5 5715 Keterangan : - Elemen yang dicetak tebal menyatakan pivot - Simbol menyatakan operasi baris elementer - Ri menyatakan baris ke i - ! !!! artinya elemen-elemen pada baris kedua dikurangi dengan dua kali elemen-elemen pada baris ke satu ! 4 4 3 4 2! 4 6 2 10 ! 42! 0 2 1 7

Modul 7 Metode Numerik 7

(Menjadi elemen baris ke-2) Solusi sistem diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut : - 5x3 = -15 x3 = 3 - 2x2 - x3 = -7 x2 = (-7 + 3)/-2 = 2 2! + 3x2 - x3 = 5 ! = !!!!!! = 1 Jadi solusinya adalah = (1, 2, 3)! Kelemahan Eliminasi Gauss Naif Jika pivot !! = 0, baris ke-k tidak dapat digunakan untukmengeliminasi elemen pada kolom p, karena terjadinya pembagian dengan nol. Oleh karena itu, pivot yang bernilai nol harus dihindari dengan tata-ancang (strategi)pivoting. Tata-Ancang Pivoting Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut : Jika !,!(!!!) = 0 , cari baris k dengan !,! 0 dan > , lalu pertukarkan baris p dan k. Metode eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting disebut metode eliminasi Gauss yang diperbaiki (modified Gaussian elimination).

8 Modul 7 Metode Numerik

Perhatikan contoh berikut : Selesaikan sistem persamaan lanjar berikut dengan metode eliminasi Gauss yang menerapkan tata ancang pivoting. ! + 2x2 + x3 = 2 3! + 6x2 = 9 2! + 8x2 + 4x3 = 6 2 13 6 02 8 4 296 ! !!!! !!!

1 2 10 30 4 2 232 ! !() 1 2 10 4 20 0 3 223 Setelah operasi baris 1, elemen !! yang akan menjadi pivot pada operasi baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2, elemen baris 2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan pertukaran baris terjadi akibat proses pivoting. Sekarang elemen !! = 4 0 sehingga operasi baris elementer dapat diteruskan. Tetapi karena matriks A sudah membentuk matriks U , proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur, yaitu x3 = -1 , x2 = 1 dan x1 = 1. Referensi : Materi diambil dari buku : Munir, RInaldi. 2010. Metode Numerik.Bandung : Informatika.

Operasi baris 1 Operasi baris 2