modul 4 metopt

7/25/2019 Modul 4 Metopt

1/8

MODUL 4. DUALITAS

4.1. Sub Kompetensi

Kemampuan yang akan dimiliki oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini

adalah sebagai berikut :

- Mahasiswa mampu memformulasikan permasalahan linier yang memerlukan

artificial variables dengan metode simpleks dua fase. Mampu

mengapresiasikan penyelesaian metode simpleks dua fase dengan presentasi

grafik.

4.2. Uraian Materi

Ditinjau dari teori dan praktek, maka dualitas merupakan konsep linear

programming yang penting dan menarik. de dasar dari teori dualitas adalah

bahwa setiap persoalan linear programming mempunyai suatu linear program

yang berkaitan yang disebut !dual!. "ehinggasolusi dari persoalan asli #$

%primal&, juga memberikan solusi pada dualnya.

1.1. DEFINISI MASALAH DUAL

"ecara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah #$, yang

secara langsung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model #$ primal.

Dalam kebanyakan perlakuan #$, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal

tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum. 'leh karena itu dalam

kenyataannya teori dualitas secara tegas tidak diharuskan penggunaannya.

$rimal-dual menunjukkan hubungansecara simetris dengan ketentuan sebagai

berikut :

(. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan dual

). Konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual

*. "emua kolom primal menjadi kendala dual

+. "emua kendala primal menjadi variabel keputusan dual

. Koefisien kendala dari variabel primal menjadi koefisien yang

berkorespondensi dengan kendala dual.

ontoh berikut memberikan gambaran yang lebih jelas memahami bentuk standar

primal dual.

Bentuk rima!

MODUL AJAR METODE OPTIMASI41


2/8

MODUL 4. DUALITAS

Bentuk Stan"ar rima!

Bentuk Stan"ar rima!

Bentuk Dua!

Dari contoh diatas, karakteristik dasar dari standar primal-dual adalah sebagai berikut

:

pabila kita memiliki masalah primal dalam tujuan berbentuk

maksimum maka tabel simpleks belum optimum jika /j-j 0 1. Dengan kata


Maksimum Z = 5 X1 + 12 X2 + 10 X3

Dengan Kendala :1) X1 + 4 X2 + X3

10

2) 2 X1 + X2 + 3 X3

15

Maksimum Z = 5 X1 + 12 X2 + 10 X3 + 0S1 + 0S2

Dengan Kendala : 1) X1 + 4 X2 + X3 + S1 = 10

2) 2 X1 + X2 + 3X3 + S2 = 15

X1 , X2 , X3 , S1 , S2 0

Maksimum = 3 !1 + 5 !2

Dengan Kendala : 1) !1 + 2 !2

5

2) 4 !1 + 3 !2 12

3) !1 + 3!2 10

!1 0


3/8

MODUL 4. DUALITAS

lain, tabel simpleks akan optimum jika dan hanya jika /j-j2 1 untuk semua j.

"ekarang kita lihat kembali model standar dualitas, dimana :

Dalam kenyataannya mungkin kita menghadapi suatu kondisi dimana tabel

simpleks awal tidak layak, tetapi tabel tersebut adalah optimum. Menghadapi

keadaan seperti ini dikembangkan suatu metode baru yang disebut sebagai

!meto"e "ua! simp!eks!. 3agaimana mekanisme penggunaan metode ini, kita

pelajari contoh berikut ini.

#angkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkonversikan semua

kendala menjadi lebih kecil sama dengan %4&. 5ntuk mengkonversikan kendala ke

bentuk 4, kalikan semua kendala dengan %-(&, sehingga menjadi :

#angkah selanjutnya adalah memasukkan slack variabel ke dalam kendala, sehingga

menjadi :



4/8

MODUL 4. DUALITAS

Minimum / 6 )7( 8 +7) 8 7* 8 *7+

- 7(- )7)- *7*- +7+ 8 "( 6 - *1

- )7(- 7)- 7*- 7+ 8 ") 6 - )1

7(, 7), 7*, 7+, "(, ") 2 1

9ika dimasukkan kedalam tabel simpleks, makaslack variabel %"( dan

")& tidak layak, karena memiliki konstatanta ruas kanan negatif. 'leh karena

fungsi tujuan berbentuk minimum, maka tabel simpleks akan optimum apabila

koefisien fungsi tujuan pada baris /j j 4 1. $ada tabel awal solusi basisnya

menunjukkan "( 6 -*1 dan ") 6 -)1, kondisi ini adalah optimum tetapi tidak layak.

5ntuk menyelesaikan masalah ini, dapat digunakan metode dual simpleks seperti

berikut :

#angkah selanjutnya adalah menentukan variabel yang akan keluar basis atau

baris kunci, yaitu basis yang memiliki angka negatif terbesar. Dalam tabel diatas

adalah variabel basis "(, karena memiliki nilai-*1. "elanjutnya, menentukan variabelyang akan masuk basis atau kolom kunci, yaitu variabel nonbasis yang memiliki

angka rasio terkecil. ngka rasio, dicari dengan cara membagi angka yang

terdapat pada baris /j j dengan angka yang terdapat pada baris kunci yang

berkorespondensi dengan variabel nonbasis.



5/8

MODUL 4. DUALITAS

;ariabel masuk basis adalah 7*, karena memiliki rasio terkecil yaitu (


6/8

MODUL 4. DUALITAS

#abe! Iterasi ertama

=abel diatas belum optimum, dan sebagai variabel keluar basis adalah "). "edangkan

variabel yang akan masuk basis adalah 7( karena memiliki rasio terkecil.

>ilai elemen pivotnya adalah-


7/8

MODUL 4. DUALITAS

). Kurangkan hasil dari baris baru diatas dengan baris /j j, tentunya setelah

dikalikan dengan elemen pivot baris /j j, yaitu -


8/8

modul 4 metopt

Documents