modul 2 pd linier orde n
TRANSCRIPT
MODUL 2
PD LINIER ORDE N
PD LINIER ORDE N
Bentuk umum persamaan diferensial linier biasa orde ke-n adalah :
Dengan notasi operator diferensial,
persamaan diferensial dapat ditulis menjadi,
)()()()(...)(1)( 12)1()( xryxayxayxayxayxa o
nn
nn
)()]()()(...)(1)(( 12
21 xryxaDxaDxaDxaDxa o
nn
nn
)(,..., nn
nn y
dx
ydyDy
dx
dyDy
Klasifikasi PD Linier Orde n(1) PD Linier Orde n Koefisien Konstan Homogen
(2) PD Linier Orde n Koefisien Konstan Non Homogen
(3) PD Euler – Chauchy Orde Dua (Koefisien variabel) Homogen
(4) PD Euler – Chauchy Orde Dua (Koefisien Variabel) Non Homogen
PD LINIER ORDE-2 KOEF Konstan Homogen
Bentuk umum PD Linier Orde 2
Koefisien Konstan Homogen
adalah,
ay″ + by′ + cy = 0
Basis solusinya adalah,
Substitusikan,
ke PD semula dihasilkan,
Karena, , maka
diperoleh hasil :
Persamaan ini disebut dengan
persamaan karakteristik
xey
xxx eyeyey 2,,
0)( 2 xecba
,0xe
02 cba
Kasus 1. D=b2 – 4ac > 0,akar-akar
PK, 1 2. solusi PD adalah,
Akar-akar PK adalah,
a
acbb
2
42
12
xxececy 21
21
Kasus 2. D=b2 – 4ac = 0,akar-akar
PK, 1= 2=, solusi PD adalah,
xx xececy 21
Kasus 3. D=b2 – 4ac < 0,akar-akar
PK, 12= i, solusi PD adalah,
xecxecy xx sincos 21
Contoh : Kasus 1
Carilah penyelesaian umum dari,
y″ + 4y′ – 12y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik :
λ2 + 4λ – 12 = 0
Akar-akar PK (Faktorisasi)
λ2 + 4λ – 12 = 0
(λ + 6)(λ – 2) = 0
λ1 =–6, λ2 = 2
Akar-2 PK, rumus ABC
xx ececy 22
61
12
2
84
)1(2
)12(4164
PD Solusi
Contoh : Kasus 2
Carilah penyelesaian umum dari,
y″ – 8y′ + 16y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik :
λ2 – 8λ + 16 = 0
Akar-akar PK (Faktorisasi)
λ2 – 8λ + 16 = 0
(λ – 4)(λ – 4) = 0
λ1 = λ2 = 4
Akar-2 PK, rumus ABC
xx xececy 42
41
12
42
08
)1(2
)16(464)8(
PD Solusi
Contoh : Kasus 3
Carilah penyelesaian umum dari,
y″ – 6y′ + 13y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik :
λ2 – 6λ + 13 = 0
Akar-akar PK (Melengkapi)
λ2 – 6λ + 13 = 0
λ2 – 6λ + 9 + 4 = 0
(λ – 3)2 = –4
xecxecy
i
xx 2sin2cos
23
23
43
32
31
PD Solusi
i
Carilah penyelesaian dari,
4y″ – 4y′ + 13y = 0
Penyelesaian,
Persamaan karakteristik
4λ2 – 3λ + 13 = 0
Akar-akar PK (rumus ABC)
xecxecy
ii
xx
4
3sin
4
3cos
4
3
2
1
8
64
8
364
)4(2
)13)(4()4()4(
2
1
22
1
1
2
12
PD Solusi
PD Euler Cauchy Orde Dua Homogen
Bentuk umum PD Linier Euler Cauvhy
Orde 2 Koefisien variabel Homogen,
ax2y″ + bxy′ + cy = 0
Basis solusinya adalah,
Substitusikan,
ke PD semula dihasilkan,
Karena, , maka diperoleh
hasil :
Persamaan ini disebut dengan
persamaan karakteristik
mxy
21 )1(,, mmm xmmymxyxy
0})({
0)1(
2
122
m
mmm
xcmabam
cxbxmxxmmax
0mx
0)(2 cmabam
Akar-akar PK adalah,
a
acababm
2
4)()( 2
12
Kasus 1. D=(b-a)2 – 4ac > 0,akar-
akar PK, m1 m2. solusi PD,
2121
mmxcxcy
Kasus 2. D=(b-a)2 – 4ac =0,akar-
akar PK, m=m1= m2. solusi PD
xxcxcy mm ln21
Kasus 3. D=(b-a)2 – 4ac<0,akar-
akar PK, m12=uvi, solusi PD
)lnsin()lncos( 21 xvxcxvxcy uu
Contoh. Kasus 1
Carilah penyelesaian umum
persamaan diferensial,
2x2 y″ – 5xy′ + 3y = 0
Penyelesaian,
Persamaan karakteristik,
2m2 + (–5–2)m + 3 = 0
2m2 – 7m + 3 = 0
Akar-akar PK (Faktorisasi)
2m2 – 7m + 3 = 0
(2m – 1)(m – 3) = 0
32
2/11
221
1 3,
xcxcy
mm
PD Solusi
Contoh. Kasus 2
Carilah penyelesaian khusus
persamaan diferensial,
4x2 y″ – 8xy′ + 9y = 0
Penyelesaian,
Persamaan karakteristik,
4m2 + (–8–4)m + 9 = 0
4m2 – 12m + 9 = 0
Akar-akar PK (rumus ABC)
xxcxcy
m
ln
2
3
8
012
)4(2
)9)(4)(4()12()12(
)2/3(2
)2/3(1
2
12
PD Solusi
Contoh. Kasus 3
Carilah penyelesaian khusus
persamaan diferensial,
x2y″ – 5xy′ + 13y = 0
dengan syarat, y=3 dan y’=25.
bila x=1
Penyelesaian,
Persamaan karakteristik,
m2 + (–5–1)m + 13 = 0
m2 – 6m + 13 = 0
Akar-akar PK (ABC)
)ln2sin()ln2cos(
23
2
46
2
166
)1(2
)13)(4()6()6(
32
31
2
12
xxcxxcy
i
i
m
PD Solusi
Masalah syarat batas,
Mengingat,
Untuk x=1, y=3 dan y’=25 Jika
disubtitusikan pada solusi diperoleh
hasil,
3 =c1
25 = 3c1 + 2c2, c2=8
Jadi solusi PD adalah,
)ln2cos(2)ln2sin(3
)ln2sin(2)ln2cos(3
22
22
21
21
xxcxxc
xxcxxcy
)ln2sin(8)ln2cos(3 33 xxxxy
Soal-Soal Latihan
Carilah solusi PD berikut ini,
1. y′′ – 4y′ – 12y = 0
2. y′′ – 4y′ + 4y = 0
3. y′′ + 2y′ – 8y = 0
4. 2y′′ + 5y′ – 3y = 0
5. y′′ – 6y′ + 10y = 0
6. y′′ – 4y′ + 13y = 0
7. y′′ + 4y′ – 12y = 0
8. y′′ – 2y′ + 10y = 0
9. y′′ + 4y′ + 20y = 0
10.y′′ – 6y′ + 18y = 0
11. x2 y′′ – 3xy′ + 13y = 0
12. x2 y′′ – 5xy′ + 10y = 0
13. x2 y′′ + 5xy′ + 8y = 0
14. 4x2y′′ + 12xy′ + 25y = 0
15. 4x2y′′ – 8xy′ + 25y = 0
16. 3x2y′′ – 7xy′ + 8y = 0
17. 2x2y′′ – 9xy′ + 15y = 0
18. 4x2y′′ – 8xy′ + 13y = 0
19. 9x2y′′ – 3xy′ + 13y = 0
20. 9x2y′′ + 21xy′ + 20y = 0
PD Linier Orde-n Koefisien Konstan Homogen
Persamaan diferensial linier orde tingg homogen dengan koefisien konstan
adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk,
dimana, koefisien-koefisien an,…, a1, a0, adalah konstan, dengan an ≠ 0.
Dengan menggunakan notasi operator diferensial,
Persamaan diferensial dapat ditulis menjadi,
Dengan mensubstitusikan,
diperoleh persamaan karakterisitik,
0... 012)1(
1)(
yayayayaya nn
nn
)(2
22 ,...,,, n
n
nn y
dx
ydyDy
dx
ydyDy
dx
dyDy
dx
dD
0)...( 012
21
1 yaDaDaDaDa n
nn
n
xnnxx eyeyey )(,...,,
0...
0...
012
21
1
012
21
1
aDaDaDaDa
aaaaa
nn
nn
nn
nn
atau
Kasus 1. Akar-2 Riil berbeda,
Bila semua akar-2 PK riil berbeda
tidak berulang, yaitu :
maka solusi PD adalah,
Contoh :Carilah solusi PD
y′′′ – 2 y′′ – 5 y′ + 6y = 0
atau,
(D3 – 2D2 – 5D + 6)y = 0
Jawab
Persamaan karakteristik,
atau
D3 – 2D2 – 5D + 6= 0
xn
xx necececy
...2121
,,...,, 2211 nnDDD
0652 23
0652 23
Akar-akar PK
xxx ecececy 23
321
321
2
2,3,1
0)2)(3)(1(
0)6)(1(
PD Solusi
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y(iv) – 5 y′′′ + 5 y′′ + 5 y′ – 6y = 0
atau
(D4 – 5D3 + 5D2 + 5D – 6)y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik, :
λ4 – 5λ3 + 5λ2 + 5λ – 6 = 0
atau
D4 – 5D3 + 5D2 + 5D – 6 = 0
Dari metode sintesis diperoleh hasil,
(λ – 1)(λ + 1)(λ2 – 5λ + 6) = 0
(λ – 1)(λ + 1)(λ – 2)(λ – 3) = 0
xxxx ececececy 34
2321
4321 ,3,2,1,1
PD Solusi
Akar-akar PK
D4 – 5D3 + 5D2 + 5D – 6 = 0
Kasus 2. Akar-2 Riil Sama,
Terdapat akar-2 PK riil yang sama
berulang m kali, yaitu :
maka solusi PD yang memuat m
akar sama adalah,
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,
y(IV) – 6y′′′ + 13y′′ – 12y′ + 4y = 0
Jawab
Persamaan karakeristik,
λ4 – 6λ3 + 13λ2 – 12λ + 4 = 0
m
m
DDDD ...
...
321
321
atau,
xmm excxcxccy )..( 12
321
Akar-akar PKλ4 – 6λ3 + 13λ2 – 12λ + 4 = 0
xxxx xececxececy 24
2321
4321
22
22
2,1
0)2()1(
0)44()1(
PD Solusi
Contoh
Carilah penyelesaian PD,
(D3 – 6D2 + 12D – 8)y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
L(D)=D3 – 6D2 + 12D – 8 = 0
Akar-akar PK
1 –6 12 –8
2 2 –8 8
-------------------------
1 –4 4 0
(D – 2)(D2 – 4D + 4) = 0
(D – 2)(D – 2)*D – 2) = 0
D1=D2=D3=2
Solusi PD
xxx excxececy 223
22
21
Contoh
Carilah penyelesaian PD,
[(D – 2)3(D – 3)4]y = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
L(D) = (D – 2)3(D – 3)4=0
Akar-2 PK
Dari L(D) = 0 diperoleh.
(D – 2)3 =0
D1=D2=D3=2
atau
(D – 3)4=0
D4=D5=D6=D7=3
Solusi PD
xxxx
xxx
excexcxecec
excxececy
337
326
35
34
223
22
21
Kasus 3. Akar-2 Kompleks
konjugate,
Terdapat akar-2 PK kompleks
konjugate tidak berulang, yaitu :
maka solusi PD yang memuat akar
komplek konjugate adalah,
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 4y′′ + 9y′ – 10y = 0
Jawab
Persamaan karakeristik,
λ3 – 4λ2 + 9λ – 10 = 0
ij
ij
D
atau,
xecxecy xx sincos 21
Akar-akar PK
λ3 – 4λ2 + 9λ – 10 = 0
xecxececy
ii
xxx 2sin2cos
212
42
)1(2
204)2(,2
0)52)(2(
322
1
231
2
PD, Solusi
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y(IV) – 10y′′′ + 41y′′ – 76y′ + 52y = 0
atau
(D4 – 10D3 + 41D2 – 76D + 52)y=0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
λ4 – 10λ3 + 41λ2 – 76λ + 52 = 0
atau
D4 – 10D3 + 41D2 – 76D + 52 =0
Akar-akar PKλ4 – 10λ3 + 41λ2 – 76λ + 52 = 0
ii
232
46
)1(2
5236)6(
,2
0)136()2(
34
21
22
xecxec
xececy
xx
xx
2sin2cos 34
33
22
21
PD Solusi
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
[(D2 + 4)(D2 – 6D + 12)]y=0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
(D2 + 4)(D2 – 6D + 12)=0
Akar-akar PK
D2 + 4=0,
D12= 2i
atau
D2 – 6D + 12=(D – 3)2+3=0,
D34=33i
Solusi PD
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
[(D – 2)3(D2 + 4D + 13)]y=0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
(D – 2)3(D2 + 4D + 13)=0
Akar-akar PK
(D – 2)3=0,
D1= D2 = D3 = 2
atau
D2 + 4D + 13 = (D + 2)2 + 9 =0,
D45 = –2 3i
Solusi PD
xecxec
xcxcy
xx 3sin3cos
2sin2cos
34
33
21
xecxec
excxececy
xx
xxx
3sin3cos 25
24
223
22
21
Kasus 4. Akar-2 Kompleks
Konjugate Berulang,
Terdapat akar-2 PK kompleks
konjugate berulang, yaitu :
maka solusi PD yang memuat akar
komplek konjugate adalah,
3412
34
DD
atau,
12
xxecxxec
xecxecy
xx
xx
sincos
sincos
43
21
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
[(D + 2)3(D2 – 4D + 13)2]y=0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik,
(D + 2)3(D2 – 4D + 13)2 =0
Akar-akar PK
(D + 2)3=0,
D1= D2 = D3 = –2
atau
(D2 – 4D +13)2 = [(D – 2)2 + 9]2 =0,
D45 = D67 = 2 3i
Solusi PD
xxecxxec
xecxec
excxececy
xx
xx
xxx
3sin3cos
3sin3cos
27
26
25
24
223
22
21
Soal-soal Latihan
Carlah solusi PD berikut ini
1. y′′′ – 3y′ – 2y = 0
2. y′′′ – 2y′′ + 16y = 0
3. y′′′ – 3y′′ + 4y = 0
4. y′′′ + y′′ – 10y′ + 8y = 0
5. y′′′ – 5y′′ + 9y′ – 5y = 0
6. (D + 1)2(D2 – 4D + 8)2y = 0
7. (D – 2)3(D2 + 4D +11)2y = 0
8. (D – 3)4(D2 – 6D +13)2y = 0
9. (D + 2)4(D2 – 2D +10)2 y = 0
10. (D –1)4(D2 – 6D +18)2y = 0
11. y(iv) + y′′′ – 6y′′ – 14y′ – 12y = 0
12. y(iv) – 8y′′ – 8y′ + 15y = 0
13. y(iv) – 6y′′ + 40y′ – 25y = 0
14. y(iv) – 6y′′′ +13y′′ – 4y′ – 24y = 0
15. y(iv) – 3y′′′ +7y′′+21y′ –26y = 0
16. (D4 + 3D3 + 5D2 + D – 10)y = 0
17. (D4 – 5D2 + 10D – 6)y = 0
18. (D4 – 3D3 + 7D2 + 21D – 26)y = 0
19. (D4 – 6D3 + 17D2 – 20D + 8)y = 0
20. (D4 + D3 – 4D + 8)y = 0
PD LINIER ORDE N NON HOMOGEN
Persamaan diferensial linier orde tinggi non homogen dengan koefisien
konstan adalah,
atau,
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial diatas adalah :
y = yh + yp
dimana,
adalah penyelesaian persamaan homogen, dan,
yp penyelesaian khusus yang berkaitan dengan fungsi r(x).
)(... 012)1(
1)( xryayayayaya n
nn
n
)()(
)()...( 012
21
1
xryDL
xryaDaDaDaDa nn
nn
nn
xn
xxxh
ycycycyc
ececececy n
...
...
332211
321321
Metode menentukan solusi yp
Metode Variasi Parameter
Metode Koefisien Tak Tentu
Metode Invers Operator (Cara
integrasi maupun dengan metode
singkat)
Metode Transformasi Laplace
(terkait masalah syarat batas)
METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Aturan DasarBila r(x) pada kolom pertama bukan solusi yh, pilihlah yp yang sesuai pada
kolom kedua, dan koefisien-koefisien tak tentunya diperoleh dengan
mensubstitusikan yp dan turunan-turunannya kedalam PD diferensial
semula.
Aturan Kedua. Bilamana yp yang terpilih pada langkah pertama - aturan dasar, merupakan
penyelesaian umum dari yh kalikanlah yp yang semula terpilih dengan x
(atau x2) dan konstanta koefisien taktentunya diperoleh dengan cara seperti
pada langkah pertama.
Aturan Ketiga. Bilamana r(x) merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi pada kolom
pertama, pilihlah yp yang merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang
sesuai pada kolom kedua pada tabel dan konstanta koefisien taktentunya
diperoleh dengan cara seperti pada langkah pertama.
Tabel Aturan Dasar
-----------------------------------------------------
r(x) yp
-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------------
-----------------------------------------------------
sin bx A cos bx + B sin Bx
cos bx A cos bx + B sin bx
----------------------------------------------------
on
nn
nn
xx
kxkxkxkx
kee
1
11 ...
Langkah-langkah
menentukan yp
1. Langkah pertama.
Tentukanlah penyelesaian
umum persamaan diferensial
homogen.
2. Langkah kedua.
Selidilikah apakah r(x)
merupakan penyelesaian dari
yh, jika tidak gunakan aturan
pertama, dan jika r(x)
merupakan penyelesaian umum
bagi yh, gunakan aturan kedua.
3. Langkah ketiga.
Tentukanlah konstanta-
konstanta dari yp, yang
memenuhi kondisi-kondisi
tersebut.
Contoh :
Carilah penyelesaian PD,
y″ + 4y = 12x3 + 16x2 – 6x
Jawab
Solusi PD homogen
PDH, y″ + 4y = 0
PK, λ2 + 4 = 0,
APK, λ12 = 2i
Maka,
yh = c1 cos 2x + c2 sin 2x
Solusi yp
r(x) = 12x3 + 16x2 – 6x
r(x) yh
Maka yp terpilih adalah,
yp= ax3 + bx2 + cx + d
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=3, b =4, c= –6, d= –2
Jadi,
yp= 3x3 + 4x2 – 6x – 2
Solusi PD
y = c1 cos 2x + c2 sin 2x
+ 3x3 + 4x2 – 6x – 2
baxy
cbxaxy
dcxbxaxy
p
p
p
26
23 2
23
xxx
dbxcabxax
xxxyy pp
61612
)42()46(44
616124
23
23
23
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 4y′ + 5y = 65 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y″ – 4y′ + 5y = 0
PK λ2 – 4 + 5 = 0
APK,
xecxecy
i
xxh sincos
2
)1(2
2016)4(
22
21
PDH Solusi
Solusi yp
r(x) = 65 cos 2x, r(x) yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = a cos 2x + b sin 2x
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=1, b = –8,
Jadi,
yp= cos 2x – 8 sin 2x
Solusi PD
xbxay
xbxay
xbxay
p
p
p
2sin42cos4
2cos22sin2
2sin2cos
xxbaxba
xyyy ppp
2cos652sin)8(2cos)2(
2cos6554
xx
xecxecy xx
2sin82cos
sincos 22
21
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 2y′′ – 5y′ + 6y = 12e2x – 8ex
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 2y′′ – 5y′ + 6y = 0
PK, λ3 – 2λ2 – 5 + 6 = 0
APK, (λ – 1)( λ – 3)(λ + 2) = 0
λ =1, λ = 3, dan λ = –2
Solusi yh
xxxh ecececy 2
33
21
Solusi yp
r(x) = 12e2x – 8ex
Terdapat, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = ae2x + kxex
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a= –3, k=8/6 = 4/3
Jadi,
xxp
xxp
xxp
xxp
ekxkaey
ekxkaey
ekxkaey
kxeaey
)3(8
)2(4
)(2
2
2
2
2
xxxx
xxpppp
eebeae
eeyyyy
81264
812652
22
2
xxxxx
xxp
exeecececy
exey
223
321
2
33
4
33
4
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 5y′′+ 8y′– 4y = 18e2x+12xe2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 5y′′ + 8y′ – 4y = 0
PK, λ3 – 5λ2 + 8 – 4 = 0
APK, (λ – 1)( λ – 2)(λ – 2) = 0
λ1 =1, λ2=λ3 = 2
Solusi yhxxx
h xecececy 23
221
Solusi yp
r(x) = 18 e2x + 12xe2x, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = ax2e2x + bx3e2x
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a=3, b=2
Jadi,
yp = 3x2e2x + 2x3e2x
x
xp
x
xp
xp
xp
ebxxba
exbabay
ebx
exbaxbaay
ebxxbaaxy
ebxaxy
232
2
23
22
232
232
]8)368[(
])3624(612[
]4
])124()68(2[
]2)32(2[
)(
xxxx
xxpppp
xeebxeeba
xeeyyyy
2222
22
12186)62(
1218485
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
y′′′ – 4y′′+ 4y′– 4y = 80 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PD H, y′′′ – 4y′′ + 4y′ – 4y = 0
PK, λ3 – 4λ2 + 4 – 4 = 0
APK, (λ – 1)( λ2 + 4) = 0
λ1 =1, λ23 = 2i
Solusi yh
xcxcecy xh 2sin2cos 321
Solusi yp
r(x) = 80 cos 2x, r(x) = yh
Maka yp terpilih adalah,
yp = x(a cos 2x + b sin 2x)
Mengingat,
Jika yp dan turunannya disubstitusikan
ke PD semula, dihasilkan :
Dengan menyamakan koefisien
diperoleh a= –2, b = – 4
Jadi,
xbaxxbxay
xbxaxbaxy
xbaxxbxay
xbxxaxy
p
p
p
p
2sin)128(2cos)812(
2sin)44(2cos)44(
2sin)2(2cos)2(
2sin2cos
x
xbaxba
xyyyy pppp
2cos80
2sin)816(2cos)168(
2cos80444
xxcxxcecy x 2sin)4(2cos)2( 321
PD Solusi
xxxxyp 2sin42cos2
Soal-soal Latihan
Carlah solusi PD berikut ini
1. y′′ + 2y′ + y = 4 cos 2x
2. y′′ – 4y′ + 4y = (x − 2)e2x
3. y′′ – 6y′ + 9y = (3 − 2x)e2x
4. y′′ – 6y′ + 10y = 3 sin 2x
5. y′′ – 8y′ + 20y = 16 e2xcos 2x
6. y′′ + 4y′ + 13y = sin 2x
7. y′′ – 10y′ + 26y = x2 + 4x
8. y′′ + 4y = 16 cos 2x
9. y′′ + 8y = 12 sin 2x
10. y′′ – 4y′ + 10y = x2 + 4x
11. y′′′ – 7y′ – 12y = (x + 2)ex
12. y′′′ + 3y′′ – 4y = sin 2x
13. y′′′ – y′′ + 4y′ – 4y = cos 2x
14. y′′′ – 5y′′ + 9y′ – 5y = (x + 2)ex
15. y′′′ + y′ + 10y = x2 + 4x
16. y′′′ – 2y′′ – 11y′ + 12y = x3 – 2x2
17. y′′′ – 6y′′ + 5y′ + 12y = cos 2x
18. y′′′ – 4y′′ – 15y′ + 18y = 2x3 – 3x
19. y′′′ – 8y′′ + 22y′ – 20y = x cos x
20. y′′′ + 3y′′ + 7y′ + 20y = x sin x
METODE VARIASI PARAMETER
Persamaan diferensial linier non homogen orde tinggi non homogen
dengan koefisien fungsi dari x diberikan oleh :
Penyelesaian umum persamaan diferensial non homogen adalah :
y = yh + yp
dimana,
adalah penyelesaian umum persamaan homogen, dan
yp, penyelesaian khusus yang berkaitan dengan r(x).
Menurut metode variasi parameter penyelesaian khusus, yp, diberikan
dimana, y1, y2, y3,…, dan yn merupakan basis-basis penyelesaian
persamaan homogen, dan u1, u2,…, dan un adalah fungsi-fungsi dari x,
yang diperoleh dari,
)()()()(...)()( 012)1(
1)( xryxayxayxayxayxa n
nn
n
nnh ycycycycy ...332211
nnp yuyuyuyuy ...332211
)(
)(...
0
0
0
...
...............
...
...
...
3
2
1
)1()1(3
)1(2
)1(1
321
321
321
xa
xru
u
u
u
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
nnn
nnnn
n
n
n
Dengan menggunakan SPL diatas, dengan metode Crammer dihasilkan,
dxW
Wu
W
Wu
dxW
Wu
W
Wu
dxW
Wu
W
Wu
nn
nn
..........................................
22
22
11
11
dimana, W merupakan determinan
matrik orde n, pada persamaan yang
disebut Wronski, dan Wi, i = 1,2,3,… , n
adalah determinan matrik berordo n
yang diperoleh dari W dengan
mengganti kolom-i dengan koefisien
pada kolom terakhir ruas kanan .
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 3y’ + 2y = e3x
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ – 3y’ + 2y= 0
PK : λ2 – 3λ+ 2 = 0,
(λ – 1)(λ – 2) = 0
APK : : λ = 1, λ = 2
Solusi yh = c1ex+c2e2x
xx
p
eueu
yuyuy
221
2211
p
ySolusi
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xxx
xx
eu
u
ee
ee3
2
12
2 0
2x
xxxxp
xx
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
e
eeeey
eeu
edxeu
eee
eW
eee
eW
eee
eeW
3
22
2
221
432
523
2
1
32
2
2
1
))((2
1
2
1
Jadi,
0
2
0
2
Mengingat,
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ + 4y = sin 2x
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ + 4y = 0
PK : λ2 + 4 = 0,
APK : : λ = 2i
xcxcyh 2sin2cos 21
h ySolusi
xuxu
yuyuy p
2sin2cos
ySolusi
21
2211
p
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xxxx
xxxxy
xdxxxu
xxxdxxu
xxxx
xW
xxx
xW
xx
xxW
p
2cos8
12sin2cos
8
1
2cos8
12sin2cos
8
1
2cos8
12sin2cos
2
1
8
12sin2cos
8
12sin
2
1
Jadi,
2sin2cos2sin2sin2
02cos
2sin2cos22sin
2sin0
22cos22sin2
2sin2cos
Mengingat,
2
22
21
2
21
xu
u
xx
xx
2sin
0
2cos22sin2
2sin2cos
2
1
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 4y’ + 4y = e2x lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : y″ – 4y + 4y = 0
PK : λ2 – 4λ + 4 = 0,
APK : : λ12 = 2
xxp
xxh
xeueuy
xececy
22
21
22
21
p
h
ySolusi
ySolusi
Fungsi u1, u2 diperoleh dari :
xeu
u
exe
xeexxx
xx
ln
0
)21(22
2
122
22
xx
x
xp
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
exxex
xexxx
exxxy
xxxdxxu
xxxdxxxu
xexee
eW
xxeexxe
xeW
eexe
xeeW
2222
2
222
2
221
422
2
2
422
2
1
422
22
4
3ln
2
1
)ln(
4
1ln
2
1
lnln
4
1ln
2
1ln
lnln2
0
ln)21(ln
0
)21(2
Jadi,
Mengingat,
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
x2y″ – 4xy + 6y = x3 lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : x2y″ – 4xy + 6y = 0
PK : m2 – 5m + 6 = 0,
APK : m1=2, m2=3
Solusi
yh = c1x2 + c2x
3
Solusi yp
yp= u1x2 + u2x
3
dimana u1 dan u2 diperoleh dari
2
3
2
12
32ln
0
32x
xxu
u
xx
xx
2333
322
24
3
2
4
4
1
32
2
42
3
1
42
32
)(ln2
1ln
)(ln2
1)ln(
)(ln2
1ln
lnlnln
Jadi,
lnln2
0
ln3ln
0
32
Mengingat,
xxxxx
xxxxxxy
xdxx
xxu
xxxxdxdxx
xxu
xxxxx
xW
xxxxx
xW
xxx
xxW
p
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
x2y″ –5xy + 9y = x3 lnx
Jawab
Solusi PDH
PDH : x2y″ – 5xy + 9y = 0
PK : m2 – 6m + 9 = 0,
APK : m1=m2=3
Solusi
yh = c1x3 + c2x
3 ln x
Solusi yp
yp= u1x3 + u2x
3 ln x
dimana u1 dan u2 diperoleh dari
2
3
2
1222
33ln
0
ln33
ln
x
xxu
u
xxxx
xxx
33
3233
25
4
2
32
1
42
3
2
2422
3
1
5222
33
)(ln6
1
ln)(ln2
1)(ln
3
1
)(ln2
1ln
)(ln3
1)(ln
Jadi,
lnln3
0
)(lnln3ln
ln0
ln33
ln
Mengingat,
xx
xxxxxy
xdxx
xxu
xdxx
xu
xxxxx
xW
xxxxxxx
xxW
xxxxx
xxxW
p
Soal-soal latihan
1. y′′ – 2y′ + y = xexln x
2. y′′ – 4y′ + 4y = (1/x)e2x
3. y′′ + y = sec x tan x
4. y′′ + 2y′ + y = x2e−xln x
5. y′′ – 4y′ + 5y = e2x sec x
6. y′′ – 2y′ + y = (1 + 2x)ex
7. y′′ – 2y′ + 2y = ex sec x
8. y′′ + 4y = 10 cos 2x
9. y′′ + y = sec3x
10.y′′ + 4y = sin22x
11.x2y′′ – xy′ – 3y = x3ln x
12.2x2y′′ – 5xy′ + 4y = x4
13.x2y′′ + 4xy′ – 4y = x4
14.x2y′′ – xy′ + y = (x2 + x) ln x
15.4x2y′′ – 8xy′ + 9y = x3/2 ln x
16.4x2y′′ + y = x1/2 ln x
17.2x2y′′ + xy′ – 3y = x–3
18.x2y′′ + 2xy′ – 6y = x3 + x2
19.x2y′′ – 3xy′ + 4y = x2 lnx
20.x2y′′ + 5xy′ + 4y = x–2 ln x
METODE INVERS OPERATOR
Persamaan diferensial linier orde
tinggi non homogen dengan
koefisien konstan adalah,
Penyelesaian umum dari
persamaan diferensial diatas
adalah
y = yh + yp.
Dengan metode invers operator
solusi yp diberiken oleh :
)()(
)()...( 01
xryDL
xryaDaDa nn
)()(
1xr
DLyp
Kasus n=1
Untuk n = 1, penyelesaian khusus PD
(D – )y = r(x),
diberikan oleh :
dxxreexrD
y xxp )()(
1
Kasus n=2
Untuk n = 2, penyelesaian khusus PD
(D – 2)(D – 1)y = r(x),
diberikan oleh :
dxdxxreeee
dxxreeD
xrDD
y
xxxx
xx
p
)(
)(1
)())((
1
1122
11
2
12
Secara umum penyelesaian khusus dari PD berbentuk,
adalah,
dxdxxreeeeDDD
dxxreeDDD
xrDDDD
y
xryDL
xryDDDD
xxx
nn
xx
nn
nnp
nn
x )(
))...(1)((
1
)())...(1)((
1
)())()...(1)((
1
)()(
)()])()...(1)([(
11
22
11
3
2
12
12
Dengan mengintegralkan sebagian demi sebagian, fungsi penyelesaian
khusus yp diberikan oleh,
dxdxdxxreeeeeeyxxxxxx
pnn ...)(... 1122
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
y″ – 4y’ + 4y = e2x lnx
Atau,
(D2 – 4D + 4)y = e2x lnx
Jawab
Solusi homogen
PDH : y″ – 4y + 4y = 0
(D2 – 4D + 4)y = 0
PK : λ2 – 4λ + 4 = 0,
D2 – 4D + 4 = 0
(D – 2)(D – 2) = 0
APK : D1 = D2 = 2
xxh xececy 2
22
1
h ySolusi
22222
21
222
2
222
2
2
222
2
4
3ln
2
1
4
3ln
2
1
)ln(
)]ln([
)ln(2
1
ln2
1
ln2
1
ln)2)(2(
1
xxxexececy
xxxe
dxxxxe
dxxxxeee
xxxeD
dxxeD
dxxeeeD
xeDD
y
xxx
x
x
xxx
x
x
xxx
xp
PD solusi Jadi,
ypSolusi
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = e2x cos 2x
Jawab
Solusi homogen
PDH : (D2 – 4D + 4)y = 0
PK : D2 – 3D + 2 = 0
(D – 1)(D – 2) = 0
APK : D1 = 1, D2 = 2
xeDD
xeDD
y
ececy
x
xp
xxh
2cos)2)(1(
1
2cos)23(
1
2
22
221
ypSolusi
ySolusi h
)2cos22(sin10
1
)2sin2cos2(5
1
2
1
2sin2
1
)2sin(2
1
2sin2
1
1
1
2cos1
1
2cos1
1
2221
2
2
2
222
xxeececy
xxee
dxxee
dxxeee
xeD
dxxeD
dxxeeeD
y
xxx
xx
xx
xxx
x
x
xxxp
PD solusi Jadi,
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y= (18+12x)e2x
Jawab
Solusi yh
PD H, (D3 – 5D2 + 8D – 4)y= 0
PK D3 – 5D2 + 8D – 4 = 0
APK, (D – 1)(D – 2)(D – 2) = 0
D1 =1, D2=D2 = 2
Solusi yh
dxexeeD
exDD
y
xecececy
xxx
xp
xxxh
22
22
23
221
)1218()2(
1
)1218()1()2(
1
ypSolusi
xx
x
xxx
x
xxx
xx
xxp
exxxccecy
xxe
dxxxeee
xxeD
dxxeeeD
exeD
dxxeeD
y
232321
322
2222
22
222
2
2
)23(
)23(
)66(
)66()2(
1
)126()2(
1
])126[()2(
1
)1218()2(
1
PD umum Solusi
ypSolusi
METODE SINGKAT INVERS OPERATOR
Rumus 1. r(x) = eax dan L(a) ≠ 0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan solusi yp,
tulis PD menjadi
axp
ax
eaL
y
aL
eDL
y
)(
1
,0)(
)(
1
: maka Jika
xxx
xx
xp
xxh
eececy
ee
eDD
y
ececy
3221
332
32
221
2
1
2
1
2)3(3)3(
1
)23(
1
PD umum Solusi
ypSolusi
ySolusi h
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = e3x
Jawab :
Rumus 2.a. r(x) = eax
L(a)=0, L(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yh tulis PD
menjadi,
axp
ax
eaL
xy
aL
aL
eDL
y
)(
1
,0)(
,0)(
)(
1
: maka
dan Jika
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y = 18 ex
Jawab
Solusi yh
xxxx
xx
x
xp
xxxh
xexecececy
xeex
eDD
x
LeDDD
y
xecececy
18
188)1(10)1(3
118
8103
118
0)1(,18485(
1
23
221
2
2
23
23
221
PD umum Solusi
ypSolusi
Rumus 2.b. r(x) = eax,
L(a)=L(a)=0, dan L(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
axp
ax
eaL
xy
aL
aLaL
eDL
y
)(
1
0)(
,0)(,0)(
)(
1
2
: maka
dan Jika
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 8D – 4)y = 18 e2x
Jawab
Solusi yh
xxxx
xx
x
xp
xxxh
exxecececy
exeD
x
LeDD
x
LeDDD
y
xecececy
2223
221
222
22
223
23
221
36
10)2(6
118
106
118
0)2(,8103
118
0)2(,18485(
1
PD umum Solusi
ypSolusi
Rumus 2.c. r(x) = eax,
L(a)=L(a)=...=L(m–1)=0,
dan Lm(a)0
Andaikan diberikan PD
L(D)y = eax
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
axm
mp
m
ax
eaL
xy
aL
aLaLaL
eDL
y
)(
1
,0)(
,0)(...)()(
)(
1
)(
)1(
: maka
dan
Jika
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D – 1)(D – 2)3 y = e2x
Jawab
Solusi yh
xx
xx
x
x
xp
xxh
exxcxccecy
exeD
x
LeDD
x
LeDD
x
LeDD
y
excxccecy
2324321
2323
22
22
23
224321
6
1
6
1
)4224
1
0)2(,)96)(2(2
1
0)2(,)54()2(
1
0)2(,)2)(1(
1
)(
PD umum Solusi
ypSolusi
Rumus 3.a. r(x) = cos bx,
r(x) = sin bx
L(-b2)0
Andaikan diberikan PD
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
bx
bxyDL
sin
cos)(
bx
bx
bLy
bL
bx
bx
DLy
psin
cos
)(
1
,0)(
sin
cos
)(
1
2
2
maka Jika,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 4D + 5)y = 65 cos 2x
Jawab
xx
xx
xDD
xD
D
D
xD
bxDD
y
excxcy
p
xh
2sin82cos
)2cos2sin8()1)4(16
65
2cos)14()116(
65
2cos)14(
14
)14(
65
2cos544
65
4,2cos54
65
)sincos(
2
22
221
ypSolusi
Solusi
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D3 – D2 – 4D + 4)y = sin 2x
Jawab
Solusi homogen
PDH : (D3 – D2 – 4D + 4)y = 0
PK : D3 – D2 – 4D + 4 = 0
APK : D1=1, D2 = –2, D3=2
xD
xDD
bxDDD
y
ecececy
p
xxxh
2sin88
1
2sin44)4()4(
1
4,2sin44
1 223
23
221
ypSolusi
yhSolusi
)2sin2cos2(40
1
)2sin2cos2(40
1
)2sin2sin()14(8
1
2sin)1()1(8
1
2sin)1(
1
)1(8
1
23
221
2
xx
ecececy
xx
xxD
xDD
xD
D
Dy
xxx
p
PD, umum Solusi
Rumus 3.b. r(x) = cos bx,
r(x) = sin bx
L(-b2)=0
Andaikan diberikan PD
Untuk menentukan yp, tulis
PD menjadi,
bx
bxyDL
sin
cos)(
ibx
ibx
p
eDL
eDL
y
bL
bx
bx
DLy
)(
1Im
)(
1Re
,0)(
sin
cos
)(
1
2
maka Jika,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
y′′+ 4y = sin 2x
Jawab
xxy
xixixe
i
i
ix
ei
xeD
x
biLeD
LxD
y
xcxcy
p
ix
ixix
ix
p
h
2cos4
1
4
)2sin2(cosIm
4
1Im
)2(2
1Im
2
1Im
0)(,4
1Im
0)2(,2sin4
1
2sin2cos
2
22
22
22
21
ypSolusi
Solusi
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 4D2 + 4D– 4)y = 80 cos 2x
Jawab
Solusi yh
PDH : (D3 – 4D2 + 4D– 4)y = 0
PK, D3 – 4D2 + 4D– 4 = 0
APK, (D – 1)(D2 + 4) = 0
D1 =1, D23 = 2i
: maka Karena,
ypSolusi
yhSolusi
ixp
p
xh
eDDD
Ray
L
xDDD
y
xcxcecy
223
2
23
321
444
80
,0)2(
,2cos444
80
2sin2cos
xxc
xxcecy
xxx
xixix
ei
ii
ix
ei
x
eii
x
eDD
x
eDDD
y
x
ix
ix
ix
ix
ixp
2sin)4(
2cos)2(
)2sin22(cos2
)2sin2)(cos12(5
10Re
)12(
2
)12(8
80Re
816
80Re
4)2(8)2(3
80Re
483
80Re
444
80Re
3
21
2
2
22
22
223
PD umum Solusi
Rumus 4. r(x) = xn
Andaikan diberikan PD, L(D)y = xn . Untuk menentukan yp, tulis PD
menjadi,
)(
1)(
!...
!2)0()0()0(
)...(
!...
!2)0()0()0(
)(
1)(
)(
1)(,
)(
1
)(2
10
)(2
DLDf
xn
Df
DfDff
xDaDaay
n
Df
DfDff
DLDf
DLDfx
DLy
nn
n
nnp
nn
n
dimana,
adalah, ypSolusi
Laurin, Macderet ekspansimenurut Mengingat,
ambil
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 3D + 2)y = 3x2 – 6x
Jawab
Solusi yh
PDH : (D2 – 3D + 2)y = 0
PK : D2 – 3D + 2 = 0
APK, (D – 1)(D – 2) = 0
D1 =1, D2 = 2
Solusi yh
23
1)(
)63(23
1
2
22
221
DDDf
xxDD
y
ececy xxh
ypSolusi
2
5
2
3
2
3
)63(28
14
)63(4
3)63(
2
1
)63(28
14
4
3
2
1
8
14)0(,
)23(
14186)(
4
3)0(,
)23(
)32()(
2
1)0(,
23
1)(
2
22
22
22
32
2
22
2
xxy
xxD
xxDxx
xxD
Dy
fDD
DDDf
fDD
DDf
fDD
Df
p
p
maka,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 4D2 + 4D)y = 4x3 – 6x
Jawab
Solusi yh
PDH : (D3 – 4D2 + 4D)y = 0
PK : D3 – 4D2 + 4D = 0
APK, D(D – 2)(D – 2) = 0
D1 =0, D2 = D3=2
Solusi yh
4
1)0(,
)2(
1)(
)64()44(
1
2
32
23
221
fD
Df
xxDDD
y
xececcy xxh
Mengingat,
ypSolusi
xxxxy
dxxxx
xxDxxD
xxDxxD
xxDD
DD
y
fD
Df
fD
Df
fD
Df
p
p
2
3
4
1
2
323
)64(8
1)64(
16
3
)64(4
1)64(
4
11
)64(!38
6
28
3
4
1
4
11
8
6
32
24)0(,
)2(
24)(
8
3
16
6)0(,
)2(
6)(
4
1
8
2)0(,
)2(
2)(
234
23
3332
33
332
5
4
3
maka,
Rumus 5. r(x) = eax F(x)
Andaikan diberikan PD,
L(D)y = eax F(x)
Untuk menentukan yp, tulislah
PD diatas menjadi :
Bila F(x) merupakan fungsi-
fungsi dari sin bx, cos bx, atau
xn, solusi yp diberikan oleh
)()(
1xFe
DLy ax
)()(
1xF
aDLey ax
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 5D + 6)y = e2x cos 2x
Jawab
xxey
xxDD
e
DD
xDex
De
LxDD
e
xDD
ey
xeDD
y
ececy
xp
x
xx
x
xp
x
xxh
2cos42sin2(20
1
)2cos42cos()16(
1
)4)(4(
2cos)4(2cos
4
1
0)2(,2cos1
2cos6)2(5)2(
1
2cos65
1
2
22
22
22
2
22
22
32
21
ypSolusi
Solusi,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 5D + 6)y = (6 – 4x2)e2x
Jawab
1
1)(
)46()1(
1
)46(1
6)2(5)2(
)46(
)46(65
1
22
22
2
2
22
222
32
21
DDf
xDD
e
xDD
e
DD
xey
exDD
y
ececy
x
x
xp
x
xxh
Ambil,
ypSolusi
homogen, Solusi
xxxey
dxxxe
xxD
e
xD
DD
ey
fD
Df
fD
Df
fD
Df
xp
x
x
xp
243
4
)284(
)284(1
)46(2
211
1
2)0(,
)1(
2)(
1
1)0(,
)1(
1)(
1
1)0(,
1
1)(
232
22
22
22
2
3
2
maka,
Mengingat,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D3 – 5D2 + 12D–8)y=e2xcos 2x
Jawab
ixix
ixx
x
xp
x
xxh
eDD
xe
eDDD
e
LxDDD
e
xDDD
ey
xeDDD
y
ecxcecy
22
2
223
2
223
2
232
223
2321
423
1Re
44
1Re
0)2(,2cos44
1
2cos8)2(12)2(5)2(
1
2cos8125
1
ypSolusi
)2sin2cos(
homogen, Solusi
)2sin2cos2(20
)2sin2)(cos2(20
Re
)2(
2
)2(4
1Re
4)2(2)2(3
1Re
2
2
22
22
2
xxex
y
xixix
e
ei
i
ixe
eii
xey
xp
x
ixx
ixxp
)2cos22(sin20
)2sin2cos(
2
2321
xxex
ecxcecy
x
xxp
PD umum Solusi
Rumus 6. r(x) = x F(x)
Andaikan diberikan PD,
L(D)y = x F(x)
Untuk menentukan yp, tulislah
PD diatas menjadi :
Bila F(x) merupakan fungsi-
fungsi dari sin bx, atau cos bx,
solusi yp diberikan oleh
)()(
1xxF
DLy
)()]([
)()(
)(
1
2xF
DL
DLxF
DLxy
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 + 4)y = x e2x
Jawab
x
xx
xx
xxp
x
h
exxcxcy
exe
eD
ex
eD
De
Dxy
xeD
y
xcxcy
221
22
2
222
22
222
22
22
21
16
1
8
12sin2cos
)8(
4
8
1
)4(
4
4)2(
1
)4(
2
4
1
4
1
2sin2cos
PD, umum Solusi
ypSolusi
yh,Solusi
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 4D + 8)y = x cos 2x
Jawabxexcxcy 2
21 )2sin2cos(
homogen Solusi
)2sin72(cos100
1)2sin22(cos
20
1
)2cos2(sin)94(4
)32()2sin22(cos
20
1
)2cos2(sin)32(
)32(
)32(4
12cos
)1(4
1
)2cos2(sin)12(16
42cos
)1(
1
)1(4
1
2cos)84(
)42(2cos
84
1
2cos84
1
2
2
2
222
2
xxxxxy
xxD
Dxxx
xxD
D
Dx
D
Dx
xxDD
xD
D
Dx
xDD
Dx
DDxy
xxDD
y
p
p
ypSolusi
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 + 4)y = x sin 2x
Jawab
xcxcy 2sin2cos 21
homogen Solusi
ypSolusi
ixix
ixix
ixix
p
eD
xDeD
xx
eDD
xDeD
xx
eDD
DeD
x
xD
Dx
Dx
xxD
y
22
2
23
2
224
22
222
2
1612
1Im2
2
1Im
164
1Im2
2
1Im
168
1Im2
4
1Im
2sin)4(
22sin
4
1
2sin4
1
xxxxxcxcy
xxxxxxy
xxDxx
xixx
Dxixix
x
ei
xDei
xx
eD
xDeD
xxy
p
ixix
ixixp
2sin8
12cos
8
12sin2cos
2sin8
12cos
8
12cos
4
1
)2sin(16
12cos
4
1
)2sin2(cos32
Im2)2sin2(cos4
Im
16)2(12
1Im2
)2(2
1Im
1612
1Im2
2
1Im
221
22
22
2
22
22
22
22
PD umum Solusi
ypSolusi
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
(D2 – 4D + 8)y = x e2x cos 2x
Jawabxexcxcy 2
21 )2sin2cos(
homogen Solusi
ixxixx
ixxixx
xx
x
x
xp
eDD
xDeeD
xxe
eDD
DeeD
xe
xD
Dex
Dxe
xxD
e
xxDD
e
xxeDD
y
23
222
224
222
2
222
22
22
22
22
164
1Re2
2
1Re
168
1Re2
4
1Re
2cos)4(
22cos
4
1
2cos4
1
2cos8)2(4)2(
1
2cos84
1
ypSolusi
x
xxxp
xx
xx
ixxx
ixxixxp
exxxxxcxcy
xexxxexexy
xxDexex
xixx
Dexex
ei
xDexixix
xe
eD
xDeei
xxey
2221
22222
2222
2222
22
222
22
2222
2sin8
12cos
8
12sin2cos
2sin8
12cos
8
12sin
4
1
)2cos(16
12sin
4
1
)2sin2(cos32
Re22sin4
1
16)2(12
1Re2)2sin2(cos
4Re
1612
1Re2
)2(2
1Re
PD, umum Solusi
ypSolusi
16. (D3 – 3D2 + 4D + 8)y = 20e2xcos 2x
17. (D3 – 5D2 + 9D – 5)y = 10 )e2x sin x
18. (D3 + 2D2 – 8)y = 20e–2x sin 2x
19. (D3 + D2 + 10)y = 10ex cos 2x
20. (D3 – 6D2 + 16D – 16)y = e2xcos 2x
21. (D2 + 2D + 5)y = 8x e–xcos 2x
22. (D2 + 2)y = 16 x sin 2x
23. (D2 – 2)y = 6 x cos 2x
24. (D2 – 2D + 5)y = 4x ex sin 2x
25. (D2 + 1)y = 16 x sin x
Soal-soal Latihan
1. (D + 1)2(D2 – 3D + 2)y = 4e–x
2. (D – 2)2(D2 - 3D + 2)y = 4e2x
3. (D – 1)2(D2 – 3D + 2)y = 4ex
4. (D + 2)2(D2 – D – 6)y = e2x
5. (D – 2)2(D2 – 3D + 2)y = 8e2x
6. (D3 – 5D2 + 9D – 5)y = 6 cos x
7. (D3 – D2 + 2)y = cos 3x
8. (D3 – 3D – 2)y = 10 sin 2x
9. (D3 – 2D3 + 4D – 8)y = 8 sin 2x
10. (D3 + 2D3 + 4D + 8)y = 10 cos 2x
11. (D2 – 4D + 8)y = (3x + 4x2)e2x
12. (D2 – 3D + 2)y = (8x + 4x2)ex
13. (D2 + 4D + 5)y = (4x – 6x2)e–2x
14. (D2 – 4D + 5)y = (3x + 6x2)e2x
15. (D2 – 6D + 13)y = (8x – 6x2)e3x