Persamaan Garis Lurus Dalam Ruang

•Garis lurus melalui suatu ttk dan // garis lain L

garis lurus dlm R3.

Vektor arah L: a = (x1, y1, z1) // L; Po(xo, yo, zo) pd L

Vektor penyanga L: Po= OPo ; X(x,y,z) pd L, x = ox

Persamaan untuk L:

-Persamaan vektor: x = Po + ta ,

t bil. nyata ( parameter persamaan)

-Persamaan parameter:

x =xo+tx1; y =yo+ty1 ; z =zo+tz1

-Perrsamaan koordinat:

(x –xo)/x1= (y –yo)/y1= (z -zo)/z1

Contoh: Tentukan pers. Grs yg melalui P(1,2,3) dan // a=(-1,1,4)

Jawab:

OT = OP + PT = (xo, yo, zo)+ a

atau (x,y,z) = (xo, yo, zo) + (-1,1,4)

= (1,2,3) + (-1,1,4)

Pers. vektor garis g: (x,y,z) = (- +1; +2; 4 +3)

P (xo, yo, zo)

a (x1, y1, z1)

T (x, y, z)

0

z

yx

Persamaan parameter garis g:

x = - + 1 ; y = + 2; z = 4 + 3

Persamaan Cartesian (koordinat) garis g:

(x-1)/-1 = (y-2)/1 = (z-3)/4

* Garis melalui dua titik (L garis lurus dlm R3) :

A(x1, y1, z1) ; B(x2, y2, z2) ; X(x, y, z)

A, B, X pada L, a = OA ; b = OB; x = OX

Persamaan untuk L:

- persamaan vektor: x = a + t(b–a), (t bil.nyata)

- Persamaan parameter

x = x1+ t(x2- x1)

y = y1+ t(y2- y1)

z = z1+ t(z2- z1)

- Persamaan koordinat

(x-x1)/(x2- x1)= (y-y1)/(y2- y1) = (z-z1)/(z2- z1)

Contoh: Tentukan persamaan garis g yg melalui

(1,2,3) dan (3,5,4)

OB = OA + AB →AB = OB – OA

=(3, 5, 4)- (1,2,3)= (2,3,1)

OA + AT = OT → OT = OA + t (AB) atau (x,y,z) = (1,2,3) + t(2,3,1)

Jadi persamaan vektor: (x,y,z) = (2t + 1; 3t + 2; t + 3)

T(x,y,z)

y

A(1,2,3)B(3,5,4)

z

x

0

Persamaan parameter:

x= 2t + 1; y = 3t + 2; z = t + 3

Persamaan koordinat:

(x-x1)/(x2- x1)= (y-y1)/(y2- y1) = (z-z1)/(z2- z1)

(x-1)/(3- 1)= (y-2)/(5- 5) = (z-3)/(4- 3)

(x-1)/2= (y-2)/3 = (z-3)

* Garis berpotongan dua bidang

- Dua bidang tak sejajar

- penentuan garis potong

membentuk SPL,

mencari jawab SPL, menentukan parameter

- Merumuskan persamaan garis

pers. parameter dan pers. koordinat

Contoh: Tentukan persamaan parameter ,

koordinat dan vektor pada garis potong

antara dua bidang:

3x + 2y – 4z = 0, dan x -3y – 2z -4 = 0

Jawab: SPL : 3x + 2y – 4z = 0, ….(1)

dan x -3y – 2z -4 = 0, ….(2)

Pers. (1) dan (2) : x = (26/11) + (16/11)z

y = (-6/11) + (-2/11)z

z= sembarang