Clase 14-02 Introduccion Control por Modo Deslizante 03/12/2008MT 224C (UNI-FIM) Elizabeth Villota Cerna

1.4. Introduccion control por modo deslizante

Para el ejemplo del motor, la rotacion horaria del switching line(por efecto del retraso) es no deseada,la pregunta es sera que una rotacion antihoraria es beneficiosa?

Figura 1: Switching line vertical (sin rotacion) e 0Figura 2: Switching line con rotacion an-tihoraria, e 0 mas rapido

1.4.1. Como podriamos modificar el sistema de control por realimentacion para que pueda

alcanzar esta rotacion antihoraria?

Nuestro postulado es que e 0 rapido si intentamos rotar de forma antihoraria la curva de switchingde un relay ideal, ver Fig. 3.

Figura 3: Switching line con rotacion antihoraria, e 0 mas rapido

Sera que alcanzamos nuestro objetivo usando realimentacion de velocidad? Es decir, el sistema de controlqueda de la forma mostrada en Fig. 4.

Figura 4: Sistema de control con relay y realimentacion de velocidad

Las ecuaciones de lazo cerrado quedan como descrito a continuacion. El error de posicion es todavia e:

e = r ,

sin embargo, la condicion del switching debe ser modificada para incorporar la realimentacion de velocidad.La senal e en el diagrama de Fig. 4 es:

e = r +

= e

1

e.

1

CONTROL POR MODO DESLIZANTE

Entonces la condicion del switching se redefine como:

v =

{1 si e 01 si e < 0

Que pasa si implementamos esta ley de control?

Figura 5: Implementacion de ley de control con relay y realimentacion de velocidad. Solucion oscila a lo largode la curvq de switching. Error numerico en MATLAB prohibe que la solucion llegue hasta el origen

Figura 6: Detalle de oscilacion en Fig. 5. La solucion se desliza a lo largo de la linea de switching una vezque llega a esta hasta el origen.

Ahora la pregunta es: Sera que podemos capturar este comportamiento matematicamente y luego usarloen una ley de diseno de control? Observemos la oscilacion de forma mas detallada:

Figura 7: Linea de switching es e1

e. En general {(e, e)|s(e, e) = 0}

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CONTROL POR MODO DESLIZANTE

Nuestra ley de control es:v = sgn(s)

Figura 8: Efecto de alternar entre regiones definidaspor el Switching line

Sin embargo, nosotros deseamos que:

de

de= a lo largo de la linea de switching

pendiente de pendiente de lala trayectoria linea de switching

Figura 9: Efecto de alternar entre regiones definidaspor el Switching line

Como podemos alcanzar este ultimo comportamiento?

Ecuacion del motor:e+ e = f(e) = v

de

dee+ e = v

Entonces:de

de=

v

e 1

Luego, obtenemos el comportamiento deseado cuando:

v

e 1 =

v = (+ 1)e una buena ley de control a ser usada una vez que estamos en la linea de switching

Suponiendo que el sistema se aleja un poco de la linea de switching, entonces necesitamos regresarlo devuelta, en otras palabras, necesitamos asegurarnos que la linea de switching sea atractiva.

Sugerencia de eleccion de ley de control:

v = (+ 1)e+ sgn(s), > 0

Dado que hemos alterado la ley de control, sera que el sistema es aun estable? Veamos lo siguiente:

si la linea de switching (SL) es igual a s(e, e), [s = e1

e]

si s > 0 estamos arriba de SLsi s > 0 estamos alejandonos de SL

de la misma forma si s < 0 y s < 0 (estamos abajo y alejandonos de SL)

Entonces, para movernos hacia SL, uno quiere que ss < 0 (ss = 0 a lo largo de SL), pero:

ss =1

2

d

dt(s2)

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CONTROL POR MODO DESLIZANTE

Luego definimos una funcion V =1

2s2 > 0, e, e (esta funcion se denomina funcion de Lyapunov)

V = ss

= s(e1

[v e])

= s(e1

[(+ 1)e sgn(s) e])

= s(e e1

e+ sgn(s) +

1

e)

=

ssgn(s) > 0e, e

< 0, e, e dado que < 0, > 0

Observaciones

Este tipo de control se denomina control por modo deslizante

Este tipo de prueba es muy poderosa cuando se tienen errores de modelo- el hecho de probar ss < 0es IMPORTANTE

Si estamos en la SL y tenemos pequenos errores de modelo, entonces pequena nos devolver a SL. Enotras palabras:

si ddote+ e = v(1 + ),

donde es el error. Usando el nuevo sistema se debe probar como funciona la ley de control y asideterminar el valor de

Fuente: Nonlinear Systems, de H.K. Khalil, Macmillan Publishing Company, 1992.

Fuente: Nonlinear Systems Analysis, de S. Sastry, Springer, 1999.

Fuente: Control of Spacecraft y Aircraft, de Bryson, Prentice-Hall, 1994.

Fuente: Nonlinear Systems, Analysis, Stability and Control, Notas de clase de C. Tomlin, University ofCalifornia, Berkeley, 2007.

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