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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
MODOS DE CONCEBER A ÁLGEBRA EM CURSOS DE
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Fabiane Mondini
Orientadora: Profª. Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo
Dissertação de Mestrado elaborada junto ao curso de Pós-Graduação em Educação Matemática – Área de Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus fundamentos Filosófico-Científicos, para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática.
Rio Claro (SP) 2009
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
MODOS DE CONCEBER A ÁLGEBRA EM CURSOS DE
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Fabiane Mondini
Orientadora: Profª. Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo
Dissertação de Mestrado elaborada junto ao curso de Pós-Graduação em Educação Matemática – Área de Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus fundamentos Filosófico-Científicos, para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática.
Rio Claro (SP) 2009
512 Mondini, Fabiane M741m Modos de conceber a álgebra em cursos de formação de
professores de matemática / Fabiane Mondini. - Rio Claro : [s.n.], 2009
168 f.
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Orientador: Maria Aparecida Viggiani Bicudo
1. Álgebra. 2. Educação matemática. I. Título.
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP
Comissão Examinadora
Profa. Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo (Orientadora)
Profa. Dra.Rosa Lucia Sverzut Baroni
Profa. Dra.Verilda Speridião Kluth
Fabiane Mondini - aluno(a) - Rio Claro, 14 de janeiro de 2009. Resultado: Aprovada
Dedico esse trabalho aos meus pais, Antonio Mondini e Mercedes Zanandréa Mondini, pela confiança e amor.
Aos meus BONS AMIGOS
Machado de Assis
Abençoados os que possuem amigos, os que os têm sem pedir.
Porque amigo não se pede, não se compra, nem se vende.
Amigo a gente sente!
Benditos os que sofrem por amigos, os que falam com o olhar.
Porque amigo não se cala, não questiona, nem se rende.
Amigo a gente entende!
Benditos os que guardam amigos, os que entregam o ombro pra chorar.
Porque amigo sofre e chora.
Amigo não tem hora pra consolar!
Benditos sejam os amigos que acreditam na tua verdade ou te apontam a realidade.
Porque amigo é a direção.
Amigo é a base quando falta o chão!
Benditos sejam todos os amigos de raízes, verdadeiros.
Porque amigos são herdeiros da real sagacidade.
Ter amigos é a melhor cumplicidade!
Há pessoas que choram por saber que as rosas têm espinho,
Há outras que sorriem por saber que os espinhos têm rosas!
Agradecimentos
Gostaria de agradecer às pessoas que estiveram comigo nesta caminhada...
À professora Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo, pela sua dedicada orientação e
indicação de caminhos em todos os momentos do desenvolvimento desta pesquisa.
Aos professores Dr. Irineu Bicudo, Dra. Regina Buriasco, Dra. Rosa Baroni e Dra.
Verilda Kluth pela leitura atenta e contribuições dadas no decorrer do percurso deste trabalho.
Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e a
Inajara, pelos momentos de convivência e aprendizagem.
Aos nove professores que colaboraram com seu valioso depoimento.
À professora Dra. Nilce Fátima Scheffer, por ter me iniciado na caminhada da
Educação Matemática.
Aos colegas Ana Paula, Luciane, Marli e Roger, por serem mais que colegas de grupo.
Por serem meus amigos.
Às minhas companheiras de casa e amigas Dona Avani, Luciane e Paulinha, por
compartilharem comigo muitos momentos inesquecíveis da minha vida. À Luciane um
agradecimento especial, pela amizade e pela leitura atenciosa em todos momentos desse
trabalho.
Às irmãs Andri e Adriana e ao Vitor, por sermos simplesmente amigos.
Ao Fernando, por fazer parte da minha vida.
Ao meu irmão Fábio, com muito carinho.
Em fim, aos amigos Adelino, Carla, Carlos Eduardo, Carolina, Célia, Déa, Edinei,
Fernando, Juliana, Keila, Luciano, Lucieli, Magali, Luzia, Maria Helena, Mirian, Marco,
Rachel, Rodrigo, Sandra, Thiago e Viola, obrigada pelo carinho, pela amizade.
Ao CNPq, pela concessão de bolsa de estudos.
Resumo
Esta pesquisa tem por objetivo estudar as concepções que professores de Álgebra dos cursos
de Licenciatura em Matemática apresentam sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina
em tais cursos. Iniciamos o desenvolvimento deste trabalho com a seguinte questão
norteadora: ‘como os professores de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática,
compreendem e trabalham a Álgebra, em termos de conteúdo e prática pedagógica?’No
Capítulo I, apresentamos inicialmente três modos de pensar a Matemática: o logicismo, o
intuicionismo e o formalismo, na tentativa de compreender como a Álgebra se constitui como
campo de investigação para a Filosofia da Matemática. Posteriormente, expomos algumas
passagens históricas sobre a Álgebra Abstrata e finalizamos abordando algumas legislações
que mostram como a Álgebra se firmou no ensino escolar brasileiro. No Capítulo II,
explicitamos os procedimentos usados no decorrer desta pesquisa. No Capítulo III,
apresentamos a transcrição das entrevistas realizadas com os professores, o levantamento das
unidades significativas que surgiram após as várias leituras de cada entrevista e a análise
inicial das mesmas. No Capítulo IV, continuamos com a análise dos dados. Nessa etapa é
elaborada uma análise nomotética, que se caracteriza pelas reduções sucessivas efetuadas
mediante articulações realizadas pela pesquisadora, apontando os invariantes do fenômeno
sob foco. No Capítulo V, apresentamos uma articulação da interrogação com o que se
mostrou significativo na fala dos professores entrevistados. A meta é explicitar uma síntese
compreensiva da interrogação formulada e o que essa investigação revela para a pesquisadora
e para a região de inquérito em que o tema se insere. Posteriormente, escrevemos algumas
considerações e inquietações que permanecem após o desenvolvimento desse trabalho.
Palavras – chave: Álgebra. Educação Matemática. Formação de professores.
Abstract
The objective of this survey is studying the conceptions of Algebra’s education and learning
showed by Algebra teachers of Mathematics Licenciateship Courses. We start the
development of this study with a guide question: ‘How do Algebra teachers, of Mathematics
Licentiateship Courses, understand and work with Algebra, in terms of pedagogical contents
and practice?’. In Chapter I, we firstly present three ways in which Mathematics can be
thought about: logicism, intuitionism and formalism, in an attempt to understand on how
Algebra is consisted as a investigation field for the Filosofy of Mathematics. Afterwards, we
expose some historical passages about Abstract Algebra and finish doing an approach to
some legislation that show on how Algebra has established in Brazillian Scholar Education.
In Chapter II, we explict the procedures used during the study. In Chapter III, we show
transcriptions of the interviews done with the teachers, the raising of the significant units –
which have araised after sucessive readings of each interview, and the initial analysis of them.
In Chapter IV, we keep on doing the data analysis. In this step is made a nomotetic analysis,
wich consists of sucessive reductions done by articulations of the researcher, highlighting the
invariants of the phenomenon. Chapter V brings an articulation about the interrogation, with
more significant issues on the interviewed teachers speechs. The goal is to explicit an
understanding synthesis about the asked interrogation and what this survey reveals to the
reseacher and the inquiry area in which the topic is insered. Finally, we write a few
considerations and inquietness which remain after the development of this study.
Key-Words: Algebra. Mathematics Education. Teachers formation.
ÍNDICE INTRODUÇÃO................................................................................................................... 12
Caminhos trilhados que me conduziram a essa pesquisa................................................... 12
Explicitação da pesquisa .................................................................................................. 15
Procedimentos seguidos ................................................................................................... 16
Estrutura e organização deste texto de dissertação............................................................ 17
A ÁLGEBRA NO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA: UM AMÁLGAMA
ENTRE AS ABORDAGENS MATEMÁTICA E PEDAGÓGICA ...................................... 18
A construção do conhecimento matemático...................................................................... 18
A constituição da Matemática como Ciência Formal e da Álgebra como parte dela .......... 21
Expondo a constituição da Álgebra no percurso da História da Matemática...................... 26
A chegada da Álgebra no ensino brasileiro....................................................................... 29
EXPLICITAÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE PESQUISA............................................. 35
O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS........................................................................ 40
Análise Ideográfica .......................................................................................................... 40
Tratamento dos dados ...................................................................................................... 40
Entrevista 01........................................................................................................ 46
Entrevista 02........................................................................................................ 55
Entrevista 03........................................................................................................ 51
Entrevista 04. ....................................................................................................... 77
Entrevista 05........................................................................................................ 90
Entrevista 06........................................................................................................ 96
Entrevista 07...................................................................................................... 114
Entrevista 08...................................................................................................... 128
Entrevista 09...................................................................................................... 137
Matriz Ideográfica.......................................................................................................... 140
O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS ..................................................................... 147
A busca das categorias ................................................................................................... 147
Quadro de convergências temáticas....................................................................................140
SÍNTESE COMPREENSIVA DAS CATEGORIAS E DA INVESTIGAÇÃO EFETUADA
.......................................................................................................................................... 154
5.1 Concepção de Álgebra.............................................................................................. 154
5.2 Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?................................................... 161
5.3 Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática? ........................................ 164
5.4 Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática? .......... 166
5.5 Metacompreensão do depoente no processo da entrevista ......................................... 168
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A CAMINHO DA METACOMPREENSÃO DA
PESQUISA........................................................................................................................ 171
REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 174
INTRODUÇÃO
Caminhos trilhados que me conduziram a essa pesquisa
Certa vez, atravessando um rio, ‘Cura’ viu um pedaço de terra argilosa: cogitando, tomou um pedaço e começou a lhe dar forma. Enquanto refletia sobre o que criara, interveio Júpiter. A ‘Cura’ pediu-lhe que desse espírito à forma de argila, o que ele fez de bom grado. Como a ‘Cura’ quis então dar seu nome ao que tinha dado forma, Júpiter a proibiu e exigiu que fosse dado o seu nome. Enquanto ‘Cura’ e Júpiter disputavam sobre o nome, surgiu também a Terra (tellus) querendo dar o seu nome, uma vez que havia fornecido um pedaço de seu corpo. Os disputantes tomaram Saturno como árbitro. Saturno apresentou a seguinte decisão, apresentando eqüitativa: “Tu, Júpiter, por teres dado o espírito, deves receber na morte o espírito e tu, Terra, por teres dado o corpo, deves receber o corpo. Como, porém, foi a ‘Cura’ quem primeiro o formou, ele deve pertencer à ‘Cura’ enquanto viver. Como, no entanto, sobre o nome há disputa, ele deve se chamar ‘homo’, pois foi feito de húmus (terra)”. 1
A compreensão do ser humano como cuidado e, da Educação, como um dos modos,
onde o cuidado com o outro se manifesta, foi algo que não estava tão claro no momento em
que escolhi seguir a cadeira de educadora. Mas, posso afirmar que estava ali. Ainda não
explicito, obscuro, mas interligado com o que compreendia por ser professora.
Minha caminhada se iniciou em 1998, quando, ao terminar o curso de Ensino Médio
que freqüentava, escolhi seguir carreira na Educação. Optei pelo curso de Licenciatura em
Matemática. Fiz tal curso na Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões
URI – Campus de Erechim - RS. A profissão de educadora era algo ainda estranho para mim.
Compreendia o professor como um transmissor de conhecimento. Mas era uma profissão que
me despertava interesse.
Ao ingressar no curso de Licenciatura em 1999, o primeiro sentimento foi de
estranheza. Aos poucos fui me deparando com outras facetas da Matemática e que, até então,
não conhecia. Comecei a ver Matemática como uma Ciência, fruto de nossa história e de
nossa cultura e, também, como prática do nosso cotidiano. Ao final do segundo ano do curso
de Licenciatura (2001) comecei a trabalhar em um projeto de Iniciação Científica. Nesse
momento, o desconhecido era o que é a pesquisa em Educação Matemática.
1 Fábula de Higino apud Heidegger (2005, p.270).
Pesquisar na área da Educação Matemática foi uma etapa muito importante de minha
vida. Desde então, minha visão sobre o que é Educação, o que é Educação Matemática e o
que é Matemática vem se construindo.
O projeto de Iniciação Cientifica do qual eu participava era interinstitucional e
abrangia duas Universidades da região norte do Rio Grande do Sul (Universidade Regional
Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI-Campus de Erechim e Universidade de Passo
Fundo UPF-Campus de Passo Fundo) e, era coordenado por quatro professoras: Nilce Fátima
Scheffer (URI), Carmem Peixoto Gomes (UPF), Magda Mortari (UPF) e Ocsana Sônia
Danyluck (UPF). O projeto foi desenvolvido por quatro alunas bolsistas, das quais eu era
uma.
Inicialmente realizamos diversas leituras e debates sobre temas relacionados à prática
pedagógica de professores de Matemática. O objetivo desse estudo era investigar como eram
veiculados a Linguagem Matemática e o Discurso Matemático no contexto escolar e mostrar
como era realizada a transposição didática dos professores de Matemática do Ensino
Fundamental e Médio, nas regiões do Norte e do Planalto Médio do Estado do Rio Grande do
Sul. Dessa maneira, naquele momento, entrei em contato, com autores da Psicologia da
Educação, da Educação Matemática, da Filosofia e da Filosofia da Educação Matemática.
No desenvolvimento desse estudo, nos deparamos com alguns pontos críticos. Um
deles foi a maneira como o professor comunicava a Matemática aos seus alunos. Percebemos
que o mesmo fazia a pergunta e, logo em seguida, respondia a questão, não dando voz ao
aluno e, portanto, não o ouvindo. Observamos também que a indução dos conceitos
matemáticos ocorria por meio de um discurso repetitivo do professor e pela resolução
mecânica de exercícios do livro didático. Muitos dos estudantes, sujeitos da pesquisa, tinham,
no período escolar, o único momento do dia em que podiam se dedicar ao estudo. Sem uma
prática analítico-reflexiva aceitavam o que o professor lhes dizia, como verdadeiro. Uma das
contribuições desse projeto foi a organização de discussões, sobre situações como as citadas
anteriormente nos cursos de Licenciatura, principalmente nas disciplinas de Didática e Prática
de Ensino.
Em 2003, após terminar o curso de Licenciatura em Matemática, comecei a atuar
como professora do Ensino Fundamental na cidade de Erechim, onde trabalhei por dois anos e
meio em turmas de 5a, 6a, 7a e 8a séries do Ensino Fundamental. Com a minha prática em sala
de aula constatei que algumas situações enfrentadas nesse ambiente não haviam sido
contempladas na minha formação.
Nessa atuação deparei-me com problemas que a escola pública enfrentava e as
dificuldades presentes no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática. Nessa época,
fiz uma (re)descoberta da Matemática, agora na perspectiva de professora.
Em 2004, iniciei um curso de Pós-Graduação Lato-Sensu em Educação Matemática, o
qual ampliou meu campo de discussões e de análise sobre Educação Matemática. Nesse
curso, a minha monografia foi um estudo bibliográfico dos temas Linguagem, Linguagem
Matemática, Discurso e Discurso Matemático. Dediquei-me a esse tema porque com o
desenvolvimento do projeto de Iniciação Científica esse tema se fez presente e ainda estava
obscuro em alguns pontos.
Na minha prática docente e discente percebi o nexo entre Linguagem e Matemática, ou
mais precisamente, a Linguagem que explicita e veicula o corpo de conhecimento pertinente à
Matemática. Nesse contexto, destacou-se no âmbito das disciplinas estruturantes da
Matemática, trabalhadas na Licenciatura em Matemática, a Álgebra2.
Vi a dificuldade dos meus alunos na compreensão das questões concernentes à
Álgebra e a minha própria dificuldade em mediar a compreensão de tais questões.
Concomitantemente, ao ler textos sobre ensino e aprendizagem de Matemática constatei
inúmeras pesquisas, preocupações e propostas sobre o ensino da Álgebra. Tais estudos3
caminhavam na mesma direção das dificuldades constatadas na minha prática pedagógica.
Frente a essa situação, vi-me pensando sobre o ensino e a aprendizagem de Álgebra.
Essa preocupação abrange também aspectos cognitivos e concernentes ao processo de
aprendizagem dos alunos, aos textos de Matemática e de Educação Matemática que se
referem à Álgebra, sua construção no âmbito da História da Ciência Matemática, sua
veiculação em textos e seu ensino e, também, ao modo como a Álgebra se mostra nos cursos
de formação de professores de Matemática. Esta última preocupação constitui-se em solo e
foco desse trabalho.
Ao deter-me nesse foco, entendi sua inserção em uma realidade mais abrangente que
envolve a formação de professores de Matemática. E, nessa formação, minha atenção voltou-
se para como se dá a abordagem na Álgebra no curso de formação de professores de
Matemática. Todo esse caminho, aqui resumidamente apresentado, me trouxe até o programa
de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Campus de Rio Claro. Cheguei
2 Posteriormente, a concepção de Álgebra será explicitada nesse trabalho. 3Em itens subseqüentes esses trabalhos serão apresentados.
aqui em 2006. Cursei disciplinas com o intuito de aprofundar temas referentes à Educação
Matemática e iniciei minha participação no grupo FEM4.
Em 2007 ingressei neste programa com uma proposta de pesquisa cujo objetivo é:
estudar as concepções que professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática
apresentam sobre o ensino e a aprendizagem dessa disciplina em um curso que visa formar
professores de Matemática.
Explicitação da pesquisa
Nesta pesquisa busco compreender como os professores que trabalham em cursos de
formação de professores de Matemática compreendem a Álgebra, como a estudam e a
trabalham com seus alunos, os quais futuramente serão professores de Matemática. Essa
busca envolve compreender também o modo pelo qual se mantêm em formação, como
professores pesquisadores de Álgebra e seus modos de preocupar-se com a formação em
Álgebra dos seus alunos – futuros professores da Educação Básica.
Resumidamente posso dizer que a interrogação interroga a própria concepção da
Álgebra nos cursos de formação de professores de Matemática da Educação Básica. De modo
mais simples, a interrogação que norteia esse trabalho pode ser explicitada da seguinte
maneira: como os professores de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática,
compreendem e trabalham a Álgebra, em termos de conteúdo e prática pedagógica?
O desenvolvimento dessa pesquisa iniciou com o estudo de investigações já realizadas
que abordaram temas como: o processo de ensino e aprendizagem de Álgebra, principalmente
nos cursos de Licenciatura em Matemática, a formação didático-pedagógica e o conhecimento
teórico de professores de Matemática, assim como trabalhos sobre a prática de alguns dos
professores de Matemática que apresentam a Álgebra como tema central na discussão.
Neste momento, já posso relatar algumas dificuldades encontradas: há vários trabalhos
que descrevem e constatam problemas enfrentados pelos alunos ao estudarem a Álgebra.
Porém, há poucos trabalhos que discutem a questão da abstração, do formalismo, dos
conceitos algébricos e outros temas intrínsecos aos processos de ensino e de aprendizagem da
Álgebra na Educação Básica e nos cursos de Licenciatura em Matemática.
4Grupo de estudos Fenomenologia em Educação Matemática coordenado pela professora Dra. Maria Aparecida Viggiani Bicudo.
Procedimentos seguidos
O Rio Grande do Sul é dividido em sete Mesorregiões5. Estudar o tema desta pesquisa
abrangendo todas as Mesorregiões é um projeto que consideramos importante e significativo
para a Educação Matemática, principalmente no que diz respeito à formação de professores da
Educação Básica. Entretanto, temos clareza que esse é um projeto abrangente e de longa
duração, portanto, para viabilizar a execução da pesquisa, optamos por investigar apenas a
Mesorregião6 Metropolitana de Porto Alegre.
Elegemos para o desenvolvimento desta pesquisa a microrregião7 de Porto Alegre
porque nela concentra-se o maior número de Universidades que oferecem Licenciatura em
Matemática. Além disso, todas essas Instituições de Ensino Superior situadas na Mesorregião,
exceto a FUNDASUL8, possuem ao menos um Campus na microrregião.
A microrregião de Porto Alegre foi escolhida por compreendermos que se trata de um
centro dos mais importantes do estado, concentrando, além de mais recursos econômicos e
um número maior de Instituições de Ensino Superior, as mais antigas Instituições de Ensino
desse Estado. Entendemos então, ser um centro dinamizador, inclusive da Educação, do
Estado do Rio Grande do Sul.
Frente aos atuais problemas detectados no contexto escolar relacionados ao ensino e à
aprendizagem da Matemática, principalmente os referentes a Álgebra, consideramos
importante a discussão dos temas aqui propostos no curso de Licenciatura em Matemática, no
sentido de contribuir com o pensar presente no processo de formação de professores de
Matemática.
Consideramos a Álgebra como fundamental na construção do conhecimento
matemático, principalmente, após o século XIX, por sua “extensão, imaginação, rigor,
abstração e generalidade” (BOYER, 1996, p.415). Nesse sentido, ela passa a ser essencial
também nos cursos de formação de professores de Matemática. Com esse entendimento e a
constatação de que o modo pelo qual a Álgebra é trabalhada em cursos que formam
5Noroeste Rio-Grandense, Nordeste Rio-Grandense, Metropolitana de Porto Alegre, Centro Oriental Sul Rio-Grandense, Centro Ocidental Rio-Grandense, Sudeste Rio-Grandense e Sudoeste Rio-Grandense. 6 Mesorregião é uma subdivisão geográfica dos estados brasileiros. 7A microrregião de Porto Alegre é composta pelos municípios de Alvorada, Araricá, Cachoeirinha, Campo Bom, Canoas, Eldorado do Sul, Estância Velha, Esteio, Glorinha, Gravataí, Guaíba, Mariana Pimentel, Nova Hartz, Nova Santa Rita, Novo Hamburgo, Parobé, Porto Alegre, São Leopoldo, Sapiranga, Sapucaia do Sul, Sertão Santana e Viamão. 8Fundação de Ensino Superior da Região Centro-Sul.
professores de Matemática tem sido pouco investigado, esta pesquisa trata de um tema
relevante e ainda pouco explorado, principalmente no Estado do Rio Grande do Sul.
Estrutura e organização deste texto de dissertação
Para apresentar o desenvolvimento da pesquisa, norteada pela questão que já foi
anunciada, estruturamos esta dissertação em introdução e cinco capítulos, organizados como
segue:
No Capítulo I, apresentamos inicialmente três modos de pensar a Matemática: o
logicismo, o intuicionismo e o formalismo, na tentativa de compreender como a Álgebra se
constitui como campo de investigação para a Filosofia da Matemática. Posteriormente,
expomos algumas passagens históricas sobre a Álgebra Abstrata e finalizamos abordando
algumas legislações que mostram como a Álgebra se firmou no ensino escolar brasileiro.
No Capítulo II, explicitamos os procedimentos usados no decorrer desta pesquisa e a
visão de mundo e de conhecimento segundo uma atitude fenomenológica assumida neste
trabalho. Consideramos significativo pesquisar aspectos da Educação segundo o enfoque da
Fenomenologia, por ela “não trazer consigo a imposição de uma verdade teórica ou
ideológica preestabelecida, mas por trabalhar com o real vivido, buscando a compreensão
disso que somos e que fazemos” (BICUDO, 1999, p. 13).
No Capítulo III, apresentamos a transcrição das entrevistas realizadas com os
professores, o levantamento das unidades significativas que surgiram após as várias leituras
de cada entrevista e, a análise inicial das mesmas.
No Capítulo IV continuamos com a análise dos dados. Nessa etapa é elaborada uma
análise nomotética9, que se caracteriza pelas reduções sucessivas efetuadas mediante
articulações realizadas pela pesquisadora, apontando os invariantes do fenômeno sob foco.
No Capítulo V apresentamos uma articulação da interrogação com o que se mostrou
significativo na fala dos professores entrevistados. A meta é explicitar uma síntese
compreensiva da interrogação formulada e o que essa investigação revela para a pesquisadora
e para a região de inquérito em que o tema se insere.
9A análise nomotética será explicada no capítulo IV.
Capítulo – I
A ÁLGEBRA NO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA: UM AMÁLGAMA ENTRE AS ABORDAGENS
MATEMÁTICA E PEDAGÓGICA
A construção do conhecimento matemático
Neste trabalho, focamos a Matemática como uma Ciência cujo sentido e significados
se dão na dimensão da cultura ocidental. Neste capítulo buscamos expor as concepções de
Matemática e do significado que a Álgebra assume nesse contexto, bem como, informar
aspectos da legislação educacional que correspondem a essas concepções. Desse modo,
buscamos compreender a Álgebra trabalhada nos cursos de Licenciatura em Matemática de
diferentes perspectivas, olhando do contexto da História da Matemática, da Filosofia da
Matemática, da Legislação Educacional, da Literatura que converge para esse tema e da fala
dos professores que lecionam a disciplina de Álgebra para os cursos de Licenciatura em
Matemática.
É importante esclarecer que esse trabalho não se trata de uma composição sobre a
História da Álgebra, mas sim, apenas destacamos alguns autores que consideramos
significativos no desenvolvimento da Álgebra.
A Matemática, uma Ciência construída social e historicamente, é percebida pelos
sujeitos em suas atividades cotidianas, “mas sempre em um horizonte temporal, no qual o
passado e o futuro também estão presentes em um fluxo de retenções e protensões”
(BICUDO, 1999, p.28). Ela está em nosso dia-a-dia nas simples ocorrências do real vivido,
assim como na complexidade da Ciência, da Técnica e da Tecnologia. Conhecemos várias
versões sobre a origem da Matemática, entre as quais estão a empírica e a teórica. A cada
nova elaboração da Matemática são desenvolvidos outros procedimentos, que por sua vez
possibilitam e viabilizam novos avanços na própria Ciência e em suas aplicações.
De acordo com Kluth (2005, p.15).
[...] as conquistas realizadas na Matemática se entrelaçam, produzindo um emaranhado de dependências, dando a impressão de que seus resultados não aceitam uma outra ordenação e interpretação que não aquela da lógica-dedutiva que constrói sua teoria, pois cada conquista projeta-se sobre o conhecimento já construído e é posto [sic] à disposição, dando-lhe novas dimensões teóricas.
Para Husserl (1970), a Matemática tem uma origem na subjetividade10 enquanto
intuição primeira. Ao mesmo tempo ela se desmembra e se constitui como Ciência na
intersubjetividade11, ou seja, nas nossas relações com o outro, que são estabelecidas tanto por
ações empática como pela linguagem que expõe o aprendido. Ela chega até nós
tradicionalmente como uma construção cultural em um mundo objetivamente12 dado, por
meio de diferentes linguagens da dialética subjetivo-objetivo-intersubjetivo. Linguagem é
entendida aqui como organização do percebido e comunicação entre sujeitos e culturas que
transcende as esferas subjetiva e intersubjetiva, presentificando-se na organização de nossas
atividades diárias, na Ciência, na Técnica e nas Tecnologias.
Há diferentes linguagens presentes no mundo. Por exemplo, a da Técnica, a da
Religião, a da Ciência, a da Arte. Entre aquelas da Ciência, existe a que é específica da
Matemática, constituída por uma lógica e uma gramática apropriada e utilizada por
especialistas da área e professores de Matemática de um modo mais abrangente. Mas essa não
é uma linguagem exclusiva desses profissionais. Também dela lançam mão outras pessoas em
suas atividades de pesar, medir, comprar etc.
A Matemática constituiu-se ao longo da História de diversas civilizações. Ela se
estabeleceu como precisa na civilização ocidental. Com o avanço nos estudos e a grande
produção de informações, o conhecimento matemático elaborado e organizado segundo a
Lógica dessa Ciência foi subdividido em áreas. Dessas, três são as mais destacadas ou
entendidas como suporte do edifício da Matemática: a Geometria, a Análise e a Álgebra
(BOYER, 1996, p.415).
10 A subjetividade não é em si uma mônada fechada, tendo prontas suas potencialidades as quais aguardariam atos para serem atualizadas. Ela se constitui no movimento de abertura ao mundo-vida, trazendo o percebido para a consciência e operando os atos que avançam na dimensão da compreensão e atos de expressão (BICUDO, M. A. V. no prelo). 11 A intersubjetividade não é uma soma de subjetividades que forma uma comunidade. Ela é constituída nos atos de empatia e na dimensão da comunicação efetuada no corpo-encarnado e expl ic i tada de maneira mais organizada, refletindo o logos e a estrutura lingüística na linguagem. (BICUDO, M. A. V. no prelo). 12 A objetividade não é um fato exato e externo à subjetividade que o pensa, mas é constituída no movimento da compreensão intersubjetiva e respectiva manutenção nos modos culturais possibilitados pela tradição. (BICUDO, M. A. V. no prelo).
Cada uma dessas áreas estabeleceu para si um campo de investigação e desenvolveu-
se, construindo novos conhecimentos e novas áreas. Ao mesmo tempo em que a Geometria, a
Análise e a Álgebra constituíam seus domínios, seus ramos de abrangência se entrelaçaram
em muitos momentos diferentes. Cada uma interroga aspectos distintos do mundo, incluindo o
mundo matemático. Utilizam uma linguagem que as caracterizam e elegem para si domínios
próprios para investigar. Porém, não há clareza quanto aos limites que caracterizam cada ramo
específico.
No tocante à Geometria, o pensamento geométrico pode ser compreendido como
conseqüência da necessidade de organização das atividades cotidianas. Apesar de a
Matemática ser tão antiga quanto a escrita, os primeiros passos dados para a formalização e
axiomatização dos conhecimentos são atribuídos aos gregos, principalmente a Euclides,
Arquimedes e Apolônio (Bell 1995, Boyer 1996).
A Geometria caracteriza-se, segundo Ulbricht (2006), pelo estudo das formas, dos
espaços, das perspectivas, das figuras etc. Essa parte da Matemática engloba hoje
praticamente todo o conhecimento matemático construído até o final do século XVII, quando
a Álgebra e a Análise estavam em fase de construção e de estruturação.
O conhecimento geométrico, produzido desde os matemáticos gregos até os estudos
sobre as Geometrias não euclidianas, está presente em diversas práticas da nossa sociedade e
é, provavelmente, a parte da Matemática de maior aplicabilidade e passível de identificação
com formas e objetos mundanos.
A Análise, por sua vez, é a área da Matemática responsável pela sistematização e
estudos da variação e do movimento, pois amplia as teorias da Matemática ao estudar o
infinito, de maneira diferente do infinito potencial trabalhado pelos gregos. Por exemplo, “de
acordo com o segundo postulado dos elementos de Euclides, dado uma reta limitada,
podemos prolongá-la ilimitadamente para qualquer um dos dois lados. Isto significa que o
infinito potencial é uma maneira de varrer o infinito usando o finito”.13
O Infinito Real é introduzido na Matemática por Cantor, ao desenvolver o estudo
analítico de funções. Ele se constitui ao longo do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos.
Dentre os grandes avanços dos estudos proporcionados pela Análise, destacam-se o
conceito de derivada e, posteriormente, a idéia de limite, os que permitiram a solução de
problemas relacionados com a determinação de órbitas de corpos celestes; a análise de
13 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização.
crescimento de populações; medidas de fluxos; problemas de otimização, entre outros
(BARON, 1985).
A Álgebra Antiga, por sua vez, existe desde os gregos. Um exemplo é o estudo das
equações realizado por Diofanto. Porém, foi depois dos séculos XVI e XVII, com o estudo
das equações algébricas, que se iniciou o processo de modernização da Álgebra. E, nos
séculos XVIII, XIX e XX, ocorreu um movimento que procurou suprir a necessidade de
fundamentar lingüística e logicamente a Matemática e constituí-la como uma Ciência,
segundo o espírito da Ciência Moderna Ocidental. Foi nesse período14 que emergiu no campo
do conhecimento matemático o foco deste estudo: a Álgebra Moderna até a axiomatização das
estruturas algébricas.
Para desenvolver este estudo, iniciaremos com a busca de uma compreensão a respeito
de como o pensamento matemático vem se constituindo. Em seguida apresentaremos uma
discussão sobre a História da Álgebra e de como ela se apresenta na Educação Brasileira.
A constituição da Matemática como Ciência Formal e da Álgebra como parte dela
O que justifica a estruturação da Matemática como Ciência? A necessidade de
respostas para essa pergunta deu início à sistematização do conhecimento que hoje chamamos
de Matemática. A busca de fundamentos para estruturar a Matemática como uma Ciência
iniciou-se com os gregos, mais especificamente com Platão, que tinha os objetos matemáticos
como ideais e concebia que estes eram acessíveis à mente humana apenas pelo conhecimento.
Para ele, os objetos matemáticos eram repletos de perfeição e verdade. O homem deveria
esforçar-se para conhecê-los e, conhecendo-os, evoluir. Os objetos matemáticos, que vêm da
palavra eidos, são precisos e supratemporais.
Na filosofia platônica, a Matemática era concebida como uma verdade independente
de qualquer verificação empírica, e os objetos matemáticos serviam de modelo para as formas
mundanas, ou seja, apenas uma reprodução grosseira desses objetos aparecia no mundo
humano. O mundo em que vivemos seria como uma imagem imperfeita refletida num espelho
imperfeito do mundo das idéias. No auge do império platonista na Matemática, prevalecia a
visão de que é “a tarefa dos matemáticos era comparável a uma viagem de descobrimentos”
(BARKER, 1976, p. 105). O matemático não criava os objetos a respeito dos quais falava, 14 Ao olhar para a História da Matemática percebemos que esse período é concomitante ao momento em que matemáticos deixam de ver a Álgebra como uma ferramenta para resolver passa-tempos e começam a dedicar-se na tentativa de estruturá-la como Ciência (BELL, 1995).
mas os descobria. Segundo Silva (2007, p. 43), “hoje, poucos ainda aceitam seriamente o
reino puro de idéias de Platão. Mas a imagem da Matemática como uma Ciência de um
domínio fora desse mundo ao qual ascendemos pelo pensamento é ainda a ‘filosofia’ natural
dos matemáticos”.
Posteriormente a Platão, temos as idéias de seu discípulo Aristóteles, que recusou a
filosofia platonista em partes. Aristóteles, assim como Platão, considerava a existência da
Matemática independente do ser humano, mas discordava da crença platonista de que os
objetos da Matemática existiam em um mundo não humano. Para ele, os objetos da
Matemática estão “nesse mundo” e acessíveis a nós pelo conhecimento e pelos sentidos,
sendo que estes últimos não são plenamente confiáveis. Resumidamente e de acordo com
Silva (2007, p.38), Aristóteles é o filósofo “pés no chão” e Platão tem “a cabeça nas nuvens”.
As idéias aristotélicas livram o homem de ser apenas um descobridor e o colocam
como construtor do mundo matemático. Aristóteles considerou a Matemática uma Ciência
dedutiva e foi o primeiro sistematizador da Lógica Formal. Outras contribuições dele para a
Matemática foram a distinção entre o infinito atual e o potencial, o modo de comparar a
Matemática com um edifício logicamente estruturado e “a análise de noções metamatemáticas
fundamentais, como as de axioma, definição , hipótese e demonstração” (SILVA, 2007, p.50-
51).
O modo aristotélico de atribuir ao homem o poder de criar e pensar sobre a
Matemática e não apenas descobri-la contribuiu para o nascimento, na Idade Média, de uma
nova filosofia, que não é exclusiva da Ciência Matemática: o realismo aristotélico.
Diferentemente da Filosofia, na Matemática, quando falamos em “realismo, estamos
falando do platonismo”.15 Portanto, neste texto, quando falamos em realismo, nos referimos
ao realismo fundamentado no platonismo.
O realismo, fundamentado no platonismo, foi base filosófica para o movimento
logicista. Movimento este que tinha por objetivo mostrar a Matemática como uma Ciência
consistente e completa e expô-la como uma linguagem simbólica para simplificar suas formas
de apresentação. O caminho escolhido para fazer isso foi a aritmetização da Análise. Na
tentativa de aritmetizar a Análise, destacaram-se vários matemáticos. Entre eles estavam
Weierstrass, Dedekind e Frege.
O objetivo do movimento logicista era “excluir da Análise as intuições geométricas,
substituindo-as por noções da Aritmética, ou seja, estabelecer a Análise como base para o
15 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização.
sistema de números reais”. 16 Assim, o sistema de números reais pode ser construído a partir
do sistema de números racionais, estes podem ser construídos a partir dos números inteiros,
que por sua vez podem ser construídos a partir dos números naturais. Dessa maneira, a
Análise estaria fundamentada no sistema de números naturais.
Frege, Russell e muitos outros lógicos modernos se lançaram na jornada de vincular a
Matemática à Lógica, na tentativa de torná-la uma Ciência sem contradições.
Frege criou um sistema lógico próprio e, posteriormente, tentou explicar toda a
Aritmética usando seu sistema. O objetivo de seus estudos era mostrar que “a Aritmética é
pura lógica” (Silva, 2007, p.128). E como é a Lógica que atesta ou contesta o sistema de
verdades matemáticas, quando conseguisse escrever a Aritmética conforme seu sistema
lógico, ele teria uma Aritmética livre de contradições, ou seja, verdadeira.
Bertrand Russell deu continuidade ao projeto de Frege com algumas alterações no que
diz respeito ao sistema lógico. Porém, nem Russell e nem Frege foram bem sucedidos na
tentativa de reduzir a Matemática à Lógica.
O Logicismo fracassou porque nem todos os axiomas puderam ser escritos na forma
de proposições lógicas. Segundo Machado (1991, p.27), para alcançar seu objetivo, “os
logicistas deveriam mostrar concretamente que todas as proposições matemáticas podem ser
expressas na terminologia lógica e, que todas as proposições matemáticas verdadeiras são as
expressões verdadeiras para a Lógica”.
O que conseguiram, segundo Silva (2007, p. 134), foi uma divisão entre os
matemáticos. Uns seguiram o projeto de Frege. Outros entendiam que a Ciência Matemática
havia se tornado excessivamente formal e que era necessário colocá-la novamente em bases
seguras, partindo de verdades manifestadas nas intuições imediatas.
Apesar de o movimento logicista não conseguir executar seu objetivo inicial,
reescrever toda a Matemática em um sistema lógico e livre de contradições, eliminando as
idéias intuitivas presentes nela, ele foi muito importante para essa Ciência. O logicismo foi o
ponto de partida para o desenvolvimento da Lógica Matemática Moderna e para a formação
de um segundo grupo de matemáticos que, contrariamente aos logicistas, procuraram
sistematizar a Matemática, partindo sempre da intuição. Esse grupo constituiu o movimento
intuicionista17.
16 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização. 17 O intuicionismo foi uma das principais correntes do movimento construcionista. Os construcionistas acreditavam que todo e qualquer conhecimento deveria ser construído a partir da intuição.
No intuicionismo, segundo Snapper (1984, p.88.), havia a concepção de que entidades
abstratas, como a Matemática, eram elaborações humanas e não objetos ideais platônicos.
Diferentemente dos logicistas, os intuicionistas consideravam a Matemática Clássica falível
em alguns pontos. Os paradoxos relativos à teoria dos conjuntos, por exemplo, no
intuicionismo eram erros da Matemática e não dos matemáticos como pensavam os logicistas.
Os intuicionistas consideravam o ser humano dotado de uma intuição primeira sobre
os números naturais. Por isso defendiam uma reelaboração da Matemática desde seus
fundamentos. Partindo sempre da intuição, os axiomas, os teoremas, enfim, toda a
Matemática deveria ser reconstruída. O que fundamentava o movimento intuicionista era a
consideração de que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela
mente humana. Desse modo, o que não partisse da intuição não era Matemática.
O movimento intuicionista não foi bem sucedido quanto aos seus objetivos. Muitos
matemáticos clássicos se posicionaram contra a concepção intuicionista. Inúmeros teoremas,
vistos como inúteis e sem sentido pelos intuicionistas, eram considerados belos na
Matemática Clássica, gerando assim um conflito. Os intuicionistas defendiam a existência de
objetos matemáticos somente quando esses pudessem ser dados por construção, ou seja, “um
objeto existe se e, somente se, for possível construí-lo”.18 Além disso, algumas teorias falsas
para os intuicionistas eram consideradas verdadeiras pelos matemáticos clássicos. Um
exemplo são os números complexos. Todos esses conflitos acabaram com desprezo e rejeição
dos matemáticos clássicos em relação à corrente intuicionista.
Com a criação da Teoria dos Conjuntos e, conseqüentemente, com a verificação dos
paradoxos que ela apresentava, sentiu-se a necessidade, no início do século XX, de livrar a
Matemática de paradoxos. A maneira encontrada para isso foi a axiomatização da
Matemática, por meio de axiomas claros, de tal modo a não gerar paradoxos.
O objetivo principal do formalismo é provar que as idéias matemáticas são isentas de
contradições. Caso os formalistas alcançassem seu objetivo, a Matemática se tornaria livre de
paradoxos e contradições e, quando ela pudesse ser reescrita com demonstrações rigorosas em
um sistema formal, se estabeleceria como verdade. Segundo Silva (2007, p.195), para Hilbert
a verdade era o que garantia e assegurava os métodos e as teorias tradicionais da Matemática.
A filosofia base para o formalismo é o nominalismo, segundo o qual as entidades da
Matemática não existem, nem como objetos reais e nem como objetos mentais. No
18 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização.
formalismo “as deduções são cadeias de transformações de expressões simbólicas segundo
regras explícitas de manipulação de símbolos” (SILVA, 2007, p. 184). As deduções e as
transformações da Matemática, ao mesmo tempo em que eram passíveis de interpretação por
quem as manipulava, tinham um significado explicitado em um sistema formal que estava se
constituindo.
Silva (2007, p.284) cita o seguinte exemplo: imaginemos a adição de dois “números
grandes” em notação decimal. Transformá-los em unidades, para depois adicioná-las, levaria
muito tempo e em qualquer parte do processo poderíamos cometer erros. Se usarmos o
algoritmo da adição, com suas regras já estabelecidas em um sistema formal, operamos o
algoritmo mecanicamente. No entanto, sabemos o que estamos fazendo e há significado na
manipulação simbólica que realizamos na resolução do algoritmo. O formalismo traz para a
Matemática um conjunto de regras e símbolos que nos permitem operar mecanicamente.
Graças a esse conjunto de regras, hoje podemos usar calculadoras e programas de computador
para executar diversos cálculos.
Dos matemáticos que tentaram formalizar a Matemática podemos destacar Hilbert.
Entre suas contribuições, está a axiomatização da Geometria Euclidiana. Os elementos de
Euclides eram fundamentados na visualização cotidiana e, portanto, na intuição. Hilbert
reescreveu toda a Geometria Euclidiana, com a complementação de suas propriedades,
axiomas e teoremas.
O que Hilbert pretendia para a Matemática era estabelecer uma linguagem formal,
com demonstrações verificáveis passo-a-passo e livrá-la de contradições. Em uma conferência
proferida em 1900, no II Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris, propôs
23 problemas aos matemáticos da época. Um deles era a demonstração da compatibilidade
dos axiomas da Aritmética.
Em 1930, Gödel provou a impossibilidade de demonstrar a compatibilidade dos
axiomas da Aritmética dentro de um sistema que inclua a Aritmética. Com isso, provou
também que o projeto de Hilbert não poderia ser bem sucedido, “porque não é possível provar
a consistência da Matemática dentro da própria Matemática” 19 .
O intuicionismo, o logicismo e o formalismo são as correntes filosóficas que
apresentam visões distintas sobre o que é a Matemática. Há entre elas incompatibilidade em
alguns pontos. Mas haver incompatibilidade não significa que uma exclui a outra. Segundo
Silva (2007, p.235-236), o intuicionismo, fundamentado no construtivismo, mostrou quais
19 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo em 11/04/2008, gravada e transcrita com sua autorização.
conhecimentos matemáticos podem e quais não podem ser construídos partindo de idéias
intuitivas. O logicismo mostra as intersecções da Matemática com a Lógica. E o formalismo
estabelece a Matemática como “a Ciência dos sistemas formais”.
A Matemática atual é fruto de todo esse processo de elaboração e re-elaboração de si
mesma e é no decorrer desses modos de pensar, principalmente do formalismo, que a Álgebra
Abstrata ou Moderna20 emerge no contexto da Ciência Matemática.
Em 1908, Zermelo deu a primeira axiomatização da Matemática que se conhece e que
se usa ainda hoje com algumas alterações. O trabalho de Zermelo foi a axiomatização da
teoria dos conjuntos, mas podemos afirmar que ele axiomatizou a Matemática porque, hoje, a
Matemática está assentada, em termos de estrutura, na teoria dos conjuntos.
Expondo a constituição da Álgebra no percurso da História da Matemática
Na tentativa de compreender o que a Álgebra é, observamos que não há um consenso
entre os autores dessa área sobre qual é seu campo de abrangência e quais os objetos que
estuda. Alguns definem a Álgebra como a linguagem da Matemática; outros, como uma
Aritmética generalizada; outros, como o estudo das estruturas (LINS e GIMENEZ, 1997).
Nesselmann, em 1842, propôs que, historicamente, a construção da Álgebra fosse
dividida em três períodos distintos: a Álgebra Retórica, aquela em que coisas são postas todas
em palavras; a Álgebra Sincopada, em que já há alguns símbolos específicos. Um exemplo
desse período são os estudos realizados pelo grego Diofanto (250 d.C). Foi ele quem
introduziu sinais de abreviações na resolução de equações, assemelhando-se ao que hoje
chamamos de incógnita. Os símbolos sempre se referiam a alguma coisa que conheciam,
números naturais, por exemplo. Nessa época, o simbolismo na Matemática era usado de
forma ingênua, ainda não estava dentro de um sistema formal. E, por último, emergiu no
conhecimento matemático a Álgebra Simbólica (EVES, 1995, p. 206).
Depois disso, um longo caminho foi percorrido até chegarmos ao simbolismo atual.
Era comum representar objetos matemáticos por símbolos. O problema é que poderia ser
qualquer símbolo. Da maneira como tinham se encaminhado as coisas, cada matemático
estava elaborando sua própria representação da álgebra, pois usavam símbolos distintos para
representar o mesmo objeto. A situação clamava por uma sistematização e uma formalização
do simbolismo algébrico. Porém, isso só aconteceu a partir do século XX.
20 Um exemplo é o livro o van der Waerden, denominado Algebra Moderne, de 1930.
Foi Viète 21 (por volta de 1550 d.C) quem começou a trabalhar com letras para
representar dados numéricos conhecidos e desconhecidos. Era o início do estudo das equações
algébricas. Poderíamos dizer que ele foi um dos primeiros matemáticos a introduzir o “cálculo
com letras”.
Com o aperfeiçoamento das notações, a Álgebra passou a ser vista como superior à
Aritmética e ser chamada de Aritmética Universal por grandes matemáticos, tais como
Newton e Leibniz.
Depois da fase inicial de desenvolvimento, a Álgebra Clássica passou por um processo
de sistematização até chegar à Álgebra Abstrata, mais próxima de como a conhecemos hoje.
Segundo Milies (2008), o que caracterizou esse processo de mudança nos conceitos
algébricos foram, além do progresso nos conteúdos, um avanço em sua aplicação por diversos
campos técnicos e científicos e, também, “uma mudança na concepção do que é Matemática,
de como ela se constitui como Ciência e, principalmente, da evolução de seus métodos”.
O Século XIX merece destaque no estudo da História da Álgebra. Nesse período
houve grandes mudanças na Matemática. Essa Ciência, que tinha sua estrutura constituída
sobre a Geometria de Euclides e a Aritmética, “viu a Geometria não-euclidana emergir, com
Lobachevsky em 1829, independente do mundo dos sentidos e a Álgebra sendo construída
independentemente da Aritmética” (MILIES, 2008). Até esse momento, a Álgebra era
entendida como uma Aritmética Universal. As incógnitas referiam-se sempre aos números
positivos possíveis de serem representados no mundo. Existiam também os símbolos + e –
para representarem as operações.
Quando a Álgebra passou a ser construída independentemente da Aritmética, as
incógnitas não representavam mais apenas números naturais, relacionados com objetos e
situações passíveis de serem experienciadas. Elas começaram a representar números negativos
e, mais tarde, os números complexos ou imaginários. Tais números, diferentemente dos
naturais, não podem ser relacionados com objetos do mundo natural.22 Como seu próprio
nome diz, só existiam na imaginação de quem trabalhava com eles. Apesar disso, eles são
objetos de estudos e possibilitam a expansão de conceitos matemáticos e a construção de
novos.
Há uma seqüência cada vez mais abrangente de abstrações na Matemática. E a
Álgebra torna-se a Ciência das abstrações, nas palavras de Lins e Gimenez (1997, p.91), “um 21 Vieta é a forma latina correspondente ao nome francês Viète. Nessa época, era comum a pessoa ser chamada por seu nome na forma latina. 22 Esse modo de falar não considera a explicitação da imaginação por meio da linguagem.
cálculo com regras próprias e ignorantes de qualquer sistema particular que funcione como
elas (números, por exemplo). Um mundo, enfim, completamente abstrato”.
Dentre muitos matemáticos que contribuíram com o processo de sistematização da
Álgebra, destacamos: Dedekind, que, fundamentado na Teoria de Galois, desenvolveu estudos
sobre a teoria dos grupos, os números irracionais e a aritmetização da Análise; Emil Artin,
“que publicou uma generalização dos teoremas de estrutura de Wedderburn para anéis
satisfazendo condições de cadeia” (BOYER, 1996, p. 434); Emmy Noether, filha do geômetra
algébrico Max Noether, liderava um grupo de algebristas, na década de 1920 a 1930, e
auxiliou as pesquisas de Hilbert sobre invariantes diferenciais. Seus estudos contribuíram para
a teoria dos ideais. E, por fim, van der Waerden.
Ele foi o popularizador da Álgebra Moderna no século XX através de seu muito famoso livro Moderne Algebra, escrito na década dos 1920 e, o qual foi baseado nas pesquisas de Emmy Noether e Emil Artin. É importante que enfatizemos que van der Waerden não se limitou a transcrever as aulas de Emmy Noether e de Artin: ele simplificou o material, aperfeiçoou as demonstrações e fez férteis generalizações. 23
Posteriormente veio o grupo Bourbaki. Nicolas Bourbaki foi o nome escolhido por um
grupo de matemáticos, quase todos franceses, que, desde 1940, trabalham na axiomatização
da Matemática.
A Álgebra Abstrata, também denominada Moderna, é importante para diversas
ciências na atualidade. Apesar de suas possíveis aplicações, ela apareceu inicialmente em
problemas inúteis cientificamente, mas que despertaram a curiosidade de vários matemáticos.
Segundo Bell (1995, p. 31), “nenhum dos ‘algebristas’ da época em que a Álgebra começa a
despertar o interesse dos matemáticos foi capaz de encontrar aplicações para a álgebra” e nem
de prever que futuramente esse conhecimento seria essencial para a Ciência.
Depois de aproximadamente quatro séculos de um processo de generalização confusa
e sem rumo definido, a Matemática foi reorganizada, aproximando-se da estrutura que
apresenta hoje.
É comum a crença de que a Álgebra Moderna é o conhecimento construído até o
século XIX. Porém, no século XX, é que a Álgebra Moderna ampliou seu grau de abstração.
Segundo Boyer (1996), “os conceitos fundamentais da Álgebra Moderna ou Abstrata foram
estabelecidos entre 1920 e 1940”.
23 Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/vanderw.html). Acessado em 04 de abril de 2008.
Desse período até 1960, houve o que esse autor chamou de “revolução” na Álgebra. A
nova estruturação algébrica se alastrou para outros campos da Matemática, por exemplo, na
Análise e na Geometria. O resultado foi o aparecimento da Álgebra Homológica, em 1955,
que é “um desenvolvimento da Álgebra Abstrata que trata de resultados válidos para muitas
espécies diferentes de espaço” (BOYER, 1996, p.437). Homologia ou Cohomologia é uma
nova linguagem que permite expressar idéias geométricas em termos algébricos.
E assim hoje dizemos que a Álgebra é o campo da Matemática que estuda, além das
estruturas da Matemática, as relações existentes entre essas estruturas. Sua função para a
Matemática é a generalização de conceitos por meio do simbolismo matemático e das
operações usuais da Aritmética. “Tais operações podem ser chamadas de finitárias” 24, porque
consideram sempre a existência de um número finito de elementos, mesmo quando se está em
um campo de elementos infinitos, como é o caso do estudo de bases para espaços de funções.
Enfim, em termos de proporção, se tomarmos a seguinte afirmação como metáfora: “a
Álgebra é tão importante para a Matemática como a Matemática é para a Física” 25, podemos
entender que, do mesmo modo como a Matemática dá sustentação à Física, em termos de
Linguagem, de estruturas e concepções teóricas, a Álgebra sustenta, explicita e fundamenta
inúmeros conceitos nucleares da Matemática. Com ela há uma nova organização estrutural da
Matemática.
A Álgebra pode ser entendida como a linguagem básica para explorar os objetos
matemáticos, pois cada um deles tem suas próprias especificidades que podem ser analisadas
por meio de estruturas algébricas. Estas, por sua vez, possibilitaram “explicitar aquilo que era
semelhante entre distintas coleções de um mesmo objeto matemático e entre objetos
matemáticos distintos” (KLUTH, 2005, p. 62). Ela é a parte da Matemática responsável
também pela “aceitação Matemática dos números imaginários, [pelas] questões que envolvem
o método de resolução de equações por radicais, [pela] expansão de resultados matemáticos
sobre divisibilidade, numéricas, [pela] divisibilidade de polinômios e, pela solução econômica
e elegante para trabalhar com conceitos abstratos e generalizações” (KLUTH, 2005, p. 62).
A chegada da Álgebra no ensino brasileiro
Iniciaremos a abordagem desse tema estudando como o ensino de Álgebra foi trazido
para a educação brasileira e como nela criou suas raízes. Esse estudo é importante porque o
24 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo, em 20/06/2006, gravada e transcrita com sua autorização. 25 Explicação dada pelo professor Irineu Bicudo, em 20/06/2006, gravada e transcrita com sua autorização.
modo como a Álgebra é organizada na escola, atualmente, é fruto da trajetória que percorreu
até se estabelecer nos currículos escolares deste país.
Desde 1599, o ensino brasileiro era organizado e executado por Jesuítas,
permanecendo assim por duzentos anos, até a expulsão deles do país. A saída dos Jesuítas
teve como conseqüência a desarticulação do ensino, pois não havia professores preparados
para dar continuidade às aulas. A situação permaneceu assim até 1772, quando foram criadas
no Brasil as “aulas régias”, ou seja, “aulas isoladas dadas em locais diferentes e sem nenhuma
articulação entre si” (MIORIM, 1998, p. 83).
Foi nesse período que a Álgebra chegou aos currículos escolares brasileiros. A
Geometria, a Trigonometria, a Aritmética e a Álgebra eram apresentadas em cursos
separados, sendo a Álgebra o último conteúdo trabalhado (FIORENTINI, MIORIM e
MIGUEL, 1993). Até então eram ensinadas apenas Aritmética, Trigonometria e Geometria,
exatamente nessa ordem.
A justificativa para a introdução da Álgebra nos currículos escolares era a
importância dela para as nações “mais adiantadas”, como a França, a Inglaterra, Estados
Unidos e Portugal. O Brasil, uma nação que possuía o ideal político de se igualar a esses
países, precisava dominar o conhecimento que eles consideravam importante. A Álgebra
desempenhava um papel de destaque no ensino das Ciências e, por isso, era considerada
necessária também para estudantes brasileiros. Portanto, a justificativa não foi fundamentada
nem em necessidades específicas do Brasil, nem em necessidades científicas e
epistemológicas. O ensino da Álgebra foi importado dos currículos daquelas nações.
Quando o Brasil deixou de ser Império, uma nova legislação entrou em vigor. No que
concerne à política da educação, a primeira reforma republicana de Benjamin Constant26
manteve o ensino de Álgebra organizado do mesmo modo que se apresentava no período
imperial.
Da reforma “Benjamin Constant” até 1930, ocorreram várias alterações nas leis que
regiam o ensino. Entretanto, nenhuma provocou mudanças relevantes com relação à Álgebra.
O problema detectado em tal forma de ensino era a exclusão da Álgebra dentre os
conteúdos trabalhados, porque era a última disciplina constante na grade curricular. Na
tentativa de mudar essa situação, entrou em vigor “o Decreto no 18.564, de 15 de janeiro de
1929” (MIORIN, 1998, p. 92). A inovação trazida por essa reforma foi o ensino da
Aritmética, da Trigonometria, da Geometria e da Álgebra distribuído entre os diferentes
26Decreto número 891, de 8 de novembro de 1890. (MIORIN, 1998, p. 88).
momentos do currículo escolar. A justificativa era acostumar, aos poucos, os alunos com o
simbolismo algébrico.
Até esse período não havia cursos destinados à formação de professores. A formação
de profissionais para atuarem como docentes de Matemática era realizada em academias
militares e em escolas de engenharia. Isso mudaria depois da criação da Universidade de São
Paulo.
Antes da fundação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de
São Paulo e da Faculdade Nacional de Filosofia integrante da Universidade do Brasil, no Rio
de Janeiro em 1939, a formação do professor secundário se dava no Instituto de Educação27.
“A exigência de formar professores em cursos superiores foi feita pelo Decreto-Lei número
5.846, de 21 de fevereiro de 1933. Em 1934, com a criação da USP, o instituto passa a ser
parte dela. Isso fica estabelecido pelo Decreto 6.283 de 25 de janeiro do mesmo ano”
(Bernardo, 1986).
O Instituto de Educação foi o primeiro do país a ter um curso para formar professores
secundários, conforme a legislação de 1931. Esse foi um momento em que se iniciou a
formação de professores e de professores de Matemática em nível superior. Era
responsabilidade do Instituto de Educação a formação pedagógica dos profissionais que
optavam por seguir carreira educacional, assim como o aperfeiçoamento daqueles que já
exerciam a profissão.
Apesar de existir na legislação desde 1931, o curso de formação de professores
começou a funcionar efetivamente depois do Decreto-Lei no 1.190, de 4 de abril de 1939, com
a criação da Faculdade Nacional de Filosofia, no estado do Rio de Janeiro.
Os cursos de Licenciatura, inclusive o de Licenciatura em Matemática, foram criados
no modelo 3 + 1, ou seja, três anos com disciplinas comuns ao Bacharelado e, no final do
curso, um ano com disciplinas pedagógicas.
Na década de 30 do século passado, chegaram ao Brasil as idéias do matemático e
professor Felix Klein, que ganharam um poder maior depois de 1950. Ele foi um dos mais
importantes matemáticos do final do século XIX. Dentre suas contribuições, mostrou as
intersecções existentes entre áreas distintas como a Álgebra e a Geometria e a importância de
trabalhar essas intersecções nos processos de ensino e de aprendizagem. Ele defendia o estudo
de Matemática para fundamentar qualquer Ciência e criticava a separação entre a educação
27 O Instituto de Educação foi fundado em 1880, com o intuito de formar professoras Em 1938 o Instituto foi transformado em Seção de Educação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras.
humanística e a científica, especialmente nas Universidades. Os esforços de Felix Klein
provocaram mudanças em quase todos os países e, no Brasil, elas abriram caminhos para o
chamado “Movimento da Matemática Moderna”.
Influenciado pelas idéias de Félix Klein, Francisco Campos28 modificou a organização
do ensino brasileiro, em nível secundário. A proposta era reunir o ensino de Aritmética,
Geometria, Trigonometria e Álgebra e denominá-lo de ensino da Matemática. Isso
possibilitaria ao professor realizar conexões entre os conteúdos. Como exemplo, poderíamos
citar as representações geométricas possíveis ao trabalhar com as idéias da Álgebra.
Nos séculos XVIII e XIX, a produção de conhecimento matemático foi muito intensa.
Nesse período, a Álgebra expandiu seus domínios e tornou-se um problema para o ensino. A
situação era a de que no mundo acadêmico havia muito conhecimento sendo produzido e nas
escolas os conteúdos ainda eram os mesmos que em décadas anteriores. Iniciou-se, então, o
Movimento de Modernização da Matemática. Ele foi uma tentativa de organizar a própria
Matemática e de aproximar os conteúdos da Matemática escolar com o que era produzido na
Academia.
Nesse contexto, a Álgebra era o que havia de novo na Matemática. Entretanto, não se
tinha clareza do que ensinar, como e por que ensiná-la. A principal dificuldade era a pouca
aplicabilidade mundana explícita da Álgebra. Podemos olhar ao nosso entorno e ver formas
ou contar objetos, mas identificar algo a uma equação de terceiro grau era mais complexo.
Nessa época, ao ensinar Matemática, os professores priorizavam alguns temas e
ignoravam outros. A Álgebra pertencia ao que os professores não consideravam importante
ensinar, principalmente por causa de sua pouca aplicabilidade. Porém, quando trabalhada em
sala de aula, se caracterizava por sua apresentação de forma mecânica, sem sentido e
significado para os professores e alunos (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993).
Essa situação continuou até os anos 60, quando entrou em vigor o Parecer 292, de 14
de novembro de 1962. Nele estavam estabelecidos os tópicos elementares que deveriam ser
ensinados ao longo do que hoje é denominada Educação Básica. Para a Álgebra ficou
estabelecido o estudo de cálculo algébrico (operações com polinômios), razão e proporção,
equações e inequações de 1o e 2o grau, trinômio do 2o grau, equações redutíveis a equações de
2o grau, problemas de segundo grau, sistema de equações de 1o e 2o grau.
28Iniciou com o Decreto número 19.890, de 18 de abril de 1931 e terminou com o Decreto número 21.241, de 4 de abril de 1932 (Miorin, 1998, p. 92).
Atualmente, o conteúdo de Álgebra, ao longo da Educação Básica, não se diferencia
muito daqueles itens e também não há nenhuma mudança constitucional significativa que
interfira na organização de ramo da Matemática na Educação Brasileira.
Com relação aos cursos de formação de professores, na tentativa de organizá-los,
entrou em vigor a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 4.024, de 1961, e o Parecer nº
292, de 14 de novembro de 1962, que estabelece currículos mínimos para as Licenciaturas.
Nas décadas de 70 e 80, com a popularização do ensino, houve crescente demanda de
profissionais da educação, inclusive de professores de Matemática. Conseqüentemente,
ocorreu aumento na oferta de cursos de Licenciatura, principalmente nas instituições
particulares.
Para as Licenciaturas em Matemática, foram estabelecidas, além de disciplinas
comuns às do bacharelado, como Geometria Analítica, Cálculo Numérico, Cálculo
Diferencial e Integral e Álgebra, as disciplinas chamadas pedagógicas: Psicologia da
Educação, Didática, Prática de Ensino e Estágios Supervisionados. Os alunos dos cursos de
Licenciatura em Matemática deveriam ter, também, as disciplinas de Desenho Geométrico,
Geometria Descritiva e Fundamentos da Matemática, visando ao que futuramente iriam
ensinar.
É interessante notar que, inicialmente, a Álgebra foi introduzida na formação de
professores de Matemática para possibilitar conhecimento do professor sobre Álgebra, ou
seja, sem a intenção de, no decorrer dessa disciplina, discutir tópicos relacionados à atuação
do professor em sala de aula.
Em 1971, entrou em vigor a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 5692. Uma das
implicações dessa lei foi a transformação do Primário e do Ginásio em Primeiro Grau, do
Colegial (que abrangia também os cursos Técnicos e Normal) em segundo Grau e dos Cursos
Universitários em Terceiro Grau. Outro aspecto dessa lei foi o agrupamento das Licenciaturas
e das disciplinas a serem trabalhadas nas escolas em três conjuntos de habilitações:
Comunicação e Expressão, Estudos Sociais e Ciências. Neste último grupo estava inserida a
Licenciatura em Matemática, juntamente com a de Física, Química e Biologia. Essa mudança,
que pretendia a interdisciplinaridade, não foi bem sucedida na escola. Encontrou resistência
por parte dos professores, principalmente os de Matemática, por questões utilitárias ( não
queriam abrir mão dos conteúdos programáticos que estavam acostumados a trabalhar) e por
questões concernentes a obstáculos epistemológicos (não dominavam questões de
interdisciplinaridade entre essas Ciências).
As legislações posteriores, principalmente a Lei de Diretrizes e Bases da Educação no
9394 de 1996, bem como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), trouxeram para o
ensino a preocupação de, a partir de experiências vividas pelo aluno, iniciá-lo, gradualmente,
no conhecimento científico. Um exemplo é a sugestão dada pelos PCNs para trabalhar o
pensamento algébrico.
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (BRASIL, 1997, p. 117).
Para a Álgebra, os PCNs sugerem aos professores o trabalho com a investigação de
padrões e sucessões numéricas, para que possam dessa maneira, identificar as estruturas,
construir a linguagem algébrica para, posteriormente, expressá-la por símbolos. Ao fazer isso,
o professor possibilitará a construção da idéia de Álgebra como “a linguagem que expressa
regularidades” (BRASIL, 1997, p.117). O que os PCNs propõem é, no decorrer da Educação
Básica, uma abertura à abstração algébrica formal, sendo esta prioridade de alguns cursos de
nível superior.
Atualmente está em vigor na educação nacional o PNE (Plano de Desenvolvimento da
Educação). No que se refere à formação de professores, ele apresenta a preocupação com a
falta de profissionais para todas as áreas, principalmente para a Matemática. Com o fim de
suprir a necessidade de profissionais, o PNE propõe a criação de cursos de Licenciatura em
Matemática noturnos em Universidades Públicas, incentivo às Universidades particulares,
para que elas também criem cursos de Licenciatura ou aumentem as vagas nos que já existem
e incentivem a formação de professores a distância. A preocupação que existe não é com a
qualidade dos cursos, mas, sim, em mudar os números que mostram uma preocupante
defasagem do quantitativo de professores formados para os próximos anos.
Entender as crises e as mudanças na legislação brasileira é importante para a
compreensão de como o ensino e, em especial neste estudo, como a Álgebra se apresenta na
Educação hoje. Nos próximos capítulos focaremos a Álgebra e a formação de professores de
Matemática partindo do discurso de professores que trabalham com essa disciplina nos cursos
de Licenciatura em Matemática, na microrregião de Porto Alegre, no Estado do Rio Grande
do Sul.
Capítulo – II
EXPLICITAÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE PESQUISA
A meta dessa pesquisa é estudar as concepções de alguns professores de Álgebra,
do curso de Licenciatura em Matemática da Mesorregião de Porto Alegre, do Estado do
Rio Grande do Sul, revelam sobre Álgebra e seu ensino no curso de formação de
professores, bem como compreender o modo como estudam e trabalham com seus alunos,
os quais futuramente serão professores de Matemática.
Este estudo tem como norte a seguinte interrogação: como os professores de
Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática compreendem a Álgebra e como a
trabalham, em termos de conteúdo e prática pedagógica? Compreendemos que a
interrogação interroga a própria concepção de Álgebra dos professores dessa disciplina nos
cursos de Licenciatura em Matemática, assim como a prática por eles realizada ao
ensinarem Álgebra.
De acordo com o referencial fenomenológico, a pesquisa foi desenvolvida segundo
uma modalidade qualitativa, pois não buscamos por generalização estatística, princípios e
leis do que foi sendo investigado. A meta é compreender o fenômeno em destaque situado
nessa microrregião caminhando em direção à generalidade do compreendido e
interpretado, à luz da interrogação formulada, dos autores estudados e dos depoimentos
interpretados e analisados. (MARTINS & BICUDO, 1989).
Conforme já mencionamos na introdução, iniciamos o desenvolvimento desta
investigação com o intuito de abranger toda a Mesorregião de Porto Alegre, por entender
tratar-se de um centro dos mais importantes do Estado do Rio Grande do Sul, por
concentrar grande parte dos recursos econômicos do estado, por abarcar as Universidades
mais antigas e significativas, em termos de pesquisa e de ensino do Rio Grande do Sul.
Consideramos essa Mesorregião como um centro dinamizador de desenvolvimento,
tornando relevante uma investigação de aspectos referentes à Educação.
Uma vez escolhida a Mesorregião para a realização do estudo, fizemos um
levantamento das Universidades e Institutos de Educação aí instalados e que, dentre seus
cursos, oferecem o de Licenciatura em Matemática. Esta Mesorregião é composta por 22
municípios, nos quais há 68 Universidades e Institutos de Ensino Superior. Desses, 08
oferecem o curso de Licenciatura em Matemática na modalidade presencial. O quadro
abaixo apresenta o levantamento:
*Universidades da microrregião de Porto Alegre
Município Universidades Universidades com o curso de Licenciatura em Matemática
Alvorada 2 0 Araricá 0 0 Cachoeirinha 3 0 Campo Bom 0 0 Canoas 5 2 Eldorado do Sul 0 0 Estância Velha 0 0 Esteio 1 0 Glorinha 0 0 Gravataí 1 0 Guaíba 2 1 Mariana Pimentel 0 0 Nova Hartz 0 0 Nova Santa Rita 0 0 Novo Hamburgo 1 0 Parobé 0 0 Porto Alegre 50 4 São Leopoldo 2 1 Sapiranga 0 0 Sapucaia do Sul 0 0 Sertão Santana 0 0 Viamão 1 0 Total 68 8
Ao realizar o levantamento das Instituições de Ensino Superior presentes na
Mesorregião de Porto Alegre que dentre seus cursos ofereciam o de Licenciatura em
Matemática, constatamos que todas, exceto a FUNDASU29, tinham pelo menos um campus
na microrregião30 de Porto Alegre, razão pela qual redimensionamos o trabalho para essa
microrregião.
Após a realização desse levantamento, entramos em contato com as 08 instituições
que ofereciam o curso de Licenciatura em Matemática e pedindo informações sobre
29 Fundação de Ensino superior da Região Centro-Sul. 30A microrregião de Porto Alegre é composta pelos municípios de Alvorada, Araricá, Cachoeirinha, Campo Bom, Canoas, Eldorado do Sul, Estância Velha, Esteio, Glorinha, Gravataí, Guaíba, Mariana Pimentel, Nova Hartz, Nova Santa Rita, Novo Hamburgo, Parobé, Porto Alegre, São Leopoldo, Sapiranga, Sapucaia do Sul, Sertão Santana e Viamão.
professores que nelas ministravam a disciplina de Álgebra no curso de Licenciatura em
Matemática, assim como possibilidades de contatá-los.
Obtivemos o nome e o endereço eletrônico de 18 professores, com os quais
entramos em contato, explicando os objetivos da pesquisa e convidando-os a participar da
mesma. Desses dezoito, nove se dispuseram a participar. Além disso, a coleta de dados
coincidiu com o Congresso Internacional de Ensino da Matemática (CIEM), realizado no
mês de outubro de 2007. Nesse evento, encontramos duas outras professoras que também
estavam vinculadas às Instituições de Ensino em estudo e aceitaram participar das
entrevistas, de modo que para a elaboração desta pesquisa contamos com a participação de
onze professores. Definidos os sujeitos, a coleta dos depoimentos foi efetuada por
intermédio de entrevista, na qual apresentamos a seguinte pergunta disparadora: Qual a
relevância da Álgebra para a formação de professores de Matemática? No decorrer do
diálogo mantido ‘entre-vistas’31, algumas outras perguntas foram se impondo como
importantes como: quais conteúdos de Álgebra consideravam importantes serem
trabalhados na Licenciatura em Matemática e por que viam esses conteúdos como
relevantes?
As questões apresentadas dessa maneira podem ser classificadas como abertas,
pois possibilitam ao entrevistado liberdade na escolha do caminho que dará ao seu
discurso, ou seja, não traz em sua apresentação uma direção a seguir.
Com as entrevistas gravadas, efetuamos a transcrição para iniciar a análise dos
depoimentos. A transcrição consiste em escrever o discurso em forma de texto, mantendo
fidelidade ao dito dos sujeitos, evitando julgamentos e análises, portanto, essa tarefa “não
se fundamenta em idealizações, em imaginações, em desejos, nem é um trabalho realizado
na subestrutura dos objetos descritos” (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 47). Esse modo
de proceder não aceita o confronto dos dados com teorias explicativas da realidade, porque
considera sempre a expressão da experiência vivida pelo sujeito de modo contextualizado.
Os textos provenientes das transcrições das entrevistas foram lidos várias vezes,
para que nos familiarizássemos com os discursos e compreendêssemos o que ali se
destacava da perspectiva da interrogação formulada. Selecionamos das transcrições alguns
trechos dos depoimentos que respondiam a questão norteadora, os quais chamamos de
‘unidades significativas’.
31 Diálogo mantido entre a pesquisadora e o(a) professor(a) sujeito da pesquisa.
As unidades significativas foram encontradas mediante um procedimento de
redução32. Identificadas as ‘unidades significativas’, iniciamos a análise interpretativa.
Esse movimento ocorreu em dois momentos: o da análise ideográfica33, que consiste em
efetuar a análise interpretativa das unidades significativas de cada discurso, ou seja, dos
depoimentos tomados em sua individualidade e o da análise nomotética34, que vai ao
encontro das convergências evidenciadas nos discursos dos professores no decorrer das
entrevistas.
Continuando o movimento do pensar analítico e reflexivo, procedemos às reduções
sucessivas em busca de convergências entre seus significados e encontramos o que
chamamos de “primeiras reduções”. Finalizamos essa fase de análise com a construção de
uma matriz ideográfica, que pudesse expor o caminho das superposições das unidades
significativas para as articulações que possibilitassem apontar convergências mais
abrangentes que aquelas primeiras encontradas. Posteriormente, na análise nomotética
continuamos com o procedimento de redução, articulando significados mais abrangentes
de modo a obter os invariantes do fenômeno estudado, ou categorias abertas. De acordo
com Martins & Bicudo (1989, p. 47), esses invariantes são
[...] constructos que apresentam grandes convergências de unidades de significados, já analisadas e interpretadas. Indicam os aspectos estruturantes do fenômeno investigado e abrem-se à metacompreensão, considerando a interrogação, o percebido, o analisado, o diálogo estabelecido na intersubjetividade autor/sujeitos/autores/região de inquérito.
As categorias abertas indicam a estrutura do fenômeno em estudo, ou seja, o que se
apresentou de comum e significativo no discurso dos professores, à luz da interrogação
orientadora desta pesquisa.
Com o objetivo de buscar e explicitar a compreensão das convergências,
interpretamos as categorias abertas, o que nos permitiu uma compreensão de como a
Álgebra se mostra nos cursos de formação de professores de Matemática na microrregião
de Porto Alegre, no estado do Rio Grande do Sul. Essa tarefa foi possibilitada pela
articulação do analisado e do compreendido, exposta em uma tessitura, compondo um
discurso inteligível. O discurso é mantido pela interrogação norteadora da pesquisa, pelas
32 “Redução fenomenológica é o movimento que se inicia com a interrogação e que vai avançando na direção de revelar o percebido” (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 47). 33 De acordo com Bicudo (2000, p. 92), ideográfica significa representação de idéias. 34 O termo nomotético deriva-se de nomos que significa uso de leis [...] elaboração de leis. (MARTINS & BICUDO, 1989, p. 105).
falas dos professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática, pelo que é
promulgado na legislação vigente, pelo que é exposto na literatura e que converge com o
tema dessa pesquisa e por nossas compreensões e interpretações, junto com os autores
lidos e com os depoentes, em um esforço intencional, compreendendo o fenômeno
estudado.
Capítulo – III
O CAMINHO DE ANÁLISE DOS DADOS
Nesse capítulo apresentamos os dados da pesquisa e a análise ideográfica dos
mesmos.
Análise Ideográfica
Conforme que já dissemos no capítulo II, a análise ideográfica consiste em efetuar a
análise interpretativa das unidades significativas de cada discurso, ou seja, dos
depoimentos tomados em sua individualidade.
Nesse momento da análise, iniciamos com a apresentação dos discursos dos
professores de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática, da Mesorregião de
Porto Alegre, no estado do Rio Grande do Sul.
A fala dos professores decorre da entrevista, gravada, realizada pela pesquisadora,
que teve como pergunta disparadora a seguinte questão: qual é a relevância da Álgebra
para a formação de professores de Matemática? A gravação foi transcrita, transformando-
se em texto escrito, o qual foi objeto das análises que seguem.
O caminho percorrido nessa fase de análise pode ser dividido em dois momentos: a
construção das tabelas de cada entrevista e a construção da matriz ideográfica.
Tratamento dos dados
Após a leitura atenta dos textos constituídos pela fala dos professores entrevistados,
sempre direcionada pela questão norteadora dessa pesquisa (como os professores de
Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática compreendem a Álgebra e como a
trabalham, em termos de conteúdo e prática pedagógica?) destacamos passagens do texto
que se mostraram significativos no decorrer da leitura. Os quadros das análises das
entrevistas são organizados em quatro colunas. Na primeira coluna apresentamos as
unidades significativas destacadas no discurso dos depoentes. Na segunda coluna
buscamos a compreensão de tais unidades. Na terceira, iniciamos as primeiras
interpretações do que foi dito pelos sujeitos. E na quarta coluna apresentamos as
convergências evidenciadas nas unidades significativas.
As unidades significativas são recortes do discurso dos depoentes, que respondem a
questão norteadora dessa pesquisa. Ao todo destacamos 207 unidades significativas, as
quais foram enumeradas, por questão de organização e, também, porque dessa maneira,
podemos voltar a elas, considerando o contexto em que foram extraídas. Por exemplo: a
unidade significativa identificada pelo número 1.1 é a primeira unidade da entrevista 1, a
unidade significativa 1.8 é a oitava unidade da entrevista 1, a unidade significativa 7.3 é a
terceira unidade da entrevista 7. A partir das 207 unidades significativas destacadas e
interpretadas, passamos ao movimento de redução35. Na quarta coluna estão as 50
primeiras reduções efetuadas nesse movimento que leva à redução transcendental36.
Assim, são apresentadas 50 proposições que agrupam sentido, compreendidas como
passíveis de serem reunidas.
As 50 primeiras reduções são apresentadas na matriz ideográfica. Essa matriz é
construída com o intuído de facilitar a visualização das convergências das unidades
significativas.
A matriz ideográfica é estruturada em 10 colunas. Na primeira estão as 50
primeiras reduções e nas demais, a numeração correspondente a cada entrevista. No
cruzamento das reduções com as entrevistas mostramos onde podemos encontrar cada
unidade significativa. Para exemplificar37, observamos a primeira unidade, ‘O que a
Álgebra faz?’, está presente:
• na entrevista 1, nas unidades significativas no 1.1 e 1.4.
• na entrevista 9, nas unidades significativas no 9.4, 9.6 e 9.7.
A escolha das 50 primeiras reduções é fruto da compreensão e interpretação das
unidades significativas observadas na fala dos professores.
35 “Pela redução, os atos da consciência expõem-se, ou seja, toma-se ciência deles de modo que, pela reflexão, seu componente, são explicitadas as raízes cognitivas das próprias afirmações (BICUDO, 1999, p. 22). 36 O procedimento de redução transcendental tem sua origem nas obras de Husserl. Por meio da redução transcendental “se põe entre parêntese a própria existência da consciência. Com isso a consciência volta-se a si mesma e, em vez de tender para o que se dá a ela tende para si em sua pureza intencional”. (Dicionário de Filosofia, disponível em www.apfilosofia.org/links/index.htm)”. 37 Ver na matriz ideográfica
Na seqüência do texto apresentamos as nove entrevistas e respectivas tabelas, com
as primeiras articulações. Esse capítulo é finalizado com apresentação da matriz
ideográfica.
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., qu
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Se o
alu
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, nã
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28,
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tmét
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Gen
eral
izar
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senv
olve
r(-s
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difu
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(-se
), p
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gar(
-se)
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nten
der :
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idéi
a cl
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de;
com
pree
nder
, pe
rceb
er.
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l ou
pr
átic
o em
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rer,
pen
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Int
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etar
. O
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, pe
rceb
er.
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de
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r-se
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se.
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boa
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Che
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ia.
Tom
ar c
onhe
cim
ento
com
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tori
dade
co
mpe
tent
e. D
izer
res
peit
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2.8
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L
icen
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ura
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Mat
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ndid
a co
mo
gene
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a.
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Álg
ebra
é.
2.9
[...]
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isci
plin
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ebra
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ca
mai
s ou
m
enos
lá
pe
lo
6º
sem
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que
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utur
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algé
bric
as.
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co
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mo”
.
2.9
Por
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sem
estr
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tuda
as
es
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al
gébr
icas
.
O q
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Álg
ebra
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uda.
2.10
[...
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cas
o da
Álg
ebra
Lin
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deve
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ter
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lina
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prof
esso
r tr
abal
hará
com
os
cont
eúdo
s do
Ens
ino
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amen
tal e
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io.
2.10
A
Á
lgeb
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Lin
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os
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dos
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emát
ica
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abal
hada
a
Álg
ebra
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rso
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Lic
enci
atur
a
2.11
E a
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tu
vais
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um
sis
tem
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near
, de
veri
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amen
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ção
sens
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l pe
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hos,
po
r in
term
édio
da
luz,
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m o
s ho
men
s e
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ais
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rela
ção
com
o
mun
do
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rno.
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lgeb
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rent
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ebra
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alm
ente
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eren
te a
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rize
s.
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oria
lmen
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es.
2.11
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r co
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ma
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deve
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dá-l
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exto
s m
atem
átic
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Com
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prof
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r tr
abal
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lgeb
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2.12
[...
] el
e po
de t
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s vá
rias
vis
ões
Cam
pos
sem
ânti
cos:
há
vá
rios
2.
12 Q
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no d
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rso
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Com
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prof
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r tr
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ha
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que
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nem
ca
mpo
s se
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tico
s. N
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duca
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Mat
emát
ica
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ção
mai
s co
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é ap
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Se
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(199
9, p
. 88
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S)
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la
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...].
2)
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ução
de
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men
to é
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ito,
pro
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a
mes
ma
enun
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ão
com
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mes
ma
just
ific
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[.
..].
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com
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abso
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cons
titu
em u
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prod
uzo
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ific
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nhec
imen
to [
...].
É n
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ão d
e si
gnif
icad
os
que
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titu
em
os
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tos.
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rodu
ção
de s
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fica
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enci
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long
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seu
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ão,
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rent
es
mod
os
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pree
nder
o m
esm
o co
ncei
to,
ele
atri
bui
dife
rent
es s
igni
fica
dos
a es
te
conc
eito
.
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ipli
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lgeb
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2.13
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o co
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amen
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cia
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e
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pe
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be
m
cond
uzir
os
ho
men
s.
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cípi
os,
mét
odos
e
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os,
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2.13
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ra
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a é
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M
atem
átic
a.
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do
e m
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átic
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2.
14
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tal
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édio
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a tr
abal
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al,
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al:
Que
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ar in
form
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de, e
star
a p
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ecim
ento
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; co
nhec
er:
Com
pree
nder
ou
pe
rceb
er
um
fato
, um
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rdad
e: S
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ou
de
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imen
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T
er
conh
ecim
ento
prá
tico
de
algu
ma
cois
a ou
pos
suir
hab
ilida
de n
ela.
2.14
Ape
sar
de n
ão s
er n
eces
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pr
ofes
sor
de
Ens
ino
Fund
amen
tal
e M
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tra
balh
ar c
om a
con
stru
ção
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de
po
linô
mio
s,
ele
prec
isa
conh
ecê-
la.
O q
ue é
im
port
ante
o a
luno
do
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica
sabe
r.
2.15
Mui
tas
veze
s, o
alu
no c
hega
lá n
o es
tági
o e
ele
só t
em a
vis
ão q
ue e
le j
á vi
u no
Ens
ino
Fund
amen
tal
e M
édio
e
não
com
o q
ue e
le d
ever
ia s
aber
a
mai
s pa
ra p
oder
ens
inar
.
2.
15
O
alun
o do
cu
rso
de
Lic
enci
atur
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uita
s ve
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che
ga n
o es
tági
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l e M
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icos
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o
conh
ecim
ento
do
al
uno
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Lic
enci
atur
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Mat
emát
ica.
2.16
[...
] os
alu
nos
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Álg
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e va
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rela
tivo
da
s co
isas
. Q
uant
ia,
som
a,
tota
l.
2.16
Na
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ião
das
prof
esso
ras,
os
alun
os d
o cu
rso
de L
icen
ciat
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Mat
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scip
lina
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Álg
ebra
impo
rtan
te.
Na
opin
ião
dos
prof
esso
res,
os
alun
os n
ão v
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rtân
cia
da
Álg
ebra
pa
ra
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em M
atem
átic
a.
2.17
E a
Álg
ebra
, [...
] os
alu
nos
acha
m
que
não
serv
e pa
ra n
ada.
Não
se
rve
para
na
da:
não
tem
ut
ilida
de.
2.17
Na
opin
ião
das
prof
esso
ras,
os
alun
os n
ão c
ompr
eend
em a
uti
lida
de
da d
isci
plin
a de
Álg
ebra
no
trab
alho
do
pr
ofes
sor
de
Mat
emát
ica
na
Edu
caçã
o B
ásic
a.
Na
opin
ião
dos
prof
esso
res,
os
alun
os n
ão v
êem
a i
mpo
rtân
cia
da
Á
lgeb
ra
para
cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
Mat
emát
ica
Ent
revi
sta
3
A e
ntre
vist
a 3
é co
mpo
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pela
exp
ress
ão d
a co
mpr
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ão d
e um
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e Á
lgeb
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nde
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rem
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lgeb
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um
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s po
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cipl
inas
que
tem
um
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lica
bilid
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imen
sa.]
Ent
ão é
um m
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to d
e tu
con
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ostr
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para
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dive
rsas
tur
mas
que
eu
trab
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, qu
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só M
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átic
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em E
ngen
hari
a, t
em F
ísic
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em
Quí
mic
a, t
em u
ma
gam
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tur
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que
[tu
ten
s qu
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ostr
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e M
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ific
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luno
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atem
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u m
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enha
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nto
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elet
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para
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soal
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bora
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uma
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Tu
cons
egue
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mos
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enos
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lica
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ão,
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icul
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co
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rial
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Mat
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17
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tant
o al
ém d
e se
us a
luno
s.]
Pes
quis
ador
a: P
or q
ue é
impo
rtan
te o
pro
fess
or s
aber
Álg
ebra
par
a el
e se
r um
bom
pro
fess
or?
Prof
esso
ra:
Olh
a, p
orqu
e eu
acr
edit
o qu
e [a
Álg
ebra
, el
a dá
um
a ha
bili
dade
bas
tant
e gr
ande
de
rela
cion
ar o
s fa
tos]
. [P
elo
raci
ocín
io
lógi
co q
ue e
la d
esen
volv
e na
quel
e es
tuda
nte,
naq
uele
fut
uro
prof
esso
r].
Nem
só
de M
atem
átic
a, m
as [
...],
[to
do e
stud
ante
de
uma
form
a ou
outr
a es
tá v
incu
lado
a C
iênc
ia],
ent
ão e
u ac
ho q
ue s
eria
sup
er im
port
ante
ess
a pa
rte
da M
atem
átic
a. P
or e
xem
plo,
ass
im, [
ele
pode
ria
ter
uma
disc
iplin
a co
m p
ouco
con
teúd
o. P
ode
ser
teor
ia d
os c
onju
ntos
, aon
de e
le v
ai a
pren
der
uniã
o de
con
junt
os, i
nter
secç
ão d
e co
njun
tos,
dif
eren
ças
de c
onju
ntos
, on
de e
le v
ai a
pren
der
a tr
abal
har
com
índ
ices
, co
m i
nduç
ão m
atem
átic
a e
tal
e, a
par
tir
dali,
ele
rel
acio
nar
esse
s fa
tos,
sab
er
dem
onst
rar
pequ
enas
coi
sas]
. E a
í, en
tão,
eu
diri
a as
sim
: ele
est
aria
den
tro
dess
e co
nhec
imen
to, d
e re
laci
onar
os
fato
s.
E u
ma
cois
a qu
e eu
não
fal
ei e
que
[eu
ach
o im
port
ante
, os
alun
os d
e ho
je e
m d
ia, e
m q
uase
toda
s as
Uni
vers
idad
es e
stud
am, o
s al
unos
de L
icen
ciat
ura,
ser
ia c
onhe
cer
Álg
ebra
Lin
ear]
. [Po
rque
hoj
e em
dia
com
a C
iênc
ia d
a co
mpu
taçã
o, h
oje
em d
ia f
azem
o m
odel
o m
atem
átic
o
de m
uita
s si
tuaç
ões
conc
reta
s co
m u
ma
gran
de q
uant
idad
e de
dad
os n
ão é
, ent
ão [
esse
fut
uro
prof
esso
r ap
rend
eria
a l
idar
com
as
mat
rize
s, a
sabe
r or
gani
zar
aque
les
cont
eúdo
s e,
de
novo
est
udar
um
a es
trut
ura
de e
spaç
o ve
tori
al e
tal,]
isso
é u
ma
cois
a as
sim
que
[...
].
[A Á
lgeb
ra L
inea
r re
ssus
cito
u um
pou
quin
ho m
ais
mod
erna
men
te.
Ela
é u
ma
disc
iplin
a an
tiga,
mas
que
hoj
e el
a ve
m c
om n
ovas
prop
osta
s e
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que
fica
bas
tant
e in
tere
ssan
te d
entr
o do
con
teúd
o at
ual.]
Ent
ão,
eu a
cho
isso
mui
to i
mpo
rtan
te.
E [
tudo
iss
o se
for
tifi
ca c
om
aque
la i
déia
ini
cial
que
eu
fale
i, se
ess
e pr
ofes
sor
tem
um
bom
em
basa
men
to d
a te
oria
da
Álg
ebra
, no
sent
ido
assi
m d
e re
laci
onar
os
fato
s eu
acho
que
ele
fic
aria
bem
pre
para
do.]
Pes
quis
ador
a: Q
uais
são
os
cont
eúdo
s de
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ebra
rel
evan
tes
para
a f
orm
ação
do
prof
esso
r de
Mat
emát
ica?
Por
que
esse
s co
nteú
dos
são
impo
rtan
tes?
Pro
fess
ora:
Aí,
send
o be
m o
bjet
iva
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é co
loca
ndo
na o
rdem
ade
quad
a qu
e eu
acr
edito
. Um
cur
so in
icia
l que
pod
eria
ser
um
cur
so d
e
intr
oduç
ão à
Álg
ebra
, qu
e tr
atar
ia u
m p
eque
no c
onte
údo
mat
emát
ico,
por
ém u
ma
gran
de r
elaç
ão e
ntre
os
fato
s. [
Ali
pod
eria
até
est
udar
funç
ões,
mas
sab
er,
diga
mos
ass
im,
trab
alha
r co
m a
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ebra
das
pro
posi
ções
, sa
ber
dem
onst
rar
pequ
enas
coi
sas,
ter
o d
isce
rnim
ento
de
se
com
unic
ar m
atem
atic
amen
te.]
Par
a is
so p
oder
ia u
sar
a te
oria
dos
con
junt
os, p
oder
ia u
sar
funç
ões,
pod
eria
usa
r in
duçã
o m
atem
átic
a. E
ntão
são
prob
lem
as q
ue s
eria
m b
asta
nte
adeq
uado
. [N
um s
egun
do m
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to e
le p
oder
ia e
stud
ar A
ritm
étic
a qu
e se
ria
mai
s in
loc
o aq
uele
s co
nteú
dos
que
ele
vai l
ecio
nar]
. E [
num
terc
eiro
mom
ento
um
a di
scip
lina
que
seri
a m
ais
para
a c
ultu
ra d
o pr
ofes
sor]
, que
ele
est
udar
ia a
lém
daq
uilo
que
ele
pass
aria
par
a o
alun
o, q
ue p
oder
ia s
er t
eori
a da
s es
trut
uras
.] [
E m
ais
um c
urso
de
Álg
ebra
Lin
ear,
que
hoj
e em
dia
é i
mpo
rtan
te p
elas
aplic
açõe
s qu
e tr
az. P
ara
um c
urso
de
Lic
enci
atur
a eu
pen
so m
ais
ou m
enos
isso
].
Com
entá
rios
fin
ais.
Pro
fess
ora:
Fal
ando
mai
s pr
ecis
amen
te n
um c
urso
que
eu
acre
dito
que
pod
eria
ser
um
bom
pri
mei
ro c
urso
de
[Álg
ebra
par
a a
Lic
enci
atur
a. Q
uand
o se
fal
a em
ens
inar
a t
eori
a do
s co
njun
tos,
não
ser
ia a
pena
s de
senv
olve
r os
con
ceito
s de
uni
ão d
e co
njun
tos,
int
erse
cção
de c
onju
ntos
, dif
eren
ça. S
eria
um
a co
isa
mui
to m
aior
que
iss
o. P
aral
elam
ente
o a
luno
se
dedi
cari
a a
apre
nder
a d
emon
stra
que
stõe
s si
mpl
es.]
Com
o [.
..],
vou
cita
r um
exe
mpl
o, d
igam
os q
ue t
enha
um
a pr
opos
ição
. C
omeç
a po
r aí
[O
alu
no d
ever
ia s
aber
o q
ue s
eria
um
a pr
opos
ição
,
sabe
r a
dife
renç
a do
que
é u
ma
prop
osiç
ão e
do
que
é um
a se
nten
ça, o
que
é u
ma
vari
ável
, coi
sa q
ue, a
s ve
zes,
num
cur
so m
ais
adia
nte
a ge
nte
já p
ré-s
upõe
con
heci
do].
Ent
ão, c
omeç
a po
r aí
. Dig
amos
que
o a
luno
tenh
a na
teor
ia d
os c
onju
ntos
um
a pr
opos
ição
sim
ples
, do
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ass
im: s
e
A e
stá
cont
ido
em B
, ent
ão, A
inte
rsec
ção
B é
igua
l a A
. O a
luno
olh
a e
diz:
bom
é m
uito
fác
il de
dem
onst
rar
e el
e fa
z um
des
enho
. [E
u es
tou
fala
ndo
de u
ma
cois
a um
pou
co a
lém
. Eu
gost
aria
que
nes
sa p
ropo
siçã
o, o
alu
no t
ives
se t
odo
o di
scer
nim
ento
do
que
é a
hipó
tese
, do
que
é a
tese
e d
e co
mo
ele
pode
ria
prov
ar e
ssa
tese
.]. P
or e
xem
plo,
ent
ão, e
le s
aber
ia q
ue p
oder
ia d
emon
stra
r es
sa p
ropo
siçã
o si
mpl
es c
om u
ma
prov
a
dire
ta,
ele
pode
ria
usar
pro
va p
or c
ontr
a-po
siti
va,
nega
r a
tese
e t
enta
r ch
egar
num
abs
urdo
, e
mai
s, q
ue e
le s
oube
sse
com
des
envo
ltur
a [.
..]
que
ele
soub
esse
esc
reve
r es
sa d
emon
stra
ção.
E a
í si
m,
eu a
cred
ito q
ue s
eria
um
cur
so q
ue,
apes
ar d
o co
nteú
do s
er u
m p
ouco
fác
il, o
cur
so,
para
um
pri
mei
ro c
urso
, po
deri
a se
r ba
stan
te d
ifíc
il pa
ra a
quel
e al
uno.
Mas
eu
acho
que
ao
conc
luir
aqu
ele
curs
o el
e fi
cari
a et
erna
men
te
grat
ific
ado.
[Eu
acho
iss
o um
a co
sia
mai
or d
a Á
lgeb
ra d
entr
o de
um
cur
so d
e L
icen
ciat
ura .
Ah!
Pos
so e
xem
plif
icar
? C
laro
que
eu
não
esto
u
dand
o ên
fase
no
cont
eúdo
, eu
est
ou d
ando
ênf
ase
no d
esen
volv
imen
to,
eu d
iria
ass
im,
a Á
lgeb
ra d
as p
ropo
siçõ
es,
a M
atem
átic
a de
ntro
dos
cont
eúdo
s, P
oder
ia u
sar
a te
oria
dos
con
junt
os,
pode
ria
utili
zar
funç
ões,
pod
eria
usa
r a
indu
ção
mat
emát
ica,
tud
o is
so f
aria
par
te d
esse
cur
so
cham
ado
de c
urso
de
intr
oduç
ão à
Álg
ebra
.]
[E s
empr
e co
m a
ênf
ase
e o
obje
tivo
mai
or n
a co
mun
icaç
ão m
atem
átic
a de
ntro
do
curs
o e,
a ê
nfas
e m
enor
no
cont
eúdo
.] Q
uant
o m
enos
cont
eúdo
nes
se p
rim
eiro
cur
so, m
elho
r, q
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o m
ais
cois
as o
alu
no t
iver
que
dem
onst
rar
por
dive
rsas
for
mas
, sab
endo
dem
onst
rar
que
vári
as
prop
osiç
ões
são
equi
vale
ntes
, po
de u
sar
uma
fam
ília
de
conj
unto
s, p
ode
defi
nir
vari
ável
, po
de d
efin
ir p
ropo
siçã
o. P
oder
ia a
té c
itar
um
liv
ro
bem
ant
igo
que
trat
aria
des
se c
onte
údo,
que
é a
Teo
ria
Ele
men
tar
dos
Con
junt
os d
e E
dgar
de
Ale
ncar
Fil
ho,
que
é um
liv
ro q
ue d
eve
se
apre
sent
ar e
m to
das
as b
ibli
otec
as q
ue te
m a
lgum
con
teúd
o m
atem
átic
o e
que
se p
rest
a m
uito
bem
par
a es
se p
ropó
sito
.
Ent
revi
sta
04
Uni
dade
s Si
gnif
icat
ivas
In
terp
reta
ções
Ini
ciai
s A
sser
ções
na
lingu
agem
do
pesq
uisa
dor
Pri
mei
ras
Red
uçõe
s
4.1
[...]
nu
m
prim
eiro
cu
rso
de
Álg
ebra
, eu
ach
o im
pres
cind
ível
que
o
prof
esso
r, e
le t
enha
um
a di
scip
lina
qu
e dê
im
port
ânci
a,
não
tant
o ao
co
nteú
do,
mas
a f
orm
a co
mo
aque
les
pouc
os
cont
eúdo
s vã
o de
senv
olve
r.
Dig
amos
ass
im,
uma
habi
lidad
e de
ra
cioc
ínio
ló
gico
, de
pe
rcep
ção
dos
fato
s e,
tam
bém
, de
com
o el
e po
ssa
se
com
unic
ar m
atem
atic
amen
te.
Impr
esci
ndív
el:
De
que
não
se p
ode
pres
cind
ir; n
eces
sári
o, in
disp
ensá
vel.
Impo
rtân
cia:
Qua
lida
de d
e im
port
ante
. A
utor
idad
e,
cons
ider
ação
, cr
édit
o,
infl
uênc
ia.
Gra
nde
valo
r re
lati
vo
das
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as. Q
uant
ia, s
oma,
tota
l.
For
ma:
fig
ura
ou a
spec
to e
xter
ior
dos
corp
os m
ater
iais
. Mod
o so
b o
qual
um
a co
isa
exis
te
ou
se
man
ifes
ta.
Con
stit
uiçã
o,
mod
o pa
rtic
ular
de
se
r.
Mod
elo,
no
rma.
T
alhe
ou
fe
ição
da
le
tra.
Mod
o, m
anei
ra.
Ali
nham
ento
de
trop
as; f
orm
atur
a. A
spec
to s
ob o
qua
l se
apre
sent
a um
ter
mo
ou u
m e
nunc
iado
. C
arát
er
de
esti
lo
em
com
posi
ção
liter
ária
, mus
ical
ou
plás
tica
. Ter
mo
que
se
refe
re,
em
Ant
ropo
logi
a So
cial
, a
todo
s os
as
pect
os
de
um
com
plex
o cu
ltur
al,
cuja
s ex
pres
sões
po
dem
se
r ob
serv
adas
e
tran
smit
idas
de
um
a so
cied
ade
a ou
tra.
Mod
elo,
mol
de d
e qu
alqu
er c
oisa
. M
olde
par
a a
indú
stri
a de
cal
çado
ou
de c
hape
lari
a, o
u pa
ra a
fo
rmaç
ão d
e qu
alqu
er c
orpo
com
fei
tio
pree
stab
elec
ido.
M
olde
so
bre
que
ou
dent
ro d
e qu
e se
for
ma
qual
quer
coi
sa
que
lhe
tom
e o
feit
io.
Hab
ilida
de:
Qua
lida
de
de
hábi
l. C
apac
idad
e,
inte
ligê
ncia
. A
ptid
ão,
4.1
Em
um
pri
mei
ro c
urso
de
Álg
ebra
pa
ra
um
alun
o da
L
icen
ciat
ura
é ne
cess
ário
qu
e o
prof
esso
r nã
o dê
im
port
ânci
a à
quan
tidad
e de
con
teúd
o,
mas
sim
, ao
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o de
apr
esen
taçã
o e
dese
nvol
vim
ento
do
co
nteú
do.
É
prec
iso
dese
nvol
ver
no
alun
o ha
bili
dade
de
ra
cioc
ínio
, pe
rcep
ção
dos
fato
s e
poss
ibil
itar
que
ele
se
com
uniq
ue m
atem
atic
amen
te.
Para
quê
ens
inar
Álg
ebra
no
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica.
enge
nho.
Des
trez
a. A
stúc
ia, m
anha
. C
omun
icar
: Fa
zer
sabe
r;
part
icip
ar
Tor
nar
com
um;
tran
smit
ir.
Prop
agar
-se,
tr
ansm
itir
-se.
Peg
ar p
or c
ontá
gio.
Pega
r-se
, tr
ansm
itir
-se
por
cont
ágio
. D
ar.
Cor
resp
onde
r-se
, ter
rel
açõe
s.
4.
2 eu
col
ocar
ia i
sto
num
[...
] cu
rso
que
eu
cham
aria
de
in
trod
ução
à
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ebra
, qu
e o
prof
esso
r es
tuda
ria
[...]
,a
teor
ia d
o co
njun
tos
com
o o
cená
rio,
e q
ue a
par
tir
dali
o al
uno
ou
o pr
ofes
sor
pode
ria
ter
a o
opor
tuni
dade
de
estu
dar
[...]
Lóg
ica
Mat
emát
ica,
que
ele
pod
eria
ent
rar
em
cont
ato
com
di
vers
os
tipo
s de
de
mon
stra
ções
, de
mon
stra
ções
di
reta
s,
por
cont
ra-p
osit
iva,
po
r re
duçã
o ao
ab
surd
o,
que
ele
soub
esse
id
enti
fica
r pr
opri
edad
es
que
são
equi
vale
ntes
e
com
o el
e ab
orda
ria
isso
.
4.
2 Pa
ra u
m c
urso
de
Lic
enci
atur
a, a
pr
ofes
sora
su
gere
in
icia
r co
m
um
curs
o de
nom
inad
o In
trod
ução
à
Álg
ebra
. N
ele
o pr
ofes
sor
estu
dari
a te
oria
do
s co
njun
tos.
Po
r m
eio
da
teor
ia d
os c
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ntos
est
udar
ia L
ógic
a M
atem
átic
a e
entr
aria
em
con
tato
com
di
stin
tas
man
eira
s de
dem
onst
raçõ
es:
dem
onst
raçõ
es
dire
tas,
po
r co
ntra
-po
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port
ante
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mbé
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r tr
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Álg
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pa
ra
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rso
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Lic
enci
atur
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im
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cind
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qu
e o
prof
esso
r de
M
atem
átic
a te
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habi
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atem
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te.
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cind
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lida
de
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e,
inte
ligê
ncia
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ão,
enge
nho.
Des
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a. A
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ia, m
anha
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4.3
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cu
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Lic
enci
atur
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M
atem
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l qu
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atem
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mei
o pa
ra
dese
nvol
ver
a co
mun
icaç
ão
e a
leit
ura
da
Mat
emát
ica.
4.4
Ess
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a m
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im
port
ânci
a qu
e eu
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jo
para
um
cu
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Álg
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uênc
ia.
Gra
nde
valo
r re
lati
vo
das
cois
as. Q
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ia, s
oma,
tota
l.
4.4
O m
ais
impo
rtan
te p
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um c
urso
de
Á
lgeb
ra
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Lic
enci
atur
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M
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ofes
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te.
A
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ebra
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mei
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nvol
ver
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mun
icaç
ão
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ura
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Mat
emát
ica.
4.5
[...]
enq
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o al
uno
se e
le e
stud
ar
Óti
mo:
mui
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om; e
xcel
ente
; o m
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cu
rso
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a se
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isso
mui
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te, e
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acho
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rtan
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ível
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pode
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r ou
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mui
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onto
ond
e se
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m
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der.
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. Que
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cré
dito
s,
que
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nflu
ênci
a. Q
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em
mui
to
valo
r ou
pr
eço
notá
vel.
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, ne
cess
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ante
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e m
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num
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l.
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o pr
ofes
sor
de M
atem
átic
a.
bom
pro
fess
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e M
atem
átic
a.
4.6
[...]
um
pr
ofes
sor
que
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se
dedi
car
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Ens
ino
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amen
tal
ou
Ens
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Méd
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Álg
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alu
nos.
Ded
icar
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estin
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egar
, vo
tar,
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feto
ou
sacr
ifíc
io,
em f
avor
de.
O
fere
cer
por
dedi
caçã
o.
Pôr
sob
a pr
oteç
ão o
u in
voca
ção
de.
Dev
otar
-se,
of
erec
er-s
e ao
ser
viço
de,
sac
rifi
car-
se.
Des
tinar
. Ent
rega
r-se
.
4.6
É p
reci
so q
ue u
m f
utur
o pr
ofes
sor
que
se
dedi
cará
à
Edu
caçã
o B
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qu
e el
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alun
os.
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4.7
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e já
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basa
men
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atem
átic
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4.7
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Álg
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L
icen
ciat
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rtân
cia
da Á
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M
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4.8
[...]
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Álg
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Lic
enci
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enci
atur
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Mat
emát
ica
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ta
Álg
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Lic
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atur
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M
atem
átic
a sa
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4.9
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ante
um
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ceir
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] el
e es
tuda
ria
algu
ma
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os
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unos
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nflu
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mui
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notá
vel.
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,
4.9
É
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ciat
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men
te
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com
se
us
alun
os.
Mas
el
e se
ria
um
conh
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or.
4.10
[...
] el
e es
tuda
ria
mai
s a
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o a
ques
tão
das
estr
utur
as a
lgéb
rica
s.
4.
10
Ele
es
tuda
ria
mai
s a
fund
o a
ques
tão
das
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utur
as a
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s.
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te o
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Lic
enci
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M
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11 [
...]
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tões
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átic
a,
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surg
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, um
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, co
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, um
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e se
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s.
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nte:
Q
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tem
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a;
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o,
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ito,
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io.
Que
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heci
men
to
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lgum
a co
isa;
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orm
ado,
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eira
do,
sabe
dor.
A
nota
ção
feit
a em
co
mun
icad
os, p
ara
efei
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e co
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le d
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nhec
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de:
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con
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peri
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to,
prov
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Con
heci
men
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cois
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pr
átic
a ou
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ção.
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cau
telo
so e
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ovis
ório
. T
enta
tiva.
Pe
ríci
a,
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lidad
e qu
e se
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uire
m p
ela
prát
ica.
4.11
O
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ofes
sor
de
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emát
ica
deve
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ecer
com
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ras
de a
nel
e de
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e de
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Mat
emát
ica.
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im,
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adqu
irir
ia
mai
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imen
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qu
e co
nhec
er/s
aber
mai
s qu
e se
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uno.
Impo
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cia
das
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utur
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algé
bric
as..
4.12
[.
..]
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lgeb
ra,
ela
dá
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stan
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gran
de
de
rela
cion
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e,
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ligê
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. A
ptid
ão,
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nho.
Des
trez
a. A
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ia, m
anha
.
4.12
A
Á
lgeb
ra
poss
ibili
ta
o de
senv
olvi
men
to
de
habi
lida
de
para
re
laci
onar
fat
os.
Para
que
ser
ve a
Álg
ebra
.
4.13
Pel
o ra
cioc
ínio
lóg
ico
que
ela
dese
nvol
ve
naqu
ele
estu
dant
e,
naqu
ele
futu
ro p
rofe
ssor
.
4.
13
A
Álg
ebra
de
senv
olve
o
raci
ocín
io ló
gico
no
futu
ro p
rofe
ssor
. Pa
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a Á
lgeb
ra.
4.14
[.
..]
ele
pode
ria
ter
uma
4.
14 O
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e M
atem
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O q
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e Á
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nsin
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o
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ouco
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teúd
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ntos
, aon
de e
le v
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apre
nder
un
ião
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conj
unto
s,
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rsec
ção
de
conj
unto
s,
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renç
as
de c
onju
ntos
, on
de e
le v
ai a
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der
a tr
abal
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com
índ
ices
, co
m i
nduç
ão
mat
emát
ica
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l e,
a p
arti
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li, e
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rela
cion
ar
esse
s fa
tos,
sa
ber
dem
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rar
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coi
sas.
uma
disc
ipli
na c
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ouco
con
teúd
o.
Teo
ria
dos
Con
junt
os,
por
exem
plo.
O
nde
ele
vai
apre
nder
un
ião
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conj
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s,
inte
rsec
ção
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conj
unto
s,
dife
renç
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e co
njun
tos,
ond
e el
e va
i ap
rend
er a
tra
balh
ar c
om í
ndic
es, c
om
indu
ção
mat
emát
ica,
ap
rend
endo
as
sim
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r fa
tos
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emon
stra
r pe
quen
as c
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s.
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica.
4.15
[.
..]
eu
acho
im
port
ante
[.
..]
conh
ecer
Álg
ebra
Lin
ear.
Im
port
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Que
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ou
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ixar
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ende
r. D
igno
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apre
ço,
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stim
a, d
e co
nsid
eraç
ão. Q
ue te
m g
rand
es c
rédi
tos,
qu
e ex
erce
not
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luên
cia.
Que
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m
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útil,
de
mai
s pr
ovei
toso
nu
ma
pess
oa
ou
cois
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o es
senc
ial.
4.15
É i
mpo
rtan
te p
ara
o pr
ofes
sor
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Mat
emát
ica
conh
ecer
Álg
ebra
Lin
ear.
O
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e a
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ebra
L
inea
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e.
O q
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rtan
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alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber
mos
trar
.
4.16
Po
rque
ho
je
em
dia
com
a
Ciê
ncia
da
com
puta
ção,
hoj
e em
dia
fa
zem
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de
mui
tas
situ
açõe
s co
ncre
tas
com
um
a gr
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qu
anti
dade
de
da
dos,
en
tão
esse
fu
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pr
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sor
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nder
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a li
dar
com
as
m
atri
zes,
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gani
zar
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cont
eúdo
s e,
de
no
vo e
stud
ar u
ma
estr
utur
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esp
aço
veto
rial
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l.
4.
16 H
oje
em d
ia c
om a
Ciê
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Com
puta
ção,
pod
e se
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o m
odel
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situ
açõe
s. P
ara
o fu
turo
pro
fess
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e M
atem
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rtan
te
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nder
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lida
r co
m
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rize
s,
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orga
niza
r aq
uele
s co
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ura
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ço v
etor
ial.
O
que
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lgeb
ra
Lin
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perm
ite
mos
trar
.
4.17
A
Á
lgeb
ra
Lin
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scip
lina
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iga,
mas
que
hoj
e el
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m c
om n
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pro
post
as e
tal
, qu
e fi
ca
bast
ante
in
tere
ssan
te
dent
ro
do
4.
17
A
Álg
ebra
L
inea
r é
uma
disc
iplin
a an
tiga
, m
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mpo
rtan
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iênc
ias
O
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a Á
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Lin
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mos
trar
cont
eúdo
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al.
Com
puta
cion
ais.
4.
18 U
m c
urso
ini
cial
que
pod
eria
ser
um
cu
rso
de
intr
oduç
ão
à Á
lgeb
ra,
que
trat
aria
um
pe
quen
o co
nteú
do
mat
emát
ico,
po
rém
um
a gr
ande
re
laçã
o en
tre
os f
atos
.
Fat
os:
Coi
sa
ou
ação
fe
ita.
A
cont
ecim
ento
, su
cess
o. A
quilo
de
que
se t
rata
. O
que
é r
eal:
com
efe
ito,
esta
r ci
ente
, ser
sab
edor
.
4.18
Par
a o
curs
o de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a é
inte
ress
ante
ini
ciar
com
um
cu
rso
de
Intr
oduç
ão
a Á
lgeb
ra,
que
abor
da
pouc
o co
nteú
do,
mas
re
laci
ona
os f
atos
.
Com
o de
veri
a se
r tr
abal
hada
a
Álg
ebra
pa
ra
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a.
4.19
Ali
pode
ria
até
estu
dar
funç
ões,
[.
..]
trab
alha
r co
m
a Á
lgeb
ra
das
prop
osiç
ões,
sa
ber
dem
onst
rar
pequ
enas
coi
sas,
ter
o d
isce
rnim
ento
de
se
com
unic
ar m
atem
atic
amen
te.
Dis
cern
imen
to:
Ato
de
di
scer
nir.
Fa
culd
ade
de
disc
erni
r;
juíz
o,
ente
ndim
ento
, cr
itér
io.
Esc
ola,
di
stin
ção.
A
prec
iaçã
o.
Prud
ênci
a.
Perc
epçã
o sú
bita
de
uma
nova
rel
ação
no
de
curs
o de
um
a ex
peri
ênci
a;
na
psic
olog
ia d
a fo
rma,
pon
to d
ecis
ivo
de
uma
apre
ndiz
agem
.
4.19
Em
um
cur
so i
nici
al d
e Á
lgeb
ra
Lin
ear
para
um
a tu
rma
de
Lic
enci
atur
a em
Mat
emát
ica
pode
r-se
-ia
ini
ciar
com
o e
stud
o de
fun
ções
, tr
abal
har
com
a
Álg
ebra
da
s pr
opos
içõe
s,
apre
nder
a
faze
r de
mon
stra
ções
sim
ples
e a
pren
der
a se
co
mun
icar
mat
emat
icam
ente
.
Com
o de
veri
a se
r tr
abal
hada
a
Álg
ebra
pa
ra
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a.
4.20
N
um
segu
ndo
mom
ento
el
e po
deri
a es
tuda
r A
ritm
étic
a qu
e se
ria
mai
s in
loc
o aq
uele
s co
nteú
dos
que
ele
vai l
ecio
nar.
4.
20
Num
se
gund
o m
omen
to,
é im
port
ante
qu
e o
prof
esso
r es
tude
A
ritm
étic
a e
os c
onte
údos
que
ele
vai
en
sina
r.
Com
o de
veri
a se
r tr
abal
hada
a
Álg
ebra
pa
ra
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a.
4.21
[...
] nu
m t
erce
iro
mom
ento
um
a di
scip
lina
qu
e se
ria
mai
s pa
ra
a cu
ltur
a do
pro
fess
or[.
..].
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tura
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ção,
efe
ito,
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e ou
man
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de
cu
ltiva
r a
terr
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ce
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pl
anta
s.
Ter
reno
cu
ltiv
ado.
Pr
opag
ação
de
m
icro
rgan
ism
os o
u cu
ltiva
ção
de t
ecid
o vi
vo e
m u
m m
eio
nutr
itivo
pre
para
do.
Prod
uto
de t
al c
ultiv
ação
. O
mei
o ju
nto
com
o
mat
eria
l cu
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ado.
U
tiliz
ação
in
dust
rial
de
cert
as p
rodu
ções
nat
urai
s.
Apl
icaç
ão
do
espí
rito
a
uma
cois
a;
estu
do.
Des
envo
lvim
ento
qu
e,
por
cuid
ados
ass
íduo
s, s
e dá
às
facu
ldad
es
natu
rais
. D
esen
volv
imen
to
inte
lect
ual.
Adi
anta
men
to,
civi
liza
ção.
A
puro
, es
mer
o,
eleg
ânci
a. S
iste
ma
de
idéi
as,
conh
ecim
ento
s, t
écni
cas
e ar
tefa
tos,
de
padr
ões
de
com
port
amen
to
e at
itud
es
4.21
N
um
terc
eiro
m
omen
to
uma
disc
iplin
a qu
e se
ria
mai
s pa
ra
a C
ultu
ra M
atem
átic
a do
pro
fess
or.
Com
o de
veri
a se
r tr
abal
hada
a
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ebra
pa
ra
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a.
que
cara
cter
iza
uma
dete
rmin
ada
soci
edad
e.
4.22
[...
] el
e es
tuda
ria
além
daq
uilo
qu
e el
e pa
ssar
ia
para
o
alun
o,
que
pode
ria
ser
teor
ia d
as e
stru
tura
s [.
..].
4.
22 E
le e
stud
aria
alé
m d
aqui
lo q
ue
ele
ensi
nari
a o
alun
o,
pode
ria
ser
teor
ia d
as e
stru
tura
s.
Impo
rtân
cia
do
estu
do
das
estr
utur
as a
lgéb
rica
s.
Com
o de
veri
a se
r tr
abal
hada
a
Álg
ebra
pa
ra
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a.
4.23
[...
] E
mai
s um
cur
so d
e Á
lgeb
ra
Lin
ear,
que
hoj
e em
dia
é i
mpo
rtan
te
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s ap
lica
ções
qu
e tr
az.
Para
um
cu
rso
de L
icen
ciat
ura
eu p
enso
mai
s ou
men
os is
so [
...].
4.
23
E
mai
s um
cu
rso
de
Álg
ebra
L
inea
r, q
ue h
oje
em d
ia é
im
port
ante
pe
las
apli
caçõ
es q
ue t
em.
Ess
e é
o co
nhec
imen
to a
lgéb
rico
nec
essá
rio
ao
curs
o de
Lic
enci
atur
a em
Mat
emát
ica.
O
que
a Á
lgeb
ra
Lin
ear
perm
ite
mos
trar
.
4.24
Á
lgeb
ra
para
a
Lic
enci
atur
a.
Qua
ndo
se f
ala
em e
nsin
ar a
teo
ria
dos
conj
unto
s,
não
seri
a ap
enas
de
senv
olve
r os
con
ceit
os d
e un
ião
de
conj
unto
s,
inte
rsec
ção
de
conj
unto
s,
dife
renç
a.
Ser
ia
uma
cois
a m
uito
m
aior
que
iss
o. P
aral
elam
ente
o a
luno
se
ded
icar
ia a
apr
ende
r a
dem
onst
rar
ques
tões
sim
ples
.
4.
24 P
ara
a Á
lgeb
ra d
a L
icen
ciat
ura,
qu
ando
se
fala
em
ens
inar
a t
eori
a do
s co
njun
tos,
nã
o se
ria
apen
as
dese
nvol
ver
os c
once
itos
de
dife
renç
a un
ião
e in
ters
ecçã
o de
co
njun
tos.
Se
ria
uma
visã
o m
ais
ampl
a qu
e is
so.
Para
lela
men
te o
alu
no s
e de
dica
ria
a ap
rend
er
a de
mon
stra
r qu
estõ
es
sim
ples
.
O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
4.25
O a
luno
dev
eria
sab
er o
que
ser
ia
uma
prop
osiç
ão,
sabe
r a
dife
renç
a do
qu
e é
uma
prop
osiç
ão e
do
que
é um
a se
nten
ça,
o qu
e é
uma
vari
ável
, co
isa
que,
as
veze
s, n
um c
urso
mai
s ad
iant
e a
gent
e já
pré
-sup
õe c
onhe
cido
.
4.
25 O
alu
no d
o cu
rso
de L
icen
ciat
ura
em M
atem
átic
a de
veri
a sa
ber
o qu
e se
ria
uma
prop
osiç
ão,
sabe
r a
dife
renç
a do
que
é u
ma
prop
osiç
ão e
do
que
é u
ma
sent
ença
, o
que
é um
a va
riáv
el.
O q
ue o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a pr
ecis
a sa
ber.
4.26
Eu
esto
u fa
land
o de
um
a co
isa
um p
ouco
alé
m. E
u go
star
ia q
ue n
essa
pr
opos
ição
, o
alun
o ti
vess
e to
do
o di
scer
nim
ento
do
que
é a
hipó
tese
, do
que
é a
tes
e e
de c
omo
ele
pode
ria
prov
ar e
ssa
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. E
u ac
ho i
sso
um
a
Dis
cern
imen
to:
Ato
de
di
scer
nir.
Fa
culd
ade
de
disc
erni
r;
juíz
o,
ente
ndim
ento
, cr
itér
io.
Esc
ola,
di
stin
ção.
A
prec
iaçã
o.
Prud
ênci
a.
Perc
epçã
o sú
bita
de
uma
nova
rel
ação
no
de
curs
o de
um
a ex
peri
ênci
a;
na
4.26
Em
um
cur
so d
e L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica
seri
a in
tere
ssan
te q
ue o
al
uno
conh
eces
se o
que
é a
hip
ótes
e, o
qu
e é
a te
se e
de
com
o el
e po
deri
a pr
ovar
ess
a te
se.
A
ênfa
se
não
esta
ria
no
cont
eúdo
,
O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
cosi
a m
aior
da
Álg
ebra
den
tro
de
um c
urso
de
Lic
enci
atur
a.
Cla
ro q
ue e
u nã
o es
tou
dand
o ên
fase
no
con
teúd
o, e
u es
tou
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o ên
fase
no
des
envo
lvim
ento
, eu
dir
ia a
ssim
, a
Álg
ebra
da
s pr
opos
içõe
s,
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atem
átic
a de
ntro
do
s co
nteú
dos,
Po
deri
a us
ar a
teo
ria
dos
conj
unto
s,
pode
ria
utili
zar
funç
ões,
pod
eria
usa
r a
indu
ção
mat
emát
ica,
tud
o is
so f
aria
pa
rte
dess
e cu
rso
cham
ado
de c
urso
de
intr
oduç
ão à
Álg
ebra
.
psic
olog
ia d
a fo
rma,
pon
to d
ecis
ivo
de
uma
apre
ndiz
agem
. m
as
sim
no
de
senv
olvi
men
to,
da
Álg
ebra
das
pro
posi
ções
. Pa
ra i
sso,
pod
eria
usa
r a
teor
ia d
os
conj
unto
s,
funç
ões,
in
duçã
o m
atem
átic
a. T
udo
isso
far
ia p
arte
de
um c
urso
cha
mad
o de
int
rodu
ção
à Á
lgeb
ra.
4.27
E
se
mpr
e co
m
a ên
fase
e
o ob
jeti
vo
mai
or
na
com
unic
ação
m
atem
átic
a de
ntro
do
cu
rso
e,
a ên
fase
men
or n
o co
nteú
do.
Com
unic
ação
: A
ção,
efe
ito
ou m
eio
de
com
unic
ar.
Ênf
ase :
V
igor
de
ex
pres
são
que
salie
nta
ou t
orna
mai
s im
pres
sion
ante
um
ass
unto
. Pro
emin
ênci
a es
peci
al d
ada
na
leit
ura
ou
oraç
ão
a um
a ou
mai
s pa
lavr
as o
u sí
laba
s.
4.27
N
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a a
com
unic
ação
m
atem
átic
a é
mai
s im
port
ante
que
o
cont
eúdo
.
A
Álg
ebra
co
mo
um
mei
o pa
ra
dese
nvol
ver
a co
mun
icaç
ão
e a
leit
ura
da
Mat
emát
ica.
Ent
revi
sta
5
A e
ntre
vist
a 5
é co
mpo
sta
pela
exp
ress
ão d
a co
mpr
eens
ão d
e um
pro
fess
or d
e Á
lgeb
ra d
e um
cur
so d
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icen
ciat
ura
em M
atem
átic
a na
mic
rorr
egiã
o de
Por
to A
legr
e, n
o es
tado
do
Rio
Gra
nde
do S
ul.
Pes
quis
ador
a: Q
ual a
rel
evân
cia
da Á
lgeb
ra p
ara
um c
urso
de
form
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de
prof
esso
res
de M
atem
átic
a?
Pro
fess
or:
Bom
, eu
ach
o [.
..],
[não
ten
ho n
enhu
ma
dúvi
da q
ue o
ens
ino
de Á
lgeb
ra n
o cu
rso
de L
icen
ciat
ura
é fu
ndam
enta
l e
impo
rtan
tíssi
mo.
] E
u no
rmal
men
te t
enho
min
istr
ado
turm
as d
e C
álcu
lo e
de
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ebra
Lin
ear
para
alu
nos
dos
curs
os d
e E
ngen
hari
a, d
e
Eco
nom
ia e
de
Adm
inis
traç
ão (
esse
pro
fess
or j
á at
uou
na L
icen
ciat
ura,
atu
alm
ente
não
é p
rofe
ssor
da
Lic
enci
atur
a). [
E é
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port
ante
que
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s
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quel
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fun
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lgeb
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nsin
o M
édio
, por
exe
mpl
o: s
oluç
ão d
e eq
uaçõ
es a
lgéb
rica
s, s
oluç
ão d
e po
linô
mio
s e,
que
tam
bém
ele
s te
nham
as
noçõ
es, p
elo
men
os a
s bá
sica
s de
sis
tem
a de
equ
açõe
s li
near
es, d
e m
atri
zes,
ess
es c
onte
údos
.]
Esp
ecif
icam
ente
, ent
ão p
or i
sso,
[os
alu
nos
da L
icen
ciat
ura,
na
min
ha o
pini
ão, e
les
teri
am q
ue d
omin
ar e
sses
con
teúd
os p
ara
ensi
nar]
.
[Eu
acho
tam
bém
que
impo
rtan
te p
ara
eles
alg
um c
onhe
cim
ento
daq
uela
s es
trut
uras
alg
ébri
cas
com
o: g
rupo
s, a
néis
, cor
pos
e es
paço
s ve
tori
ais
para
que
ele
s ta
mbé
m p
ossa
m s
e fu
ndam
enta
r m
elho
r na
quilo
que
ele
s en
sina
m ta
mbé
m.]
Ent
revi
sta
05
Uni
dade
s Si
gnif
icat
ivas
In
terp
reta
ções
Ini
ciai
s A
sser
ções
na
lingu
agem
do
pesq
uisa
dor
Pri
mei
ras
Red
uçõe
s
5.1
[...]
não
ten
ho n
enhu
ma
dúvi
da
que
o en
sino
de
Álg
ebra
no
curs
o de
L
icen
ciat
ura
é fu
ndam
enta
l e
impo
rtan
tíss
imo.
Dúv
ida :
A
to
ou
efei
to
de
duvi
dar.
In
cert
eza
acer
ca d
a re
alid
ade
de u
m
fato
ou
da v
erda
de d
e um
a as
serç
ão.
Dif
icul
dade
par
a se
dec
idir
; he
sita
ção.
D
ific
ulda
de e
m a
cred
itar
; ce
ptic
ism
o,
desc
renç
a.
Obj
eção
D
iscu
ssão
, qu
estã
o, a
lter
caçã
o. S
uspe
ita.
F
unda
men
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Q
ue
serv
e de
fu
ndam
ento
ou
de a
licer
ce.
Que
ser
ve
de
base
. Im
port
ante
. E
ssen
cial
, ne
cess
ário
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port
ante
: Q
ue t
em i
mpo
rtân
cia.
Q
ue n
ão s
e po
de e
sque
cer
ou d
eixa
r de
at
ende
r.
Dig
no
de
apre
ço,
de
esti
ma,
de
co
nsid
eraç
ão.
Que
te
m
gran
des
créd
itos
, qu
e ex
erce
not
ável
in
fluê
ncia
. Q
ue t
em m
uito
val
or o
u pr
eço
notá
vel.
Útil
, ne
cess
ário
. E
nfat
uado
. O
qu
e há
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m
ais
inte
ress
ante
, de
m
ais
útil
, de
m
ais
prov
eito
so n
uma
pess
oa o
u co
isa;
o
esse
ncia
l.
5.1
O p
rofe
ssor
con
side
ra o
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ino
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Álg
ebra
pa
ra
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icen
ciat
ura
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Mat
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ica
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tal
e im
port
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ssim
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Impo
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ra.
5.2
E é
im
port
ante
que
ele
s sa
ibam
aq
uele
s co
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amen
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ra
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Ens
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Méd
io,
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plo:
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ção
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qu
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m
impo
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cia.
Q
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sque
cer
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eixa
r de
at
ende
r.
Dig
no
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ço,
de
esti
ma,
de
co
nsid
eraç
ão.
Que
te
m
gran
des
créd
itos
, qu
e ex
erce
not
ável
in
fluê
ncia
. Q
ue t
em m
uito
val
or o
u pr
eço
notá
vel.
Útil
, ne
cess
ário
.
5.2
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port
ante
par
a o
futu
ro p
rofe
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nhec
er o
s co
nteú
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, so
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s.
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info
rmad
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cim
ento
de;
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Com
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ou
pe
rceb
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um
fato
, um
a ve
rdad
e: S
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ir
ou
de
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r.
Poss
uir
ampl
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e en
cicl
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icos
co
nhec
imen
tos.
T
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conh
ecim
ento
prá
tico
de
algu
ma
cois
a ou
pos
suir
hab
ilida
de n
ela.
5.
3 [.
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enci
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a, [
...]
eles
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ou
sobr
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er
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rida
de,
asce
ndên
cia
ou i
nflu
ênci
a to
tal
sobr
e;
prev
alec
er.
Con
ter,
re
frea
r,
repr
imir
, su
bjug
ar,
venc
er.
Con
ter-
se,
venc
er
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próp
rias
in
clin
açõe
s ou
pa
ixõe
s.
Est
ar
sobr
ance
iro.
Ocu
par
inte
iram
ente
.
5.3
Os
alun
os d
o cu
rso
de L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica
deve
riam
do
min
ar
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cont
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s do
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ino
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io.
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impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
5.4
Eu
acho
tam
bém
que
é i
mpo
rtan
te
para
el
es
algu
m
conh
ecim
ento
da
quel
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tura
s al
gébr
icas
com
o:
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os,
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s,
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os
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para
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es
tam
bém
po
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se
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e el
es e
nsin
am ta
mbé
m.
Fun
dam
enta
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çar
os
fund
amen
tos
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enta
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bas
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as;
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mar
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ocum
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r, j
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icar
com
pro
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ou
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ado;
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-se.
C
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ento
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to
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to
de
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conh
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no
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in
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ação
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si
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mas
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est
reita
s qu
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de
amiz
ade.
Pes
soa
com
que
m s
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m r
elaç
ões.
5.4
É im
port
ante
par
a o
futu
ro p
rofe
ssor
co
nhec
er
as
estr
utur
as
algé
bric
as:
grup
os,
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s,
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paço
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abal
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enci
atur
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M
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átic
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sta
6
A e
ntre
vist
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mpo
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ão d
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e Á
lgeb
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Por
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legr
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do S
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Pes
quis
ador
a: Q
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que
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isa
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esse
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, [el
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]
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as
que,
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amos
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tas.
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que
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isso
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mui
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mai
s ai
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vão
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futu
ros
enge
nhei
ros,
por
que
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mai
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das
pes
soas
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áre
a ci
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ica
na u
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rsid
ade
são
as e
ngen
hari
as, e
têm
vár
ias.
Dep
ois
outr
o pe
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tual
, vão
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pro
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Mat
emát
ica
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ebra
, Fís
ica,
que
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e em
dia
, [co
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Fís
ica
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ica,
que
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icam
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ca,
que
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mas
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algé
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es:
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. E
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ele
vai
ter
alun
os o
s qu
ais
ele
vai
ter
que
ensi
nar
mat
emát
ica]
. [M
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ão é
só
ensi
nar
Mat
emát
ica
porq
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stá
nos
cont
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s, p
orqu
e el
e é
obri
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a
ensi
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par
a es
ses
alun
os v
ai s
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uito
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port
ante
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átic
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e el
es v
ão s
er c
ient
ista
s ou
vão
seg
uir
carr
eira
cie
ntíf
ica
ou
arqu
itetu
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ntão
nes
se s
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te.]
Pes
quis
ador
a: Q
uais
são
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cont
eúdo
s de
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ebra
rel
evan
tes
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ação
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prof
esso
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Mat
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ica?
Pro
fess
or:
Bom
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oit
o ou
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os, p
elo
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ma
vez
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sem
estr
e, e
u do
u um
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scip
lina
par
a a
Lic
enci
atur
a
(em
Mat
emát
ica)
. E Á
lgeb
ra é
um
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scip
lina
que
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já d
ei b
asta
nte.
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sei
, na
min
ha a
nális
e so
bre
as [
nece
ssid
ades
de
futu
ros
prof
esso
res
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atem
átic
a, a
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ebra
, ac
ho q
ue à
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e eq
uaçõ
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bric
as, s
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das
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res,
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es, a
té a
s ou
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, ach
o qu
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esse
ncia
lmen
te a
bas
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ebra
.]
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lgeb
ra n
asce
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açõe
s. E
ntão
, é a
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e eu
ach
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e es
tá u
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ouco
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ssên
cia
da Á
lgeb
ra. E
, nes
se s
enti
do, e
la é
fun
dam
enta
l
para
o p
rofe
ssor
de
Mat
emát
ica]
. [M
as n
ão s
ó a
reso
luçã
o de
equ
açõe
s qu
e, p
arte
m d
o cá
lcul
o es
crito
. Se
não
, a
man
ipul
ação
com
as
estr
utur
as a
lgéb
rica
s qu
e co
rres
pond
em,
de m
anei
ra e
lem
enta
r, a
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ipul
açõe
s de
situ
açõe
s de
pol
inôm
ios
ou e
stud
o de
pol
inôm
ios
é
fund
amen
tal
para
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rofe
ssor
.] P
arec
e, q
ue é
um
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s co
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mai
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ante
s. E
dep
ois,
mai
s um
pou
quin
ho, [
pelo
men
os d
e m
anei
ra l
ight
,
mas
é, t
er u
ma
prim
eira
apr
oxim
ação
no
estu
do d
as e
stru
tura
s al
gébr
icas
, que
são
obj
etos
abs
trat
os.]
[Po
rém
, nã
o m
uito
. Po
rque
, pa
ra o
pro
fess
or d
e M
atem
átic
a, p
ara
ele
é um
esf
orço
mui
to g
rand
e.][
Em
ger
al,
o pr
ofes
sor
de
Mat
emát
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ele
não
que
r se
r um
cie
ntis
ta.]
Ele
tem
out
ras
nece
ssid
ades
e o
utro
s, e
le p
rocu
ra o
utro
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jeti
vos.
[ M
as u
m p
ouqu
inho
ele
pre
cisa
diss
o, p
orqu
e el
e va
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arar
na
carr
eira
del
e co
m a
luno
s qu
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o sã
o to
dos
igua
is e
, que
têm
hab
ilid
ades
esp
ecia
is a
lgun
s pa
ra a
s C
iênc
ias
e ou
tros
par
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Eng
enha
rias
, mas
mui
tos
mai
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Ciê
ncia
.]
E, q
uand
o el
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ontr
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om u
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luno
des
ses,
se
ele
não
soub
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coi
sas,
ele
não
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enc
amin
har
bem
ess
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uno .
Por
que,
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e
alun
o [.
..],
[eu
esto
u em
par
ticul
ar f
azen
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m t
raba
lho
com
out
ros
prof
esso
res
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alu
nos
com
hab
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des
espe
ciai
s em
col
égio
s. E
,
enco
ntra
mos
alg
uns
que
tem
um
a ca
paci
dade
impr
essi
onan
te d
e m
anip
ulaç
ão a
lgéb
rica
. Mes
mo
não
sabe
ndo
nada
dis
so, p
orqu
e el
es tê
m e
ntre
7 e
12 a
nos.
] M
as, c
om e
sses
alu
nos,
[um
pro
fess
or q
ue n
ão t
em o
mín
imo
de m
anip
ulaç
ão a
bstr
ata
pode
se
perd
er e
, vai
pre
judi
car
o al
uno,
sem
dúv
ida]
[Por
iss
o, n
ós a
qui
na U
nive
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ade,
tem
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asta
nte
clar
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são
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ifer
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s en
tre
a Á
lgeb
ra d
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icen
ciat
ura
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acha
rela
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exem
plo]
.
Pes
quis
ador
a: Q
uais
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iam
ess
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ifer
ença
s?
Pro
fess
or:
Bom
, par
a fa
lar
sobr
e es
sas
dife
renç
as [
...],
vej
a qu
e os
obj
etiv
os s
ão b
em d
ifer
ente
. [O
bac
hare
l, di
gam
os, v
ai s
er u
m f
utur
o
cien
tist
a, o
u pr
ofes
sor
de U
nive
rsid
ade]
, mas
pri
ncip
alm
ente
um
fut
uro
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tist
a. E
le e
stá
pens
ado,
o b
acha
rela
do, p
ara
um f
utur
o ci
enti
sta.
(7.1
9) E
, o l
icen
ciad
o nã
o, s
eu c
urso
est
á pe
nsad
o pa
ra u
m f
utur
o pr
ofes
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de M
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átic
a qu
e va
i tr
abal
har
com
alu
nos
até
o E
nsin
o
Méd
io e
, ond
e o
níve
l de
abst
raçã
o é
mui
to m
enor
.] O
alu
no te
m u
m n
ível
de
abst
raçã
o m
uito
men
or. A
té p
orqu
e [a
abs
traç
ão c
omeç
a lá
pel
os
8, 9
,10
anos
.]
Ent
ão, a
s di
fere
nças
que
eu
vejo
cla
ras
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e se
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man
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mai
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ocur
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rofu
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orqu
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con
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enor
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que
se
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isa,
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imo,
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enos
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a m
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mui
tos
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que
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ham
habi
lida
des
espe
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s na
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emát
ica,
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uma
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ão, a
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eren
ça p
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mim
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ssa:
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que
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que
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ente
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ão, a
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faz
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ão, c
om o
que
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ver
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trab
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égio
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ticul
arm
ente
, fa
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uito
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omo
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sso,
vam
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omo
seri
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ara
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i ap
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mel
hor,
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l e
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ofun
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e va
i co
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balh
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sso.
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epoi
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rató
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com
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ende
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s al
unos
. E
ntão
ess
a é
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dife
renç
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, pa
ra o
bac
hare
l is
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ão e
xist
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apr
ende
mat
emát
ica,
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livro
s e
tent
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er, m
as, é
isso
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Ent
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06
Uni
dade
s Si
gnif
icat
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terp
reta
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ciai
s A
sser
ções
na
lingu
agem
do
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quis
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P
rim
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s R
eduç
ões
6.1
Álg
ebra
é
[...]
co
mo
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da
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atem
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a [.
..]
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ica
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com
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uma
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a. E
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a de
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ifíc
io.
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aço
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ifíc
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o,
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ensã
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rida
, em
de
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inad
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lo
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ro.
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culo
lum
inos
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re
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dos
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os;
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ória
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um c
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pro
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Sint
étic
o :
Rel
ativ
o à
sínt
ese.
Fe
ito
em
sínt
ese;
co
mpe
ndia
do,
resu
mid
o.
O
que
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s pa
rtes
par
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todo
. O
pro
duto
qu
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o ob
tido
em
labo
rató
rio,
ou
em
in
stal
açõe
s in
dust
riai
s.
Sínt
ese :
tod
a op
eraç
ão m
enta
l pe
la q
ual
se
cons
trói
um
si
stem
a.
Gen
eral
izaç
ão,
agru
pam
ento
de
fato
s pa
rtic
ular
es e
m u
m
todo
que
os
abra
nge
e os
res
ume.
Res
umo.
O
bjet
o qu
e se
con
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ra c
omo
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ado
típi
co
de
uma
séri
e de
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s.
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siti
vo
do
conj
unto
de
um
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ênci
a.
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e,
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ou
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so
de
com
por
os
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édio
s.
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ra
que
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iste
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re
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nu
ma
só
duas
pa
lavr
as
prim
itiva
men
te
sepa
rada
s.
Ope
raçã
o qu
e co
nsis
te
em
6.1
A Á
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ra e
stá
pres
ente
em
toda
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Mat
emát
ica.
A
pr
esen
ça
da
Álg
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átic
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ente
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raçã
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es p
ara
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sto,
das
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efe
itos,
das
par
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para
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todo
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m
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ia
de
raci
ocín
io,
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prin
cípi
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ra
as
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s.
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onst
raçã
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s pr
opos
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s pe
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nica
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á es
tão
prov
adas
até
ch
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qu
e se
qu
er
esta
bele
cer.
R
euni
ão d
as p
arte
s di
vidi
das
ou s
epar
adas
; op
eraç
ão o
u em
preg
o de
mei
os te
rapê
utic
os
com
o f
im d
e re
unir
as
part
es d
ivid
idas
ou
de r
esti
tuir
ao
esta
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rim
itivo
aqu
elas
que
ha
viam
sid
o de
sloc
adas
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posi
ção
de
um c
orpo
com
os
elem
ento
s qu
e ha
viam
si
do s
epar
ados
pel
a an
ális
e. O
pera
ção
pela
qu
al
se
reún
em
os
corp
os
sim
ples
pa
ra
form
ar o
s co
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stos
, ou
os c
ompo
stos
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a fo
rmar
out
ros
de c
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siçã
o ai
nda
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s co
mpl
exa
6.2
A
Álg
ebra
já
é
a pa
rte
mai
s pr
óxim
a da
axi
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ica
mat
emát
ica.
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que
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isa
são
as
estr
utur
as a
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rica
s.
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lisar
: D
eter
min
ar o
s co
mpo
nent
es o
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emen
tos
fund
amen
tais
de
algu
ma
cois
a.
Dec
ompo
r em
se
us
com
pone
ntes
ou
el
emen
tos
cons
titu
inte
s.
Det
erm
inar
po
r di
scer
nim
ento
m
enta
l a
natu
reza
, si
gnif
icad
o e
rela
ção
das
vári
as
part
es,
elem
ento
s, a
spec
tos
ou q
uali
dade
s da
quil
o qu
e es
tá
send
o ex
amin
ado.
Po
nder
ar
ou
estu
dar
vári
os
aspe
ctos
, fa
tore
s ou
el
emen
tos
a fi
m
de
cheg
ar
a um
a co
nclu
são,
res
ulta
do o
u so
luçã
o. E
xam
inar
po
r an
ális
e.
Exa
min
ar
min
ucio
sam
ente
: In
vest
igar
o
cará
ter,
os
co
stum
es,
os
sent
imen
tos.
Cri
tica
r. I
nves
tiga
r um
ass
unto
6.2
A
Álg
ebra
é
a pa
rte
axio
mat
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a da
Mat
emát
ica.
Nel
a an
alis
am-s
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rutu
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as.
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Álg
ebra
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utur
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rica
s co
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to e
m
que
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fini
das
as
oper
açõe
s qu
e sa
tisf
azem
det
erm
inad
as p
ropr
ieda
des.
6.
3 [.
..]
ela
tem
im
port
ânci
a em
vá
rios
po
ntos
. [.
..]
um
dele
s é
just
amen
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ara
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com
eça
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abal
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com
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er.
Proc
eder
de
ac
ordo
; co
mbi
nar-
se,
conc
erta
r-se
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em
boa
int
elig
ênci
a ou
em
boa
paz
. C
hega
r a
acor
do.
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prá
tica
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te
oria
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omar
co
nhec
imen
to
com
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tori
dade
com
pete
nte.
Diz
er r
espe
ito a
.
6.3
A
Álg
ebra
é
impo
rtan
te
em
vári
os a
spec
tos.
Um
del
es é
par
a a
prát
ica
do
futu
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prof
esso
r.
Na
Álg
ebra
el
e tr
abal
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mát
ica
da M
atem
átic
a e
com
eça
a co
mpr
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er
por
mei
o do
ra
cioc
ínio
cie
ntíf
ico
e m
atem
átic
o.
A
Álg
ebra
é
um
mei
o pa
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ar
prof
esso
res
de
Mat
emát
ica.
6.4
Ele
co
meç
a a
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nder
as
di
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ntes
est
rutu
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da M
atem
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a,
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amin
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ssun
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lit
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mem
ória
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rir
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ento
s: C
ursa
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las,
se
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tuda
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O
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var-
se,
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pr
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se.
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de.
Ade
stra
r-se
, ex
erci
tar-
se
em.
Afe
tar,
ap
aren
tar,
sim
ular
.
6.4
O a
luno
com
eça
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tend
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ntes
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da M
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utur
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cia
do
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utur
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lgéb
rica
s.
6.5
[...]
no
seu
coti
dian
o, p
orqu
e [.
..]
ele
vai
ser
prof
esso
r de
mat
emát
ica.
6.5
O p
rofe
ssor
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Mat
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ica,
em
se
u co
tidi
ano,
con
form
e os
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nos
Impo
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cia
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esso
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Álg
ebra
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fica
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a su
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da.
que
terá
, ta
lvez
nu
nca
utili
ze
Álg
ebra
. M
atem
átic
a.
6.6
Mas
a Á
lgeb
ra v
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juda
r el
e a
raci
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tabe
lece
r as
co
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es ló
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so s
em d
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Aju
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Dar
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r,
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, so
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er.
Faci
lita
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over
. A
prov
eita
r-se
, so
corr
er-s
e,
vale
r-se
. A
uxil
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se.
Dei
tar
ajud
a no
s en
genh
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úcar
. R
acio
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r : F
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nios
; fa
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uso
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razã
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Apr
esen
tar
ou
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razõ
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er:
Dar
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está
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ou f
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e. D
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xist
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a a;
fun
dar,
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stitu
ir.
Ass
enta
r, d
eter
min
ar,
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crev
er,
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pula
r,
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r.
Con
stitu
ir,
orga
niza
r.
Org
aniz
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e. D
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ida
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ôr u
m
esta
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ento
. A
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tabe
leci
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erci
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ou
indu
stri
al,
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um
mod
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vi
da.
Con
cede
r,
inst
ituir
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por.
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enta
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r.
Form
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, ela
bora
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ompr
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. C
onex
ões :
L
igaç
ão
de
uma
cois
a co
m
outr
a. S
eção
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tubo
ou
cano
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form
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en
tre
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mos
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dade
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6.6
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exõe
s ló
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s.
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.
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sita
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D
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ença
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ão.
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cuss
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, nec
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6.7
A Á
lgeb
ra f
orne
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e pa
ra
anal
isar
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estr
utur
as m
atem
átic
as.
Para
que
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Álg
ebra
.
6.8
Mas
a
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perg
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..].
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par
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nge
gran
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ou
de
cois
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volv
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ext
enso
.
6.8
A p
ergu
nta
disp
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ora
abra
nge
outr
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ntas
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empl
o: p
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Com
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.
6.9
[...]
pa
ra
com
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sim
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átic
a, e
le v
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ção.
R
amo
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e os
si
nais
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sões
li
ngüí
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uele
s qu
e os
us
am.
6.9
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cu
rso
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Lic
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Mat
emát
ica
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isa
conh
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ante
o a
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ciat
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em
Mat
emát
ica
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6.10
Ele
vai
se
enco
ntra
r co
m a
luno
s,
que
mui
tos
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s vã
o se
r fu
turo
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que
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s, m
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r fu
turo
s en
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eiro
s,
[...]
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da
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ebra
, Fí
sica
, qu
e ta
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m
tem
m
uita
Álg
ebra
.
6.
10 A
Álg
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é u
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ento
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alun
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rtân
cia
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ra p
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ção
Bás
ica.
6.11
[...
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Mod
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Q
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vai
ter
alun
os o
s qu
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ele
vai
ter
que
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nar
Mat
emát
ica.
6.
11
A
Álg
ebra
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e el
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isa
ensi
nar
Mat
emát
ica.
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lgeb
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M
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nos
cont
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s, p
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ca
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cien
tífi
ca o
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quit
etur
a. E
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se
sent
ido
é im
port
ante
.
. 6.
12 N
ão é
só
ensi
nar
Mat
emát
ica
porq
ue e
stá
nos
cont
eúdo
s, p
orqu
e el
e é
obri
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a
ensi
nar.
M
as,
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alun
os
a M
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cipa
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E
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ante
.
Impo
rtân
cia
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lgeb
ra p
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os d
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ção
Bás
ica.
6.13
[...
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elo
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vez
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par
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enci
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atem
átic
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6.
13
Faz
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qu
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se
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ente
dá
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par
a a
Lic
enci
atur
a em
Mat
emát
ica.
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lgeb
ra é
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ipli
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e Á
lgeb
ra
no
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica.
6.14
[...
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as n
eces
sida
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futu
ros
prof
esso
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de M
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átic
a, a
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l. Pe
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e um
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ou
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outr
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e o
qual
po
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uma
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sob
re a
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a um
sól
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culo
que
ter
min
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ero
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ime
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tre
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s un
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es s
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s de
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a de
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e se
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ida
para
a c
onst
ruçã
o de
um
a sé
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os, d
e um
sis
tem
a de
6.14
A Á
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ra é
fun
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da n
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ções
alg
ébri
cas.
E
m
que
a Á
lgeb
ra
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amen
ta.
loga
ritm
os,
de n
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ação
etc
. L
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a à
qual
se
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m
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s as
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qu
e se
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açam
, nu
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ica.
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próx
ima
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orig
em
ou
do
seu
pont
o de
ins
erçã
o, e
que
se
opõe
ao
vért
ice.
Po
nto
de l
igaç
ão o
u pa
rte
infe
rior
de
cert
as
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es
do
corp
o.
Ori
gem
ou
po
nto
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das
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do
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o de
um
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seto
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ra e
ntre
doi
s po
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mui
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ados
e c
om a
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l se
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os
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inam
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dist
ânci
a do
s as
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. Pr
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de
uma
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mbi
naçã
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po
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uz u
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edie
nte
com
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e um
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ação
, qu
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ara
o pr
incí
pio
med
icin
al
ativ
o.
Plat
afor
ma
perm
anen
te o
u se
mip
erm
anen
te,
em g
eral
de
co
ncre
to,
cons
truí
da
de
man
eira
a
supo
rtar
o
disp
ositi
vo
de
libe
raçã
o de
fo
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es.
6.15
A Á
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ra n
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s.
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que
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que
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sse
sent
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men
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para
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prof
esso
r de
Mat
emát
ica.
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ênci
a:
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urez
a ín
tima
das
cois
as;
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lo q
ue f
az q
ue u
ma
cois
a se
ja o
que
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ue lh
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inan
te; a
quil
o qu
e co
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tui
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za
de
um
obje
to.
Exi
stên
cia
no
que
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tem
de
m
ais
cons
titu
cion
al.
Sign
ific
ação
esp
ecia
l. Id
éia
prin
cipa
l. D
istin
tivo.
Líq
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mui
to v
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il e
sem
vis
cosi
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, ou
sub
stân
cia
arom
átic
a qu
e se
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trai
de
ce
rtos
ve
geta
is;
óleo
es
senc
ial;
óle
o vo
láti
l. D
esig
naçã
o co
mum
a
cada
es
péci
e ar
bóre
a.
O
que
é
6.15
A Á
lgeb
ra n
asce
u de
equ
açõe
s.
Ent
ão, é
aí
que
o de
poen
te a
cha
que
está
um
po
uco
a es
sênc
ia
da
Álg
ebra
. E
, ne
sse
sent
ido,
el
a é
fund
amen
tal
para
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prof
esso
r de
M
atem
átic
a.
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qu
e a
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ebra
se
fu
ndam
enta
.
indi
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sáve
l a
um a
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u co
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egal
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urez
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imei
ra
das
cois
as q
ue s
e op
õe a
o qu
e ne
las
seja
ac
iden
ta
6.16
M
as
não
só
a re
solu
ção
de
equa
ções
qu
e,
part
em
do
cálc
ulo
escr
ito.
Se
não,
a m
anip
ulaç
ão c
om
as
estr
utur
as
algé
bric
as
que
corr
espo
ndem
, de
m
anei
ra
elem
enta
r,
a m
anip
ulaç
ões
de
situ
açõe
s de
pol
inôm
ios
ou e
stud
o de
po
linôm
ios
é fu
ndam
enta
l pa
ra
o pr
ofes
sor.
6.
16
Não
só
a
reso
luçã
o de
eq
uaçõ
es,
mas
ta
mbé
m
man
ipul
açõe
s de
si
tuaç
ões
de
polin
ômio
s ou
est
udo
de p
olin
ômio
s é
fund
amen
tal
para
o p
rofe
ssor
de
Mat
emát
ica.
O q
ue é
im
port
ante
o a
luno
do
curs
o de
L
icen
ciat
ura
em
Mat
emát
ica
sabe
r.
6.17
[.
..]
pelo
m
enos
de
m
anei
ra
light
, m
as
é,
ter
uma
prim
eira
ap
roxi
maç
ão
no
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do
das
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utur
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rica
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ão o
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rato
s.
Apr
oxim
ação
: A
to o
u ef
eito
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xim
ar.
Ato
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imo.
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po
rém
o m
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próx
imo
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ível
. A
vali
ação
po
r po
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s ou
men
os.
6.17
no
curs
o de
Lic
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a em
M
atem
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imei
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ão d
o es
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es
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uras
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, qu
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emát
ica
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Impo
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rica
s.
6.18
Por
ém, n
ão m
uito
. Por
que,
par
a o
prof
esso
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Mat
emát
ica,
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a el
e é
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sfor
ço m
uito
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nde.
Em
ger
al,
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ofes
sor
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átic
a, e
le n
ão
quer
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um
cie
ntis
ta.
Não
mui
to:
um p
ouco
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ço:
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ão
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ultâ
nea
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um
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mús
culo
s qu
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ve
ncer
um
a re
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ênci
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subm
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6.18
O p
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Mat
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Pa
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gr
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.
Dif
icul
dade
sen
tida
no
trab
alho
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leci
onar
Álg
ebra
.
6.19
Mas
um
pou
quin
ho e
le p
reci
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diss
o, p
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e el
e va
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Hab
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Qua
lida
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e,
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ão,
6.19
O
pr
ofes
sor
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Mat
emát
ica
prec
isa
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ra
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Impo
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ias
e as
Eng
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Mat
emát
ica.
6.20
E,
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le s
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cont
rar
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e nã
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uber
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as,
ele
não
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min
har
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e al
uno.
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20
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M
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ciai
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M
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6.
21
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s.
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idos
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bele
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a,
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c.;
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fasc
inan
te).
Q
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impr
essi
ona
mor
alm
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, aba
la, c
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e; e
moc
iona
nte.
6.21
Ao
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uar
uma
pesq
uisa
, co
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outr
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prof
esso
res,
em
co
légi
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cida
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Com
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s co
mpr
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a ca
paci
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man
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ação
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ica
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alun
os.
6.22
[...
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anip
ulaç
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prej
udic
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, se
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, pe
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Sof
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uízo
nos
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vere
s. T
er
mau
êxi
to e
m.
Dei
xar
de t
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u se
ntir
por
6.22
Um
pro
fess
or q
ue n
ão t
em o
m
ínim
o de
m
anip
ulaç
ão
abst
rata
po
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o no
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sino
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alun
os.
A
Álg
ebra
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Mat
emát
ica.
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m te
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e, e
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23
Por
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dign
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, de
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, tr
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rsid
ade,
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spar
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e.
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ia; d
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gênc
ia.
6.23
A
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rsid
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que
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enci
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m
que
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rent
e da
Álg
ebra
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o do
B
acha
rela
do.
6.24
O b
acha
rel,
diga
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, vai
ser
um
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ou
pr
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sor
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Uni
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6.
24 O
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hare
l se
rá u
m c
ient
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, um
pro
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rsid
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A
Á
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ura
tem
qu
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rso
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hare
lado
. 6.
25 E
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es
tá
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fu
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ofes
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port
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6.25
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ção
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níve
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enci
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6.26
[...
] a
abst
raçã
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a lá
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os
8, 9
,10
anos
.
6.
26 A
abs
traç
ão in
icia
lá p
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8, 9
, 10
ano
s.
Com
o os
pr
ofes
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6.28
[.
..]
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pal.
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uito
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cert
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tais
; ól
eo
esse
ncia
l; ó
leo
volá
til.
Des
igna
ção
com
um
a ca
da
espé
cie
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rea.
O
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29 O
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6.31
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6.32
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37
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mui
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bel
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bel
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07
Uni
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U
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7.1
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7.2
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ia. G
rand
e va
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coi
sas.
Q
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ia, s
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e co
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nhec
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a,
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o;
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ão, n
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ncia
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ões,
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qu
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7.2
O c
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mat
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ico
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emát
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ação
de
pr
ofes
sore
s de
M
atem
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tem
rel
açõe
s.
7.3
A g
ente
não
pod
e fi
car
só e
m
cim
a di
sso
(for
maç
ão
mat
emát
ica)
, m
as
tam
bém
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e pe
dagó
gica
.
7.
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icen
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A
form
ação
m
atem
átic
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peda
gógi
ca
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prof
esso
r de
M
atem
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a.
7.4
[...]
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m p
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[...
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com
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ldad
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ldad
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r ob
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omín
io, a
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o. G
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s.
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cia,
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eito
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os.
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urso
s.
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ou
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pr
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um
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Com
posi
ção:
ato
ou
efei
to d
e co
nstit
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s co
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tuin
tes
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todo
se
di
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m
e in
tegr
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rgan
izaç
ão.
7.4
A
Álg
ebra
te
m
um
pode
r e
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te d
a M
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a.
A
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ica.
7.5
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balh
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ou
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dilig
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e,
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ção
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tuar
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cuta
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om e
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2 a.
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7-12
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flex
ão
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o de
um
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res
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sen
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alun
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7.
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trab
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labo
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Q
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ço i
ntel
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com
pree
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Q
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s.
7.17
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uras
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jeto
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18
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7.
19
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se d
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s.
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r pr
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Rec
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r. C
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o p
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, to
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O
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e es
crev
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ica
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os c
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itos.
]
[Eu
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clar
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eito
, nã
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a tu
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reto
, co
m [
...],
enf
im,
diga
mos
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im,
uma
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a e
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ão te
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eito
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.
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conc
eito
s, tu
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que
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ara
um p
rofe
ssor
, iss
o é
supe
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ante
.]
[Ele
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im. I
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nsig
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a, p
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nder
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te,
as e
stru
tura
s al
gébr
icas
na
segu
nda.
] [E
a t
erce
ira,
Álg
ebra
Lin
ear,
que
daí
, é,
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mos
ass
im, s
eria
um
a co
ntin
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o da
s es
trut
uras
ali,
que
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esp
aço
veto
rial
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Álg
ebra
Lin
ear
já é
um
a di
scip
lina
mai
s de
mei
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aí a
gen
te c
onti
nua
aí [
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verd
ade,
ela
ser
ve q
uase
com
o um
ref
orço
par
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sa c
oisa
do
dem
onst
rar,
do
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ever
mat
emat
icam
ente
, m
ais
lá p
ara
o m
eio,
já
tam
bém
, pre
para
ndo
para
(a
disc
ipli
na)
uma
Aná
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, qu
e é
uma
disc
ipli
na m
ais
de f
inal
de
curs
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E, [
nós
tem
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ra, n
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ano
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cipa
lmen
te, p
ara
colo
car
mai
s um
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lgeb
ra. P
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ue?
Porq
ue o
alu
no n
ão s
abe]
P
esqu
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ora:
O q
ue s
eria
ess
a ou
tra
Álg
ebra
?
Pro
fess
ora:
Na
verd
ade,
ess
a ou
tra
Álg
ebra
[...
]. N
a ve
rdad
e, a
pri
mei
ra Á
lgeb
ra, q
ue é
a te
oria
dos
con
junt
os, L
ógic
a e
Ari
tmét
ica.
Ela
é m
uito
ape
rtad
a. O
que
é q
ue s
e im
agin
a? Q
ue tu
vai
s tr
abal
har
em u
m s
emes
tre
só L
ógic
a e
teor
ia d
os c
onju
ntos
. Tem
mui
ta c
oisa
par
a fa
lar,
porq
ue d
aí te
m to
das
as q
uest
ões
que
eu já
dis
se: r
epre
sent
ar, o
alu
no c
hega
aqu
i e n
ão s
abe
a di
fere
nça
do e
stá
cont
ido
e do
per
tenc
e. E
ntão
, é
uma
ques
tão
de r
epre
sent
ação
. [E
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m q
ue a
pren
der
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to p
ara
repr
esen
tar
mat
emat
icam
ente
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sam
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m f
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um
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que
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de
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o m
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fort
emen
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stra
ções
. Q
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nte
não
cons
egue
faz
er.
E a
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déia
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pega
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part
e de
Ari
tmét
ica
e te
rmin
ando
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disc
iplin
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om r
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ões
e fu
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s.
Para
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eu p
udes
se d
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nfas
e, i
nici
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teo
ria
de g
rupo
s, u
ma
terc
eira
dig
amos
ass
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que
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teor
ia d
e
grup
os.
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oder
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raba
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ente
mei
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mes
tre
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eori
a do
s gr
upos
e,
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tro
fina
l, em
ané
is e
cor
pos.
Por
que
daí
tam
bém
, ne
m
tudo
é p
erfe
ito, n
ão p
oder
ia te
r um
a di
scip
lina
só p
ara
teor
ia d
os g
rupo
s e
uma
só p
ara
anéi
s e
corp
os, q
ue s
eria
tam
bém
bom
.
O n
osso
ide
al s
eria
pel
o m
enos
met
ade
de t
eori
a do
s gr
upos
, qu
e aí
só
vai
este
nder
ess
es c
once
itos
para
ané
is e
cor
pos,
no
fina
l do
sem
estr
e, n
a m
esm
a di
scip
lina.
Nos
sas
disc
iplin
as s
ão s
emes
trai
s. N
a ve
rdad
e, [
a ge
nte
tem
até
18
enco
ntro
s de
3 h
oras
. E, a
í, a
gent
e vê
que
está
bem
ape
rtad
o]. [
E, a
par
te d
e A
ritm
étic
a, te
m m
uita
coi
sa, q
ue s
e po
de d
iscu
tir
com
o a
luno
que
a g
ente
aca
ba n
ão v
endo
, por
que
ela
fico
u
na d
isci
plin
a qu
e eu
ten
ho n
o m
áxim
o 6
enco
ntro
s. E
, te
m m
uito
mai
s co
isa
para
fal
ar,
porq
ue i
sso
sim
ele
s re
laci
onam
mui
to c
om a
sal
a de
aula
. Ah!
Por
que
isso
é u
ma
mat
éria
de
5ª s
érie
. Ah!
É u
ma
mat
éria
de
6ª s
érie
. Ent
ão n
ós g
osta
ríam
os d
e te
r um
a di
scip
lina
inte
ira
diss
o.]
[Não
sei
, qua
ndo
tu f
alas
em
Álg
ebra
. Sob
re q
ue a
spec
tos
da Á
lgeb
ra?
Porq
ue e
u já
li a
lgum
as c
oisa
s a
resp
eito
e, o
s pr
ópri
os a
utor
es
não
se o
rgan
izam
. Não
ent
ram
num
con
sens
o de
diz
er o
que
é e
stud
ar Á
lgeb
ra. T
em e
ssa
part
e da
lógi
ca.]
Em
ger
al é
iss
o. [
Não
tem
um
con
sens
o. P
elo
que
eu t
enho
lid
o, e
u ve
jo n
a m
aior
ia d
os c
urso
s, e
xist
e um
a di
fere
nça
nas
disc
iplin
as
cham
adas
Ari
tmét
ica
e as
dis
cipl
inas
cha
mad
as d
e Á
lgeb
ra],
que
, em
ger
al s
ão a
s di
scip
linas
que
tu
tens
as
estr
utur
as a
lgéb
rica
s, r
elaç
ões
e
funç
ões.
[A
cho
que
aqui
, a Á
lgeb
ra é
isso
: Lóg
ica,
Ari
tmét
ica,
teor
ia d
os c
onju
ntos
, est
rutu
ras
algé
bric
as e
esp
aços
vet
oria
is. ]
Pes
quis
ador
a: Q
uais
são
os
cont
eúdo
s de
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ebra
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evan
tes
para
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ação
do
prof
esso
r de
Mat
emát
ica?
Por
que
esse
s co
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dos
são
impo
rtan
tes?
Pro
fess
ora:
Eu
acho
ass
im, q
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ada
um te
m a
sua
impo
rtân
cia.
Por
exe
mpl
o, a
par
te d
a L
ógic
a e
a pa
rte
de te
oria
dos
con
junt
os, q
ue é
o in
icia
l, qu
e é
a L
ingu
agem
Mat
emát
ica,
tu v
ais
ser
prof
esso
r de
Mat
emát
ica,
tu v
ais
ter
que
sabe
r fa
lar
Mat
emát
ica,
e, a
té e
m u
sar
os te
rmos
corr
etos
. Com
o eu
fal
ei, d
o pe
rten
ce e
do
está
con
tido
. Se
tu e
stas
fal
ando
de
um e
lem
ento
, ele
est
á co
ntid
o (p
erte
nce)
, não
é?
Nes
se t
ipo
de c
oisa
, en
tão
tu c
omeç
as n
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imei
ro s
emes
tre,
[na
pri
mei
ra d
isci
plin
a co
m a
s qu
estõ
es d
a L
ingu
agem
Mat
emát
ica
e, a
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sim
, de
pois
tem
téc
nica
de
dem
onst
raçã
o],
para
que
ele
s en
xerg
uem
ass
im ó
: bo
m n
ão é
só,
se
vale
par
a um
, pa
ra d
ois
e pa
ra t
rês
vale
par
a
todo
s. [
Tem
que
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onst
rar.
Por
que
se
dem
onst
ra. P
ara
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ssas
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as e
tam
bém
um
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ção
do q
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les
vão
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enta
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e
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rso.
] Ess
a pr
imei
ra p
arte
, [o
meu
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pre:
olh
a, n
essa
dis
cipl
ina
você
s vã
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r um
a id
éia
do q
ue v
ocês
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enf
rent
ar n
o cu
rso
de
você
s.]
Que
voc
ês v
ão u
sar
vári
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isci
plin
as te
óric
as d
o cu
rso
e co
mo
é qu
e vo
cês
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cont
inua
r...
A p
arte
de
Ari
tmét
ica
para
ele
é o
mai
s [.
..], c
omo
é qu
e vo
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zer
[...]
. Os
alun
os c
onsi
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m m
ais
[...]
, é [
...].
Ah!
Eu
vou
dar
aula
de
máx
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divi
sor
com
um,
vou
dar
aula
de
núm
ero
prim
o. E
, já
, es
trut
uras
alg
ébri
cas,
daí
, eu
ach
o qu
e sã
o im
port
ante
s po
r co
nta
dele
s
ente
nder
em o
tan
to d
e co
isa
que
eles
apr
ende
ram
err
ado
e, t
enta
r de
pois
, aí
, eu
sem
pre
digo
ass
im ó
: es
tão
vend
o aq
ui e
ssa
disc
iplin
a de
Álg
ebra
, eu
vou,
eu
tenh
o po
r ob
jeti
vo e
m n
enhu
m m
omen
to m
ostr
ar p
ara
você
s co
mo
você
s vã
o en
sina
r. (
13.2
8)
[A d
isci
plin
a de
Álg
ebra
é u
ma
disc
iplin
a te
óric
a. É
Álg
ebra
que
voc
ês e
stão
apr
ende
ndo,
é a
est
rutu
ra d
e gr
upo
que
você
s es
tão
apre
nden
do. M
as lá
, nas
dis
cipl
inas
de
labo
rató
rio
você
s vã
o ap
rend
er, v
ocês
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ter
met
odol
ogia
s pa
ra e
nsin
ar e
sse
tipo
de
cois
a.]
E a
í, vo
cês
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ter
que
sabe
r o
conc
eito
. V
ocês
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ter
que
sab
er p
orqu
e nã
o pa
ssa
para
o o
utro
lad
o. P
orqu
e o
prof
esso
r do
lab
orat
ório
vai
xin
gar
se
você
s di
sser
em: p
assa
par
a o
outr
o la
do t
roca
ndo
de s
inal
. Ent
ão, n
ão s
ei, a
ssim
[...
], e
u ac
ho q
ue [
...].
Ah!
[A
dis
cipl
ina
de Á
lgeb
ra t
rês,
que
seri
a a
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ipli
na d
e Á
lgeb
ra L
inea
r, e
u ac
ho q
ue s
erve
ass
im,
com
o um
fec
ham
ento
. V
amos
ver
se
ele
sabe
dem
onst
rar
e se
ele
sab
e
gene
rali
zar,
] nã
o qu
e na
Álg
ebra
II
ele
não
faça
, mas
na
Álg
ebra
III
, ach
o qu
e ca
be m
ais
com
o um
fec
ham
ento
.
Ent
revi
sta
08
Uni
dade
s Si
gnif
icat
ivas
In
terp
reta
ções
Ini
ciai
s A
sser
ções
na
lingu
agem
do
pesq
uisa
dor
Uni
dade
s de
Sig
nifi
cado
8.1[
...]
nós
tem
os u
ma
disc
ipli
na q
ue
cham
a Á
lgeb
ra, m
as, e
m d
uas
turm
as:
Álg
ebra
I
e Á
lgeb
ra
II.
Álg
ebra
I:
L
ógic
a e
uma
Ari
tmét
ica.
[...
] Á
lgeb
ra
II:
que
[...]
te
m
uma
part
e da
s re
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funç
ões
e as
es
trut
uras
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gébr
icas
[...]
, pr
inci
palm
ente
a t
eori
a do
s gr
upos
, ané
is e
cor
pos.
8.
1Há
duas
di
scip
lina
s de
Á
lgeb
ra:
Álg
ebra
I e
Álg
ebra
II
que
abra
ngem
L
ógic
a e
Ari
tmét
ica,
es
trut
uras
al
gébr
icas
, pr
inci
palm
ente
gr
upos
, co
rpos
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néis
.
O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
8.2
Álg
ebra
I, e
la i
ntro
duz
uma
nova
lin
guag
em
para
aq
uele
fu
turo
pr
ofes
sor:
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da
Mat
emát
ica
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ma
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eira
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essa
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lare
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Intr
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: Fa
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pene
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fiar
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seri
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ara
dent
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er
área
ou
lu
gar.
A
dmit
ir
em
grup
o,
soci
edad
e et
c.
Faze
r in
clus
ão
de;
incl
uir,
ins
erir
. Im
port
ar.
Dar
iní
cio
a;
abri
r,
com
eçar
. T
orna
r co
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ido;
di
vulg
ar, l
ança
r.
Lin
guag
em:
Qua
lque
r m
eio
sist
emát
ico
de
com
unic
ar
idéi
as
ou
sent
imen
tos
atra
vés
de
sign
os
conv
enci
onai
s,
sono
ros,
grá
fico
s, g
estu
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etc.
E
scre
ver:
R
epre
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ar
por
mei
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ca
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eres
ou
escr
ita.
Exp
ress
ar-s
e po
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Com
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balh
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liter
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s,
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etc.
).
Nar
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ver,
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ita.
E
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ver
sobr
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insc
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r,
grav
ar.
Apl
icar
m
ulta
a
(inf
rato
r de
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ânsi
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nu
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talã
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núm
ero
da p
laca
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seu
veíc
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e o
tipo
de
in
fraç
ão
que.
M
ante
r
8.2
A Á
lgeb
ra i
ntro
duz
a L
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M
atem
átic
a pa
ra o
fut
uro
prof
esso
r.
A
Álg
ebra
co
mo
um
mei
o pa
ra
dese
nvol
ver
a co
mun
icaç
ão
e a
leit
ura
da
Mat
emát
ica.
corr
espo
ndên
cia
um
com
ou
tro,
co
rres
pond
er-s
e.
Exp
ress
ar:
Exp
rim
ir
Exp
rim
ir:
Man
ifes
tar(
-se)
por
pal
avra
s,
gest
os o
u at
itud
es.
Dar
(-se
) a
conh
ecer
; re
vela
r(-s
e).
Exp
ress
ar(-
se)
por
mei
o de
fo
rma
artí
stic
a.
Apr
esen
tar-
se
com
o sí
mbo
lo
ou
expr
essã
o de
; si
gnif
icar
, re
pres
enta
r.
Fala
r co
m
liber
dade
, co
mun
icar
-se.
C
lare
za:
Qua
lida
de
do
que
é cl
aro.
Q
uali
dade
do
qu
e é
inte
ligív
el.
Lim
pide
z,
tran
spar
ênci
a.
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lidad
e vi
sual
qu
e pe
rmit
e di
stin
guir
be
m
os
obje
tos.
Qua
lida
de d
a vo
z qu
e so
a be
m;
bom
tim
bre.
Com
pree
nsão
, pe
rcep
ção,
en
tend
imen
to.
8.3
E
a ge
nte
acre
dita
qu
e es
sa
prim
eira
dis
cipl
ina,
pri
mei
ro c
onta
to,
é um
a di
scip
lina
jus
tam
ente
par
a el
e ap
rend
er a
exp
or s
uas
idéi
as [
...].
O
que
é u
ma
dem
onst
raçã
o, c
omo
ele
faz
uma
dem
onst
raçã
o.
Acr
edit
ar:
Cre
r, d
ar c
rédi
to a
, ter
com
o ve
rdad
eiro
. A
bona
r(-s
e),
conf
erir
re
puta
ção
a, to
rnar
(-se
) di
gno
de e
stim
a.
Ter
con
fian
ça.
Lan
çar
a cr
édit
o, p
ôr n
a co
nta
do h
aver
. Dar
pod
eres
(a
algu
ém),
pa
ra
repr
esen
tar
a na
ção
em
país
es
tran
geir
o.
Exp
or:
Apr
esen
tar,
pôr
à v
ista
ou
em
exib
ição
; col
ocar
(-se
) em
evi
dênc
ia.
8.3
O p
rofe
ssor
acr
edit
a qu
e a
Álg
ebra
é
uma
man
eira
de
o fu
turo
pro
fess
or
apre
nder
a
apre
sent
ar
suas
id
éias
m
atem
átic
as,
o qu
e é
e co
mo
se f
az
uma
dem
onst
raçã
o.
Impo
rtân
cia
da Á
lgeb
ra p
ara
o tr
abal
ho
do
prof
esso
r de
M
atem
átic
a.
8.4
Para
ap
rend
er
a es
crev
er
mat
emat
icam
ente
e q
ue e
le t
enha
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clar
a e
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pa
ra
pode
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isso
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alun
o de
pois
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so,
por
exem
plo,
se
ria
mai
s um
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éia
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ógic
a.
8.
4 A
L
ógic
a M
atem
átic
a aj
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o al
uno
do
curs
o de
L
icen
ciat
ura
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er
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Mat
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ica.
A
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ebra
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mei
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ra
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nvol
ver
a co
mun
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ão
e a
leit
ura
da
Mat
emát
ica.
8.5
A p
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da
Ari
tmét
ica
eles
tod
os
Vin
cula
do:
Lig
ado
por
vínc
ulo;
uni
do.
8.5
Os
alun
os d
a L
icen
ciat
ura
liga
m o
O
s al
unos
do
cu
rso
de
com
pree
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qu
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r.
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lo. D
a na
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o ví
ncul
o. S
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culo
; vi
ncul
ar.
que
apre
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sob
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étic
a co
m o
qu
e vã
o en
sina
r.
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
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onam
a A
ritm
étic
a co
m
o tr
abal
ho
do
prof
esso
r em
sa
la d
e au
la.
8.6
Na
Ari
tmét
ica
eles
vão
tra
balh
ar
isso
, el
es
prec
isam
sa
ber
dos
conc
eito
s.
8.
6 O
s al
unos
do
cu
rso
de
Lic
enci
atur
a pr
ecis
am
sabe
r os
co
ncei
tos
da
Ari
tmét
ica
porq
ue v
ão
utili
zá-l
os e
m s
eu tr
abal
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O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
8.7
Eu
acre
dito
que
se
tu n
ão t
ens
clar
o o
conc
eito
, nã
o ad
iant
a tu
ter
um
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m
[...]
, en
fim
, di
gam
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ssim
, um
a au
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a e
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, e
não
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Cla
ro:
Que
cl
arei
a,
que
alum
ia;
brilh
ante
, lum
inos
o, r
espl
ande
cent
e.
8.7
Mai
s im
port
ante
do
que
prep
arar
a
aula
com
mat
eria
l m
anip
ulat
ivo,
é o
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ofes
sor
conh
ecer
o c
once
ito.
Impo
rtân
cia
de
conh
ecer
o
conc
eito
.
8.8
Ape
sar
de q
ue o
s al
unos
mui
tas
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s ac
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que
pod
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esol
ver
um
exer
cíci
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que
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que
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ou
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de
aten
der.
Dig
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e ap
reço
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ima,
de
cons
ider
ação
. Que
tem
gra
ndes
cré
dito
s,
que
exer
ce n
otáv
el i
nflu
ênci
a. Q
ue t
em
mui
to
valo
r ou
pr
eço
notá
vel.
Útil
, ne
cess
ário
. E
nfat
uado
. O
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m
ais
inte
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ante
, de
mai
s út
il, d
e m
ais
prov
eito
so
num
a pe
ssoa
ou
co
isa;
o
esse
ncia
l.
8.8
Para
um
pro
fess
or d
e M
atem
átic
a é
impo
rtan
te s
aber
os
conc
eito
s e
as
teor
ias.
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impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber.
8.9
Ele
te
m
que
ter
a cl
arez
a da
s de
fini
ções
, el
e te
m q
ue t
er a
cla
reza
do
s co
ncei
tos,
par
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aí e
ntão
, po
der
faze
r su
a au
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om a
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odol
ogia
que
el
e ac
har
mel
hor.
Cla
reza
: Q
uali
dade
do
que
é cl
aro.
Q
uali
dade
do
que
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teli
gíve
l. L
impi
dez,
tran
spar
ênci
a. Q
uali
dade
vi
sual
que
per
mit
e di
stin
guir
bem
os
obje
tos.
Qua
lida
de d
a vo
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e so
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m;
bom
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bre.
Com
pree
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, per
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ão,
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ento
. M
etod
olog
ia:
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roce
dim
ento
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ino,
ger
al o
u pa
rtic
ular
par
a ca
da
disc
ipli
na; d
idát
ica
teór
ica.
8.9
Prim
eira
men
te, o
pro
fess
or p
reci
sa
conh
ecer
os
conc
eito
s e
as d
efin
içõe
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suas
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etod
olog
ias
de tr
abal
hos.
O
que
o pr
ofes
sor
de
Mat
emát
ica
prec
isa
sabe
r.
8.10
na
Álg
ebra
II,
por
exe
mpl
o, q
ue
é a
Álg
ebra
que
ent
ra a
que
stão
das
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uras
alg
ébri
cas.
8.
10 N
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scip
lina
de
Álg
ebra
II
são
estu
dada
s as
est
rutu
ras
algé
bric
as.
O q
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te o
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o cu
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de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
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8.
11 q
ue e
le s
aiba
o c
once
ito.
Sabe
r: E
star
inf
orm
ado
de,
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r a
par,
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imen
to
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conh
ecer
: C
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rdad
e: S
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dist
ingu
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di
zer.
Pos
suir
am
plos
e e
ncic
lopé
dico
s co
nhec
imen
tos.
T
er
conh
ecim
ento
pr
átic
o de
al
gum
a co
isa
ou
poss
uir
habi
lidad
e ne
la.
8.11
É i
mpo
rtan
te p
ara
o pr
ofes
sor
de
Mat
emát
ica
conh
ecer
o c
once
ito.
Im
port
ânci
a de
co
nhec
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O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber
8.12
se
tu f
alar
em
ane
l e c
orpo
, o q
ue
é tu
ter
o i
nver
so,
o qu
e é
o el
emen
to
neut
ro, q
ue e
les
conf
unde
m a
s ve
zes
o el
emen
to n
eutr
o.
8.
12 É
im
port
ante
par
a o
prof
esso
r de
M
atem
átic
a co
nhec
er a
nel,
corp
o, o
qu
e é
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que
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ro.
O q
ue é
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rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber
8.13
Álg
ebra
é f
unda
men
tal [
...]
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pr
epar
ar
mel
hor
esse
pr
ofes
sor,
pr
inci
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ente
na
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tão,
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im,
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sabe
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ress
ar c
om c
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za. O
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dem
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es,
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r os
con
ceit
os,
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bem
te
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a e
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lgeb
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que
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se e
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clar
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l :
Que
se
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amen
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Impo
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al,
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Cla
reza
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clar
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cia.
Q
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al
que
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bem
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ob
jeto
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uali
dade
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voz
que
soa
bem
; bo
m t
imbr
e. C
ompr
eens
ão,
perc
epçã
o,
ente
ndim
ento
.
8.13
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lgeb
ra é
fun
dam
enta
l pa
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pr
ofes
sor
pode
r se
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sar
mat
emat
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cla
reza
.
A
Álg
ebra
co
mo
um
mei
o pa
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nvol
ver
a co
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icaç
ão
e a
leit
ura
da
Mat
emát
ica.
Im
port
ânci
a da
Álg
ebra
par
a o
trab
alho
do
pr
ofes
sor
de
Mat
emát
ica.
8.14
E a
ter
ceir
a, Á
lgeb
ra L
inea
r [.
..],
seri
a um
a co
ntin
uaçã
o da
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uras
al
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e é
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oria
l.
8.
14 A
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cipl
ina
de Á
lgeb
ra L
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r en
glob
a um
a co
ntin
uaçã
o do
est
udo
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as, q
ue é
o e
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tori
al.
O q
ue é
impo
rtan
te o
alu
no d
o cu
rso
de
Lic
enci
atur
a em
M
atem
átic
a sa
ber
8.15
N
a ve
rdad
e,
ela
serv
e qu
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com
o um
ref
orço
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a es
sa c
oisa
do
dem
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mat
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tam
bém
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Ref
orço
: A
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que
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Aum
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forç
a.
Con
trib
uiçã
o pa
ra a
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liza
ção
de u
ma
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fa; a
uxíl
io.
8.15
A d
isci
plin
a de
Álg
ebra
Lin
ear
refo
rça
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éia
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amen
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A
Álg
ebra
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Mat
emát
ica.
O
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perm
ite
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. 8.
16 [
...]
nós
tem
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ra,
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últi
mo
ano
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cipa
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loca
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ais
uma
Álg
ebra
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Porq
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ão s
abe.
8.
16 P
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ssor
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era
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scip
lina
de
Álg
ebra
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ciat
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po
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Dif
icul
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se
ntid
a no
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abal
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cion
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lgeb
ra.
.8.1
7 E
le t
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pren
der
o co
ncei
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rep
rese
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mat
emat
icam
ente
. R
epre
sent
ar:
Ser
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ão
de;
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ia;
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com
o sí
mbo
lo;
apar
ecer
num
a ou
tra
form
a. S
igni
fica
r; to
rnar
pre
sent
e.
8.17
O c
once
ito
é im
port
ante
par
a qu
e o
prof
esso
r po
ssa
repr
esen
tar
mat
emat
icam
ente
as
id
éias
m
atem
átic
as.
Impo
rtân
cia
de
conh
ecer
o
conc
eito
.
8.18
E,
a pa
rte
de A
ritm
étic
a [.
..] A
h!
Porq
ue i
sso
é um
a m
atér
ia d
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sér
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Ah!
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ma
mat
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érie
. E
ntão
nó
s go
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e te
r um
a di
scip
lina
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teir
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sso.
8.
18
Os
alun
os
perc
ebem
a
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rtân
cia
da
Ari
tmét
ica
para
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caçã
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Os
alun
os
do
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Mat
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cion
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Ari
tmét
ica
com
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trab
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pr
ofes
sor
em
sala
de
aula
. 8.
19
Não
se
i, qu
ando
tu
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em
Álg
ebra
. So
bre
que
aspe
ctos
da
Á
lgeb
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Porq
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mas
co
isas
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espe
ito
e, o
s pr
ópri
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utor
es
não
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rgan
izam
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ão e
ntra
m n
um
cons
enso
de
di
zer
o qu
e é
estu
dar
Álg
ebra
. Tem
ess
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rte
da L
ógic
a.
Con
sens
o:
Con
cord
ânci
a ou
un
ifor
mid
ade
de o
pini
ões,
pen
sam
ento
s,
sent
imen
tos,
cre
nças
etc
., da
mai
oria
ou
da
tota
lida
de
de
mem
bros
de
um
a co
leti
vida
de.
8.19
Não
há
um c
onse
nso
entr
e os
au
tore
s da
Áre
a so
bre
o qu
e é
estu
dar
Álg
ebra
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Não
há
cons
enso
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área
so
bre
o qu
e é
a Á
lgeb
ra e
qua
is o
s ob
jeto
s qu
e es
tuda
.
8.20
Não
tem
um
con
sens
o. P
elo
que
eu t
enho
lid
o, e
u ve
jo n
a m
aior
ia d
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curs
os,
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dife
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ebra
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e é
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e; o
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tingu
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Falt
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ade
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A
lter
ação
di
gna
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aten
ção,
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re
paro
; m
odif
icaç
ão,
tran
sfor
maç
ão.
Car
acte
ríst
ica
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ue é
vá
rio;
div
ersi
dade
, dis
pari
dade
. Fal
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e ha
rmon
ia; d
iver
gênc
ia.
8.20
Os
curs
o de
Lic
enci
atur
a tr
atam
a
Álg
ebra
e
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ritm
étic
a co
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Com
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ipli
nas
de
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ebra
e
Ari
tmét
ica
nos
curs
os
de
Lic
enci
atur
a em
Mat
emát
ica.
8.21
Ach
o qu
e aq
ui, a
Álg
ebra
é i
sso:
L
ógic
a,
Ari
tmét
ica,
te
oria
do
s co
njun
tos,
es
trut
uras
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gébr
icas
e
espa
ços
veto
riai
s.
8.
21 N
esse
cur
so d
e L
icen
ciat
ura,
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Álg
ebra
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Lóg
ica,
Ari
tmét
ica,
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ria
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conj
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s, e
stru
tura
s al
gébr
icas
e
espa
ços
veto
riai
s.
O q
ue é
Álg
ebra
.
8.22
. T
em q
ue d
emon
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r. P
or q
ue
se d
emon
stra
. Pa
ra q
ue e
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e o
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o.
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vés
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io
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sina
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exte
rior
es;
man
ifes
tar.
E
xpor
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24
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25 A
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Matriz Ideográfica
Na próxima página apresentamos a matriz ideográfica construída a partir de
reduções efetuadas com as unidades significativas já articuladas.
Esse procedimento foi realizado mediante leitura atenta das unidades significativas
e respectivas análises, como constantes nas tabelas que expõem as unidades significativas,
as asserções na linguagem do pesquisador e as primeiras reduções. Todo o trabalho é
conduzido pela indagação: o que é isto que está dizendo? Com essa questão, efetuamos o
processo de análise das convergências mais abrangentes e denominam-nas de primeiras
reduções.
Para exemplificar, consideramos a unidade significativa 1.1 ‘A Álgebra dá
sustentação para o conhecimento da Matemática e de outras Ciências’. Ao indagar o que
diz essa asserção, compreendemos que fala o que a ‘Álgebra faz’, como já está indicado na
própria matriz.
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22
9.19
Capítulo – IV
ANÁLISE DOS DADOS:
DAS UNIDADES SIGNIFICATIVAS ÀS CATEGORIAS
No capítulo anterior expusemos o modo como procedemos para elaborar
convergências. Como já foi dito anteriormente, iniciamos com o estudo atento das entrevistas,
selecionamos as unidades significativas, ou seja, trechos do texto que se mostraram
significativos à luz da questão norteadora dessa pesquisa, efetuamos algumas reduções nas
unidades que convergiram entre si e, chegamos a 50 primeiras reduções.
O objetivo deste capítulo é apresentar a análise nomotetética, ou seja, continuar com o
movimento de reduções sucessivas, de modo a caracterizar os invariantes do fenômeno
focado.
A busca das categorias
Ao trabalhar com as primeiras reduções e efetuar o pensamento articulador, foi
possível reunir pela interpretação, os diferentes significados em todos mais abrangentes. Esse
momento da análise caracteriza-se por continuar o movimento das reduções. As 50 primeiras
reduções, expostas na matriz ideográfica, foram novamente estudadas e cruzadas entre si,
resultando em 13 segundas reduções:
1. O que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber.
2. O que ensinar de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
3. O que é Álgebra.
4. Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática.
5. O que os professores de Álgebra do curso de Licenciatura em Matemática pensam sobre
seus alunos.
6. Para que ensinar Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
7. Por que os alunos de Licenciatura em Matemática optaram por esse curso.
8. A Álgebra e a Aritmética no curso de Licenciatura em Matemática.
9. Erros comuns relativos à Álgebra.
10. O que é preciso para ser um bom professor de Matemática.
11. Como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
12. Como os professores de Álgebra vêem o conhecimento de Matemática do aluno de
Licenciatura em Matemática.
13. Como o professor responde a pergunta feita.
Apresentaremos a seguir, um quadro que expõe como fizemos os agrupamentos e
chegamos as 13 convergências. Na primeira coluna apresentamos as 50 primeiras reduções. As
outras 13 colunas correspondem as 13 convergências que chegamos até o momento. As
interseções entre linha e coluna marcadas com um X indicam que a primeira redução converge
para aquela temática. Por exemplo, a primeira redução 3 ‘A presença da Álgebra na
Matemática’ converge para a temática 3 “O que é Álgebra” e, também, para a temática 10 ‘O
que é preciso para ser um bom professor de Matemática’, logo, no cruzamento da primeira
redução 3 com a temática 3 e com a temática 10 marcamos um X.
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Ao trabalhar novamente com as 13 temáticas resultantes elaboramos novas
convergências. Esse novo agrupamento mostra as características gerais do fenômeno estudado.
Desse novo agrupamento chegamos em 5 categorias:
1) O que é Álgebra?
2) Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?
3) Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?
4) Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?
5) Metacompreensão do depoente no processo da entrevista.
Para uma melhor compreensão dos procedimentos desenvolvidos até a caracterização
do fenômeno em estudo, apresentaremos, no decorrer desse texto, os passos que seguimos para
chegar às categorias. A apresentação gráfica, exposta na próxima página, permite uma
compreensão e uma visualização do movimento de agrupar as temáticas por meio das
reduções. Apresentamos todas as categorias em um mesmo quadro para possibilitar uma visão
geral sobre os dados.
1) O que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber
2) O que ensinar de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
1) Concepção de Álgebra?
3) O que é Álgebra.
4) Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática.
5) O que os professores de Álgebra do curso de Licenciatura em Matemática pensam sobre seus alunos.
2) Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?
6) Para que ensinar Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
7) Por que os alunos de Licenciatura em Matemática optaram por esse curso.
3) Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?
8) A Álgebra e a Aritmética no curso de Licenciatura em Matemática.
9) Erros comuns relativos à Álgebra.
10) O que é preciso para ser um bom professor de Matemática.
11) Como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
4) Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?
12) Como os professores de Álgebra vêem o conhecimento de Matemática do aluno de Licenciatura em Matemática.
13) Como o professor responde a pergunta feita.
5) Metacompreensão do depoente no processo da entrevista.
Capítulo –V
SÍNTESE COMPREENSIVA DAS CATEGORIAS E DA INVESTIGAÇÃO
EFETUADA
Nos capítulos anteriores apresentamos o caminho percorrido para chegar às grandes
convergências das descrições e posterior análise dos dados com elas obtidos.
As categorias abertas apresentadas no desenvolvimento desta pesquisa emergiram no
movimento feito durante toda a trajetória daquela análise. Salientamos que este olhar sobre os
dados é um dos muitos possíveis. Outras interpretações poderiam ser feitas sob outros olhares.
Da perspectiva que olhamos o fenômeno, articulamos a compreensão em 5 categorias:
1) Concepção de Álgebra.
2) Para quê Álgebra na Licenciatura em Matemática?
3) Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?
4) Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?
5) Metacompreensão do depoente no processo da entrevista.
A partir desse momento explicitaremos nossa compreensão sobre cada uma das
categorias. A tessitura do texto é realizada, considerando a interrogação norteadora da
pesquisa em um diálogo constante com as falas dos professores de Álgebra dos cursos de
Licenciatura em Matemática, a legislação vigente, a literatura de Educação Matemática que
converge com o tema deste estudo e de nossas compreensões sobre o fenômeno estudado.
5.1 Concepção de Álgebra. Ao perguntar aos professores ‘qual a relevância da Álgebra para a Licenciatura de
Matemática?’, compreendemos que os mesmos, em diversos momentos, expuseram suas
concepções sobre o que é a Álgebra e o que é a Matemática. Construímos essa categoria
considerando as convergências dos cinco eixos temáticos mencionados no capítulo anterior: o
que é importante o aluno do curso de Licenciatura em Matemática saber; o que ensinar de
Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática; o que é Álgebra; a Álgebra e a Aritmética
no curso de Licenciatura em Matemática; erros comuns relativos à Álgebra. Optamos por
apresentar nesse trabalho as concepções dos professores sobre a presença da Álgebra no curso
de Licenciatura em Matemática e, posteriormente, as concepções dos professores sobre o que
a Álgebra é.
5.1.1 Concepção dos professores sobre a presença da Álgebra no curso de Licenciatura em
Matemática
Souza (2008) caracteriza como complicada a disciplina de Álgebra do curso de
Licenciatura em Matemática. Segundo ela, além da dificuldade em encontrar professores para
lecionar tal disciplina, há ainda resistência por parte dos alunos quando o professor começa a
apresentar seu conteúdo. Isso, explica a autora, porque os licenciandos não consideram o
conteúdo da disciplina de Álgebra importante para sua prática como professores de
Matemática da Educação Básica. Diante dessa situação, ela questiona a relevância e a
importância da disciplina de Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática e, também, o
que é importante apresentar ao futuro professor na referida disciplina.
Ao olhar para a legislação vigente, encontramos a Álgebra oferecida no decorrer do
curso de Licenciatura em Matemática, como subdividida em disciplinas para o professor
conhecer e estudar Matemática. A Álgebra não é voltada à discussão sobre como ensinar a
Álgebra na Educação Básica. A Álgebra presente na Educação Básica, em quase todos os
cursos, é abordada nas disciplinas chamadas Fundamentos da Matemática e Álgebra Linear.
Souza (2008), ao falar sobre a Álgebra no curso de curso de Licenciatura em
Matemática, diz que “a primeira pergunta que o aluno faz quando uma nova matéria é
apresentada é a seguinte: isto que eu estou aprendendo, interessa para o meu futuro aluno?”
Quando essa resposta não é esclarecida ou os objetivos da disciplina não são expostos com
clareza para os alunos e professores, afirma que a disciplina de Álgebra permanece
descontextualizada do currículo da Licenciatura.
De acordo com os depoentes, a Álgebra apresentada nos cursos de Licenciatura deve
ser voltada para os conteúdos da Educação Básica, “[...] quando a gente escolhe o conteúdo
que nós vamos trabalhar na Licenciatura, já é pensando naquilo que ele (o aluno desse curso)
vai aplicar. Nunca é só o conteúdo pelo conteúdo (1.15)”. Quando os depoentes falam sobre a
relevância da Álgebra para a Licenciatura consideram que o conteúdo deve ser desenvolvido,
pensando na atuação dos alunos como futuros professores.
Eu destaco como de fundamental importância o trabalho com o anel de polinômios. Porque a gente vê muito no Ensino Fundamental e Médio como técnica. (2.13) [...] trabalhar então com: sistemas, vetores, determinante e focar em cima disso, eu acho extremamente importante. (3.22) [...] num primeiro curso de Álgebra, eu acho imprescindível que o professor, ele tenha uma disciplina que dê importância, não tanto ao conteúdo, mas à forma como aqueles poucos conteúdos vão se desenvolver. Digamos assim, uma habilidade de raciocínio lógico, de percepção dos fatos e, também, de como ele possa se comunicar matematicamente. (4.1). [...] um professor que vai se dedicar ao Ensino Fundamental ou Ensino Médio vai estudar um curso de Álgebra do ponto de vista do tema que ele vai ensinar para seus alunos (4.6).
Encontramos no discurso de todos os professores entrevistados afirmações sobre a
importância do professor de Matemática conhecer os conteúdos que ensina, principalmente no
que diz respeito a sua aplicabilidade. Desse modo, a Álgebra da Licenciatura é fundamental
para dar oportunidade ao aluno desse curso construir um conhecimento organizado e
fundamentado para que, ao atuar como professor da Educação Básica, trabalhe com atividades
que criem um ambiente de aprendizagem aos seus alunos.
[...] o aluno de Licenciatura em Matemática tem que ter a base dele voltada para a Educação Básica.(3.21) E é importante que eles saibam aqueles conteúdos fundamentais de Álgebra do Ensino Médio, por exemplo: solução de equações algébricas, solução de polinômios e, que também eles tenham as noções, pelo menos as básicas, de sistema de equações lineares, de matrizes, [...] esses conteúdos (5.2).
Nesse contexto, a Aritmética emerge como importante, pois apresenta aos futuros
professores os conteúdos com os quais trabalharão em sua prática docente.
Num segundo momento ele poderia estudar Aritmética que seria mais in loco aqueles conteúdos que ele vai lecionar (4.20).
A parte da Aritmética eles todos compreendem que está vinculada diretamente com aquilo que eles vão ensinar (8.5). Na Aritmética eles vão trabalhar isso, eles precisam saber dos conceitos (8.6).
Apesar de considerar que a Álgebra da Licenciatura em Matemática deve ser voltada
aos conteúdos da Educação Básica, no momento em que falam sobre o que é trabalhado na
disciplina de Álgebra, os professores destacam a importância de conhecer as estruturas
algébricas.
[...] professor do Ensino Fundamental e Médio não precisa trabalhar com a visão geral, mas ele precisa saber. (2.14) O aluno deveria saber o que seria uma proposição, saber a diferença do que é uma proposição e do que é uma sentença, o que é uma variável, coisa que, às vezes, num curso mais adiante, a gente já pressupõe conhecido. (4.25) Eu acho também que é importante para eles algum conhecimento daquelas estruturas algébricas como: grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais, para que eles também possam se fundamentar melhor naquilo que eles ensinam (5.4). [...] é bastante importante para a formação do professor que ele também tenha uma sólida formação matemática, [...] (7.14). Ele tem que ter a clareza das definições, ele tem que ter a clareza dos conceitos, para, daí então, poder fazer sua aula com a metodologia que ele achar melhor (8.9). [...] nós podemos considerar Álgebra, que é a parte da Lógica, conjuntos, as relações, as relações de equivalência e de ordem, de congruência, de grupos, anel, anel de integridade, corpo e depois a própria Álgebra Linear, [...] eu considero que o professor que vai ser professor de matemática tem que ter uma visão geral de Álgebra na sua formação (9.13).
Entendemos que os professores, ao trabalharem com as estruturas algébricas, por
exemplo, esperam que seus alunos consigam visualizar a importância para atuar na Educação
Básica. Como isso não acontece, os depoentes, apresentam essa situação como um problema
para o ensino de Álgebra na Licenciatura.
Isso não quer dizer que os estudo das estruturas algébricas não é importante para o
professor de Matemática. Souza (2008) afirma
sem esta disciplina o aluno sai do curso sem o alicerce básico para ensinar os princípios fundamentais da matemática. Faz-se necessário, porém, uma
apresentação destes princípios, mostrando ao aluno a importância da mesma, chamando a atenção para os pontos relevantes e não apenas cumprir currículo e apresentar a teoria de forma vazia e abstrata. Assim como qualquer outra disciplina, a Álgebra deve ser apresentada de maneira a fazer sentido ao aluno o porquê que ela faz parte de seu currículo.
De acordo com Kluth (2005, p. 79), as estruturas algébricas exercem o papel principal
no que a autora denomina de novo ato algébrico para a Matemática, “pois, cada uma delas,
demarca um campo de conhecimento matemático [...]”. A autora caracteriza a importância das
estruturas algébricas para a Matemática como incontestável e irreversível e destaca a
aplicabilidade e a implicação desse campo do conhecimento na Ciência atual.
Segundo Boyer (1996, p. 438), o pensamento matemático expresso por meio das
estruturas matemáticas permite “considerável economia de pensamento”. Um exemplo disso
foi “a descoberta de que a estrutura do sistema dos números complexos era a mesma que a do
plano euclidiano” (BOYER, 1996, p.438). Com isso, percebeu-se que as propriedades do
plano euclidiano, muito estudadas e exploradas pelos matemáticos, poderiam ser aplicadas aos
números complexos.
Quando estudamos o discurso dos professores, percebemos que os mesmos consideram
necessário para o aluno do curso de Licenciatura conhecer a Álgebra presente na Educação
Básica e as estruturas algébricas, principalmente suas aplicações, mesmo que esse estudo não
seja tão aprofundado como ocorre no curso de Bacharelado:
[...] ele não vai estudar tanta Álgebra na Licenciatura (4.8). [...] pelo menos de maneira light, [...], ter uma primeira aproximação no estudo das estruturas algébricas, que são objetos abstratos (6.17).
Os professores sujeitos desta pesquisa explicitam, em seu discurso, que as disciplinas
de Álgebra dos cursos de Licenciatura em Matemática precisam abordar o estudo das
estruturas algébricas e os conteúdos de Álgebra estudados no decorrer da Educação Básica.
Porém, em algumas instituições, encontramos a disciplina de Álgebra do curso de Licenciatura
em Matemática sendo trabalhada e desenvolvida juntamente com a disciplina de Álgebra de
outros cursos. Diante dessa situação, os professores criticam a maneira como sua instituição
organiza o curso de Licenciatura em Matemática.
[...] primeiro eu vou falar do que eu penso e depois do que eu faço
(2.1).
[...] a disciplina de Álgebra Linear não é voltada para o curso de Licenciatura e nem a disciplina de projetos (uma outra disciplina que também apresenta conteúdos de Álgebra). É essa a dificuldade que nós estamos tendo aqui (2.5) Eu acredito que a Licenciatura deve ser diferente do Bacharelado. Só que infelizmente aqui e em outras situações nós temos o problema que é: se tu vais pegar somente as turmas de Licenciatura em Matemática tu tens talvez 10 alunos. E, fazer uma turma somente de dez alunos, se torna economicamente inviável para a instituição. Então o que a instituição acaba fazendo? Ela junta a Licenciatura, Física, Matemática e Engenharia. Tu tens alunos com necessidades diferenciadas e bases diferenciadas. (3.18)
De acordo com alguns professores, nas instituições em que trabalham, o curso de Licenciatura
em Matemática é pouco procurado e não gera lucro suficiente para se automanter. A solução
encontrada pela instituição é reunir em uma mesma turma alunos de cursos diferentes. Assim, na
disciplina de Álgebra Linear, por exemplo, encontram-se alunos de Ciências da Computação,
Engenharia, Física, Química e de outros cursos.
Diante dessa situação, questionamos a formação do profissional formado por esse
curso, que tem as disciplinas desenvolvidas juntamente com outros cursos com objetivos tão
distintos. Como ocorre a preparação desse profissional para o trabalho?
Os professores entrevistados salientaram em seu discurso a necessidade de direcionar a
Licenciatura para a futura atuação desse profissional. Como é possível essa formação, se os
conteúdos de disciplinas como Álgebra e Álgebra Linear são apresentados sem focar a
formação do futuro professor?
5.1.2 Concepção dos professores sobre o que a Álgebra é
Ao olharmos para a História da Matemática encontramos no livro sobre Aritmética Al-
jabr Wa’l Muqabalah, escrito pelo árabe al-Khowarizmi, provavelmente a palavra que deu
origem ao termo Álgebra.
Não há certeza sobre o que realmente significam os termos Al-jabr e muqabalah. De
acordo com Boyer (1996, p.156)
a palavra al-jabr presumivelmente significa algo como ‘restauração’ ou ‘completação’ e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação [sic, de ambos os lados de uma equação], a palavra
muqabalah, ao que se diz refere-se ‘redução’ ou ‘equilíbrio’ – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação.
Com o passar do tempo e com a chegada do livro de al-Khowarizmi na Europa, o
termo Al-jabr passou a ser utilizado para nomear um tipo específico de cálculo.
No discurso dos professores, a Álgebra é compreendida como:
[...] o que está presente em praticamente todo o tipo de conhecimento matemático. (1.3) [...] Álgebra como essa parte generalizadora da Aritmética. (2.2) E eles têm também a disciplina de Álgebra mesmo, que eles trabalham com a questão dos corpos e anéis. (2.7) Eu acho também que é importante para eles algum conhecimento daquelas estruturas algébricas como: grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais para que eles também possam se fundamentar melhor naquilo que eles ensinam também. (5.4) Álgebra é [...] como área da Matemática [...] parte sintética da Matemática. (6.1) [...] sobre as necessidades de futuros professores de Matemática, [...] equações algébricas [...] é essencialmente a base da Álgebra. (6.14) A Álgebra nasceu de equações. Então, é aí que eu acho que está um pouco a essência da Álgebra. E, nesse sentido, ela é fundamental para o professor de Matemática. (6.15) Acho que aqui, a Álgebra é isso: Lógica, Aritmética, teoria dos conjuntos, estruturas algébricas e espaços vetoriais. (8.21)
Conforme já explicitamos no Capítulo I, inicialmente a Álgebra era a generalização de
conceitos da Aritmética. Posteriormente, ela passou a ser compreendida como a Linguagem da
Matemática. Atualmente, podemos considerar a Álgebra como o campo da Matemática que
estuda as estruturas da Matemática e as relações existentes entre tais estruturas.
No decorrer do discurso dos professores, percebemos que alguns justificam a
importância da Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática apenas por generalizar os
conceitos da Aritmética que compreende boa parte dos conteúdos de Matemática trabalhados
no Ensino Fundamental.
Quando os professores definem a Álgebra como uma Linguagem, referem-se à Álgebra
como um meio de escrever, compreender e comunicar as idéias da Matemática. Com essa
compreensão, a Álgebra se torna fundamental para o Licenciado e para seu trabalho como
professor. Ao ensinar Álgebra, ensina uma nova Linguagem ao estudante. Compreendemos
Linguagem como comunicação e modos de estruturar a produção de conhecimento. A
linguagem da Matemática comunica e, nesse sentido, é um modo de o ser humano se
expressar. Além disso, ela é sustentada por uma sintaxe, uma semântica e uma pragmática
específicas que vão organizando e sustentando a própria produção e comunicação desse
conhecimento.
Alguns dos professores compreendem a Álgebra como o estudo das Estruturas. Porém,
ao discorrerem sobre o assunto, reconhecem que não há uma aplicação direta desses conceitos
nos conteúdos da Educação Básica. Entretanto, justificam a necessidade de o professor
conhecer as Estruturas para um aprofundamento teórico sobre o campo de conhecimento da
Matemática, seu objeto de trabalho.
5.2 Para que Álgebra na Licenciatura em Matemática?
Ao focarem ‘qual a relevância da Álgebra para a Licenciatura em Matemática?’, os
professores justificam, pelos seues depoimentos, o para que é necessário a disciplina de
Álgebra na Licenciatura em Matemática. Chegamos a essa categoria por meio da convergência
de dois eixos temáticos: ‘Importância da Álgebra no trabalho do professor de Matemática’ e
‘Modo pelo qual os professores de Álgebra vêem seus alunos’.
5.2.1 Concepções dos professores sobre a importância da Álgebra no trabalho do professor de
Matemática
De acordo com os depoentes, a importância da Álgebra se dá devido a sua presença em
todos os ramos da Matemática e em virtude de sua aplicabilidade.
Álgebra é fundamental [...] para preparar melhor esse professor, principalmente na questão, assim, de saber se expressar com clareza. Olhar as demonstrações, olhar os conceitos, a parte bem teórica e abstrata da Álgebra, para que conheça e consiga se expressar de forma mais clara ( 8.13). [...] se o professor não compreende Álgebra, não compreende os conceitos, não compreende onde é que se usa isso, ele não compreende onde é que se
usa isso, ele não compreende o que e como aplicar isso para a sala de aula e como formar o pensamento algébrico (9.8)
Afirmam que o curso de Licenciatura precisa trabalhar a Álgebra focando a Educação
Básica “[...] um professor que vai se dedicar ao Ensino Fundamental ou Ensino Médio vai
estudar um curso de Álgebra do ponto de vista do tema que ele vai ensinar para seus alunos
(4.6)”. Essa ligação da Álgebra da Licenciatura com a da Educação Básica apresenta-se como
uma dificuldade no desenvolvimento dessa disciplina.
O grande problema da Licenciatura é [...] é levar para quem tu estás ensinando a visão concreta (3. 3.7) Porque ele não consegue visualizar aquilo aplicado lá (3.32) [...] ele vai ser professor de matemática. Talvez, para os alunos que ele vai ter, ele nunca utilize Álgebra, especificamente na sua vida (6.5). Os alunos [...] da Licenciatura, muitas vezes, não reconhecem ou não enxergam a importância da disciplina na sua atuação profissional (7.20).
Apesar da dificuldade que os alunos do curso de Licenciatura em Matemática têm em
relação a Álgebra, os depoentes consideram que essa disciplina é fundamental para futuros
professores de Matemática, pois, sem ela, “o aluno sai do curso sem o alicerce básico para
ensinar os princípios fundamentais da Matemática“ (SOUZA, 2008).
5.2.2 A Álgebra como um modo de desenvolver habilidades e competências no futuro
professor de Matemática
A Álgebra como um meio para desenvolver habilidades e competências no futuro
professor de Matemática está presente explicita e implicitamente nas falas dos depoentes
[...] ele saber Matemática é [...] é o normal. O resto que vai fazer dele um bom professor, é composto por [...], não só por habilidades matemáticas, mas por habilidades de ser humano. (1.11) Eu acho imprescindível que o professor de Matemática tenha habilidades nessa forma de se comunicar matematicamente. (4.3)
O conteúdo é menos importante. Eu acho que nós damos muito mais ênfase em desenvolver habilidades [...].de leitura, de comunicação, de leitura plena de alguma coisa e de comunicação. (1.7)
Álgebra Linear ele tem que entender bem o conceito e saber bem a notação que ele está usando, a simbologia, é isso. (3.28) [...] num primeiro curso de Álgebra, eu acho imprescindível que o professor, ele tenha uma disciplina que dê importância, não tanto ao conteúdo, mas a forma como aqueles poucos conteúdos vão desenvolver. Digamos assim, uma habilidade de raciocínio lógico, de percepção dos fatos e, também, de como ele possa se comunicar matematicamente. (4.1)
Consideramos que a ênfase dada à Álgebra como um meio de desenvolver habilidades
no futuro professor de Matemática pode estar apoiada na legislação vigente e nos PCNs, onde,
no decorrer do texto, em vários momentos, é atribuído e a Matemática e ao professor dessa
disciplina na Educação Básica a função de desenvolver habilidades.
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (BRASIL, 1997, p. 117).
O dicionário43 traz para a palavra habilidade o significado de “qualidade de hábil,
capacidade, inteligência, aptidão, engenho, destreza, astúcia, [...]”.
Os professores, em suas falas, reproduzem o sentido da palavra habilidade expresso
nos PCNs. Apresentam como um dos objetivos da disciplina de Álgebra, desenvolver
habilidades matemáticas, no sentido de promover aprendizagem no futuro professor, para que
este, ao atuar em sala de aula, consiga “organizar e coordenar as situações de aprendizagem,
adaptando suas ações às características individuais dos alunos, para desenvolver suas capacidades e
habilidades intelectuais”. (BRASIL, 1997, p. 28).
Quando, em suas falas, os professores usam termos como “habilidades de ser humano” (1.11),
consideramos, que de modo implícito, trazem a concepção de educação proposta pela legislação atual.
O ensino proposto pela LDB está em função do objetivo maior do ensino fundamental, que é o [...] desenvolvimento da capacidade de aprendizagem, tendo em vista a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação de atitudes e valores. (BRASIL, 1997, p. 12).
Nesse sentido, habilidade (Matemática ou não) é compreendida como algo possível de
ser desenvolvido. Por habilidades, consideramos que os professores compreendem desde a
43 Dicionário online disponível em: www.bol.com.br. (acessado em 19/01/2009).
aprendizagem de conhecimentos Matemáticos, sendo estás relativa ao curso de Licenciatura
ou às aulas de Matemática no decorrer da Educação Básica, até a formação de caráter nas
crianças ao longo do Ensino Fundamental.
Diante da amplitude desse assunto e das diferentes possibilidades de compreendê-lo no
âmbito da Educação Matemática, sugerimos uma investigação temática, com o objetivo de
desvelar os diferentes modos de compreendermos o termo, o que é uma habilidade e como a
aprendizagem e o ensino da Álgebra pode desenvolver habilidades.
5.3 Como trabalhar Álgebra na Licenciatura em Matemática?
Ao falarem sobre a relevância da Álgebra para a Licenciatura de Matemática os
professores apresentam suas concepções sobre como ensinar Álgebra no curso de Licenciatura
em Matemática. Essa categoria foi construída por meio da convergência de dois eixos
temáticos: O que é preciso para ser um bom professor de Matemática e Como trabalhar a
Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática.
5.3.1 Concepções dos professores sobre como trabalhar a Álgebra no curso de Licenciatura
em Matemática.
Segundo os professores entrevistados a Álgebra do curso de Licenciatura em
Matemática deve ser diferente da Álgebra apresentada nos cursos de Bacharelado em
Matemática.
Por isso, nós aqui na Universidade temos bastante claro quais são as diferenças entre a Álgebra da Licenciatura e a do Bacharelado, por exemplo ( 6.23). O bacharel, digamos, vai ser um futuro cientista, ou professor de Universidade (6.24).
É por isso que eu acredito que a Álgebra da licenciatura tem que ser diferente
da do bacharelado ( 3.17).
E, o licenciando não, seu curso está pensado para um futuro professor de
Matemática que vai trabalhar com alunos até o Ensino Médio e, onde o nível
de abstração é muito menor (6.25).
Os cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática, quando existem concomitantemente
na Universidade, têm uma base comum, tanto em termos de disciplinas (Cálculo, Álgebra, Geometria,
Análise etc) como em termos de objetivos do curso, no sentido de formar um cidadão capaz de exercer
sua profissão, adaptar-se às novas tecnologias , tornar-se autônomo, entre outros. Mas os egressos
desses cursos saem com habilidades distintas. O bacharel é um profissional voltado para pesquisa
científica, enquanto o licenciado será professor da Educação Básica.
Para o licenciado em Matemática, há um consenso entre os professores sobre a não necessidade
de estudar certas complexidades das estruturas da Álgebra e conhecer todos os conceitos trabalhados
ao longo da Educação Básica. Nesse sentido, apresentam a necessidade de, no decorrer do trabalho
com as disciplinas de Álgebra, discutir os conceitos que futuramente trabalharão na Educação Básica.
[...] ele (o aluno do curso de Licenciatura em Matemática) vai fazer pequenas
demonstrações (1.8).
Se pudesse focar no aluno de Licenciatura, tu poderias tratar mais especificamente esses aspectos mais diretamente para quem vai usar aquilo para o ensino e não simplesmente para trabalhar com aplicação prática em algumas áreas (3.19). [...] para o professor de Matemática, ou o futuro professor, a Álgebra deve ser abordada de maneira mais elementar (6.27). Eu acho que o professor de Matemática, ele tem que ter toda a sua formação e Licenciatura voltada para o ensino, para o Ensino Fundamental e Médio que é o foco (3.30).
[...] ele saber Matemática é [...] é o normal. O resto que vai fazer dele um bom professor, é composto por [...], não só por habilidades matemáticas, mas por habilidades de ser humano. (1.11) Eu não entendo um curso de Licenciatura sem ir a fundo nessas questões. Uma visão geral das questões básicas, com demonstrações, o professor sabendo achar caminhos lógicos para explicar algumas demonstrações importantes, pelo menos as mais importantes. (9.18)
Na última frase, observamos que na concepção da professora, para ser um bom
professor de Matemática é necessário ter mais do que conhecimento da Matemática que ele vai
ensinar, ele precisa desenvolver “habilidades de ser humano”. Compreendemos que, com isso,
a professora enfatiza que ser professor de Matemática é mais do que domínio do conteúdo. É
preciso compreensão, paciência e envolvimento com o que faz.
Nesse sentido, Fiorentini (2004) ressalta que
a maioria dos professores de Cálculo, de Álgebra, de Análise de Topologia etc... acredita que ensina apenas conceitos e procedimentos matemáticos. Eles, geralmente, não percebem ou não têm consciência que ensinam também um jeito de ser professor, isto é, um modo de conceber e estabelecer relação com a matemática e de ensiná-la, aprendê-la e avaliar sua aprendizagem.
Nessa perspectiva, podemos afirmar que a disciplina de Álgebra no curso de
Licenciatura contribui também para a formação pedagógica do professor, pois, ele não está
apenas estudando um campo do conhecimento matemático, mas também, aprendendo um
modo de ser professor.
5.4 Como o professor percebe o aluno do curso de Licenciatura em Matemática?
A pesquisa tem por meta conhecer as concepções de Álgebra de professores que
trabalham com essa disciplina nos cursos de Licenciatura em Matemática. Esta categoria que
fala do perfil do aluno, licenciando em Matemática, está presente no discurso dos professores
entrevistados.
Os depoentes destacam de modo significativo a dificuldade que seus alunos expressam
na aprendizagem da Matemática formal, principalmente nos tópicos referentes às estruturas
algébricas e atribuem essa dificuldade ao fato de esses alunos não verem aplicabilidade desse
conhecimento em seu futuro trabalho como profissional da Educação Básica.
[...] tu tens que mostrar a aplicabilidade de Matemática, que é a dificuldade do aluno (3.2). Onde é que eu vou aplicar isso no meu cotidiano? ( 3.3). O grande problema da Licenciatura é levar para quem tu estás ensinando a visão concreta. (3.7) [...] Os alunos [...] da Licenciatura, muitas vezes, não reconhecem ou não enxergam a importância da disciplina na sua atuação profissional (7.20).
Consideram que os alunos têm grande dificuldade em trabalhar com abstrações e
conceitos matemáticos. Segundo eles, este é um dos motivos que faz com que os alunos
rejeitem a Álgebra.
Tem uma grande rejeição à disciplina [...] os alunos não estão dispostos a estudar aquilo, tem uma certa indisposição, diga-se, de fazer aquilo. Isso
acaba criando uma barreira, que na verdade não precisaria estar ali. Eu acho que se essa barreira, essa pré-indisposição, esse pré-conceito, [...] Tem um bloqueio bastante grande, uma recusa até. Eu acho que isso dificulta bastante até o desenvolvimento da disciplina. (7.19). Porque, para o professor de Matemática, para ele é um esforço muito grande. Em geral, o professor de Matemática, ele não quer ser um cientista (6.18). Para ele é muito difícil porque vem de um colégio que é péssimo (6.32). Na abstração eles têm bastante dificuldade (7.9).
Os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, conforme os depoentes, em sua
grande maioria não apresentam uma boa escolaridade pregressa, dificultando o
acompanhamento das atividades trabalhadas nas disciplinas de Álgebra. Além disso, em geral,
são alunos que trabalham em outros turnos, o que acarreta falta de disponibilidade para
dedicarem um tempo maior ao estudo. Acrescido a esses aspectos, consideram a Álgebra de
pouca utilidade no futuro trabalho que desenvolverão junto aos alunos da Educação Básica,
uma vez que os conteúdos estudados na graduação não serão objeto de atividades a serem
desenvolvidas com os futuros alunos.
Mesmo diante das dificuldades e conforme expusemos na categoria 5.1, os depoentes
constatam que o estudo das estruturas algébricas é importante para a fundamentação
matemática desse futuro profissional. Desse modo, consideram a formação pedagógica
necessária para o professor, porém, atribuem a qualidade de ser “bom professor de
Matemática” àqueles que também têm uma formação consistente na referida área.
[...] é bastante importante para a formação do professor que ele também tenha uma sólida formação matemática, [...] Embora eu tenha feito Licenciatura [...], eu sempre dei muita importância à formação matemática. Na verdade, salientaria esse item como mais importante para lecionar. (7.14) [...] o professor de Matemática deve ter um domínio [...], de Matemática bastante abrangente. (7.11) Para aprender a escrever matematicamente e que ele tenha uma noção que ele tem que se expressar de forma clara e objetiva para poder passar isso para o aluno depois. Outro ponto que eu acho fundamental é a formação dos pensamentos no futuro professor. [...] formar o pensamento aritmético, algébrico, geométrico e combinatório probabilístico. (9.6)
Eu acho imprescindível que o professor de Matemática tenha habilidades nessa forma de se comunicar matematicamente. (4.3)
Ao falarem sobre o aluno do curso de Licenciatura em Matemática, os professores
destacam, ainda, a importância de ele gostar do que faz, do que estuda e do que tem
possibilidade de vir a ser enquanto profissional da educação.
[...] particularmente é uma das cadeiras que eu mais gostava na graduação. (3.6) Mas eu acho que a Matemática tem uma cativa, ela tem coisas interessantes, uma beleza intrínseca e que o professor deve ver uma beleza nisso, pelo menos eu acho. (7.21) Se eu não visse essa beleza na Matemática em si, [...] eu não seria professor. (7.22) Gostar disso, é isso que está faltando muito para os nossos alunos. (7.23)
Ressaltam que nem sempre os alunos optam pelo curso de Licenciatura em Matemática
devido ao gosto pela Matemática. Afirmam que muitas vezes o que esses estudantes buscam é
uma graduação em que há demanda de profissionais.
Às vezes eles estão aí mais para ter uma profissão que eles querem ter um ganha pão e não pensaram que essa profissão tem todo um contexto [...] (7.24).
Portanto, em alguns casos, conforme os depoentes, o que leva o aluno a escolher esse
curso não é o interesse pela Matemática, mas sim, a falta de professores de Matemática no
mercado de trabalho e, conseqüentemente, a possibilidade de emprego quando egresso do
curso.
5.5 Metacompreensão do depoente no processo da entrevista
A questão encaminhada com o intuito de desencadear as ‘entre-vistas’ pode levar os
depoentes a refletirem sobre o que está sendo focado. No caso dessa pesquisa é a questão
concernente à importância da Álgebra na formação de professores de Matemática.
Compreendemos que a entrevista não se constitui em apenas um momento de obtenção dos
dados do depoente, mas ela própria contribui com a metacompreensão da questão formulada,
no sentido de que o sujeito da ‘entre-vista’ busca, dentre suas experiências, por vivências que
dêem a ele sustentação para formular a resposta.
Nesta pesquisa, a metacompreensão emerge como uma idiossincrasia44 entre as unidades
de significado presentes na análise ideográfica e passíveis de convergências. A unidade de
significado 6.8, expressa no discurso do depoente 6, dá indícios dessa metacompreensão
quando o depoente indaga pelo que a questão interroga. Ele diz: “mas sua pergunta é muito
ampla [...]. Por exemplo, para que serve e em que sentido? Para que serve na função de
professor ou na sua vida pessoal? Ou na profissão dele? [...] (6.8)”,
Quando o entrevistado comenta “mas sua pergunta é muito ampla [...]”, compreendemos
que o mesmo considera a questão, da maneira como foi apresentada, uma questão abrangente,
pois, lhe assegura a possibilidade de seguir por diversos caminhos, cabendo a ele optar pelo
mais interessante para formular a resposta.
Ao questionar a relevância da Álgebra para a formação do professor de Matemática em
diversos sentidos, como em sua função como professor, em sua profissão ou em sua vida
pessoal, essas indagações levam-no a pensar sobre sua própria compreensão a respeito desse
assunto.
Nesses movimentos do pensar, os sujeitos da pesquisa articulam o modo como
compreendem a Álgebra no processo de formação de professores de Matemática e expõem o
que, para eles, se mostrou mais significativo, seja sobre o contexto no qual estão inseridos,
sobre os problemas que percebem nos cursos de Licenciatura em que trabalham, ou sobre
sugestões de mudanças na estrutura desses cursos etc.
Nesse sentido, encontramos convergências sobre o modo como procedemos no
desenvolvimento desta pesquisa e a modalidade de pesquisa reflexiva, por compreender a
entrevista como um encontro no qual a pesquisadora e o entrevistado vão, juntos, refletir sobre
o tema proposto.
A entrevista face a face é fundamentalmente uma situação de interação humana, na qual estão em jogo as percepções do outro e de si, expectativas, sentimentos, preconceitos, interpretações e constituição de sentido para os protagonistas - entrevistador/es e entrevistado/s. Da mesma forma que quem entrevista tem/busca informações, quem é entrevistado também está processando um conjunto de conhecimentos e pré-conceitos sobre o
44 De acordo com Bicudo (2000, p. 92) , idiossincrasia são os invariantes ou os individuais do fenômeno estudado.
interlocutor e organizando suas respostas para aquela situação. Quem pesquisa tem uma intencionalidade, que vai além da mera busca de informações: pretende criar uma situação de confiança para que o entrevistado se torne mais receptivo, pretende passar uma imagem de credibilidade e quer que o interlocutor colabore, trazendo dados relevantes para sua pesquisa. A concordância em participar como informante, de uma pesquisa, já é indicador de uma intencionalidade por parte do entrevistado – pelo menos a de ser ouvido, acreditado e considerado, o que caracteriza o caráter ativo de sua participação enquanto desenvolvimento de modos de influenciar o/a interlocutor/a (Szymanski, 2001, p. 197).
Apesar desta categoria ser construída devido a partir da fala de apenas um professor, ou
seja, é uma idiossincrasia, pois não converge para as outras categorias, como ocorre com as
demais unidades de significado, ela é importante, pois, solicita ao pesquisador um pensar a
respeito do que significa formular a questão que desencadeará um processo de ‘entre-vista’,
sem trazer em seu modo de apresentação a imposição de uma verdade ou de um julgamento
pré-estabelecido, negando ao entrevistado a possibilidade de comentar sobre outros aspectos
que não foram englobados na questão.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A CAMINHO DA
METACOMPREENSÃO DA PESQUISA
Iniciamos esta pesquisa com o objetivo de investigar como os docentes que atuam em
cursos de formação de professores de Matemática compreendem a Álgebra, como a estudam e
como a trabalham com seus alunos, futuros professores. A interrogação “como os professores
de Álgebra, dos cursos de Licenciatura em Matemática, compreendem e trabalham a Álgebra,
em termos de conteúdo e prática pedagógica?” conduziu a pesquisa que ora converge para
uma compreensão mais abrangente em relação ao ponto de partida.
Conforme está exposto no Capítulo I, iniciamos o estudo desse tema adentrando por
algumas passagens nos campos da História da Matemática, História da Legislação Brasileira e
Filosofia da Matemática. Consideramos as leituras efetuadas importantes, pois nos
conduziram à compreensões sobre o modo como a Álgebra está organizada atualmente na
Educação Básica e no Ensino Superior, mais especificamente no curso de Licenciatura em
Matemática.
No âmbito da História da Matemática deparamo-nos com concepções de Álgebra
mantidas em diferentes épocas: Álgebra como uma expansão da Aritmética, como estudo das
equações, como estudo das estruturas algébricas, entre outras. Na Filosofia da Matemática,
estudamos o intuicionismo, o formalismo e o logicismo, movimentos que ocorreram
concomitantemente com a elaboração da Álgebra Moderna, influenciando sua organização.
Na história das legislações brasileiras observamos as diferentes concepções sobre Álgebra
presentes no ensino e as mudanças constitucionais que ocorreram ao longo do século passado
até os dias atuais, possibilitando a compreensão do modo como a Álgebra está organizada
legalmente na Educação nacional. Esses estudos nos revelaram diferentes perspectivas das
quais se pode conceber a Álgebra. Mais do que isso, compreendemos as diferentes concepções
que se revelavam e escondiam nos discursos dos depoentes.
Ao refletirmos sobre o que se mostrou significativo na construção das categorias, um
dos destaques é a presença da Álgebra na Licenciatura em Matemática. No decorrer do curso,
segundo os depoentes, é preciso pensar a formação do professor para atuar na Educação
Básica. Ao se pronunciarem sobre a relevância da Álgebra na formação do professor,
destacam a importância do estudo das estruturas algébricas como fundamental para a
formação desse profissional.
Em suas falas, os depoentes dizem que os alunos não vêem as estruturas algébricas
como relevantes para o professor de matemática, em virtude do distanciamento entre o que
estudam na licenciatura e o que julgam importante trabalhar na educação básica, que não
abrange a abordagem desse conhecimento. Ou seja, para eles, a falta de conexão entre a
educação básica e o ensino superior é uma barreira que interfere na aprendizagem desse
conteúdo e que vem dificultando o desenvolvimento da Álgebra como disciplina na
Licenciatura.
Os depoentes consideram importante uma formação sólida no que diz respeito à base
matemática e pedagógica do curso, para que o egresso não apenas exerça sua profissão, mas
que faça a diferença pelo conhecimento que lhe confere possibilidade de se movimentar de um
modo mais livre e comprometido quando docente. Compreendem que os futuros professores
atribuem importância aos conteúdos quando vislumbram aplicação direta desse conhecimento
para a Álgebra elementar, trabalhada na Educação Básica.
Desse modo, nesta pesquisa destacou-se a ênfase que os professores dão à formação
matemática do professor. Em suas falas, os depoentes destacam a relevância da formação
pedagógica do professor de Matemática, no sentido de conhecer várias metodologias de
ensino, preparar aulas diversificadas, trabalhar com a realidade do aluno etc, mas consideram
a formação matemática como central, ou seja, o diferencial para ser um “bom profissional”.
A organização do curso de Licenciatura em Matemática também é abordada pelos
depoentes, com críticas e sugestões. As principais críticas são de professores que trabalham
em instituições particulares. Segundo eles, o curso necessita de um número mínimo de
estudantes para se manter. Como, nos últimos anos, isso não vem ocorrendo, a solução
encontrada por essas instituições para manter os cursos é formar grandes turmas para
disciplinas comuns a diversos cursos (Matemática, Física, Química, Engenharia, ...). Nessas
instituições, a Álgebra não é voltada para a formação docente, mas é apresentada de maneira
genérica a todos os alunos, dos diversos cursos, ao mesmo tempo. Nesse aspecto, o aluno do
curso de Licenciatura é prejudicado, porque, no decorrer da disciplina, não há como o
professor discutir ou trabalhar o conteúdo, focando-a na atuação desse estudante como futuro
professor. Essa situação, onde a instituição promove um curso mais barato, em menor tempo e
com menos qualidade, têm sido algo comum no estado do Rio Grande do Sul e em termos de
Brasil. Desse modo, há a necessidade de um acompanhamento e avaliação mais próximos da
instituição por parte dos órgãos competentes.
Sobre os alunos do curso de Licenciatura em Matemática, os depoentes os
caracterizam como estudantes vindos de escolas públicas e que, na maioria das vezes, pelo
estudo pregresso têm dificuldade em apreender conceitos mais elaborados apresentados no
decorrer da Licenciatura. Outra dificuldade que apontaram com relação a esse aluno é sua
condição social. Segundo os depoentes, ele freqüenta a universidade em um turno e, por
necessidade, trabalha no outro. Isso dificulta uma maior dedicação aos estudos e mostra-se
como um obstáculo à formação matemática do professor, considerada a mais importante na
formação desse profissional. Segundo os depoentes, o curso de Licenciatura em Matemática
está fortemente relacionado à promessa de emprego para os licenciandos quando egressos do
curso, devido à demanda desses profissionais no Estado. Isso traz para o curso muitos
estudantes interessados em um emprego futuro e que não valorizam a profissão. Como
conseqüência, são formados profissionais que não estão abertos às reflexões sobre o contexto
educacional.
Considerando a formação de profissionais que vão atuar na educação e, no exercício
de sua profissão, enfrentar as complexidades dos processos de ensino e de aprendizagem,
temos que as compreensões dos professores de álgebra, expostas nessa pesquisa, sinalizam a
importância de outras investigações que busquem esclarecer perspectivas da presença da
Álgebra no curso de Licenciatura em Matemática em sintonia com a formação do professor de
Matemática.
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