moderne logik og dens historie (jf. allen 1987, 515)

Jörg Zeller FOL-modul1 1

Moderne logik og dens historie(jf. Allen 1987, 515)

Logik har en lang historie der går tilbage til før Aristoteles.

Den moderne logik begynder at udvikle sin nuværende form med Frege, Peano og Peirce i slutningen af det 19. årh.. De nævnte gælder som stamfædre for den form for logik, den såkaldte Første Ordens Logik (forkortet FOL), som vi i det følgende vil beskæftige os med.

Den moderne propositions- eller sætningslogik (forkortet PL), som er en del af FOL, har ligeledes rødder i det 19. årh. hos G. Boole (1815-1864) og A. De Morgan (1806-1871).

Den modelteoretiske semantik, som er den moderne logiks fremherskende betydningsteori, blev udviklet af den polske logiker A. Tarski i 1930erne og 1940erne.


Aristoteles 384-322 f. Kr.

Gottlob Frege 1848-1925

Alfred Tarski 1902-1983

G. Boole 1815-1864

Charles S. Peirce 1839-1914

G. Peano 1858-1932

A. de Morgan 1806-1871


Hvad logik kan bruges tili humanistiske studier?

Logik kan bruges til at undersøge strukturer der kan bære en mening. Det man kan finde ud af vha. logik, er hvordan den mening tingene bærer, er afhængig af den struktur de er dele af.


Hvad er struktur?

Leksikalt: lat. structura, afledt af struere, bygge, opbygge, ordne), (indre) opbygning, sammenføjning.

Fagsprogligt: 1. (generelt) Den indbyrdes sammenhæng mellem dele, der danner en helhed; den måde, de forskellige dele i en helhed er ordnet på i forhold til hinanden. 'S.' kan også betegne den ordnede helhed.

2. Mere specielt sammenhængen mellem elementer, der er indbyrdes forbundne efter bestemte love, regler el principper. S. er da de lov- el. regelbestemte relationer mellem elementerne.

(Lübcke 1996, 414)


Der følger to billeder, modelsituation1 og modelsituation2 der skal bruges til demonstration og

øvelser


modelsituation1


modelsituation2


Mulige verdener, situationer,strukturer

De viste billeder kan opfattes som repræsentationer af små begrænsede VERDENer eller SITUATIONer.

Logikken kan bruges til at finde ud af hvilken STRUKTUR en sådan verden har og hvad man kan slutte (dvs. drage viden ud) af denne struktur.


Logisk struktur,prædikativ struktur

En situations logiske struktur har noget at gøre med hvad man kan (ud)sige om situationen, dvs. hvilke GENSTANDE der findes og hvilke EGENSKABER og RELATIONER de har.

Hvordan dette stof hænger sammen, dvs. hvilke genstande der har hvilke egenskaber og relationer, udgør situationens prædikative struktur.

Genstande, egenskaber og relationer udgør det ’stof”, en situation eller verden logisk set er bygget af.


Logisk syntaks, semantik

For at undersøge de logiske forhold i en verden eller situation opbygger man en symbol-struktur eller et logisk sprog, der kan repræsentere strukturen i situationer og verdener.

Det logiske sprogs struktur reflekteres i reglerne for at danne korrekte udtryk i dette sprog og kaldes logisk syntaks.

En situation eller verden der har samme struktur som et logisk sprog, kaldes en model for dette sprog.

Med forholdet mellem et logisk sprog og dets mulige modeller beskæftiger sig den logiske semantik.


Figur 1Logik situation

Undersøger hvilken struktur der passer til en situation

semantikmodel Undersøger hvilke

situationer/modeller der passer til en struktur


Genstande og deres relationer

Genstande kan på forskellige måder være relateret til hinanden:

• rumligt: fx TERMOKANDE1 er [i modelsituation1]ved siden af MÆLKEKARTON2

• biologisk: fx PERSON1 er kusine til PERSON2

• social: fx PERSON3 er nabo til PERSON1


tilstand, begivenhed, handling og deres relationer

Tilstande, begivenheder og handlinger der kan være del af en situation, står ikke kun i rumlige, men også i tidslige relationer til hinanden.

Eksempel: i modelsituation 1 kunne en begivenhed (begivenhed 4) være at person 1 kikker i retning af person 2. En anden, senere begivenhed (begivenhed 6) kunne være at person 4 drikker en slurk kaffe. Der gælder altså:

BEGIVENHED4 finder sted før BEGIVENHED6


Lokalisering i tid og rum

I den virkelige verden er genstande, tilstande, begivenheder, handlinger og hele situationer rumligt og tidsligt LOKALISEREDE.

Dvs. de befinder sig et bestemt sted i tid og rum

I forbindelse med modelsituation2 kan man forestille sig to begivenheder:

Begivenhed1(B1) = BARN4 løftes op på GED og Begivenhed2 (B2) = BARN4 sidder på GED

hvor der gælder B1 før B2.


Mening, virkning, information

Strukturer kan bære mening.

I den virkelige verden opstår sammenhænge og relationer gennem de virkninger genstande udøver på andre ting.

Informationsteoretisk set består information i virkninger af en genstand (sender/kilde) på andre genstande (modtager).

Mening er resultat af en processering (bearbejdelse) af sådanne påvirkninger til information om hvad disse påvirkninger betyder for modtageren.

Isolerede genstande har ikke mening. Mening opstår i sammenhæng med eller relation til andre genstande.


Logik som strukturbeskrivelse af en verden eller situation

Billeder som de ovenfor viste (modelsituation 1 og 2) repræsenterer en afgrænset statisk verden/situation.

Enhver verden eller situation har en bestemt struktur eller form. Den består i de (forskellige typer af) elementer (genstande) der ”beboer” eller udfylder denne verden samt deres egenskaber og relationer.

En logik for en bestemt verden eller situation består i en strukturel eller formal beskrivelse (vha. af et formalt sprog) af denne verden, dvs. af de genstande, egenskaber og relationer verdenen består af.

Dertil kommer regler der bestemmer hvilke slutninger man kan drage af denne beskrivelse.


Logik og naturlige sprog

Moderne logik er blevet udviklet som et formalt sprog (se glossar: formalt system) for at få fat i de egenskaber i naturlige sprog og tænkning der gør dem til videnssystemer.

Som følge deraf har mange logiske strukturegenskaber nogle paralleller i naturlige sprog.

En grundlæggende strukturegenskab kommer sprogligt til udtryk i forskellen mellem udtryk der identificerer objekter og udtryk der tilskriver dem egenskaber eller relationer.


Prædikatslogik

I det følgende opbygges der et logisk sprog der kan betegne objekter og tilskrive egenskaber og relationer til disse. Det kaldes et prædikatlogisk sprog.

Dette sprog bliver senere udvidet vha. sætningsoperatorer, også kaldet konnektiver.

Disse konnektiver gør det muligt at danne komplekse sætninger.


Termer og propositioner

I naturlige sprog bruger man nominaludtryk (egennavne, navneord, navneordsforbindelse) eller stedord til betegnelse af objekter, mens sætninger tilskriver egenskaber eller relationer til objekter.

I prædikatslogikken (mere præcist: Første Ordens Prædikats-Logik) differentierer man på en lignende måde mellem termer som betegner objekter i verden, og propositioner (udsagn) som påstår noget om objekter i verden.


Anmærkning til FOL

Udtrykket første ordens logik hænger sammen med spørgsmålet hvilke typer ting man i det benyttede sprog kan gøre til genstand for en prædikation.

I naturlige sprog kan man fx både sige noget om individer og de egenskaber eller relationer individerne har (i en bestemt situation).

Det kan man ikke i et første ordens sprog. Her kan man kun sige noget om individuelle ting, men ikke om deres egenskaber eller relationer.

Har man fx i et første ordens sprog et prædikat RØD( ), så kan man ikke sige FARVE(RØD), fordi så ville man bruge et anden ordens prædikat FARVE(FOL-PRÆDIKAT(GENSTANDSTERM)).


Konstanter

Der findes to hovedformer af termer: konstanter og funktioner.

Konstanter svarer mest til sprogets egennavne og vil blive skrevet kursiv med store bogstaver fulgt af ét eller flere taltegn.

Navnet ’Henrik’ for en bestemt person i en bestemt situation kunne f.eks. svare til konstanter som HENRIK1, HENRIK2, osv., afhængigt af hvor mange individer der findes i den undersøgte verden med navnet Henrik (se anmærkning).


Anmærkning: logikkens entydighed

Hermed antydes en vigtig forskel mellem naturlige sprog og FOL:

Mens naturlige sprog er flertydige, har i FOL ethvert symbol kun én betydning.

Navnet ’Henrik’ kan i naturlige sprog blive brugt til at referere til mange forskellige mennesker, mens enhver af disse ville blive repræsenteret vha. sin egen konstant i FOL.


Funktioner

FOL’s funktioner (funktion) svarer til sammensatte natursproglige nominaludtryk og kaldes i logikken også bestemte beskrivelser.

De refererer til et objekt vha. nogle af objektets egenskaber eller relationer – såsom Henriks far eller Danmarks dronning.

De skrives i FOL som udtryk der består af et funktionsnavn, skrevet med kursive små bogstaver, efterfulgt af en liste af argumenter (andre termer) som sættes i parentes.

Den funktion der svarer til Henriks far, ville f.eks. i FOL skrives som

far(HENRIK1).


Propositioner:simple (atomiske)

Usammensatte (atomiske) propositioner består i FOL af et prædikatsnavn (prædikat), skrevet med store kursivbogstaver, normalt uden efterfølgende taltegn, og en liste af argumenter, dvs. termer, sat i parentes.

Disse atomiske propositioner svarer til usammensatte sætninger i naturlige sprog hvor prædikatsnavne svarer til verberne (udsagnsord).

Sætningen Henrik elsker sin far kunne f.eks. svare til FOL-formelen

ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1)).


Øvelse 1

Kik på modelsituation2. På billedet kan der ses 6 forskellige personer, 1 ged og forskellige andre objekter (fx planter, tøj). (se anmærkning)

1) Find på bestemte entydige betegnelser (fx egennavne, funktionsudtryk) for bestemte objekter i den viste situation.

2) Undersøg hvilke objekter der har hvilke egenskaber (fx menneske, dyr, plante, brugsgenstand, mand, kvinde, tøj) eller relationer til andre objekter (fx på, ved siden af, far til, barn til).

3) Skriv 10 propositioner i vores prædikatslogiske sprog (fx MAND(PICASSO) eller LER(kone(PICASSO)) der svarer til situationens fakta (data).


ANMÆRKNINGtil modelsituation2

De to voksne personer på billedet er Pablo Picasso og hans sidste kone, Jacqueline Roque. Børnene er dels Picassos (Claude, Paloma), ét er Jacquelines datter (Kathy) og den lille dreng på geden er gartner/portnerens dreng (Meurice).

Stedet er haven i Picassos villa ”La Californie” i Cannes, Frankrig. Tiden er slutningen af 1950er eller begyndelsen af 1960er.

moderne logik og dens historie (jf. allen 1987, 515)

Documents