Master Thesis

Models for the dielectric breakdown in solids

Fernando Peruani

Supervisor: Eduardo E. Mola

Submitted: December 2002

Master Degree issued in July 2003

Note The following publications have been based on this master thesis: • F. Peruani, G. Solovey, I.M. Irurzun, E. E. Mola, A. Marzocca, J.L. Vicente,

"Dielectric breakdown model for composite materials", Phys. Rev. E, 67, 066121, (2003).

• P. Bergero, F. Peruani, G. Solovey, I.M. Irurzun, J.L. Vicente, E. E. Mola,

"Dielectric Breakdown model for conductor-loaded and insulator loaded composite materials", Phys. Rev. E, 69, 16123, (2004).

Tesis de licenciatura

Modelos para la ruptura dieléctrica en sólidos

Fernando Peruani

Director: Eduardo E. Mola

Presentada en diciembre del 2002

Título emitido en julio de 2003

Nota Las siguientes publicaciones han sido basadas en esta tesis de licenciatura: • F. Peruani, G. Solovey, I.M. Irurzun, E. E. Mola, A. Marzocca, J.L. Vicente,

"Dielectric breakdown model for composite materials", Phys. Rev. E, 67, 066121, (2003).

• P. Bergero, F. Peruani, G. Solovey, I.M. Irurzun, J.L. Vicente, E. E. Mola,

"Dielectric Breakdown model for conductor-loaded and insulator loaded composite materials", Phys. Rev. E, 69, 16123, (2004).

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ÍNDICE Introducción 2 1. La ruptura dieléctrica 3 1.1. Clasificación experimental de rupturas 3

1.1.1. Ruptura intrínseca 4 1.1.2. Ruptura térmica 5 1.1.3. Ruptura en avalancha 6

1.2. La conductividad eléctrica de los dieléctricos 6 1.3. El concepto teórico de la ruptura dieléctrica 8

1.3.1. Ruptura intrínseca 8 1.3.2. Ruptura térmica 9 1.3.3. Ruptura en avalancha 12

1.4. Breve descripción de los experimentos 13 1.5. Forma de la ruptura dieléctrica 20 1.6. Dimensión fractal 21 1.7. Distribución de tiempos de ruptura 23 2. Modelos estocásticos 27 2.1. Modelo de ruptura dieléctrico (DBM) 27

2.1.1. Descripción del modelo 27 2.1.2. Caracterización de las simulaciones 30 2.1.3. Implementación 31

2.1.3.1. Método de cálculo del potencial 31 2.1.3.2. Método de cálculo de la dimensión fractal 34

2.1.4 Resultados 38 2.2. Modelo de ruptura dieléctrica con inhomogeneidades (o para materiales compuestos) 41

2.2.1. Descripción del modelo para inhomogeneidades conductoras con tamaño 41 2.2.2. Descripción del modelo ‘abstracto’ para inhomogeneidades conductoras 44 2.2.3. Descripción del modelo para inhomogeneidades aislantes 46 2.2.4. Modelo de Percolación 47

2.2.4.1. Las simulaciones 48 2.2.5. Resultados 49

2.2.5.1. Resultados del modelo para inhomogeneidades conductoras con tamaño 50 2.2.5.2. Resultados del modelo ‘abstracto’ para inhomogeneidades conductoras 53 2.2.5.3. Resultados del modelo para inhomogeneidades aislantes 57

2.2.6. Discusión 61 2.2.6.1. Inhomogeneidades conductoras 61 2.2.6.2. Inhomogeneidades aislantes 64

3. Modelo de descarga - avalancha 66 3.1. Descripción del modelo de descarga – avalancha 67

3.1.1. La simulación 71 3.2. Implementación 77 3.3. Resultados 77 3.4. Discusión 85 4. Conclusiones 87 Apéndice 1. Cálculo del potencial eléctrico 91 Apéndice 2. Cálculo de la dimensión fractal 95 Apéndice 3. Selección de la nueva rama 102 Apéndice 4. Cálculo del daño 106 Referencias 112

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Introducción

El objetivo general de este trabajo es describir la ruptura dieléctrica en sólidos,

especialmente en sólidos poliméricos. Se busca comprender qué mecanismos dan lugar a la

ruptura, qué propiedades del material intervienen, y cómo se producen las caprichosas

estructuras de ruptura. En particular, se pretendió desarrollar modelos de ruptura para

materiales compuestos.

En el fenómeno de la ruptura dieléctrica, campos muy intensos pueden transformar al

material en conductor a través de un proceso de ruptura irreversible. De aquí su interés

tecnológico que cubre una amplia gama de cuestiones, como determinar la capacidad de

almacenamiento de un capacitor y su correspondiente estabilidad, el tipo de material y espesor

para las líneas de transmisión de alta tensión, etc. Siguiendo esta línea, notemos que

industrialmente a los polímeros se los mezcla con distintos agregados materiales, como negro

de humo, polvo metálico, dióxido de titáneo, etc., con el fin de alterar sus propiedades

mecánicas, es decir, dotarlos de dureza y/o elasticidad, así como alterar su conductividad

eléctrica. Es por esto que es de particular interés desarrollar modelos de ruptura dieléctrica

que tengan en cuenta las inhomogeneidades presentes en el material. Pese a esto, la mayor

parte de los modelos sobre ruptura dieléctrica asumen que el material sobre el cual se propaga

la ruptura es un material homogéneo, valga decir, sin agregados, o sea sin inhomogeneidades.

El trabajo esta organizado de la siguiente manera: En el Capítulo 1 se presentan las

características básicas generales de la ruptura dieléctrica con especial énfasis en los aspectos

fenomenológicos del proceso la ruptura. En el Capítulo 2 se introduce un modelo estocástico

(DBM) que permite describir algunos aspectos de la ruptura dieléctrica, sin indagar en los

mecanismos microscópicos subyacentes del fenómeno. En este mismo capítulo, se desarrolla

una generalización al modelo DBM que permite describir la ruptura dieléctrica en materiales

compuestos (es decir con inhomogeneidades). Por último, en el Capítulo 3 se presenta un

modelo (modelo de descarga-avalancha) que describe la formación de la ruptura dieléctrica a

partir del conocimiento de los procesos físicos microscópicos involucrados. Pese a esto, se

verá que la descripción del fenómeno ruptura que se obtiene, no es del todo adecuado. De esta

manera, se podría decir que los Capítulos 2 y 3 son mutuamente complementarios. Las

conclusiones del trabajo se encuentran en el Capítulo 4.

3

1. La ruptura dieléctrica

Todos los materiales conducen electricidad en mayor o menor grado, y todos sufren

alguna forma de ruptura en campos eléctricos suficientemente fuertes. En tales campos

fuertes, los gases tienen descargas luminosas, dependiendo en mayor medida de la presión;

los metales y semiconductores se fusionan, y los líquidos y los sólidos dieléctricos pierden sus

propiedades aislantes. Pareciera, de todos modos, que los líquidos y los sólidos dieléctricos no

pueden distinguirse de otras sustancias si se tiene en cuenta la forma en que se quiebran en

campos eléctricos fuertes, ya que la descarga de la chispa de un gas presenta el mismo

mecanismo físico que el que remite a la ruptura en avalancha de un sólido dieléctrico, aun

cuando la fusión de un conductor metálico producida por una corriente grande es, en

principio, la misma que en una ruptura térmica. La única ruptura específica de los dieléctricos

es la llamada ruptura intrínseca. Pero de todas formas, la distinción entre dieléctricos y otras

sustancias es en la mayoría de los casos, meramente cuantitativa, y no es importante si

definimos a los dieléctricos en términos de la fuerza del campo requerido para destruir sus

propiedades aislantes, o en términos de su conductividad.

Los tipos de rupturas que sufren los sólidos pueden ser clasificados como intrínsecos, térmicos y de ruptura en avalancha. Estas clasificaciones corresponden en primer lugar a

conceptos experimentales, pero existen estimaciones teóricas para la determinación del campo

eléctrico de ruptura en un dieléctrico [1]. En primer lugar analizaremos los conceptos

experimentales que dan lugar a estas clasificaciones. Siguiendo esto, procuraremos clasificar

las teorías. De todas formas, ya adelantamos que no siempre es sencillo reconocer qué

conjunto fundamental de suposiciones teóricas se ajustan con una situación experimental

dada. Luego, mostraremos una breve descripción de los experimentos particulares de ruptura

que trataremos durante este trabajo, y por último, veremos cómo clasificar las estructuras de

ruptura obtenidas en ellos.

1.1. Clasificación experimental de rupturas

Los primeros experimentos sobre ruptura dieléctrica tuvieron como principal objetivo

determinar el campo eléctrico necesario para producir la ruptura. En un principio se tenía que

la falla se producía más comúnmente por descargas en el medio ambiente u otros factores no

controlados. Con el tiempo los experimentos se perfeccionaron y hoy en día existen distintos

estándares de prueba de ruptura en los cuales se pueden controlar una serie de parámetros.

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En estos experimentos, la muestra del dieléctrico es una fina plancha de un material

cuidadosamente preparado para evitar defectos macroscópicos con una falla o muesca de

forma esférica o filamentosa en una de sus caras. Películas metálicas evaporadas garantizan

un buen contacto con el sistema del electrodo, y para dificultar descargas indeseadas en el

medio externo se las coloca en ambientes aislantes (como podría ser aceites aislantes o alguna

sustancia inerte).

Las principales variables físicas sobre las que el experimentador tiene un gran grado

de control son: la temperatura, las propiedades eléctricas y térmicas del sistema de electrodos,

y la forma de la onda del voltaje aplicado. El rango de temperatura cubierto va desde la

temperatura del helio líquido hasta algunos cientos de grados Celsius. Las condiciones del

medio ambiente más satisfactorias son en general las de los gases y líquidos químicamente

inertes.

Las propiedades eléctricas y térmicas de los electrodos dependen del material utilizado

como electrodo, de sus capacidades térmicas y conductivas, y de cómo se aplica el potencial.

El método utilizado para aplicar el campo a la muestra requiere cuidadosas especificaciones.

La magnitud de un voltaje DC o AC aplicado puede ir creciendo lentamente hasta la ruptura

(las llamadas pruebas de DC y AC de estados sostenidos), o puede ser una serie de pulsos de

voltaje, o puede tratarse de un único pulso de voltaje que crezca, o no, con el tiempo de una

manera determinada hasta causar la ruptura.

Ahora ahondaremos en las características generales de los tipos de ruptura

mencionados arriba.

1.1.1. Ruptura intrínseca:

Sus características principales son:

(i) Sucede a bajas temperaturas (para muchas sustancias esto significa temperatura

ambiental, o inferior).

(ii) Sobre un amplio rango de circunstancias experimentales, la magnitud del campo

de ruptura no depende del tamaño ni de la forma de la muestra, o de la

configuración del material de los electrodos. Por este motivo, el proceso de ruptura

es denominado intrínseco, ya que se considera como una característica propia del

dieléctrico.

(iii) Considerando que el campo de ruptura no es una función de la forma de la onda

del voltaje, se infiere que la ruptura ocurre en un tiempo del orden de los

microsegundos o menos.

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La ruptura intrínseca es observada en muchos dieléctricos como por ejemplo vidrio, mica

y en la mayoría de los polímeros.

1.1.2. Ruptura térmica: El concepto experimental de ruptura térmica depende del período durante el cual se

aplica el voltaje, y existen dos extremos a tener en cuenta.

El primer caso es el que sucede cuando el campo aplicado es aumentado lentamente

(este es el estado sostenido, o ruptura térmica DC el cual es mencionado en la literatura

simplemente como ruptura térmica). Sus características principales son:

(i) Sucede a altas temperaturas

(ii) La magnitud del campo de ruptura depende del tamaño y la forma de la

muestra, de la geometría y propiedades térmicas de los electrodos y del medio

ambiente. (Los arreglos de electrodo para los cuales el calor puede ser más

rápidamente disipado tendrán un campo de ruptura mayor para los mismos

materiales).

(iii) El tiempo requerido para el desarrollo de la ruptura se da, como mínimo, en

milisegundos, y en la mayor parte de los casos, es mucho más grande.

(iv) Para campos eléctricos alternos la magnitud del campo de ruptura usualmente

será más bajo que el correspondiente a un campo D.C.

Casi todos los sólidos dieléctricos sufren rupturas térmicas a temperaturas suficientemente

altas si el campo es aplicado en forma paulatina.

El otro caso límite de ruptura térmica sucede cuando el campo es aplicado en forma

rápida. Este caso se denomina “ruptura de impulso térmico” y sus rasgos más distinguibles

son:

(i) Sucede a altas temperaturas

(ii) La magnitud del campo de ruptura no depende en gran medida del tamaño y forma

de la muestra provista. El arreglo de los electrodos es tal que el calor no es

disipado muy rápidamente.

(iii) El campo de ruptura varía en gran medida con el tiempo en que se aplica el campo,

siendo mayor cuando se aplican pulsos de voltaje en corto tiempo [1].

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La mayoría de los dieléctricos deberían sufrir este tipo de ruptura a temperaturas altas. Por

otro lado, es necesario destacar que el tiempo de aplicación de los pulsos de voltaje está

relacionado con las propiedades térmicas de la situación experimental.

1.1.3. Ruptura en avalancha: Finalmente consideremos la ruptura en avalancha, de la cual mostraremos más adelante su

relación con la ruptura intrínseca. Sus rasgos más característicos son:

(i) Ocurre a temperaturas bajas

(ii) Ocurre en planchas delgadas de dieléctricos de muy baja conductividad eléctrica y

a campos muy altos. La magnitud del campo de ruptura depende del grosor que

posea la muestra dieléctrica

(iii) Si el voltaje es aplicado lentamente, las corrientes de pre-ruptura son muy

ruidosas; si es aplicado un repentino sobrevoltaje, el tiempo de ruptura tiene

considerable variación estadística.

Hay evidencia de que la ruptura en avalancha ocurre en epoxy (por ejemplo CT200) y

resinas poliéster no saturadas.

En muchos casos experimentales la ruptura corresponde con bastante claridad a alguna de

las categorías descriptas. De todas maneras, bajo otras circunstancias, la evidencia

experimental es confusa. Esta situación, probablemente resida en las fallas que existen a la

hora de controlar todas las circunstancias físicas relevantes del experimento

1.2. La conductividad eléctrica de los dieléctricos

La conductividad de los dieléctricos puede ser electrónica, iónica o ambos casos a la

vez. Para clasificar las teorías de ruptura es necesario examinar los orígenes de estos tipos de

conductividad.

La teoría de bandas de sólidos provee el caso de un dieléctrico en donde una serie de

bandas de energía electrónica permitidas, están completamente ocupadas por electrones hasta

un cierto nivel, y vacías después. Un dieléctrico es diferenciado de un semiconductor sólo por

el ancho de la región de energía prohibida: entre la cima de la banda más completa (la banda

de valencia) y el punto más bajo de la banda más vacía (la banda de conducción). Este salto es

del orden de 5 eV para un dieléctrico y de 1 eV para un semiconductor. La banda de

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conducción no da lugar a ninguna conductividad, ya que no contiene electrones, así como

tampoco logra conductividad la banda de valencia, debido a que no existen estados libres

entre los cuales un electrón pueda ser acelerado por la aplicación de un campo.

Este simple cuadro se aplica sólo a un aislante perfecto cristalino, a una temperatura

de cero absoluto. Los aislantes reales a una temperatura finita, difieren de estos aislantes en un

aspecto muy importante. En primer lugar, hay niveles de energía aislados, esto es, trampas de

electrones, en lo que normalmente es la zona prohibida. Estas trampas son producto de la

existencia de iones extraños a la red, lugares vacantes, etc. En segundo lugar, a cualquier

temperatura finita, los electrones serán térmicamente excitados hacia niveles de conducción y

uniones que no estén ocupadas en el cero absoluto. Claramente la densidad de trampas de

electrones será determinada por la densidad de deformaciones de la red que darán lugar a

pozos de potencial efectivo. Se sigue que, en general, sólo los niveles de conducción y

valencia son importantes en cristales puros en ausencia de deformaciones a bajas

temperaturas. La densidad de niveles aislados aumenta con la mezcla de iones externos,

tensión mecánica y aumentos en la temperatura.

La conductividad iónica se debe simplemente a la migración de iones positivos o

negativos. Dicha migración está facilitada en gran medida por ciertos tipos de defectos de las

retículas y por la presencia de impurezas. De ello se deduce que la conductividad iónica se

vea incrementada con aumentos en la temperatura, o con el agregado de iones externos.

A bajas temperaturas la conductividad siempre es baja: la parte electrónica, debido a la

falta de portadores de carga, y la parte iónica debido a la baja movilidad de los iones. La

conductividad iónica es casi independiente de la fuerza del campo, mientras que la

conductividad electrónica puede ser fuertemente dependiente del campo.

A bajas temperaturas, la conductividad iónica es demasiado baja como para causar

más que un calor infinitesimal en un dieléctrico sólido, y entonces resistirá aplicaciones de

campo tan fuertes que hará que la conductividad electrónica sea dominante. A altas

temperaturas, la mejora de la conductividad iónica juega un rol decisivo en la falla de un

dieléctrico antes de que el campo sea suficientemente fuerte como para causar una

multiplicación electrónica significativa, y volver a la situación en la cual la conductividad

electrónica es dominante.

Para temperaturas intermedias, tanto la conductividad electrónica como la iónica

pueden ser importantes.

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1.3. El concepto teórico de la ruptura dieléctrica

Muchos trabajos han sido realizados para aportar teorías sobre la ruptura dieléctrica

que se aplican a los diferentes tipos de ruptura experimental ya mencionados. Aquí

resumiremos los aspectos más relevantes de las aproximaciones teóricas a los tres tipos de

ruptura mencionados.

1.3.1. Ruptura intrínseca A causa de su rápido desarrollo, se asume que la ruptura intrínseca tiene un origen

electrónico. Por otra parte, partiendo del hecho de que es independiente del material y de la

geometría de los electrodos, la aproximación teórica más sencilla es la de buscar una

inestabilidad electrónica en el material dieléctrico para una aplicación uniforme del campo,

sin tener en cuenta los orígenes del campo.

La primer teoría de ruptura intrínseca fue un cálculo en orden de magnitud realizada

por Zener (1934) quién calculó el orden de la probabilidad de tuneleo de la banda de valencia

a la banda de conducción en presencia de un campo eléctrico fuerte. El criterio de

inestabilidad fue elegido a partir de asumir que la ruptura ocurriría cuando la corriente desde

la banda de valencia excediera un valor arbitrario determinado.

Los cálculos más exactos de ruptura intrínseca han considerado la ecuación del

balance energía de la conducción electrónica. Si un campo eléctrico E es aplicado a un

aislante, y causa un flujo de corriente j, entonces la potencia transferida por el campo es:

A = j E (1.1)

Supongamos algún mecanismo por medio del cual la conducción electrónica puede

transferir energía a la red, y llamemos B a esta potencia transferida. El valor de A depende de

E y de la temperatura de la retícula T0, mientras que el valor de B depende de T0. Además,

tanto A como B dependen de los parámetros que describen la conducción electrónica. Si

denotamos estos parámetros con α , las condiciones para el balance energético son:

),(),,( 00 αα TBTEA = (1.2)

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En este punto, aparece otra suposición fundamental de la teoría de ruptura intrínseca,

esto es, que el aumento de la temperatura de la retícula causada por el proceso de conducción

es insignificante. Si esto es así, entonces T0 puede ser tomado como un parámetro constante

en la ecuación anterior. Dependiendo de los detalles del modelo, puede ocurrir que la

ecuación pueda ser físicamente aceptable sólo para valores de E menores a cierto valor crítico

Ec. Este valor crítico es conocido como el campo crítico intrínseco para el modelo particular

que haya sido considerado. Estos modelos difieren entre sí por la consideración de diferentes

mecanismos para la transferencia de energía desde la conducción electrónica hasta la retícula,

y también a partir de las diferentes suposiciones que realizan acerca de la distribución de la

energía de los electrones de conducción. En una colisión inelástica con la retícula, un electrón

de conducción puede pasarse a otro estado de conducción o ser atrapado en un nivel

energético localizado. Los cálculos de la ruptura intrínseca siempre deben considerar la

aproximación de un electrón único. Esto se debe a que la inestabilidad presentada por la

distribución de los electrones de conducción, cuya temperatura es la misma que la de la

retícula, representa una ruptura térmica. Sólo se puede describir la ruptura intrínseca si se

considera el comportamiento promedio de un electrón único, o aquel que presenta la

distribución de un electrón caliente cuya temperatura difiere de la red.

Las teorías sobre ruptura intrínseca no conciben la destrucción de la retícula, que

ocurre en el camino de la ruptura, como totalmente producida por la inestabilidad electrónica.

Claramente, si el material es destruido por la ruptura, entonces las propiedades de la retícula,

como el calor específico y la conductividad térmica, deben considerarse en alguna parte de los

cálculos. Las teorías sobre ruptura intrínseca calculan una condición para una inestabilidad

irreversible, que es electrónica en su naturaleza, y simplemente asume que, en casos en donde

se observa la ruptura intrínseca, esta catástrofe electrónica irreversible produce condiciones en

donde la retícula es destruida.

Finalmente, es interesante destacar las condiciones experimentales generales bajo las

que suelen ocurrir las rupturas intrínsecas. El requerimiento de que la corriente eléctrica cause

un aumento despreciable en la temperatura de la retícula significa que la relación entre la

conductividad eléctrica y la térmica sea baja.

1.3.2. Ruptura térmica En la teoría de ruptura intrínseca no se consideran los orígenes del campo eléctrico, en

consecuencia no involucra un conocimiento de la geometría del electrodo, y entonces en ella

no tiene sentido hablar de voltaje de ruptura. En el caso de la ruptura térmica, la geometría del

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electrodo suele ser de gran importancia, y es más lógico discutir sobre el voltaje de ruptura.

Contrariamente a esto, gran parte del trabajo de naturaleza más física, ha sido realizado para

campos que son aproximadamente uniformes en su parte más intensa, o también para un tipo

de ruptura térmica para la cual la geometría del electrodo no es importante. Para evitar

confusiones, utilizaremos el término “campo de ruptura” donde sea posible, aún en casos

donde el voltaje de ruptura sea más significante. En estos últimos casos, el término empleado

significará magnitud del campo en su punto más intenso cuando suceda la ruptura.

Volviendo ahora a los tipos de ruptura térmica, consideremos las circunstancias en

donde la potencia transferida a la retícula, debido a la aplicación de un campo E, puede ser

escrita como: 2EB σ= , (1.3)

donde σ es la conductividad eléctrica. Este resultado es siempre cierto para la conductividad

iónica, ya que los portadores de carga son también partículas de la retícula. Para la

conductividad electrónica, de todas maneras, debe haber siempre un estado cuasiestático: la

variación del campo aplicado con el tiempo debe ser lo suficientemente lento como para que

la función de distribución del electrón sea, en todo momento, una función solamente de la

fuerza del campo y no de sus derivadas temporales. En este caso, la energía transferida a la

retícula, de acuerdo con la fórmula (1.3), aumentará la temperatura de la retícula hasta una

magnitud dependiente de la pérdida de energía del proceso. Si consideramos la conducción

térmica como la única pérdida significativa del proceso, entonces el balance de la energía de

la retícula se describe por:

2)( ETdtdTCv σκ =∇∇− (1.4)

donde Cv es el calor específico por unidad de volumen, κ es la conductividad térmica, y T es

la temperatura. Esta es la ecuación fundamental de la ruptura térmica. Dado que σ y κ son

siempre dependientes de la temperatura, y además σ puede depender de la fuerza del campo,

aún las soluciones analíticas aproximadas de (1.4) no son posibles más que para las

condiciones de contorno más simples. Una solución completa daría T como una función del

tiempo y la posición, pero toda esta información no es requerida. Dado que la falla del

dieléctrico dependerá de la temperatura de su parte más caliente, entonces una solución

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numérica solamente necesita calcular la temperatura de la parte más caliente como una

función del tiempo para una manera específica de aplicar el campo.

La solución numérica de (1.4) (suponiendo que se aplica al dieléctrico un voltaje

constante a t = 0, y que el transitorio es omitido muestra ciertos rasgos generales que están

ilustrados en la figura 1.1.

Figura 1.1-Diagrama esquemático de las soluciones de la ecuación (1.4)

(i) Sin ruptura (ii) Ruptura térmica (1.4a) (iii) Ruptura térmica (1.4) (iv) Ruptura térmica (1.4b)

El principal resultado es que existe un campo crítico Em, para la cual la temperatura de

la parte más caliente de dieléctrico se acerca asintóticamente a una temperatura Tm (no

necesariamente el punto de fusión del dieléctrico, de hecho, usualmente es una temperatura

mucho más baja). Para campos mayores a Em, la temperatura alcanza un valor Tm en un

tiempo finito, y de ahí en más aumenta sin límites, mientras que para magnitudes de campo

más bajas la temperatura aumenta lentamente hasta cierto límite que dependerá de la fuerza

del campo.

Es evidente, entonces, que el campo térmicamente crítico depende del tiempo durante

el cual es aplicado el campo. Surgen dos casos límite que deben ser tratados. El primer caso

se da cuando existe para los procesos de la retícula un estado estacionario, y la temperatura de

la parte más caliente del dieléctrico es igual a Tm. El término dependiente del tiempo en (1.4)

entonces desaparece, y la solución de la ecuación:

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2)( ETdiv σκ =∇− (1.4.a.)

da el menor campo térmicamente crítico Em para el caso en donde el campo es aplicado

durante mucho tiempo. En la literatura, Em ha sido llamado simplemente campo de ruptura

térmica.

El segundo caso sucede cuando el campo es aplicado como un pulso corto (del orden

de duración de segundos o menos). Entonces una aproximación satisfactoria será ignorar el

término de conducción del calor en (1.4) y de esta manera llegar a la ecuación:

2EdtdTCv σ= (1.4.b)

Si se adopta un criterio adecuado para la ruptura (por ejemplo que la temperatura

exceda Tm, la temperatura crítica definida previamente), entonces esta ecuación puede ser

utilizada para determinar el campo crítico como una función del tiempo. Llamaremos a este

campo, “campo crítico de impulso térmico” para enfatizar su dependencia con el tiempo.

El campo crítico de impulso térmico ha sido objeto de numerosos estudios desde la

Física. Este fenómeno ocurre en un gran rango de conductividades eléctricas y térmicas.

Asimismo, se observa en la mayoría de los dieléctricos a altas temperaturas para condiciones

adecuadas de electrodo y pulso de campo aplicado.

1.3.3. Ruptura en avalancha Otra aproximación al problema de la ruptura es considerarla como una descarga

eléctrica en un gas. En su forma más simple, la teoría de la ruptura en avalancha considera las

condiciones en las cuales un electrón único (o algunos electrones) partiendo del cátodo

puedan causar una avalancha de electrones de un tamaño suficiente como para destruir las

propiedades aislantes del dieléctrico. Si un electrón acelerado puede tener éxito en producir

otro electrón, por colisión de ionización, y estos dos electrones producen otros dos, entonces

se producirá una avalancha de 2i electrones en i generaciones. Si el tamaño de la avalancha

crítica puede ser estimado, entonces un conocimiento del camino libre entre colisiones de

ionización puede permitir calcular la distancia requerida para que tal avalancha se produzca.

Esta teoría da cuenta, por un lado, de la corriente de ruido pre-ruptura debida a las avalanchas

que fallan a la hora de alcanzar el tamaño crítico; y por otro el incremento observado en el

campo de ruptura cuando disminuye el espacio del interelectrodo (Ley de Paschen).

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Las teorías de ruptura en avalancha en sólidos dieléctricos son un intento de incorporar

en una única teoría, las características más firmes de las teorías de ruptura intrínseca y térmica

para aquellos casos en donde la ruptura es de naturaleza electrónica. De esta manera, el

intento es describir el comportamiento de la conducción de electrones tomando las teorías de

ruptura intrínseca, y así formular un criterio de ruptura en términos de las propiedades

térmicas de la retícula.

La teoría de la ruptura en avalancha es de todas las teorías (de ruptura), la que se

encuentra en un estado más “inmaduro”, pero es claro que una inestabilidad electrónica tendrá

consecuencias térmicas de modo tal que ni una teoría térmica o intrínseca por sí solas pueden

explicar enteramente una ruptura cuyo primer paso es una inestabilidad electrónica.

1.4. Breve descripción de los experimentos

Este trabajo trata de la ruptura dieléctrica, pero en particular sobre ruptura dieléctrica

en materiales poliméricos en una geometría planar de los electrodos.

Los experimentos se realizan con resinas epoxy (CT200, CT1200, etc.) y poliéster. La

muestra se prepara como se muestra en el esquema (ver figura 1.2), y es sometida a un campo

eléctrico AC de 50Hz, entre un rango que va desde los 3 a los 20 kV. El crecimiento de la

estructura de ruptura (árbol eléctrico) es registrado periódicamente utilizando un microscopio

óptico conectado a una cámara. Considerando que el grosor de la muestra es mucho menor al

largo y al ancho de la misma, no es una mala aproximación asumir que la ruptura ocurre en

dos dimensiones.

Figura 1.2 –Esquema de la muestra

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La iniciación del árbol se da en la región cuyo campo eléctrico es mayor, y es seguida

por el crecimiento de pequeños canales producidos por las descargas parciales. La falla del

aislador ocurre cuando el árbol alcanza al contraelectrodo.

La iniciación del árbol eléctrico, en los test de geometría planar, depende

principalmente del campo eléctrico en la punta de la falla inicial (depende tanto del potencial

aplicado como de la forma de la punta de la falla), del material aislante, de su stress mecánico,

de la calidad de la interfase polímero-electrodo, y de la distribución de los sitios en donde se

produce la transferencia de carga en la superficie de la falla inicial.

El tiempo de iniciación puede ser definido y medido como el tiempo necesario (a un

voltaje dado) para que se produzca un incremento brusco en:

(i) la magnitud de la emisión de luz de unos pocos fotones por segundos

(ii) la magnitud de las descargas parciales de aproximadamente 0.05 pC,

correspondiente a la formación de una rama de 8 a 10 µm.

La información derivada de estas observaciones requiere un cuidadoso análisis

estadístico, y debido a la imposibilidad de controlar los parámetros locales en la punta de la

falla inicial, no se puede realizar claramente una correlación entre voltaje y tiempo de

iniciación.

Las características de propagación del árbol dependen de los mismos parámetros, pero

en un contexto diferente. El crecimiento del árbol estará determinado por el campo eléctrico

que se desarrolla dentro de la estructura del árbol durante las descargas parciales, así como

por el campo externo aplicado (este último depende del voltaje aplicado y de la separación

entre electrodos).

Se observan dos tipos de comportamiento de la propagación del árbol que dependen

del tiempo de aplicación del campo eléctrico y de su intensidad. Estos se denominan árboles

eléctricos tipo “branch”, y tipo “bush”, y están diferenciados por su dimensión fractal [2]. Ver

figura 1.3.

15

Figura 1.3 – Fotografía de árboles eléctricos experimentales crecidos en resina CY1311. (a)180 minutos

después de aplicado un potencial de 6kV. (b) a (f) 30 minutos después de aplicado un potencial de 7, 9, 10, 11 y 12,5 kV.

(a), (b) y, (c) son del tipo “branch”. (e) y (f) son del tipo “bush”. El (d) correspondería a un caso intermedio

El análisis de las fotografías de árboles muestra que la dimensión fractal de los

mismos (más adelante se aclarará este concepto) aumenta y luego decrece a medida que el

voltaje aplicado es incrementado.

El tiempo que puede demorar el árbol hasta alcanzar el contraelectrodo (tiempo de

falla o de ruptura), es muy amplio: puede tomar desde unos segundos o minutos, hasta días e

incluso meses [3]. El tiempo de falla disminuye con el aumento del campo aplicado, pero no

lo hace de manera monótona, se observa que existe un campo crítico a partir del cual la

velocidad de ruptura aumenta. Ver figura 1.4.

16

Figura 1.4 –Tiempo de ruptura y dimensión fractal en función del tiempo

Con la dimensión fractal, en cambio, vemos que hay un aumento hasta llegar a un

cierto valor del potencial, a partir del cual ésta comienza a disminuir. La mayor dimensión

fractal coincide, por lo general, con el tiempo máximo de ruptura. Esto sugiere que existe una

relación entre el incremento en el daño que sufre el material, por unidad de tiempo y volumen,

y el campo eléctrico (y no una relación simple de velocidad de crecimiento lineal del árbol,

vs. el tiempo)

Veamos brevemente los experimentos en los que se registra además de lo visto

anteriormente, la luz que emite la muestra. Un esquema de estos experimentos se muestra en

la figura 1.5.

17

Figura 1.5 –Esquema de arreglo experimental para el registro de la emisión de luz de la muestra.

En estos experimentos se observa que la luz es emitida desde la región del material

sometida a campos más altos. En un primer momento, entonces, la luz se emitirá desde la

punta de la falla inicial hasta que se producen las descargas parciales. Esta emisión de luz se

piensa que se debe a la inyección de carga que se produce hacia el aislante y que genera

electroluminiscencia por electrones calientes, excitación de las moléculas de la resina o

recombinación de carga. En el caso de voltajes AC se encuentra una relación de fase entre la

luz emitida y el voltaje aplicado. Esta relación ha sido utilizada para distinguir entre la

emisión debida a descargas parciales, y la electroluminiscencia. También mediante estos

experimentos, se determina cómo es el avance temporal del daño sobre el material,

relacionándolo con la intensidad de la emisión de luz. La serie temporal de la intensidad, es

por lo general, creciente de manera escalonada e irregular en un primer momento (etapa de

emisión A), y luego se estabiliza teniendo, de todos modos, fuertes fluctuaciones (etapa de

emisión B). Ver figura 1.6.

Como se dijo anteriormente, otra utilidad de esta técnica experimental, reside en la

posibilidad de determinar el voltaje crítico a partir del registro de la primera aparición de

emisión de luz.

18

Figura 1.6 –Intensidad de emisión de luz en función del tiempo

El estudio de las características de la electroluminiscencia con el potencial aplicado se

utilizó para postular varios mecanismos para la iniciación de la ruptura del aislante y obtener

un campo eléctrico crítico, para dicha iniciación. Tanto la formación de carga espacial, como

los mecanismos de electroluminiscencia y cómo estos se relacionan con la ruptura, son aún

objeto de debate. Para la iniciación fue propuesto un mecanismo de ruptura causado por el

bombardeo de electrones calientes sobre los enlaces de las moléculas de la resina. También

fue propuesto un proceso más indirecto que supone que la electroluminiscencia UV es la

responsable de la iniciación de la falla vía la fotodegradación [4].

Seguidamente se describen los experimentos existentes sobre ruptura dieléctrica en

materiales compuestos. Si bien este trabajo no se basa en experimentos de este tipo, los

resultados obtenidos nos servirán de guía para el desarrollo de nuestros modelos para

materiales con agregados.

La mayoría de los experimentos consisten en someter a la muestra a un campo

uniforme AC (50 Hz) al que se le aumenta la amplitud a una tasa constante hasta que se

produce la ruptura (pruebas en rampa AC). De esta forma, se pretende determinar el campo

crítico en el cual se produce la falla. Naturalmente esto conlleva a un estudio de la estadística

de la ruptura para muestras igualmente preparadas, es decir, con el mismo tipo y cantidad de

contaminante, tiempo de mezclado, etc. (esto normalmente se realiza con la probabilidad de

19

falla de Weibull, ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

β

cf E

EP exp1 ). En estos experimentos interesa particularmente

determinar el campo crítico de falla y la dispersión de éstos.

Las muestras se preparan generalmente mezclando polietileno (polietileno de alta

densidad, HDPE) con una fracción en volumen conocida de partículas contaminantes. El

contaminante puede ser aluminio, negro de humo, dióxido de titanio (estos dos últimos se

utilizan comúnmente para el recubrimiento de los cables), etc. Las partículas contaminantes

suelen tener un tamaño bien definido, pero una forma indeterminada (este parámetro es más

difícil de controlar).

Figura 1.7- (a) partícula de aluminio (b) micrografía óptica de la dispersión de partículas de aluminio en una

placa de polietileno

Los resultados de estos experimentos muestran una fuerte dependencia del campo

crítico de ruptura con el tipo de contaminante y con la fracción en volumen de este. Si el

contaminante es conductor, por ejemplo aluminio, el campo crítico muestra una fuerte

reducción (y la dispersión de estos campos disminuye) a medida que la fracción de partículas

contaminantes aumenta. También se observa el comportamiento límite de percolación para

fracciones de contaminantes cercanas a la fracción límite de percolación (es decir, la falla del

dieléctrico es directamente el cluster percolante, o al menos se origina a partir del cluster más

grande). [5] [6]

20

1.5. Forma de la ruptura dieléctrica

Ahora nos centraremos en uno de los aspectos más destacables de la ruptura

dieléctrica en sólidos (y en particular para polímeros): la distribución espacial que adopta la

falla dentro del dieléctrico.

En un sólido ideal el daño ocurre en un frente amplio, pero en la práctica, las

inhomogeneidades de fabricación del material introducen defectos que favorecen la ruptura,

tales como variaciones importantes en la densidad del material, inclusiones conductoras

microscópicas, o directamente huecos, también microscópicos, donde se acumulan gases que

tienden a incrementar localmente el campo eléctrico. Estos defectos dan lugar a complicadas

estructuras de ruptura denominadas comúnmente “árboles de ruptura dieléctrica” o “árboles

eléctricos”.

Una idea pictórica de la ruptura en sólidos podría ser la siguiente. En un primer

momento, un daño aparentemente indetectable, debido a los defectos preexistentes ya

mencionados, incrementa el campo eléctrico localmente. Luego, a partir de estos defectos se

origina una estructura de ramas que crece a través del dieléctrico. La estructura consiste en

finos huecos y canales, y su crecimiento implica la ignición de descargas eléctricas en los

canales existentes. Se ha comprobado que el stress mecánico afecta también la estructura del

árbol, aunque el stress eléctrico tiene un rol primario en la dirección del crecimiento. La

última etapa se da cuando el árbol ha cruzado el dieléctrico, desde un electrodo hasta el otro, y

se tiene que la descarga atraviesa las ramas del árbol produciendo lo que se conoce como la

ruptura dieléctrica.

Naturalmente, la forma de la estructura de ruptura, así como el tiempo que tarda en

producirse la ruptura dieléctrica son únicos para cada experimento. Si se preparan dos

muestras exactamente iguales y se las somete al mismo stress eléctrico en las mismas

condiciones, entonces se obtendrán dos árboles eléctricos y dos tiempos de propagación

diferentes. Esto nos obliga a pensar en cómo deben clasificarse las rupturas eléctricas, en

particular, los árboles de ruptura y los tiempos de propagación. Es evidente que estos

experimentos nos van a exigir indagar en conceptos y herramientas de naturaleza estadística.

El estudio minucioso y sistemático hecho sobre cientos de muestras indica que la

dimensión fractal es un buen un parámetro para clasificar las estructuras de ruptura. Por otro

lado, para el tiempo de propagación resulta adecuado el estudio de la probabilidad

acumulativa de falla P(t) que usualmente adopta una forma correspondiente a una distribución

de Weibull [7].

21

1.6. Dimensión fractal

La idea es clasificar a las estructuras de ruptura por el comportamiento que sigue el

escaleo de su masa respecto de su longitud. Dicho de otra forma, determinar de qué manera el

árbol ocupa el espacio. El escalado del árbol va a estar relacionado con la dimensión fractal.

Varias definiciones de masa y de longitud pueden ser usadas, dando lugar a una serie de

definiciones de dimensión fractal Df. Los casos extremos de dimensión son: la línea recta con

Df = 1, el plano completamente lleno Df = 2, y así sucesivamente. Dado que para nosotros la

estructura de ruptura se va a dar en el plano, la dimensión fractal de ésta va a estar acotada

entre los valores 1 y 2.

Los cinco métodos más usuales para estimar la dimensión fractal [7] son:

(i) sandbox

(ii) función de correlación

(iii) radio de giro

(iv) radios de punta

(v) extensión axial

Los primeros tres métodos son generales, y se utilizan en una gran cantidad de casos. Los

dos últimos son métodos introducidos particularmente para calcular la dimensión fractal de

las estructuras de ruptura. Los primeros dos métodos son puramente espaciales, y operan

sobre toda la muestra. Los restantes tres métodos analizan la variación de la masa con

diferentes medidas de la extensión espacial, a medida que el árbol se desarrolla. La dimensión

se obtiene mediante el ajuste de la función fDrMM 0= con los datos (M es la masa, y r es el

tamaño).

(i) método sandbox

En el método sandbox se coloca sobre el objeto al cual se le quiere calcular la dimensión,

una caja cuadrada de lado L, y se evalúa la masa del objeto (esto es, el número de puntos de la

matriz que pertenecen a la estructura u objeto) encontrada dentro de la caja. Para obtener el

promedio de la masa perteneciente al objeto que se encuentra en el interior de la caja, se

procede a centrar la caja en todos los puntos de la matriz que son parte del objeto, y se calcula

la masa encontrada en cada uno de estos centros.

22

De esta manera, se obtiene el promedio de la masa M(L) en función de la longitud L. El

proceso se repite para muchos valores de L y se estudia el comportamiento del escaleo de M

con el largo L. Otra vez, la dimensión fractal se obtiene a partir del ajuste de la función

)(LM con fDLM 0 .

(ii) método de la función de correlación

El método de la función de correlación es similar, pero está basado en círculos en lugar de

cuadrados. La distinción debería ser importante si hubiera anisotropías en el retículo utilizado

para la simulación.

(iii), (iv) y (v) métodos dependientes del tiempo

Estos tres métodos son técnicas dependientes del tiempo, en los cuales en varios instantes

durante el crecimiento del árbol se calcula y almacena la masa total del árbol y su extensión

espacial. Las tres extensiones espaciales son:

(iii) el radio de giro Rg de la estructura alrededor del punto de origen del árbol

(iv) el radio Rmax desde el punto de origen del árbol hasta el punto más distante del

mismo

(v) la proyección zmax a lo largo del eje principal de crecimiento, de la mayor distancia

que exista entre el punto de origen del árbol y el punto más distante del mismo.

El comportamiento de escaleo de cada uno de estos métodos dependientes del tiempo

da como resultado una dimensión análoga a aquellas obtenidas por los métodos espaciales

descriptos anteriormente. Ahora se debe ajustar M(t) con fDtRM )(0 , donde M(t) es la masa

del árbol y R(t) es Rg (t), Rmax (t) y zmax (t).

El concepto de dimensión fractal está relacionado con los espacios topológicos,

métricos, con la dimensión de recubrimiento, de empaquetamiento, de homotecia, y con las

nociones de autosimilaridad y autoafinidad, etc. (Para mayor detalle ver referencia [8]). Pero a

nosotros sólo nos va a interesar la dimensión fractal por la idea que da sobre cómo un objeto

llena el espacio, que fue lo que estuvimos viendo. Más adelante, en el capítulo sobre modelos

estocásticos, se detallará el método empleado para el cálculo de la dimensión fractal.

23

1.7. Distribución de tiempos de ruptura

El estudio que usualmente se realiza sobre el tiempo de ruptura de los árboles

eléctricos, es básicamente el mismo que se utiliza para determinar el tiempo de vida útil de un

aparato. En ambos casos interesa conocer el tiempo promedio de vida, pero también conocer

cómo es la distribución de estos tiempos (si tenemos una distribución ancha no podremos

garantizar cuándo se romperá, mientras que si es angosta, nuestro pronóstico será mejor).

Normalmente para establecer esto se estudia la probabilidad acumulada de falla P(t) que se

estima de la siguiente forma. Supongamos que testeamos N muestras, es decir que tenemos N

árboles eléctricos. Entonces nos preguntamos cuántos de éstos rompieron en un tiempo menor

que t1, cuántos en un tiempo menor que t2 y así sucesivamente. Estas cantidades divididas por

la cantidad N de árboles nos da la probabilidad acumulada de falla P(t). De esta forma la

probabilidad de que no haya habido falla a tiempo t es 1 - P(t), y la probabilidad de que ocurra

una falla entre t y dtt + es dtdtdPdttf =)( (esto se puede entender si se piensa que la

cantidad de los que fallaron entre t y dtt + son los que sobrevivieron un tiempo t menos los

que sobrevivieron un tiempo dtt + , esto es, )()())(1())(1( tPdttPdttPtP −+=+−−− ). Esto

nos permite definir también la velocidad de falla como )(1

)()(tP

tft−

=λ , que es la probabilidad

condicional de que un árbol que no se rompió en un tiempo t, se rompa en el próximo instante

dt .

Normalmente para este tipo de estudios se utiliza la probabilidad acumulada de

Wiebull, que se ajusta particularmente bien para los tiempos de ruptura de árboles eléctricos.

La forma de esta probabilidad acumulada es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

β

αttP exp1)(

donde α es el parámetro de escala (en principio función de la tensión aplicada), y β el

parámetro de forma. De modo que la densidad de probabilidad de Weibull es

))(1)((exp),,(1

tFtttdtdFtf −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

−

λααα

ββαββ

24

y la velocidad de falla queda 1

)(−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

β

ααβλ tt

En primer lugar notemos que la distribución de Weibull es una generalización de la

distribución exponencial (Si 1=β , la densidad de probabilidad es la exponencial).

Ahora veamos algunas características de esta distribución como el valor medio y la

varianza.

∫+∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Γ==0

11)(β

αdtttft

( ) ( )∫∞+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ=−=−

0

2

222 1121)(ββ

αdttftttt

donde ∫+∞

−−=Γ0

1)( dueux ux

Estas expresiones se simplificarán por el hecho de que los valores de β que vamos a

encontrar en este trabajo, y también los que se observan para los experimentos realizados

sobre árboles eléctricos [4] son todos mayores a 1. En efecto, dentro de este trabajo, el valor

más pequeño que encontramos para β es ligeramente menor a 2. Dado que la expresión del

valor medio es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +Γβ

α 11 , y la función ( )x+Γ 1 es 1 para x = 0, y muy cercana a 1 para x

pequeños, tenemos que para los valores de β utilizados, 0.9< ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Γ

β11 <1. Esto nos va a

permitir pensar al parámetro α como el valor medio (en el resto del trabajo asociaremos a α

directamente con el valor medio).

Para entender el rol que juega el parámetro β , que es de fundamental importancia ya

que nos da una medida de la dispersión de los tiempos de ruptura, nos remitiremos a la figura

1.7:

25

Figura 1.7 – Función de Weibull de densidad de probabilidad para distintos valores de β

Ya se había visto que el parámetro β definía el tipo de función densidad de

probabilidad. β = 1 es la distribución exponencial. β < 1 nos da que la probabilidad de

ruptura es mucho mayor a tiempos pequeños (a medida que ∞→→ )(,0 tfT ) y que

disminuye hasta hacerse prácticamente cero a tiempos largos, entonces f(t) decrece

monótonamente. Para β > 1 tenemos una probabilidad tal que es en t = 0, 0)( =tf , que se

incrementa a medida que t se acerca al valor medio y que luego disminuye. Para 2.6 < β <

3.7, se tiene una distribución que se aproxima a la normal [9].

Figura 1.8 – Velocidad de falla de Weibull para distintos valores de beta

26

Si ahora en vez de fijarnos en la densidad de probabilidad analizamos la velocidad de

ruptura )(tλ vemos, como se indica en la figura 1.8, que para 0 < beta < 1, tenemos que )(tλ

decrece con el tiempo, que para 1=β , )(tλ es constante (consistente con la distribución

exponencial), y para 1>β , )(tλ aumenta con el tiempo. Este último caso resulta útil para

representar las fallas provocadas por desgaste, es decir en donde la probabilidad de falla

aumenta con el tiempo, y en consecuencia es el que corresponde también a la ruptura de

árboles dieléctricos.

Figura 1.9 – Variación que sufre la probabilidad de Weibull al variar alfa y dejar constante beta

Otro aspecto interesante a tener en cuenta, es que un cambio en la escala del parámetro

α tiene el mismo efecto sobre la distribución que un cambio en la escala de abscisas.

Incrementar el valor de α manteniendo β constante, tiene el efecto de “descomprimir” la

distribución. Esto se explica porque el área bajo las curvas de la función densidad de

probabilidad es un valor constante igual a 1. De esta manera, el pico de la curva de la

distribución se acercará a cero, a medida que aumente el valor de α , como queda indicado en

la figura 1.9.

En resumen, y teniendo en cuenta la desviación estándar, vemos que a medida que β

crece, la distribución se concentra alrededor del valor medio, es decir que si bien no

aparecerán tiempos de ruptura muy grandes, es posible esperar que exista un tiempo mínimo

(margen de seguridad), antes del cual la aparición de rupturas prácticamente no existe.

27

2. Modelos estocásticos

Este capítulo esta dedicado a los modelos estocásticos. Estos modelos no se basan en

los mecanismos microscópicos subyacentes en la ruptura dieléctrica. Pese a esto, logran

generar estructuras de ruptura similares a las halladas experimentalmente, y dar una

estimación del tiempo de ruptura. El capítulo consta de dos partes. En la primera, se introduce

el modelo estocástico DBM desarrollado para materiales homogéneos (sin agregados) y se

detalla su implementación. En la segunda parte, se desarrolla una generalización del modelo

DBM para materiales compuestos (con agregados) y se discuten los resultados obtenidos.

2.1 Modelo de ruptura dieléctrico (DBM)

2.1.1. Descripción del modelo El modelo de ruptura dieléctrica (DBM) [10] fue introducido para describir la ruptura

dieléctrica en sólidos, líquidos y polímeros. El DBM puede ser realizado en dos dimensiones

que representan al dieléctrico como una cuadrícula de puntos (i, j), con i = 0, 1, 2, … m, y j =

0, 1, 2, …..n. La descarga comienza en un electrodo, y crece paso a paso hasta que alcanza el

contraelectrodo. La figura 2.1 muestra un ejemplo de una configuración después de unos

pasos. El modelo asume las siguientes reglas para el crecimiento del árbol eléctrico:

Figura 2.1- Esquema del crecimiento de un árbol simulado

(Las líneas entrecortadas representan las posibles ramas que puede incorporar el árbol)

28

(i) Dada una configuración, como en la figura 2.1, el potencial eléctrico φ es

calculado a partir de la resolución de la ecuación de Laplace discreta con condiciones de

contorno adecuadas: 0=φ en el electrodo inferior y en cada punto correspondiente al árbol

eléctrico (se asume que la estructura de la descarga tiene una resistencia interna igual a cero)

y 1=φ en el electrodo superior.

(ii) En cada paso una rama es añadida a la configuración, uniendo un punto de dicha

configuración con un nuevo punto. Los posibles candidatos están indicados en la figura 2.1

con puntos blancos (notar que son primeros vecinos a los nodos del árbol). Una probabilidad

de ruptura P es definida para cada uno de estos posibles canales de ruptura y dependerá del

campo eléctrico ',' kiikE → entre los puntos del árbol (i, k) y los puntos blancos (i´, k´). Los

índices i, k e i´, k representan las coordenadas discretas de la cuadrícula. Se asume que la

relación entre la probabilidad P y el campo local sigue una ley de potencias con exponente η:

( ) ( )ηα ','',', kiikEkikiP →→ (2.1)

El campo eléctrico local puede escribirse como la diferencia entre el potencial

eléctrico )(φ , entre nodos vecinos de la cuadrícula, divididos por la distancia entre ellos (L0)

(ver la figura 2.1):

( ) ( )0

,','',',L

kikiE kiki φφ −=→

Si asumimos que la estructura de la descarga tiene una resistencia interna de valor cero

(de modo que 0, =kiφ ), entonces la probabilidad de ruptura P de un canal puede ser reducida

a una fórmula más simple:

( ) ( )( )∑

=→

árbolvecinos

ml

kikikiPη

η

φ

φ

,

','',', (2.2)

La suma en el denominador corresponde a una constante de normalización y de esta

manera se refiere a todos los posibles procesos de crecimiento (líneas entrecortadas de la

figura 2.1)

29

(iii) Dada esta distribución de probabilidades, una nueva rama (un punto) es elegida al

azar y añadida al árbol eléctrico. Con esta nueva configuración del árbol eléctrico, se

comienza nuevamente (paso (i)), utilizando los valores previos de φ como punto de partida.

La esencia de este modelo estocástico reside en el hecho de que la probabilidad de

crecimiento depende del campo local, que está determinado por la configuración del árbol

eléctrico (estructura equipotencial conectada al electrodo inferior). Por lo tanto, una correcta

evaluación del potencial eléctrico es un paso crucial en nuestro modelo. En el presente trabajo

hemos empleado para calcular el potencial el método SOR (Simultaneous Over-Relaxation

Method), [11].

Con este método el potencial eléctrico φ en el punto de la cuadrícula (i, j) puede ser

evaluado de la siguiente manera:

( ) ( )4

1 1,1,,1,1,,

−+−+ ++++−= kikikiki

kikiw

wφφφφ

φφ (2.3)

donde w es denominado como el “parámetro de sobrerelajación”. Existen diversos criterios

para elegir su valor óptimo [11]. Un valor de w = 3/2 fue utilizado en las presentes

simulaciones.

El potencial eléctrico está calculado a través de la ecuación (2.3) iterativamente. Esto

se realiza por medio del cálculo de φ en cada punto de la cuadrícula (excepto en la estructura

de la ruptura), de izquierda a derecha, de arriba hacia abajo, y luego de derecha a izquierda, de

abajo hacia arriba, hasta que la diferencia de potencial entre dos iteraciones consecutivas en

cada punto de la cuadrícula, difiera en menos de una cantidad predeterminada ε. En el

presente artículo fue empleado un valor de ε = 4 x 10-4 debido a que provee resultados

convergentes.

Un detalle importante para el cálculo del potencial lo constituyen los límites laterales.

Se acepta en ellos la condición 0=∂∂

xφ en lugar de una distribución fija de φ . De esta forma,

las líneas del campo eléctrico no cruzan estos límites. Con este procedimiento estamos

simulando un material dieléctrico cuya longitud horizontal es mucho más extensa que su

longitud vertical (distancia entre electrodos). En la simulación, en donde m indica la última

fila, y 1 la primera, esto se lleva a cabo utilizando:

30

kmkm

kk

,,1

,1,0

φφφφ=

=

−

(2.4)

Para finalizar esta sección, señalemos el tamaño de la matriz utilizado para representar

al dieléctrico. Un examen minucioso del crecimiento del árbol eléctrico demuestra que las

extensiones de las ramas ocurren en aumentos típicos de 5 µm- 10 µm, mientras que la

distancia de los interelectrodos es de 1 mm - 2 mm, [4]. Esto implica que un salto de 100

unidades de la cuadrícula representa la situación experimental de forma adecuada, y de

acuerdo con esto, en el trabajo fue empleada una cuadrícula de 100 x 100.

2.1.2. Caracterización de las simulaciones

Los diseños de las rupturas, generados con este modelo, poseen una estructura fractal

que ha sido ampliamente estudiada en la literatura citada: [4], [10], [12], [13], [14]. La

estructura fractal de los árboles es altamente dependiente del valor del exponente η.

Los árboles eléctricos simulados o experimentales, pueden ser caracterizados por su

dimensión fractal D. Existen diferentes métodos para estimar esta dimensión fractal (ver

sección 1.6). En el presente cálculo determinamos la dimensión fractal (D) por medio del

método de la función de correlación.

La función de correlación C(r) se define como el promedio del cociente de los puntos

de la cuadrícula que pertenecen al árbol, dividido por el total del número de puntos de la

cuadrícula que puede encontrarse dentro de los límites de un círculo de radio r. El promedio

es obtenido sobre el conjunto de círculos de radio r centrados en cada punto del árbol

eléctrico. Se espera que en algún rango de r, el comportamiento de C(r) con r este dado por la

siguiente ecuación.

( ) 20

−= DrCrC (2.5)

Se puede evaluar la dimensión fractal D graficando C(r) vs r en un gráfico log-log,

observando la región donde el comportamiento sea lineal, y estimando la pendiente de ésta.

Para disminuir las incertezas estadísticas, fue empleado para evaluar C(r), un conjunto

de más de 200 árboles eléctricos. La ecuación 2.5 describe la estructura únicamente sobre un

rango limitado de escalas cuya longitud es más grande que unas pocas unidades de la

cuadrícula, y más pequeña que el total del tamaño del árbol eléctrico simulado (para más

detalle ver sección 2.1.3.2 y Apéndice 2).

31

La probabilidad de falla dieléctrica usualmente es determinada como una función del

tiempo de propagación, medido como una función del número de enlaces incorporados en el

árbol. Normalmente se asocia una unidad de tiempo a la incorporación de una nueva rama. De

esta forma el tiempo de ruptura es la cantidad de ramas que conformen el árbol al momento de

alcanzarse el contraelectrodo.

La probabilidad acumulada de falla, P(t), de una familia de árboles generados por la

simulación, satisface la distribución de Weibull de dos parámetros, al igual que los árboles

generados experimentalmente. La función P(t) se define:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

β

αttP exp1)( (2.6)

Donde α es el parámetro de escala (que es aproximadamente el tiempo medio de

ruptura. Ver sección 1.7), y β el parámetro de forma. Un análisis detallado de la dependencia

de estos dos parámetros (α, β) en el exponente de campo η ha sido realizado previamente,

[12].

2.1.3. Implementación La implementación del modelo DBM tiene unos cuantos puntos que aún no hemos

expuesto. Aquí se enumeran algunos de ellos.

2.1.3.1. Método de cálculo del potencial

Dentro del dieléctrico estamos asumiendo que se cumple la ecuación de Laplace para

el potencial. Como condiciones de borde tenemos el valor del potencial en el electrodo y

contraelectrodo. La condición en los límites laterales es que la componente paralela a los

electrodos del campo eléctrico se anule ( 0=∂∂

xφ en x = 1 y x = m). A esto debemos agregarle

la estructura equipotencial del árbol eléctrico que se encuentra al mismo potencial que el

electrodo. Debido a que el potencial interesa sólo porque interviene en la probabilidad, lo que

verdaderamente importa es la diferencia relativa del potencial entre un sitio y otro de la

matriz. Esto nos permite tomar un potencial “normalizado”: vamos a suponer que el

contralectrodo se encuentra a un potencial igual a 1, mientras que el electrodo y en

consecuencia el árbol eléctrico están a un potencial igual a 0 (ver figura 2.1).

32

De esta manera el potencial dentro del dieléctrico se puede calcular resolviendo

iterativamente la ecuación:

( )4

1,1,,1,1,

−+−+ +++= kikikiki

ki

φφφφφ

que no es otra cosa que la discretización de la ecuación de Laplace. Sin embargo, nosotros no

utilizamos este método, si no el método SOR (ecuación 2.3).

Si calculamos el potencial en una situación sencilla, por ejemplo sin considerar el

árbol, entonces podemos hallar en forma exacta el valor del potencial. Esta situación nos

permite comparar los dos métodos (la discretización de la ecuación de Laplace y el método

SOR) con la solución exacta. En la figura 2.2 se muestra el potencial de la columna central de

una matriz de 10 x 10 con las condiciones de borde especificadas calculado de forma exacta,

mediante el método SOR y con la discretización de la ecuación de Laplace.

Figura 2.2 – Potencial de la columna central de una matriz de 10x10 calculado de forma exacta, mediante el

método SOR (W=1.5) y con la discretización de la ecuación de Laplace (W=1).

La utilización de cualquiera de los procesos iterativos de cálculo del potencial (SOR y

Laplace), para un determinado valor de ε, requiere aproximadamente la misma cantidad de

iteraciones para lograr que la diferencia del valor del potencial en cada nodo de la matriz,

entre iteraciones, sea menor a ε. En consecuencia la utilización de un método u otro demora el

33

mismo tiempo de cálculo. La diferencia está, como se puede ver en la figura 2.2, en que el

método SOR converge a un valor del potencial más cercano al valor exacto que la

discretización directa del la ecuación de Laplace.

El tiempo que demora el cálculo de φ es la principal causa del enlentecimiento de las

simulaciones. Para disminuir el tiempo de las simulaciones, el cálculo de φ es llevado a cabo

en una región centrada en el punto de crecimiento más reciente (rama nueva incorporada).

Esta región es expandida en todas las direcciones después de cada iteración (del proceso

cálculo de φ ) según como influya en el potencial la incorporación de la nueva rama. Si en

medio de este proceso se alcanzan los bordes, se pasa a recalcular el potencial sobre toda la

matriz. Esta técnica evita iteraciones innecesarias en regiones que no se ven afectadas por

ningún cambio (tengamos en cuenta que la matriz es de 100 x 100, lo que implica que en una

iteración simple se aplica la ecuación 2.3 10000 veces).

El cálculo inicial del potencial, esto es cuando el árbol aún no ha evolucionado y sólo

se tiene la falla inicial (de un largo igual al 10% del alto de la matriz) que esta centrada y

tocando al electrodo inferior, demanda mucho tiempo de cálculo porque se debe determinar el

potencial en toda la matriz (o sea recorrer muchas veces la matriz de 100 x 100). Debido a que

se realizaron numerosas simulaciones con esta y otras condiciones iniciales, se almacenaron

en un archivo todas las condiciones iniciales de manera de realizar el cálculo sólo la primera

vez que se utilizaba una condición inicial determinada.

En la figura 2.3 se muestra el aspecto que adopta el potencial sobre la matriz para un

árbol simulado que alcanzó el contraelectrodo.

34

1

6

11

16

21

26

31

36

41

46

51

56

61

66

71

76

81

86

91

96

0,90-1,00

0,80-0,90

0,70-0,80

0,60-0,70

0,50-0,60

0,40-0,50

0,30-0,40

0,20-0,30

0,10-0,20

0,00-0,10

Figura 2. 3- Potencial para un árbol que alcanzó el contraelectrodo. Los colores indican el valor del potencial.

Como puede verse, el mayor gradiente de potencial (o sea el mayor campo eléctrico)

se tiene en la punta del árbol (Para mayor detalle sobre el cálculo del potencial ver Apéndice

1).

2.1.3.2. Método de cálculo de la dimensión fractal

Los árboles de ruptura generados mediante el modelo DBM presentan siempre formas

diferentes. Muy difícilmente uno pueda encontrar dos árboles iguales. Por este motivo, una

buena forma de clasificar o agrupar a los árboles es mediante su dimensión fractal. Pese a

esto, si calculamos la dimensión fractal de dos árboles simulados con los mismos valores de

los parámetros nos encontraremos que la dimensión fractal de estos no es exactamente igual.

Es decir que para una misma familia de árboles tenemos una distribución de dimensiones

fractales. Lógicamente a la familia se la identifica por la dimensión fractal media. Tenemos

dos alternativas para llegar a obtener esta dimensión fractal. Una posibilidad es calcular la

dimensión fractal de cada árbol (siempre generados con los mismos parámetros) y luego

calcular el promedio de éstas. Otra alternativa es calcular la función de correlación media del

conjunto de árboles (cada árbol tiene una función de correlación) y de allí obtener la

dimensión fractal media a partir de un gráfico log-log de la función de correlación media y el

radio (como se indicó en la sección 2.1.2). Para mayor detalle consultar el Apéndice 2.

35

Recordemos brevemente que la función de correlación de un árbol determinado se

obtiene ubicando para cada r un círculo de radio r sobre cada nodo del árbol y contando la

cantidad de nodos dentro del círculo que pertenecen a la estructura del árbol. El cociente entre

promedio de estos puntos y la cantidad de puntos de la matriz que entran en el círculo de radio

r, es el valor que tomará la función de correlación para dicho valor r.

Lógicamente esta función se puede definir únicamente para 1< r < L (L = 100). En la

práctica de hecho el rango es bastante menor porque se busca que al colocar el círculo de

radio r sobre un nodo cualquiera no haya partes de éste que queden fuera de la matriz. Esto

nos obliga a restringirnos tanto en el radio como en la región de la matriz en la cual vamos a

hacer la exploración. El radio máximo que utilizamos para las matrices de 100 x 100 fue de

25 y la exploración la realizamos sobre una ventana de 50 x 50 centrada en el medio de la

matriz de 100 x 100 (en el Apéndice 2 puede verse el código utilizado para el cálculo de la

dimensión).

Volvamos ahora al cálculo de la dimensión fractal. Supongamos que tenemos la

función de correlación promedio para una familia de árboles. En la figura 2.4 se muestra la

función de correlación para una familia de 200 árboles generada con η=2.

Figura 2. 4-Función de correlación media por el método de los discos vs el radio (gráfico log-log) para una

familia de 200 árboles simulados en una matriz de 100x100, con η=2 y un tolerancia de ε=0.0004.

36

Para calcular la dimensión fractal debemos determinar en este gráfico log-log, como

decíamos en la otra sección, la región dónde el comportamiento es lineal y calcular la

pendiente m de los puntos en dicha zona. Si recordamos la ecuación 2.5, vemos que

2)2( +=⇒−= mDDm .

La región donde el comportamiento es lineal la podemos obtener a partir del

coeficiente de correlación lineal (llamémoslo Ro) [15], que es función del radio máximo y

mínimo que vamos a tomar. Este parámetro da una idea de la bondad del ajuste lineal

propuesto. Si Ro es próximo a 1, el ajuste lineal es adecuado, mientras que si Ro es cercano a

0 el ajuste lineal resulta una mala aproximación. En la práctica normalmente se busca

maximizar este Ro y se espera que allí su valor sea cercano a 1 (si es que la aproximación

lineal es adecuada). En la figura 2.5 mostramos cómo hacerlo por un método iterativo.

Figura 2. 5-Izquierda: Ro como función del radio máximo(el radio mínimo esta fijo). También se muestra la

estimación de la dimensión para el rango (Rmin, Rmax). Derecha: Ro como función del radio mínimo(el radio máximo esta fijo). También se muestra la estimación de la dimensión para el rango (Rmin, Rmax)

La idea es fijar el radio mínimo y buscar para qué radio máximo se maximiza Ro.

Luego fijar el radio máximo encontrado y buscar el radio mínimo que maximiza Ro. Como

con este radio mínimo fijo, posiblemente el radio máximo sea otro, hay que repetir el proceso

hasta que se alcance la convergencia, esto es, hasta que el radio mínimo y el radio máximo al

repetir el proceso varíen muy poco (para esto es necesario definir una tolerancia).

37

El error de la dimensión se puede estimar con el siguiente criterio. Se puede mover la

pendiente m de manera de encontrar dónde el chi2 (definido como ∑ −+=i

iii

ybmxchi )(12

δ.

Para mayor detalle ver Apéndice 2) aumenta en una unidad (ver figura 2.6).

Figura 2.6-Chi2 en función de la dimensión.

De esta figura es bastante claro que la dimensión fractal de la función de correlación

de la figura 2.3 es D = 1.156 ± 0.001.

Otra característica importante de la dimensión fractal es su dependencia con la

tolerancia ε utilizada para calcular el potencial dentro de la matriz. En la figura 2.7 se muestra

la variación de la dimensión fractal con la tolerancia para árboles generados con η=2 en

matrices de 100 x 100.

38

Figura 2.7-Dimensión fractal vs ε para árboles generados con η=2 en matrices de 100x100

En la figura 2.7 puede verse que a partir de ε = 0.0004 la dimensión fractal se

estabiliza. Esto quiere decir que a partir de este valor de la tolerancia nuestro cálculo del

potencial no afecta la dimensión fractal de los árboles simulados. O sea que con tolerancias

menores o iguales a 0.0004, los errores cometidos en el cálculo del potencial no se reflejan en

la dimensión fractal. La estabilidad de la dimensión fractal fue el principal factor para la

búsqueda de la tolerancia ε, y por ello es que se utilizó un ε tan pequeño, ε = 0.0004 (pese a la

tremenda lentitud que produce en el cálculo del potencial).

2.1.4. Resultados El modelo de ruptura dieléctrica con inhomogeneidades que se presenta en la siguiente

sección es una modificación al modelo DBM original. De esta forma, lo primero que debimos

hacer para implementar el modelo con inhomogeneidades fue chequear el buen

funcionamiento de nuestras simulaciones para el caso conocido, el modelo DBM. Aquí

mostramos los resultados obtenidos.

La naturaleza estadística del problema, nos obliga a generar una importante cantidad

de simulaciones para lograr una estimación de la dimensión fractal y de los tiempos de

ruptura. Es por esto que se simularon familias de 200 árboles para cada valor de η en redes de

100 x 100. La figura 2.8 muestra ejemplos de árboles simulados para diferentes valores de η.

39

Figura 2.8- Árboles simulados con: A: η=1 B: η=2 C: η=3 D: η=4

Como puede verse η=1 es el que presenta mayores ramificaciones. En cambio para

η>1 observamos que la cantidad de ramas disminuye, indicando que en estos árboles, el

potencial eléctrico tiene un peso más grande en la probabilidad de aparición de una nueva

rama.

Esta observación se ve reflejada también en la dependencia de la dimensión fractal D

con η, como se muestra en la figura 2.9.

40

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

0 1 2 3 4 5 6η

Dim

ensi

ón F

ract

al (D

)

Figura 2. 9- Dimensión Fractal versus η

Los tiempos de propagación de los árboles generados con este modelo siguen una

distribución de Weibull [7]. En la figura 2.10 se muestra una distribución para una familia de

200 árboles generados con el mismo valor de η.

800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

acu

mul

ada

Tiempo de propagación

Figura 2.10 – Probabilidad acumulada para un conjunto de 200 árboles generados con η=1

La figura 2.11 muestra la dependencia de los parámetros α y β de la distribución de

Weibull con η.

41

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6η

α

8

10

12

14

16

18

20

β

Figura 2.11 – Parámetros α y β de la función de Weibull en función de η.

Es importante observar la disminución del tiempo de propagación (α) a medida que

aumenta η. Esto está en acuerdo con la observación hecha anteriormente sobre la dimensión

fractal, a medida que η aumenta los árboles se hacen menos ramificados, consecuentemente

disminuyen su dimensión fractal y su tiempo de propagación.

2.2. Modelo de ruptura dieléctrica con inhomogeneidades (o para materiales

compuestos)

El modelo original DBM, así como algunos otros modelos estocásticos, intentan

realizar una descripción de la fenomenología de la ruptura dieléctrica considerando al material

homogéneo. Aquí vamos a presentar una serie de modificaciones hechas a este modelo

(DBM) que buscan describir la ruptura dieléctrica en materiales compuestos. Las diferencias

que presentan estos modelos con el original están, básicamente, en la estimación de las

probabilidades de aparición de una nueva rama o canal.

2.2.1. Descripción del modelo para inhomogeneidades conductoras con tamaño La mayor parte de los modelos desarrollados sobre ruptura dieléctrica que se

encuentran en la literatura presuponen un material homogéneo. En particular el modelo DBM,

presentado más arriba, esta desarrollado para materiales homogéneos. Ahora queremos

discutir los aspectos básicos que deben tenerse en cuenta para el estudio de materiales

compuestos. Este tipo de materiales pueden ser representados como una matriz sobre la cual

42

se diseminan inhomogeneidades distribuidas al azar. En un material real, la matriz podría ser

un polímero y las inhomogeneidades negro de humo (carbon black), esto es, una matriz

altamente aislante dentro de la cual encontramos inhomogeneidades conductoras.

Si queremos construir un modelo para materiales compuestos, en primer lugar

debemos definir algunas características de las inhomogeneidades tales como propiedades

eléctricas, forma, tamaño, etc.

Vamos a asumir que las inhomogeneidades tienen forma circular (con un diámetro no

mucho menor que el largo de un canal de ruptura (L)) y que están distribuidas aleatoriamente

sobre una geometría bidimensional (las inhomogeneidades se van a situar en los nodos de la

matriz). Esta elección pretende evitar la existencia de regiones equipotenciales dentro del

material, que dificultaría el cálculo del potencial eléctrico y su convergencia.

Las ecuaciones (2.1) y (2.2) son empleadas para determinar la probabilidad de ruptura

de un canal particular, pero siempre de largo L0. Para simular partículas de tamaño finito

introducimos un largo de túbulo variable (Li). Consideremos las tres situaciones diferentes

indicadas por la ecuación (2.7) y la figura 2.12:

ii a

LLL 00 −= (2.7)

donde i=1,2,3 y ia es un parámetro que es 1 < ia < ∞.

1) L1: Largo de túbulo que conecta un nodo perteneciente al árbol eléctrico con un nodo

de la matriz. No hay partículas conductoras involucradas. Esta situación es equivalente

a la que se daba en el DBM ( ia →∞).

2) L2: Largo de túbulo que conecta una partícula conductora que pertenece al árbol con

un nodo de la matriz (o viceversa). Esta situación equivale a 2a ≈ 2.

3) L3: Largo de túbulo que conecta dos partículas conductoras, una perteneciente al árbol

y otra a la matriz. Notar que este canal es muy corto, entonces, 3a ≥1.

43

Figura 2.12 – Esquema del crecimiento del árbol simulado cuando en la matrices hay partículas conductoras.

Los círculos negros indican partículas conductoras pertenecientes a la estructura del árbol, los círculos blancos partículas conductoras aún no incorporadas al árbol y los puntos negros, nodos de la matriz en dónde no hay partículas. Las líneas punteadas indican posibles canales de ruptura. También están indicadas las distancias

típicas entre partícula-partícula, partícula nodo y nodo-nodo.

Teniendo en cuenta que estos, dadas las suposiciones tomadas, son los únicos tres

largos posibles, veamos cómo sería la probabilidad P de producir un canal:

ηφα )()',',( ','1 kikikiP →

si (i,k) e (i’,k’) son nodos dónde no hay partículas conductoras,

( )

η

φα ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→ ','2

22 .

1)',',( kia

akikiP

si (i,k) es un nodo del árbol eléctrico donde no se encuentra una partícula conductora y en

(i’,k’) hay un partícula conductora,

( )

η

φα ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→ ','2

23 .

1)',',( kia

akikiP

si (i,k) es un nodo del árbol eléctrico donde se encuentra una partícula conductora e (i’,k’) es

un nodo de la matriz, y

44

( )

η

φα ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→ ','3

34 .

1)',',( kia

akikiP

si en (i,k) y en (i’,k’) hay partículas conductoras. Notemos que P2 es igual a P3.

Si queremos pasar del proporcional al igual, tenemos que multiplicar cada una de estas

expresiones por la constante de normalización )(

1

q

árbolvecinos

PC

∑=

donde la ∑ barre todas las posibles ramas a formarse. Es importante notar en este

punto que un nodo vecino al árbol, esto es, un nodo que puede incorporarse al árbol, tiene

varios posibles ‘padres’. Con ‘padres’ queremos indicar nodos pertenecientes al árbol desde

los cuales se podría generar la rama que incorpore a nuestro nodo. De esta forma, dos nodos

vecinos al árbol que se encuentren al mismo potencial pueden tener una probabilidad distinta

de ser incorporados al árbol si presentan una cantidad de ‘padres’ diferentes.

Resumiendo, la probabilidad de incorporar un determinado nodo depende: del

potencial al que se encuentre dicho nodo, de si en él hay o no una partícula conductora, y de la

cantidad y tipo de ‘padres’ (los padres pueden ser nodos del árbol con o sin partículas

conductoras).

Ahora vamos a presentar una versión más abstracta de este modelo.

2.2.2. Descripción del modelo ‘abstracto’ para inhomogeneidades conductoras Ahora podemos hacer unas cuantas observaciones sobre el modelo anterior. En primer

lugar deberíamos notar que P4 es mucho mayor que las otras probabilidades. Esta situación

representa dos partículas conductoras casi en contacto, una perteneciente al árbol y otra aún

no incorporada. Entonces se podría suponer que todo nodo vecino a la estructura de ruptura,

cumpliendo esta condición, va a ser incorporado al árbol. Llevado a las probabilidades, esto

es establecer P4 = 1.

Ahora observemos que en general se cumple que P1 << P2 = P3. Esto es así porque

[ ] ηηη φφ ','','32 .22)',',()',',( kiki CCkikiPkikiP ==→=→

mientras que ηφ )()',',( ','1 kiCkikiP =→

45

Esto implica que η21

2 =PP y siendo que η ≥ 1, es claro que P1 << P3.

Ahora podemos hacer el siguiente razonamiento. Imaginemos el árbol eléctrico

después de la incorporación de n ramas y consideremos todos los nodos vecinos a éste.

Primero, como dijimos, van a ser incorporados al árbol todos los nodos que tengan una

probabilidad P4, luego es esperable que vengan los que tengan P2 y P3 , y por último aquellos

que tengan P1 . Supongamos por un momento que la relación que mostramos arriba,

P1 << P2 = P3 , es tal que podemos suponer que siempre son seleccionados todos los nodos

con P2 o P3 , es decir, que podemos suponer a P2 = P3 = 1. Si el modelo fuese así, estaríamos

incorporando al árbol todos los nodos vecinos en los cuales existe una partícula conductora, y

todos los nodos de la matriz vecinos a una partícula conductora perteneciente al árbol. El resto

de los nodos vecinos, esto es, aquellos nodos de la matriz vecinos a un nodo del árbol en el

cual no hay un partícula conductora, podrán ser, o no, incorporados al árbol dependiendo de

una probabilidad P1.

El modelo planteado así tiene un problema grave. Pensemos que existe un camino de

nodos con partículas conductoras que van desde el electrodo al contraelectrodo. Si esto

ocurriera, sería esperable que este camino casi instantáneamente se convierta en una

estructura conductora. Sin embargo, si en vez de tener este camino entre los electrodos, se

tuviera uno en el cual los nodos presentan de manera alternada partículas conductoras (esto es,

matriz-partícula conductora-matriz-…), también, según este modelo, se convertiría

automáticamente en una estructura conductora, y esto último, claramente no debería suceder.

El problema reside en haber supuesto a P2 = P3 . Por otro lado, y desde un punto de vista más

físico, no hay porqué suponer que el largo de un túbulo que crezca desde una partícula

conductora perteneciente al árbol, y se desarrolle a lo largo de la matriz polimérica, sea

diferente a L0. En tal caso, dada la discretización que hicimos del espacio y el tamaño

asumido para las partículas, no podemos representar dicho largo, pero sí podríamos asignarle

una probabilidad acorde a esto. Finalmente, asignando una probabilidad proporcional a ηφ ',' ki a

esta situación, y haciendo entonces P2 ≠ P3, solucionaríamos el problema.

El planteo anterior se resume en: aproximar a P4 = P2 = 1 y hacer ηφ ','31 kiCPP == . De

esta forma la probabilidad que se propone en este modelo pasa a ser:

46

∑=→

árbolvecinos

ml

kikikiPη

η

φ

φ

)(

)()',',(

,

','

si (i´, k´) es un sitio de la matriz

1)',',( =→ kikiP

si (i´, k´) está ocupado por una partícula conductora.

Si para varios nodos tenemos que 1)',';,( =kikiP entonces se podría decir que la

probabilidad está mal definida (o al menos que no está normalizada). P(i,k) = 1, en este

contexto, significa que en la simulación el algoritmo de selección de las nuevas ramas va a

incorporar en la siguiente iteración al nodo (i, k). Esto quiere decir que todos los nodos que

posean P = 1 van a ser incorporados al árbol (para mayor detalle consultar el Apéndice 3).

En principio puede parecer que las aproximaciones y razonamientos desarrollados aquí

llevan a un modelo muy diferente al anterior, sin embargo los resultados obtenidos van a

demostrar la similitud entre los dos modelos.

Aclaremos también que el tiempo de ruptura ahora es, al igual que en el modelo DBM,

el número de ramas incorporadas al árbol, exceptuando aquellas que unen dos partículas

conductoras.

2.2.3. Descripción del modelo para inhomogeneidades aislantes

Hasta aquí las partículas que agregamos eran conductoras. Ahora vamos a agregar

inhomogeneidades aislantes, es decir, de constante dieléctrica mucho más alta que el material

de la matriz, del mismo tamaño y forma que las partículas conductoras que estuvimos

utilizando (podrían ser partículas de cuarzo).

Vamos a suponer que estas partículas aislantes son obstáculos imposibles de atravesar

para el árbol eléctrico, es decir, una partícula aislante no sufre ruptura. Si esto es así, entonces

una partícula aislante colocada en un nodo de la matriz hace que este nodo nunca sea

alcanzado por el árbol eléctrico. A nivel de la probabilidad, esto quiere decir que todos los

nodos vecinos al árbol en los cuales haya una partícula aislante tienen probabilidad nula de

ser incorporados al árbol. De esta forma, si sólo consideramos que tenemos la matriz y

partículas conductoras la expresión para la probabilidad queda:

47

0)',',( =→ kikiP

Si en (i´, k´) hay una partícula aislante.

∑=→

árbolvecinos

ml

kikikiPη

η

φ

φ

)(

)()',',(

,

','

Si (i´, k´) es un sitio de la matriz.

Es importante notar que en el razonamiento anterior nunca hicimos uso del tamaño de

las inhomogeneidades. Esto nos indica que si a los dos modelos anteriores para partículas

conductoras queremos generalizarlos para que incluyan partículas conductoras y aislantes, lo

único que hay que hacer es agregar una probabilidad, 0)',',( =→ kikiP , si en (i´,k´) hay una

inhomogeneidad aislante (para ver los detalles de la implementación consultar Apéndice 3).

2.2.4. Modelo de Percolación Si hablamos de agregar partículas en una matriz es casi imposible no hablar de

percolación. Como podría intuirse, estos modelos presentan como comportamiento límite el

de percolación (esto también se observa experimentalmente). Esto se tratará nuevamente en la

sección 2.2.6. Ahora veamos algunos elementos de la teoría de percolación y algunos

resultados obtenidos.

A medida que las partículas son distribuidas sobre la matriz, existe la posibilidad que

haya dos o más que sean vecinas (es decir se encuentren a una distancia L0). Estas partículas

van a constituir racimos (o clusters) en la teoría de percolación. El tamaño de los clusters

formados al tirar partículas al azar crece al aumentar la fracción de partículas arrojadas (p), en

consecuencia, para un valor de p suficientemente grande se tendrá un tamaño de cluster del

orden del tamaño de la matriz que en nuestro caso corresponde de la distancia entre

electrodos. A un cluster que posea este tamaño se lo denomina cluster de percolación. De la

teoría de percolación es bien sabido que el tamaño del cluster más grande, N, escala con la

fracción de partículas distribuidas como:

)ln( p si p < pc Dpp si p = pc Ep si p > pc

48

donde pc es la concentración crítica de partículas [16]. Si p < pc sólo hay cluster de tamaño

finito, es decir, de tamaño menor al de la matriz, mientras que si p > pc existe un cluster del

tamaño de la matriz que va de un electrodo a otro.

Estudiamos el problema de percolación con el objetivo de hallar el pc para nuestro

caso, una matriz de 100 x 100, y determinar la dimensión del cluster de percolación utilizando

nuestro método de cálculo de la dimensión fractal (la concentración crítica de partículas pc es

fuertemente dependiente del tamaño de la matriz. La teoría de percolación predice el

comportamiento para una matriz de tamaño infinito y define una concentración crítica p∞).

2.2.4.1. Las simulaciones: Para esto, generamos matrices de L x L donde cada sitio puede estar ocupado con una

probabilidad p, o libre con una probabilidad (1-p). Luego clasificamos los clusters formados

según su tamaño, y buscamos la existencia de un cluster percolante. Realizamos 100

simulaciones de este tipo para cada valor de p estudiado (se vieron los casos L =20, 50, 100 y

150 para tener una noción de la dependencia con el tamaño de la matriz y ver cuan alejados

estábamos del comportamiento de matriz de tamaño infinito). Con esto calculamos la

probabilidad de tener un cluster percolante, P(p), por cada valor de p (es decir, determinamos

la fracción dentro de las 100 simulaciones que presentaban un cluster que se extendía desde el

extremo inferior hasta el extremo superior de la matriz). Luego determinamos el valor de pc a

partir del criterio que identifica a pc como la fracción de partículas a la cual se cumple

P(pc) = 0.5. Este valor se estimó ajustando P(p) a la función G(p) definida como:

)()(

aac pp

ppGa

+=

dónde a y pc se determinan mediante el ajuste de los puntos simulados (P(p)). Claramente,

G(pc) = 0.5. Notar que para a →∞ se obtiene la función escalón.

En la figura 2.13 se muestra la dependencia de probabilidad de percolación, P(p), con

la fracción de partículas arrojadas p para nuestro caso de interés L = 100.

49

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80p

P( p

) (Pr

ob. d

e Pe

rcol

ació

n)

p c = 0.59

Figura 2.13 – Probabilidad de percolación P(p) en función de la fracción p de partículas arrojadas. Se indica la fracción crítica pc de percolación.

El límite de percolación observado para este caso en nuestras simulaciones fue de pc =

0.59±0.01, en acuerdo con los valores encontrados en la literatura para L→∞.

Dada la gran dependencia de pc con L y los problemas de tamaño finito, se suele

calcular pc (L→∞). Este se puede conseguir haciendo la siguiente extrapolación. Ajustamos

un polinomio de potencias de L

x 1= con pc (L) y luego tomamos el límite de este polinomio

para x→0.

Para obtener la dimensión del cluster de percolación se extrajo el cluster de mayor

tamaño de las 100 simulaciones con p =0.59 y se cálculo la función C(r). De esta manera se

pudo emplear el método de cálculo de la dimensión fractal, ya descrito, y así se obtuvo un

dimensión Dp = 1.89±0.03.

También realizamos el estudio del problema de percolación considerando para la

formación de clusters, primeros y segundos vecinos (esto significa que dos partículas a una

distancia L0 o 2½ L0 forman parte del mismo cluster). En este caso obtuvimos que la fracción

crítica de partículas es p* = 0.42 (en la sección 2.2.6.2 se utilizará este resultado).

2.2.5. Resultados Presentaremos ahora el estudio de los árboles eléctricos generados con los modelos de

ruptura dieléctrica con inhomogeneidades. Se mostrará la dependencia de la dimensión fractal

50

y el tiempo de propagación con el porcentaje de partículas, inhomogeneidades, introducidas

en la matriz.

2.2.5.1. Resultados del modelo para inhomogeneidades conductoras con tamaño

Para estudiar el efecto de la existencia de partículas conductoras en un material

compuesto, analizamos la dimensión fractal, así como la distribución de los tiempos de

propagación de patrones de ruptura en función de la concentración de partículas conductoras.

Las características estadísticas del problema nos obligaron a simular familias de 100 árboles

para cada valor de η y de p en redes de 100 x 100.

La figura 2.14 muestra ejemplos de árboles simulados en redes con diferentes

concentraciones de partículas conductoras.

Figura 2.14 – Árboles simulados con η=3 y con la fracción de partículas conductoras (P) en:

A: 0.15 B: 0.45 C: 0.50

51

Como era de esperarse a partir de las reglas de crecimiento de este modelo, a medida

que aumenta p los sitios pertenecientes al árbol muestran una mayor cantidad de partículas

conductoras en ellos.

Los árboles generados con este modelo se ajustaron con una distribución de Weibull.

Como se muestra en la figura 2.15, para una familia de 100 árboles con valores de η y de p

fijos, pareciera que se sigue este tipo de distribución (para confirmar esto debería realizarse un

testeo de hipótesis).

400 500 600 700 800 900 1000

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Prob

abilid

ad a

cum

ulad

a

Tiempo de propagación Figura 2.15 - Probabilidad acumulada para un conjunto de 100 árboles generados con η=1 y una fracción p =

0.30 de partículas arrojadas.

Los parámetros α y β de la distribución de Weibull dependen de η y de p como se

muestra en las figuras 2.16 y 2.17.

52

Figura 2.16 – Parámetro α de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas conductoras

arrojadas. Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

Figura 2.17 – Parámetro β de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas conductoras

arrojadas. Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

53

Es interesante puntualizar la disminución monotónica del parámetro de forma β y del

parámetro α con el aumento de la concentración de p. A medida que p →pc el tiempo medio

de propagación tiende a cero.

Los árboles de ruptura fueron estructuralmente caracterizados a través de la dimensión

fractal D. La figura 2.18 muestra la dependencia de D con η y p (notar el comportamiento

límite al acercarse a la fracción de percolación pc).

Figura 2.18 – Dimensión fractal versus la fracción p de partículas conductoras arrojadas. Se muestran las

curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

2.2.5.2. Resultados del modelo ‘abstracto’ para inhomogeneidades conductoras

En la figura 2.19 se muestran cuatro árboles eléctricos simulados sobre matrices de

concentración (p) creciente de partículas conductoras y η = 1.

54

Figura 2.19 – Árboles simulados con η=1 y con la fracción de partículas conductoras (P) en: A: 0.15 B: 0.45 C: 0.55

El tiempo de propagación de éstos árboles también pareciera seguir una distribución

de Weibull como aquellos crecidos utilizando el modelo anterior (o como los del modelo

DBM original, p = 0). La figura 2.20 muestra la dependencia de la probabilidad acumulada de

falla, P(t), con el tiempo de propagación t de un conjunto de 100 árboles eléctricos generados

con el conjunto de parámetros: p = 0.45 y η = 1.

55

Figura 2.20 - Probabilidad acumulada para un conjunto de 100 árboles generados con η=1 y una fracción

p=0.45 de partículas arrojadas.

La distribución de parámetros de Weibull, α y β, dependen de la concentración de

partículas, p, y del exponente η como se muestra en las figuras 2.21 y 2.22.

Figura 2.21 – Parámetro α de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas conductoras

arrojadas .Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

56

Figura 2.22 – Parámetro β de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas conductoras

arrojadas. Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

Aquí, otra vez, podemos notar que el parámetro de forma, β, decrece monótonamente

al aumentar p,. También se observa que el parámetro α tiende a cero a medida que p →pc.

En la figura 2.23 se muestra la dependencia de la dimensión fractal D con la fracción

de partículas conductoras p para diferentes valores de η (notar aquí también el límite de

percolación) [17].

57

Figura 2.23 – Dimensión fractal versus la fracción p de partículas conductoras arrojadas. Se muestran las

curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

2.2.5.3. Resultados del modelo para inhomogeneidades aislantes

Para estudiar el efecto de la existencia de aislantes en un material compuesto

analizamos la dimensión fractal, así como la distribución de tiempos de propagación de

patrones de ruptura, en función de la concentración de partículas aislantes. Debido a las

características estadísticas del problema, se simularon familias de 100 árboles en redes de 100

x 100 para cada valor de η y de p (en este caso, concentración de partículas aislantes).

La figura 2.24 muestra ejemplos de árboles generados en redes con distintas

concentraciones de partículas aislantes.

58

Figura 2.24 –– Árboles simulados con η=2 y con la fracción de partículas conductoras (P) en: A: 0.10 B: 0.30 C: 0.40

A concentraciones suficientemente elevadas de aislante, los patrones de ruptura no

alcanzan nunca el contraelectrodo, es decir la ruptura no puede propagarse por el material, o

bien el tiempo de propagación se vuelve infinito. El fenómeno ocurre cuando todos los sitios

posibles de crecimiento del árbol se encuentran ocupados por aislantes.

La figura 2.25 muestra la variación de la dimensión fractal D. Como puede verse,

existe una concentración crítica p* para la ruptura de materiales compuestos con aislantes

(para todo valor de η la concentración crítica es la misma).

59

Figura 2.25 – Dimensión fractal versus la fracción p de partículas aislantes arrojadas. Se muestran las curvas

para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

Por debajo de la concentración crítica, los árboles generados también parecen seguir

una distribución de Weibull, como se muestra en la figura 2.26 para una familia de 100

árboles con valores de η y de p fijos.

Figura 2.26 – Probabilidad acumulada de falla P(t)

60

Los parámetros α y β de la distribución dependen de η y de p como se muestra en las

figuras 2.27 y 2.28. Esta vez, el parámetro α aumenta mientras el parámetro β disminuye a

medida que la fracción de partículas aislantes se incrementan.

Figura 2.27 – Parámetro α de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas aislantes arrojadas. Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

Figura 2.28 – Parámetro β de la distribución de Weibull versus la fracción p de partículas aislantes arrojadas. Se muestran las curvas para η=1, 2, 3, 4 y 5. Cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

61

2.2.6 Discusión

2.2.6.1. Inhomogeneidades conductoras:

En primer lugar, comparemos la dependencia de la dimensión fractal D de los árboles

simulados con los dos modelos presentados para partículas conductoras. En la figura 2.29 se

muestra esta comparación para un par de valores de η. Notemos el remarcable acuerdo

existente entre los dos modelos, en particular para 0 < p < 0.3. Comparemos también el

comportamiento de α y β con p para ambos modelos y observemos la gran similitud entre

ambos (ver figuras 2.18 y 2.23).

Figura 2.29 – Comparación de la dimensión fractal para η = 1 y 2 de árboles generados con el modelo para

inhomogeneidades conductoras y con el modelo abstracto. Otra vez, cada punto corresponde a un conjunto de 100 árboles simulados.

A partir de esta comparación podemos concluir que el comportamiento cualitativo de

los modelos con p es el mismo. También podemos ver que existe un buen acuerdo

cuantitativo en ciertos rangos de p. Esto nos permitirá plantear analogías dentro de este

análisis entre los dos modelos.

La dimensión fractal muestra una transición suave y amplia al variar p sin presentar,

sorprendentemente, un comportamiento brusco al acercarse a la fracción límite de

percolación. Vemos que el comportamiento de η = 1 es cualitativamente distinto que el de

62

η > 1. Mientras en el último caso se observa un aumento monótono, para η = 1 hay un

decaimiento inicial seguido por un crecimiento hacia el valor común Dp = 1.89. Este hecho

puede ser interpretado en términos de la marcada tendencia a la ramificación cuando η = 1.

En este caso la existencia de partículas conductoras acelera marcadamente el proceso de

propagación de los patrones de ruptura, y por lo tanto la estructura que se forma es menos

ramificada, pues no hay tiempo suficiente para la formación de nuevos canales de ruptura. Un

aumento posterior de la dimensión fractal es esperable, ya que aumenta marcadamente el

tamaño de los clusters de partículas de la matriz. Por el contrario cuando η > 1, la existencia

de clusters en la matriz aumenta sensiblemente la dimensión fractal de los árboles aún a

concentraciones pequeñas. Esto se entiende porque en estos árboles el potencial tiene un peso

más grande en la probabilidad, y consecuentemente, en ausencia de inhomogeneidades, se

muestran menos ramificados que η=1. Esto no significa que aumente el tiempo de

propagación, por el contrario, este disminuye dado que la cantidad de canales que

‘verdaderamente’ tiene que romper también disminuye. El árbol eléctrico utiliza a las

partículas conductoras como ‘puentes’ para alcanzar al contraelectrodo. Estas conclusiones

son soportadas por las variaciones registradas con p de los parámetros α y β de la distribución

de Weibull de los tiempos de propagación. En p = pc el material es conductor y α = 0.

Ahora pasemos al detalle más fino de entender cómo es la dependencia de la

dimensión fractal D con la fracción de partículas conductoras p, para valores altos y bajos de

p. Comencemos el análisis con p > 0.45.

Para entender esta dependencia nos remitiremos a algunos elementos de la teoría de

percolación. En el modelo “abstracto” para inhomogeneidades cuando el árbol en crecimiento

incorpora una determinada partícula conductora, también incorpora las partículas conductoras

vecinas a ésta (ver partículas A y B en la figura 2.12). De esta forma, podemos decir que el

árbol eléctrico se desarrolla incorporando racimos de partículas conductoras. Entonces nos va

a interesar conocer la distribución de tamaños de estos racimos con p (así como el tamaño

medio de racimo) y sobre todo cómo aumenta el tamaño del cluster más grande con p. Esto es

así porque, como ya dijimos, cuando p se acerca a cierto valor crítico pc≈0.59, entonces el

racimo más grande presenta una dimensión fractal definida, Dp ≈1.89 (ver sección 2.2.4). Esto

sugiere que a medida que p aumente, y el comportamiento de los árboles eléctricos empiece a

estar dominado por los racimos de partículas conductoras, la dimensión fractal va a

aproximarse a Dp. Las figuras 2.18, 2.23 y 2.30 muestran que efectivamente sucede esto (a

63

partir de pc tenemos siempre un cluster percolante, por lo tanto, más allá de este valor no tiene

sentido estudiar la ruptura dieléctrica).

Ahora veamos si podemos entender qué sucede para valores bajos de p.

Para investigar cuán fuerte es la perturbación producida por las partículas conductoras

sobre el árbol eléctrico se ideó el siguiente procedimiento:

1) Se genera un árbol eléctrico para un dado η usando el modelo DBM.

2) Una fracción p de partículas conductoras se añade al azar a la matriz empleada en la

simulación.

3) Los cluster de partículas conductoras con al menos una partícula vecina al árbol son

añadidos al árbol (entonces se añaden cluster que estén a una distancia menos o igual a

L0).

4) Una vez completado el paso 3) se calcula la función de correlación del nuevo árbol

eléctrico.

Para cada valor de η y de p se realizaron 100 simulaciones. De la función de correlación

promedio C(r), correspondiente a un valor η y un p, se obtiene la dimensión fractal D para

dicho par de valores. La relación entre p y D puede verse en la figura 2.31.

Figura 2.30 – Dimensión fractal versus la fracción p de partículas aislantes arrojadas. Los árboles se simularon mediante el procedimiento indicado arriba. Se muestran las curvas para η=1,2,3,4 y 5. Cada punto corresponde

a un conjunto de 100 árboles simulados.

64

La figura 2.30 muestra, para p < 0.3, un notable acuerdo con las figuras 2.18 y 2.23.

Esto nos indica que para valores bajos de p, la propagación del árbol responde a la del DBM

original, y que la contribución de las partículas conductoras sólo produce un salpicado extra

de ramas, que aumenta de manera suave con p, sin llegar a producir un cambio brusco en la

evolución del árbol.

Por otro lado, con este procedimiento, a medida que p se aproxima a pc, se obtiene

también el comportamiento de percolación. De esta forma, como puede verse en las figuras

2.18, 2.23 y 2.30, este procedimiento y los modelos anteriores muestran un gran parecido para

p→ pc.[18]

2.2.6.2 .Inhomogeneidades aislantes:

El resultado más notable es la existencia de una concentración crítica p* de aislantes

por encima de la cual la probabilidad de ruptura es nula (para todo valor de η). Esto ocurre

cuando todos los sitios de crecimiento posible del árbol están ocupados con partículas

aislantes. Ahora veamos si podemos estimar el valor de p*.

Sabemos que existe un valor de p a partir de cuál no es posible para el árbol eléctrico

alcanzar el contraelectrodo. Podemos pensar entonces que si existe una ‘camino’ que vaya de

izquierda a derecha de partículas aislantes, por ejemplo en la matriz de 100 x 100 hacemos

que una fila este constituida por partículas aislantes, entonces es lógico esperar que el árbol

eléctrico no pueda alcanzar el contraelectrodo. Si nos preguntamos para qué valor de p

podemos encontrarnos ese camino, entonces, podríamos apresurarnos y pensar, al igual que

antes, en el problema de percolación y suponer que este valor debería ser pc . Sin embargo,

podemos notar que p* < pc. El problema está en que para calcular pc, los cluster los armamos

teniendo en cuenta sólo los primeros vecinos. Si pensamos en la situación que tenemos ahora

podemos advertir que un camino diagonal de partículas aislantes es igualmente efectivo para

detener el crecimiento del árbol eléctrico. Por ejemplo si en la matriz de 100 x 100 colocamos

en la diagonal partículas aislantes es claro que dado que el árbol crece, según nuestro modelo,

sólo considerando los primeros vecinos al árbol, éste no podrá llegar al borde superior. Todo

esto indica que para cálcular p* debemos considerar el problema de percolación a primeros y

segundos vecinos. Realizando el estudio de percolación a primeros y segundos vecinos,

encontramos que la concentración crítica de percolación es aproximadamente 0.42, que

concuerda perfectamente bien con lo observado en la figura 2.25 donde se indica el valor de

p* = 0.42 (ver sección 2.2.4.1).

65

Por debajo de p* la dimensión fractal también muestra una variación suave con la

concentración de partículas aislantes. Nuevamente el comportamiento para η=1 es

cualitativamente distinto que para η ≠ 1. En este caso, las partículas aislantes actúan como

obstáculos que inicialmente inhiben la ramificación de los árboles con η = 1. Aumentos

subsiguientes en p disminuyen fuertemente los posibles caminos de ruptura haciendo que la

estructura se ramifique buscando un camino hacia el contraelectrodo. Nuevamente esta

interpretación esta de acuerdo con las variaciones observadas en los parámetros α y β de la

distribución de los tiempos de propagación con p. Para η > 1, esto es, para árboles dónde el

potencial tiene un peso más grande en la probabilidad, y consecuentemente, en ausencia de

inhomogeneidades, presentan menos ramificaciones que η = 1, vemos que la concentración de

partículas aislantes fuerza a la ramificación de éstos árboles, y así al aumento de su dimensión

fractal.

66

3. Modelo de descarga - avalancha

El modelo estocástico DBM, que hemos visto en el capítulo anterior, asocia la

propagación ramificada fractal de una descarga conductora con un desarrollo paso a paso, en

el cual el paso (la rama de la grilla) a ser añadido a la estructura es elegido al azar entre todos

los posibles pasos de crecimientos, cada uno de los cuales tiene asignado una probabilidad de

falla proporcional a Eη.

El mayor problema para la aplicación de modelos estocásticos a la ruptura dieléctrica

en sólidos reside en la ausencia de una derivación física del parámetro η. Los argumentos

propuestos para establecer una probabilidad Eη en la ruptura dieléctrica en gases están

basados en el tiempo requerido para el establecimiento de una proyección filamentosa de la

descarga como un “fluido conductor” en una región dada del campo local. Estos argumentos

son inapropiados en sólidos. Más aún, valores de η ≠ 1 no tienen una justificación real. La

forma de la ruptura es, sin embargo, extremadamente sensitiva al valor de η utilizado. En

consecuencia, los modelos estocásticos dejan sin contestar muchas cuestiones concernientes a

la física y mecanismos de origen de las estructuras ramificadas de ruptura en sólidos.

Mientras los árboles eléctricos observados experimentalmente tienen algo en común

con este modelo (es sabido que se propagan de a pasos), difieren fundamentalmente en que

ellos son una estructura propagante de daño, en lugar de ser la frontera de avance de la carga

inyectada. Las descargas en gases tienen lugar durante la formación del árbol, pero están

restringidas a los canales tubulares de la estructura existente. La extensión del árbol no está,

entonces, dada por la extensión de la descarga más allá de la estructura preexistente. Cada

descarga, que tiene una duración finita (20 ns aproximadamente), induce daño generando

eventos en el aislante adyacente a su camino, tanto en los costados como en el frente. Ese

daño no produce instantáneamente una extensión del árbol. La extensión es sólo consumada

cuando el daño que se acumula alcanza la forma de un canal tubular capaz de sustentar una

descarga en gas. Hay, en consecuencia, un mínimo largo para cada extensión.

Experimentalmente se ha visto que este es de aproximadamente 4 a 10 µm. La formación de

un canal típicamente requiere daño de más de 103 descargas en los canales del árbol

preexistentes (tiempo de formación ≥ 1s).

Incluso si se asume que el daño necesario para la formación de un canal es el resultado

del intento de una descarga de extenderse más allá de la punta del árbol, la necesidad de

67

muchas descargas inevitablemente alterará la probabilidad de extensión en árboles eléctricos

de aquella de una simple descarga.

Aquí vamos a describir, implementar, explorar y criticar el modelo físico cuantitativo

para la ruptura dieléctrica en sólidos propuesto por L.A.Dissado [19] que en lugar de hacer

avanzar a la estructura por selección estocástica de ramas, calculará el daño inducido por

unidad de tiempo en cada rama y acumulará irreversiblemente este daño hasta que se alcance

un nivel crítico para la formación de un canal. Para incorporar al modelo características

estocásticas se introducen variables aleatorias en el espacio y en el tiempo, relacionadas con la

distribución de densidad del material y las fluctuaciones del campo eléctrico local.

De este modelo no se presentará una generalización para materiales compuestos como

se hizo en el capítulo anterior. Esto se debe a que la dependencia del modelo con las

propiedades locales del material, como se verá más adelantes, no es del todo adecuada.

3.1 Descripción del modelo de descarga-avalancha

La formación de árboles eléctricos tiene una etapa de iniciación que es dependiente del

tipo de defecto iniciador (una burbuja de aire, una esquirla metálica, etc.). Una vez que se

alcanza a formar un túbulo, la propagación del árbol sigue un mismo mecanismo de ruptura.

En un túbulo la diferencia de potencial esta dada por el valor del potencial en los

extremos del túbulo ya que las paredes no son conductoras. Cuando en un campo AC (o en

rampa) se alcanza el potencial de iniciación, una descarga en gas toma lugar dentro del túbulo,

reduciendo así la diferencia de potencial entre los extremos del túbulo (hacia el voltaje de

extinción) e incrementando el campo alrededor del aislante por el tiempo que dure la descarga

(10-100 ns). Se sabe que el bombardeo de una superficie con partículas de energía cinética del

orden de las que se tiene en un túbulo (10 eV) produce muy poco daño. Se asume entonces

que lo que se tiene es una avalancha de electrones que se sabe, puede causar ruptura en

láminas delgadas (10 µm). De esta forma, un electrón en el sólido es acelerado en un campo

de gran intensidad hasta alcanzar una energía capaz de ionizar una molécula, y así generar dos

electrones. Si estos electrones son capaces de repetir el proceso, entonces podemos tener una

reacción en cadena que se detendrá cuando los electrones producidos ya no puedan alcanzar

una energía suficiente como para ionizar una molécula. En este punto los electrones son

termalizados y atrapados. La distancia sobre la cual tiene lugar la avalancha esta limitada por

una serie de razones:

68

i) La gran intensidad de los campos requerida esta limitada a la duración de la

descarga (<100 ns).

ii) El valor del campo disminuye al alejarse de la punta del túbulo y eventualmente

puede llegar a ser insuficiente para continuar el proceso.

iii) Los iones positivos producidos en la avalancha producen un campo contrario que

desacelera a los electrones.

iv) Las trampas presentes en el sólido remueven electrones del proceso. [20]

Dado que el daño eventualmente toma la forma de un nuevo túbulo cuyo largo se estima

experimentalmente de 4-10 µm, se restringe el largo de una avalancha a ser L0 = 10 µm. Se

asume también que el daño causado por una avalancha es proporcional al número de

ionizaciones que tuvieron lugar. Estas ionizaciones pueden producir daño de varias maneras:

a) Directamente ruptura de un enlace químico durante la ionización.

b) Deformación mecánica y fractura causada por fuerzas electrostáticas.

c) Ruptura indirecta de un enlace químico como consecuencia de la energía

liberada por recombinación de cargas.

Ahora veamos cómo podemos estimar esto. El número de electrones n producidos en

una avalancha se puede calcular de la siguiente manera:

Si ( )Eα es el número de ionizaciones por electrón y por unidad de longitud, entonces

el incremento de n entre x y dxx + va a ser: ndxEdn )(α=

Entonces, integrando la expresión anterior entre 0 y L0, tenemos que

( )[ ]0.exp LEn α=

E es el campo eléctrico a lo largo de L0.

Sustrayendo el electrón inicial obtenemos el número de ionizaciones:

( )[ ] ∝−= 1.)(exp 0LENa α daño por avalancha (3.1)

Dado que generalmente en una determinada región del sólido se tiene una cantidad n0

de electrones disponibles para iniciar la avalancha se puede suponer que por descarga, en

dicha región, se producen ad NnN 0= ionizaciones. Por otro lado, la corta duración de la

69

descarga permite que por semiciclo del campo AC (de frecuencia f) se produzcan b de estas

descargas. De esta forma si queremos estimar la cantidad de ionizaciones producidas en un

tiempo t (que implica tf ..2 semiciclos) en una determinada región nos queda la expresión:

( )[ ]{ }∝−= 1.exp.....2 00 LEnbtfNt α daño para la región en el tiempo t. (3.2)

(Dado que existe recombinación de carga en semiciclos opuestos, tN no es la cantidad

de carga positiva presente en t). Observemos que esta expresión no es del todo adecuado

porque tenemos que la amplitud del campo (E) depende del tiempo, debido a que hay

reacomodación de las cargas, etc. Por lo tanto, sería más adecuado definir:

( )( )[ ]{ }∝−∆=∆ 1.exp....2 00 LtEnbtfNt α variación del daño para la región entre t y tt ∆+ si

E=cte durante ese intervalo de tiempo.

La expresión para α(E) es

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

EeI

E p

λλα exp1 (3.3)

donde λ es el camino libre medio entre colisiones y el factor exponencial es la probabilidad

de que un electrón alcance la energía de ionización Ip antes de chocar.

Los valores utilizados para estos parámetros son Ip = 9.6 eV y λ = 60 nm. Estos valores

son los determinados experimentalmente para poliéster.

Esto hace que la expresión para aN quede

∝−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 1

..expexp

EeILNa λλ

daño por avalancha (3.4)

Como puede verse en la figura 3.1 tiene un comportamiento abrupto con E que nos

muestra que no es del todo errado pensar que el material tiene un campo eléctrico límite que

puede soportar. De hecho, efectivamente podríamos definir un campo límite Ec a partir de esta

expresión.

70

Figura 3.1 –Daño de la avalancha (Na) vs. Campo eléctrico.

Cada descarga iniciará avalanchas en varios puntos a lo largo de su camino dentro del

árbol, acumulando daño en dichas regiones, que se calculará haciendo uso de la expresión de

Nt. La amplitud del campo local E que aparece en Nt (expresión 3.2) puede estimarse a partir

de la diferencia de potencial a lo largo del camino de la avalancha, 0L

E φ∆= .

Ahora determinemos cómo y cuándo se formará un nuevo túbulo. Supondremos que

esto sucede cuando el daño en la región, o la cantidad de ionizaciones, alcanza un

determinado valor Nc. Este valor de Nc puede estimarse si se supone que cada ionización

puede romper un enlace químico. Entonces, para formar un nuevo canal de 10 µm de largo y

1 µm de radio, suponiendo la densidad media del material y en consecuencia también la

cantidad de uniones químicas, se obtiene que el orden Nc de es de 1013. Dado que la densidad

del material varía considerablemente, este valor tiene que presentar fuertes fluctuaciones de

una región a otra. Experimentalmente se observa que las descargas típicas son de 1-5 pC (107

electrones), de esta forma se puede esperar que las avalanchas hagan uso de una muy pequeña

fracción de los electrones disponibles (< 0.3%).

Resumiendo, tenemos que se producirá un nuevo canal en una determinada región

cuando, Nc = Nt. Esto lo podemos expresar así:

( )( )[ ]{ } ( )( )[ ]{ }∫∫ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒−=

t

c

t

c LtENbndtfLtEnbdtfN

00

00

00 1.exp....211.exp.....2 αα

71

3.1.1 La simulación Como en el capítulo anterior, vamos a representar a la matriz polimérica con una

matriz de 100 x 100 donde la distancia entre nodos es L0 = 10 µm (estamos simulando

siempre experimentos donde el grosor de la muestra es de 1mm). Vamos a permitir que el

árbol crezca sólo a primeros vecinos, al igual que en modelo DBM. Consideremos la

condición inicial del experimento: en el centro de la muestra tenemos una imperfección

vertical de una longitud igual al 10% del alto de la muestra. En la figura 3.2 se muestra la

condición inicial y todos los posibles canales que puede incorporar el árbol.

Figura 3.2 –Esquema de la condición inicial. Las líneas punteadas indican los posibles canales de ruptura.

Vamos a suponer que a t = 0 la matriz polimérica aún no sufrió ningún daño. Las

avalanchas van a producirse en todos los canales indicados. El árbol sufre daño en todo su

contorno, pero lógicamente dado que la intensidad del campo varía de punto a punto en la

matriz y la densidad del material también, el daño que se va a acumular en cada posible canal

de ruptura es diferente. De esta manera tenemos para cada rama una expresión del tipo:

( )[ ]{ }1.exp...2. 00 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆= LE

NbnftD q

qcq α (3.5)

72

Dq indica la fracción de daño que se acumuló en la rama q en ∆t (suponiendo que en ∆t

no hubo variación de Eq). El subíndice q explicita que Eq es la amplitud del campo eléctrico

para la rama q, y qcN

bn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0 es una propiedad del material en q.

Eq se obtiene de resolver la ecuación de Laplace para el potencial electrostático de la

misma forma que en los modelos estocásticos (a la estructura del árbol eléctrico la vamos a

considerar equipotencial, al igual que en la sección 2.1.1.)[21]. Podemos esperar, entonces,

que el potencial electrostático no varíe mientras la estructura del árbol tampoco lo haga.

Vamos a “simular” la ruptura de las primeras dos ramas. Supongamos que en t1 se

rompe la primera rama. Como desde t0 hasta t1 no varió Eq, podemos obtener el daño

acumulado para cada rama q integrando directamente la expresión Dq (3.5):

Daño acumulado en q a ( ) ( )( )[ ]{ }1.exp...2. 000

011 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= LtE

Nbnfttt q

qc

α

donde Eq (t0) es la amplitud del campo para la rama q a tiempo t0. En t1 decíamos que se

rompe la primera rama, de manera que la estructura del árbol varió y entonces se debe volver

a calcular el potencial. Recordemos que la aparición de una nueva rama siempre involucra la

aparición de nuevos posibles canales de ruptura, nuevas zonas dónde habrá que calcular el

daño.

Repitiendo esta misma idea, supongamos que en t2 se rompe la segunda rama, entonces

tenemos que

Daño acumulado en q a ( ) ( )( )[ ]{ }1.exp...2. 000

012 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= LtE

Nbnfttt q

qc

α +

( ) ( )( )[ ]{ }1.exp...2. 010

12 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ LtE

Nbnftt q

qc

α

para los posibles canales de ruptura q que ya teníamos a t0. Para aquellas futuras ramas que

recién aparecieron a t1, suponiendo que en ese instante no tienen ningún daño acumulado, nos

queda

Daño acumulado en q a ( ) ( )( )[ ]{ }1.exp...2. 010

122 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= LtE

Nbnfttt q

qc

α

73

De forma análoga habría que repetir el mismo proceso para t3, t4,..., tn. En general la

expresión para el daño de una rama va a ser:

Daño acumulado en q a ( ) ( )( )[ ]{ }∑=

+ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

tT

tAtkkq

qckkT LtE

Nbnfttt 1.exp...2. 0

01 α (3.6)

Donde la sumatoria va desde tA (tA tiempo en que aparece la rama como vecina al

árbol) hasta tT.. Ahora vemos cómo calcular estos tiempos tT que hasta el momento tomamos

como dato (estos tiempos siempre coinciden con el tiempo de aparición de una rama).

Empecemos con t1. A tiempo t0 suponíamos que no había daño acumulado. Nuestra definición de t1 es el

tiempo en cual rompe la primera rama. Para calcular esto, vamos a suponer todas las

condiciones fijas para cada q (por ahora, solamente el potencial), y vamos estimar el tiempo

necesario para que el daño sea igual a 1:

( ) ( )( )[ ]{ }( )( )( )[ ] 000

0

1000

01

1.exp..2

11.exp...2.1

tLtENbnf

tLtENbnftt

qqc

qqqc

q

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

α

α

Entonces, el tiempo t1 (la aparición de la primera rama) va a ser el menor de estos t1q.

Ahora veamos como calcular el t2 (aparición de la segunda rama). De manera análoga,

hacemos:

( ) ( )( )[ ]{ } ( ) ( )( )[ ]{ }1.1exp...2.1.exp...2.1 00

12000

01 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= LtE

NbnfttLtE

Nbnftt q

qcqq

qc

αα

( ) ( )( )[ ]{ }

( )( )[ ]{ }1

00

000

01

2

1.1exp...2

.1.exp...21

t

LtENbnf

LtENbnftt

t

qqc

qqc

q +

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⇒

α

α

para aquellas futuras ramas q que existían a t0 , mientras que para las que aparecieron en t1

tenemos

74

( ) ( )( )[ ]{ }1.exp...2.1 010

12−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= LtE

Nbnftt q

qcq

α

( )( )[ ]{ }1

010

2

1.exp...2

1 t

LtENbnf

t

qqc

q +

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒

α

De esta forma, t2 es el mínimo de todos estos t2q. El cálculo para t3, t4,..., tn sigue de

manera análoga a esto.

Aclaremos que una vez que una futura rama alcanzó un daño igual a 1, ya no se le

calcula el daño (y de futura rama pasa a ser rama). Observemos también que no hay nada que

impida que dos o más futuras ramas rompan a la vez.

Pasemos ahora a considerar la variable qcN

bn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0 , que como ya vimos, tiene información

sobre las propiedades del material en la región q.

Un aislante sólido invariablemente contiene regiones de diferente densidad de material

y la idea es incorporar esta característica a través de la variable qcN

bn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0 . Para esto se necesita

tener cierto conocimiento sobre la distribución de la densidad del material (así como de los

esfuerzos a los que se encuentra sometido éste). Datos experimentales sobre poliéster

permiten estimar que esta variable posee una distribución gaussiana en )log(0bn

Nc , truncada en

su máximo valor 8

0

10)( =bnNc , con un valor mínimo de 0 y una ancho medio correspondiente a

6

0

10)( =bnNc . Ver figura 3.3.

75

Figura 3.3 – Histograma de )log(0bn

Nc generado con nuestra simulación

Si bien se tiene una estimación de la distribución de esta variable, en el presente

trabajo haremos uso de esta distribución pero también de otras, con menos significado físico,

pero que nos permitirán caracterizar este modelo. Esto lo veremos en la sección 3.3.

Ahora introduciremos una nueva característica al modelo, también relacionada con la

distribución espacial del material. Generalmente un dieléctrico, así como la mayor parte de los

materiales, posee inhomogeneidades eléctricas como variaciones en la resistividad que

conducen a fluctuaciones en la impedancia de las ramas del árbol de ruptura. Estas

irregularidades en el material también sugieren que la distribución de carga va a ser

extremadamente compleja. Todo esto produce que la amplitud del campo local difiera del

valor calculado por el método de Laplace. El modelo pretende dar cuenta de este fenómeno

mediante la incorporación de una variable aleatoria local g. El campo en una determinada

región, supongamos una futura rama vecina al árbol, se va a obtener a partir del campo

laplaciano como 0

'L

gE φ∆= ( φ∆ se obtiene a partir del potencial calculado a partir de la

ecuación de Laplace). De esta manera en el modelo hay que definir un valor de g para cada

posible canal de ruptura en el que vaya a acumularse daño. Se asigna el valor de g como una

variable aleatoria que responde a una distribución tipo “top hat” de rango limitado. Por

ejemplo:

Probabilidad (g) = { 0

0≠cte

sisi

( )( )5.2,5.0

5.2,5.0∉∈

gg

(3.7)

76

Todavía nos resta discutir cuándo asignar g. Podríamos asignar, para cada posible

canal, de una vez y para siempre un valor de g. En este caso tendríamos un desorden espacial

congelado en el tiempo que podríamos asociar a la distribución inicial del material. También

podríamos suponer que el mecanismo de ruptura mediante las sucesivas descargas deposita

carga espacial en la punta de los túbulos y en sus paredes. En este sentido estaríamos

advirtiendo que el cálculo del potencial por la ecuación de Laplace suponiendo al árbol como

una entidad conductora, subestima la presencia de carga local. De esta forma, a partir de la

idea de que la carga espacial esta variando constantemente en el tiempo, podríamos querer

hacer variar a g en el tiempo. En la simulación podríamos hacer esto asignando para cada

posible canal, un valor de g por cada instante de tiempo (paso de integración). Esto conlleva

unas cuantas modificaciones del modelo y en la práctica no funciona (esto lo discutiremos en

la sección 3.2 y en el Apéndice 4). Existe una posibilidad intermedia, y tal vez más realista,

que es suponer que la distribución de cargas sigue un comportamiento uniforme y estable

hasta que se produce un nuevo canal. En este punto, debido a la incorporación de ésta nueva

rama a la estructura de ruptura, varía el potencial electrostático laplaciano, pero también

habría un cambio importante en la distribución de carga. De esta forma la asignación de g se

haría cada vez que se produzca un nuevo canal.

Considerando esta última opción para la asignación de g podríamos resumir los pasos

requeridos para el cálculo de la ruptura como sigue:

Síntesis del algoritmo

1) Asignar a cada punto de la matriz la variable aleatoria espacial dada por 0

c

bnN

2) Generar un valor aleatorio g por cada par de nodos (i,k)-(l,q).

3) Calcular el campo eléctrico dentro de la matriz por Laplace.

4) Multiplicar el potencial obtenido por g (hay un g para cada par de nodos de la matriz

ik->lq).

5) Buscar el tiempo en el que rompe la primera rama (es decir, estimar el tiempo que

tarda la primera rama en acumular daño igual a 1 utilizando la Ec 3.6).

6) Incorporar dicha rama al árbol.

7) Actualizar el daño para todos los vecinos del árbol (esto es utilizando la ecuación 3.6

con el ∆t obtenido en el punto 5).

8) Reasignar la variable aleatoria g para cada par de nodos (i,k)-(l,q).

77

9) Si no se llegó al contraelectrodo, repetir los pasos a partir del punto 3).

3.2 Implementación

En principio, el modelo podría haberse implementado a partir de la integración directa

de la ecuación 3.5. Esto lógicamente hubiera resultado en un algoritmo diferente al expuesto

en la sección 3.1.1. De hecho, inicialmente intentamos desarrollarlo en esta dirección. Sin

embargo, como va a verse en la sección 3.3, el modelo es sumamente sensible al valor de los

parámetros (debido principalmente al brusco comportamiento la ecuación 3.4 con el campo

eléctrico). Esto resulta en que el tiempo de aparición de las primeras ramas, respecto de las

últimas, es varios órdenes de magnitud mayor. De esta manera, el tiempo de integración debe

ser chico si se quiere obtener algún tipo de resolución del tiempo de aparición de las últimas

ramas (que en realidad representan cerca del 80% o más del total de ramas del árbol

eléctrico). Pero si se toma este tiempo de integración, la aparición de las primeras ramas

nunca va a darse, dado que la cantidad pasos de integración necesaria para que en éstas se

acumule el daño suficiente para la ruptura, se hace virtualmente infinita. Una solución a este

problema sería buscar un paso de integración variable, pero en la práctica resultó imposible

definir uno adecuado. De esta forma, y hasta donde se vio, la única manera de implementar el

modelo de descarga-avalancha es a través del algoritmo expuesto en la sección 3.1.1. En el

Apéndice 4 se detallan los algoritmos utilizados para el cálculo del daño.

3.3. Resultados

Primero vamos a mostrar los resultados del modelo con todas las características

incorporadas: distribución de la densidad del material y fluctuación del campo laplaciano. En

la figura 3.4 se observan árboles simulados con un potencial AC del contraelectrodo a

frecuencia 50Hz y amplitud de 4 KV, una distribución de 0

c

bnN

gaussiana truncada en 108

como se especificó más arriba, y con una fluctuación del campo local dada por la variable g,

que responde a un distribución tipo “top hat” y que es reasignada por cada rama cada vez que

se crea un nuevo canal de ruptura (el rango de g esta indicado en la figura).

78

Figura 3.4 – Simulaciones de árboles de ruptura con cNbn0 siguiendo la distribución gaussiana truncada descripta, y G reasignándose por cada nuevo canal de ruptura. La variable G toma los valores: En A: 0.1 a 0.5 En B: 0.5 a 3.5 En C: 0.5 a 3.5 En D: 0.5 a 2.5

En principio podría resultar sorprendente que los árboles generados por este modelo

puedan llegar a ser tan poco ramificados, ya que se acumula daño en toda la periferia de estos.

Para que los árboles presenten el aspecto que vemos en la figura tuvo que haber sucedido que

la acumulación del daño en las ramas inferiores, que se produjo durante toda la evolución del

árbol, nunca alcanzó el valor de ruptura. Es decir, que las nuevas zonas de acumulación de

daño que fueron apareciendo durante el crecimiento de la estructura de ruptura, mostraron

cada vez una mayor acumulación de daño por ∆t, de forma tal de alcanzar la ruptura antes que

las viejas zonas de acumulación. Claramente lo que muestran las figuras es que la

acumulación de daño por ∆t crece con la altura.

En relación con esto notemos que a medida que g puede alcanzar valores más grandes,

la punta del árbol se agranda. Esto se puede explicar de la siguiente forma. Al desarrollarse el

árbol e ir creciendo en altura, el potencial de los nodos vecinos al árbol más cercanos al

contraelectrodo alcanza valores más altos, próximos al valor del propio contraelectrodo. De

esta forma, en los canales en formación más cercanos al contraelectrodo, donde se va a dar,

79

por lo anterior, un campo eléctrico más intenso, van a sufrir mayor daño. Debido a que el

daño producido por una avalancha, 1..

expexp −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

EeILNa λλ

, como ya indicamos,

presenta un comportamiento abrupto con el campo eléctrico, entonces, dependiendo del valor

que alcance el campo dentro de estos canales, el daño que se produce en ellos por ∆t puede

llegar a ser tal que se produzca la ruptura del canal casi instantáneamente. Esto explica que los

árboles tiendan a ramificarse al acercarse al contraelectrodo, pero si a esto le sumamos la

existencia de la variable g, que puede llegar, dependiendo del rango de valores que tome, a

duplicar o triplicar el valor del campo laplaciano, entonces este tipo de “natural” ramificación

de la punta del árbol va a potenciarse y tendremos árboles con una “copa” mucho más grande.

Pese a esto, los árboles presentan grandes diferencias incluso cuando se los simula con los

mismos parámetros como se puede ver de la figura 3.4.B y 3.4.C, que responden al mismo

rango de g. Ahora analicemos la evolución del árbol en el tiempo.

Recordemos que con los modelos estocásticos sólo podíamos, en el mejor de los casos,

hacer una estimación del tiempo de ruptura. Con este modelo, no sólo podemos hace eso, si

no que también podemos ver cómo se desarrolla en el tiempo el árbol.

En la figura 3.5 podemos ver cómo evoluciona la altura del árbol con el tiempo. La

simulación corresponde a una distribución homogénea del material y sin fluctuaciones locales

del campo, es decir, 0

c

bnN

= cte y g=cte.

Figura 3.5 – Altura del árbol en función del tiempo.

(El árbol se calculó sin variaciones espaciales)

80

Observemos como la aparición de las primeras ramas demora mucho en relación a la

aparición del resto, que surgen casi al mismo tiempo. Esto esta en acuerdo con lo que vimos

antes sobre la relación entre el daño y la altura del árbol. También notemos que los canales no

aparecen paso a paso, en intervalos fijos de tiempo, como sucedía en el modelo estocástico.

La dependencia del modelo con el valor del potencial en el contraelectrodo es crítica.

Para valores grandes del potencial del contraelectrodo tenemos que el tiempo de ruptura

puede ser pequeño, mientras que para valores pequeños del potencial, el tiempo se hace

infinito. La transición entre un comportamiento y otro es brusco como se muestra en la figura

3.6.

Figura 3.6 – Tiempo de ruptura en función del potencial del contraelectrodo

Otra vez, si recordamos la dependencia con el campo del daño por avalancha

(hagamos uso de un campo crítico Ec, que ya hemos sugerido, a partir del cual esta función

toma valores muy grandes, y debajo del cual es casi cero), vemos que si inicialmente tenemos

una situación en la cual el campo en la punta de la falla inicial es muy cercano al valor del

campo crítico Ec, entonces casi inmediatamente una gran región del material alcanzará el daño

suficiente como para romperse, y el tiempo de ruptura será pequeño. Es más, si el campo en la

punta de la falla inicial es igual al campo crítico, entonces todo el material se “quema” y el

tiempo de ruptura tiende a cero. La situación contraria se da cuando el campo en la punta de la

falla inicial es mucho menor al campo crítico Ec. Cuando sucede esto, la aparición de las

81

primeras ramas puede demorar mucho e incluso hacerse virtualmente infinito (o sea,

numéricamente incalculable). Las situaciones más interesantes se dan cuando el campo en la

punta del árbol alcanza el valor crítico Ec al acercarse al contraelectrodo. Los árboles

mostrados arriba están simulados en esta situación.

Probablemente la característica más saliente de este modelo, al menos respecto a la

evolución temporal de la estructura de ruptura, es el que se muestra en la siguiente figura 3.7.

Figura 3.7 –Tiempo de aparición de cada rama

Acá podemos ver el tiempo de aparición de cada rama, esto es, cuando apareció la

primera rama, la segunda, la tercera y así sucesivamente. De la figura 3.7 puede observarse

que las ramas aparecen en grupos, cada uno conformado por distinto número de ramas. La

separación entre los grupos disminuye con el tiempo, pero la cantidad de ramas que conforma

cada grupo no muestra una dependencia temporal clara. El gran tamaño que presenta el último

grupo da cuenta de la aparición de la “copa del árbol” (ver figura 3.4.B y 3.4.C).

Este resultado es alentador porque muestra que la serie temporal del daño es irregular.

Los experimentos sobre emisión de luz durante el proceso de ruptura en epoxy y poliéster

saturado muestran que la intensidad de luz en función del tiempo también tiene una serie

temporal escalonada e irregular, sobre todo en la etapa inicial de la ruptura [4][22][23].

Entonces, dado que el daño esta vinculado con la cantidad de ionizaciones que producen las

avalanchas de electrones, y este proceso involucra a su vez la excitación y decaimiento de

82

átomos y la consecuente emisión de luz, podemos asociar el daño con la emisión de luz.

Como vemos que también tenemos una serie escalonada y más irregular de daño al comienzo

de la ruptura, podríamos decir que al menos cualitativamente, el modelo tiene un

comportamiento similar al observado experimentalmente.

Ahora vamos a mostrar la dependencia del modelo con algunos de sus parámetros,

pero no con la pretensión de simular situaciones realistas, si no para aprender como funciona

el modelo, y poder determinar su grado de validez.

En la figura 3.8 se muestra un conjunto de árboles generados con una distribución

homogénea del material, es decir, cteNbn c =0 para todos los puntos de la matriz.

Figura 3.8 – Simulaciones de árboles de ruptura considerando al material homogéneo, esto es cteNbn c =0

y G asignándose por cada nuevo canal de ruptura. La variable G toma los valores: En A: 0.5 a 2.5 En B: 0.5 a 3.5 En C: 0.5 a 3.5

Si comparamos estos árboles con los generados en la figura 3.4 vemos que no hay una

diferencia significativa. Este hecho es preocupante porque la distribución espacial

cNbn0 cumple un papel fundamental en la teoría del modelo. Por ejemplo, si no hubiésemos

83

incorporado la variable g y hubiésemos tomado esta distribución del material homogénea,

entonces el problema es completamente simétrico a derecha e izquierda de la falla inicial, la

acumulación de daño también debe mantener esta simetría y finalmente el aspecto del árbol

debe ser, a su vez, igualmente simétrico. Las simulaciones hechas en estas condiciones

efectivamente muestran que esto es así. Si ahora incorporamos a la variable g, que como

sabemos tiene dependencia espacial y temporal, es lógico esperar que se rompa la simetría, y

al menos en principio se podría esperar que actúe como una suerte de ruido, pero no que

produzca una estructura completamente diferente. Lo que estamos observando es, por el

contrario, que la distribución espacial de cNbn0 , no es vital para el comportamiento

cualitativo del modelo.

Sabemos que la aparición de una nueva rama a la estructura del árbol, modifica el

potencial laplaciano obligándonos a recalcular el potencial cada vez que esto sucede. Ahora

queremos ver cuán sensible es el modelo a la modificación del campo que produce el

desarrollo de la estructura de ruptura. La figura 3.9 muestra árboles simulados manteniendo el

potencial laplaciano siempre igual al inicial, esto es, manteniendo el potencial eléctrico

correspondiente a t = 0 durante todo el proceso de crecimiento del árbol.

84

Figura 3.9 – Simulaciones de árboles de ruptura generados con el potencial inicial.

(Nunca se recalculó el potencial por la incorporación de una nueva rama). G toma los valores: En A: 0.3 a 1.0 En B: 0.5 a 1.0 En C: 0.5 a 1.5 En D: 0.5 a 2.5

Como puede observarse de la figura 3.9, incluso sin la modificación del campo

eléctrico se consigue generar estructuras de ruptura similares, aunque no iguales, a las

observadas en la figura 3.4. El efecto de no actualizar el potencial con la aparición de cada

rama produce que al avanzar el árbol, el campo eléctrico en la vecindad de éste sea

considerablemente mayor que si se recalculara el potencial. De esta forma la acumulación de

daño también es mayor. Una consecuencia de esto es que aumenta aún más la sensibilidad al

valor del potencial del contraelectrodo, y se hace muy difícil controlar el tamaño de la “copa

del árbol”. Si la condición inicial es tal que el campo eléctrico en la punta de la falla es

cercano a Ec, entonces el árbol se desarrollará cubriendo prácticamente todo el dieléctrico. De

esta forma la condición inicial tiene que ser con un valor del potencial del contraelectrodo tal

que el campo eléctrico en la punta de la falla no se encuentre cerca de Ec, pero entonces el

tiempo de aparición de las primeras ramas puede hacerse infinitamente grande. La solución a

este problema lo podemos ver, por ejemplo, en la figura 3.9.A. En A tenemos que el campo en

la punta de la falla inicial es cercano a Ec, pero gracias a que g es 0.3 ≤ g ≤ 1.0 sólo unos

pocos canales realmente tendrán un valor de campo adecuado como para acumular el daño

suficiente para producir su ruptura. De esta forma podríamos decir que la única forma de que

se rompa un canal es asignarle un valor de g cercano a 1. Por supuesto este razonamiento

funciona hasta que el árbol alcanza una altura tal que la fluctuación de campo producida por g

en un amplio rango no impide la formación de los canales (esto es cuando estamos en la

“copa del árbol”). Para las figuras 3.9.C y 3.9.D vemos que aumenta considerablemente la

cantidad de ramificaciones por permitir un mayor rango de valores de g que incrementan el

valor del campo local. [24]

85

En resumen, la modificación del campo eléctrico que produce el crecimiento del árbol,

si bien interviene en la forma final que adoptan los árboles, no es clave para la formación de

estas estructuras.

3.4. Discusión

Este modelo presenta unas cuantas características interesantes. A partir de una serie

de conceptos físicos se puede llegar a definir un daño local del material que depende del

campo eléctrico local, de la densidad del material en la región, y de las fluctuaciones

espaciales de carga (también se introducen otros parámetros, pero todos con una

interpretación física, como la energía de ionización Ip de las moléculas del material y el

camino libre medio entre colisiones λ). Con este daño, directamente relacionado con las

avalanchas de electrones sobre el material, se pueden generar estructuras de ruptura y estudiar

la evolución temporal de estas. Los árboles simulados muestran una evolución temporal

semejante a la observada experimentalmente (ver figura 3.5). Por otro lado, la dependencia

del tiempo de ruptura con el potencial del contraelectrodo también es compatible con las

observaciones experimentales (ver figura 3.6). Por último, en los árboles simulados pueden

distinguirse dos tipos diferentes de comportamiento: una etapa inicial en dónde la aparición

de los canales de ruptura es lenta e irregular, y una segunda etapa en donde el crecimiento del

árbol se acelera y velozmente alcanza al contraelectrodo (ver figura 3.5 y 3.7). Si recordamos

las series temporales experimentales de emisión de luz (sección 1.4), y establecemos un

vínculo entre cantidad de daño y emisión de luz, podemos relacionar cualitativamente a éstas

con la serie producto del tiempo de aparición de cada rama (estableciendo también dos etapas,

Ay B) (ver figura 3.7 y figura 1.6).

Pese a esto, al modelo se le pueden hacer unas cuantas críticas. En primer lugar las

estructuras de ruptura son muy asimétricas, presentan un tallo y una copa, y en consecuencia

no presentan muy claramente una estructura fractal, como sí lo hacen los árboles generados

experimentalmente (o como lo conseguían los modelos estocásticos). De todas formas para g

tomando valores entre 0.5 y 2.5 se puede estimar una dimensión fractal media de D = 1.4,

mientras que para g entre 0.5 y 3.5 se obtiene una dimensión de D = 1.6 (esta estimación se

realiza mediante un gráfico log-log de la masa del árbol respecto de su altura. De la pendiente

del ajuste lineal de esta curva se obtiene la dimensión).

86

En segundo lugar, tenemos que la distribución espacial 0

c

bnN

, que en un principio se

planteó como la variable estocástica responsable de la ramificación de la estructura, no juega

un rol decisivo en el modelo. Esto se debe a que el parámetro g es dominante. La presencia de

una distribución espacial y temporal de g determina por si sola la estructura de ruptura. La

distribución espacial 0

c

bnN

o la variación del campo que produce el crecimiento del árbol

prácticamente no intervienen si esta presente g (ver figuras 3.8 y 3.9). Por otro lado, si no se

incorpora g al modelo, no se obtienen estructuras ramificadas como las que se observan en la

figura 3.4 (las estructuras generadas sin g son o simplemente una línea con unas pocas

imperfecciones al acercarse al contraelectrodo, o una estructura simétrica con un tamaño

dependiente del potencial del contraelectrodo).

Por otro lado, así como podemos justificar la distribución espacial 0

c

bnN

a partir de

mediciones sobre la densidad del material, con g no podemos hacerlo. Sabemos que tiene que

haber una distribución de cargas, variaciones en la conductividad del material, etc. y entonces

también una variación del campo local laplaciano, pero no sabemos cuán grande puede llegar

a ser esta fluctuación ni que tipo de distribución puede tener. Además, estas variaciones del

campo local tienen que estar relacionadas con las propiedades locales del material. La

solución más simple a este problema sería generar un modelo en el cual g sea función de la

distribución espacial 0

c

bnN

de modo tal de obtener un modelo en el que la distribución espacial

del material tenga un rol primordial y la distribución espacial del campo dependa de las

propiedades espaciales del material.

87

4. Conclusiones

En este trabajo se vieron dos aproximaciones diferentes de la ruptura dieléctrica en

polímeros. La primera que presentamos fue un modelo estocástico que pretende dar cuenta de

la fenomenología de la ruptura, sin indagar en los mecanismos físicos subyacentes. Este

modelo estocástico (DBM) asocia el crecimiento de la estructura ramificada fractal de los

árboles eléctricos con un desarrollo paso a paso. En este proceso cada rama del árbol, que es

añadida a la estructura, es elegida al azar entre todas las posibles ramas a las cuales se les

asigna una probabilidad de falla (de ser elegidas) proporcional a Eη (siendo E el campo

eléctrico a lo largo de la rama). Con este modelo se logran simular árboles eléctricos en un

gran rango de dimensiones fractales (ver figura 2.9). En particular, se logran generar

estructuras con una dimensión similar a la que se observa en los árboles de ruptura

experimentales. También se obtiene una estimación del tiempo de ruptura que está asociado a

la cantidad de ramas que posee el árbol. La distribución de estos tiempos sigue una

distribución de Weibull, al igual que las estructuras de ruptura experimentales.

En este trabajo generalizamos el modelo DBM de manera tal de obtener una versión

de éste que nos permita describir la ruptura dieléctrica en materiales compuestos, es decir, en

una matriz polimérica con inhomogeneidades. Estas imperfecciones se distribuyen al azar

sobre la matriz, y el árbol de ruptura se genera de acuerdo a las nuevas reglas (nueva

probabilidad de falla de cada rama) que dependen de las propiedades eléctricas y del tamaño

de las partículas arrojadas (ver sección 2.2.1)

Cuando las inhomogeneidades son partículas conductoras, el tiempo se calcula a partir

de la cantidad de canales de ruptura, como en el modelo DBM, pero sin tener en cuenta a

aquellos canales que unen a dos partículas. De esta forma, las simulaciones muestran, para un

η dado, una reducción en el tiempo medio de ruptura (que es aproximadamente α) a medida

que la fracción de partículas conductoras p aumenta (ver figuras 2.16 y 2.21). Esta reducción

es especialmente notable para η = 1. A su vez vemos que el parámetro de forma β de la

distribución de Weibull también disminuye al aumentar p (ver figuras 2.17 y 2.22).

Por otro lado, observamos que los tiempos de ruptura tienden a cero a medida que p se

acerca a pc = 0.59 para todos los valores del parámetro η. Esto se puede entender pensando en

el límite de percolación, pc, que indica la existencia de un cluster percolante de partículas

conductoras. En consecuencia, cerca de este límite la cantidad de canales de ruptura que

deben producirse para que el árbol alcance el contraelectrodo, son muy pocas, y por ello el

tiempo de ruptura es muy pequeño. Estas observaciones están en acuerdo con lo que se

88

obtiene para la dimensión fractal. Ésta muestra un aumento constante al incrementarse la

fracción de partículas conductoras p (salvo para η = 1, ver sección 2.2.6.1), acercándose a la

dimensión fractal de percolación Dp = 1.89 a medida que cpp → (ver figuras 2.18 y 2.23).

Los cluster de partículas conductoras sobre la matriz hacen que el desarrollo del árbol sobre

ésta se constituya en una conexión de clusters a través de canales de ruptura (éstos, entonces,

harían las veces de “puentes” entre clusters).

Cuando las inhomogeneidades son partículas aislantes, el comportamiento es bastante

diferente. El tiempo de ruptura (α) tiende a aumentar a medida que se incrementa la cantidad

de partículas aislantes (para η = 1 el comportamiento presenta mayor complejidad, ver

sección 2.2.6.2), y el parámetro de forma β a disminuir (ver figuras 2.27 y 2.28). Cuando la

fracción de partículas aislantes p se acerca al límite de percolación ‘diagonal’ p* = 0.42 (ver

sección 2.2.4) el tiempo de ruptura tiende virtualmente a infinito para todos los valores de η.

Más allá de este límite los árboles eléctricos nunca logran alcanzar el contraelectrodo. La

dimensión fractal, en este caso, también crece al aumentar p para todos los valores de η, salvo

para η = 1 que el comportamiento es ligeramente diferente (ver figura 2.25). La presencia de

partículas aislantes sobre la matriz convierte a ésta en un “laberinto” por el cuál debe

desarrollarse el árbol eléctrico para alcanzar el contraelectrodo. Esto hace que los árboles

generados con η > 1 deban bifurcarse más de lo habitual, mientras aquellos simulados con

η = 1 no puedan expandirse tanto.

El principal inconveniente de la aplicación de modelos estocásticos para analizar la

ruptura dieléctrica es la ausencia de una derivación física del parámetro η. Por eso es que la

segunda aproximación presentada sobre la ruptura dieléctrica fue desarrollada a través de un

modelo más físico que pretende, a partir del conocimiento de la física microscópica

involucrada en el proceso, explicar el desarrollo de los árboles eléctricos. El modelo define un

daño local del material que depende del campo eléctrico local, de la densidad del material en

la región, y de las fluctuaciones espaciales de carga (el modelo introduce otros parámetros

como la energía de ionización Ip de las moléculas del material y el camino libre medio entre

colisiones λ). Las descargas que se producen dentro de los canales de ruptura producen

rupturas de enlaces químicos dentro del material. Las avalanchas de electrones sobre el

material son las responsables del daño local del que hablamos. El modelo propone calcular

este daño sobre toda la periferia del árbol. En este caso, la formación de un canal tendrá lugar

cuando el daño local alcance un determinado valor crítico.

89

Con este modelo, a partir de parámetros físicos similares a los que se utilizan en los

experimentos, se obtienen resultados realistas así como dependencias adecuadas con algunos

parámetros (sobre todo respecto a la evolución temporal de la estructura de ruptura). Es decir,

los árboles simulados presentan una evolución temporal de la altura de la estructura semejante

a la observada experimentalmente (ver figura 3.5). La dependencia del tiempo de ruptura con

el potencial del contraelectrodo es también compatible con las observaciones experimentales

(ver figura 3.6). Por último, las simulaciones muestran que el tiempo de aparición de cada

rama se puede relacionar con las series temporales experimentales de intensidad de luz (ver

figura 3.7).

Pese a estos logros, el modelo presenta unos cuantos problemas. Por un lado, no logra

generar estructuras de ruptura de una dimensión fractal adecuada a la observada

experimentalmente. Por otro lado, la fluctuaciones espaciales de carga se introducen de una

manera ad hoc como una variable aleatoria. Más aún, estas fluctuaciones, poco justificables

desde el modelo, son dominantes frente a los otros parámetros (como las fluctuaciones locales

de la densidad del material o las variaciones del potencial laplaciano por el crecimiento del

árbol eléctrico). Es decir, que si bien el modelo no presenta un parámetro η sin derivación

física, como en los modelos estocásticos, introduce una variable aleatoria poco justificada que

determina prácticamente por si sola la evolución del árbol eléctrico.

Como vemos, estas dos aproximaciones tienen sus ventajas y desventajas. En este

sentido, este trabajo tiene varias posibles continuaciones. Por un lado, se podría ver el

comportamiento del modelo estocástico frente a mezclas de inhomogeneidades conductoras y

aislantes mediante un estudio sistemático como el que aquí se realizó sobre la dimensión

fractal y los parámetros de la distribución de Weibull α yβ de las simulaciones. Por otro lado,

en el modelo de descarga-avalancha se podría intentar relacionar las fluctuaciones espaciales

de carga, con las propiedades locales del material de modo de generar un modelo en el cual no

aparezca ninguna variable ad hoc y las propiedades locales del material tengan un mayor

peso. Si se lograra esto, entonces sería factible pensar en una generalización de éste modelo

que permitiera describir la ruptura dieléctrica en materiales compuestos.

90

APÉNDICE

91

Apéndice 1 – Cálculo del potencial eléctrico

Aquí se detallan los algoritmos utilizados para calcular el potencial eléctrico. Como se

indica que la sección 2.1.3.1, la mayor parte del tiempo cálculo durante las simulaciones de

los árboles eléctricos, se debe al cálculo del potencial. Para optimizar el tiempo de cálculo del

potencial se utilizaron dos funciones: una llamada Potencial, que calcula el potencial en toda

la matriz, y otra denominada LocalPot que realiza el cálculo en una zona centrada en el último

nodo incorporado al árbol (extremo libre de la última rama incorporada).

El potencial se almacena en una matriz Nx x Ny llamada fi. Para el cálculo se necesita

una matriz auxiliar similar a fi llamada oldfi. Antes de empezar una iteración (una vuelta

dentro del Loop principal de Potencial o LocalPot) fi y oldfi son iguales. Luego de la

iteración, en fi se encuentra el nuevo potencial y en oldfi se mantiene el potencial anterior

(previo a la iteración). Si existe algún nodo (i,j) para el cual la diferencia entre |fi(i,j)-oldfi(i,j)|

es mayor a cierto valor e fijado previamente, se sigue iterando (de esto se encarga ChkTole).

En caso contrario, se detiene la iteración. Las recorridas de las matrices para recalcular el

potencial (una iteración) se realizan de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha una vez, y

otra de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. Si no se realiza esto, se observa una

asimetría entre izquierda y derecha, y un mayor peso dentro del cálculo del potencial del

electrodo superior respecto del inferior.

Estas dos funciones son parte de un sistema desarrollado en Visual Fox 6.0 que

permite simular los árboles eléctricos, visualizarlos, calcular su función de correlación, y

almacenar toda la información (forma del árbol eléctrico, función de correlación, parámetros

utilizados para la simulación, etc.). La elección de este lenguaje se debe a la facilidad que éste

presenta para el manejo de bases de datos (para dar una idea del volumen de información con

el que se trabajó, una base de datos correspondiente a 200 árboles generados ocupa

aproximadamente 200MB) y por la precisión numérica con la permite trabajar.

Los comentarios están precedidos por “*” o “&” *------------------------------------------------ function Potencial bajoE = .f. CantCorr = 0 do while bajoE = .f. CantCorr = CantCorr + 1 bajoE = .t.

92

** Recorre de izquierda a derecha (y de arriba hacia abajo) * Primera fila for Ix=2 to Nx-1 if fi(Ix,1) != 0 fi(Ix,1) = (1-W)*fi(Ix,1)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,1)+oldfi(Ix+1,1)+oldfi(Ix,2)+PotSup) oldfi(Ix,1) = fi(Ix,1) endif next ** Cuerpo de la malla (no tiene los bordes superior e inferior) for Iy = 2 to Ny-1 for Ix=2 to Nx-1 if fi(Ix, Iy) != 0 ** Parte central de la malla fi(Ix,Iy) = (1-W)*fi(Ix,Iy)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,Iy)+oldfi(Ix+1,Iy)+oldfi(Ix,Iy+1)+oldfi(Ix,Iy-1)) oldfi(Ix,Iy) = fi(Ix,Iy) endif next next * última fila for Ix=2 to Nx-1 if fi(Ix,Ny) != 0 fi(Ix,Ny) = (1-W)*fi(Ix,Ny)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,Ny)+oldfi(Ix+1,Ny)+oldfi(Ix,Ny-1)) oldfi(Ix,Ny) = fi(Ix,Ny) endif next * Iguala las 2 primeras columnas y las 2 últimas. for Iy = 1 to Ny fi(1,Iy) = fi(2,Iy) oldfi(1,Iy) = fi(1,Iy) fi(Nx,Iy) = fi(Nx-1,Iy) oldfi(Nx,Iy) = fi(Nx,Iy) next ** Recorre de derecha a izquierda (y de abajo hacia arriba) * última fila for Ix=Nx-1 to 2 step -1 if fi(Ix,Ny) != 0 fi(Ix,Ny) = (1-W)*fi(Ix,Ny)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,Ny)+oldfi(Ix+1,Ny)+oldfi(Ix,Ny-1)) ChkTole(Ix,Ny) endif next ** Cuerpo de la malla (no tiene los bordes superior e inferior) for Iy = Ny-1 to 2 step -1 for Ix=Nx-1 to 2 step -1

93

if fi(Ix, Iy) != 0 ** Parte central de la malla fi(Ix,Iy) = (1-W)*fi(Ix,Iy)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,Iy)+oldfi(Ix+1,Iy)+oldfi(Ix,Iy+1)+oldfi(Ix,Iy-1)) ChkTole(Ix,Iy) endif next next * Primera fila for Ix=Nx-1 to 2 step -1 if fi(Ix,1) != 0 fi(Ix,1) = (1-W)*fi(Ix,1)+W*(0.25)*(oldfi(Ix-1,1)+oldfi(Ix+1,1)+oldfi(Ix,2)+PotSup) ChkTole(Ix,1) endif next for Iy = 1 to Ny fi(1,Iy) = fi(2,Iy) oldfi(1,Iy) = fi(1,Iy) fi(Nx,Iy) = fi(Nx-1,Iy) oldfi(Nx,Iy) = fi(Nx,Iy) next enddo Return *----------------------- function LocalPot parameter pnX, pnY llRet = .t. lnIniX = pnX lnIniY = pnY lnTopeX = 0 lnTopeY = 0 bajoE = .f. do while bajoE = .f. bajoE = .t. lnIniX = lnIniX - 1 lnIniY = lnIniY - 1 lnTopeX = lnTopeX + 2 lnTopeY = lnTopeY + 2 if (lnIniX > 2 and lnIniY > 1) and ; (lnIniX+lnTopeX < Nx-1 and lnIniY+lnTopeY < Ny) ** De izquierda a derecha

94

for lnY = 0 to lnTopeY for lnX = 0 to lnTopeX CalcFi(lnIniX+lnX, lnIniY+lnY, .f.) next next ** De derecha a izquierda for lnY = lnTopeY to 0 step -1 for lnX = lnTopeX to 0 step -1 CalcFi(lnIniX+lnX, lnIniY+lnY, .t.) next next else llRet = .f. bajoE = .t. endif enddo return llRet *--------------------------- function CalcFi parameter pnPX, pnPY, plComp ** Actualiza el valor del potencial en el nodo (pnPX, pnPY) siempre ** y cuando allí el potencial no sea 0. Recordar que a potencial 0 esta ** el electrodo inferior y el árbol de ruptura. if fi(pnPX, pnPY) != 0 fi(pnPX, pnPY) = (1-W)*fi(pnPX,pnPY)+W*(0.25)*( oldfi(pnPX-1,pnPY)+oldfi(pnPX+1,pnPY)+ ; oldfi(pnPX,pnPY+1)+oldfi(pnPX,pnPY-1) ) if plComp ChkTole(pnPX,pnPY) else oldfi(pnX,PnY) = fi(pnX, pnY) endif endif return *----------------------- function ChkTole parameter pnIx, pnIy ** Chequea estar bajo la talerancia (e) if abs(fi(pnIx,pnIy)-oldfi(pnIx,pnIy)) > e bajoE = .f. endif oldfi(pnIx,pnIy) = fi(pnIx,pnIy) return

95

Apéndice 2 – Cálculo de la dimensión fractal

De lo comentado en la sección 2.1.3.2 deben hacerse unas cuantas aclaraciones. En

primer lugar allí se indica que se puede obtener la dimensión fractal media de dos formas

distintas. Una es calculando la dimensión fractal individual de cada árbol y después

obteniendo el promedio de ésta. La otra, es calculando la función de correlación media y a

partir de ella calcular la dimensión fractal. Estos dos métodos pueden parecer en un principio

muy diferentes, sin embargo, si se piensa que calcular la dimensión no es más que estimar una

pendiente por cuadrados mínimos, se puede ver relativamente fácil que si fijamos el intervalo

en el cual se calculará la pendiente y realizamos el ajuste por cuadrados mínimos, sin

considerar el error de cada punto para el ajuste, se obtiene el mismo resultado con los dos

métodos.

Demostremos esto último. Debemos mostrar que si tomamos una serie de curvas, y a

cada una de éstas le calculamos la pendiente por cuadrados mínimos, el promedio de dichas

pendientes es igual a pendiente del ajuste por cuadrados mínimos de la curva promedio.

Supongamos que tenemos M curvas y que a

cada una de ellas, en el intervalo (a, b), las

vamos a aproximar por un ajuste lineal. El

intervalo (a, b) lo dividimos en N partes.

La pendiente promedio es entonces:

mmM

=∑α

α1

La curva promedio se define como

ii yyM

=∑α

α1

Recordemos que el ajuste lineal se obtiene

a partir de la minimización del error, es decir

de la función

( )∑ −+=N

iii ybxm 22αααχ

96

La curva que mejor ajusta es la que cumple que m y b son tales que 02

=∂∂

mχ y

02

=∂

∂b

χ . Si escribimos esto para cada una de las curvas tenemos que

( )∑ −+==∂∂ N

iiii xybxm

m αααχ 20

2

( ) ( )∑∑ =−⇒−+==∂

∂ N

iii

N

iiii bxmy

Nybxm

b ααααααχ 120

2

Reemplazando la expresión para bα en 02

=∂∂

mχ , llegamos a que

i

N

i

N

jijji xyxmy

Nxm∑ ∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+= αααα )(10 entonces α

αα

mxx

Nx

xyN

xy

N

i

N

jiji

N

i

N

jijii

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∑ ∑

∑ ∑

)(1

)(1

Ahora hagamos el promedio de estas pendientes individuales

mmM

xxN

x

xyN

xy

M

MM

N

i

N

jiji

N

i

N

jijii

==

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∑∑∑ ∑

∑ ∑α

αα

αα1

1

11

como el denominador del sumando es una constante que no depende de α, se puede sacar de

la sumatoria. Llamando a este denominador ∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

N

i

N

jiji xx

Nx 1γ llegamos a

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑∑∑∑M N

i

N

jij

M N

iii xy

Nxy

M αα

ααγ

11 myxN

yxM

N

i

M N

i

N

j

M

jiii =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∑ ∑ ∑∑ ∑α α

ααγ11

97

siendo que podemos hacer ∑ ∑∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=N

i

M

ii

N

i

M

ii yxxyα

αα

α . Finalmente llegamos a

myxN

yxN

i

N

jji

N

iii =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− ∑∑∑ 11γ

Con lo que queda demostrado que el promedio de las pendientes individuales es igual

a la pendiente de la curva promedio.

Por otro lado, si se observan los resultados obtenidos para la dimensión fractal (figura

2.9) que están calculados mediante la función de correlación media y se los compara con los

obtenidos en otros trabajos, en donde se promedia las dimensiones [7], se verá que la

dimensión fractal media obtenida es prácticamente igual a la obtenida por este método. La

mayor diferencia entre los dos métodos está en que el método de correlación media no

presenta tanta dispersión como el método de promediar la dimensiones fractales individuales.

Esto se debe a que para calcular la dimensiones fractales individuales, hay establecerse a

priori el rango lineal (intervalo (a,b)) en el cual va a calcularse la dimensión fractal. De esta

forma, al calcular las pendientes individuales en este rango, puede darse que la función de

correlación individual para varios árboles, en este intervalo, no represente bien la zona de

comportamiento lineal. Con el método de función de correlación media este problema se evita

porque se debe establecer el rango de comportamiento lineal para una sola función de

correlación.

Aclaremos también que el cálculo de chi2 (y en consecuencia también el coeficiente de

correlación lineal) se hizo teniendo en cuenta los errores de cada punto, esto es definiendo a

chi2 como:

∑ −+=i

iii

ybmxchi )(12

δ donde iδ es el error del punto yi

Ahora mostraremos el código utilizado correspondiente al cálculo de la función de

correlación y de la dimensión fractal para un árbol simulado. Sin embargo, como en la

práctica la dimensión fractal media de un conjunto de árboles simulados se llevó a cabo

mediante la función de correlación media, los valores de la dimensión fractal individual no

98

fueron utilizados (salvo para compara los métodos). El código esta desarrollado en VisualFox

6.0. La información correspondiente al árbol simulado esta en la matriz arbol. La rama i es tal

que va desde el nodo (x1,y1) = (arbol(i,1), arbol(i,2)) hasta el nodo (x2,y2)=(arbol(i,3),

arbol(i,4)). Las dimensiones de la matriz sobre la cual crece el árbol es Nx x Ny. Con “*” o

“&” se indican comentarios.

*------------------------ * * CalcDim - Calcula la dimensión fractal. * function CalcDim lCalcDim = .t. dimen circunf(21000,3) ** Se toman coronas con radios espaciados en 5% de Ny ** Si Ny >= 100 el espaciado es siempre de 5. ** Tomamos como radio de la corona más chica saltoR SaltoR = iif(0.05*Ny >= 5, 5, int(0.05*Ny)) Rmax=int(0.25*Ny) CantCoronas=iif(mod(Rmax-SaltoR, SaltoR)>0, ; (Rmax-SaltoR-mod(Rmax-SaltoR, SaltoR))/SaltoR, (Rmax-SaltoR)/SaltoR) * circunferencias desordenadas PtosAVisitar = 0 tope = Rmax if mod(tope, 2) # 0 tope_cuadrado = (tope+1)/2 else tope_cuadrado = tope/2 endif for iy = (-1)*tope to tope for ix = (-1)*tope to tope RadioPto = sqrt(ix^2+iy^2) if RadioPto <= tope and RadioPto > 0 PtosAVisitar = PtosAVisitar + 1 circunf(PtosAVisitar, 1) = RadioPto circunf(PtosAVisitar, 2) = ix circunf(PtosAVisitar, 3) = iy endif next next * Ordenamiento de circunferencias (según su radio) lModif = .t.

99

do while lModif lModif = .f. for ind = 1 to PtosAVisitar - 1 if circunf(ind,1) > circunf(ind+1,1) AuxR = circunf(ind,1) AuxX = circunf(ind,2) AuxY = circunf(ind,3) circunf(ind,1) = circunf(ind+1, 1) circunf(ind,2) = circunf(ind+1, 2) circunf(ind,3) = circunf(ind+1, 3) circunf(ind+1,1)= AuxR circunf(ind+1,2)= AuxX circunf(ind+1,3)= AuxY lModif = .t. endif next enddo * Cálculo de la cantidad de radios CantRadios = 0 ActRadio = -1 for ind = 1 to PtosAVisitar if ActRadio # circunf(ind, 1) CantRadios = CantRadios + 1 ActRadio = circunf(ind,1) endif next dimen Radio(CantRadios, 6) for ind = 1 to CantRadios Radio(ind, 1) = 0 && Area arbol dentro de la circunferencia Radio(ind, 2) = 0 && Area total circunferencia Radio(ind, 3) = 0 && Radio Radio(ind, 4) = 0 && Area arbol dentro del disco Radio(ind, 5) = 0 && Area disco (sin el pto central) Radio(ind, 6) = 0 && Radio (radio disco) next * Recorre el árbol - Cálculo de C(r) CuentaRama = 0 desdeX = (0.25*Nx)+1 && el +/- 1 es para evitar el índice 0 (ej: fi(0,18)) hastaX = Nx*(1-0.25)-1 desdeY = 0.25*Ny + 1 hastaY = 0.65*Ny - 1 for lnI = 1 to CantRamas * Veo qué ramas quedan en la parte central. if between( arbol(lnI, 1), desdeX, hastaX ) and ; between( arbol(lnI, 2), desdeY, hastaY)

100

CuentaRama = CuentaRama + 1 lnActRadio = 1 && Indice de radio lnActCircunf = Circunf(1, 1) && Valor del radio lnIndElemento = 1 && Elemento que se esta visitando DiscoArbol = 0 DiscoArea = 0 do while lnActRadio <= CantRadios AreaArbol = 0 AreaR = 0 do while lnIndElemento <= PtosAVisitar and ; Circunf(lnIndElemento, 1) = lnActCircunf if fi(arbol(lnI, 1)+Circunf(lnIndElemento, 2), ; arbol(lnI, 2)+Circunf(lnIndElemento, 3) ) = 0 AreaArbol = AreaArbol + 1 endif AreaR = AreaR + 1 lnIndElemento = lnIndElemento + 1 enddo DiscoArbol = DiscoArbol + AreaArbol DiscoArea = DiscoArea + AreaR Radio(lnActRadio, 1) = Radio(lnActRadio, 1) + AreaArbol Radio(lnActRadio, 3) = lnActCircunf Radio(lnActRadio, 4) = Radio(lnActRadio, 4) + DiscoArbol Radio(lnActRadio, 5) = Radio(lnActRadio, 5) + DiscoArea Radio(lnActRadio, 6) = lnActCircunf lnActRadio = lnActRadio + 1 lnActCircunf = Circunf(lnIndElemento, 1) enddo endif next * Cálculo de la dimensión fractal. Se cálcula la dimensión dentro de * cada corona. * La dimensión del árbol debería ser aquella donde no haya * fluctuación de las dimensiones parciales al variar el radio de las coronas. dimen Coronas(CantCoronas, 3) if CuentaRama # 0 for lnR = 1 to CantRadios Radio(lnR, 1) = Radio(lnR,1)/CuentaRama Radio(lnR, 2) = Radio(lnR,2)/CuentaRama Radio(lnR, 4) = Radio(lnR,4)/CuentaRama Radio(lnR, 5) = Radio(lnR,5)/CuentaRama next endif

101

RadioC = 0 FirstElemento = 1 for indR = 1 to CantCoronas RadioC = RadioC + SaltoR Coronas(indR, 1) = log(RadioC) A = 0 && Para el cálculo de la dimensión con las coronas B1= 0 B2= 0 C = 0 D = 0 DA = 0 && Para el cálculo de la dimensión con los discos DB1= 0 DB2= 0 DC = 0 DD = 0 indElemento = FirstElemento CantCircunf = 0 do while indElemento <= CantRadios and Radio(indElemento, 3) < RadioC lnR = indElemento indElemento = indElemento + 1 CantCircunf = CantCircunf + 1 * Sumatorias para hacer cuadrados mínimos. if Radio(lnR,1) > 0 and Radio(lnR, 2) > 0 and Radio(lnR, 3) > 0 A = A + log(Radio(lnR,3)) * log(Radio(lnR,1)/Radio(lnR,2)) B1 = B1 + log(Radio(lnR,3)) B2 = B2 + log(Radio(lnR,1)/Radio(lnR,2)) C = C + (log(Radio(lnR,3))*log(Radio(lnR,3))) D = D + log(Radio(lnR,3)) endif if Radio(lnR,4) > 0 and Radio(lnR, 5) > 0 and Radio(lnR, 6) > 0 DA = DA + log(Radio(lnR,6)) * log(Radio(lnR,4)/Radio(lnR,5)) DB1 = DB1 + log(Radio(lnR,6)) DB2 = DB2 + log(Radio(lnR,4)/Radio(lnR,5)) DC = DC + (log(Radio(lnR,6))*log(Radio(lnR,6))) DD = DD + log(Radio(lnR,6)) endif enddo coronas(indR, 2) = (((CantCircunf)*A)-(B1*B2))/(((CantCircunf)*C)-(D*D))+2 coronas(indR, 3) = (((CantCircunf)*DA)-(DB1*DB2))/(((CantCircunf)*DC)-(DD*DD))+2 next return

102

Apéndice 3 – Selección de la nueva rama

Aquí se presentan las funciones que se encargan de la selección de las nuevas ramas.

La selección se realiza a partir de las reglas indicadas en la sección 2.2.2 y 2.2.3. La función

Sorteo realiza la selección al azar de una rama de ruptura (cada rama tiene su probabilidad de

ser elegida) de entre todas las posibles que tiene el árbol en su contorno. Sorteo llama a la

función oCandidato que se encarga de incorporar la rama seleccionada al árbol e incorporar, a

través de oAddCandidato, las nuevas posibles ramas de ruptura que aparecen por la

incorporación de una nueva rama a la estructura. En Sorteo no se produce una selección al

azar de una rama, si hay presente, dentro de las posibles ramas a ser seleccionadas, una que

posea en su extremo, una partícula conductora. En este caso, la rama que cumpla con esta

última condición es inmediatamente incorporada al árbol. Si existieran muchas ramas en esta

condición, todas ellas serían incorporadas mediante sucesivas llamadas a la función Sorteo.

Por otro lado, nunca es incorporada como posible rama de ruptura, una que posea en su

extremo una partícula aislante.

En el cursor TSorteo se encuentran las posibles ramas a ser sorteadas. Cada fila del

cursor indica una rama cuyo extremo libre es (TSorteo.hx, TSorteo.hy). La información

correspondiente al árbol simulado esta en la matriz arbol. La rama i del árbol es tal que va

desde el nodo (x1,y1)=(arbol(i,1), arbol(i,2)) hasta el nodo (x2,y2)=(arbol(i,3), arbol(i,4)).

Las dimensiones de la matriz sobre la cual crece el árbol es Nx x Ny. El potencial esta

representado por una matriz Nx x Ny llamada fi. Los nodos de la matriz (i,j) con potencial

cero, fi(i,j)=0, son puntos pertenecientes al árbol de ruptura. La información sobre las

inhomogeneidades esta en la matriz Particulas (Nx x Ny). Si en el nodo (i,j) no hay ninguna

partículas, entonces Particulas (i,j)=0. Si en (i,j) hay una partícula conductora, entonces

Particulas (i,j)=1. Si en (i,j) hay una partícula aislante, entonces Particulas (i,j)=2.

Con “*” o “&” se indican comentarios.

*----------------------- function Sortea HayParticula = .f. Candidatos = 0 AcumProb = 0 CantRep = 0 ** Es para que si se llega al contraelectrodo y quedan por incorporar ** partículas conductoras, se incorpore a éstas. (Si este flag esta en .t. no quiere

103

** decir que haya efectivamente que incorporar partículas conductoras.) IncorporarParticula = .t. sele TSorteo set order to particula if seek(1) && Busca si hay alguna particula conductora ** Hay una partícula conductora a incorporar. CantRamasNeg = CantRamasNeg + 1 Particulas(TSorteo.hx,TSorteo.hy) = 2 oGanador(TSorteo.hx,TSorteo.hy) else if NoLlegoArriba && Si no se llegó al contraelectrodo if CantNuevasR > 0 ** Actualiza el potencial para poder realizar el sorteo. PotencialGral = .f. if CantNuevasR >= 100 Potencial() else for iRama = 1 to CantNuevasR if !LocalPot(NuevasRamas(iRama, 1), NuevasRamas(iRama, 2)) Potencial() endif if PotencialGral exit endif next endif CantNuevasR = 0 endif ** No hay partículas conductoras. Hay que realizar el Sorteo. sele TSorteo set order to hxhy go top scan while TSorteo.hx < 999999 Prob = (fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy)^eta) AcumProb = AcumProb + Prob candidatos = candidatos + 1 Sorteo(candidatos, 1) = recno() Sorteo(candidatos, 2) = Prob endscan if AcumProb > 0 azar = rand() desde= 0

104

for ind=1 to candidatos if between(azar, desde, desde+Sorteo(ind, 2)/AcumProb) * Tenemos al ganador! go Sorteo(ind, 1) oGanador(TSorteo.hx,TSorteo.hy) exit else desde = desde+Sorteo(ind, 2)/AcumProb endif next else PuedeSortear = .f. endif else IncorporarParticula = .f. endif endif return *------------------------- function oGanador parameter pnHx, pnHy CantRamas = CantRamas+1 * Hijo (extremo libre) arbol(CantRamas,1) = pnHx arbol(CantRamas,2) = pnHy * Padre (extremo pegado al árbol) arbol(CantRamas,3) = TSorteo.Px arbol(CantRamas,4) = TSorteo.Py fi(pnHx,pnHy) = 0 UltRama = CantRamas ** Saca al ganador de TSorteo sele TSorteo set order to hxhy do while seek(str(pnHx, 6)+str(pnHy, 6)) repl Hx with 999999 && Hago esto en vez de borrarlo para no dañar el índice repl Hy with 999999 repl negro with 0 enddo ** Incorpora a Sorteo los vecinos del nodo ganador * Izq if (pnHx>1 and fi(pnHx-1,pnHy) # 0) oAddCandidato(pnHx-1, pnHy) endif * Derecha if (pnHx<Nx and fi(pnHx+1,pnHy) # 0) oAddCandidato(pnHx+1,pnHy)

105

endif * Arriba if (pnHy>1 and fi(pnHx,pnHy-1) # 0) oAddCandidato(pnHx,pnHy-1) endif * Abajo if (pnHy< Ny and fi(pnHx,pnHy+1) # 0) oAddCandidato(pnHx,pnHy+1) endif return *----------------------- function oAddCandidato parameter pnX, pnY ** Si es una particula conductora o un punto cualquiera de la matriz puede ser ** candidato, pero si se trata de un aislante o un partícula conductora ya ** incorporada al arbol, no. Si bien nunca se debería haber entrado aquí si se ** trata de un pto del arbol (fi=0), esto puede llegar a suceder en el borde, ** porque potencial iguala la primer columna al valor que tiene la segunda. ** En este caso uno puede encontrar que hay un punto del arbol que no respeta ** estar a potencial cero y este punto sólo puede existir sobre la primer columna ** o la última. if Particulas(pnX, pnY) = 0 or Particulas(pnX, pnY) = 1 sele TSorteo append blank repl TSorteo.hx with pnX repl TSorteo.hy with pnY repl TSorteo.px with pnHx repl TSorteo.py with pnHy repl TSorteo.negro with iif(Particulas(pnX, pnY)=1,1,0) endif return

106

Apéndice 4 – Cálculo del daño

Aquí se presentan las funciones que se encargan del cálculo del daño que se explicó en

la sección 3.1.1.

La función Daño realiza el cálculo del daño sobre todas las ramas vecinas del árbol

aún no incorporadas. Dependiendo del parámetro ModoFactG la función Daño realiza el

cálculo con g constante en el tiempo, g variando cada vez que se rompe una rama, o g

variando en cada paso de integración (ModoFactG=1, 2, o 3 respectivamente). Cada vez que

una rama alcanza un daño acumulado igual 1, Daño llama a la función oNuevaRama para que

incorpore al árbol a dicha rama. oNuevaRama además de hacer esto se encarga de agregar, a

través de oAddCandidato, las nuevas posibles ramas de ruptura que aparecen por la

incorporación de la nueva rama a la estructura. El algoritmo permite la aparición en forma

simultánea de varias ramas.

En el cursor TSorteo se encuentran las ramas a las que se le acumula daño, es decir

aquellas que aún no fueron incorporadas árbol. Cada fila del cursor indica una rama cuyo

extremo libre es (TSorteo.hx, TSorteo.hy) y su extremo pegado al árbol es (TSorteo.px,

TSorteo.py). El daño acumulado esta en TSorteo.damage. El valor de g es TSorteo.fact_g

(notar que g se define por rama y no por nodo de la matriz). La información correspondiente

al árbol simulado esta en la matriz arbol. La rama i del árbol es tal que va desde el nodo

(x1,y1)=(arbol(i,1), arbol(i,2)) hasta el nodo (x2,y2)=(arbol(i,3), arbol(i,4)). Las dimensiones

de la matriz sobre la cual crece el árbol es Nx x Ny. El potencial esta representado por una

matriz Nx x Ny llamada fi (este potencial se cálcula como se indica en el Apéndice 1, pero

para calcular el campo se redefine su valor multiplicándolo por el valor del potencial del

contraelectrodo que es ahora distinto de 1. Este valor esta dado por el parámetro PotCont).

Los nodos de la matriz (i,j) con potencial cero, fi(i,j)=0, son puntos pertenecientes al árbol de

ruptura. La información sobre las propiedades del material esta en la matriz (Nx x Ny) llamada

NN (este valor es cNbn0 ). Las propiedades del material se definen para cada nodo de la

matriz, no para cada rama como el caso de g.

Al principio se incluyen los valores de algunos parámetros físicos que se utilizan en el

cálculo del daño. Con “*” o “&” se indican comentarios.

107

Lb = 10^(-5) && Largo típico de un túbulo. Lambda = 60*(10^-9) && Camino libre medio. C_e = (1.6)*10^(-19) && Carga electrón Ip = (9.6)*C_e && Cantidad de carga que se tiene cuando se forma un canal. PotCont = 4000 && Potencial máximo que alcanza el contraelectrodo. frec = 50 && Frecuencia a la que oscila el campo. ** Forma en cómo aparecen combinados los parámetros en el modelo: **(para el cálculo del daño) AA = Lb/Lambda BB = (-1)*(Lb*Ip)/(Lambda*C_e) TiempoInteg = 50 && Es el tiempo de integración *----------------------- function Daño * ModoFactG - Tenemos 3 posibilidades: * 1) g puede no variarse. * 2) g puede variarse cada vez que se rompe una rama. * 3) g varía en cada paso de tiempo (esta última posibilidad cambia la forma de calcular el daño). Candidatos = 0 CantRep = 0 dimen ramagenerada[30000] if ModoFactG = 3 && g varía en cada paso de tiempo. dt = TiempoInteg NewRamas = 0 do while NewRamas = 0 sele TSorteo set order to activo go top scan while TSorteo.activo repl TSorteo.fact_g with TopHatG() deltaFi = TSorteo.fact_g*fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy)*PotCont

d_damage = 2*frec*NN(TSorteo.hx,TSorteo.hy)*( exp(AA*exp(BB/deltaFi)) -1)

repl TSorteo.damage with iif(TSorteo.damage+(d_damage*dt)>1, 1, TSorteo.damage+(d_damage*dt)) if TSorteo.damage >= 1 && Se formó una nueva rama. NewRamas = NewRamas + 1 ramagenerada(NewRamas) = recno() endif endscan enddo for lnI=1 to NewRamas sele TSorteo go ramagenerada(lnI) if TSorteo.damage >= 1 && Esta es una rama que rompe! oNuevaRama (TSorteo.hx,TSorteo.hy) endif

108

next if NewRamas > 1 PotencialTotal = .t. else PotencialTotal = .f. endif else && g puede no variar o varía cada vez que se rompe una rama. if NoLlegoArriba && Si no se llegó al contraelectrodo * Hay que ver cuál rama rompe primero. * Hay que considerar el daño acumulado en cada candidato * y calcular a partir de su potencial que daño se le acumula. * Búsqueda de la rama que rompe primero: sele TSorteo set order to hxhy go top d_damage = 2*frec*NN(TSorteo.hx,TSorteo.hy)*; (exp(AA*exp(BB/(TSorteo.fact_g*PotCont*fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy))))-1) dt_ruptura = (1 - TSorteo.damage)/d_damage dt_ruptura = dt_ruptura+1 && Sólo al primero (es para el if del scan) NewRamas = 1 scan while TSorteo.hx < Nx if TSorteo.damage < 1 if ModoFactG = 2 repl TSorteo.fact_g with TopHatG() endif d_damage = 2*frec*NN(TSorteo.hx,TSorteo.hy)*; (exp(AA*exp(BB/(TSorteo.fact_g*PotCont*fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy))))-1) dt = (1 - TSorteo.damage)/d_damage repl TSorteo.asortear with .t. if dt < dt_ruptura dt_ruptura = dt NewRamas = 1 else if dt_ruptura = dt NewRamas = NewRamas + 1 endif endif endif endscan ** Actualiza tiempo de propagación acutemp=acutemp+dt_ruptura ContTiempo = ContTiempo + 1 aTiempo(ContTiempo) = acutemp

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* Teniendo el tiempo en que rompe la primera rama (o primeras) * agrega las ramas que hayan aparecido y actualiza el daño de las

* ramas que aún no rompieron. * Actualiza el daño sele TSorteo go top scan while TSorteo.hx < Nx if TSorteo.asortear if TSORTEO.damage < 1 d_damage = 2*frec*NN(TSorteo.hx,TSorteo.hy)*; (exp(AA*exp(BB/(TSorteo.fact_g*PotCont*fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy))))-1) if (d_damage*dt_ruptura) > 10^(-14) or ; ((d_damage*dt_ruptura) < 10^(-14) and TSorteo.damage> 0) repl TSorteo.damage with iif(TSorteo.damage+(d_damage*dt_ruptura)>=1, 1, TSorteo.damage+(d_damage*dt_ruptura)) endif endif endif endscan * Busca las ramas que se hayan roto. ContPropio = 0 sele TSorteo go top scan while TSorteo.hx < Nx if TSorteo.asortear if TSorteo.damage >= 1 && Esta es una rama que rompe! ContPropio = ContPropio + 1 nRecno = recno() ramagenerada(ContPropio) = nRecno fi(TSorteo.hx,TSorteo.hy) = 0 endif endif endscan ** Ahora actualiza el cursor, etc for lnIndice = 1 to ContPropio sele TSorteo go ramagenerada(lnIndice) if TSORTEO.Hx > Nx-1 * No hay que hacer nada. else oNuevaRama(TSorteo.hx,TSorteo.hy) endif next if NewRamas > 1 PotencialTotal = .t. else

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PotencialTotal = .f. endif endif endif return *------------------------- function oNuevaRama parameter pnHx, pnHy CantRamas = CantRamas+1 * Hijo (extremo libre de la rama) arbol(CantRamas,1) = pnHx arbol(CantRamas,2) = pnHy * Padre (extremo pegado al árbol) arbol(CantRamas,3) = TSorteo.Px arbol(CantRamas,4) = TSorteo.Py arbol(CantRamas,5) = acutemp fi(pnHx,pnHy) = 0 UltRama = CantRamas if !(arbol(UltRama, 2) > 1) NoLlegoArriba = .f. endif *** Para obtener la curva de la altura en función del tiempo if pnHy < ultAltura ultAltura = pnHy contAltura = contAltura + 1 altTiempo(contAltura) = acutemp endif *** ** Saca a la nueva rama de TSorteo if ModoFactG = 3 sele TSorteo set order to hxhy seek(str(pnHx, 6)+str(pnHy, 6)) scan while pnHx = TSorteo.hx and pnHy = TSorteo.hy repl activo with .f. endscan else sele TSorteo set order to go top scan if pnHx = TSORTEO.hx and pnHy = TSORTEO.hy repl activo with .f. repl Hx with 999999 && Hago esto en vez de borrarlo para no dañar el índice repl Hy with 999999 repl damage with 1 endif

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endscan sele TSorteo reind endif ** Incorpora a TSorteo las ramas vecinas al nodo incorporado * Izquierda if (pnHx>1 and fi(pnHx-1,pnHy) # 0) oAddCandidato(pnHx-1, pnHy) endif * Derecha if (pnHx<Nx and fi(pnHx+1,pnHy) # 0) oAddCandidato(pnHx+1,pnHy) endif * Arriba if (pnHy>1 and fi(pnHx,pnHy-1) # 0) oAddCandidato(pnHx,pnHy-1) endif * Abajo if (pnHy< Ny and fi(pnHx,pnHy+1) # 0) oAddCandidato(pnHx,pnHy+1) endif return *----------------------- function oAddCandidato parameter pnX, pnY sele TSorteo append blank repl TSorteo.hx with pnX repl TSorteo.hy with pnY repl TSorteo.px with pnHx repl TSorteo.py with pnHy repl TSorteo.damage with 0 repl TSorteo.fact_g with TopHatG() repl TSorteo.activo with .t. return

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REFERENCIAS [1] J O’Dwyer “The Theory of Dielectric Breakdown of Solids” (Oxford at the Clarendon

Press 1967). [2] J V Championt, S J Dodd and G C Stevens. J. Phys. D: Appl. Phys. 27 (1994)

1020-1030. [3] J V Champion and S J Dodd. J. Phys. D: Appl. Phys. 28 (1995). 398-407. [4] J V Champion, S J Dodd and G C Stevens. J. Phys. D. Appl. Phys. 26 (1993). 819-

828. [5] M M Ucki and M Zanin, IEEE Annual Report October 19-22 (1997), 173-176. [6] R W Coppard, L A Dissado, S M Rowland and R Rakowski, J. Phys.: Condens.

Matter 1 (1989). 3041-3045. [7] A L Barclay, P J Sweeney, L A Dissado y G C Stevens. J. Phys. D. Appl. Phys. 23

(1990) 1536-1545) [8] J Feder, “Fractal” (Plenum Press 1988). [9] http://www.weibull.com/LifeDataWeb/weibull_statistical_properties.htm [10] L Niemeyr, L Pietronero and H J Wiesmann, Physical Review Letters Vol 52,

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University Press 1988-1992) [12] I M Irurzun, J L Vicente, M C Cordero and E E Mola, Physical Review E, Vol 63

(2001), 016110. [13] J L Vicente, A C Razzitte, M C Cordero and E E Mola, Phys. Review E 57 (1998),

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Rosario, 18 al 21 de septiembre de 2001. Libro de resúmenes: Página 13. Se presentaron los resultados de la sección 2.1.4. y 2.2.5.2.

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[18] F Peruani, G Solovey, I M Irurzun, E E Mola, A Marzocca y J L Vicente, Physical Review E. Trabajo enviado a publicar el 28 de junio de 2002. Código ET8197. El paper incluye los resultados de la sección 2.2.5.1, 2.2.5.2 y 2.2.6.1.

[19] L A Dissado and P J J Sweeney, Physical Review Vol 48, nro 22, (1993), 16261. [20] T J Lewis, “Space Charge in Solid Dielectrics” (Fothergill & Dissado, 1998). Páginas

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Dissado, 1998). Páginas 273-284. [22] S J Dodd, L A Dissado J V Champion J M Alison, Physical Review E, vol 52, nro

24, 1995. R16985. [23] L A Dissado, J C Fothergill, N Wise, A Willby and J Cooper, J. Phys. D: Appl.

Phys. 33 (2000). L1-L5. [24] Póster expuesto en: 87ª Reunión Nacional de Física. Asociación Física Argentina.

Córdoba, 16 al 19 de septiembre de 2002. Libro de resúmenes: Página 144.

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Agradecimientos En primer lugar agradezco a Michi Nakashima, mi Ninja favorita, por su incondicional apoyo durante los 7 años que llevamos juntos, pero en particular por la ayuda que me brindó estos últimos días de la confección de la tesis.

En segundo lugar quiero agradecer a Guillermo Solovey con quien he compartido tanto tiempo de estudio y trabajo, y por haber colaborado tanto en esta tesis.

También quiero agradecer a mi co-directora, la Dra Isabel Irurzun por su apoyo durante el año 2001 y las correcciones de estos últimos días, y al amigo Licenciado, Matías Isón por sus comentarios sobre la tesis. A su vez, y aunque no hayan colaborado con esta tesis, quiero agradecer a todos aquellos profesores que me brindaron su apoyo y consejo durante el transcurso de la carrera.

Y finalmente, a mis viejos, mis hermanas, a mis abuelas, a mis tíos, a mis amigos (y a las pulguientas Cora y Pame).