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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL
Modelos Matemáticos de Optimización
Begoña Vitoriano VillanuevaUniversidad Pontificia Comillas
Modelos Matemáticos de Optimización - 1
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL
I. Investigación operativa y optimización
Historia:Historia:ANTES DE LA II GUERRA MUNDIALANTES DE LA II GUERRA MUNDIALFarkasFarkas, , MinkowskiMinkowski,... (XIX); ,... (XIX); MarkovMarkov (XIX), (XIX), ErlangErlang (20);(20);Von NeumannVon Neumann (30) (30)
DURANTE LA II GUERRA MUNDIALDURANTE LA II GUERRA MUNDIAL1935 1935 →→ Radar, 1937 Radar, 1937 →→ CooperaciCooperacióónn1938 1938 →→ RoweRowe: : Operational ResearchOperational Research: : Bawdsey Bawdsey RAF,... RAF,... →→
British Army Operational GroupBritish Army Operational Group
DESPUES DE LA II GUERRA MUNDIALDESPUES DE LA II GUERRA MUNDIALProblemas LogProblemas Logíísticossticos DantzigDantzig ((RandRand) ) →→ Simplex (1947) Simplex (1947) Sociedades: Sociedades: OrsaOrsa, , TimsTims (EEUU), Espa(EEUU), Españña(1962), Euro(1975) (IFORS) a(1962), Euro(1975) (IFORS)
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I. Investigación operativa y optimización
InvestigaciInvestigacióón Operativa: n Operativa: Es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a los problemas complejos producidos en la dirección y gestión de grandes sistemas de hombres, máquinas,[...] La principal característica consiste en construir un modelo científicodel sistema del cual se pueden predecir y comparar los resultados de las diversas estrategias, decisiones,...
El objetivo es ayudar a los responsables a determinar su política y actuaciones en forma científica.
Tiene por objeto ayudar a decidir, mediante el método científico, el diseño que optimiza el funcionamiento de sistemas bajo condiciones que suelen implicar el uso de recursos escasos.
Kaufmann: Son las matemáticas de la organización
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I. Investigación operativa y optimización
OptimizaciOptimizacióónn: : DeterminaciDeterminacióón de una alternativa de n de una alternativa de decisidecisióón con la propiedad de ser mejor que cualquier n con la propiedad de ser mejor que cualquier otra en algotra en algúún sentido a precisarn sentido a precisarElementos de un problema de optimizaciElementos de un problema de optimizacióón:n:
Función objetivo: Medida cuantitativa del funcionamiento del sistema que se desea optimizar (maximizar o minimizar)Variables: Representan las decisiones que se pueden tomar para afectar el valor de la función objetivo.
• Variables independientes• Variables dependientes o de estado
Restricciones: Representan el conjunto de relaciones (ecuaciones e inecuaciones) que las variables están obligadas a cumplir
Resolver:Resolver: Encontrar valor de las variables que optimiza Encontrar valor de las variables que optimiza la funcila funcióón objetivo y satisface todas las restricciones.n objetivo y satisface todas las restricciones.
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I. Investigación operativa y optimización
CLASIFICACICLASIFICACIÓÓN DE MN DE MÉÉTODOS DE OPTIMIZACITODOS DE OPTIMIZACIÓÓN:N:a) Cla) Cláásicos (programacisicos (programacióón matemn matemáática)tica)
b)b) MMetaheuretaheuríísticossticos (aproximaci(aproximacióón)n) (gen(genééticos, recocido ticos, recocido simulado, bsimulado, búúsqueda heursqueda heuríística)stica)
PROGRAMACIÓN LINEAL (LINEAR PROGRAMMING) LP
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA (MIXED INTEGER PROGRAMMING)
MIP
PROGRAMACIÓN NO LINEAL (NON LINEAR PROGRAMMING)
NLP
PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVO (multiobjective programming)
min
0
, , ,
T
x
n n mn m
c x
Ax b
x
x c A b×
=
≥
∈ ∈ ∈ ∈
min
, 0
, , ,
, ,
T T
x
n l n l
m n m l m
c x d y
Ax By b
xy
x Z y c d
A B b× ×
+
+ =
≥
∈ ∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈
m i n ( )
( ) 0
( ) 0
:
, :
x
n
n m
f x
g x
h x
l x u
f
g h
=
≤
≤ ≤
→
→
1min( ( ),..., ( ))
0
, , ,
( ):
kx
n n m n m
ni
f x f x
Ax b
x
x c A b
f x
×
=
≥
∈ ∈ ∈ ∈
→
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II. Modelos de optimización
ModeloModelo:Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja (por ejemplo, la evolución económica de un país), que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.(Diccionario de la lengua española. Real Academia Española.)
Representación precisa de una realidadHerramienta de ayuda a la toma de decisionesPuede involucrar equipo multidisciplinar
ModeladorModelador: especifica y desarrolla el modelo
ExpertoExperto: conoce el problema real
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II. Modelos de optimización
MODELADOMODELADO ::
CienciaCiencia• Análisis y detección de relaciones entre datos• Suposiciones y aproximaciones a los problemas• Algoritmos específicos de solución
ArteArte• Visión o interpretación de la realidad• Estilo en modelo y documentación• Elegancia y simplicidad en desarrollo• Uso creativo de herramientas
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II. Modelos de optimización
ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN MODELOETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN MODELO ::1.1. IdentificaciIdentificacióón del probleman del problema
2.2. EspecificaciEspecificacióón matemn matemáática y formulacitica y formulacióónn
3.3. ResoluciResolucióónn
4.4. VerificaciVerificacióón, validacin, validacióón y refinamiento n y refinamiento
5.5. InterpretaciInterpretacióón y ann y anáálisis de resultadoslisis de resultados
6.6. Uso extensivoUso extensivo
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II. Modelos de optimización
1.1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMAIDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
RecolecciRecoleccióón de informacin de informacióón relevanten relevante
DefiniciDefinicióón del problema en tn del problema en téérminos vagosrminos vagos
InterpretaciInterpretacióón y traduccin y traduccióón a tn a téérminos precisosrminos precisos
DatosDatos son vitales, suelen ser cuello de botellason vitales, suelen ser cuello de botella
Etapa fundamentalEtapa fundamental para que decisiones sean para que decisiones sean úútilestiles
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II. Modelos de optimización
2.2. ESPECIFICACIESPECIFICACIÓÓN MATEMN MATEMÁÁTICA Y FORMULACITICA Y FORMULACIÓÓNN
Definición de variables, ecuaciones, función objetivo, parámetrosAnálisis de tamaño y estructura del problemaIdentificación de tipo de problema (LP, MIP, NLP,...)Énfasis en precisión y belleza en la formulación
Tipos de problemas LP según su tamañoRestricciones Variables
• Caso ejemplo 100 100• Tamaño medio 10000 10000• Gran tamaño 100000 100000• Muy gran tamaño > 100000 > 100000
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II. Modelos de optimización
3. RESOLUCI3. RESOLUCIÓÓNNAlgoritmoAlgoritmo de obtencide obtencióón de solucin de solucióón n óóptima, satisfactoria,...ptima, satisfactoria,...
Diferentes mDiferentes méétodos de solucitodos de solucióónn
Diferentes implantaciones del algoritmo elegidoDiferentes implantaciones del algoritmo elegido
4. VERIFICACI4. VERIFICACIÓÓN, VALIDACIN, VALIDACIÓÓN Y REFINAMIENTON Y REFINAMIENTOEliminaciEliminacióón de errores en codificacin de errores en codificacióónn
ComprobaciComprobacióón validez de simplificaciones adoptadasn validez de simplificaciones adoptadas
ComprobaciComprobacióón de adaptacin de adaptacióón a la realidadn a la realidad
AmpliaciAmpliacióón en el modelado por nuevas necesidadesn en el modelado por nuevas necesidades
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II. Modelos de optimización
5. INTERPRETACI5. INTERPRETACIÓÓN Y ANN Y ANÁÁLISIS DE RESULTADOSLISIS DE RESULTADOSAnálisis de sensibilidad en parámetros de entrada
Robustez de la solución óptima
Detección de soluciones cuasióptimas atractivas
6. USO EXTENSIVO6. USO EXTENSIVOEtapa fundamental para el éxito de un modelo
Documentación clara, precisa y completa
Manual especificación funcional, matemática e informática
Formación de posibles usuarios
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE TRANSPORTEMinimizar el coste total de transporte de un producto desde unosorígenes a unos destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar la oferta disponible en cada origen.Se supone todos los orígenes conectados con todos los destinos
oferta en el origen , demanda en el destinocoste unitario de transporte desde el origen al destino
¿Cómo satisfacer la demanda sin superar la oferta con mínimo coste?
11a
2a
ma
1b
2b
nb
2
m
1
2
n
ia i jb jijc i j
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE TRANSPORTE (Solución)::cantidad transportada de origen a destino
Matriz TU (sol. lineal es entera):
ijx i j
1 1
1
1
min
1
1, ,
0 ,
ij
m n
ij ijxi j
n
ij ijm
ij ji
ij
c x
x a i
x b j n
x i j
= =
=
=
≤ =
= =
≥ ∀
∑∑
∑
∑ …
11x
12x
1nx
21x
22x
2nx
1mx
2mx
mnx
1 1 1 12 1 1 1
m 1 1 11 1 1 12 1 1 1
n 1 1 1
, ,m…
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE TRANSBORDO:Llevar un producto desde orígenes a destinos con puntos intermedios en una red de N nodos con mínimo costeCada nodo i unidades ( ):
• nodo origen• nodo destino• nodo transbordo (ni genera ni consume)
coste unitario de transporte de nodo i a nodo jSolución:
ib0ib >0ib <0ib =
ijc
0ii
b =∑
: cantidad a transportar de nodo a nodo ijx i j
1 1
1 1
min
1, ,
0 ,
ij
n n
ij ijxi j
n n
ij ji ij j
ij
c x
x x b i n
x i j
= =
= =
− = =
≥ ∀
∑∑
∑ ∑ …
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE ASIGNACIÓNAsignar la realización de N tareas a N personas (máquinas, etc.).
coste de realizar la tarea i por la persona jObjetivo: Minimizar el coste total de realizar las tareas sujeto a
• cada tarea debe ser hecha por una sola persona• cada persona debe realizar una única tarea.
ijc
si se asigna la tarea a la persona 1,
0 en cualquier otro casoij
i jx i j
= ∀
{ }
1 1
1
1
m in
1 1, ,
1 1, ,
0, 1
ij
n n
ij ijxi j
n
ijjn
iji
ij
c x
x i n
x j n
x
= =
=
=
= =
= =
∈
∑ ∑
∑
∑
…
…
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE LA MOCHILA (KNAPSACK):Maximizar el valor total de la elección de un conjunto de proyectos.
• Sin sobrepasar el presupuesto disponible b• coste de cada proyecto• valor de cada proyecto
jcjv
si se realiza el proyecto 1
0 en cualquier otro casoj
jx
=
{ }
1
1
m ax
0, 1
j
n
j jxj
n
j jj
j
v x
c x b
x
=
=
≤
∈
∑
∑
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE RECUBRIMIENTO (set covering):Existen m características y n combinaciones (subconjuntos) de características. La elección de una combinación implica realizar todas sus características.Seleccionar combinaciones de modo que se cubra (posea) cada característica al menos una vez con el mínimo costeDatos:
• Matriz de pertenencia:
• coste de la combinación j
si caracteristica incluida en combinacion 1
0 si no esta incluidaij
i ja
= jc
si se elige la combinación 1
0 en cualquier otro casoj
jx
= { }
1
1
min
1 1, ,
0,1
j
n
j jxj
n
ij jj
j
c x
a x i m
x
=
=
≥ =
∈
∑
∑ …
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III. Formulación de problemas de optimización
Ejemplo: Asignación de tripulacionesUna compañía aérea asignar tripulaciones para cubrir sus vuelos
12 secuencias factibles de vuelos para una tripulación
Se permite más de una tripulación en un vuelo, donde la/s tripulación/es extra viajan como pasajeros, (por convenio laboral la tripulación extra cobra como si estuviera trabajando)
El coste de asignación de una tripulación a cada secuencia de vuelos se da en la última fila en unidades apropiadas
Objetivo: minimizar coste total de asignación para cubrir todos los vuelos
Resolver el mismo problema si no se permite más de una tripulación por vuelo
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III. Formulación de problemas de optimización
S E C U E N C IA S F A C T IB L E S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
S F – L A 1 1 1 1 S F – D E N V E R 1 1 1 1 S F – S E A T T L E 1 1 1 1
L A – C H IC A G O 2 2 3 2 3 L A – S F 2 3 5 5
C H IC A G O – D E N V E R 3 3 4 C H IC A G O – S E A T T L E 3 3 3 3 4
D E N V E R – S F 2 4 4 5 D E N V E R – C H IC A G O 2 2 2
S E A T T L E – S F 2 4 4 5 S E A T T L E – L A 2 2 4 4 2
C O S T E 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9
Números: orden del vuelo en la secuencia
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III. Formulación de problemas de optimización
1 si se elige la secuencia
0 en cualquier otro casoj
jx
=
51 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12min 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + + + +
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
1
1
1
0j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
+ + + ≥
+ + + ≥
≥ ∀
+ + + ≥
3 4 11
1 5 12
Soluciones optimas (coste 18): 1 resto 0
1 resto 0
x x x
x x x
= = =
= = =
Si no se permite repetición las desigualdades tendrían que ser igualdades
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE EMPAQUETADO (set packing):m proyectos agrupados en n lotesElegir un lote implica realizar todos los proyectos incluidos en él
beneficio de elegir el lote jMatriz de pertenencia del proyecto i al lote j
Maximizar el beneficio total de manera que cada proyecto no puede ser elegido más de una vez
jc
si pertenece a 1
0 si no perteneceij
i ja
=
{ }
1
1
max
1 1, ,
0,1
j
n
j jxj
n
ij jj
j
c x
a x i m
x
=
=
≤ =
∈
∑
∑ …
1 si se elige el lote en otro caso0j
jx
=
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE LA PARTICIÓN:Similar a los problemas anteriores excepto en que exactamente una característica (proyecto) del conjunto de combinaciones (lotes) que la contienen debe ser elegida.
{ }
1
1
min o max
1 1, ,
0,1
j
n
j jxj
n
ij jj
j
c x
a x i m
x
=
=
= =
∈
∑
∑ …
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DEL VIAJANTE (TSP):Hacer un recorrido que pase por N ciudades sin repetir ninguna y volviendo a la ciudad de partida de manera que la distancia (coste) total sea mínima.Uno de los más importantes en programación matemáticaMuchas formulaciones conocidas para él, ver Williams (1999)
distancia (coste) entre ciudad i y ciudad jijc
Formulación 1 (clásica): 1 si se va de la ciudad a la ciudad
0 en otro casoij
i jx
=
{ }
{ },
min
1
1
Card( ) 1 1,..., 2 Card( ) 2
0,1
ijij ijx
i j
iji
ijj
iji j U
ij
c x
x j
x i
x U U n U n
x∈
= ∀
= ∀
≤ − ∀ ⊂ ≤ ≤ −
∈
∑∑∑∑∑
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III. Formulación de problemas de optimización
Formulación 2: 1 si se va de la ciudad a la ciudad en el tramo de recorrido
en otro caso0ijk
i j kx
=
{ }
, ,
,
,
,
1
min
1
1
1
,
0,1
ijkij ijkx
i j k
ijkj k
ijki k
ijkj k
ijk jiki i
ijk
c x
x i
x j
x k
x x j k
x
+
= ∀
= ∀
= ∀
= ∀
∈
∑∑∑∑∑ ∑
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III. Formulación de problemas de optimización
Ejemplo: secuenciación de trabajos en una máquinaUna máquina y 5 trabajos que hay que realizar en ella.Tiempos ejecución:
Tiempos de ajuste (set-up) pasar de ejecutar trabajo i a trabajo j
Plantear el problema para determinar cuál es el menor tiempo posible para completar los 5 trabajos y cómo hacerlo. Es un ciclo de trabajo cerrado, se repite y vuelve a comenzar. ¿Cómo se haría para un ciclo de trabajo abierto?
TR1 TR2 TR3 TR4 TR515 13 12 14 16
TR1 TR2 TR3 TR4 TR5TR1 2 5 1 6TR2 3 4 2 5TR3 4 2 3 4TR4 5 3 6 5TR5 4 4 4 3
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III. Formulación de problemas de optimización
PROBLEMA DE COSTE FIJO:Coste con un término fijo si la variable toma un valor estrictamente positivo
Variable auxiliar binaria:
0 0( )
0j
j jj j j j
xf x
k c x x
== + > kj
xj
cj
fj
1 0
0 0j
jj
xy
x
>= =
( ),
1 1
min ( )j j
n n
j j j j j jx yj j
f x k y c x= =
= +∑ ∑j jx My≤
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III. Formulación de problemas de optimización
Ejemplo: Asignación de grupos térmicosGrupos térmicos a acoplar en cada hora del día (semana) tal que:
• Minimizar costes de generación: costes combustible, arranque, parada• Se suministre la demanda en cada hora• Se mantenga un cierto nivel de reserva rodante• Se respeten parámetros (mínimos técnicos, rampas subida y bajada)
Datos: hD demanda térmica en la hora h [MW]R nivel de reserva rodante con respecto a la demanda [p.u.] ta término lineal coste combustible del grupo térmico t [€ /MWh] tb término fijo del coste de combustible del grupo térmico t [€ /h] tca coste de arranque del grupo térmico t [€ ] tcp coste de parada del grupo térmico t [€ ] tP potencia máxima del grupo térmico t [MW] tP potencia mínima del grupo térmico t [MW] trs rampa de subida del grupo térmico t [MW/h] trb rampa de bajada del grupo térmico t [MW/h]
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III. Formulación de problemas de optimizaciónVariableshtP potencia producida por el grupo térmico t en la hora h [MW] htA acoplamiento del grupo térmico t en la hora h [0,1] htAR arranque del grupo térmico t en la hora h [0,1] htPR parada del grupo térmico t en la hora h [0,1]
( )1 1
min H T
t t t tht ht ht hth t
a P b A ca AR cp PR= =
+ + +∑∑ s.a.
1
T
ht ht
P D=
=∑ h∀ Satisfacer demanda
1
( )T
t ht ht ht
PA P RD=
− =∑ h∀ Nivel de reserva rodante
t tht ht htP A P A P≤ ≤ ,h t∀ Mínimos, máximos técnicos de cada grupo
1ht h t ht htA A AR PR−− = − ,h t∀ Acoplamientos, arranques y paradas
1 tht h tP P rs−− ≤ ,h t∀ Rampa de subida
1 th t htP P rb− − ≤ ,h t∀ Rampa de bajada 0htP ≥ { }, , 0,1ht ht htA AR PR ∈ Carácter de variables
Modelos Matemáticos de Optimización - 29
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III. Formulación de problemas de optimización
MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES:DISYUNCIÓN: de 2 restricciones al menos una debe darse.Debe cumplirse una, no necesariamente las dos: óModelo lineal:• Variable binaria
• Restricciones:
equivale
IMPLICACIÓN: si se da una condición obligatoriamente ha de darse la otra
• Equivale a disyunción ( ):
( ) 0f x ≤ ( ) 0g x ≤1 obliga a ( ) 0 y relaja la otra
0 obliga a ( ) 0 y relaja la otra
g x
f xδ
≤→ = ≤
{ }1
2
( )0,1
( ) (1 )
f x M
g x Mδ
δ
∈≤ −
( ) 0 ( ) 0f x g x> ⇒ ≤( ) ( o )A B noA B⇒ ⇔ ( ) 0 ( ) 0f x o g x≤ ≤
1 2 1 23 2 18 0 4 16 0x x o x x+ − ≤ + − ≤ { }1 2 1
1 2 2
3 2 180,1
4 16 (1 )
x x M yy
x x M y
+ − ≤ ∈ + − ≤ −
δ≤
Modelos Matemáticos de Optimización - 30
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III. Formulación de problemas de optimización
MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES:CUMPLIR K DE N ECUACIONES: de N ecuaciones se han de cumplir al menos K, siendo K<N.
SELECCIONAR ENTRE N VALORES: Una ecuación con múltiples posibles cotas (RHS).
1 1 1
2 1 2
1
( , , ) 0
( , , ) 0
( , , ) 0
n
n
nN N
f x x M
f x x M
f x x M
≤
≤
≤
…
…
…{ }
1 1 1 1
2 1 2 21
1
( , , )
( , , )
0,1( , , )
nN
n ii
i
N n N N
f x x M y
f x x M y y N k
yf x x M y
=
≤ ≤ = − ∈ ≤
∑…
…
…
1
2
1( , , )n
N
d
df x x
d
=
…1
1
( , , )N
n i ii
f x x d y=
=∑…
1
1N
ii
y=
=∑ { }0,1iy ∈ 1, ,i N= …
Modelos Matemáticos de Optimización - 31
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III. Formulación de problemas de optimización
MODELADO DE RESTRICCIONES LÓGICAS:
P → Q No P o Q
P → (Q y R) (P → Q) y (P → R)
P → (Q o R) (P → Q) o (P → R)
(P y Q) → R (P→ R) o (Q → R)
(P o Q) → R (P→ R) y (Q → R)
no (P o Q) no P y no Q
no (P y Q) no P o no Q
Modelos Matemáticos de Optimización - 32
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III. Formulación de problemas de optimización
MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL:Problemas de producción con elasticidad en los precios y/o costes
• Precios elásticos: cantidad se puede vender relación inversa precio• p(x) precio unitario de venta para poder vender x unidades.
Decreciente y no inferior al coste unitario de producción, c. (Típico, constante a tramos) Afecta a la función objetivo.
• Margen de contribución de la empresa:
• Costes producción: decrecientes (curva de aprendizaje) o crecientes (tiempo extra). Afecta a f. objetivo y restricciones (presupuesto)
Problema de transporte con descuentos por volumen• Descuentos por cantidad: Función coste unitaria escalonada, no
creciente• Coste de embarcar x unidades: poligonal, continua, con pendiente el
coste unitario en cada tramo. Agregar:
( ) ( ( ) )P x p x c x= −
( ) ( )m n
f x C x=∑∑1 1
ij iji j= =
Modelos Matemáticos de Optimización - 33
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III. Formulación de problemas de optimización
MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL:Selección de una cartera de inversiones
• Rendimiento esperado y riesgo asociado a la inversión.• Acciones tipo j: rendimiento esperado
varianza del rendimientocovarianza del rendimiento de las tipo i y las j precio unitario por acción
• Presupuesto disponible• cantidad de acciones de tipo j a incluir en la cartera• Planteamiento típico:
( factor aversión al riesgo)
jµjjσijσ
jX
jpb
1 1 1
max ( ) ( ) ( )n n n
j j ij i jj i j
f X R X V X X X Xβ µ β σ= = =
= − = −∑ ∑∑
1
0, 1,...,
n
j jj
j
P x B
x j n=
≤
≥ =
∑ β
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IV. Codificación de problemas de optimización
LENGUAJES DE MODELADO
Lenguajes de programación de propósito general (C, FORTRAN, Visual Basic, C++)Lenguajes o entornos de cálculo numérico o simbólico(hojas de cálculo, Matlab, Mathematica)Programas para problemas pequeños (QSB, ORSTAT, LPSolve,...)Lenguajes algebraicos de modelado (GAMS, AMPL, XPRESS-MP, OPL, ECLIPSE, ILOG-Concert)
LENGUAJES ALGEBRAICOS DE MODELADOLenguajes de alto nivel diseñados para el desarrollo e implantación de modelos de optimización de forma directa
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IV. Codificación de problemas de optimización
VENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS:
Formulación compacta modelos grandes y complejosFacilitan desarrollo de prototiposMejoran productividad de modeladoresEstructuran buenos hábitos de modeladoSeparan datos de estructura y de optimizadoresFormulación independiente del tamañoModelo independiente de optimizadoresFacilitan reformulación continuaDocumentación simultánea al modeloPermiten implantación de algoritmos avanzadosPortabilidad entre plataformas y sistemas operativos
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IV. Codificación de problemas de optimización
DESVENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS:
No son adecuados para usos esporádicos con problemas de pequeño tamaño
No son adecuados para resolución directa problemas de tamaño gigantesco
Puede ser menos eficiente en tiempo y memoria requeridos
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IV. Codificación de problemas de optimización
MODELADO EN GAMSEstructura general de un modelo de optimización en GAMS
• Declaración de sets y parámetros• Variables• Ecuaciones• Modelo• Inclusión y manipulación de datos de entrada• Acotación e inicialización de variables• Resolución del problema• Lectura y presentación de resultados
TIEMPO DE EJECUCIÓN DE MODELOS EN GAMStiempo de creación
• formulación del problema específicotiempo de interfaz
• comunicación entre lenguaje GAMS y optimizadortiempo de optimización
• resolución del problema por el optimizador
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IV. Codificación de problemas de optimización
EJEMPLO DE TRANSPORTE:Fábricas de envasado → i.Mercados de consumo → j.ai: capacidad máxima de producción de cajas en i.bj: cantidad de cajas demandadas en mercado j.cij: coste de transporte de cada caja de planta i a mercado j.
Satisfacer la demanda de cada mercado a mínimo coste.
Variables:xij: cantidad de cajas enviadas de planta i a mercado j
Restricciones:• Límite de capacidad de producción de cada fábrica
• Satisfacción de la demanda de cada mercado
• Función objetivo:
ij ij
x a i≤ ∀∑ij j
i
x b j≥ ∀∑m in
ij
ij ijx i j
c x∑ ∑