modelo, topologia y ecuaciones de redes
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7/25/2019 modelo, topologia y ecuaciones de redes
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1
Universidad del Zulia
Facultad de Ingeniera
Escuela de Elctrica
Departamento de Circuitos y Comunicaciones
Ctedra: Circuitos Elctricos
Asignatura: Circuitos Elctricos III
Proesor: Dilio !inc"n
!eali#ado por:Aguilar !o$erto CI: %&'()*')+)
,rti# Cesar CI: %%'+*('*-&
.aracai$o/ A$ril de %+-)
CAPITULO 3. Modelo de Red
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2
Dibuje el modelo en el dominio de frecuencia compleja y escriba las
ecuaciones de las corrienes de mallas de la si!uiene red
2 5
10V +_
0.4 H0.5H 2 F
M =0.2 H
Circuito e0uivalente en el dominio de la recuencia comple1a'
10/s V
2 5
0.4s 0.5s
I1 I2 I3
0.5/s
Aplicando el mtodode ormato'
Ecuaci"n de la malla -
0.2s(I2-I3)V 0.2s(I1-I2) V
2 % 32 S
54I152
2
54SI2=
10
S5+/%S2 I2 I34
2 % 32 S
54I152
S
54I252
S
54I3 =
10
S 2-4
Ecuaci"n de la malla %
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3
5 2
5SI132* 3
9
10S4I25 +/*SI3=+/%S2 I2 I345+/%S2 I1 I24
52 S
5
4I132* 35
10
S4I253
10
SI3=+ 2%4
Ecuaci"n de la malla &
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5+/*SI23 2+/*S30,5
S4I3=+/%S2 I1 I24
52 S
54I152
3 S
104I2 3 2+/*S3
0,5
S4I3=+ 2&4
CAPITULO ". Topolo!#a de Redes
-4 En el circuito de la igura/ seleccione un r$ol y escri$a las matrices deincidencia/ de con1untos cortados undamentales y de circuitos undamentales'
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6rao lineal e0uivalente
A & 7
% 8
- *
C
7uscando la mati# de incidencia aumentada y $ase
9aciendo un ;C en cada nodo suponiendo positivas las corrientes 0ue salen
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Q=[1 1 1 0 01 1 0 1 1 ] / y ordenada es: Q=[1 1 0 1 01 1 1 0 1 ].atri# de circuito undamental'
A & 7
Cf1
Cf 2
% 8 Cf5
- *
C
B=
[1 0 1 1 0
0 1 1 1 10 0 0 1 1]
/ y ordenada es: B=
[1 0 0 1 1
0 1 0 1 10 0 1 0 1]
CAPITULO $.%cuaciones de Redes
%n los si!uienes problemas deermine las corrienes de mallas y los&olajes de nodos uili'ando odos los m(odos e)plicados en el capiulo
1)
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6rao lineal e0uivalente
Formulaci"n matricial del anlisis de mallas
Im=Zm1 {B[Ee+1sVe ( 0 )Le ie (0 )]}
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Ve(0 )=[
0
0
0
2
0] Y ie (0 )=[
0
14
0
0]
a matri# de los elementos es:
Ze=[
5 0 0 0 0
0 3 s 2 s 0 0
0 2 s 2 s 0 0
0 0 0 1/s 00 0 0 0 4
]El vector de e>citaci"n es:
Ee=[12 /s
0
4 /s0
0]
a matri# de los circuitos cortados es:
B=[1 1 0
1
1
0 0 1 1 1], entonces B
T
=
[ 1 0
1 0
0 11 11 1]Entonces
Le=
[
0 0 0 0 0
0 3 2 0 0
0 2 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
]as corrientes de mallas son:Im=[
s+8
s2+5s
8 s3+48s2+23s+8
2s4+14 s3+21s2+5s
] AAplicando la transormada inversa de aplace'
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L1=[L
1 [I1 ]L
1 [I2 ] ]=[ L
1[s+8s2+5 s ]L
1[ 8 s3+48 s2+23 s+8
2 s4+14 s3+21 s2+5 s ]]A
Entonces
i ( t)=[i1(t)i2(t)]=[
85+
3
5e5t
1.60.6 e5 t1.33 e0.29 t+4.33 e1.71 t]AFormulaci"n matricial del anlisis de nodos
Vn=ZnA Ze1
[Ee+
1
sVe(0)Le ie ( 0 )
]Zn=Yn1Yn=A Ze
1A
T
a matri# de incidencia $ase
A=[1 1 0 0 00 0 1 1 0
0 0 0 1 1]
Ze1=[
0.2 0 0 0 0
0 1
s
2
s 0 0
0 2
s
3s
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.25]Entonces
Yn=
[s5
5 s
2s
0
2s
s23
s s
0 s 4 s+1
4 ]Entonces
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Vn=
[
7 s2+264 s61
s317 s223 s5
14 s374 s2+58 s+20
( s317 s223 s5 ) s
16 s2
112s+40s
317 s223 s5
]V
Aplicando la transormada de aplace'
L1 [Vn ]=
[ L
1[ 7 s2+264 s61
s317s223s5 ]
L1
[
14 s374 s2+58 s+20
(s
3
17 s
2
23s
5
)s
]L1[16 s2112s+40
s317s223s5 ]]
V
Finalmente
Vn(t)=[22.71 et+9.85 e0.27 t+19.86 e18.27 t
9 et+0.46 e0.27 t9.46 e18.27 t+412 et+5.33 e0.27t9.33 e18.27 t]V
2)
Formulaci"n matricial del anlisis de nodos
?olta1es de nodos:
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7uscando las matrices a utili#ar:
Ze=
[1 0 0 0
0 3 s s 0
0 s s 0
0 0 0 9
s ]A=[
1 1 0 00 1 1 1]
V(0)=
[ 0
00
3]I(0)=[
0
43
0]L=[
0 0 0 0
0 3 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0]E(s)=
[
0
0
15
s
12
s
]A@ora aplicando la siguiente ecuaci"n:
Yn1=[A Ze1AT]
1
!esolviendo tenemos:
Yn1=[
2 s
2 s+1 0
0 9 s
s2+9
]e aplica a@ora:
Vn=Yn1
A Ze1(E(s)+ v(0)s L i(0))
Finalmente la matri# de los volta1es nos 0ueda:
Vn=[ 8 s15
2 s2+s
9 s2+63 s+135
s ( s2+9 )]
eparando los volta1es:
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VA=8 s15
2 s2+s
VB=9 s
2+63 s+135
s ( s2+9 )e sa$e 0ue:
Vc=15
s
Aplicando la transormada inversa de aplace'
VA=1519 et
2
VB=156cos3 t+21sin3 tVC=15
Formulaci"n matricial del anlisis de mallas
9allamos las corrientes de mallas
e orma el grao y se elige el r$ol seBalado
7uscando las matrices a utili#ar:
Ze=
[1 0 0 0
0 3 s s 0
0 s s 0
0 0 0 9
s ]B=[
1 1 0 10 0 1 1]
V(0)=
[ 0
00
3]I(0)=[
0
43
0]L=[
0 0 0 0
0 3 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0]E(s)=[
0
0
15
s
12
s]
A@ora aplicando la siguiente ecuaci"n:
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Zm1= [B Ze BT]
1
!esolviendo tenemos:
Zm1
=
[ 1
2 s+11
2 s+1
12 s+1
3 s2+s+92 s3+s2+18 s+9 ]e aplica a@ora:
Im=Z
m
1(B(E(s)+ v(0)s Li(0)))
Finalmente la matri# de la corriente nos 0ueda:
Im=[ 8 s15
2 s2+s
6 s3+34 s266 s+135
s ( 2 s3+s2+18 s+9)]
eparando las corrientes:
I1=8 s15
2 s2+s
I2=6 s3+34 s266 s+135
s (2 s3+s2+18 s+9 )
Aplicando la transormada de aplace'
I1=1519e
t
2
I2=15+19 e
t
27cos3 t2sin 3 t
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M%TODO *RA+ICO D% MA,O-
El diagrama de $lo0ues es til para la representaci"n grica de sistemas decontrol dinmico y se utili#a e>tensamente en el anlisis y diseBo de sistemas decontrol' ,tro procedimiento alternativo para representar gricamente la dinmicadel sistema d control/ es el mtodo de los gricos de lu1o de seBal/ atri$uido a'' .ason'
Un grico de lu1o de seBal es un diagrama 0ue representa un con1unto deecuaciones alge$raicas lineales simultneas' Al aplicar el mtodo de gricos delu1o de seBal al anlisis de sistemas de control/ primero @ay 0ue transormar las
ecuaciones dierenciales lineales en ecuaciones alge$raicas en s'
Un grico de lu1o de seBal consiste en una red en la cual los nodos estnconectado por ramas con direcci"n y sentido' Cada nodo representa una varia$ledel sistema y cada rama conectada entre dos nodos/ acta como un multiplicadorde seBal' presarse en trminos de la unci"n de transerencia entre dos nodos'
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Rama:Una rama es un segmento de lnea con direcci"n y sentido/ 0ue une dosnodos' a ganancia de una rama es una transmitancia'
Nodo de entrada o fuente:
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+rmula de !anancia de Mason para !r/ficos de flujo de se0al.
En muc@os casos prcticos se desea determinar la relaci"n entre una varia$le deentrada y una varia$le de salida en el grico de lu1o de seBal' a ganancia entreun nodo de entrada y un nodo de salida es la ganancia total/ entre esos dosnodos'
a "rmula de ganancia de .ason/ 0ue es aplica$le a la ganancia total/ est dadapor
P=1
k
Pkk
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Donde:P
k ganancia de la GHsima trayectoria directa
determinante del grico -H2suma de todos los la#os de ganancias individuales4 3 2suma de losproductos de ganancia de todas las com$inaciones posi$les de dos la#osdis1untos4 H 2suma de los productos de ganancia de todas las com$inacionesposi$les de tres la#os dis1untos4 3
1a
La+b , c
LbLcd ,e ,f
LdLeLf+
k coactor del determinante de la GHsima trayectoria directa del grico con
los la#os 0ue tocan la GHsima trayectoria directa eliminados/ el coactor k se
o$tiene a partir de / 0uitando los la#os 0ue tocan la trayectoria Pk '
E1emplo:
,$tener la unci"n de transerencia C2s4 !2s4 del siguiente diagrama de $lo0ues/utili#ando la ormula de .ason'
El grico de lu1o de seBal de este diagrama de $lo0ues es
En este sistema @ay una sola trayectoria directa entre la entrada !2s4 y la salidaC2s4' a ganancia de trayectoria directa es'
P1=G1G2 G3
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E>isten tres la#os/ cuyas ganancias son
L1=G1G2H1L2=G2 G3H2L
3=G
1
G2
G3
Para ser la#os dis1untos estos la#os no de$en de tener ni ramas ni nodos encomn/ por lo 0ue no e>isten la#os dis1untos'
El determinante es
=1(L1+L2+L3 )=1G1 G2H1+G2 G3H2+G1G2 G3El nmero de coactores del determinante es el nmero de trayectorias directasentre la entrada y la salida/ como en este sistema solo @ay una trayectoria directa/solo e>iste un coactor del determinante'
e o$tiene el coactor del determinante a lo largo del trayecto directo 0ue conectael nodo de entrada con el nodo de salida/ retirando los la#os 0ue tocan estetrayecto' Como el trayecto P- toca los tres la#os/ se o$tiene
1=1
Por tanto/ la ganancia total entre la entrada !2s4 y la salida C2s4 o unci"n detranserencia de la#o cerrado/ est dada por
C(s)
(s )=
!1 1
=
G1 G2G3
1G1 G2H1+G2 G3H2+G1G2G3
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EE!CICI,:
!esolver el siguiente diagrama de $lo0ues de orma graica y mediante la tcnicade lu1o gramas'
!esolviendo primero gricamente:
En primer lugar se @a ordenado el diagrama de $lo0ues de orma tpica:
A@ora los $lo0ues de 6* y 6% se mueven delante del punto de $iurcaci"n:
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e agrupan los $lo0ues de realimentaci"n interna:
Agrupando en un nico $lo0ue la realimentaci"n interna:
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Agrupando inalmente los elementos restantes:
Aplicando la tcnica de los Flu1ogramas:
e construye en primer lugar el 1u1ograma correspondiente al sistema:
e resuelve aplicando la regla de .ason:a relaci"n de entre la salida C2s4 y la entrada !2s4/ viene dada por:
C(s) (s )
="(s)=
k
Tkk
iendo:
2Determinante del lu1ograma4 # i$k+
1# i+ #i$
rayectos directos: Ja0uellos 0ue partieron de un nodo uente llegan a un nodoinal sin pasar dos veces por el mismo nodoK'
#i : 6anancia de cada la#o
# i Igual a la suma de ganancias de los $ucles 0ue tienen algn nodo comncon cual0uier trayecto directo'
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# i$ Igual a la suma de los productos de las ganancias de todas lascom$inaciones posi$les de dos $ucles dis1untos'
Tk Es la ganancia de GHsimo trayecto directo'
k e calcula igual 0ue / pero eliminando los $ucles 0ue tienen algn nodo
comn con el GHsimo trayecto directo'
rayectos directos:
T1=G
3G
8G
2G
5G
1
a#os:
#1=G3 G8 G2 G5G1#
2=G
8G
7G
6
#3=G
8G
2G
5G
4G
6
# i=#1+#2+#3=G3G8G2G5G1G8G7G6G8G2G5G4G6
E>isten la#os dis1untos:
=1 #i=1#1+#2+#3=1+G3G8 G2G5 G1+G8G7 G6+G8 G2 G5G 4G6
1=1
C(s) (s )
="( s)=k Tkk
= G3 G8G2 G5G1
1+G3G8 G2G5 G1+G8G7 G6+G8 G2 G5G 4G 6