MODELO DE TRANSPORTE EN MEMBRANA /SOLUCIÓN - DIFUSIÓN

TRANSPORTE EN LA OSMOSIS INVERSA

El modelo de solución- difusión actualmente está siendo usada por la mayor parte de la

comunidad en cuanto al uso de membranas. Un resumen excelente de la aplicabilidad de

este modelo para los diversos fenómenos de transporte en membrana esta dado en el

libro clásico por Crank y Park. Londsdale aplicó este modelo para el transporte en la

ósmosis inversa cuando el proceso tomó importancia en la desalación.

La descripción más general del transporte de masa a través de una membrana se basa en

la termodinámica irreversible.

J i=Lii X i+∑ LijX j (1.1)

Cuando J i es el flujo de masa del componente i, Lii y Lij son coeficientes

fenomenológicos , X i y X j son las fuerzas bajo las cuales toma lugar la transferencia de

masa. El primer termino de la ecuación 1.1 indica que el flujo del i-enésimo componente

es causado por una fuerza X i que está actuando sobre el i-enésimo componente. El

segundo termino expresa la relación entre el flujo del i-enésimo componente y las fuerzas

actuando sobre los componentes aparte del i-enésimo componente. Lii es siempre

positivo y según la relación de reciprocidad de Osanger:

Lij=L ji (1.2)

Además, las condiciones termodinámicas requieren que:

LiiL jj−Lij2 ≥0 (1.3)

La más apropiada elección de la fuerza X para la difusión molecular a través de la

membrana bajo condiciones isotérmicas sin fuerzas externas siendo aplicadas a la

transferencia de masa del i-enésimo componente es el gradiente de potencial químico y

X i=−∇ μi (1.4)

Entonces el flujo es

J i=−Lii∇ μi (1.5)

En la anterior ecuación el segundo termino de la Ecuación 1.1 es eliminado, que quiere

decir que el flujo del i-enésimo componente está completamente desacoplado del flujo de

otros componentes.

En el transporte de la ósmosis inversa ambos gradientes de concentración y

presión contribuyen al gradiente de potencial químico por medio de

∇ μ i=RT∇ ln aℑ+v i∇ p (1.6)

Donde aℑ y v i son las actividades en la membrana (mol/m3) y el volumen molar parcial

(m3/mol) del i-enésimo, respectivamente. El proceso de ósmosis inversa puede ser

considerado como un sistema binario donde el transporte del solvente, usualmente agua,

y tal grado el soluto están involucrados. Designando al soluto y al solvente los subíndices A

y B, respectivamente, la Ecuación 1.6 puede ser reescrita para el solvente como,

∇ μB=RT ∇ lnaBm+v B∇ p (1.7)

Integrando la Ecuación 1.7 con una suposición, vB=constante, desde el lado de alta

presión al lado de baja presión de la membrana,

∇ μB=vB (RTvB ∇ ln aBm+∆ p) (1.8)

Debería ser notable que la integración fue efectuada dentro de la membrana del lado de

presión alta al lado de la presión baja de la membrana. Por lo tanto, ∆ esta definido como

la cantidad en lado de presión baja de la membrana menos la cantidad en el lado de

presión alta de la membrana.

Asumiendo que el equilibrio termodinámico está establecido en ambos lados de la

membrana, aBm=aB los límites en la solución-membrana por ambos lados de la

membrana, donde aB es la actividad del solvente (mol/m3) fuera de la membrana.

Desde la presión osmótica, π (Pa), es definido como

π=−RTvB

ln aB (1.9)

La Ecuación 1.8 puede ser escrita como

∇ μB=vB (∆ p−∆ π ) (1.10)

Debería notarse que la presión osmótica en la anterior ecuación se basa en la solución

fuera de la membrana . Por lo tanto, ∆ π es la diferencia en las presiones osmóticas de

soluciones que están fuera de la membrana y en contacto con el lado de presión baja y el

lado de presión alta de la membrana.

Por lo que respecta al soluto con el subíndice A, una suposición es hecha que la

solución se comporta como una solución diluida, y el coeficiente de actividad permanece

constante. Entonces la Ecuación 1.6 llega a ser

∇ μ A=RT ∇ ln a Am+v A∇ p (1.11)

¿ RT∇ ln c Am+v A∇ p (1.12)

Donde a Am, c Am, y vA designan la actividad del soluto en la membrana (mol/m3), la

concentración del soluto en la membrana (mol/m3), y el volumen molar del soluto

(mol/m3), respectivamente. De nuevo, integrando desde el lado de alta presión al lado de

baja presión de la membrana , la Ecuación 1.12 llega a ser

∆ μA=RT ∆ ln c Am+v A∆ p (1.13)

Dado que ∆ ln cAm=ln(c Am en el lado de baja presión de la membrana/c Am en el lado de

alta presión de la membrana), es fácil de comparar la contribución del primer término y de

tal manera del segundo término del lado derecho de la Ecuación 1.13 a ∆ μA. El segundo

termino puede ser fácilmente ignorado cuando la concentración del soluto en el lado de

baja presión de la membrana es menos del 90% que en el lado de alta presión de la

membrana, lo cual es usualmente el caso en ósmosis Inversa, entonces

∆ μA=RT ∆ ln c Am (1.14)

El siguiente significado físico es usualmente dado para el coeficiente fenomenológico L11:

LBB=cBm

f Bm

(1.15)

Donde cBm y f Bm son las concentraciones del solvente (mol/m3) en la membrana y la

fricción (J s/m2 mol) trabajan entre una unidad de mol del soluto y el material de la

membrana. Asumiendo que el flujo del solvente está totalmente desacoplado desde el

soluto y el gradiente de potencial químico es constante a través de la membrana,

podemos combinar la Ecuación 1.5 y la 1.15

JB=cBm

f Bm

∆ μB

δ (1.16)

Donde δ es el espesor de membrana. Combinando las Ecuaciones 1.10 y 1.16

JB=cBm

f Bm

vB∆ p−∆ π

δ (1.17)

Entonces la fricción f Bm puede ser dada como

f Bm=RTDBm

(1.18)

Donde DBm es el coeficiente de difusión (m2/s) del solvente en la membrana, la Ecuación

1.17 llega a ser

JB=cBmDBm vB

RTδ(∆ p−∆π ) (1.19)

Por lo que respecta al soluto , el coeficiente fenomenológico LAA puede ser dado como

LAA=c Am

f Am

(1.20)

Entonces el flujo de soluto puede ser escrito como

J A=−c Am

f Am

∆μ A

δ (1.21)

Combinando las Ecuaciones 1.14 y 1.21

J A=−c Am

f Am

RT ∆ ln c Am

δ (1.22)

Aproximando ln c Am cerca a (∆c Am) /c Am y usando la relación f Bm=RT /DBm

J A=−DAm

∆ cAm

δ (1.23)

El equilibrio termodinámico asumido es establecido en ambos lados de la membrana, la

relación entre la concentración dentro de la membrana, c Am, y fuera de la membrana, c A,

puede ser escrito como

c Am=K A cA (1.24)

Donde K A es la constante de distribución. La ecuación 1.23 puede ser escrita como

J A=−DAmK A

∆c A

δ (1.25)

La ecuación 1.19 y 1.25 describen los flujos del solvente y el soluto, de acuerdo al modelo

de solución-difusión.

Los datos de función de la ósmosis inversa son a menudo comparados usando el

flujo del solvente, JB, y una cantidad llamada separación del soluto, f ', definido como

f '=1−c A3

c A2

(1.26)

Donde los subíndices 2 y 3 indican la solución (fuera de la membrana) en el lado de alta y

baja presión de la membrana. Entonces

J A

J A

=c A3

cB 3

(1.27)

f '=1−J A cB3J Bc A2

(1.28)

¿1−DAmK ART (c A2−c A3)cB3DAm cBm vB ( p2−p3−π 2+π3 )cA2

(1.28)

Reacomodando

f '= 1

1+DAm K A RT cB3

DBm cBm v B ( p2−p3−π2+π3 ) (1.30)

La Ecuación 1.19 y 1.30 describe el desempeño de la membrana en la ósmosis inversa.

POLARIZACIÓN POR CONCENTRACIÓN

Cuando una separación completa de la solución se lleva a cabo por una membrana de

ósmosis inversa, sólo un componente de la solución (por lo general el disolvente) pasa a

través de la membrana y se enriquece en el permeado. El otro componente

(generalmente el soluto), por el contrario, se deja atrás en el lado de la solución de

alimentación de la membrana A menos que el soluto difunde de nuevo al cuerpo principal

de la solución de alimentación rápida, la concentración de solutos en las proximidades de

la membrana aumenta hasta que un estado de equilibrio se alcanza cuando la tasa de

difusión, reforzada por la alta concentración cerca de la superficie de la membrana.

Contrarresta la tasa de la acumulación de solutos, cerca de la superficie de la membrana.

Este fenómeno se llama polarización por concentración y puede ocurrir incluso cuando la

separación del soluto del disolvente no es perfecto. Se sabe que la polarización de

concentración ejerce un efecto desfavorable en el rendimiento de las membranas de

ósmosis inversa. Por ejemplo. la separación de solutos experimentalmente observables

definidos más adelante por la ecuación 5.46 se reduce, puesto que la concentración en el

permeado no es regido por la concentración del soluto en el cuerpo principal de la

solución de alimentación, pero

Fig. 5.1 Ilustración esquemática del perfil de concentración en el concentrado de la capa

limite

Por la concentración cerca de la superficie de la membrana. A medida que aumenta la

concentración de este último. lo mismo ocurre con la concentración en el permeado. La

alta concentración cerca de la superficie de la membrana también aumenta la presión

osmótica de la solución de alimentación, que se traduce en una disminución de la tasa de

penetración. Muchos intentos se hicieron para describir este fenómeno. Utilizando

diversas ecuaciones de transporte. Los intentos más simple y más populares se basan en la

teoría de la película de frontera en que se supone la presencia de una capa límite de

espesor. La difusión del soluto de la solución en la superficie de la membrana al cuerpo

principal de la solución de alimentación se produce en esta capa límite. El perfil de

concentración de desarrolladores a través de esta capa se ilustra esquemáticamente en la

Figura 5.1. Sobre la base de la hipótesis anterior, la tasa neta de flujo del soluto en la capa

límite es la suma de los difusivos cómo y el flujo de convección y debe ser igual a la tasa de

penetración de solutos a través de la membrana, de lo contrario, la acumulación del

soluto ocurriría. Por lo tanto.

−DAB

dcA

dy+v cA=vcA3 (1.31)

dónde está el coeficiente de difusión del soluto A en disolvente B en la capa límite (m2 /

s), es la concentración de solutos (mol/m3) en función de la distancia (S) (véase la Figura

5.1). y v es la velocidad de solución (m / s). Reordenamiento de la ecuación 5.36

rendimientos

dc A

dy= v

DAB(c A−c A3 ) (1.32)

Y

dc A

c A−cA 3

= vDAB

dy (1.33)

integrando ecuación 5.38

ln (cA−c A3 )= vD AB

y+C (1.34)

donde C es la integral constante. Desde c = cuando y = 0,

ln (cA 1−c A3 )=C (1.35)

Sustituyendo en la ecuación C 5.40 para la ecuación 5.39,

ln(c A−c A3 )(c A1−cA 3 )

= vDAB

y (1.36)

Desde cuándo y = donde es el espesor de la capa límite,

ln(c A2−cA 3 )(c A1−cA 3 )

= vDAB

δ bl (1.37)

y

(c A2−cA 3 )(c A1−cA 3 )

=exp ( vDAB

δbl) (1.38)

La definición de la transferencia de masa coeficiente, k, como:

k=D AB

δ bl

(1.39)

(c A2−cA 3 )(c A1−cA 3 )

=exp( vk ) (1.40)

La ecuación anterior es una ecuación estándar para describir la polarización de

concentración para calcular la concentración límite, cA3 (mol/m3). de la concentración de

la alimentación, (mol/m3), la concentración de permeado, cA3 (mol/m3), la velocidad de

penetración de la solución, v (ml), y la transferencia de masa coeficiente, k (m / s). El

último parámetro depende de la configuración de la membrana y las condiciones

hidrodinámicas de la solución de alimentación, y muchas técnicas se proponen para

evaluar este parámetro numérico [102].

Es imposible medir la concentración de solutos, cA2 , en las proximidades de la superficie

de la membrana, mediante un experimento. Por lo tanto, la separación de solutos, f' , no

puede ser determinado experimentalmente, aunque, en rigor, f' es la separación de

solutos inherentes a la membrana. La concentración de soluto en la solución de

alimentación a granel, cA1 , en cambio, puede determinarse experimentalmente. Por lo

tanto, la separación de solutos se define sobre la base de cA1 como

f=1−c A3

c A1

(1.41)

una separación de solutos experimentalmente observable. Estos dos separaciones soluto,

definido por la ecuación 5.26 y el otro se define por la ecuación 5.46, son diferentes.

Mientras que el valor anterior es inherente a la membrana, este último valor se ve

afectado por la polarización de concentración. Por lo general se cree que la polarización

de concentración es insignificante para la separación del gas de la membrana. Debido a la

alta difusividad de las moléculas en fase gaseosa.

PREDICCIÓN DEL DESEMPEÑO DE LA MEMBRANA EN OSMOSIS INVERSA

PREDICCIÓN DEL DESEMPEÑO EN LA MEMBRANA INVOLUCRANDO UN SOLO SOLUTO

es posible predecir los datos de rendimiento de la Osmosis Inversa, bajo diferentes

condiciones de operación. El método puede ser extendido a la predicción por la

separación de diferentes solutos, ya sea orgánico o inorgánico, si los datos de separación

del cloruro de sodio como soluto son conocidos para una membrana. Además, la

separación de iones individuales involucrados en la combinación de los solutos del

electrolito. El método fue establecido por Sourirajan y sus compañeros de trabajo para

membranas asimétricas de acetato de celulosa y poliamida aromática, pero debería ser

aplicable para otros tipos de membranas. La predicción es hecha sobre la base de un

conjunto de ecuaciones derivadas por Kimura and Sourirajan.

Como será mostrado después, los efectos de la presión y la concentración en el flujo del

solvente y el soluto son exactamente los mismos en las ecuaciones de transporte de

Sourirajan y sus compañeros de trabajo como en las ecuaciones de transporte de

Lonsdale. Por lo tanto, el trabajo de Sourirajan y sus coautores son incluidos en este

capítulo. Sin embargo hay una importante diferencia entre esos dos métodos. Se sabe que

las diferentes membranas en Osmosis Inversa pueden ser dadas de un material

polimérico, dependiendo del tamaño de los "poros" generados sobre la superficie de la

membrana. Mientras Sourirajan y sus coautores consideraron que las ecuaciones de

transporte fueran aplicables para membranas de diferentes tamaños de poro, preparado

de un material polimérico, lonsdale considero que fueran aplicables solo para una

membrana perfectamente densa sin poros. Como resultado, muchos conjuntos de valores

numéricos son aceptados para los parámetros de transporte, dependiendo del tamaño de

poro, de acuerdo al método de Sourirajan y sus coautores, tomando en cuenta que hay

únicamente un solo conjunto de parámetros numéricos para un material polimérico

dado, de acuerdo al método de Lonsdale. El ultimo conjunto de parámetros de transporte

es considerado intrínseco para el material polimérico . Aparentemente, Sourirajan y sus

coautores asumen la presencia de poros en algunas membranas en Osmosis Inversa para

el cual aplicaron sus ecuaciones de transporte, por cuanto para Lonsdale, los poros fueron

considerados como defectos que impiden a las membranas de lograr su rechazó más alto

de soluto que es la propiedad intrínseca del material polimérico.

Parece ser una razón histórica para la diferencia en esos dos avances. El avance en

solución-difusión fue establecido para la difusión de líquidos y gases a través de la

membrana antes de las membranas en Osmosis Inversa de practica utilidad fueron

desarrollados por la técnica de inversión de fase. membranas densas