modelli simulativi per le scienze cognitive paolo bouquet (università di trento) marco casarotti...
TRANSCRIPT
![Page 1: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/1.jpg)
Modelli simulativiper le Scienze Cognitive
Paolo Bouquet(Università di Trento)
Marco Casarotti(Università di Padova)
![Page 2: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/2.jpg)
Funzioni e calcolabilità
Lezione 2
![Page 3: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/3.jpg)
Cos’è una funzione
Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi D e C tale che, ad ogni elemento x di D preso come argomento, f associa uno e un solo elemento y di C come valore.
Di solito si scrive f(x) = y per indicare la corrispondenza tra un elemento xD e un elemento yC
![Page 4: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/4.jpg)
Funzioni: Dominio e Codominio
Dominio: l’insieme D da cui una funzione f assume i suoi argomenti
Codominio: l’insieme C da cui una funzione f assume i suoi valori
f : D C
D C
![Page 5: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/5.jpg)
Esempi
Le seguenti corrispondenze sono funzioni:– Data una persona, associare l’altezza– Data una regione italiana, associare il capoluogo
di regione
Le seguenti corrispondenze non sono funzioni:– Data una persona, associarle i suoi nonni– Data una regione Italiana, associarle le città
capoluogo di provincia che si trovano nel suo territorio
![Page 6: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/6.jpg)
Specifica di una funzione
● Una funzione non è determinata soltanto dall’operazione richiesta per associare un argomento a un valore, ma anche dalla determinazione di dominio e codominio
● Per esempio, la funzione
f(x) = x2 + 4
Può essere di tipo R R o di tipo N N
![Page 7: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/7.jpg)
Funzioni a più argomenti
Ovviamente una funzione può avere più di un argomento.
Per esempio, la somma è una funzione che associa a una coppia di numeri un valore che corrisponde alla loro somma:
f(x,y) = x + y
e si scrive f : N × N N o anche f : N2 N (da coppie di numeri a numeri)
![Page 8: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/8.jpg)
Definizione insiemistica delle funzioni
Una funzione può essere vista come un insieme di coppie ordinate:
f D ×C
In altri termini, una funzione è un insieme di coppie (x,y) tali che:– xD– yC– f(x) = y
![Page 9: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/9.jpg)
Esempio
Prendiamo la seguente funzione N N:
f(x) = 2x
Essa può essere descritta come il seguente insieme di coppie ordinate:
(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), …
![Page 10: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/10.jpg)
Problemi
● A che funzione corrisponde l’insieme di coppie seguente?
(0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), …
● I seguenti insiemi di coppie corrispondono a una funzione o no?
(0,1), (1,2), (2,3), (2,4), (3,5)
(0,1), (1,2), (3,2), (4,1)
![Page 11: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/11.jpg)
Rango di una funzione
Chiamiamo rango l’insieme dei valori di una funzione.
D C
Dominio Codominio
Rango
![Page 12: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/12.jpg)
Funzioni suriettive
Definizione. Una funzione f : D × C si dice suriettiva sse il suo rango coincide con l’intero codominio C, ovvero:
per ogni y C esiste sempre un x D
tale che f(x) = y
![Page 13: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/13.jpg)
Funzioni iniettive
Definizione. Una funzione f : D × C si dice iniettiva sse a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio, ovvero:
per ogni x1, x2 D,
se x1 x2 allora f(x1) f(x2 )
![Page 14: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/14.jpg)
Funzioni biiettive
Definizione. Una funzione suriettiva e iniettiva si dice biiettiva (o corrispondenza biunivoca)
Esercizio: dimostrare che una funzione suriettiva e iniettiva non può non essere una corrispondenza biunivoca.
![Page 15: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/15.jpg)
Funzione inversa
Definizione. Data una funzione biiettiva f : D × C, si dice funzione inversa di f (e si scrive f-1) la funzione f-1 : C × D tale che:
f-1(y) = x sse f(x) = y
Dimostrare che una funzione non biiettiva in genere non può avere una funzione inversa.
![Page 16: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/16.jpg)
Funzione identità
Definizione. Dato un qualsiasi insieme D, la funzione f : D × D si dice funzione identità sse:
f(x) = x
La funzione identità di indica con ιD
![Page 17: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/17.jpg)
Funzione composta
Definizione. Date due funzioni f : A B e g : B C (ovvero, il codominio della prima è dominio della seconda), si può definire una funzione h : A C tale che, per ogni a A, h(a) = g(f(a)).
Tale funzione h è chiamata funzione composta di f e g.
La funzione composta di f e g si indica anche con la notazione f g
![Page 18: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/18.jpg)
Osservazione
Data una funzione biiettiva f : D C, essa può sempre essere composta con a sua inversa f-1 e si ottiene quanto segue:
f-1 f = ιD e f f-1 = ιC
![Page 19: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/19.jpg)
Funzioni calcolabili
Definizione. Dato un algoritmo A, si dice che esso calcola una funzione f : D C sse, per ogni x D, f(x) = y sse A produce l’output y dato x come input.
Definizione. Si dice che una funzione è calcolabile in modo algoritmico (o effettivamente calcolabile) sse esiste un algoritmo che la calcola.
![Page 20: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/20.jpg)
Funzioni e algoritmi
● Una funzione non va confusa con l’algoritmo che la calcola!
● La stessa funzione può essere calcolata da molti algoritmi diversi.
Esercizio: scrivere almeno due algoritmi per riordinare un array di elementi.
![Page 21: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/21.jpg)
Predicati e relazioni come funzioni
Cos’è una proprietà? Cos’è una relazione tra oggetti? Domande che hanno torturato i logici per millenni …
G. Frege ha dato una risposta che ha rivoluzionato la logica del ‘900.
![Page 22: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/22.jpg)
Proprietà come funzioni
Dato un dominio D di oggetti, una proprietà può essere definita come:
P : D V, F
Intuizione: per ogni x D– se P(x) = V, allora x ha la proprietà P– se P(x) = F, allora x non ha la proprietà P
![Page 23: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/23.jpg)
Proprietà come sottoinsiemi di D
Ma allora una proprietà coincide con il sottoinsieme A di D tale che:
A = x D | P(x) = V
Una funzione come P(x) viene chiamata una funzione proposizionale.
NB: se D è infinito, le proprietà sono strettamente più numerose delle funzioni proposizionali!
![Page 24: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/24.jpg)
Relazioni come funzioni
Dati due insiemi D1 e D2, una relazione può essere definita come una funzione:
P : D1 × D2 V, F
Intuizione: per ogni <d1,d2> D1 × D2,
– se R(d1,d2) = V, allora d1 è in relazione R con d2
– se R(d1,d2) = F, allora d1 non è in relazione R con d2
![Page 25: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/25.jpg)
Relazioni come sottoinsiemi di D1 × D2
Ma allora una proprietà coincide con il sottoinsieme A di D1 × D2 tale che:
A = <d1,d2> D1 × D2 | R(d1,d2) = V
Se D1 e D2 sono lo stesso insieme, allora si dice che R D2
Il tutto si può generalizzare a funzioni n-arie.
![Page 26: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/26.jpg)
Decidibilità di proprietà
Definizione. Una proprietà è decidibile rispetto a un insieme D sse esiste un algoritmo che, per ogni x D, sia in grado di stabilire se x ha non ha la proprietà in questione.
Esempi di proprietà decidibili:– n è un numero pari, n è un numero primo, …
– x è una tautologia in logica proposizionale
![Page 27: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/27.jpg)
Decidibilità di relazioni
Definizione. Una relazione è decidibile rispetto a un dominio D sse esiste un algoritmo che, per ogni x,y D, sia in grado di stabilire se x e y sono o non sono nella relazione in questione.
Esempi di proprietà decidibili:– Nel dominio dei numeri naturali: m è maggiore di maggiore
di n, m è il quadrato di n, …
– In logica proposizionale: x è conseguenza logica di Γ
![Page 28: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/28.jpg)
Decidibilità di insiemi
Definizione. Una insieme A in un dominio D è decidibile sse lo è la relazione di appartenenza ad A, cioè se esiste un algoritmo che, per ogni x D, sia in grado di stabilire se x appartiene o meno all’insieme A.
![Page 29: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/29.jpg)
Osservazione
La decidibilità di proprietà e relazioni è riconducibile alla decidibilità dei corrispondenti insiemi.
Esempi:– “x è pari” è decidibile sse lo è l’insieme:
P = x N | x è pari– “x è minore di y” è decidibile sse lo è l’insieme:
M = <x,y> N2 | x è minore di y
![Page 30: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/30.jpg)
Decidibilità e calcolabilità
Esiste un’ovvia relazione tra calcolabiltà delle funzioni e decidibilità dei predicati (relazioni).
Infatti, il problema di stabilire se un predicato (o una relazione) è decidibile può essere ricondotto alla calcolabilità della corrispondente funzione caratteristica.
![Page 31: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/31.jpg)
Funzioni caratteristiche
Sia R(x1, …, xn) una relazione a n argomenti.
La sua funzione caratteristica è una funzione fR
con lo stesso numero di argomenti, avente come codominio l’insieme 0,1, così definita:
0 se R(x1, …, xn) è verafR (x1, …, xn) = 1 se R(x1, …, xn) è falsa
Se R è decidibile, allora fR è calcolabile (e viceversa)
![Page 32: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/32.jpg)
… e perciò …
… è sufficiente limitarsi a trattare il problema della calcolabilità delle funzioni. Infatti:
Un predicato è decidibile
sse
la sua funzione caratteristica è calcolabile
![Page 33: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/33.jpg)
Funzioni di codifica
Definizione. Dato un insieme A, si dice codifica di A una qualsiasi funzione φ : A N che sia iniettiva, calcolabile e tale che sia calcolabile anche la funzione inversa φ-1
Iniettività: garantisce che a elementi diversi di A corrispondano diversi numeri naturali
Calcolabilità: garantisce che la codifica (decodifica) sia effettiva.
![Page 34: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/34.jpg)
Calcolabilità e funzioni aritmetiche
Una funzione è calcolabile sse lo è la funzione aritmetica sui rispettivi codici.
φ φ-1codifica decodifica
dominio valori di
numericodice
funzione generica
funzione aritmeticaχ
valori di χ
![Page 35: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/35.jpg)
Funzioni parzialiDefinizione. Una funzione φ : D C si
dice parziale sse associa uno ed un solo elemento di C a ciascun elemento di un sottoinsieme E di D, detto campo di esistenza.
D C
Dominio Codominio
Rango
Campodi
esistenza
![Page 36: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/36.jpg)
… inoltre …
● Se x D – E, si dice che φ è indefinita in x, e si scrive φ(x) =
● Se φ(x) = , allora si dice che φ diverge in x
● Se x E, allora φ(x) apparterrà a C e si dice che φ converge in x
![Page 37: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/37.jpg)
…
● Le funzioni totali sono funzioni parziali il cui E coincide con D
● La funzione totalmente indefinita è una funzione il cui campo di esistenza è
● L’inversa di una funzione iniettiva φ è normalmente una funzione parziale in cui E coincide con il rango di φ [questo è il tipico caso delle funzioni di codifica!]
![Page 38: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/38.jpg)
Calcolabilità delle funzioni parziali
Definizione. Una funzione parziale φ : D C con campo di esistenza E è effettivamente calcolabile sse esiste un algoritmo A tale che:
a) se x E e φ(x) = y, allora A con input x produce y come output
b) se x D - E (ossia φ(x) = ), allora A con input x non produce alcun output
![Page 39: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/39.jpg)
Cosa vuol dire “non produce nessun output”?Se x D - E (cioè φ(x) = ), un
algoritmo A per φ con input x può comportarsi in due modi diversi:
i. A termina senza dare alcun risultato
ii. A non termina mai
Cfr. esempi in Figura 2.7 (pag. 79).
![Page 40: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/40.jpg)
Conseguenza
Una funzione parziale per la quale esiste un algoritmo che termina sempre sui valori indefiniti può sempre essere trasformata in una funzione totale come segue:
1. se x E e φ(x) = y, allora l’output di un algoritmo A che calcola φ sarà y
2. se x D – E, allora l’output di A sarà un qualsiasi valore convenzionale *
Se tutte le funzioni parziali fossero così, non ci sarebbe bisogno di introdurre le funzioni parziali!!
![Page 41: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/41.jpg)
Invece …
… non sempre questo “gioco” si può fare.
Immaginiamo di estendere una funzione parziale calcolabile φ a una funzione totale φ’ che:
1. Se φ è definita per x, e φ(x) = y, allora φ’(x) = y
2. Se φ è indefinita per x, e quindi φ(x) = , allora φ’(x) = *
Problema: φ’ potrebbe non essere più calcolabile!
![Page 42: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/42.jpg)
Com’è possibile?
Immaginiamo che il campo di esistenza E corrisponda a un insieme di numeri non decidibile
Allora, stabilire se un certo input x appartiene o non appartiene ad E non è un problema decidibile
Come vedremo meglio, esistono insiemi di numeri che non sono decidibili
Per cui in generale non è possibile ridurre le funzioni parziali a funzioni totali
![Page 43: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/43.jpg)
Insiemi effettivamente enumerabili
Definizione. Un insieme I contenuto in un dominio D si dice effettivamente enumerabile sse (i) I è l’insieme vuoto, oppure (ii) I è il rango di una funzione calcolabile totale di tipo φ : N I.
Cioè, φ associa ad ogni numero naturale un elemento di I (le ripetizioni sono ammesse). Pertanto, la successione φ(1), φ(2), φ(3), … contiene tutti e soli gli elementi di I.
Si dice che φ enumera in modo effettivo gli elementi di I.
![Page 44: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/44.jpg)
Predicati effettivamente enumerabili
Definizione. Un predicato P(x) è effettivamente enumerabile se lo è l’insieme A = x D | P(x)
Questa definizione si può facilmente estendere alle relazioni con qualunque numero di argomenti
![Page 45: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/45.jpg)
Osservazione
● Se un insieme I (o un predicato P) è decidibile, allora è anche effettivamente enumerabile
![Page 46: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/46.jpg)
… tuttavia …
… non necessariamente vale il viceversa!!
Esistono infatti insiemi I effettivamente enumerabili che non sono decidibili.
[Esempi saranno presentati più avanti]
![Page 47: Modelli simulativi per le Scienze Cognitive Paolo Bouquet (Università di Trento) Marco Casarotti (Università di Padova)](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062307/5542eb58497959361e8c2ccf/html5/thumbnails/47.jpg)
Semi-decidibilità
Un insieme A è effettivamente enumerabile sse la sua funzione caratteristica fA è calcolabile parziale con campo di esistenza A:
0 se x AfA (x) =
se x A (indefinito)
Siccome il corrispondente algoritmo calcola un valore solo nel caso positivo, si dice che gli insiemi (predicati) effettivamente enumerabili sono semi-decidibili.