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Programmazione e Controllo della Produzione

Modellazione dei processi produttivi

Sistemi DESReti di Petri

Equazione di statoEquazione di statoGrafo di stato

Strutture fondamentaliProprietàProprietà

Analisi matricialeP-invariantiT-invariantiT invarianti

SifoniTrappole

Macchine a stati finitiEsempio di processo manifatturiero

Modellazione dei processi produttivi 98


Reti di Petristrumento per la modellizzazione di processi mediante sistemi ad eventi discretiCarl Adam Petri, 1962

ampia diffusione nel campo dell’ingegneria elettronica e informatica

Ajmone Marsan et al., 1994modellazione di architetture di microprocessori

applicazioni nell’industria manifatturiera

modellazione di Flexible Manufacturing System (FMS) Yan et al., 1998

modellazione di sistemi just-in-time Song & Lee, 1998

Reliability Modelling Schneeweiss 1999



Nella descrizione di un processo (produttivo, organizzativo, ecc.) spesso si ha la necessità di rappresentare sottoprocessi o attività che possono essere eseguite contemporaneamente, in parallelo fra loro, ma non indipendentemente l’una dall’altra

Potrebbe accadere che un determinato passaggio o una certa fase del processo non possa verificarsi o non possa essere attivata fintanto che altre fasi o attività non sono concluse o fino al verificarsi di determinate condizioni.

situazioni di questo tipo non possono essere descritte mediante un diagramma di flusso

le attività sono rigidamente serializzate

due rami distinti non vengono mai “percorsi” contemporaneamente ma rappresentano due strade

Con le Reti di Petri la i li i d li t d l contemporaneamente, ma rappresentano due strade

alternative scelte secondo un criterio rigidamente deterministico dipendente dall’esito della valutazione di una espressione booleana

non solo permettono di rappresentare e di descrivere globalmente un

serializzazione degli step del procedimento viene superata

non solo permettono di rappresentare e di descrivere globalmente un processo, ma consentono anche di seguirne l’evoluzione permettendo di visualizzare lo stato in cui si trova in un certo istante la rete.



Strumento diPossono

i fi i iStrumento di modellazione

formale

rappresentare infiniti stati con un numero

finito di nodi

RETI DIPETRIStrumento di

Gli eventi non sono vincolati ad accaderePETRI

analisi e verifica del

comportamento di un sistema

vincolati ad accadere con frequenza

definita

Gli eventi a flusso con code vengono rappresentati

spontaneamente



0: { , , , }P P T F MRete di Petri: P → PostiT → TransizioniF → Relazioni di flussoM M i i i l

Posto

M0 → Marcatura iniziale

P i tàFlusso

Transizione1. P T

Proprietà:

Transizione2.3.

P TF P T T P

1. → gli insiemi dei posti e delle transizioni sono disgiunti2. → la rete deve avere almeno un posto o una transizione3. → F lega posti a transizioni e transizioni ai posti ma non

transizioni a transizioni e posti a posti



1 Posiziona lo stampo sotto il pistone della pressa

Esempio: pressofusioneLa pressa

1. Posiziona lo stampo sotto il pistone della pressa2. Scalda lo stampo3. Scalda il forno a muffola4. Accendi la pressa e seleziona i parametri5 Quando lo stampo è a temperatura la macchina è pronta5. Quando lo stampo è a temperatura la macchina è pronta6. Quando il forno è a temperatura inserisci il crogiolo7. Quando il materiale è fuso estrai il crogiolo ed effettua la

colata dentro lo stampo8 Al termine della colata aziona la pressa8. Al termine della colata aziona la pressa9. A fine solidificazione estrai il getto

Forno a muffolaProviniStampo



Esempio: pressofusioneMacchine pronte

Posizionare stampo

stampo posizionato

Scaldare forno

forno a temperatura

Settare pressa

pressa pronta

Riscaldare stampo Fondere materiale

stampo a temperatura materiale fuso

colata Applicaz. pressione

mat. colato mat. In press.Prodotto finito

mat. solidif.solidificazioneestrazione



Una Rete di Petri è un grafo che consiste di posti, transizioni ed archi che li collegano

gli archi di output collegano le transizioni con i postigli archi di input collegano i posti con le transizioni

Lo stato della rete indica una sua configurazione in un determinato istante dell’esecuzione del processo descritto dalla rete stessa.

g p g p

pezzo 1 grezzo

Si conferisce uno stato a una Rete di Petri mediante

Una Rete di Petri evolve passando attraverso una serie di stati

operazione su 1

pezzo 1 grezzosulla macchina

una marcaturaOperaz. su 1 finita

Assegnamento di un numero Stato della

Le transizioni invece rappresentano le componenti “attive” del modello Rappresentano le attività che possono

operazione su 1

pezzo 1 grezzosulla macchina

rete e marcatura naturale ad ogni posto.

del modello. Rappresentano le attività che possono essere realizzate modificando lo stato della rete.

Operaz. su 1 finita



Le transizioni sono consentite (ossia possono essere realizzate) soltanto se sono abilitate, ossia soltanto se tutte le condizioni che le precedono sono verificate.

2 3

4

2 3

4

transizione abilitata

transizione non abilitata

4 4

Quando viene attivata una transizione vengono rimossi le marche dai posti che precedono la transizione e alcune marche vengono collocate in ognuno dei posti che seguono la transizione stessa.

2 3 2 3

4 4



grezzo sulla macchinainizio operazionepezzo in lavorazionefine operazione

scambiopezzo in attesascambiopezzi in uscita



T : insieme dei nodi transizione

P : insieme dei nodi posto

Pre : matrice delle marcature per lo scatto

Post : matrice delle marcature create dallo scatto

rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post, M0)0



Matrice PRE

La macchina deve essere pronta

Il nuovo pezze deve essere arrivato in posizione



Scatto di transizione



RETE DI PETRI MARCATA: {N, M0}



GRAFO DI STATO: {N, M0}



GRAFO DI STATO: (N, M0)



MATRICE DI INCIDENZA



EQUAZIONE DI STATO



EQUAZIONE DI TRANSIZIONE



Sequenze ammissibili: percorso ammissibile nel grafo degli stati

S143 S125No:

S124 S412 S142 S1245 S4152Si:



Approfondimenti sulle reti di Petri



Non determinismo

Proprietà di base delle Reti di Petri

Data una rete di Petri marcata con matrice di marcatura M e dato S l’insieme delle transizioni abilitate in M, solamente una di queste viene scelta a caso per lo scatto

Non si fa nessun riferimento al tempo Serve una nuova valutazione della futura transizione abilitata a scattare

Località della rete: L’evoluzione del sistema è locale e ciò è garantito dall’indipendenza degli eventi



Esempio di una evoluzione di una rete:

P1 e P2: sottorete produttoriCP3 e P4: sottorete consumatori C1

P5 e P6: sottorete consumatori C2

t1 è l’assegnazione delle materie prime

P3

t3 t4prime

t2 è la produzione: gli oggetti da produrre in P1 sono prodotti finiti in P2

P1

t1 t2P4P7 2

P7 rappresenta una coda tra i produttori e i consumatori

t3 e t5 sono le attività di P2

P5

t5 t6

22

assegnazione dei prodotti ai consumatorit4 e t6 sono le attività di consumo dei prodotti da parte deiP6

4 4

dei prodotti da parte dei consumatori



Una transizione abilitata è t2 M00

Allo scatto di t2 ci sono quattro possibili transizioni abilitate: t1 t2 t3 e t5

Scatto di t2transizioni abilitate: t1, t2, t3 e t5

Scatto di t3

Allo scatto di t3 si ha una nuova configurazioneSe volessimo aumentare i prodotti e/o i Scatto di t3Se volessimo aumentare i prodotti e/o i produttori sarebbe sufficiente aumentare le marche rispettive



Strutture fondamentaliDue transizioni sono:

in sequenzaSe t1 precede in una data marcatura t2 e lo scatto di t1 abilita t2

in conflitto strutturaleSe e solo se hanno un posto di ingresso in comuneSe e solo se hanno un posto di ingresso in comune

in conflitto effettivoSe sono in conflitto strutturale e, poiché le marche non sono sufficienti ad abilitarle entrambe, lo scatto di una transizione disabilita l’altra



in concorrenza strutturaleSe non condividono nessun posto di ingresso e quindi l’una non disabilita l’altra

in concorrenza effettivaco co e a e ett aLa concorrenza strutturale implica la concorrenza effettiva poiché se sono abilitate entrambe le marche sono sufficienti ad entrambe le transizioni

Transizione di sincronizzazione Più posti a monte

Transizione di inizio di concorrenza Più posti a valle



Proprietà delle reti di Petri

Raggiungibilità: Una marcatura M1 è raggiungibile a partire da M se esiste almeno una sequenza di transizioni che permetta il passaggio da M a M1

[M Insieme delle marcature raggiungibili a partire da M

1 [M M M1 raggiungibile da M

Reversibilità: Una rete {N,M0} è reversibile se per ogni marcatura raggiungibile da M0, M0 è raggiungibile da questa marcatura

0 0[ , [M M M M 0 0[ , [

Home state: Uno stato M* della rete {N,M0} è detto di home state se per ogni marcatura raggiungibile da M0, M* è raggiungibile da questa marcaturamarcatura

0[ , * [M M M M



Limitatezza: Assenza di accumulo di marcature indesiderate nella rete

Posto k-limitato: In tutte le marcature raggiungibili dalla rete non si supera mai il valore di k

Rete k-limitata: Tutti i posti della rete sono k limitatiRete k-limitata: Tutti i posti della rete sono k-limitati.

Rete limitata: Rete k-limitata per qualche valore finito di k

Esempio di rete non limitatala sequenza di scatti t1, t2, t3 può avvenire infinite volte accumulando marcature in P4



Rete binaria: Rete 1-limitata (ovvero k-limitata con k=1)Affinché una rete sia binaria la marcatura iniziale M0 e tutte le marcature da essa raggiungibili devono avere solo 0 e 1marcature da essa raggiungibili devono avere solo 0 e 1

Qualunque rete può essere resa limitata con l’aggiunta di opportuni posti detti complementari

Introduzione del posto P6 con significato complementare a P5: le marcature rappresentano le postazioni libere nel buffer

Sistema produttoriSistema produttori-consumatori con buffer intermedio



Vivezza: Capacità della rete di evolvere bene ovvero senza che si blocchi mai

Transizione viva: Se e solo se per ogni marcatura raggiungibile da M0 esiste un’altra marcatura raggiungibile dalla prima nella quale la transizione risulta abilitata

0[ , [ . .M M M M t c t abilitata in M

Rete viva: Se tutte le transizioni sono vive

Considerazioni: Una transizione è viva se da una qualunque marcatura M raggiungibile nella rete è possibile raggiungerne un’altra M* in cui t è abilitata. Se questa transizione scatta in M* si raggiunge una marcatura M** che per definizione è raggiungibile da quella iniziale. Pertanto M** ricade nella definizione di vivezza. La transizione è allora ancora viva e a partire da M** raggiunge M*** e così via.

In una rete viva tutte le transizioni possono scattare infine volte qualunque sia la marcatura raggiungibile da quella iniziale



Marcatura viva: Se e solo se per ogni transizione esiste una marcatura i ibil d M t l h l t i i i lt bilit traggiungibile da M tale che la transizione risulta abilitata

, * [ . . *t T M M t c t abilitata in M

A ti d ll t i è ibil f ttA partire dalla marcatura viva è possibile far scattare una qualunque transizione

PROPRIETÀ: Una rete è viva se e solo se tutte le sue marcature raggiungibili dalla marcatura iniziale sono vive

Marcatura morta: Se e solo se nessuna transizione è abilitata in M



Limitatatezza: SIVivezza: NOReversibilità: NO

Limitatatezza: SIVivezza: NOReversibilità: SI

Limitatatezza: NO

Reversibilità: SI

Limitatatezza: NOVivezza: SIReversibilità: SI Limitatatezza: SI

Vivezza: SIReversibilità: NO

Esempi di Murata



Analisi delle reti di Petri

Insieme di raggiungibilità: Insieme R(N,M0) più piccolo di marcature tale che:

’

0 0

0 0

( , )

* ( , ), . . *[ ** ** ( , )

M R N M

M R N M t T t c M t M M R N M

La marcatura iniziale appartiene all’insieme

Tutte le marcature iniziali raggiungibili dall’insieme di raggiungibilità appartiengono all’insieme

Grafo di raggiungibilità G(N,M0) ≡ Grafo di stato {N,M0} completo e minimo



Rete di Petri Grafo di raggiungibilità



Analisi matriciale

Metodo di analisi che sfrutta le informazioni contenute nella matrice di incidenza

Caratteristiche che dipendono dalla topologia della rete e non dalla marcatura

Caratteristiche staticheCaratteristiche statiche

P-Invarianti Sifoni

T-Invarianti Trappole

Vettori colonna Insiemi di posti



P-invarianti: Insiemi di posti tali che la somma pesata delle marche che contengono rimane costante per tutte le marcature raggiungibili

Def.:

( ) ' ' 'M R N M x t c x M x M

Un vettore è P-invariante se:

0 0( , ), ' . . ' 'M R N M x t c x M x M

Eq. Di stato:

Moltiplico a sinistra per x’ valida per ogni s non vuotoMoltiplico a sinistra per x valida per ogni s non vuoto

Se x’ è invariante allora:



Gli invarianti si trovano dalle:Eq. 1

Eq. 2

Infinite soluzioni: Se un x è un P-invariante allora anche k x con k intero lo è

Se un x1 e x2 sono P-invarianti allora anche x = x1 + x2 lo èSe un x1 e x2 sono P-invarianti allora anche x = x1 + x2 lo è

Problema: determinare il più piccolo insieme di P-invarianti in grado di generare tutte le soluzioni delle equazioni



Supporto di un P-invariante: Insieme dei posti corrispondenti ad elementi non nulli di x

P-invariante a supporto minimo: Un p-invariante è detto a supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante della rete

P-invariante canonico: Un p-invariante è detto a canonico se il massimo comun divisore dei suoi elementi non nulli è 1

Un P-invariante composto di soli elementi positivi permette di identificare un gruppo di posti dove si conserva non tanto il numero di marche ma una loro combinazione linearenumero di marche ma una loro combinazione lineare

Gli P-invarianti positivi sono detti componenti conservative di una retecomponenti conservative di una rete



Esempio di P-invariante negativo

Il numero di marche in P1 è vincolato ad essere uguale a quello di P2

Generatore di P-invarianti positivi: Il più piccolo insieme di P-invarianti positivi PIkGeneratore di P invarianti positivi: Il più piccolo insieme di P invarianti positivi PIktale che ogni altro P-invariante della rete è ottenibile tramite ombinazione lineare degli invarianti di PIk

Gli elementi dell’insieme si chiamano P invarianti minimiGli elementi dell insieme si chiamano P-invarianti minimi

Proposizione 1 Un P-invariante è minimo se e solo se è canonico e a supporto minimo

Proposizione 2 L’insieme generatore di P-invarianti è finito ed è unico



Rete coperta da P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene al supporto di p g p pp ppalmeno un P-invariante

Rete conservativa: Rete coperta da P-invarianti non negativi

, P-invariante . . || || ( ) 0p P x t c p x et x p

Proposizione 3 Una rete conservativa è limitataProposizione 3 Una rete conservativa è limitata

In una rete conservativa il numero di marche non cresce mai indefinitamente.

Non è detto il contrario



Esempi:

Reti coperte dal P-invariante [1,1,1]

Qualunque sia la marcatura iniziale ilQualunque sia la marcatura iniziale il numero delle marche si mantiene costante Questa rete è viva

Due processi diversi si devonoDue processi diversi si devono sincronizzare ovvero deve esistere una attesa reciproca

Gli P-invarianti minimi sono: [1,1,0,0] e [0,0,1,1]



Calcolo degli P-invarianti minimi

Algoritmo di Colom e Silva

I i id i à di di iIn matrice identità di dimensione n



T-invarianti: In modo duale agli P-invarianti rappresentano possibili sequenze di scatti che riportano la rete alla marcatura iniziale

Def.: Un vettore (colonna) y è T-invariante se è soluzione dell’equazione: Eq. 3

Se y è un vettore delle occorrenze coincidente con un T-invariante allora:

Osservazione: La presenza di un T-invariante non implica che sia veramente possibile ritornare alla posizione di partenza

Il significato di un T-invariante y è quello che, se fosse possibile far scattare ogni transizione del supporto di y in un ordine qualunque ma un numero di volte pari a quello definito da y allora lo stato della rete potrebbetornare al valore iniziale al termine della sequenza



Confrontando l’Eq. 2 con l’Eq. 3

Eq. 2

q qEq. 3

Si deduce che: gli T-invarianti di una rete con matrice di incidenza C coincidono con

La matrice di incidenza C’ si ottiene dalla rete con matrice C scambiando i posti con le

gli P-invarianti di una rete con matrice di incidenza C’ e viceversa

ptransizioni senza alterare gli indici dei nomi e invertendo il verso degli archi

Se non di invertisse il verso degli archi si otterrebbe una matrice di incidenza C’Se non di invertisse il verso degli archi, si otterrebbe una matrice di incidenza –C

Ad ogni modo C’x=0 equivale a -C’x=0 così come Cy=0 equivale a -C’y=0 pertanto si otterrebbero gli stessi T-invarianti e P-invariantiotterrebbero gli stessi T invarianti e P invarianti



Sifoni: Rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende a perdere marche durante l’evoluzione della rete e che, una volta arrivati a zero, non è più in grado di riacquistarnep g q

Notazione per le matrici dei Pre e dei Post: ●X ≡ Pre[X]

X● ≡ Post[X][ ]

Def.: Un sifone S è un insieme di posti se e solo se:

S S

Tutte le transizioni di ingresso per un sifoneTutte le transizioni di ingresso per un sifone sono anche di uscita ma esistono delle transizioni di uscita che non sono di ingresso



Esempio:

Sifone:Sifone:

é contenuto in:infatti:

Sifone:




Sifone minimo.: Un sifone S è minimo se e solo se esiste un altro sifone S’ tale che:

'S S'S S

Proprietà L’unione di sifoni è un sifone

Sifone di base: Un sifone di base è un sifone che non può essere ottenuto come unione di altri sifoniessere ottenuto come unione di altri sifoni

Proprietà Se S è un sifone privo di marche in una certa marcatura M allora p pè priva di marche anche ogni marcatura raggiungibile M’[M>

In presenza di un sifone non marcato tutte le transizioni di S● sono morte e la rete in con S non viva



Trappole: È il duale del sifone e rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende ad acquistare marche durante l’evoluzione della rete e che, una volta presa almeno una marca a zero, non è più in grado , p , p gdi smarcare contemporaneamente tutti i suoi posti

Def.: Una trappola S è un insieme di posti se e solo se:se:

S S

Tutte le transizioni di uscita per una trappola sono anche di ingresso ma esistono delle transizioni di ingresso che non sono di uscitatransizioni di ingresso che non sono di uscita



Esempio:

Trappole:Trappole:


Trappole anche: e



Proprietà L’unione di trappole è una trappola

Proprietà Se S è una trappola marcata in una certa marcatura M allora rimane marcata in ogni marcatura raggiungibile M’[M>

Proprietà Il supporto di un P-invariante con elementi non negativi è un sifone e una trappola

Non tutti i sifoni o trappole di una rete sono pericolosi ai fini della vivezza. Il legame tra queste strutture e la vivezza non è semplice

Proprietà Se M è una marcatura morta allora l’insieme dei posti privi di marche:

È un sifone non marcato



Proprietà Se ogni sifone contiene una trappola marcata in una marcatura M allora non esiste in [M> una marcatura morta

Se infatti, per assurdo, esistesse una simile marcatura M’ allora i posti senza marche in M’ costituiscono un sifone senza marche contraddicendo l’ipotesi

N.B.: non è detto che una rete in cui ogni sifone contiene una trappola sia viva

Esempio precedente:Esempio precedente:

Sifoni marcati che non Infatti tramite la sequenza [ t3 t1 t2 t1 ] è possibileSifoni marcati che non contengono trappole

Infatti tramite la sequenza [ t3 t1 t2 t1 ] è possibile raggiungere M = [ 2 0 0 0 ]’ che è morta



Macchine a stati finiti

La macchina a stati finiti è un automaLa macchina a stati finiti è un automa

Macchina a stati finiti: È una rete di Petri tale che:

, 1 1j j jt T t et t

Proprietà :

È strettamente conservativa

Il numero di marche nella rete non cambia mai

Il sistema è finito e pure il grafo di raggiungibilità

Se la marcatura iniziale contiene una sola marca allora la rete è binaria

Se la rete è fortemente connessa (cioè è possibileSe la rete è fortemente connessa (cioè è possibile andare da un nodo all’altro seguendo una relazione di flusso) e se ha almeno un gettone

Allora la rete è viva



Grafo marcato

Sottoclasse delle reti di Petri in cui ogni posto ha esattamente una transizione diSottoclasse delle reti di Petri in cui ogni posto ha esattamente una transizione di ingresso e una di uscita

Grafo marcato: È una rete di Petri tale che:

, 1 1i i ip P p et p Proprietà :

Mentre la macchina a stati può avere al suo interno dei conflitti (un posto con molte transizioni in uscita), il grafo marcato non può modellare conflitti

A differenza della macchina a stati il grafo marcato può modellare la creazione eA differenza della macchina a stati, il grafo marcato può modellare la creazione e la distruzione di marche necessarie per la simultaneità necessaria per la sincronizzazione

Un grafo marcato è vivo se e solo se ogni suo ciclo contiene almeno un posto con g g puna marca

Sequenza di posti ottenuta con un flusso in cui la transizione di ingresso al primo posto della sequenza è anche quella di uscita all’ultimo posto



Reti a scelta liberaSono reti che non ammettono confusione

Scelta libera: È una rete di Petri tale che:

, , { } { }j i j i i jt T p P t p opp p t

Per ogni arco da un posto ad una transizione o quel posto è l’unico posto in ingresso a quella transizione (non c’è sincronizzazione) oppure quella transizione è l’unica transizione in uscita da quel posto (non ci sono conflitti)

I conflitti potenziali sono controllati: I conflitti accadono solo se il postoI conflitti potenziali sono controllati: I conflitti accadono solo se il posto è in ingresso a molte transizioni

Se un posto è in ingresso a molte transizioni allora esso è l’unico ingresso per tutte le transizioniesso è l unico ingresso per tutte le transizioni

O tutte le transizioni sono permesse o non lo è nessuna Scelta libera



Una macchina a stati e un grafo marcato sono reti a scelta libera ma non vale il viceversa

Tipica situazione di confusione

Non è chiaro a priori quale delle due transizioni scatterà

CONFLITTO



Reti a scelta libera estesa

ÈScelta libera estesa: È una rete di Petri tale che:

, , un arco da tutti i posti di ingresso a a tutte le trasizioni di uscita di j i j it T p t p

Se due posti hanno una transizione di uscita in comune, allora quei posti hanno le stesse transizione di uscita:

Rete a scelta libera estesa

a o e s esse a s o e d usc a

Una rete a scelta libera estesa è una rete a scelta libera ma non vale il viceversa

trasformazione in rete a scelta liberaTeorema di Commoner: una rete a

scelta libera estesa è viva se i suoiscelta libera estesa è viva se i suoi sifoni contengono una trappola



Reti a scelta asimmetrica

ÈScelta libera asimmetrica: È una rete di Petri tale che:

opp i j i j i jp p p p p p

Esempio di scelta asimmetrica

Proprietà Una rete a scelta asimmetrica è viva se (ma non solo se) tutti i sifoni contengono una trappola



Diagramma di Venn per le relazioni tra le classi di reti di PetriPetri



Esempio di processo manifatturieroIl processo in esame è costituito da due centri di lavoro, due robot e due nastri trasportatori. Ogni centro è servito da un robot per le operazioni di carico e scarico. Un nastro è usato per i

i d l i bi di d ll l L’ l è ipezzi da lavorare, con un massimo per entrambi di due alla volta. L’altro nastro è usato per i pallet vuoti. Ci sono tre pallet disponibili nel sistema. Ogni pezzo da lavorare è manipolato su M1 e M2, in questo ordine.

Centro di lavoro M1

Centro di lavoro M2

Robot 1Robot 2Semilavorati

Prodotti finitiNastro trasportatore 2

Nastro trasportatore 1Pallet Pallet



Marcatura iniziale:

Matrice di incidenza:



Unico T-invariante:

Gli P-invarianti minimi sono 6:

Supporti agli P-invarianti:

Ogni posto della rete appartiene ad almeno un P-invariante dunque la rete è CONSERVATIVA e LIMITATA



Marcature raggiungibili dalla rete:



Grafo di raggiungibilità



Analisi del grafo di raggiungibilità

Dal grafo di deduce che la rete progettata è viva

a partire da ogni marcatura raggiungibile, è possibile raggiungerne un’altra in cui una determinata transizione sia abilitata

Infatti:

Lo si poteva vedere anche considerando che la rete di Petri è un grafo marcato

poiché gli unici sifoni che contiene sono i supporti dei P-invarianti che sono inizialmente marcati, allora la rete è viva


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