modelisation des ecoulements

No dordre 2482

THESEprsente pour obtenirLE TITRE DE DOCTEUR DE LINSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

cole doctorale : Sciences de lUnivers, Espace, Environnement Spcialit : Modlisation en hydrologie et hydrogologie par : Ahmad AL BITAR Titre de la thse

Modlisation des coulements en milieu poreux htrognes 2D / 3D, avec couplages surface / souterrain et densitaireslundi 4 juin 2007 devant le jury compos de :

Soutenue le

M. MM.

Philippe RENARD Rachid ABABOU Claudio PANICONI Philippe ACKERER Javier ELORZA Manuel MARCOUX Bernard CAUSSADE Grard DEDIEU Jean-Michel TANGUY

Professeur, CHYN Neuchtel Professeur, IMFT Toulouse Professeur, INRS-ETE Qubec Professeur, IMFS Strasbourg Professeur, ETSI Minas - Madrid Matre de Conf., IMFT Toulouse DR Honoraire CNRS Ing. CNES, CESBIO ToulouseIng.-Chef P.C, Dir. SCHAPI Toulouse

Prsident, Rapporteur Directeur de thse Rapporteur Rapporteur Membre Membre Invit Invit Invit

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RsumDans ce travail, on considre la modlisation des coulements dans des hydro-systmes comprenant des sols et des aquifres gologiquement complexes et htrognes. On considrera par exemple le cas dun aquifre ctier soumis lintrusion saline, avec couplage densitaire (eau douce / eau sale), phnomne auquel peuvent se greffer dautres couplages (coulements saturation variable, couplages surface / souterrain). On choisit une approche ayant les caractristiques suivantes : le modle est spatialement distribu afin de reprsenter lhtrognit du milieu ; le modle est fortement coupl afin dapprhender les coulements dans leur complexit physique. On utilise dans ce but un modle fortement intgr, une seule quation gnrique de type EDP, base sur une loi de Darcy gnralise permettant de dcrire diffrents rgimes dcoulements la co-existant dans un mme domaine, tout en conservant robustesse et efficacit. Le travail est divis en trois parties. Dans une premire partie on labore un nouveau modle numrique 3D, pour la modlisation des coulements en milieux poreux densit variable dans lhypothse dune interface abrupte. Ce nouveau modle est bas sur des relations effectives non linaires de saturation et de permabilit, dans une quation dcoulement de type Richards modifie. La seconde partie correspond llaboration et limplmentation dun modle verticalement intgr dintrusion saline en aquifre ctier, permettant dtudier leffet de lhtrognit stochastique de laquifre. Le modle, bas sur lhypothse interface abrupte, est implment comme un module 2D dans le code volumes finis BIGFLOW 2D/3D. Le nouveau module 2D est utilis pour analyser la variabilit de linterface eau douce / eau sale par simulations stochastiques de type Monte Carlo chantillonnage spatial (ralisation unique). Ces rsultats sont compars nouvelle thorie, o linterface alatoire auto-corrle est analyse par transformation de variable, combine une mthode de perturbation et une reprsentation spectrale (Fourier / Wiener-Khinchine). Dans la troisime et dernire partie, on prsente un modle de couplage fortement intgr pour la modlisation des coulements de surface et souterrain en hypothses dcoulement plan, verticalement hydrostatique. On sintresse au cas dune valle fluviale avec cours deau, plaine dinondation, et nappe daccompagnement. Lcoulement en surface est modlis par lquation donde diffusante et lcoulement souterrain par lquation de Dupuit-Boussinesq. Ce modle coupl est appliqu la valle fluviale de la Garonne dans la rgion de Toulouse - Moissac (France). Cette application a ncessit llaboration dune mthode dinterpolation gostatistique adapte llaboration dun Modle Intgr Numrique de Terrain (MINT), de faon inclure le fond de la rivire au MNT topographique en haute rsolution. Enfin, au-del de cette application particulire, le modle dcoulement coupl surface / souterrain est gnralis au cas dun couplage densitaire eau douce / eau sale, lorsque la nappe est sujette lintrusion saline au voisinage dune embouchure ou dun estuaire. Mots ClsIntrusion saline Modelisation stochastique Milieu poreux et hydrogologie Aquifre et nappe souterraine Modle Intgr Numrique de Terrain (MINT, MNT) Equation de Richards Equation de Dupuit-Boussinesq Couplage surface/souterrain Volumes finis 2D / 3D Loi de Darcy Ward Equation donde diffusante

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AbstractIn this work, we consider water flow modeling in hydro-systems that include geologically complex and heterogeneous soils and aquifers, e.g., a coastal aquifer undergoing seawater intrusion, with density coupling (freshwater / saltwater), along with other coupled phenomena (variable saturation, surface / subsurface coupling). The selected approach has the following characteristics: the model is spatially distributed in order to represent the heterogeneity of the medium the model is strongly coupled in order to apprehend the physical complexity of flow systems We use for this purpose a strongly integrated model, governed by a single generic equation (PDE) based on generalized Darcy law, to describe different flow regimes co-existing in the same domain, while conserving robustness and efficiency. The work is divided into three parts: In the first part, we develop a new 3D numerical model for variable density flow in porous media under the sharp interface approximation. This new model is based on non-linear effective saturation and conductivity relations, in a modified Richards flow equation. The second part corresponds to the development and implementation of a vertically integrated saltwater intrusion model, to study the effect of stochastic heterogeneity in a coastal aquifer. The model, based on the sharp interface hypothesis, is implemented as a 2D module in the finite volumes code BIGFLOW 2D/3D. The new module is used for analyzing the variability of the salt / fresh interface through Monte Carlo simulations with spatial sampling (single realization). These results are compared to a new theory where the random field interface is analyzed via a transformation combined to a perturbation method and a spectral representation (Fourier / WienerKhinchine). In the third and last part, we present a strongly integrated model to simulate coupled surface / subsurface plane flows, such as a river valley with stream, floodplain, and free surface aquifer. Surface flow is modeled via the diffusive wave equation, and subsurface flow is modeled using the Dupuit-Boussinesq equation. This coupled model is applied to the Garonne river valley in the Toulouse-Moissac region (France). This application has required the elaboration of a geostatistical interpolation technique that produces an Integrated Digital Elevation Model (IDEM). The IDEM incorporates a high resolution representation of river channels into the topographic DEM. Finally, beyond this specific application, the coupled surface / subsurface model is generalized to the case of salt / fresh density coupling, where the aquifer is subject to saltwater intrusion near a river mouth or an estuary. KeywordsSaltwater intrusion Stochastic modeling Porous media & hydrogeology Groundwater & aquifers Integrated Digital Elevation Model (IDEM, DEM) Richards equation Dupuit-Boussinesq equation Surface / subsurface coupling Finite volumes 2D / 3D Darcy-Ward law Diffusive wave equation

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RemerciementsJe tiens tout dabord remercier en premier lieu mon directeur de thse, Rachid Ababou, pour son soutien scientifique. Ses conseils promulgus durant ma thse mont permis dlargir mes horizons. Je noublie pas aussi sa chaleur humaine qui ma beaucoup touch. Je remercie aussi les membres du jury devant lesquels jai eu lhonneur de prsenter ma thse. Messieurs Philippe Renard, Philippe Ackerer, Claudio Paniconi ont accept de juger ce travail en tant que rapporteurs, et je les en remercie. Ils ont contribu par leurs nombreuses remarques et suggestions amliorer la qualit de ce mmoire, et je leur en suis trs reconnaissant. Jadresse mes remerciements Messieurs Grard Dedieu, Jean-Michel Tanguy et Bernard Caussade. Leur regard externe et leurs questions pertinentes durant ma soutenance mont permis dlargir mes rflexions au del de mon sujet de thse. Mes remerciements vont galement Monsieur Michel Quintard pour mavoir accueilli au sein de lquipe GEMP de lIMFT, et pour mavoir fait dcouvrir les karsts des gorges du Tarn ! Je noublie pas les membres de lquipe GEMP et les doctorants de lIMFT. Je remercie aussi lquipe du Centre dHydrogologie de lUniversit de Neuchtel en Suisse pour mavoir accueilli chez eux pendant deux mois. Je remercie spcialement Philippe, Jawher, et Ellen. Merci l'quipe LEH Laboratoire dEcologie des Hydrosystmes du CNRS pour les donnes du site de Monbqui. Ce travail naurait pas pu aboutir sans la bourse de thse du Ministre de lEducation et sans le soutien financier du projet europen SWIMED. Mes remerciements les plus affectueux vont ma femme Hanaa, mes parents et mes trois surs qui mont toujours soutenu dans mes choix.

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TABLE DES MATIERES Chapitre II-1I - 1.1 I - 1.2 I - 1.3 I - 1.4 I - 1.5

Introduction ............................................................................................... 1Les dfis .................................................................................................................................. 3 Modlisation des transferts...................................................................................................... 4 Htrognit, milieux alatoires, et gostatistique ................................................................ 4 Modlisation stochastique ....................................................................................................... 5 Types dcoulements, types de milieux, et lois phnomnologiques ...................................... 6

Contexte......................................................................................................................... 3

I-2 I-3

Objectifs de la thse...................................................................................................... 8 Plan de la thse.............................................................................................................. 9

Chapitre IIII - 1II - 1.1 II - 1.2 II - 1.3

Modlisation des coulements densit variable ................................. 11Volume Elmentaire Reprsentatif (VER) ....................................................................... 13 Dfinitions ........................................................................................................................ 13 Notion de charge hydraulique........................................................................................... 14

Notions de base............................................................................................................ 13

II - 2

Ecoulement en milieu poreux .................................................................................... 15Equation de conservation de masse .................................................................................. 15 Equation de conservation de la quantit de mouvement Loi de Darcy.......................... 16 Critiques et limitations de la loi de Darcy ........................................................................ 17 coulements 3D variablement saturs densit constante............................................... 17 coulements 3D saturs densit constante..................................................................... 21 Ecoulement 2D en nappes densit constante- Dupuit .................................................... 21 Mthodes de rsolution numrique................................................................................... 23

II - 2.1 II - 2.2 II - 2.3 II - 2.4 II - 2.5 II - 2.6 II - 2.7

II - 3

Modlisation des coulements densit variable..................................................... 24Densit et concentration ................................................................................................... 24 Approches avec zone de mlange (diffusion)................................................................... 24 Approches avec interfaces abruptes (sans diffusion)........................................................ 29 Discussions sur les approches de modlisation ................................................................ 35

II - 3.1 II - 3.2 II - 3.3 II - 3.4

II - 4

Classification des modles hydrogologiques ........................................................... 35

Chapitre III Dveloppement dun modle 3D dintrusion saline avec interface abrupte et zone sale quasi-statique ...................................................... 37III - 1 III - 2III - 2.1 III - 2.2 III - 2.3

Introduction ............................................................................................................ 39 Formulation en 3D de l'intrusion saline avec zone sale quasi-statique............ 39Equations de conservation de masse et de conservation de QDM.................................... 39 Conditions dynamiques au niveau de linterface .............................................................. 39 Hypothse dune zone sale quasi-hydrostatique ............................................................. 41

III - 3 Dveloppement et paramtrisation dun modle de proprits hydrauliques non-linaires quivalentes pour l'intrusion saline ............................................... 41III - 3.1 III - 3.2 III - 3.3 Zones dcoulement.......................................................................................................... 41 Courbes de rtention et de conductivit............................................................................ 42 Capacit et Diffusivit ...................................................................................................... 44

III - 4III - 4.1

Solution numrique au problme de l'anti-diffusion .......................................... 45Courbe de rtention modifie ........................................................................................... 45

Introduction III - 4.2

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Courbe de conductivit modifie...................................................................................... 47

III - 5III - 5.1 III - 5.2 III - 5.3

Validation avec la solution analytique de Glover 1964 ....................................... 48Configuration du problme............................................................................................... 50 Position de linterface....................................................................................................... 50 Courbes de rtention......................................................................................................... 51

III - 6 III - 7

Comparaison avec le problme de Henry ............................................................ 52 Conclusions ............................................................................................................. 54

Chapitre IV Modlisation stochastique de l'intrusion saline en 2D plan................. 55Random Field Approach to Seawater Intrusion in Heterogeneous Coastal Aquifers: Unconditional Simulations and Statistical Analysis ......................................................... 58 Uncertainty analyses of seawater intrusion : numerical and stochastic approaches .... 71

Chapitre V Modlisation 2D couple surface / souterrain avec ou sans intrusion saline.............................................................................................................. 78V-1 Introduction ................................................................................................................ 80Introduction ...................................................................................................................... 80 Rsum du chapitre .......................................................................................................... 80 V - 1.1 V - 1.2

V-2

Modle donde diffusante 2D (hydraulique de surface) .......................................... 81Equations de Saint Venant 2D et coefficients de frottement ............................................ 81 Equation donde diffusive 2D et coefficients de frottement ............................................. 82

V - 2.1 V - 2.2

V-3

Modles quationnels dcoulements coupls surface/souterrain (2D).................. 86Introduction et rsum ...................................................................................................... 86 Couplage surface-souterrain ............................................................................................. 86 Formulation mathmatique du modle bi-couches surface/souterrain.............................. 88 Formulation du modle bicouches surface/souterrain avec intrusion saline..................... 89

V - 3.1 V - 3.2 V - 3.3 V - 3.4

V-4

Tests onde diffusante et couplages surface/souterrain ............................................ 90Validation de londe diffusante Manning 1D permanent.................................................. 90 Ecoulements coupls en gomtrie simplifie.................................................................. 95

V - 4.1 V - 4.2

V-5

Gnration dun Modle Numrique de Terrain Intgr (Garonne)................... 100Introduction .................................................................................................................... 100 Mthode Gostatistique .................................................................................................. 100 MINT : Modle Numrique Intgr de Terrain .............................................................. 103 Mthodologie pour la construction dun MINT.............................................................. 104 Construction du MINT pour la Garonne......................................................................... 105

V - 5.1 V - 5.2 V - 5.3 V - 5.4 V - 5.5

V-6

Simulation couple du systme nappe rivire de la Garonne (Toulouse-Moissac) ......... 106 Echanges rivire-aquifre dans la Garonne .................................................................... 106 Simulation couple rivire-aquifre en 2D ..................................................................... 107

V - 6.1 V - 6.2

V-7

Conclusions ............................................................................................................... 110

Chapitre VI Conclusions ............................................................................................ 112 Rfrences....................................................................................................................... 117 Annexes........................................................................................................................... 126

Introduction

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Chapitre I INTRODUCTION

Introduction

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TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE II 1 Contexte _______________________________________________________________ 3 I - 1.1 Les dfis ______________________________________________________________ 3 I - 1.2 I - 1.3 I - 1.4 I - 1.5 Modlisation des transferts ______________________________________________ Htrognit, milieux alatoires, et gostatistique ___________________________ Modlisation stochastique _______________________________________________ Types dcoulements, types de milieux, et lois phnomnologiques ______________ 4 4 5 6

I 2 Objectifs de la thse ______________________________________________________ 8 I 3 Plan de la thse__________________________________________________________ 9

Introduction

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I-1 I - 1.1

CONTEXTE Les dfis

Leau douce constitue 2.5 % de leau dans le globe, et 95% de leau douce utilisable est dans le sous sol. Ces chiffres montrent limportance de cette source deau. Elle est dautant plus importante si lon considre la pnurie deau laquelle le monde devra faire face dans le futur. Le nombre de pays touchs par la surexploitation ( plus de 40%) des eaux souterraines va significativement augmenter dici 2025 comme on le voit dans la figure 1.1. Les pays riches et moins riches devront faire face ce problme. Ces chiffres globaux sont encore plus alarmants lorsquon considre la rpartition ingale des ressources en eaux dans un mme pays et travers le temps, et si lon considre la concentration dmographique dans les grandes villes et sur les ctes. Cette surexploitation combine aux changements climatiques majeurs conduira ventuellement une rarfaction et une dgradation de la qualit des ressources en eaux.

Population souffrant de la raret de leau

Fig. 1.1 Prvision des contraintes sur leau douce (WMO, 96). Les dfis majeurs prendre en compte en gestion des ressources en eaux sont : la dpltion des aquifres cause de la surexploitation, labaissement du niveau de certaines rivires cause des changements climatiques, lasschement des lacs, la salinification des sols cause de la surexploitation agricole, la pollution des aquifres par les pesticides, les engrais et autres substances chimiques nocives, et lintrusion saline. Cette dernire sera accrue par la surlvation du niveau de la mer et par la surexploitation des nappes ctires. Ces diffrents problmes font intervenir des hydro-systmes complexes forms de composantes divers comme les rivires, les lacs, les eaux souterraines et la vgtation. Les eaux souterraines peuvent elles-mmes tre constitues par un assemblage de diffrentes souscomposantes telles que : nappes phratiques deau douce, nappes confines plus ou moins profondes, zones ctires soumises lintrusion saline, sols non saturs, etc. Ces composantes interagissent entre elles. Un abaissement du niveau des rivires conduira un rabattement du niveau des nappes en plaine alluviale. Une surexploitation des nappes conduira un abaissement du niveau des rivires. Ce type dinteraction dans les deux sens ncessite la considration dun couplage fort entre les deux composantes. Ce couplage est encore plus complexe dans le cas dun aquifre ctier connect la mer. Dans ce cas leau douce moins dense glisse en

Introduction

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dessus de leau de mer plus dense qui envahit laquifre sous la forme dun biseau sal. Ces deux volumes deau interagissent aussi au niveau de la zone de transition qui se forme entre leau douce et leau sale. Plusieurs travaux de recherches ont t consacrs llaboration dune approche globale de modlisation des coulements ; citons parmi les plus rcents : Putti et Paniconi (2004), Panday et Huyakorn (2004), Gunduz et Aral (2005), Kollet et Maxwell (2006). Dautres projets ambitieux sont en cours actuellement, comme le projet SEVE de couplage de codes hydrologiques. Ces approches, combines des tudes de scnarios bases sur des rgles dvolutions socio-conomiques, permettront aux dcideurs de grer les risques de faon globale sur lensemble de lcosystme afin de prendre les meilleures dcisions avec la plus faible incertitude.

I - 1.2

Modlisation des transferts

La description des composantes de lhydrosystme tudier doit se faire laide de modles mathmatiques qui expriment, au minimum, les principes physiques de conservation de masse et de conservation dnergie, mais ceci avec diffrents degrs de dtail selon les modles. Plus prcisment, les modles varient en complexit, depuis les modles globaux qui considrent seulement des bilans globaux, aux modles mcanistes et spatialement distribus, qui dcrivent le comportement du systme laide dEquations aux Drivs Partielles (EDP) rsolues laide de mthodes qui sont numriques dans les cas les plus ralistes. En rsum, on pourrait distinguer essentiellement deux types de modles : Modles mcanistes et distribus (EDP) ; Modles globaux , par exemple modles rservoirs ou modles de bilan (non distribus en espace) et sappuyant sur des modles phnomnologiques empiriques.

Cependant, cette ligne de sparation entre modles distribus ou non, mcanistes ou non, est relativement floue et subjective, dautant plus quactuellement, il devient possible de coupler de faon htrogne ces diffrents types de modles. Dans ce travail, nous privilgions lapproche distribue (comme indiqu plus loin).

I - 1.3

Htrognit, milieux alatoires, et gostatistique

En plus de linteraction inter-composantes, plusieurs chelles dhtrognit existent dans chacun de ces systmes (intra-composante). Les milieux souterrains sont fortement htrognes, et incertains, parce quil est impossible de mesurer de faon dterministe leurs caractristiques (Gelhar 1993). Lvaluation des caractristiques se fait laide de mthodes statistiques appliques des mesures multi supports (ponctuelles par permamtrie, linaires par forage, surfaciques par analyse de facis). Trois types de mthodes statistiques sont utiliss pour la construction de milieux ou de surfaces htrognes : Les mthodes gostatistiques dinterpolation, de Krigeage (Delhomme J.P. 1979) ; La gnration conditionnelle de milieux alatoires (Matheron 1973, Tompson et al. 1989) ; La gnration dobjets discrets alatoires ou dterministes.

Les eaux de surface voluent aussi dans des paysages fortement htrognes comprenant des objets multiples (topographie, haies, parcelles, canaux, rivires, etc.). Une des informations ncessaires pour le couplage est la surface de sparation des composantes des coulements (par exemple la topographie, le lit des rivires). La modlisation numrique de la topographie - hors rseaux hydrographiques est facilite par labondance de donnes mises disposition (mesures topographiques, tldtections) et par les mthodes gostatistiques (interpolation statistique, krigeage) trs adaptes ce type de donnes. Il nen est pas de mme pour les lits des rivires, qui sont essentiellement des singularits topographiques (lignes de courbure). Celles-ci devraient ncessiter des mesures particulirement

Introduction

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denses. En pratique, on dispose de mesures qui ne recouvrent pas de faon suffisamment dtaille la topographie - ou bathymtrie - de la rivire. Dans beaucoup de cas les profils le long de la rivire sont trs loigns les uns des autres (plusieurs centaines de mtres). De telles contraintes exigent des mthodes dinterpolation adaptes ce type de problme en vue de lobtention dun Modle Numrique de Terrain (MNT). Lorsquun tel MNT rsulte de lintgration ou de la fusion de donnes varies (altimtries sur grilles rgulires, altimtries ponctuelles, profils en travers, profils en longs), on pourrait parler plutt de Modle Intgr et Numrique de Terrain (MINT).

I - 1.4

Modlisation stochastique

La prise en compte de lhtrognit ou de lincertitude sur les donnes dans les modles est lun des objectifs de lhydrologie stochastique (Dagan 1989 ; Gelhar 1993 ; Zhang 2002). Une modlisation stochastique est ncessaire lorsque lun ou plusieurs des paramtres du domaine sont traits comme une variable alatoire, un processus stochastique, ou un champ alatoire en espace. Par exemple, pour les aquifres htrognes, la permabilit peut tre considre comme un champ alatoire (Vanmarcke 1983). De plus, les conditions limites peuvent tre dcrites comme des processus stochastiques (prcipitations, niveau de la mer). Enfin, dautres termes de forages mal connus (par exemple le dbit des puits de pompage) peuvent tre considrs comme des variables alatoires. Sur le plan mathmatique, la modlisation stochastique peut tre formule diffrents niveaux du modle, et recouvrir les mthodes suivantes (liste non exhaustive) : Au niveau des modles mathmatiques (EDP stochastiques) : La rsolution de ce type de problme demande lutilisation de mthodes spciales pour lobtention des diffrents moments et corrlations entre la variable tudi (par exemple la pression) et les variables alatoires (par exemple la pression et la permabilit) (Dagan 1989). Comme les moments dpendent les uns des autres, on obtient ainsi un systme hirarchique dEDP rsoudre. Dans certains cas simples il est possible dobtenir des solutions analytiques des moments dordre 1 et 2 laide de mthodes perturbatives comme la mthode spectrale/Fourier, (Gelhar 1993) utilise de faon modifie dans le cadre de cette thse au Chapitre 4. Dans les cas les plus complexes, des rsolutions numriques sont ncessaires pour fermer les quations et calculer certaines statistiques (moyennes, corrlations, moments de diffrents ordres). Au niveau du modle de rsolution numrique : En appliquant une mthode de perturbation la matrice globale du systme rsoudre. Tang et Pinder (1979) utilise une mthode perturbative avec la mthode des diffrences finies pour faire une analyse dincertitude des quations de transport en 1D. Cette mthode est aussi applique la mthode des lments finis stochastiques (Stochastic Finite Element Method - SFEM). Chaudhuri et Sekhar (2005) prsentent une amlioration cette mthode perturbative et la comparent aux simulations de Monte Carlo (voir ci-dessous). Ce type de mthode na pas t utilis ici. Au niveau de la simulation (Monte Carlo) : Base sur des algorithmes dits de Monte Carlo , cette mthode consiste gnrer un ensemble de rpliques de milieux alatoires, conditionnels ou non, qui obissent des rgles statistiques prdfinies (moyenne, cart-type, structure spatiale dhtrognit, longueur de corrlation). Pour gnrer ces milieux, on peut utiliser une des mthodes statistiques prsentes plus haut ( htrognit, milieux alatoires, gostatistique ). Par exemple, dans ce travail (Chapitre 4) nous avons gnr des milieux inconditionnels. Le choix du nombre de rpliques gnres dpend de la taille et de lhtrognit du milieu (longueur de corrlation par rapport la taille du domaine). Des simulations numriques sont ensuite effectues laide de codes de calcul dterministes (dans le cadre de cette tude le code BIGFLOW a t utilis) sur un sous-

Introduction

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ensemble ou sur la totalit des ralisations gnres. Enfin une reconstitution des moments de la variable dintrt est effectue partir des rsultats des simulations numriques. Plusieurs milliers de ralisations sont ncessaires pour obtenir de bonnes estimations statistiques sur les moments.

I - 1.5

Types dcoulements, types de milieux, et lois phnomnologiques

Nous dfinissons ce stade quelques notions de base qui seront dveloppes et utilises dans les chapitres suivants de ce travail. Ces notions ont t voques pour leur majorit dans Ababou et AlBitar (2007). Certaines de ces notions sont originales, par exemple : milieux macroporeux 3D cintiques et dynamiques ; anisotropie dans la loi gnralise de Darcy/Forchheimer ; et approche 3D de lintrusion saline en interface abrupte. Dautres sont des notions plus classiques que lon peut retrouver dans de nombreuses rfrences telles que Bear (1972), Bear (1988), Freeze et Cherry (1979), de Marsily (1986), entre autres. Ecoulement satur :

Ecoulement en milieu poreux satur avec une porosit effective totalement remplie deau. Ecoulement non-satur :

Ecoulement en milieu non satur, la porosit tant seulement partiellement remplie deau et le reste dair. La rsistance lcoulement de lair est nglige et la pression de lair est en quilibre avec la pression de latmosphre en permanence. Les quations classiques rgissant lcoulement non satur (sans saturation variable) sont les quations de Richards (Richards 1931). Ecoulement variablement satur :

Leau scoule dans un milieu partiellement satur, i.e., contenant des zones satures et dautres zones non satures. Dans le cas gnral, plusieurs zones satures et non satures peuvent coexister, et leurs distributions spatiales peut voluer dans le temps, e.g.: coulement partiellement satur avec front infiltration descendant vers la surface libre dune nappe (Freeze 1971 ; Vauclin et al. 1979). Afin de modliser lcoulement en milieu partiellement satur dans un seul domaine et avec une seule quation, lquation de Richards est reformule en variables mixtes et sous forme conservative, avec deux variables dtat, la teneur en eau et la pression : voir Ababou et al. (1988, 1992) et Celia et al. (1990), parmi dautres. La loi de Darcy, la permabilit et la charge hydraulique : La loi de Darcy exprime la proportionnalit entre la densit de flux q [L T-1] travers un milieu poreux et le gradient de charge hydraulique dans le milieu poreux. Notons que la vitesse de leau est donne par V = q/, o est la porosit (ou la teneur en eau). La permabilit [m2], intrinsque au milieu poreux, exprime linverse de la rsistance visqueuse au flux. La conductivit hydraulique [m/s] exprime la mme chose, mais elle dpend du fluide (eau). Dans la zone non sature, la loi de Darcy est de la mme forme quasi linaire avec une conductivit hydraulique fonction de la pression ou la teneur en eau. Parmi les rfrences historiques lies ce paragraphe nous citons par exemple Darcy (1856); Buckingham (1907); Richards (1931). Milieux macroporeux dynamiques et cintiques : Un milieu macroporeux peut tre considr comme un milieux ouvert, une couche superficielle de sol couvert de vgtation dense, ou un banc de galet, etc. Dans le code de calcul BIGFLOW par exemple, ce type de milieu est reprsent comme un milieu poreux pores grossiers et

Introduction

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forte permabilit, allant lextrme vers une permabilit quasi-infinie et une porosit de 100% dans certains sous domaines (Ababou et al. 1996, 1998, 2002, 2006 ; Trgarot 2000). Comme expliqu dans les rfrences prcites, cette approche originale conduit prendre en compte explicitement deux effets distincts pour les coulements en macroporeux saturation variable :a) Effets dynamiques : cause du fort nombre de Reynolds, la perte de charge nest plus linaire, les effets inertiels deviennent importants, et la loi de Darcy est remplace par la loi quadratique en vitesse de Ergun-Ward-Forchheimer (e.g.,Ward 1964) ;

b) Effets cintiques : la courbe de rtention teneur en eau / pression est une fonction escalier (ou quasi-escalier, vue la discrtisation numrique), conduisant une imbibition ou drainage instantan de la porosit en tout endroit o une surface libre existe.

Ecoulements plans de Dupuit-Boussinesq :

En considrant un coulement verticalement hydrostatique quasi plan, lquation de masse et la loi de Darcy peuvent tre intgres verticalement pour obtenir lquation de Dupuit-Boussinesq en coulement plan (x,y). Les variables dtat deviennent : la charge hydraulique moyenne H [m], et le flux spcifique en 2D Q [L2 T-1]. La seconde variable provient de lintgration de la vitesse de Darcy. Dans ce cas, la zone non sature est nglige (rponse instantane de la surface libre au processus dimbibition et de drainage). Le coefficient de drainage est la porosit effective. Cette approche se base sur les travaux de Dupuit (1863) et Boussinesq (1904). Ecoulements plans de Saint-Venant : Les quations 2D de Saint-Venant (Saint Venant, 1871) sont une approximation verticalement hydrostatique et verticalement intgres de Navier-Stokes (quations de conservation de masse et de quantit de mouvement) dans le cas dcoulement hydraulique surface libre en canaux, rivires, plaines dinondation, etc. Les variables considres sont le vecteur de vitesse de leau en 2D, V [L1 T-1], et la hauteur deau H ou la lame deau h. La formulation 1D des quations de Saint-Venant est largement utilise en hydrologie de surface pour dcrire les coulements transversalement intgrs le long des rivires et des canaux. Ecoulements plans dOnde Diffusante et couplage nappe-rivire : Lquation 2D donde diffusante (cinmatique et diffusive) est une simplification supplmentaire de lquation de Saint-Venant (et donc de Navier-Stokes), valide seulement pour des coulements vitesse lentement varie et suffisamment faible pour que les termes inertiels soient ngligeables. Il existe une version 1D pour les coulements en canal, tandis que la version 2D est utilisable pour dcrire les ruissellements et inondations de surfaces en (x,y) ce qui est dintrt dans notre travail sur le couplage surface/souterrain. En effet, lide est de coupler un coulement de surface avec un coulement souterrain peu profond en utilisant londe diffusante pour leau de surface et lquation de Boussinesq pour leau souterraine. Voir Chow et al. (1988) ou Bedient et al. (2002) pour une prsentation basique du modle donde diffusante ; ces auteurs prsentent aussi des tables de valeurs des coefficients de rugosits correspondants. Anisotropie : Les milieux poreux et macroporeux naturels peuvent tre fortement anisotropes. Cependant, la dfinition de lanisotropie dpend aussi de la rsolution spatiale du modle. Par exemple, lanisotropie dun milieu stratifi nest pas importante si le modle dcoulement est implment avec une rsolution plus fine que lpaisseur des strates. La loi de Darcy peut tre formule avec une permabilit anisotrope avec un tenseur symtrique du second ordre. Dans le modle numrique BIGFLOW, le tenseur est suppos diagonal, mais une rotation peut tre applique au domaine de calcul par rapport au systme de rfrence horizontal/vertical . Le modle quationnel de BIGFLOW prend en compte lanisotropie dans plusieurs formes de la

Introduction

8

loi de Darcy : ainsi dans le modle 2D plan, la transmissivit et le coefficient de rugosit sont anisotropes ; pour les coulements 3D macroporeux grand Reynolds, la loi quadratique en vitesse (Ward-Forchheimer) peut aussi tre anisotrope, comme indiqu dans Trgarot (2000), daprs Knupp et Lage (1995). Ecoulements densit variable en milieux poreux (et hypothse dinterface abrupte) : Un coulement en milieu poreux est densit variable lorsque la densit dpend de la position et du temps, notamment travers dautres variables dtat (telles que concentration, temprature, etc.). On sintresse ici au cas de lintrusion saline en nappe ctire, o la concentration de leau en sel affecte lcoulement. Leau est le fluide porteur (solvant), et le sel est le solut. Ce problme pourrait tre dcrit par deux quations : une quation dcoulement deau et une quation de transport advectif / diffusif de sel. Cependant, on peut mettre en oeuvre une version simplifie en utilisant lhypothse interface abrupte . Ecoulements densit variable en milieux poreux avec hypothse dinterface abrupte : Dans le modle dinterface abrupte, on considre un coulement densit variable dfini par deux zones fluides de densits distinctes spares par une interface abrupte. En effet, grande chelle et pour de faibles contrastes de densit (aquifres ctiers), et tant donn la variabilit temporelle des forages hydrologiques (mares, prcipitations, etc.), lpaisseur de la zone de transition due la diffusion pure de sel entre leau de mer et leau douce est relativement petite par rapport la taille du domaine, et par rapport la variabilit importante due lhtrognit intrinsque du milieu. Cest cette approche interface abrupte qui est utilise dans le cadre de cette thse, lune verticalement intgre, et lautre, relativement novatrice, tridimensionnelle.

I-2

OBJECTIFS DE LA THESE

Dans ce travail, on considre la modlisation des coulements dans un hydro-systme comprenant un aquifre gologiquement complexe (naturellement htrogne) et en particulier un aquifre ctier soumis lintrusion saline (couplage eau douce / eau sale), auxquels peuvent se greffer dautres couplages (coulements saturation variable et couplages surface souterrain). Une approche de modlisation spatialement distribue est ncessaire pour apprhender ces phnomnes dans leur complexit physique et gomtrique. Afin de faire un premier pas vers la modlisation distribue de tels problmes coupls, il est ncessaire de dvelopper des modles robustes et efficaces du comportement des diffrentes composantes telles que sol insatur, nappe, rivire, etc. (modles intra-composantes). Ces modles sont censs reprsenter lhtrognit du milieu qui est le sige des coulements. Enfin, il est ncessaire de dvelopper des approches de couplage fort entre les diffrentes composantes (intercomposantes). On verra que pour atteindre ce dernier objectif, on a privilgi une approche fortement couple base sur un modle une seule quation gnrique, permettant de dcrire et donc de coupler de faon naturelle, en espace et en temps les diffrentes composantes des coulements. Les objectifs de cette thse ont t concrtiss notamment par les ralisations suivantes : Llaboration dun nouveau modle numrique 3D, bas sur des relations non linaires effectives de saturation et de permabilit (Richards modifi), pour la modlisation des coulements densit variable dans lhypothse dune interface abrupte ; Llaboration et limplmentation dun modle verticalement intgr dintrusion saline permettant dtudier leffet de lhtrognit stochastique en 2D plan ; et lanalyse de la variabilit de linterface eau douce / eau sale travers des simulations de Monte Carlo et des calculs analytiques par perturbation et dcomposition spectrale (Fourier-Wiener-Khinchine); Le couplage fortement intgr des coulements plans de surface et souterrain, dans le cas dune valle fluviale avec nappe daccompagnement. Ce modle est appliqu la valle fluviale

Introduction

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de la Garonne (France) dans la rgion Toulouse-Moissac. Au-del de cette application, le modle plan est ensuite gnralis au cas o la nappe est sujette lintrusion saline.

I-3

PLAN DE LA THESE

La thse est structure de la faon suivante. Le chapitre 2 prsente la fois une tude bibliographique et une introduction aux modles quationnels dvelopps dans les chapitres suivants. En premier lieu, on prsente les quations des coulements densit variable - et saturation variable - en milieu poreux htrognes en 3D et en 2D plan. Ensuite on prsente diffrentes approches de couplage coulement/transport densit variable. Une premire approche de couplage densitaire (non utilise dans ce travail) consisterait coupler le transport advectif diffusif de sel avec lquation dcoulement, en tenant compte notamment de la diffusion du sel. Un second type dapproche (dveloppe dans ce travail) suppose une interface abrupte entre eau douce et eau de mer, en ngligeant la diffusion du sel. Cette dernire approche conduit un modle deux fluides, avec hypothse de non miscibilit des phases fluides eau douce / eau sale. Les diffrentes variantes de ces approches et les hypothses qui en dcoulent sont prsentes et critiques. Finalement, on prsente une classification des codes de calculs utiliss dans la modlisation des coulements densit variable. Dans le chapitre 3, le problme de lintrusion saline est abord en 3D selon lapproche interface abrupte. Les quations dcoulement sont formules comme un problme dcoulement diphasique non miscible 3D, dans lequel linterface nest pas trace explicitement (ce qui vite les problmes de remaillage inhrents aux approches de type traage de surfaces). Ainsi, dans le modle diphasique propos ici, linterface est reprsente implicitement dans les quations dcoulement grce des relations effectives non linaires de type saturation et permabilit relative. Cette mthode, relativement novatrice, est apparente aux travaux de Larabi et de Smedt (1997), Sbai (1999), et Aharmouch (2004), qui utilisent aussi des coefficients non linaires pour reprsenter linterface ; cependant, notre mthode diffre dans la formulation prcise et rigoureuse du problme (condition dynamique linterface) et dans la dtection et le traitement numrique dun problme danti-diffusion localis linterface, qui est inhrent au modle quationnel pseudo-diphasique propos. Cette mthode est ensuite teste en coupe verticale (x,z) et compare des solutions analytiques du problme de Van der Ver et Glover ( interface abrupte) et, plus qualitativement, une solution numrique du problme de Henry (1964) (qui tient compte de la diffusion de sel). Le chapitre 4 porte sur ltude de leffet de lhtrognit stochastique dun aquifre ctier sur lintrusion saline, et notamment, sur la distribution spatiale de linterface eau douce / eau sale Z(x,y). Le modle - appel SWIM2D - est une version spatialement distribue du modle classique dinterface abrupte de Ghyben-Herzberg, avec coulement plan deau douce, et coin sal quasi-statique. Ltude stochastique de linterface saline Z(x,y) est prsente sous la forme de deux publications. Dans la premire publication, une reprsentation spectrale Fourier-Wiener-Khinchine est applique lEDP stochastique rgissant lcoulement plan deau douce - et lintrusion saline quasi-statique. A partir de cette tude on obtient une solution analytique de lincertitude de la position de linterface, fonction de la structure et du degr de variabilit du rservoir poreux. Cette solution analytique est confronte des simulations numriques dans des milieux moyennement fortement htrognes. Dans la deuxime publication, les aspects numriques lis la modlisation des milieux fortement htrognes sont dvelopps : notamment la mthode de continuation utilise pour la modlisation des milieux fortement htrognes, et applique ici au problme de lintrusion saline. Dans le Chapitre 5, on sest intress un autre type de couplage, les interactions surface/souterrain , en prsence ou non de lintrusion saline. Les quations dcoulements plans (x,y) pour les eaux de surface sont dveloppes avec les diffrentes simplifications possibles. Ensuite une analogie est montre entre les quations deau de surface et les quations de Boussinesq,

Introduction

10

ainsi quavec les quations plus gnrales des milieux macroporeux perte de charge quadratique (Ward-Forchheimer). Puis une procdure de couplage surface/souterrain est dveloppe. Le modle coupl est ensuite appliqu, en premier lieu, des cas simplifis (mandres rectangulaires, etc.). Enfin la mthode est applique lcoulement dans une partie de la valle alluviale de la Garonne au niveau de Monbqui, entre les villes de Toulouse et Moissac. Pour faire cette simulation, un modle numrique intgrant le fond de la rivire et la topographie tait indispensable. Ainsi une mthode pour lobtention dun modle intgr numrique de terrain (MINT) partir dun nombre limit de sections de rivires est galement labore et appliqu au site Garonne . Dans le chapitre 6 les conclusions majeures, les rsultats et les perspectives dcoulant de ce travail sont prsents.

Modlisation des coulements densit variable

11

Chapitre II MODELISATION DESECOULEMENTS A DENSITE VARIABLE


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TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE IIII 1 Notions de base ________________________________________________________ II - 1.1 Volume Elmentaire Reprsentatif (VER)_________________________________ II - 1.2 Dfinitions _________________________________________________________ II - 1.3 Notion de charge hydraulique __________________________________________ II - 2 Ecoulement en milieu poreux_____________________________________________ II - 2.1 Equation de conservation de masse ______________________________________ II - 2.2 Equation de conservation de la quantit de mouvement Loi de Darcy __________ II - 2.3 Critiques et limitations de la loi de Darcy _________________________________ II - 2.4 Ecoulements 3D variablement saturs densit constante ____________________ II - 2.5 Ecoulements 3D saturs densit constante _______________________________ II - 2.6 Ecoulement 2D en nappes densit constante- Dupuit _______________________ II - 2.7 Mthodes de rsolution numrique ______________________________________ II - 3 Modlisation des coulements densit variable _____________________________ II - 3.1 Densit et concentration _______________________________________________ II - 3.2 Approches avec zone de mlange (diffusion) ______________________________ II - 3.3 Approches avec interfaces abruptes (sans diffusion) _________________________ II - 3.4 Discussions sur les approches de modlisation _____________________________ 13 13 13 14 15 15 16 17 17 21 21 23 24 24 24 29 35

II - 4 Classification des modles hydrogologiques ________________________________ 35


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II - 1

NOTIONS DE BASE

Dans les paragraphes suivants les quelques notions de base qui interviennent dans la description des coulements en milieux poreux seront prsentes.

II - 1.1 Volume Elmentaire Reprsentatif (VER)Un volume lmentaire reprsentatif est un volume pour lequel les proprits caractristiques moyennes (comme la porosit, la permabilit dans le cas dun milieu poreux) peuvent tre dduites. En ralit un milieu poreux est constitu de graines solides et vides pour lesquelles il nest pas possible dattribuer des notions comme la porosit et la permabilit qu partir dune chelle suprieure de plusieurs ordres de grandeur lchelle des pores. Le choix du VER doit donc rpondre aux critres suivants (de Marsily 1994) : Le VER doit contenir un grand nombre de pores afin davoir une moyenne globale significative ; Le VER doit tre suffisamment petit pour que les variations des proprits dun domaine au domaine voisin puissent tre approches par des fonctions continues pour pouvoir introduire lanalyse infinitsimale, sans introduire derreur dcelable par les instruments de mesure lchelle macroscopique.

Daprs les critres ci-dessus, un VER dpend non seulement de la structure du milieu poreux, mais aussi des phnomnes physiques tudis. Un VER doit tre assez grand pour reprsenter la structure du milieu poreux, mais aussi petit pour que les variations des proprits, parfois nonlinaires (teneur en eau), soient continues. Une telle dfinition applique lhydrogologie, est srement subjective car lhtrognit existe toutes les chelles dun milieu poreux naturel, et plusieurs hypothses de modlisation existent pour chaque problme.

II - 1.2 Dfinitions Porosit : rapport du volume des vides au volume total Vt du sol

=

Vvide Vt

(2.1)

Teneur en eau volumique (m3 /m3) : rapport du volume de l'eau Veau contenue dans les pores (ou vides) du sol, au volume total Vt du sol considr :

0 hb

Modle 4 paramtres : s , d , hb , b.

Modle 4 paramtres : s , d , , n. Modle 3 paramtres : s , hb , b. Modle de Brooks et Corey, priv du paramtre d . Modle 5(ou 4) paramtres : s , d , m, n, . m = 1 : modle de Brutsaert ; m = 1 - 2/n : modle de Burdine ; m = 1 - 1/n : modle de Mualem.

h < hb h > hbm

Van Genuchten (1980)

d 1 = n s d 1 + ( h )

Modlisation des coulements densit variable Exponentiel

20

d = e ( hh ) s db

= so : -

h < hb h > hb

Modle 4 paramtres : s , d , , b. Modle apparent au modle K(h) exponentiel de Gardner et de Rijtema.

le paramtre hb ou -1/ (ngatif) est un facteur d'chelle, li la pression d'entre d'air audessus de laquelle le sol est pratiquement satur ( s ). Il reprsente aussi la hauteur de la frange capillaire se dveloppant au-dessus des zones satures en eau. Cette frange correspond peu prs l'intervalle de pression prsentant un palier significatif de teneur en eau. le paramtre b ou 1/(m.n) (positif) est un facteur de forme adimensionnel indiquant la rapidit de la cintique de transition entre l'tat satur et l'tat sec en fonction dune variation de pression.

-

Pour plus de dtails sur linterprtation de ces paramtres, voir Ababou (1991, Chap.4). II - 2.4.4 Modles de K { (h) }

La conductivit hydraulique dpend de ltat de saturation du sol, et donc de la pression. Lorsque lhumidit du sol augmente, les forces capillaires deviennent plus faibles et les particules du milieu poreux rsiste moins lcoulement. La conductivit hydraulique diminue lorsque le milieu se dsature. Sa valeur maximale est obtenue saturation KS . La conductivit hydraulique en coulement variablement satur peut tre dfinie comme le produit de la conductivit saturation KS et de la conductivit relative KR par analogie avec le cas des coulements diphasiques non miscibles :

K ( ) = K S K R ( )

(2.23)

La conductivit relative KR varie entre 0 et 1. Les courbes Kr(h) sont dfinies partir des modles Kr(Se) ou Kr(q) en utilisant un des modles empiriques de (h). Les modles les plus connus de Kr(Se) sont des fonctions puissances. Ils reprsentent le milieu poreux comme des tubes capillaires en parallles. Parmi les modles de Kr(h) on peut citer le modle de Childs et Collis-George (1950) (voir q. (2.24)), le modle de Burdine (1953) (voir q. (2.25)), et le modle de Mualem (1976) (voir q. (2.26)).

K r(Se ) = Se

n CCG

S e [S e S e ] d S e h(S e )2 0 n B +1

1 [1 S e ] d S e h(Se )2 0 1

1

(2.24)

K r(Se ) = Se

Se dS e 1 dS e 2 2 0 h(Se ) 0 h(Se ) Se dS e 0 h(S e ) n 12

(2.25)

K r (Se ) = Se

nM

0

1

dS e h(S e ) 2 n m

2

(2.26)

Le modle K(Se) de Mualem (1976) associ au modle Se(h) de Van Genuchten (1980) donne:

[1 ( h ) K (h) =r

[1 + ( h ) ] [1 + ( h ) ]n m/2

]

(2.27)

avec la relation : m = 1 - 1/n.


21

Le mme modle de K(Se) (Mualem 1976) associ cette fois-ci au modle Se(h) de Brooks et Corey (1964) donne:

h K r (h) = b h

2 + 2 ,5 / b

(2.28)

II - 2.5 coulements 3D saturs densit constanteDans le cas de milieux poreux compressibles compltement saturs (h > 0), l'quation d'coulement est crite en termes de la charge hydraulique ou potentiel total H = h + gB x, somme du potentiel de pression et du potentiel gravitaire. Elle peut tre dduite des quations prcdentes et des coulements variablement saturs, avec h > 0 :

S s (x )o : Ss

H = .[K s ( x )H ] + Qs t

(2.29)

: storativit spcifique (m-1 ) qui traduit la compressibilit de leau et de la matrice solide ;

Ksxx : tenseur de conductivit hydraulique (m/s) saturation (h > 0) dans le repre principal d'anisotropie (Ox,Oy,Oz). K= Ksyy Kszz L'quation (2.29) est linaire et parabolique (elliptique si le terme de storativit spcifique Ss = 0).

II - 2.6 Ecoulement 2D en nappes densit constante- DupuitDans le cas de modlisation grande chelle ou de modlisation stochastique Monte carlo qui demande beaucoup de ressources, lutilisation de lapproximation de Dupuit, lorsquelle est applicable est une bonne alternative. L'approximation de Dupuit revient intgrer verticalement les quations dcoulement (ou orthogonalement aux pontes de l'aquifre). Lhypothse principale est que les coulements sont considrs quasi-horizontaux. Ces hypothses sont assez bien satisfaites loin des exutoires (sources, rivires, surfaces de suintement, etc.) ou des lignes de crte (plans de flux nul). Elles se justifient, d'une part par le fait que les nappes tudies ont une extension horizontale de la dizaine la centaine de kilomtres, bien suprieure leur extension verticale (de l'ordre de la dizaine la centaine de mtres), et d'autre part par le fait que les aquifres sont une superposition de couches dont le pendage est faible, de l'ordre de 1 quelques 1 %. Tout concourt donc pour laisser un rle secondaire la coordonne verticale de l'espace et remplacer le problme 3D par un problme 2D. L'quation des coulements rsultante est appele quation de Boussinesq des coulements plans. La rsolution de cette quation 2D peut se faire sur de trs larges systmes et ne demande comme principales entres que la distribution verticalement intgre des conductivits et porosits efficaces (pour les nappes libres), obtenues gnralement lors des essais de pompage dans les nappes. II - 2.6.1 Equations en coulements 2D plans en nappes libres

Ces quations correspondent, sous forme verticalement intgre, des coulements saturs de type Darcy, comportant une surface libre au-dessus de laquelle le milieu est suppos sec (sans coulement interne). Les hypothses de base sont : (i) coulements quasi-plans (x,y), (ii) vidange et remplissage instantans de la porosit efficace au cours des mouvements de la nappe.


22

La loi de comportement de Darcy exprime le dbit spcifique Qs (en m3/s/m), ou bien la densit de flux q (en m3/s/m2 ), comme suit :

Qs = q = K s ZsL'quation de conservation de masse scrit :

(2.30)

eavec : e = s - d = Zs - Zinf

Z s = div[Q s ] = div[q] t

(2.31)

Ksxx Ks = Ksyy

: porosit efficace de l'aquifre pour une nappe libre (m3/m3) ; : tirant deau, puissance ou paisseur de la nappe (m), depuis le toit du substratum de cote Zinf jusqu' la surface libre de cote Zs ; : tenseur de conductivit hydraulique saturation dans le repre principal d'anisotropie (m/s).

Nous en dduisons lquation dcoulement :

e

Zs = div[K s Zs ] t

(2.32)

Nous pouvons aussi reformuler cette quation en faisant apparatre le tirant deau comme seule inconnue :

e

= div[K s ] + div[K s Z inf ] t

(1)

(2.33)

o lon a, dans le cas gnral dune nappe phratique dans un aquifre htrogne et substratum variable : = (x,y,t) = Zs (x,y,t) - Zinf (x,y), Ks = Ks (x,y), e = e (x,y). L'quation (1) est non linaire, de type parabolique. Elle fait apparatre la composante gravitaire de l'coulement sous la forme d'un terme d'advection (2me terme de droite), s'ajoutant aux effets de diffusion hydraulique (1er terme de droite). Lorsque le plancher de la nappe est horizontal, l'coulement est diffusif pur. L'quation (1) suppose que la charge hydraulique totale H est constante sur une verticale et gale la cte Zs de la surface libre. On considre aussi et que la porosit e et la conductivit Ks sont galement constantes sur une verticale, ou faiblement variables autour d'une valeur moyenne. Cependant, nous pouvons aussi trouver (1) sous la forme :

e

= div[T ] + div[T Z inf ] (2) t

(2.34)

o T = T(x,y,t) est la transmissivit hydraulique (m2 /s), souvent prfre la conductivithydraulique par les hydrogologues, et dfinie par :

T=

Zs

K

s

dz , avec cette fois, Ks = Ks (x,y,z)

(2.35)

Zinf

Lorsque les variations temporelles de la surface libre Zs sont ngligeables par rapport la valeur moyenne de l'paisseur = Zs - Zinf , ou lorsque la rpartition verticale de Ks est telle qu'elle entrane de faibles variations temporelles de T, alors T = T(x,y) et l'quation (2) devient linaire.


23

II - 2.6.2

Equations en coulements 2D plans en nappes captive

Une nappe captive est une couche aquifre entirement sature en eau, confine entre 2 couches appeles pontes, impermables (aquicludes) ou faiblement permables (aquitards), et dans laquelle la charge hydraulique totale H de l'eau est suprieure la cote du toit Zsup de la nappe. De plus, la compressibilit de l'eau ( = (x,t)) et du milieu poreux (e = e (x,t)), pores et grains solides compris ne sont cette fois pas ngligs. Cependant, bien que le milieu poreux soit compressible, sa vitesse de dplacement est nglige par rapport celle de l'eau. L'quation des coulements en nappe captive s'crit :

Savec : S

H = div[K s ( Zsup Z inf ) H ] (3) t

(2.36)

H

Ksxx Ks = Ksyy

: coefficient d'emmagasinement de la nappe captive (m3/m3), obtenu par intgration verticale du coefficient d'emmagasinement spcifique Ss (m-1) qui tient compte de la compressibilit de l'eau et du milieu poreux ; : charge hydraulique totale (m) moyenne sur l'paisseur sature Zsup - Zinf ; : tenseur de conductivit hydraulique saturation dans le repre principal d'anisotropie (m/s), situ dans le plan des pontes.

Dans le cas gnral dune nappe confine en aquifre htrogne et plancher et toit variables, nous avons : S = S(x,y), H = H(x,y,t), Ks = Ks (x,y), Zsup = Zsup (x,y), Zinf = Zinf (x,y). L'quation (3) est de type parabolique, linaire en raison de la transmissivit constante

T(x, y) = Ks [Zsup - Zinf ]II - 2.7 Mthodes de rsolution numrique

(2.37)

Lapplication des mthodes numriques permet de remplacer une quation aux drives partielles ou un ensemble dquations aux drives partielles, par un systme dquations algbriques ou un ensemble de systmes dquations algbriques. La rsolution de lquation originelle se rsume alors la rsolution du systme dquations obtenues par application de ces mthodes. Pour ce faire, plusieurs mthodes efficaces existent, et diffrent principalement par la manire avec laquelle sont obtenus les systmes dquations algbriques quivalentes et parfois aussi de lapproche du problme. Les mthodes numriques sont principalement bases sur les diffrences finies ou les lments finis. Une introduction la modlisation numrique en hydrogologie est disponible dans bon nombre de livres de base tels que ceux de Bear et Verruijt (1987), Kinzelbach (1986), Wang et Andersson (1982), et dans dautres travaux spcialiss tels que ceux de Celia et Gray (1992), Istock (1989), Gray (1984), Lewis et Roberts (1984), Narasimhan (1984) et Huyakorn et Pinder (1983). Dautres mthodes numriques sont aussi utilises telles que les diffrences finies intgres (volumes finis) ou la mthode de lquation de lintgrale de la frontire (boundary integral equation method) (Liggett et Liu, 1983).


24

II - 3 MODELISATION DES ECOULEMENTS A DENSITE VARIABLE II - 3.1 Densit et concentrationLa densit intervient comme variable dans les quations d'coulement en milieux poreux. Or la densit dpend aussi de plusieurs autres variables comme la temprature (T), la pression (p), et la concentration (Ci) des diffrents constituants du fluide.

= f (Ci, p, T )

(2.38)

Cette interdpendance lorsqu'elle ne peut pas tre nglige, nous mne considrer le couplage densit variable. Ces problmes appliqus aux milieux poreux sont rencontrs dans diffrents systmes naturels et industriels en hydrogologie (ou hydrologie souterraine), en gophysique, en gnie de rservoir, en gnie nuclaire, et en gnie de matire. Les applications varient du transport des polluants denses, l'intrusion saline en aquifres ctiers, l'infiltration de lixiviat dans les dcharges et le stockage des dchets industriels, la conception des systmes de chauffage gothermique, la convection dans les couches de neige, et tant d'autres (Dierch et Kolditz, 2002). La mme analyse peut tre faite sur la viscosit cinmatique qui varie en fonction de la concentration, mais son effet est ngligeable dans les problmes qui nous intressent (II - 3.2.2). L'un des problmes majeur en hydrogologie sujet l'coulement densit variable est l'intrusion saline. En fait lintrusion de leau de mer dans les aquifres deau douce est un phnomne naturel qui se produit dans les zones ctires. Dans une configuration classique dintrusion saline leau douce glisse sur leau sale plus lourde dont la densit est suprieure 1022 kg/m3. Leau sale forme ainsi un biseau dans laquifre deau douce. A ce phnomne vient sajouter leffet du pompage dans les aquifres ctiers. Dans cette configuration une zone sale de forme conique ce forme au niveau du puits (Diersch et al. 1984, Diersch et Nillert 1990, Reilly et Goodman 1987 et Holzbecher 1995). Deux familles de modles dont chacune intgres plusieurs variantes sont utilises pour la modlisation des coulements densit variable applique l'intrusion saline : La premire repose sur les quations couples du transport et d'coulement des fluides miscibles. Parmi les travaux de recherche qui ont utilis cette mthode on peut citer : Segol et al. 1975, Huyakorn et al. 1987, Frind 1982, Voss (1984,1999), Voss et Souza (1987), Putti et Paniconi (1995), Diersch (1988), Kolditz et al. (1998). Cette mthode a vu un fort dveloppement avec l'augmentation de la performance et de la capacit des calculateurs depuis une 20 anne. Diersh et Kolditz (2002) prsentent un tat de lart de cette mthode. La seconde considre deux fluides non-miscibles avec une interface abrupte les sparant. Plusieurs formulations existent pour cette approche. Certaines sont bases sur les modles de suivis dinterface. Dautres ressemblent aux coulements multiphasiques en milieux poreux. Dans le cas o la zone sale est quasi statique, l'hypothse de Badon-Ghyben (1888) et de Herzberg (1901) est applique. Nous utiliserons cette approche pour dvelopper notre modle 3D d'intrusion saline. Les deux approches seront prsentes dans les deux sections suivantes.

II - 3.2 Approches avec zone de mlange (diffusion)II - 3.2.1 Equation de transport en milieux poreux

Les modles mathmatiques du transport de sels dans les milieux poreux sont bass sur les travaux de Henry (1959) et Bear (1972, 1979). L'approche consiste coupler l'quation d'coulement et de transport l'aide dune quation d'tat qui relie la densit du solut la concentration du solut dans la solution. L'quation de transport dcrit trois mcanismes de transport : la convection la diffusion et la dispersion (voir figure 2.3) :


25

ladvection est le mcanisme de dplacement du solut par le fluide : la diffusion exprime le flux du solut dune rgion de forte concentration une rgion de faible concentration due au mouvement Brownien des ions et molcules. En condition permanente et en cas de faible gradient de concentration, ce phnomne est dcrit par la loi linaire de Fick : la dispersion est le mcanisme de diffusion du panache de concentration, dans la direction et travers lcoulement due lhtrognit prsente toutes les chelles. La dispersion conduit une uniformisation du front de concentration.

L'quation de conservation de masse de solut est donne par:

( C ) = jadv jdiff + Q s C s to

(2.39)

jadv est le flux adjectif ; jdiff est le flux diffusif rsultant de la diffusion molculaire et la dispersion ; Cs est la concentration des termes sources ; Qs est le flux des termes sources.

L'introduction des lois phnomnologiques dans l'quation de conservation de masse de solut donne l'quation suivante :

( C ) = V C + ( D C ) + QC s to V est le vecteur de vitesse effective en [L/T] et D le tenseur de dispersion

(2.40)

C

Advection

X C Advection et diffusion

X Advection, diffusion et dispersion C

X

Fig. 2.3. Reprsentation 1D des diffrents processus intervenant en transport. En dveloppant cette quation on obtient :

( ) C = ( V ) V C + ( D C ) + QC s +C t t

(2.41)

On multiplie l'quation de conservation de masse de l'coulement par C :


26

C

( ) = C.( q ) + C S QS t

(2.42)

Enfin on soustrait l'quation (2.42) de l'quation (2.41) :

C = V C + ( D C ) + Q (C s C ) t

(2.43)

Les coefficients de dispersion du tenseur de diffusion sont obtenus par une des mthodes suivantes : Model gomtrique (Taylor et Aris) :

Dans ce modle, les coefficients sont obtenus pour une configuration simple, dterministe. Par exemple, dans un milieu constitu de cylindres, le coefficient de dispersion Dii est donn par : o coulement parallle aux cylindres :

D xx = 0 .002 Pe 2 Dmo coulement perpendiculaire aux cylindres :

(2.44)

D xx = 0 .07 Pe 1.7 Dm V L Dm

(2.45)

o Pe est le nombre adimensionnel de Peclet qui exprime le rapport entre la convection force (advection) et la diffusion molculaire. Le nombre de Peclet est donn par :

Pe =

(2.46)

o V est la vitesse moyenne dcoulement [L/T] et L une longueur caractristique [L] Mthode stochastique de changement dchelle (ou Method of Volume Averaging) :

Dans les mthodes de changement dchelle, les proprits macroscopiques sont calcules pour plusieurs configurations dhtrognit partir de changement dchelle (Dagan 1982, Gelhar et Axness 1983). Les rsultats obtenus prennent la forme du modle de puissance :

D xx = a Pe b Dm Modle statistique (Bear 1961, Scheiddegger 1961) :

(2.47)

tel que 1 < b < 2. Pour des cylindres alatoirement organiss en couches : a=0.7 et b=1.2

Le tenseur de dispersion est donn par :

D = D m I + ( L T )

VV + T V I V

(2.48)

avec Dm la diffusion molculaire effective aprs prise en compte de la tortuosit en [L2/T], I le tenseur unit et L et T les coefficients de dispersivit intrinsque, longitudinale et transversale en [L]. Le coefficient L est dfini dans la direction principale de l'coulement. Il varie de plusieurs ordre suivant le degr d'htrognit du domaine et la longueur de l'coulement (Gelhar 1982). Le coefficient T est dfini suivant la direction transversale la direction principale de l'coulement, Il est plus petit. En pratique on prend T = 0.1 0.01 L. Les composantes du tenseur de diffusion regroupant la diffusion molculaire et la dispersion obtenues par la mthode statistique sont donnes par (Bear 1979):

Modlisation des coulements densit variable2 2 1 vx 1 vy 1 vz + T + T + Dm xx Dxx = L v v v 2 2 1 vy 1 vx 1 vz + T + T + Dm yy D yy = L v v v 2 2 1 vz 1 vx 1 vy + T + T + Dm zz Dzz = L v v v 1vv Dxy = D yx = ( L T ) x y v 2 2 2

27

(2.49)

Dxz = Dzx = ( L T )

D yz = Dzy = ( L T )

1 vx vz v 1 v y vz

v

Dm reprsente la diffusion molculaire et ( xx , yy , zz ) sont les composantes principales dutenseur de tortuosit. Ce modle a t largement tudi dans les travaux de Lever et Jackson (1985), Hassanizadeh (1986), Kolditz et al. (1997) parmi d'autre. II - 3.2.2 Couplage de l'quation d'coulement et de transport

Le couplage se fait l'aide d'une quation d'tat qui relie la densit la concentration et une quation constitutive qui relie la viscosit la concentration. Equation d'tat Les quations d'tat sont les relations entre les variables d'tat d'un systme l'quilibre thermodynamique. La densit est exprime en fonction de la concentration ( temprature constante). Henry (1964), Frind (1982), Huyakorn et al.(1987) et Voss et Souza (1987) donnent la densit en fonction linaire dune densit de rfrence 0 et de la concentration C :

= 0 (1 + c )o :

(2.50)

0 est la densit de leau douce [M/L3]; 0 = s est le contraste de densit [-]; 0 s est la densit concentration maximale [M/L3];c= C est la concentration normalise [-]. Cmax

Kolditz et al. (1996) proposent d'utiliser une loi exponentielle qui permet d'obtenir

= c : C(2.51)

( C ) = 0 e ( C C )c 0

o c est un paramtre qui reste dterminer. Vogel (1995) propose d'utiliser une relation "parfaite", analogue lquation des gaz parfaits :

Cmax Cmax C C + = (c ) 0 max

(2.52)


28

En prenant en compte lquation d'tat linaire (C ) de lquation (2.50) et en linsrant dans l'quation dcoulement (2.16), on obtient :

avec :

p C 1 S S p t + C t + t = ( q ) + QS S p = Ss / f g .

(2.53)

En introduisant maintenant la loi de Darcy, on obtient :

0 C 1 p + = [ K (p g S p t + C t max t

)] + s

QS

(2.54)

En considrant la charge hydraulique de leau douce comme variable d'tat, on obtient enfin :

f h C ( h f ) 1 2 Ss f + 0 + = K h f + z + s Qs f t Cmax t t Effet rtroactif de la viscosit

(2.55)

La viscosit cinmatique varie en fonction de la concentration en sel et de la temprature. Dans notre cas, on considre la viscosit temprature ambiante. Les modles qui donnent la variation de la viscosit en fonction de la concentration c sont de nature empiriques. Herbert et al. (1988) proposent le modle suivant : (2.56) = 1 .002 10 3 (1 + 0 .4819 c 0 .2774 c 2 + 0 .7814 c 3 ) La figure (2.4) montre lvolution de la viscosit cinmatique en fonction de la concentration temprature ambiante. Cette variation est faible pour des faibles valeurs de concentration. Ainsi elle est nglige dans la plus part des situations.2,00E-03 1,90E-03 1,80E-03 viscosit (m /s) 1,70E-03 1,60E-03 1,50E-03 1,40E-03 1,30E-03 1,20E-03 1,10E-03 1,00E-03 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 concentration

Fig.2.4 Variation de la viscosit cinmatique (m2/s) de leau en fonction de la concentration en sels temprature ambiante. II - 3.2.3 Conditions limites

Les trois conditions limites classiques appliques sont les suivantes.

2


29

Condition de Dirichlet : spcification dune concentration la frontire c = f ( x, t ) ; cette condition est applique par exemple la frontire avec la mer, pour un problme dintrusion saline. Condition de Neumann : spcification du flux normal de solut la frontire : Dc n = f ( x, t ) . Condition de Cauchy : cette condition est quivalente spcificier un flux de solut limit par une condition de concentration : ( Dc qc ) n = f ( x, t ) . Mthode de rsolution numrique

II - 3.2.4

La rsolution numrique du systme dquations de transport et dcoulement coupls est un vrai challenge numrique, cause de la non-linarit des deux quations et de leur interdpendance. Dans lquation de transport, la difficult majeure est le calcul du terme de dispersion. Afin de faciliter le calcul, Essink (2001) traite sparment loprateur dadvection et celui de dispersion, avec des mthodes numriques adaptes chacun. Il utilise pour loprateur dadvection une mthode lagrangienne (mthode des caractristiques) tandis quil utilise pour loprateur de diffusion une mthode eulrienne (diffrences finies). Lutilisation des mthodes des caractristiques permet de diminuer les oscillations numriques et la dispersion numrique. Paniconi et Putti (1995) montrent que limportance du couplage et le degr de non-linarit dans lquation du transport dcrot dans le mme sens que le contraste de densit ou lorsque la dispersion devient dominante. Dans les cas de forts contrastes de densits (> 20%), rencontrs dans les problmes de lessivage de dme de sels, Herbert et al. (1988) proposent une technique de paramtrisation graduelle (Parameter stepping) et une interpolation mixte pour le calcul des vitesses. La technique de paramtrisation graduelle est analogue la mthode propose pour la simulation de milieu fortement htrogne que nous proposons dans le Chapitre 4. Dans lquation dcoulement, pour acclrer le calcul numrique, plusieurs approximations sont utilises pour la rsolution du systme d'quations d'coulement et de transport. La premire consiste considrer que la variation spatiale de la densit est plus faible par rapport la variation temporelle (Bear 1972), ce qui donne lapproximation :

( q ) qLa deuxime est l'approximation de OberbeckBoussinesq, qui consiste ngliger la variation de la densit dans l'quilibre de masse ; avec cette approximation, seul le flux de Darcy dpend de la variation de densit. Younes (2003) fait une tude comparative de ces deux approximations et de la solution complte en utilisant des problmes tests classiques. Il conclut que la premire approximation donne le meilleur compromis entre exactitude de la solution et temps de calcul (40% de moins que la solution complte).

II - 3.3 Approches avec interfaces abruptes (sans diffusion)II - 3.3.1 Introduction

Dans lapproche interface abrupte , on considre leau sale et leau douce comme deux fluides non-miscibles spars par une interface : voir figure (2.5). Linterface eau sale / eau douce est une surface impermable en quilibre de pression. Autrement dit, la pression est continue de part et dautre de linterface. Par contre, la densit du fluide est discontinue de part et dautre de linterface. Il sagit donc dun modle deux fluides non miscibles, sans diffusion de sel.


30

zone eau sale

r fa ce abru p

tete in

zone eau douce

Fig. 2.5 Reprsentation du domaine dans l'hypothse d'une interface abrupte. Deux mthodes sont possibles pour la rsolution de lintrusion saline avec une approche de type interface abrupte (voir figure 2.6). La premire est une mthode de suivi dinterface (surface tracking) qui consiste diviser le domaine en deux rgions distinctes dont chacune est associe une quation dcoulement. Ensuite, la solution des deux quations est utilise pour retrouve la position de la surface qui reprsente linterface eau douce / eau sale (Bear, 1999). La mthode de suivi dinterface peut tre applique aussi dans le cas 2D ou quasi 3D. La deuxime mthode, dite multi-phasique, consiste considrer l'eau sale et l'eau douce comme deux fluides non-miscibles spars par une interface, lcoulement de chaque phase fluide tant cependant rsolu dans l ensemble du domaine, de telle faon que la position de linterface est obtenue implicitement la fin de la rsolution du problme. Au niveau de l'interface il n'y a pas de mlange (pas dchange de masse) entre les deux phases fluides. Thoriquement aucune diffusion n'est permise au niveau de l'interface abrupte.

-


31

Modles interfaces abruptes

Approche avec suivi dinterface

Approche Multiphase Sans suivi dinterface

Formulation en 3D

Formulation en 3D Multiphase

Intgration verticaleFormulation quasi 3D (multicouche)

Formulation en 2D

Hypothse de G-HFormulation en 2D (G-H) Formulation en 3D (G-H) Formulation en 3D (G-H)

Fig. 2.6 Les diffrentes variantes et approximations des modles interface abrupte pour la modlisation des coulements densit variable. II - 3.3.2 Approche avec suivi dinterface 3D

Cette approche appartient plus gnralement la famille des approches de suivi dinterface en mcanique des fluides. Elle est prsente par exemple dans Bear et al. (1999) pour le cas de lintrusion saline en milieu poreux (aquifre ctier). Equations dcoulement dans leau douce et leau sale On considre un coulement en milieu poreux satur, tant pour le fluide eau douce que pour le fluide eau sale . Dans chaque fluide, on utilise la loi de Darcy classique pour obtenir les quations dcoulement (coulement monophasique dans chaque zone). Lquation dcoulement dans la zone deau douce est donne par :

S sf ( x )

H f = .[K sf ( x )H f ] + Qsf t H s = .[K s ( x )H s ] + Qss s t

(2.57)

Lquation dcoulement dans la zone deau sale est donne par :

S ss ( x )

(2.58)


32

Equation de linterface sparant les deux fluides Les deux fluides sont spars par une interface abrupte reprsente par une surface. Cette surface de sparation est dfinie par lquation :

F ( x, y , z , t ) = 0

ainsi que par sa vitesse u et par le vecteur normal n tel que :

n=

F F , u F = t F

On dsigne par la position de linterface. A tout instant, la continuit de la pression de part et dautre de linterface donne :

( x, y , t ) = H S (1 + ) H f o =

(2.59)

f s f

reprsente le contraste de densit entre leau douce et leau sale.

La condition de flux nul travers linterface pour la rgion deau douce est donne par :

qf u n = 0 En insrant les diffrentes expressions dans lquation prcdente, on obtient :

(2.60)

H f H s (1 + ) = [K sf ( x )H f ] [z (1 + )H s + H f ] t t

(2.61)

En appliquant le mme calcul pour la zone deau sale, on obtient de mme :

H f H s (1 + ) = [K s ( x )H s ] [z (1 + )H s + H f ] s t tII - 3.3.3 Approche multicouche quasi 3D

(2.62)

Dans ce type dapproche, laquifre est reprsent par un systme multicouche, constitu de couches permables parallles (sub-horizontales) spares par des couches semi-permables ou confinantes. Lcoulement est intgr verticalement dans chaque couche permable, tout en considrant un terme dchange vertical entre les couches. Ce terme dchange provient de lintgration de lquation dcoulement 3D. De plus, lcoulement dans chaque couche est reprsent par deux quations : une pour leau douce et une autre pour leau sale. La position de linterface est dduite de la solution des quations couples dcoulements. Une mthode de suivi dinterface est ncessaire pour dterminer la position exacte de linterface. Lchange vertical entre les couches est implment dune faon empirique et il ne prend pas en compte la diffrence de densit entre les couches. Un terme source vertical dune zone sale se dverse dans une zone deau douce sans prise en compte de la diffrence de densit. Ce type de modle a t propos par Essaid (1990a), et il est implment par exemple dans le code numrique SHARP (Essaid, 1990b). Le modle 2D appliqu dans chaque couche est celui dcrit dans le chapitre IV avec des termes sources qui expriment les changes entre les couches.


33

II - 3.3.4

Approche diphasique 3D

Dans cette section, on prsente les quations dcoulements diphasiques qui rgissent lcoulement de deux fluides non-miscibles et actifs (en mouvement) dans un milieu poreux. Selon le contexte, on considrera soit le cas gnral de deux fluides (mouillant et non-mouillant), soit le cas plus particulier de lintrusion saline deux fluides de densits diffrentes (qui nous intresse plus spcialement ici). Equations de conservation de masse et de conservation de QDM Lquation de conservation de masse scrit, pour chaque phase :

+ q = S (=1,2) tLa loi de Darcy, ou loi de quantit de mouvement dans chaque phase, scrit :

(2.63)

q = ( p ) K ( p c ) [p + gz ] (=1,2) Modles constitutifs K(p) et (p)

(2.64)

Ces modles sont les mmes que ceux prsents dans le 2.4, mais ils doivent tre redfinis ici pour les deux fluides de faon adapte au problme de lintrusion saline (voir Chapitre III). Contraintes physiques o Contrainte capillaire (fluides mouillant et non mouillant) La coexistence de deux pressions diffrentes entre la phase 1 non-aqueuse et la phase 2 aqueuse dans un mme volume est explique par la tension interfaciale. La tension interfaciale est prise en compte dans la pression capillaire qui dpend de la saturation. Lquilibre de pression au sein dun mme volume, en situation stationnaire, nous donne ainsi :

pc = p1 p2 = f ( 2 )avec 1 = phase non aqueuse ; 2 = phase aqueuse o Contrainte de conservation du volume :

(2.65)

Cette contrainte relie la saturation des deux phases la porosit effective du milieu. Elle exprime la conservation de masse au sein dun VER.

= Mthode de rsolution

1

1

+

2

2

(2.66)

Les quations diphasiques peuvent tre formules en pression, en saturation, ou en formulation mixte (pression pour la phase 1 et saturation pour la phase 2). Wu et Forsyth (2001) font une tude comparative pour le choix de la meilleure variable approprie pour les quations de Richards (milieux non saturs), les quations diphasiques et tri-phasiques en milieux fortement htrognes. Ils recommandent lutilisation de la formulation en saturation pour lquation de Richards, une formulation mixte en pression-saturation pour le systme diphasique, et une formulation saturationpression-saturation pour un systme tri-phasique. Lquation de Richards correspond bien un problme diphasique avec deux phases fluides, eau / air, mais avec une seule des deux phases dynamiquement active, leau.


34

II - 3.3.5

Hypothses de Ghyben-Herzberg

Une srie dhypothses permet de simplifier le traitement du problme dintrusion saline dans le cadre de lapproche interface abrupte deux fluides. Ces hypothses ont t initialement proposes par Badon-Ghyben (1888), puis ensuite par Herzberg (1901). Elles peuvent se rsumer ainsi : leau sal et leau douce sont immiscibles (interface abrupte) ; le biseau deau sale est considre comme quasi-hydrostatique ; la nappe deau douce est suppose verticalement hydrostatique (coulements plans).

Dans une configuration comme celle de la figure 2.7, avec un exutoire deau douce suppos rduit un point, le principe de Ghyben-Herzberg permet dobtenir une relation entre h et H :

d g(h + H) = s gH

(2.67)

Cette relation est obtenue en imposant la relation de continuit de pression de part et dautre de linterface douce/sale, et en appliquant les hypothses quasi-hydrostatiques prcdentes dans les deux nappes (douce et sale). On suppose aussi que la pression atmosphrique est constante.

x

L

h mer eau douce interface eau sale H q plancher

Fig.2.7 Aquifre ctier soumis lintrusion saline (la mer est droite). On en dduit la relation entre la profondeur de leau sale (H) et lpaisseur de la lentille douce (h) :

s 0 avec, comme valeur indicative 1 . o est le contraste de densit [-] : = 40 0

H=

h

(2.68)

La relation H = h/ sera modifie plus loin, dans le Chapitre IV, de faon prendre en compte une paisseur verticale non nulle de lexutoire de la nappe deau douce la mer, ce qui est videmment plus raliste quun exutoire de section infinitsimale. En effet, dans ce dernier cas, lexutoire est un point triple singulier triple ; la vitesse de sortie de leau douce la mer y est infinie mme si le dbit de sortie de leau douce reste fini. Finalement, en appliquant lhypothse de Ghyben-Herzberg lun des modles numriques dinterface abrupte (modle de suivi dinterface ou modle diphasique), on voit que lon peut rduire le problme deux quations en un problme une seule quation...moyennant quand mme lapproximation assez restrictive dune zone sale quasi-immobile.


35

Cependant, on verra que la zone sale peut tre volutive (quasi-quilibre volutif), et aussi, que lhypothse dcoulements plans dans leau douce peut tre leve si la continuit de pression linterface (cf. Chapitre III) est applique de faon locale en 3D.

II - 3.4 Discussions sur les approches de modlisationLes critres de convergence des modles de transport en termes de taille de nuds font quils sont inadapts pour des simulations dtailles l'chelle rgionale. Johannsen et al. (2002) montrent que, pour obtenir une convergence au sens des grilles numriques 2, en simulations densit variable, il faut avoir une trs haute rsolution, de plus de 18 millions de nuds pour un cas test 3D de 202020 cm.

II - 4 CLASSIFICATION DES MODLES HYDROGOLOGIQUESIl est difficile dtablir une classification unique des modles hydrogologiques. Les critres sont multiples et les combinaisons entre les options de chaque critre sont nombreuses. Ensuite une classification doit rpondre des objectifs prdfinis dans le cahier de charge du projet de recherche ou dingnierie. Dans le tableau 2.2 on prsente une slection de critres de classifications utilises dans les projets de modlisation des coulements densitaires et des projets de couplage surface/souterrain. Le tableau 2.3 est un exemple de tableau de classification. Ce tableau est celui du projet de recherche SALTRANS. Dans lAnnexe A on prsente une slection de codes numriques adapts la modlisation densit variable (FEFLOW, SUTRA, etc.) et des modles adapts aux coulements coupls surface/souterrain (Mod HMS, MARTHE). Tab 2.2 Slection de critres de classification des modles hydrogologiques. Critres EQUATIONS DECOULEMENT FORMULATION DIRECT/INVERSE DIMENSIONHETEROGENEITE

OPTIONS Satur Non-satur

Charge capillaire : h Simulation directe Profil vertical 1D

Pression : h Problme inverse, optimisation Section verticale 2D 2D plan 3D

Quasi-analytique homogne Couplage fort (voir chapitre 5)

Htrogne Couplage faible

COUPLAGESURFACIQUE

COUPLAGE DENSITAIRE DISCRETISATIONSPATIALE

Advection - diffusion

Interface abrupte

Elments finis Isotherme

Diffrences finies

Volumes finis

Elments analytiques

TRANSFERT CHALEUR

DE

Equations de Fourier couples

2La convergence au sens des grilles numriques signifie que la solution nest pas amliore significativement en raffinant le maillage.

Modlisation des coulements densit variableCOMPOSANTES

36

Pas de composante

Une composante

Multi-composante

CHIMIQUES SOLVEURS Direct Itratif

Tab 2.3 Exemple de classification des modles hydrogologiques utilis dans SALTRANS.Code CODEBRIGHT d3f FEFLOW HYDRUS-2D MOCDENSE MOCDENS3D PSE2D RETRASO ROCKFLOW SALTFLOW SEAWAT SUTRA/SUTRA3D TRANSDENSE AD * * * * * * * * * * * * * EF p p h h p h p p p h h h/p h S/U S/U S/U S/U S/U S S S S/U S/U S S S/U S/U NC 3C 1C 1C MC 2C 1C 1C MC 1C 1C MC 1C 1C NF CV * (*) HT DIM 2/3 2/3 2/3 2 2 2/3 2 2 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3 SD FE FV FE FE AE AE AE FE FE FE FD/AE FE FE

*

* *

* *

* *

*

AD Advection-Dispersion model EF Equation Formulation in terms of h = head, p = pressure S/U Saturated/Unsaturated NC Number of Components, MC = Multicomponent NF Non-Fickian dispersion CV Consistent Velocity approximation HT Heat Transport DIM Dimensions SD Spatial Discretization, FE = Finite Element, FD = Finite Difference, FV = Finite Volume, AE = Analytical Element

Dveloppement dun modle 3D dintrusion saline avec interface abrupte et zone sale quasi-statique

37

Chapitre III

DEVELOPPEMENT DUN MODELE 3D DINTRUSION SALINE

AVEC INTERFACE ABRUPTE ET ZONE SALEE QUASI-STATIQUE

Dveloppement dun modle 3D dintrusion saline avec interface abrupte et zone sale quasi-statique

38

TABLE DES MATIERES DU CHAPITRE IIIIII - 1 Introduction __________________________________________________________ 39 III - 2 Formulation en 3D de l'intrusion saline avec zone sale quasi-statique__________ 39 III - 2.1 Equations de conservation de masse et de conservation de QDM ______________ 39 III - 2.2 Conditions dynamiques au niveau de linterface ___________________________ 39 III - 2.3 Hypothse dune zone sale quasi-hydrostatique ___________________________ 41 III - 3 Dveloppement et paramtrisation dun modle de proprits hydra

modelisation des ecoulements

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