modélisation de systèmes ayant des réactions chimiques guy gauthier ing. ph.d. sys-823 : Été...
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Modélisation de systèmes ayant des réactions chimiques
Guy Gauthier ing. Ph.D.SYS-823 : Été 2013
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Réactions chimiques
Plusieurs procédés mettent en œuvre des mélanges dans lesquels ont lieu des réactions chimiques.
Réaction réversible Réaction irréversible Réaction endothermique Réaction isothermique Réaction exothermique
3
Vitesse de réaction
La vitesse de réaction k par unité de volume est habituellement une fonction de la concentration des composantes.
La concentration des composantes est exprimée en moles par unité de volume.
La vitesse de réaction est en moles par unité de volume par unité de temps.
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Ordre d’une réaction chimique
Soit la réaction suivante:
Vitesse de la réaction chimique:
aA bB cC Coefficient stœchiométrique
A Bv kC C
5
Ordre d’une réaction chimique
Ordre de la réaction chimique est:
Si et , la réaction suit alors la loi de Van’t Hoff.
À ce moment, l’ordre de la réaction est directement la comme des coefficients stœchiométriques.
a b
6
EXEMPLE : RÉACTION A B (D’ORDRE 1)
Réaction non réaliste, mais utile pour introduire des concepts.
7
Exemple: A B
Dans cette réaction chimique irréversible, un mole de produit A devient un mole de produit B.
Assumons que la vitesse de réaction de la composante A est proportion-nelle à la concentration de la composante A:
A Ar kCRéacti
on d’ordre
1
Vitesse à laquelle la composante A disparait
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Exemple: A B
La vitesse de formation de la composante B est identique à la vitesse de réaction de la composante A:
B Ar kCVitesse à laquelle la composante B apparait
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Signification de la constante k
La constante k représente la constante de la vitesse de réaction. Plus k est grand, plus la réaction est vive. Généralement k est une fonction de la
température. Loi d’Arrhénius.
L’unité de cette constante est variable en fonction de l’ordre de la réaction chimique. Pour une réaction d’ordre 1: k exprimée en
(unité de temps)-1.
10
Bilan de la composante A
Équation dynamique de la composante A:
Assumons que Fin = F. Ce qui implique que le volume est
constant.
Ain Ain A A
d VCF C FC VkC
dt
11
Avec cette hypothèse
On a donc:
Que l’on peut écrire:
AAin A A
dC F FC C kC
dt V V
V/F = taux de renouvellement deliquide dans le réservoir
(ou taux de dilution)
AAin A
dC F FC k C
dt V V
12
Bilan de la composante B
Équation dynamique de la composante B:
Que l’on peut écrire (V = contante):
BB A
d VCFC VkC
dt
BB A
dC FC kC
dt V
13
En régime permanent
Après un certain temps, les concentrations des composantes A et B se stabiliseront:
0 Ain A
F FC k C
V V
0 B A
FC kC
V
14
En régime permanent
Donc on obtient:
Les concentrations sont fonction du rapport F/V et de la vitesse de réaction k.
Ain
Ass
FC
VCF
kV
AssBss
kCC
FV
15
Que l’on peut réécrire
Comme suit:
Les concentrations sont aussi fonction du rapport kV/F.
1
AinAss
CC
Vk
F
AssBss
kVCC
F
16
En régime permanent
Si V/F près de 0 minute, alors le contenu du réservoir est renouvelé à grande cadence.
Ainsi, le terme kV/F<<1 et CAss s’approche de CAin: La réaction chimique n’a pas assez de
temps pour avoir lieu dans le réservoir.
17
En régime permanent
Si V/F est très très grand, alors le contenu du réservoir est renouvelé très lentement.
Ainsi, le terme kV/F>>1 et CAss s’approche de 0. Le liquide passe tellement de temps
dans le réservoir que la conversion de A vers B est complète.
CBss s’approche de CAin.
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Concentration en fonction de kV/F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
kV/F
CA
ss/C
Ain
19
Régime transitoire
Équation d’état du système:
1 1
2 2 1
F Fx u k x
V V
Fx x kx
V
0F
kV
AF
kV
0
FB V
CA
CB
Système linéaire
Une rareté dans ces systèmes
20
Exemple numérique
F = 1 m3/min; V = 5 m3; k = 1 min-1.
Équation d’état du système:
1 1
2 2 1
0.2 1.2
0.2
x u x
x x x
21
Exemple avec CAin = 10 mol/m3.
Simulink:
1.66667 mol/m3
22
EXEMPLE : RÉACTION A+2B C (D’ORDRE 2)
Allons voir des réactions plus réalistes
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Exemple: A+2B C
Dans cette réaction chimique, on assume que la vitesse de réaction de la composante A est proportionnelle au produit des concentrations des composantes A et B.
Ainsi:
A A Br kC CRéacti
on d’ordre
2
24
Vitesse de réaction
La constante k dépend des produits chimiques A et B.
La vitesse de réaction rA est en mole par unité de volume par unité de temps. Les unités de la constante k sont
ajustés en conséquence.
A A Br kC C
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Réaction isothermique irréversible
Alors, le bilan massique de chaque composante est:
2
AA Ain A out A
BB Bin A out B
CA out C
dVCF C Vr F C
dtdVC
F C Vr F Cdt
dVCVr F C
dt
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Réaction isothermique irréversible
En détaillant les différentielles, on obtient:
3
A AA A Ain A out A
B BB B Bin A out B
C CC A out C
dVC dCdVC V F C Vr F C
dt dt dtdVC dCdV
C V F C Vr F Cdt dt dt
dVC dCdVC V Vr F C
dt dt dt
27
Réaction isothermique irréversible
Et le bilan massique global est:
A B out
A B
dVF F F
dtV
F FA
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Réaction isothermique irréversible
Ainsi:
AA Ain A out A A
A Ain A out A A A B out
A Ain A A A B
dC dVV F C Vr F C C
dt dtF C Vr F C C F F F
F C Vr C F F
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Réaction isothermique irréversible
On obtient donc:
2
A BA AAin A A
A BB BBin A B
A BCA C
A B
F FdC FC r C
dt V VF FdC F
C r Cdt V V
F FdCr C
dt VdV V
F Fdt A
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Réaction isothermique irréversible
Équations d’état:
2 421 1 1 2 1
4 4
2 442 3 1 2 2
4 4
2 43 1 2 3
4
44 2 4
2
u uux u kx x x
x x
u uux u kx x x
x x
u ux kx x x
x
xx u u
A
Dynamique CA
Dynamique CB
Dynamique CC
Dynamique V
F A F B
C Ain
C Bin
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Réaction isothermique irréversible
Le système comporte donc 4 états. 3 concentrations chimiques; 1 volume (ou niveau) dans le réservoir.
Entrées: 2 débits, 2 concentrations;
Sorties: 1 débit et 1 concentrations.
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Exemple #2: Réaction isothermique réversible
Soit la réaction chimique suivante:
2 3A B C
Supposons r
éaction
* d’ord
re 2
* d’ord
re 1
1 1
2 2
A B
C
r k C C
r k C
33
Exemple #2: Réaction isothermique réversible
Alors, le bilan massique de chaque composante est:
1 2
1 2
1 2
2 2
3 3
AA Ain out A
BB Bin out B
Cout C
dVCF C Vr Vr F C
dtdVC
F C Vr Vr F Cdt
dVCVr Vr F C
dt
34
Exemple #2: Réaction isothermique réversible
Et le bilan massique global est:
Hypothèse: Supposons le volume constant.
A B out
A B
dVF F F
dtV
F FA
35
Exemple #2: Réaction isothermique réversible
Ainsi:A B out
VF F F
A
36
Exemple #2: Réaction isothermique réversible
De plus:
1 2
1 2
1 2
2 2
3 3
A BA AAin A
A BB BBin B
A BCC
F FdC FC r r C
dt V VF FdC F
C r r Cdt V V
F FdCr r C
dt V
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Exemple #2: Réaction isothermique réversible
De plus:
3 états, 4 entrées.
1 11 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
1 12 2 4 1 1 2 2 3 1 2 2
13 1 1 2 2 3 1 2 3
2 2
3 3
x V u u k x x k x V u u x
x V u u k x x k x V u u x
x k x x k x V u u x
CA
F A F BC Ain
C Bin
CB
CC
C’est non lin
éaire
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Exemple #2: Réaction isothermique réversible
Une fois linéarisé:
Système stable: Valeurs propres
1 11 2 1 2 1 1
1 12 2 1 1 2 2
1 13 2 1 1 2 3
3 1 1 11
2 4 2 2
3 3
2 2 2
3 3 3
2
0
0
d ss ss ss d ss r
d ss d ss ss ss r
d ss d ss r ss ss
ss ss ss ss
ss ss ss ss
ss ss
x k x V u V u k x k x
x k x k x V u V u k x
x k x k x k V u V u x
u x x u
V x u x u
x x
1
2
3
4
0 0
u
u
u
u
11 2 1 2
11 2
11 2
3 2r d ss d ss ss ss
ss ss
ss ss
k k x k x V u u
V u u
V u u
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Valeurs numériques
Soit les valeurs suivantes: FA/V = 0.5 hr-1; FB/V = 1 hr-1; kd = 5000 x 3600 hr-1; kr = 4000 x 3600 hr-1; CAin = 20 kgmol/m3; CBin = 30 kgmol/m3.
CAss = 0.2479 kgmol/m3
CBss = 10.3790 kgmol/m3
CCss = 3.2145 kgmol/m3
40
QUAND LA CHALEUR EST EN JEU !!!
Quand la réaction n’est plus isothermique
41
Quand la chaleur est en jeu…
… la « constante » k n’est plus constante, car elle dépend de la température. Loi d’Arrhenius
Il est nécessaire d’ajouter un bilan thermique, car de la chaleur est produite ou absorbée.
42
Loi d’Arrhenius
La loi d’Arrhenius permet de mettre en évidence la dépendance de la constante de la vitesse de relation avec la température:
k T A E R T( ) exp
43
Loi d’Arrhenius:
La température T est exprimée en Kelvin;
La constante A est appelée le facteur de fréquence (unité variable en fonction de la réaction);
La constante des gaz parfaits R est exprimée en calories-Kelvin par gramme-mole.
k T A E R T( ) exp
44
Loi d’Arrhenius:
Cette constante R est de 1.987 calories-Kelvin par gramme-mole.
E représente l’énergie d’activation qui se mesure en calories par gramme-mole.
k T A E R T( ) exp
45
Énergie produite ou absorbée
Un bilan thermique doit être ajouté au modèle et comprendra un terme correspondant à l’énergie absorbée ou générée par la réaction chimique.
C’est l’enthalpie de réaction.
46
L’enthalpie de réaction DH
Énergie générée ou absorbée par une réaction chimique.
47
Calcul de l’enthalpie de réaction(combustion du méthane)
Exemple:4 2 2 22 2CH O CO H O
2
2
4
2
393.5
241.8 ( )
74.9
0
CO
H O
CH
O
kJH molekJH gazmole
kJH molekJH mole
48
Calcul de l’enthalpie de réaction
Exemple:
Comme:
Ici:
4 2 2 22 2CH O CO H O
i i j ji jH H H
1 393.5 2 241.8 1 74.9 2 0
802.3
H
kJmol
RéactifsProduits
Chaleur produite
49
Autre exemple:
Réaction:
Enthalpie:
2 2 22 2N O NO
2 33.1 1 0 2 0
66.2
H
kJmol
Chaleur absorbée
50
Loi de Hess:
Réaction:2 2 22 2N O NO
180.64 kJH mol 2 2 2N O NO
2 22 2NO O NO 114.44 kJH mol
66.2 kJH mol
51
Enthalpie de réaction
Le signe (-) implique la production de chaleur; Réaction exothermique;
Exemple de la combustion du méthane.
Le signe (+) implique l’absorption de chaleur; Réaction endothermique.
52
CONTINUOUS STIRRED-TANK REACTOR (CSTR)
Exemple d’un modèle chimique non-isothermique
53
CSTR non-isothermique
Réaction d’ord
re 1
54
Stirred heating tank
Bilan massique:
i i o
dV F F
dt
d
d tV
dV
dtV
d
d t
On assume la masse volumique
constante
55
Stirred heating tank
Si on assume Fi = Fo = F et ρi = ρ, alors:
Donc, le volume de liquide reste constant.
d
d tV
dV
dt 0
56
CSTR non-isothermique
Équilibre de la masse de la composante A:
d
d tV C F C F C kV CA i A i o A A
d
d tV C C
dV
dtV
dC
dtA AA
Car volume
constant
57
CSTR non-isothermique
Puisque Fi = Fo = F , alors:
VdC
dtF C F kV CA
A i A
C k C CA A A i
1 1
dC
dt
F
VC
F
Vk CA
A i A
58
CSTR non-isothermique
Équilibre énergétique :
Puisque Fi = Fo = F; masse volumique et chaleur spécifique constantes:
*
* *
p
i p i o p c A
dVC T T
dt
FC T T F C T T Q H kVC
V CdT
dtF C T T Q H kV Cp p i c A
Chaleur produite
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CSTR non-isothermique
Alors : dT
d t
F
VT
H k
CC
F
VT
Q
V CpA i
c
p
T T kC TA i 1 1
60
Formule d’Arrhenius
Relation entre la température et la constante de réaction :
Conséquence :
k k e E R T 0
T T k e C TE R TA i 1 1
0
C k e C CAE R T
A A i
0
1 1
Relations non-linéaires fonctions de T et CA
61
Refroidissement par une chemise de refroidissement
Chaleur retirée du réservoir :
jp
UAT T
C V
62
En régime permanent
CA et T deviennent constants, ainsi :
f C T T k e C TAE R T
A i2 001 1
,
f C T k e C CAE R T
A A i1 001 1
,
Système non-linéaire !!!
63
Paramètres du système
Soit ces paramètres :
3
10
1
14825 3600
11843
500
1
kcalkgmol
kcalp m K
k hr
E
C
F V hr
3
3 .
5215
25
10
/ 250
kcalkgmol
i
kgmolai m
kcalm C hr
H
T C
C
UA V
20jT C
64
Points d’opération :
Premier point: Concentration = 5.1303 kg.mol/m3; Température = 337.76 K;
Second point: Concentration = 8.1540 kg.mol/m3; Température = 309.16 K;
65
Trajectoires dynamiques :
Condition initiale près du 1er point:
Inst
abl
e
66
Trajectoires dynamiques :
Condition initiale près du 2e point:
Stab
le
67
Trajectoires dynamiques :
Valeurs propres matrice A: Premier point
-0.42, 0.0
Second point: -0.7632 +/- j 0.2388
68
Points d’opération (Tj = 30°C):
Un seul point: Concentration = 6.0679 kg.mol/m3; Température = 327 K;
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Trajectoires dynamiques :
Condition initiale au hasard:
Stab
le
70
Trajectoires dynamiques :
Valeurs propres matrice A: -0.4314 +/- 0.0228i
Le nombre de points d’opération change avec la température Tj.
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Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Soit la réaction chimique suivante:
Qui produit en même temps de l’énergie. Équations pour prendre en compte
l’énergie doivent être ajoutées.
A B C
72
Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Si le volume et la masse volumique sont assumés constant, alors le bilan massique global est:
0A B out
A B out
d VF F F
dtF F F
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Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
…et, le bilan massique de chaque composante est:
AA Ain A out A
BB Bin A out B
CA out C
dVCF C Vr F C
dtdVC
F C Vr F Cdt
dVCVr F C
dt
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Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Mais, puisque le volume est assumé constant:
A A A BAin A A
B B A BBin A B
C A BA C
dC F F FC r C
dt V V
dC F F FC r C
dt V V
dC F Fr C
dt V
75
Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Voici le bilan énergétique:
Assumons: masse volumique constante, volume constant et coefficient de chaleur spécifique constant…
( )pA A pA Ai B B pB Bi
c A B
d VC TF C T T F C T T
dtQ H kVC C
Et identique pour les deux produits !
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Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Que l’on réécrit:
A BAi Bi
cA B
p p
F FdTT T T T
dt V VH kQ
C CC V C
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Exemple #3: Réaction exothermique irréversible
Que l’on modifie à:
A B A BAi Bi
cA B
p p
F F F FdTT T T
dt V V V
H kQC C
C V C
78
Paramètres
3
10
1
9703 3600
11843
500
1
kcalkgmol
kcalp m K
k hr
E
C
F V hr
3
3 .
5960
25
10
/ 150
kcalkgmol
i
kgmolai m
kcalm C hr
H
T C
C
UA V
25jT C
79
Points d’équilibre
8.5636 311.1710 stable
2.3589 368.0629 stable
5.5179 339.0971 instable (point de selle)
80
300 310 320 330 340 350 360 370 380 3901
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Température (kelvin)
Co
nce
ntr
atio
n (
kg.m
ole
/m3)