modélisation de phénomènes collectifs en sciences...
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Cogmaster - CS
Modélisation de phénomènes collectifs en sciences économiques et sociales
Jean-Pierre NadalLaboratoire de Physique Statistique de l’ENS
etCentre d’Analyse et de Mathématique Sociales, EHESS
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CAMSDe l’individuel au collectif
• Les systèmes étudiés donneront l’occasion d’introduire des concepts et outils adaptés à l’analyse du passage d’un niveau « microscopique »(description des agents et de leurs modes d’interaction), à un niveau « macroscopique » (description du comportement collectif).
• Exemples de domaines d’application : théorie économique, modélisation en neurosciences, physique statistique :
Caractéristiques des unités élémentaires
Interactions Niveau collectif
règle d’activation des neurones
poids synaptiques psychophysique : mémoire associative
préférences des agents influences sociales(« externalités »)
marché :prix d’équilibre
modèle de spins(moments magnétiques)
interactions thermodynamique :ferromagnétisme
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CAMSDe l’individuel au collectif …et vice versa
• A l’inverse on peut étudier comment le niveau « macroscopique »(contexte écologique, organisation sociale) influence le niveau « microscopique » : par exemple, on peut se demander quel niveau de cognition individuelle est indispensable pour rendre possible tel ou tel type d’organisation sociale.
• Exemples : mécanismes de co-évolution cognition individuelle / organisation sociale ; adaptation de la structure du système nerveux àl’environnement visuel.
• Voir le cours de Jean-Louis Dessalles sur l’émergence et l’évolution de la coopération et du langage
• Dans ce cours, on ne s’interessera qu’au premier aspect, de l’individuel au collectif.
CAMS
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Qui se ressemble s’assemble(modèles de Schelling, Axelrod, Hopfield)
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CAMSplan
• Introduction
• T. C. SchellingSégrégation résultant de préférences faiblesIllustration : simulations « multi-agents »
• R. AxelrodFormation de coalitionsApplication : coalitions avant la 2nde guerre mondiale
• J. J. Hopfieldmodèle de mémoire associative
cas particulier : équivalence avec un modèle de spins d’Ising (ferromagnétisme)
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CAMSintroduction
• Réseau d’un (généralement) grand nombre d’unités (‘agents’ selon la terminologie des économistes et des informaticiens) (individus, pays, entreprises, neurones,...) en interaction :le choix de chacun est influencé par celui de ses voisins, et réciproquement.
• « réseau » : décrit les voisinages (qui interagit avec qui), et la nature des interactions.
• « Qui se ressemble s’assemble » : nous allons considérer dans ce cours des situations où les interactions favorisent le regroupement d’agents aux caractéristiques similaires.
Les trois exemples considérés - ségrégation (Schelling), formation de coalitions (Axelrod), mémoire associative (Hopfield) - sont, sur le plan formel, intimement reliés.
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CAMSSégrégation
Modèle de ségrégation avec préférences faiblesexemple pris par Schelling (1971, 1978): ségrégation blancs/noirs
Hypothèse : chaque individu accepte un voisinage majoritairement différent de lui,à condition de ne pas être trop minoritaire.
Modèle particulier : deux types d’agents, les bleus et les rouges ;sur un damier, chaque habitant a 8 voisins au plus (un par case voisine).Règles de comportement - chaque agent considère que :
en présence de 6 à 8 voisins, il reste si au moins 3 voisins sont de sa couleuren présence de 3 à 5 voisins, il reste si au moins 2 voisins sont de sa couleuren présence de 1 ou 2 voisins, il reste si au moins 1 voisin est de sa couleurdans tous les autres cas, il déménage pour un autre endroit pris au hasard.
Références et travaux récents autour de ce modèle :
http://gemas.msh-paris.fr/dphan/segregationSchelling.htm
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CAMSThe prehistory of multi-agents simulations…
A self-forming neighborhood model Thomas C. Schelling, 1971
« Some vivid dynamics can be generated by any reader with a half-hour to spare, a roll of pennies and a roll of dimes, a tabletop, a large sheet of paper, a spirit of scientific inquiry, or, lacking that spirit, a fondness for games. »
T C Schelling, in From micromotives to macrobehavior (Norton & Cy, 1978)
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CAMSSégrégation (Schelling, suite)
Variante : « bounded-neighborhood model »
Hypothèses : - deux types d’agents, les bleus et les rouges ;- voisinage global : par exemple un quartier (ou une ville, un club, …)- chaque individu a son propre seuil de tolérance : l’agent numéro i accepte (ou souhaite) vivre dans ce quartier à condition que la fraction d’individus différents de lui soit au plus égale à son seuil de tolérance xi.Dans le cas contraire il quitte le quartier/il ne vient pas.
Résultat principal : selon la distribution des seuils de tolérance dans les deux populations,- soit existence de deux points fixes ‘purs’ : convergence vers un quartier entièrement bleu ou entièrement rouge ;- soit existence d’un troisième point fixe avec une population mélangée.
Ref. : T C Schelling, op. cité, p. 155
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CAMSSchelling
• Segregation
R
B
0 50 100
100
50
0
maximal number of Baccepted by the most tolerant R
maximal number of Raccepted by the most tolerant B
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CAMSSchelling
• Segregation
R
B
0 50 100
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0
maximal number of Baccepted by the most tolerant R
maximal number of Raccepted by the most tolerant B
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CAMSSchelling
• Segregation
R
B
0 50 100
100
50
0
maximal number of Baccepted by the most tolerant R
maximal number of Raccepted by the most tolerant B
maximal number of R allowed to come
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CAMSSocial segregation / coalition formation
• R Axelrod (1984)• and also more recent works: S Galam, R Cont and Lowe...
N agents (or countries, firms,...) i = 1,…,Naffinities: agent i ‘likes/dislikes’ agent k with affinity Jik
affinities are based on p criteria τ = 1,...,p:ξi
τ = 1 / -1
τ = 1 smoker/non smokerτ = 2 baseball/operaτ = 3 junior/seniorτ = 4 Bush/Obamaτ = …
Jik = (number of identical criteria) – (number of different criteria)
Jik = Στ ξiτ ξk
τ
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CAMSSocial segregation / coalition formation
• Task / game:
make 2 groups, A and B
every agent wants to be in the group which maximises its mean affinitywith the other agents:
dynamics with myopic best response:
if: (affinity with A) – (affinity with B)> 0 Σ{k} Jik Sk (t) > 0
join group A Si (t+1) = +1
otherwise join group B Si (t+1) = -1
affinity of i with A = Σ{k in A} JikJik = (number of identical criteria) – (number of different criteria)
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CAMSSocial segregation / formal neural network
• social segregation (Axelrod) / neural network (Hopfield)
affinity Jik synaptic efficacy
join group A Si = 1 send a spike
join group B Si = 0 neuron at rest
(affinity with A) – (affinity with B) ~ post-synaptic potential
= Σ{k} Jik (2 Sk (t) – 1) = 2 Σ{k} Jik Sk (t) – θ
criteria patterns to be learned
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CAMSAssociative memory
(formally same model) :Hopfield 1982 : attractor neural networks
N binary neurons Si = 0 (rest) or 1 (sends a spike), i = 1,...,NJik = synaptic weight (efficacy) between neurons i and kP objects to memorise : (τ = 1,...,P ) {ξi
τ , i = 1,...,N } = activity of the network when coding for object τ
Network dynamics (simplest case: deterministic dynamics):•Si (t=0) = activity imposed by a stimulus
•Si (t+1) = 1 if: hi (t) = Σ{k} Jik Sk (t) > θ= 0 otherwise
•Fixed point ( = network’s response) = {Si* , i = 1,...,N } • If {Si (t=0) , i = 1,...,N } similar to {ξi
1 , i = 1,...,N } (stimulus is ~ object τ = 1)
and {Si* , i = 1,...,N } (almost) identical to {ξi1 , i = 1,...,N },
then object τ = 1 is « recognized » / « memorized », by the network
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CAMSLearning as a reinforcement dynamics
•Jik( 0 ) = 0•Jik(τ ) = Jik(τ - 1) + 1 if ξi
τ = ξkτ (affinity is reinforced)
= Jik(τ - 1) - 1 if ξiτ ≠ ξk
τ (affinity is weakened)
Learning (inspired from Hebb, 1949) = modifying the weights according to the neural activity associated to the objects to be memorised
( Hopfield model, 1982)
α = P/N
(total number of stored objects) /N
γ = number of object effectively memorised /N
0
N small
N → ∞« critical capacity »αc
αc ≈ 0.14
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CAMS•convergence towards a local minimum of the « energy »
•for large N and p = α N:
α < αc , solutions correlated with one of the criteria(self-organised focus on one of the criteria) (e.g. non smokers go together)
α > αc , no correlation with the criteria (tolerance)
• non deterministic dynamics
‘noise’ level T
αc (T)
αc (T) smaller as T increases
( deterministic limit: T = 0 )hi (t)-θ
(slope = 1/ T)
½
0
1
P(Si (t+1) = +1)
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CAMS« Landscape theory » (Axelrod)
E ( S ) = - ½ Σi k Ji k Si Sk
Heterogeneous affinitieswith some > 0 others < 0⇒ For large Nlarge number of minima
Symmetric interactions( Ji k = Jk i )⇒ ‘energy’ EConvergence towards one of the (local) minima of E
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CAMS
Application: formation of coalitions (Axelrod)(N not large)
• WWII
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CAMSCoalitions
• Alliances
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CAMS
Bibliographiehttp://www.lps.ens.fr/~nadal
• T. C. Schelling« Micromotives and Macrobehavior » (Norton & Cy, 1978)traduction française : « La tyrannie des petites décisions » (PUF, 1980)
• R. Axelrod« The complexity of cooperation » (Princeton Univ. Press, 1977)
• Sur le modèle de J. J. Hopfield et ses variantes :D. J. Amit « Modeling Brain Function » (Cambridge Univ. Press, 1990)J.-P. Nadal « Réseaux de neurones : de la physique à la psychologie »(1993) (bientôt disponible sur mon site web)