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Modélisation cinématique et comportementale des
systèmes asservis
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SYNTHESE CYCLE 3 TPCY3
Edition 1 - 02/12/2017
Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/21
A - ANALYSERA - ANALYSERA - ANALYSER
A3 Appréhender les analyses fonctionnelles fonctionnelle et structurelle
Identifier la structure d'un système asservi : chaîne directe, capteur, commande (fonction différences, correction)A3 Appréhender les analyses
fonctionnelles fonctionnelle et structurelle Identifier et positionner les perturbationsA3 Appréhender les analyses fonctionnelles fonctionnelle et structurelle Différencier régulation et asservissement
A4 Caractériser les écarts
Quantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs mesuréesQuantifier des écarts entre des valeurs attendues et des valeurs obtenues par simulationQuantifier des écarts entre des valeurs mesurées et des valeurs obtenues par simulationA4 Caractériser les écarts
Rechercher et proposer des causes aux écarts constatésB - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER
B1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système
Associer les grandeurs physiques aux échanges d’énergie et à la transmission de puissanceB1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système Proposer des hypothèses simplificatrices en vue de la modélisation
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Associer un modèle aux constituants d’une chaîne d’énergie
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Déterminer la liaison cinématiquement équivalente à un ensemble de liaisons
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Réaliser le graphe de structure des liaisons de tout ou partie d’un mécanisme
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Proposer un schéma cinématique (plan ou 3D) minimal et d’architecture de tout ou partie d'un mécanismeB2 Proposer un modèle de
connaissance et de comportement Déterminer les fonctions de transfert à partir d’équations physiques (modèle de
connaissance)
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte et boucle fermée
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Etablir le schéma bloc du système
B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement
Identifier les paramètres caractéristiques d’un modèle du premier ou du second ordre à partir de sa réponse indicielle
B3 Valider un modèle Vérifier la cohérence du modèle choisi avec les résultats d’expérimentationModifier les paramètres et enrichir le modèle pour minimiser l’écart entre les résultats simulés et les réponses mesurées
C - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDRE
C1 : Choisir une démarche de résolution
Proposer une méthode de résolution permettant la détermination des courants des tensions, des puissances échangées, des énergies transmises ou stockéesC1 : Choisir une démarche de
résolution Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer les courants et les tensions dans les composantsDéterminer les puissances échangées
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer les courants et les tensions dans les composantsDéterminer les puissances échangées
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide par rapport à un autre
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre
C2 : Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique
Déterminer le vecteur accélération d’un point d’un solide par rapport à un autreD - EXPERIMENTERD - EXPERIMENTERD - EXPERIMENTER
D1 Découvrir le fonctionnement d'un système pluri-technologique
Mettre en oeuvre un système dans le respect des règles de sécurité
D3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental
Mettre en oeuvre un appareil de mesure adapté à la caractéristique de la grandeur à mesurerD3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental
Mesurer les grandeurs potentielles et les grandeurs de flux dans les différents constituants d’une chaîne d’énergie
D3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental
Mettre en oeuvre un système complexe en respectant les règles de sécurité
D3 Mettre en œuvre un protocole Expérimental
Respecter les protocoles expérimentauxG - COMMUNIQUERG - COMMUNIQUERG - COMMUNIQUER
G1 Rechercher et extraire les informations
Extraire les informations utiles d’un dossier techniqueG1 Rechercher et extraire les informations Lire et interpréter un schéma
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Edition 1 - 02/12/2017
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SommaireA. __________________________________________Identification des systèmes asservis! 4
A.1.Construction de schémas fonctionnels 4A.1.1. A partir d’un modèle de connaissance : CordeuseA.1.2. A partir d’un schéma structurel : Maxpid
A.2.Déterminations expérimentales 9A.2.1. Caractéristiques d’un MCCA.2.2. Inertie d’un mécanisme
B. _________________________________Etude cinématique : liaisons et hyperstatisme! 16
B.1.Liaisons équivalentes du chariot de la cordeuse 16
B.2.Schéma cinématique du support de raquette de la cordeuse 17
B.3.Hyperstatisme 18B.3.1. Exemple du chariot de la cordeuseB.3.2. Exemple du support de raquette
C. ________________________________________________________Notes personnelles! 20
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Sommaire Edition 1 - 02/12/2017
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A. Identification des systèmes asservis
A.1. Construction de schémas fonctionnels
A.1.1. A partir d’un modèle de connaissance : Cordeuse
A.1.1.1. Modèle de connaissance
Conversion électromécanique (MCC)
um (t) = Rim (t)+ Ldi(t)dt
+ e(t) e(t) = Keωm (t) cm (t) = Kiim (t)
Dynamique en rotation
cm (t)− cres − feωm (t)− r.Rp .Fr (t) = Jm + r2Jr +mr
2Rp2( ) dωm (t)
dt
Transformation de mouvement rotation/translation
dx(t)dt
= r.Rpωm (t)
Transmission d’effort via le ressort
xc(t) = x(t)− xr (t) Fr (t)− Fc(t) = 0 Fr (t) = krxr (t) Fc(t) = kcxc(t)
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A.1.1.2. Schéma fonctionnel
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u m(t)=
Rim(t)+
Ldi(t)
dt+e(t)
e(t)=K
eωm(t)
c m(t)=
Kii m(t)
dx(t)
dt=r.R
pωm(t)
x c(t)=
x(t)−x r(t)
F r(t)−
F c(t)=0
F r(t)=
k rx r(t)
F c(t)=
k cx c(t)
c m(t)−c re
s−f eω
m(t)−r.R
p.Fr(t)=
J m+r2J r+mr2R p2
()dω
m(t)
dt
A.1.1.3. Fonctions de transfert
Fonction de transfert de la motorisation
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Fonction de transfert du système en boucle ouverte
A.1.2. A partir d’un schéma structurel : Maxpid
Moteur MCC [ Hm(p) ] :! ! ! !
Transmission de mouvement [ G(p) ]
!
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Fonction de transfert de l’actionneur :
Fonction de transfert du mécanisme :
Fonction de transfert du système asservi en boucle ouverte :
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A.2. Déterminations expérimentales
A.2.1. Caractéristiques d’un MCC
Un moteur à courant continu est modélisé par son comportement électrique (résistance d’induit, inductance, constantes électriques), par son comportement dynamique (couple, vitesse de rotation, inertie) et par ses frottements internes.
A.2.1.1. Détermination des caractéristiques électriques
Rappel des équations
u(t)= Ri(t)+ L di(t)dt
+ e(t)
e(t)= Keω(t)
La résistance peut se mesurer à l’ohmètre, mais le résultat est dépendant de plusieurs facteurs (température du moteur, circuit auquel le moteur est connecté, ...)
Il est préférable de recourir à deux types d’expérimentations :
Essai rotor bloqué Rotor bloqué, les équations électriques deviennent en régime permanent :
u(t)= Ri(t) car L di(t)dt
= 0 (régime permanent) et e(t)= 0 (vitesse de rotation nulle)
Il est alors possible de déterminer la valeur de la résistance d’induit R
Essais à videLors d’un essai à vide, en régime permanent, on a l’équation suivante :
u(t)= Ri(t)+Keω(t) dans laquelle
En faisant au moins 2 essais dans lesquels on mesure u(t) , i(t) et ω(t) , on aboutit à un système
d’équations avec comme inconnues R et Ke :
Ri1(t)+Keω1(t)= u1(t)Ri2 (t)+Keω2 (t)= u2 (t)⎧⎨⎩
Notons que si un essai rotor bloqué a été effectué au préalable, seul un essai est nécessaire puisque seule la constante Ke est inconnue
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Exemple sur la cordeuse
Essai rotor bloqué :
u = 0,347V
I = 0,57 A
On en déduit R = ui= 0,6Ω
ω1moyen =π30.2485 = 260,33 rad.s−1
u1moyen = 7,376V
i1moyen =1,287 A
ω1moyen =π30.3765 = 394,27 rad.s−1
u1moyen =10,794 V
i1moyen =1,446 A
On résout alors le système matriciel
1,446 255,331,287 394,27
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
RKe
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=
7,37610,794
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
:
R = 0,6ΩKe = 0,025V .rad
−1.s
⎧⎨⎪
⎩⎪
A.2.1.2. Détermination des frottements
Rappel des équations Cm −Csec − fvisqueuxωm = 0 en régime permanent
Cette équation s’écrit également :
Csec + fvisqueuxωm (t)= Ke.i(t)
En procédant à plusieurs mesures de i(t) et ωm (t) à des vitesse différentes (ou à des tensions d’alimentation différentes), on peut alors déterminer les deux inconnues
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Résolution analytique sur la cordeuseDe la même façon que pour la détermination des constantes du moteur, on construit un systèmes d’équations
avec pour inconnues Csec et fvisqueux , que l’on résout
Csec + fvisqueuxω1(t)= Kei1(t)Csec + fvisqueuxω2 (t)= Kei2 (t)
⎧⎨⎪
⎩⎪
Avec les mêmes relevés que dans la partie précédente, on obtient le système matriciel suivant :
1 260,331 394,27
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Csecfvisqueux
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥= 0,025 1,287
1,446
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Soit le couple de solutions :
Csec = 0,02 Nmfvisqueux = 3.10
−5 Nm.rad−1.s
⎧⎨⎪
⎩⎪
A.2.2. Inertie d’un mécanisme
L’inertie équivalente ou la masse équivalente d’un mécanisme influence ses performances en terme de temps de réponse. Il est alors possible, lorsque le comportement du système peut se modéliser par une fonction de transfert du 1er ou du 2d ordre, de déterminer expérimentalement l’inertie ou la masse équivalente de ce mécanisme.
A.2.2.1. Détermination de la fonction de transfert de l’asservissement en vitesse du Comax
Le modèle de connaissance est connu :
! !
!
!
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La fonction de transfert est alors :
A.2.2.2. Simplification de la fonction de transfert
La constante de temps électrique τ =LR= 27 µs est négligeable devant la constante de temps mécanique. La
fonction de transfert se simplifie donc comme suit :
A.2.2.3. Fonction de transfert du système à 2 entrées
Les masses manipulées par le Comax et les frottements génèrent un couple résistant qu’il est nécessaire de prendre en compte dans la modélisation du comportement du bras asservi :
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Fonction de transfert sans perturbation
Fonction de transfert sans consigne
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Expression complète de la sortie Ωm (p)
Cette expression répond à la forme d’un système du 1er ordre, de constante de temps :
A.2.2.4. Détermination de l’inertie équivalente
2450 tr/mn
τ =140− 70 = 70 ms
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A.2.3.Comparaison avec la simulation
La comparaison des résultats expérimentaux avec la simulation conforte le modèle du 1er ordre retenu, ainsi que la valeur de l’inertie calculée, peut-être légèrement surestimée.
Avec Jeq =1.10−4 kg.m2 , la simulation donne les résultats
suivants :
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B. Etude cinématique : liaisons et hyperstatisme
B.1. Liaisons équivalentes du chariot de la cordeuse
De nombreuses solutions technologiques retiennent le principe de liaisons en parallèle.
Rappelons que la détermination de la liaison équivalente repose sur le principe que ne peuvent subsister dans la liaison équivalente que les degrés de liberté communs à chacune des liaisons impliquées.
Exemple de la cordeuse :
Schéma cinématique :
Détermination de la liaison équivalente
Contact : cylindre➢ Liaison pivot
Contact : ligne➢ Liaison linéaire rectligne
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B.2. Schéma cinématique du support de raquette de la cordeuse
Graphe des liaisons : Nom des liaisons :
Schéma cinématique :
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B.3. Hyperstatisme
La surabondance de liaisons peut être volontaire (par volonté de rigidifier un mécanisme, ou de le rendre résistant aux dégradations des surfaces de contact). Cet hyperstatisme génère nécessairement des contraintes qu’il est nécessaire d’identifier.
Rappelons que l’hyperstatisme d’un mécanisme est déterminé par la relation :
h = Ec +m−Nc
où ! Ec désigne le nombre d’équations cinématiques (Ec = 6ν , ν nombre cyclomatique)
B.3.1. Exemple du chariot de la cordeuse
L’analyse constructive des liaisons montre que la liaison pivot est obtenue par l’utilisation de 2 douilles à billes, retenues pour leur faible frottement et par leur grande précision.
La liaison glissière se retrouve donc en réalité obtenue par association de 3 liaisons en parallèle :
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B.3.2. Exemple du support de raquette
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C. Notes personnelles
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Crédits :
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