modèle mathématique d’un vélo
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Modèle mathématique d’un vélo. Guy Gauthier ing. Paramètres définissant la géométrie du vélo. Référentiels. Bicyclette version simplifiée. L’angle λ = 90°. Fourche avant verticale. Ce qui implique que c = 0. Vitesse de rotation du référentiel xyz. Vitesses - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Modèle mathématique d’un vélo
Guy Gauthier ing.
Paramètres définissant la géométrie du vélo
Référentiels
Bicyclette version simplifiée
L’angle λ = 90°. Fourche avant verticale. Ce qui implique que c = 0.
Vitesse de rotation duréférentiel xyz
Vitesses Roue arrière du vélo = V0; Centre de gravité = V.
Vitesse de rotation du référentiel:0 0
0
tanV Vr b
0r rsinV V
r a
Vitesse du centre de gravité
A partir des deux équations précédentes:
Composante en y:
0 tansin
aVV
b
0 tansinyaV
V Vb
0r r
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
Dynamique:
Avec:
2 2
2 sin cos cosyp
dVd VJ mgh mhr dtdt
02cos
ydV aV ddt dtb
0r r
Gravité
Force centrifuge
Force accélération
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
De plus, pour la partie centrifuge:
Ainsi, la dynamique devient:
220 0tan
cos tantan
aV VV Vr r b
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a dJ bJ dtdt V
Bilan
C’est l’équivalent d’un pendule: Deux types de forces entrent en jeu:
Force centrifuge, proportionnelle à:
Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:
0dVdt
20 tanV
Linéarisation (petits angles φ)
En posant cos(φ)≈1 et sin(φ)≈φ :
En Laplace 200
2
1( )( )( ) p p
a V smhVsP ss bJ s mgh J
220
20p p
mhVd mgh a dJ bJ V dtdt
Localisation des pôles et zéros
Pôles:
Zéros: 0z V a
1,2 pp mgh J
Un des pôles est instable !
Valeurs numériques
h = 1.3 m; a = 0.4 m; b = 1.2 m; m = 75 kg; Jp ≈ mh2.
020 2
0.4 1( ) 0.64
7.55V s
P s Vs
1,2 2.75p g h
02.5z V
Bilan
Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo.
La position du zéro dépend de la vitesse.
Pole instable à plus lent si h est grand. Plus facile de conduire un vélo d’adulte
qu’un vélo d’enfant.
g h
Comment rendre le vélo stable ?
La clé, c’est la fourche avant: Typiquement c = 4 à 8 cm.
Comment rendre le vélo stable ?
Cela introduit une rétroaction:
Ainsi, on obtient:
1 2k k T
220
1 2 1 220 0p p
mhVd mgh a d a dTk k T k kJ bJ V dt V dtdt
220 1 0 2 0 0
2 1p p p
amhkV k V ak mhV Vd d mgh dT TbJ dt J bg bJ dt adt
Couple à la poignée
Comment rendre le vélo stable ?
Pour que ce soit stable, il faut que:
Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo.
Vélo stable si vitesse suffisamment élevée.
Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.
01
bgVk
Cas ou la roue commandée est à l’arrière
Schéma de principe:
Regardez la direction du vecteur V !
Préliminaires
Équations:
Dynamique:
0 tanbr
sinar
0 tansin
aVV
b
2 2
2 sin cos cosyp
dVd VJ mgh mhr dtdt
Suite du modèle
Avec:
Qui dérivé donne:
0sin tanyaV
V Vb
02
1cos
ydV aV ddt b dt
Nouvelle dynamique
Qui est:
En linéarisant:
220
2 20
cossin tan
cosp p
mhVd mgh a dJ bJ dtdt V
220
20p p
mhVd mgh a dJ bJ V dtdt
Transformation de Laplace
La voici:
Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! Gros risque de problème.
200
2
1( )( )( ) p p
a V smhVsP ss bJ s mgh J
Transformation de Laplace
Et avec une fourche avant: 1k 220
1 120p p
mhVd mgh a dk kJ bJ V dtdt
221 0 1 0
2 1 0p p
amhk V k Vd d mghbJ dt J bgdt
Bilan avec la conduite arrière
Système toujours instable. La conduite arrière introduit un zéro
dans le plan droit. Ce zéro rend le contrôle très difficile,
sinon impossible. Un très mauvais design.
Référence
Karl J. Åström, Richard E. Klein, and Anders Lennartsson, ‘Bicycle dynamics and control: adapted bicycles for education and research’, IEEE Control System Magazine, Vol. 24, No. 4, pp. 26-47, August 2005