modèle des jeux et des mécanismes michel de rougemont, lri, university paris ii
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Modèle des jeux et des mécanismes
Michel de Rougemont, LRI , University Paris II
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1. Modèle de calculs, adapté à un nombre important d’agents, suivant une fonction d’utilité. WEB.
2. Jeux: N joueurs suivant chacun un but. Quels sont les Equilibres?
3. Mécanismes: observons un équilibre, de quel jeu sommes nous l’équilibre?
Jeux et Mécanismes
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1. Dilemme des PrisonniersDeux décisions C (collaborer), T (Trahir)
1. Version répétée.
3. Jeux de vérification. Graphes d’accessibilité.
4. MaxSAT, MaxCUT: jeux à N joueurs
4. Jeux logiques: Nord-Est, dames, Echecs.
Exemples de Jeux
3,31,4
4,12,2
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Mécanisme pour réduire le SPAM
1. Comment faire la différence entre un vrai mail et un SPAM?
2. Modifications au protocole de mail (pop, smtp)
3. Valeur d’un Email?
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Valeur proportionnelle aux calculs demandés à A (Alice) par B (Bob)
Modifications au protocole de mail (pop, smtp)
1. A prend un ticket sur la page Web de B. (Entrée x d’un problème)2. A calcule f(x)=y3. A envoie y et l’Email4. B vérifie y
A B1. ticket
3. Résultat et Email
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A calcule une fonction polynomiale
A prend un ticket sur la page Web de B. B : génère un polynôme aléatoire de degré n
B: choisit n+1 valeurs aléatoires
Ticket=
A doit trouver P(x) à partir du ticket.
Interpolation ou Inversion matricielle
nnxaxaxaxP .....)( 221
)(),...,(),( 112211 nn xPyxPyxPy
)(),...,,(),,( 112211 nn yxyxyx
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B vérifie le calcul
B garde P(x) lorsqu’il génère le ticket.Vérifier consiste à comparer les coefficients de P(x) avec ceux envoyés par A.
On peut paramétrer:le degré, la précision des valeurs aléatoires pour forcer A à calculer 10 minutes 30 minutes….
Interpolation est polynomiale
La vérification est triviale
nnxaxaxaxP .....)( 221
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Jeux à somme nulle
Deux joueurs I et II:
Gain de II = - Gain de I
Jeu Morra: chaque joueur cache 1 ou 2 Euros et cherche à deviner le choix de l’autre joueur. Il gagne s’il devine correctement. Si 1 seul joueur gagne, son gain est le montant caché total, payé par l’autre joueur, sinon le gain est de 0
04304003
30020320
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Gain du Jeu
Gain du jeu :
Joueur I : x.A.yMiny
txaMinx.A.yMin iji
n
ijy
. ,
1
jiji
n
j
n
i
yxa . ,11
Réponse de II peut être pure
Toute solution pure doit satisfaire
ttyxayx.A.yn
jjiji
n
i
n
jj
1,
11
. ). (
txaMinx.A.yMin iji
n
ijy
. ,
1
tx.A.yMiny : Donc
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Stratégie optimale
Conclusion
Joueur II peut jouer une stratégie pure
1
.
1
,1
i
n
i
iji
n
ij
x
xaMinMax
t x.A.yMint y
t x.A.yMiny
1
0.
1
,1
i
n
i
iji
n
i
x
xaz
zMax
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Stratégie optimale
Conclusion
1043043032032
4321
32
41
41
32
xxxxxxz
xxzxxz
xxzzMax
Solution x*= [0,3/5,2/5,0]
Résolution par simplex.
Trouver une solution initiale
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Théorème Minimax
Situation pour le joueur II
1
.
1
,1
j
n
j
jji
n
ji
y
yaMaxMin
1
0.
1
,1
j
n
j
jji
n
j
y
yaw
wMin
Problème dual du précédent. Par dualité:
Théorème (Von Neuman) : Max Min = Min Max
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Dualité: Simplex
Résolution d’un système linéaire de maximisation:
•Introduction de variables d’écart•Solution initiale•Itération pour augmenter la valeur de la solution.•Terminaison
0,...,
.
.cMax
21
t
nxxx
bxA
x
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Bases de la Dualité
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Estimation de z > az>5 avec (0,0,1,0)z>22 avec (3,0,2,0)….
Estimation de z <b ?Quel est le témoin?
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Dualité : z < b
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Montrons que z <275/3
2nd contrainte . 5/33/2753/4053/53/25 4321 xxxx
3/2753/4053/53/25354 43214321 xxxxxxxx
Donc z <275/3
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Dualité
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2nd contrainte +3ème contrainte
583634 4321 xxxx
Donc z <58
Méthode systématique.
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Dualité : méthode
0,,,3532 .
55835 . 13 .
35 4Max
4321
43213
43212
43211
4321
xxxxxxxxyxxxxyxxxxyxxxx
332123211321 ).33().2().5( xyyyxyyyxyyy
Conditions pour que le membre gauche >
)355().583( 3214321 yyyxyyy
4321 354 xxxx
358353312 45
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyy
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Dualité: exemple
On obtient donc le système dual:
358353312 45
3 55 Min
321
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyyyyy
3114321 355354 yyyzxxxx
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Remarques générales
Problème Primal de Maximisation donne un problème Dual de minimisation.
3114321 355354 yyyzxxxx
jijim
i
n
jjjn
jxyaxc ,111
iim
iijjin
j
m
iybyxa
1,11
*1
*1 ii
m
ijjn
jybxc
A l’optimum:
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Démonstration Minimax
Considérons la dernière ligne du dernier système du primal:
kkmn
kxczz .'
1*
*1
* . jjn
jxcz
mipourcy nii ...1'*
Posons:
Vérifions que y* satisfait :*
1*
1.. ii
m
ijjn
jybxc
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Démonstration Minimax
Les variables d’écart sont définies comme:
kkmn
kjn
j j xczxc .. '1
*1
*1
*1
.. iim
ijjn
jybxc
mixabx jjin
jiin ...1.,1
mipourcy nii ...1'*
inim
ikkn
kjn
j j xyxczxc ... *1
'1
*1
jjin
jiim
ikkn
kjn
j j xabyxczxc .... ,1*
1'
1*
1
kjjin
jkn
kiim
ijn
j j xyacbyzxc .)(. *,1'
1*
1*
1
iim
ibyz *
1* Comparant les coefficients
de xj
Et on conclut:
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Complémentarité
0*4*3 xx
Contraintes saturées du dual (m=3) et variables nulles du primal (n=2)
1,2,2 *5*2*1 xxx
0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy
1 2
22
32
21
321
yyyy
yyyMin2*1x2*2x
Soit xi=0 soit contrainte duale est saturée
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Complémentarité
0*4*3 xx
Contraintes saturées du primal (n=2) et variables nulles du dual (m=3)
1,2,2 *5*2*1 xxx
0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy
2*1y0*2y
Soit yi=0 soit contrainte primale est saturée
Théorème : Ces deux conditions caractérisent une solution x*,y* optimum.
2 1 2
2
2
21
1
21
xxx
xxxMax
1*3y
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Interprétation économique
Exemple de fabrication de produits en quantité x1, x2, x3.
Chaque produit utilise des composants e1,e2,e3,e4 et contribue à un profit ci ($ par unité de xi)
Contraintes du primal : Ax < b
Contraintes du dual A’ y >c yj = $ par unité de composant ej
Min y.b : coût minimum des composants
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Exemple simple
Exemple: Matrice
Programme linéaire10033
21
21
21
xxxxzxxz
zMax
Solution x*= [1/2, 1/2]Interprétation graphique: Sommet de l’enveloppe inférieure
13
13
1
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Jeux matriciels
Deux joueurs: les gains des I et II sont définies par deux matrices A,B de même dimension. Pour n joueurs, n hypercubes.
Solution possible: x*= [2/3,1/3] , y*= [1/3,2/3]
Solution (x*,y*) est un équilibre de Nash.
314
231
132
312BA
exE
yAxMax T
.
..
yAuE
ueMin
T
T
..
.
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Jeux matriciels
Par dualité: DualPrimal ... ueyAx TT
tt ExexE .e . t
.... uExyAx ttT 0)...( yAuEx tT
0.. yAuEt
Pour le joueur II:
fxF
yBxMax T
.
..
0)...( xBvFy ttT
dualitépar 0)..( xBvF tt
![Page 28: Modèle des jeux et des mécanismes Michel de Rougemont, LRI, University Paris II](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062511/551d9d81497959293b8ba8ce/html5/thumbnails/28.jpg)
C.N.S. pour être un équilibre de Nash
Un couple (x,y) est un équilibre de Nash ssi il existe u,v tel que:
. exE
0)...( yAuEx tT
0.. yAuEt
Programme linéaire + contraintes quadratiques de complémentarité.
Simplex + complémentarité= Lemke-Howson
fyF .
0)...( xBvFy ttT
0.. xBvF tt
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Algorithmique des Jeux
1. Etant donné deux matrices A,B, trouver un équilibre.
2. Généralisation à N joueurs: représentation compacte de l’hypercube.
3. Approximation.
4. Vérification approchée.