Modelagem Matemática / 2a Lista de ExercíciosProf. Me. Leandro Filho

UNIFOR2016.1

1. Veri�que se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (−∞, ∞).a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16;b) y′′ − 2y′ + y = 0; y = xex

2. Numa colméia, a razão de crescimento da população é uma função da população. Assim

dP

dt= f(P ).

Calcular P (t) para f(P ) = βP , onde β é uma constante positiva, e determinar a população limite do sistema.

3. A população de uma cidade é de 1.000.000 de habitantes. Houve uma epidemia e 10% da população contraiu umvírus. Em sete dias esta percentagem cresceu para 20%. O vírus se propaga por contato direto entre indivíduosenfermos e sãos (logo, é proporcional ao número de contatos). A partir destes dados e supondo que o modelo sejafechado, isto é, a população se mantém constante, sem nascimentos, mortes ou migração, e os indivíduos tendotoda a liberdade de interagir, calcule:a) A proporção de indivíduos enfermos e sãos, como uma função do tempo.b) O tempo necessário para que a percentagemde indivíduos enfermos seja de 50.

4. Em março de 1987, a populaçãomundial atingiu 5.000.000.000, e estava crescendo à taxa de 380.000 pessoas pordia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade constantes, para quando se deve esperar uma populaçãomundial de 10.000.000.000?

5. Considerando um pára-quedista em queda livre, sem o acionamento do pára-quedas, determine a sua velocidadecomo uma função do tempo e sua velocidade limite. Considere v(0) = 0.

6. Refaça o exercício anterior considerando o pára-quedas aberto. Considere v(0) = v0.

7. Quando um corpo se move através de um �uido viscoso sob a ação de uma força ~F , a força resultante é F −Kηv,onde K depende da forma do corpo, v é a velocidade do corpo e η é o coe�ciente de viscosidade. Obter a veloci-dade como função do tempo. Suponha que o movimento seja retilíneo, que a força aplicada seja constante e quev(0) = v0.

8. Um tubo em U está cheio com um líquido homogêneo, que é levemente comprimido em um dos lados do pistão.O pistão é removido e o nível do líquido em cada ramo oscila. Determine a altura do nível do líquido em um dosramos em função do tempo.

9. Considere uma represa contendo inicialmente 10 milhões de litros de água limpa. Um córrego despeja água conta-minada com uma vazão de 5 milhões litros/ano, sendo que o nível da represa permanece constante. A concentraçãoc(t) de água contaminada varia com o tempo periodicamente segundo:

c(t) = [2 + sen(2t)] g/l

a) Construa um modelo matemático para esse processo para determinar a quantidade de material poluente Q(t).b) Gra�que a solução e descreva o efeito de mudar a concentração de entrada.

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10. Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais seguintes, e para aquelas que se �zerem necessá-rias selecione a solução particular que satisfaz a condição dada.a) xy′ = x , com y(2) = 3;

b) x√1− y2dx+ y

√1− x2dy = 0 , com y(1/2) = 1/2;

c) y′sen(x) = ylog(y) com y(π/3) = e;d) y′′ − y′ = 4sen(2x);e) y′′ − 2y′ − 3y = 0;f) y′′ − 4y′ + 13y = 0;g) y′′ − 6y′ + 9y = 0;h) y′′ − 4y′ + 3y = 4x;i) y′′ − 4y′ + 3y = 4x;j) y′′ + y = x2 + 1.

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