modelagem matemÁtica do acionamento hidrÁulico de

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ ADONIS ROGÉRIO FRACARO MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO Ijuí 2011

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Page 1: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO

GRANDE DO SUL – UNIJUÍ

ADONIS ROGÉRIO FRACARO

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO

HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO

Ijuí

2011

Page 2: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

ADONIS ROGÉRIO FRACARO

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO

HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, como requisito parcial à obtenção do título Mestre em Modelagem Matemática.

Orientador: Doutor Antonio Carlos Valdiero

Ijuí, RS

2011

Page 3: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO

GRANDE DO SUL – UNIJUÍ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO

HIDRÁULICO DE UMA BANCADA DE VIBRAÇÃO

Elaborada por

ADONIS ROGÉRIO FRACARO

Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Comissão examinadora

____________________________________________________________

Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUÍ (Orientador)

____________________________________________________________

Prof. Dr. Cláudio Luís D'Elia Machado – IFSul, Campus Pelotas

___________________________________________________________

Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia – UNIJUÍ

Ijuí,RS, 30 de Agosto de 2011.

Page 4: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

Aos meus pais Paulo e Janete,

Meus irmãos Paulo Henrique e Vitor Hugo

Em especial a minha esposa Vania e minha filha Isabella

Page 5: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus pela vida. Obrigado por tudo!

À minha esposa Vania, pelo apoio incondicional, pelas palavras de motivação e

encorajamento. A minha filha Isabella pelo amor dedicado, que serve de estimulo para

enfrentar qualquer desafio. A elas também peço desculpas pelas vezes que precisei me privar

dos momentos em família para estudar e deixo aqui o compromisso de que repararei o tempo

que não pudemos estar mais próximos.

Aos meus pais Paulo e Janete pelas mais diversas formas de apoio nesta caminhada.

Obrigado! Amo vocês!

Aos meus irmãos Paulo e Vitor pelo carinho, preocupação e incentivo.

Ao meu orientador, Professor Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelas sugestões, idéias e

conhecimentos transferidos e por todo o trabalho e dedicação dispensados para a realização

desta dissertação. E ainda pela paciência em entender as vezes que por alguns motivos

precisei ausentar-me dos encontros de estudo. Muito obrigado por tudo!

Aos professores do curso de Mestrado em Modelagem Matemática pela boa

convivência e pelos conhecimentos transmitidos.

Aos funcionários de DeFEM, em especial e Geni que esteve sempre prestativa pra

resolver problemas pontuais. Aos alunos bolsistas da Engenharia Mecânica Campus Panambi,

que de alguma forma contribuíram no desenvolvimento deste trabalho. Ao Fabiano Prado pela

construção da bancada de testes de vibração utilizada neste trabalho bem como pela ajuda

concedida.

Aos colegas do Mestrado que se demonstraram amigos nesta caminhada, tornando os

momentos de encontro mais agradáveis.

À professora Ângela Patrícia Spilimbergo pelo acompanhamento, colaboração e

amizade durante o estagio de docência na disciplina de Cálculo I.

Como não poderia deixar de ser, meu muito obrigado a UNIJUÍ pela oportunidade de

crescimento profissional e pela CAPES pelo apoio financeiro!

Page 6: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

“É preciso ousar para dizer

cientificamente que

estudamos,

aprendemos,

ensinamos,

conhecemos nosso corpo inteiro.

Com sentimentos,

com as emoções,

com os medos,

com a paixão e também com a

razão crítica.

Jamais com estas apenas.

É preciso ousar para jamais

dicotomizar o cognitivo do emocional.”

Paulo Freire

Page 7: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

RESUMO

Este trabalho trata da modelagem matemática de um sistema de atuação com hidráulica

proporcional aplicado numa bancada para testes de vibração, além de sua simulação

computacional e da validação experimental. Testes de vibração são muito comuns em

produtos que exijam confiabilidade, tais como: tanques de combustível, reservatórios de

pressão, embalagens para transporte e equipamentos eletrônicos. Dentro deste contexto, os

sistemas de acionamento hidráulico possuem as vantagens de alta relação força/tamanho,

paradas e partidas rápidas, e facilidade de instalação quando comparados aos acionamentos

elétricos. Os atuadores hidráulicos têm grande importância na indústria moderna, devido seu

extenso campo de aplicação, objetivando controle de forças ou de posição, tendo boa precisão

e resposta rápida aos comandos. Neste trabalho, ao se referir aos atuadores hidráulicos,

considera-se um conjunto válvula proporcional de controle direcional mais cilindro

hidráulico. Sistema hidráulico é um conjunto de elementos físicos convenientemente

associados, que utilizando um fuido como meio de transferência de energia, permite a

transmissão e controle de forças e movimentos. As características dinâmicas e as não

linearidades presentes nos atuadores hidráulicos dificultam o seu controle e,

consequentemente necessitam de serem estudadas para melhor definição das estratégias de

controle. O objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática deste atuador

hidráulico composto de um cilindro diferencial e uma válvula proporcional de controle

direcional, bem como, as simulações computacionais analisando os resultados e,

consequentemente, validar experimentalmente o modelo. Para tal modelagem matemática,

necessita-se modelar a equação da vazão nos orifícios da válvula, a equação da variação de

pressão nas câmaras do cilindro, bem como, a equação do movimento da carga do cilindro.

Após a modelagem matemática, foi possível construir o diagrama de blocos no aplicativo

MatLab/Simulink para posterior simulação computacional, analise e interpretação dos

resultados. Os resultados obtidos permitem verificar as características do modelo matemático

utilizado para o atuador hidráulico e ilustram o comportamento na bancada experimental de

testes. Pretende-se contribuir para melhoria do desempenho das aplicações com hidráulica

proporcional.

Page 8: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

ABSTRACT

This work deals with the mathematical modeling of a hydraulic system proportional

applied to a vibration test bench, its computational simulation and experimental validation.

Vibration tests are very common in products requiring reliability, such as fuel tanks, pressure

tanks, packaging for transport and electronic equipment. Within this context, the hydraulic

systems have the advantages of high ratio strength / size, stops and starts slightly, and ease of

installation when compared to drives electrical. The hydraulic actuators are of great

importance in modern industry because of its extensive scope, aiming to control forces or

positions, with good accuracy and fast response to commands. When we refer to hydraulic

actuators, we are considering a further hydraulic cylinder valve assembly. Hydraulic system

is a set of physical elements conveniently associates, using a fluid as means of energy

transfer, allows the transmission and control of forces and movements. The dynamic

characteristics and nonlinearities present in the hydraulic actuators hinder your control, and

therefore need to be studied to better define the control strategies. Objective of this work is to

perform the mathematical modeling of the hydraulic actuator composed of differential

cylinder and a proportional valve of control directional, as well as computational simulations

analyzing the results and thus validate the model experimentally. To this mathematical

modeling, we need to model the equation of flow in the valve hole, the equation of the

variation of pressure in the cylinder chambers and the load equation of motion of the cylinder.

After doing mathematical modeling, it was possible to build the block diagram in application

Matlab/Simulink for subsequent computational simulation, analysis and interpretation of

results. The results obtained allow us to study the characteristics of the mathematical model

used to illustrate the hydraulic actuator behavior in the experimental test bench . It is intended

to contribute to improving the performance of applications with proportional hydraulics.

Page 9: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

SUMÁRIO

RESUMO ................................................................................................................................... 6

ABSTRACT ............................................................................................................................... 7

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. 10

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 12

SIMBOLOGIA ......................................................................................................................... 14

1. Introdução ............................................................................................................................. 17

1.1 Generalidades ................................................................................................................. 17

1.2. Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ ........................................................................ 19

1.3 Descrição da bancada de vibração utilizada para os testes............................................. 20

1.4 Revisão Bibliográfica ..................................................................................................... 26

1.5 Objetivos......................................................................................................................... 28

1.6 Organização do trabalho ................................................................................................. 29

2. MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL ................................................. 30

2.1 Introdução ....................................................................................................................... 30

2.2 Descrição do atuador hidráulico ..................................................................................... 30

2.3. Válvula proporcional de controle direcional ................................................................. 32

2.4. Cilindro hidráulico......................................................................................................... 35

2.5 Modelo matemático não linear de 4ª ordem para o atuador hidráulico .......................... 40

2.6 Discussões ...................................................................................................................... 41

3. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO ATUADOR HIDRÁULICO ............................. 42

3.1 Introdução ....................................................................................................................... 42

3.2 Parâmetros do atuador hidráulico ................................................................................... 42

3.3 Implementação computacional do modelo matemático ................................................. 43

3.4 Identificação da Zona Morta da válvula ......................................................................... 47

3.4 Resultados das simulações em malha aberta .................................................................. 49

3.4.1 Entrada em Degrau .................................................................................................. 49

3.5 Discussões ...................................................................................................................... 64

Page 10: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

4. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS

EXPERIMENTAIS .................................................................................................................. 65

4.1 Introdução ....................................................................................................................... 65

4.2 Descrição da bancada de aquisição ................................................................................ 65

4.3 Resultados experimentais ............................................................................................... 70

4.4 Discussões ...................................................................................................................... 83

5. VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL ....................................................................................... 84

5.1 Introdução ....................................................................................................................... 84

5.2 Resultados da validação experimental ............................................................................ 84

5.3 Discussões ...................................................................................................................... 88

6. CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 89

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 90

Page 11: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Dispositivo para teste de vibração do SENAI de Bento Gonçalves-RS ..............21

Figura 1.2 – Dispositivo para teste de vibração....................................................................... 22

Figura 1.3 - Dispositivo existente para realização de teste de vibração................................... 23

Figura 1.4: Base estrutural do dispositivo ................................................................................24

Figura 1.5: Conjunto Guia do dispositivo ................................................................................25

Figura 1.6: Amortecedores de vibração ...................................................................................25

Figura 1.7: Bancada para teste de vibração já com a ligação hidráulica.................................. 26

Figura 2.1:Desenho esquemático do atuador hidráulico ..........................................................31

Figura 2.2: Desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a sobreposição no

orifício de passagem do fluido..................................................................................................32

Figura 2.3: Representação gráfica da não linearidade da zona morta ......................................33

Figura 2.4: Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste dupla............................. 35

Figura 2.5: Escoamento de fluido na câmara genérica ............................................................36

Figura 2 6: Diagrama de corpo livre das forças atuantes no movimento do cilindro ..............39

Figura 3.1: Diagrama de blocos do modelo matemático do atuador hidráulico com entrada em

degrau .......................................................................................................................................44

Figura 3.2: Diagrama de blocos da equação da vazão .............................................................45

Figura 3.3: Diagrama de blocos da Dinâmica da força hidráulica. ..........................................46

Figura 3.4: Diagrama de blocos do subsistema Dinâmica do Movimento do Êmbolo ............47

Figura 3.5: Vista em corte do desenho esquemático de uma válvula proporcional direcional

tipo carretel com detalhe para a zona morta............................................................................ 48

Figura 3.6: Resultado para identificação da zona morta direita (zmd) da válvula ...................48

Figura 3.7: Sinal de controle ..........................................................................................50

Figura 3.8: Comportamento do movimento do êmbolo do cilindro ........................................51

Figura 3. 9: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com Volts e ......52

Figura 3.10: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com ......53

Figura 3.11: Comportamento das pressões nas câmaras com ................................54

Figura 3.12: Comportamento das pressões nas câmaras com ..................................55

Figura 3.13: Aceleração do êmbolo do cilindro .......................................................................56

Figura 3.14: Velocidade do êmbolo .........................................................................................57

Figura 3.15: Movimento do êmbolo com sinal de controle .........58

Figura 3.16: Sinal de controle descontada a zona morta...........................................................59

Figura 3.17: Comportamento das pressões nas câmaras do cilindro descontada a Zona

Morta........................................................................................................................................ 60

Page 12: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

Figura 3.18: gráfico das vazões descontadas a Zona Morta ....................................................61

Figura 3.19: Gráfico da aceleração do êmbolo ........................................................................62

Figura 3.20: Gráfico da aceleração do êmbolo do cilindro ......................................................63

Figura 3.21: Gráfico da velocidade do êmbolo do cilindro......................................................64

Figura 4.1: Fonte Instrutherm para alimentação dos sensores .................................................66

Figura 4.2: Fonte HP para alimentação da válvula proporcional .............................................66

Figura 4.3: Válvula proporcional NG6 e transdutores de pressão Zürich PSI-420 ................67

Figura 4.4: Detalhe para a Cartela Eletrônica e para o capacitor .............................................68

Figura 4.5: Opto acoplador para proteção da placa eletrônica dSPACE ................................69

Figura 4.6: Foto da bancada de aquisição ................................................................................69

Figura 4.7: Identificação do sinal de controle ...............................................70

Figura 4.8: Deslocamento “y” do cilindro na bancada ............................................................71

Figura 4.9: Comportamento das pressões com ....................................................72

Figura 4.10: gráfico do ajuste de “y” .......................................................................................73

Figura 4.11: Sinal de controle .................................................................................74

Figura 4.12: Deslocamento y, do cilindro durante o teste de vibração com ..75

Figura 4.13: Deslocamento do cilindro durante o teste de vibração com e com

zoom mostrando o início do percurso.......................................................................................76

Figura 4.14: Gráfico da comparação das pressões nas câmaras do cilindro ............................77

Figura 4.15: gráfico do ajuste de “y” com ......................................................78

Figura 4.16: Sinal de controle , e movimento do carretel da válvula ...........79

Figura 4.17: Deslocamento do cilindro hidráulico com sinal de controle ........80

Figura 4.18: Zoom do deslocamento do cilindro hidráulico apresentado na Figura 4.17.........81

Figura 4.19: Pressões nas câmaras do cilindro ........................................................................82

Figura 4.20: Ajuste do deslocamento do cilindro hidráulico ...................................................83

Figura 5.1: Simulação computacional versus experimental com ..................85

Figura 5.2: Comparação entre simulação computacional versus Experimental com

............................................................................................86

Figura 5.3: Comparação entre a parte experimental e simulação computacional ....................87

Figura 5.4: Gráfico da comparação do deslocamento do y experimental e simulado...............88

Page 13: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Parâmetros utilizados na simulação computacional do atuador hidráulico............43

Page 14: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

SIMBOLOGIA

Orifício de passagem da válvula

Área da seção transversal do êmbolo do cilindro

Orifício de passagem as válvula

Coeficiente de atrito viscoso do sistema

Função não linear

Função não linear

Força gravitacional do sistema haste mais carga

Função não linear dos componentes dependentes do

sinal de controle

Função não linear dos componentes dependentes do

sinal de controle

Constante hidráulica

Comprimento do curso do cilindro

M Massa da haste + êmbolo + cilindro do atuador

Inclinação direita da zona - morta

Inclinação esquerda da zona - morta

Pressão no orifício de saída a da válvula

Pressão inicial na câmara do cilindro

Pressão no orifício de saída b da válvula

Pressão inicial na câmara do cilindro

Pressão de retorno (reservatório)

Pressão de suprimento

Vazão no orifício de saída a da válvula

Vazão no orifício de saída b da válvula

Vazão entrando na câmara

Page 15: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

Vazão saindo na câmara

Segundos

Superfície de Controle

Tempo de simulação

Sinal de controle

Unidade de Potência e Condicionamento Hidráulico

Sinal de controle de saída

Velocidade do fuido

Volume de controle

Volume na câmara 1

Volume na câmara 2

Volume inicial na câmara 1

Volume inicial na câmara 2

Posição do atuador

Velocidade do atuador

Pressão na câmara

Pressão na câmara

Deslocamento do carretel da válvula

Posição do atuador

Velocidade

Aceleração

Zona morta

Limite direito da zona morta

Limite esquerdo da zona morta

Page 16: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

17

1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

É próprio do homem, evoluir tudo aquilo que já lhe é sabido, ou procurar aprender sobre

determinados assuntos que não domina e que lhe interessam. Naturalmente, muitos de seus

desafios são árduos e difíceis de conseguir êxito. Porém, é na angustia de querer aprender que

conseguimos saciar nosso anseio de construir ou evoluir nosso conhecimento.

Com este intuito, esta dissertação trata da modelagem matemática e a simulação

computacional de um atuador hidráulico utilizado em uma bancada de ensaio de vibração.

Neste trabalho, Modelagem Matemática é um termo bastante utilizado, e pode descrever

um modelo matemático, segundo Bassanezzi (2002) como sendo um conjunto de símbolos e

relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado, sendo uma

linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambiguidades. A

Modelagem Matemática é a arte de transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.

Para O’Shea e Berry (1982), a Modelagem Matemática é o processo de escolher

características que descrevem, adequadamente, um problema de origem não matemático, para

chegar a colocá-lo numa linguagem matemática. A Modelagem é um processo interativo em

que o estágio de validação frequentemente leva a diferenças entre predições baseadas no

modelo e na realidade.

A Modelagem Matemática tem feito parte de nossas vidas há muito tempo sem que

muitas vezes nem ao menos a percebemos, ela apodera-se da matemática para representar

situações do mundo real, a fim de resolver problemas ou perguntas que nos perturbam ou nos

intrigam.

Page 17: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

18

Segundo D’Ambrósio (1986), o indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo,

observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e

busca, através da reflexão, a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se

chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faça uma análise global da realidade na qual tem

sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, esse processo é caracterizado como

modelagem.

Para Biembengut (1997), Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção

de um modelo. Sob alguns aspectos, pode ser considerado um processo artístico, uma vez que,

para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve

ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir

sobre o conteúdo matemático que melhor se adapta a realidade e senso lúdico para jogar com

as variáveis envolvidas.

Modelos matemáticos representam a realidade por meio de uma ou mais equações e

algoritmos, sendo assim, a representação matemática produz relações quantitativas entre um

conjunto de variáveis de entrada e um conjunto de variáveis de saída, ou seja, uma descrição

quantitativa da reação do sistema a determinadas condições. Neste trabalho é feita a

modelagem matemática de um atuador hidráulico.

O uso dos atuadores hidráulicos possui vantagens já conhecidas há muito tempo e

aplicações em diferentes áreas tais como: extração mineral, indústria aeroespacial, veículos de

transportes e passeio, equipamentos odontológicos, médico - hospitalar, construção civil, etc.

Conforme Von Linsingen (2003), Sistema hidráulico é um conjunto de elementos

físicos convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de

energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos.

Bavaresco (2007 apud MIOTTO, 2009) apresenta as vantagens, desvantagens e custo de

cada tipo de atuador (pneumático, óleo-hidráulico, hidro - hidráulico, elétricos rotativos e

elétricos lineares). Dentre eles, o que possui a maior lista de vantagens é o óleo-hidráulico, ou

simplesmente, hidráulico.

As principais vantagens dos sistemas de acionamento hidráulicos são:

Alta relação força/tamanho;

Paradas e partidas rápidas;

Facilidade de instalação quando comparado aos acionados eletricamente;

Finalidade de produzir perfis desejados de forças de carregamento na

estrutura em teste.

Page 18: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

19

Von Linsingen (2003) aponta algumas características relevantes dos sistemas

hidráulicos:

Baixa relação peso/ potencia;

Bom comportamento em relação ao tempo, ou seja, resposta rápida a

partida e inversão de movimento sob carga, devido aos baixos momentos

de inércia;

Adaptação automática de força ou torque;

Sistemas adequados tanto para o controle de processos em que o

movimento é rápido quanto para os de movimento de precisão

extremamente lento;

Segurança eficaz contra sobrecargas;

Componentes lubrificados pelo próprio fluido de trabalho;

Possibilidade de combinação com outros sistemas;

No entanto, os sistemas também apontam desvantagens apontadas por Von Linsingen

(2003):

Custo elevado em relação aos sistemas mecânicos e elétricos

compatíveis;

Perda de potência devida à dissipação por atrito viscoso, o que limita a

velocidade do fluido e, como conseqüência, a velocidade dos atuadores

hidráulicos;

Perdas por vazamentos internos;

Presença de ar no sistema;

Elevada dependência da temperatura.

1.2. Antecedentes deste trabalho na UNIJUÍ

Com o pressuposto de dar continuidade a trabalhos que já vem sendo realizado no

programa de Mestrado em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do

Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, e que de alguma forma, já contribuíram para uma

melhor visão no que se refere a acionamentos hidráulicos, esta dissertação refere-se à

Modelagem Matemática do acionamento hidráulico de uma bancada de ensaio de vibração.

Page 19: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

20

No âmbito dos atuadores hidráulicos, trabalhos de grande valia, realizados na UNIJUÍ,

que antecederam esta dissertação, são os de Dilda (2008) e Miotto (2009).

Dilda (2008) realizou a modelagem matemática e o controle de um atuador hidráulico

trabalhando com um modelo matemático não linear de 4ª ordem, interpretado como dois

subsistemas interconectados, ou seja, um subsistema mecânico acionado por um subsistema

hidráulico. Neste trabalho, a autora propõe um controlador em cascata para o atuador

hidráulico, objetivando projetar uma lei de controle para o subsistema mecânico onde a saída

siga uma trajetória desejada (ou o mais próximo possível) para então projetar uma lei de

controle para o sistema hidráulico, que gere como resposta a força hidráulica necessária.

Miotto (2009) apresentou a modelagem matemática da dinâmica do atrito e sua

aplicação no projeto de controle ótimo de um atuador hidráulico. O atrito considerado em

Miotto (2009) é descrito através do modelo LuGre. O atuador modelado é composto por uma

válvula proporcional de controle direcional simétrica e um cilindro hidráulico de dupla haste,

que, com a inclusão do atrito, resulta num modelo de 5ª ordem.

Da mesma forma que Dilda (2008), Miotto (2009) também interpreta o modelo como

dois subsistemas interconectados (um subsistema mecânico acionado por um subsistema

hidráulico), propondo um controlador em cascata para o atuador hidráulico.

Ambas as autoras trabalharam com um atuador composto por uma válvula proporcional

de controle direcional simétrica e um cilindro de dupla haste que é também nossa proposta de

estudo.

1.3 Descrição da bancada de vibração utilizada para os testes

Uma bancada de ensaio de vibração se faz importante devido a sua grande utilização

tendo em vista, por exemplo, uma aplicação para testes de vibração nos tanques de

combustíveis dos caminhões, e este é o principal meio de transporte das riquezas produzidas

no país, ligando todos os estados brasileiros. É observado, porém, que não existem muitos

laboratórios capazes de realizar estes testes no Brasil, segundo as normas das montadoras de

veículos.

Page 20: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

21

Prado (2011) salienta que a realização de um teste de vibração gira em torno de U$

7.000,00 e ainda, que a carga máxima que pode ser colocada na mesa dos dispositivos de teste

é de apenas 500 kg, muito abaixo do peso de muitos tanques com 80% de sua capacidade

completa com água.

Prado (2011) ainda identifica que os dispositivos para testes de vibração, existentes são

todos importados e o custo para a compra é muito elevado, ficando em torno de U$

150.000,00. O que justifica a pouca existência de laboratórios que realizam os tais testes.

No Rio Grande do Sul, atualmente tem sido realizados testes desta grandeza no

município de Bento Gonçalves, em um laboratório do SENAI. O dispositivo utilizado possui

modelo LAB composto por uma base (1), cilindro servo-hidráulico (2), conjunto mesa (3),

bolsões de ar (4), válvula direcional (5), unidade hidráulica (6), conforme ilustra a Figura 1.

Figura 1.1 – Dispositivo para teste de vibração do SENAI de Bento Gonçalves-RS

Fonte: Prado (2011)

Ao se pesquisar sobre dispositivos para teste de vibração, fonte:

labequipment.com/hvseries.html, p.1, encontra-se algumas concepções, no que diz respeito a

modelos importados que utilizam-se em geral de servo-hidráulica como sistema de

acionamento.

Page 21: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

22

Figura 1.2 – Dispositivo para teste de vibração.

A Figura 1.2 ilustra um dispositivo para teste de vibração, de menor capacidade,

utilizado, basicamente, para testes em embalagens ou produtos de pequena massa.

A Figura 1.3, ilustra outro exemplo de dispositivo de teste que possui cilindros servo-

hidráulicos, os quais são inclinados. Neste dispositivo são produzidas vibrações nos sentido,

vertical e horizontal ao mesmo tempo, este tipo de equipamento é utilizado para testar peças

em geral.

Page 22: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

23

Figura 1.3 - Dispositivo existente para realização de teste de vibração.

Fonte: Guan et al, 2010, p. 152.

Neste trabalho foi utilizado o equipamento desenvolvido por Prado (2011), como

trabalho de conclusão do curso de engenharia mecânica. para realizar os testes de vibração. A

montagem e os testes foram realizados no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e

Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ Campus Panambi.

A seguir, evidencia-se alguns detalhes, os quais que podem prejudicar os resultados dos

testes de vibração mas foram importantes na construção do dispositivo. Estes detalhes são:

A estrutura do dispositivo para teste de vibração deve suportar o peso que será

colocado sobre a mesa sem que aconteçam deformações que possam prejudicar

o desempenho do teste.

A mesa não pode girar durante o teste, para tanto é necessário desenvolver

algum dispositivo ou sistema que elimine este giro.

O dispositivo deve ser o mais estável possível para que não ocorra denomenos

de ressonância no sistema.

Page 23: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

24

O dispositivo deve ser isolado do piso, pois a vibração pode ser transmitida do

dispositivo para o piso ou do piso para o dispositivo (em caso de existir algum

equipamento ou máquina próximos).

Visando minimizar estes efeitos foram soldados na parte estrutural da bancada os

reforços (1) na mesa (2) e o flange (3) conforme ilustra Figura 1.4, de acordo com os

procedimentos de Prado (2011).

Figura 1.4: Base estrutural do dispositivo

Para eliminar o giro da mesa durante o teste, foi desenvolvido por Prado (2011) um

sistema de colunas guia no qual, uma coluna (4) tratada termicamente desliza através de uma

bucha de bronze (5). A coluna está fixa em um porta-coluna (6) que, por sua vez, está

parafusado e pinado na mesa (2). A bucha está montada em um porta-bucha (7), este, por sua

vez, está soldado no conjunto do tubo (8), que está parafusado e pinado na base de reação (9),

conforme pode ser visto na Figura 1.5.

Page 24: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

25

Figura 1.5: Conjunto Guia do dispositivo

Para suportar a força desenvolvida durante os testes realizados e evitar a interação do

piso com o dispositivo, ou vice-versa, foram utilizados por Prado (2011), 4 amortecedores de

vibração conforme ilustra a Figura 1.6.

Figura 1.6: Amortecedores de vibração

Page 25: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

26

Na Figura 1.7, pode ser vista a bancada de ensaio montada por Prado (2011) já com a

ligação hidráulica realizada.

Figura 1.7: Bancada para teste de vibração já com a ligação hidráulica

1.4 Revisão Bibliográfica

Nesta seção pretende-se apresentar uma descrição sucinta da revisão bibliográfica

relacionada à modelagem matemática de atuadores hidráulicos e suas aplicações. Inicialmente

apresenta-se um breve histórico da tecnologia de acionamento hidráulico.

Page 26: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

27

Segundo Von Linsingen (2003), na segunda metade do século XIX, W. G. Armstrong

(1810 – 1900) desenvolveu, na Inglaterra, várias máquinas hidrostáticas (operando com água

sob pressão) e componentes de sistemas de transmissão, que foram empregados,

principalmente, na indústria naval para acionamentos de âncoras e guindastes. Vários

elementos de direção hidráulica utilizados, atualmente, são semelhantes aos empregados

naquela época.

Von Linsingen (2003) comenta que no século XX, desenvolveram-se as revolucionárias

técnicas de transmissão de energia elétrica, fazendo com que a importância da transmissão

hidráulica fosse afetada, pois os acionamentos elétricos mostravam maior simplicidade. Um

grande impulso acontece em 1900 quando Eli Janney substitui água por óleo como meio de

transferência de energia, reduzindo, assim, os problemas de lubrificação e vazamentos. Neste

mesmo período Janney utiliza pistões axiais numa bomba hidrostática.

Ainda segundo Linsingen (2003), dez anos mais tarde, inicia-se o emprego de

controladores hidrostáticos de turbinas hidráulicas. No mesmo ano, Hele Shaw introduziu a

primeira máquina de pistões radiais utilizando óleo como fluido operante. Por volta de 1930,

Has Thoma da início ao desenvolvimento das máquinas de pistões axiais e, em 1936, Harry

Vickers desenvolve uma válvula limitadora de pressões pilotada.

Em meados do século passado, Merrit (1967), apresenta a importância e as vantagens da

aplicação de sistemas hidráulicos, entre elas o autor cita a capacidade de desenvolver forças

elevadas em relação ao seu tamanho ou peso, a capacidade de produzir respostas rápidas aos

comandos de partidas, paradas ou inversões de velocidade sem danos às partes mecânicas e a

disponibilidade no mercado de atuadores lineares ou rotativos proporcionando alternativas

para projeto. Por causa destas características, os atuadores hidráulicos são muito utilizados

hoje em dia.

Christensen et al. (2000) apud DILDA (2008) compara as diferentes tecnologias de

transmissão de potência e mostra que os sistemas hidráulicos são competitivos nas aplicações

com potencias ou forças altas e onde são necessários atuadores relativamente pequenos com

flexibilidade de instalação.

De Negri (2001), caracteriza um sistema hidráulico como um sistema desenvolvido

especificamente para desenvolver trabalho. Neste caso o trabalho é obtido por meio de um

fluido sob pressão agindo sobre um cilindro ou motor, que produz uma ação mecânica

Page 27: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

28

desejada. Este sistema hidráulico é o meio através do qual uma forma de energia de entrada é

convertida e condicionada de modo a se obter como saída uma energia mecânica útil.

Segundo Von Linsingen (2003), sistema hidráulico é um conjunto de elementos físicos

convenientemente associados que, utilizando um fluido como meio de transferência de

energia, permite a transmissão e controle de forças e movimentos.

Conforme Valdiero et al. (2007), sistemas hidráulicos são muito utilizados nas

indústrias do setor metal – mecânica, na mecanização agrícola e no manuseio e transporte de

materiais. De outro modo, Valdiero e Andriguetto (1999) mostram a aplicação de robôs

seriais acionados hidraulicamente em ambientes industriais insalubres, como soldagem,

pintura, polimento, tratamentos térmicos e químicos, além da movimentação de cargas.

Machado (2003) realizou o estudo do atrito de um atuador hidráulico e sua

compensação em malha fechada com o controlador em cascata fixo, ressaltando que este

controlador pode apresentar um desempenho superior aos dos controladores clássicos, tais

como, PID e controlador de estados, e possibilita que a compensação do atrito. Mostrando

traves de resultados experimentais a redução do erro de seguimento de trajetória quando o

controlador em cascata fixo com compensação de atrito é implementado.

De acordo com Machado (2003) a compensação do atrito não-linear é uma das maiores

dificuldades no controle do atuador hidráulico.

Autores como Wang e Su (2007) apud Dilda (2008), apresentam a modelagem e

controle do braço de um robô hidráulico para jateamento de concreto na construção de túneis.

1.5 Objetivos

Os principais objetivos deste trabalho são:

Revisão bibliográfica, compreendendo como o tema tem sido abordado e também,

o estudo das abordagens realizadas nos trabalhos anteriores desenvolvidos no

Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUÍ, utilizando atuador hidráulico;

Identificação de características importantes nas não linearidades do modelo do

atuador hidráulico em uma bancada de vibração;

Page 28: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

29

Proposição de modelos matemáticos modificados para o atuador hidráulico e sua

simulação computacional aplicada a problemas de engenharia de controle ótimo de

uma bancada de ensaio de vibração;

Validação experimental da modelagem e contribuição para melhoria do

desempenho das aplicações com hidráulica proporcional.

1.6 Organização do trabalho

Este trabalho está dividido em 6 Capítulos. O primeiro capítulo traz a introdução com

intuito de situar a pesquisa, neste é elaborado um breve conceito para modelagem matemática

e descrito algumas vantagens ao se utilizar atuadores hidráulicos. Neste capítulo, ainda, é

apresentada a revisão bibliográfica sobre atuadores hidráulicos e testes de vibração os quais

são o objeto da pesquisa. É feito um apanhado do que já foi trabalhado no próprio programa

de mestrado da UNIJUÍ a respeito de hidráulica, e a descrição da bancada utilizada para os

testes de vibração.

Já no capitulo 2 é elaborada a modelagem matemática do atuador hidráulico constituído

dos principais componentes do atuador hidráulico: válvula proporcional de controle direcional

e cilindro hidráulico.

No capítulo 3 apresentam-se alguns resultados obtidos realizando a simulação

computacional do atuador hidráulico em malha aberta e feita a identificação dos parâmetros

do modelo e explicada a implementação computacional.

O capítulo 4 traz uma descrição da bancada de aquisição de dados, e alguns dos

resultados experimentais. No capitulo 5 está descrita a validação computacional os resultados

obtidos na simulação computacional com os obtidos na parte experimental.

Finalmente, no capitulo 6 é elaborada uma conclusão do trabalho como um todo, e

elencadas sugestões para futura continuidade deste trabalho.

Page 29: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

30

2. MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL

2.1 Introdução

Este capítulo irá apresentar a modelagem matemática que descreve o comportamento

dinâmico do atuador hidráulico e suas principais características não lineares. O modelo

proposto é de 4ª ordem e descreve o comportamento dinâmico do atuador hidráulico, adotado

neste trabalho.

2.2 Descrição do atuador hidráulico

Neste trabalho, um atuador é hidráulico composto por uma válvula proporcional de

controle direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou

seja, a largura do ressalto é maior que a largura do orifício, e um cilindro simétrico de haste

dupla, conforme desenho esquemático mostrado na Figura 2.1.

Page 30: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

31

Figura 2.1:Desenho esquemático do atuador hidráulico

Durante o seu funcionamento, o fluido é fornecido à válvula por uma unidade de

potência e condicionamento hidráulico (UPCH) a uma pressão de suprimento . E um sinal

elétrico de controle energiza as bobinas dos solenóides proporcionais da válvula,

produzindo um deslocamento do carretel. Por sua vez, o carretel, ao ser deslocado, gera

orifícios de passagem, fornecendo fluido a alta pressão para uma das câmaras do cilindro

permitindo que o fluido da outra escoe para o reservatório que está a uma pressão .

Conseqüentemente, tem-se a variação das pressões e nas câmaras do cilindro,

resultando numa força que movimenta a massa num deslocamento .

A força gerada pelo atuador hidráulico é obtida através do produto da área transversal

do êmbolo do cilindro pela diferença de pressão. Sendo assim, é possível gerar grandes forças

com atuadores pequenos, utilizando para isso, valores elevados de pressão.

Page 31: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

32

2.3. Válvula proporcional de controle direcional

Neste trabalho, para a modelagem, consideramos uma válvula proporcional de controle

direcional do tipo carretel de quatro ressaltos, simétrica e de centro supercrítico, ou seja, a

largura do ressalto é maior que a largura do orifício (pórtico) por onde passa o fluido.

A Figura 2.2 mostra o desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a

sobreposição que existe entre o ressalto do carretel e o orifício de passagem do fluido. Essa

sobreposição é muito freqüente em sistemas mecânicos, principalmente em válvulas de centro

supercrítico e, essa imperfeição é a principal não linearidade da zona morta da válvula.

Figura 2.2: Desenho esquemático da válvula (em corte) com destaque para a sobreposição no

orifício de passagem do fluido.

A não linearidade da zona morta acontece pelo fato de que ao ser dado um sinal de

entrada, o carretel se desloca, mas não em quantidade suficiente para liberar a passagem do

fluido, causando atrasos e erros na resposta do sistema, requerendo a identificação e sua

adequada compensação. Valdiero et al.(2006) propõe uma metodologia para a identificação

da zona morta, assumindo esta zona como uma não linearidade de entrada do sistema a qual

Page 32: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

33

pode ser facilmente compensada na saída do controlador e ter seus efeitos minimizados. A

figura 2.3 mostra esta zona de não linearidade.

Figura 2.3: Representação gráfica da não linearidade da zona morta

onde:

é o sinal de controle de saída U;

é a inclinação esquerda do sinal de controle;

é a inclinação direita do sinal de controle;

é a zona morta direita;

é a zona morta esquerda;

A identificação da zona morta de uma válvula proporcional direcional do tipo carretel

será apresentada em detalhes na seção 3.4.

Page 33: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

34

Neste trabalho, as dinâmicas da válvula foram desconsideradas neste trabalho, assim ao

ser aplicado um sinal de entrada , considera-se o movimento instantâneo do carretel

representado por .

A determinação das vazões, e nos orifícios da válvula, mediante o deslocamento

do carretel, pode ser obtida a partir da equação de Bernoulli (balanço de energia)

resultando as equações (2.1) e (2.2).

))(,(..),( 1 usignpguKpuQ asaa (2.1)

))(,(..),( 2 usignpguKpuQ bsbb (2.2)

sendo o coeficiente de vazão dos orifícios e da válvula, e

, são as funções definidas como em Bu e Yao (2000), de modo que são

expressas por:

ra

as

aapp

pppusignpg ))(,(1

0

0

v

v

xpara

xpara

)3.2(

bs

rb

bbpp

pppusignpg ))(,(2

0

0

v

v

xpara

xpara

)4.2(

onde é a pressão de suprimento, é a pressão de retorno, e são as pressões nas

câmaras 1 e 2 do cilindro hidráulico, respectivamente.

As vazões e fornecidas pela válvula têm suas não linearidades

representadas pelas funções e , as quais dependem do

deslocamento do carretel da válvula, e da raiz quadrada da diferença de pressão nos

orifícios de controle. Pode se observar que significa que não há variação de pressão

Page 34: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

35

nos orifícios da válvula, assim, analisando as equações (2.1) e (2.2) resulta em não haver

vazão de fluido entre a válvula e as câmaras do cilindro.

2.4. Cilindro hidráulico

O cilindro hidráulico considerado na modelagem é simétrico e de dupla haste. Para

realizar a modelagem deste componente utilizou-se a equação da continuidade, para

determinação da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, e a equação do movimento

da haste. A Figura 2.4 mostra um desenho esquemático do cilindro.

Figura 2.4: Desenho esquemático em corte de um cilindro de haste dupla

Conforme De Negri (2001), para a compreensão dos fenômenos físicos que ocorrem no

cilindro hidráulico, inicia-se deduzindo a equação da continuidade do cilindro para uma

câmara genérica. Esta equação determina que a diferença da vazão que entra e a vazão que sai

em um dado volume de controle é igual a taxa de variação do volume com o tempo, somada a

parcela correspondente à expansão ou compressão do fluido neste volume de controle.

A Figura 2.5 mostra o escoamento de fluido na câmara genérica.

Page 35: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

36

Figura 2.5: Escoamento de fluido na câmara genérica

Aplicando-se o princípio da conservação de massa para o volume de controle genérico

de acordo com (DE NEGRI, 2001; VALDIERO, 2001), tem-se:

0

VCSC

dVt

Adv

)5.2(

Onde a primeira integral representa o fluxo líquido de massa através da superfície de

controle e a segunda, a variação da massa no interior do volume de controle. Considera-se a

massa específica constante no espaço, pois se admite que a massa seja uniformemente

distribuída no volume de controle, é a velocidade do fluido através de uma área

infinitesimal representada pelo vetor normal . Logo, a equação (2.5) aplicada ao

escoamento da Figura 2.5, resulta em:

t

V

dt

dVQQ se

(2.6)

onde e são respectivamente as vazões entrando e saindo da câmara. O termo

representa o incremento de massa específica e pode ser relacionado com o módulo de

(Volume de Controle) (Superfície de Controle)

Page 36: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

37

elasticidade do fluido e com o incremento de pressão por meio da equação (2.7) (PAIM,

1997). Em MERRIT (1967), encontra-se a dedução desta relação que é fundamentada na

aproximação de primeira ordem da série de Taylor para a variação da massa específica em

relação à variação da pressão.

pp

(2.7)

Substituindo (2.7) em (2.6), tem-se uma expansão para a equação da continuidade

aplicada a uma câmara genérica dada por:

dt

dpV

dt

dVQQ se

(2.8)

Considerando-se, portanto o cilindro simétrico de dupla haste, mostrado na Figura 2.4,

cujas expressões dos volumes e , das câmaras a e b, e suas variações são dadas por:

yAVV 101 (2.9)

yAVV 202 (2.10)

yAdt

dV1 (2.11)

yAdt

dV2 (2.12)

onde e são, respectivamente, os volumes iniciais nas câmaras a e b (incluindo os

volumes das tubulações que ligam estas câmaras às saídas da válvula. , refere-se a área da

seção transversal do êmbolo do cilindro e e são, respectivamente a posição e a velocidade

do êmbolo do cilindro.

Page 37: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

38

Aplicando-se a equação (2.8) às câmaras a e b do cilindro de dupla haste considerado e

substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.9), (2.10), (2.11) e (2.12) obtém-se as

vazões das câmaras do cilindro de acordo com as equações:

dt

dpyAVyA

dt

dpV

dt

dVQ aa

a

1011 (2.13)

dt

dpyAVyA

dt

dpV

dt

dVQ bb

b

2022 (2.14)

A partir das equações (2.13) e (2.14), pode-se escrever a expressão geral da variação das

pressões nas câmaras do cilindro hidráulico, dadas pelas equações seguintes:

yApxQyfdt

dpava

a ,1 (2.15)

yApxQyfdt

dpbvb

b ,2 (2.16)

onde ava pxQ ,

e bvb pxQ ,

são as vazões nos orifícios da válvula, dadas pelas equações

(2.1) e (2.2), e são funções não lineares:

yAV

yf

10

1

1 (2.17)

yAV

yf

20

2

1 (2.18)

Page 38: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

39

Utilizando a equação do movimento aplicada à haste do cilindro, considerando como

entrada a diferença de pressões nas câmaras e levando em conta a força de inércia

, o atrito viscoso , e a força gravitacional , têm-se o equilíbrio dinâmico mostrado

no diagrama de corpo livre da Figura 2.6 e representado pela equação (2.19).

Figura 2 6: Diagrama de corpo livre das forças atuantes no movimento do cilindro

baG ppAFyByM )( (2.19)

onde é a massa total em movimento, composta pela massa da haste do cilindro mais a carga

e pela massa do fluido deslocado, é o atrito viscoso e é a área as seção transversal do

êmbolo do cilindro.

A fim de expressar a aceleração do sistema, resultado de uma forca hidráulica

proveniente do balanço das pressões nas câmaras do cilindro, a equação (2.19) pode ser

reescrita como:

Gba FyBppAM

y )(1

(2.20)

Page 39: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

40

2.5 Modelo matemático não linear de 4ª ordem para o atuador hidráulico

Ao combinarmos as equações da dinâmica da variação das pressões nas câmaras a e b,

indicadas em (2.15) e (2.16) com a equação do movimento de carga do cilindro (2.19), obtém-

se um modelo matemático não linear de 4ª ordem que descreve a dinâmica do atuador

hidráulico, dados pelas seguintes equações:

yApuQyfp aaa ,1 (2.21)

yApuQyfp bbb ,2 (2.22)

Gba FyBppAM

y )(1

(2.23)

onde aa puQ , e bb puQ , são funções descritas respectivamente pelas equações (2.1) e (2.2),

porém a variável foi substituída por que é o sinal de controle, já que a dinâmica da

válvula foi desprezada, e são expressas pelas equações (2.17) e (2.18)

respectivamente.

O modelo matemático de 4ª ordem acima citado, pode ser facilmente escrito como um

sistema de equações na forma de variáveis de estado, de modo que pode ser escrito da

seguinte forma:

yx 1 (2.24)

yx 2 (2.25)

apx 3 (2.26)

bpx 4 (2.27)

Page 40: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

41

onde:

21 xyx (2.28)

GFxBxxAM

x )(1

2432

(2.29)

23113 , xAxuQxfx a (2.30)

24124 , xAxuQxfx b (2.31)

sendo a posição do êmbolo do cilindro, a velocidade, e as pressões nas câmaras

do cilindro.

2.6 Discussões

Este capítulo apresentou a modelagem matemática do atuador hidráulico através de seus

principais componentes, formando a partir da combinação destes, um modelo de 4ª ordem não

linear.

Na seção 2.2 foi feita a descrição do atuador hidráulico bem como a explicação do

funcionamento do mesmo a partir de um sinal elétrico de controle .

Na seção 2.3, apresenta - se a descrição da válvula proporcional de controle direcional e

suas vazões e . Logo em seguida, na seção 2.4, realizou-se a modelagem matemática do

cilindro hidráulico expressando a variação das pressões nas câmaras do cilindro hidráulico e,

ainda, a aceleração do sistema proveniente do balanço das pressões nas câmaras do cilindro.

Na seção 2.5, no entanto, descreve-se o modelo matemático não linear de 4ª ordem para

o atuador hidráulico, que descreve a dinâmica do mesmo. Apresentando ao mesmo tempo, o

modelo matemático de 4ª ordem, escrito em variáveis de estado.

Page 41: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

42

3. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO ATUADOR HIDRÁULICO

3.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os resultados de simulação computacional em malha

aberta do modelo matemático não linear de 4ª ordem, apresentado no capítulo 2, que descreve

o comportamento do atuador hidráulico.

As simulações foram implementadas computacionalmente com o auxílio do

MatLab/Simulink, utilizando-se o método Runge Kutta de 4ª ordem com passo de integração

de 0,001 segundos para aproximar a solução do sistema de equações diferenciais.

Miotto (2009) assinala que o MatLab é um software para solução numérica de

problemas científicos que integra ferramentas de análise numérica, cálculo matricial,

processamento de dados e geração de gráficos. O Simulink é uma extensão do MatLab, no

qual a representação do modelo matemático é realizada através de diagramas de blocos, sendo

apropriado para a simulação numérica de sistemas dinâmicos. O Simulink dispõe de uma

extensa biblioteca de blocos pré-definidos, possibilitando ao usuário a representação dos mais

variados sistemas lineares e não lineares.

A seção 3.2 apresenta a descrição dos parâmetros utilizados na simulação

computacional. A seção 3.3 apresenta a descrição da implementação e da simulação

computacional do modelo em malha aberta, na seção 3.4 são apresentados os resultados da

simulação em malha aberta.

3.2 Parâmetros do atuador hidráulico

Os parâmetros utilizados na simulação computacional são os mesmos obtidos da

bancada experimental, conforme descrito na Tabela 1:

Page 42: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

43

Tabela 1: Parâmetros utilizados na simulação computacional do atuador hidráulico.

Parâmetro Descrição

Pressão de suprimento

Pressão de reservatório (retorno)

Coeficiente de vazão

Volume inicial na câmera a

Volume inicial na câmera b

1, 6493 Área da seção transversal do êmbolo

Módulo de elasticidade do fluido

Massa deslocada

Comprimento do curso do cilindro

Pressão inicial de trabalho

Pressão inicial de trabalho

3.3 Implementação computacional do modelo matemático

Esta seção apresenta uma descrição detalhada do procedimento utilizado na

implementação computacional em malha aberta do modelo matemático para atuadores

hidráulicos descrito na seção 2.

A Figura 3.1 traz o diagrama de blocos utilizado para a simulação computacional do

modelo matemático.

O primeiro bloco representa a entrada do sistema dinâmico, caracterizado como sinal de

controle em malha aberta u.

O objetivo em realizar simulações computacionais em malha aberta, de modelos

matemáticos, é entender as características do sistema e suas respostas dinâmicas. É possível

usar como entrada um sinal de controle em degrau ou senoidal.

Page 43: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

44

Figura 3.1: Diagrama de blocos do modelo matemático do atuador hidráulico com entrada em

degrau

É notório na figura 3.1, que o diagrama é composto por três subsistemas

interconectados, onde o primeiro apresenta a Equação da Vazão, o segundo a Dinâmica da

Força Hidráulica e por fim, o terceiro, a Dinâmica do movimento do êmbolo.

A figura 3.2, mostra o diagrama de blocos que representa as equações (2.1) e (2.2) as

quais representam as equações das vazões de fluido hidráulico nas câmaras a e b

respectivamente.

O sinal de controle é a entrada nesse subsistema, o qual é realimentado por

(pressão na câmara a) e por (pressão na câmara b), resultando em uma interligação entre o

bloco da dinâmica da válvula com o da dinâmica da força hidráulica. As variáveis de saída, no

entanto, são vazões nas câmaras do cilindro e e a força hidráulica de acordo com a

figura 2.4.

Como visto na seção 2, as equações (2.1) e (2.2) apresentam suas não linearidades

representadas pelas funções e , as quais dependem do

sinal da entrada e da raiz quadrada da diferença de pressão nos orifícios de controle da

válvula.

Page 44: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

45

A figura 3.2 apresenta o diagrama de blocos da Equação da vazão onde se descreve a

não linearidade acima mencionada.

Figura 3.2: Diagrama de blocos da equação da vazão

A Figura 3.3, representa na forma de diagrama de blocos o subsistema da dinâmica da

força hidráulica, onde encontram-se a variação das pressões nas câmaras do cilindro

hidráulico dada pelas expressões (2.15) e (2.16). Tendo como variáveis de entrada as vazões

nas câmaras a e b do cilindro, respectivamente. A posição do êmbolo do cilindro y e

a variação da posição do êmbolo em função do tempo, ou seja, velocidade , são

realimentadas e provém do subsistema seguinte. Ocasionando assim, mais uma interligação

entre os subsistemas, agora com o subsistema da Dinâmica do Movimento do Êmbolo.

As variáveis de saída são as pressões nas câmaras do cilindro . Entretanto é

importante ressaltar que as pressões iniciais nas câmaras, não são nulas, de forma

Page 45: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

46

que é necessário determiná-las. Estas pressões iniciais devem ser configuradas como condição

inicial nos respectivos blocos de integração.

Figura 3.3: Diagrama de blocos da Dinâmica da força hidráulica.

A Figura 3.4 representa o diagrama de blocos do subsistema da equação (2.20) que se

refere ao movimento do êmbolo do cilindro. Tem-se como entrada, a força hidráulica

resultante do balanço das pressões , e a saída é o movimento do êmbolo representado

pelas variáveis de estado de deslocamento e de velocidade do atuador hidráulico, ,

respectivamente.

Page 46: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

47

Figura 3.4: Diagrama de blocos do subsistema Dinâmica do Movimento do Êmbolo

3.4 Identificação da Zona Morta da válvula

Como visto na seção 2.3, a zona morta é uma não linearidade que necessita ser

compensada para evitar efeitos que prejudicam a interpretação concisa dos resultados. Esta

zona com as sobreposições nos orifícios da válvula está ilustrada na Figura 2.2. De outro

modo, a figura 2.3 mostra que existe uma zona morta tanto para sinais negativos (zona morta

esquerda) quanto para sinais positivos (zona morta direita) do comando da válvula.

A figura 3.5, mostra que largura do ressalto do carretel é maior que a largura do orifício

de passagem do fluido no pórtico desenho o que caracteriza uma zona morta.

Page 47: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

48

Figura 3.5: Vista em corte do desenho esquemático de uma válvula proporcional direcional

tipo carretel com detalhe para a zona morta.

A determinação do valor utilizado para compensação da zona morta foi obtido através

de testes experimentais.

Prado (2011) mostra que a zona morta direita, , da válvula proporcional utilizada

nos testes como sendo conforme visto na figura 3.6. Como a válvula é simétrica,

o valor da zona morta esquerda, , será de e pode ser identificado realizando

um teste similar a este.

Figura 3.6: Resultado para identificação da zona morta direita (zmd) da válvula

Fonte Prado (2011)

Page 48: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

49

3.4 Resultados das simulações em malha aberta

Nesta seção apresentam-se os resultados das simulações computacionais do modelo

matemático não linear de 4ª ordem. Os parâmetros do modelo são os apresentados na tabela 1,

os diagramas de blocos utilizados na implementação do modelo matemático e as condições de

simulação foram comentados na seção anterior. Foram realizadas simulações para um sinal de

entrada em degrau, cujos resultados são mostrados nas próximas seções.

3.4.1 Entrada em Degrau

A entrada em degrau dá condições para analisar o comportamento das variáveis de

estado do atuador hidráulico em resposta à partidas rápidas, comuns em várias situações.

Ao realizar as simulações, se faz necessário regular o tempo de simulação para cada

valor de degrau utilizado para que, desta forma, se possa respeitar o limite de curso do

atuador, uma vez que, nos diagramas de blocos usados para as simulações computacionais não

foram ponderados tais limites.

A figura 3.7 mostra um sinal de controle de (20% da abertura da

válvula). Neste caso, a Zona Morta é de + , e o sinal de .

Page 49: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

50

Figura 3.7: Sinal de controle

A Figura 3.8 mostra o movimento do êmbolo do cilindro quando se aplica um sinal de

controle de considerando um tempo de simulação de .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6sinal de controle

Tempo (s)

u (

Volts)

sinal de controle u

Page 50: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

51

Figura 3.8: Comportamento do movimento do êmbolo do cilindro

Percebe-se através da analise dos resultados mostrados na Figura 3.9 que quando o

tempo de simulação, , é regulado para segundos, o deslocamento do êmbolo do

cilindro não ultrapassa o final de curso quando em simulação respeitando, assim,os limites

físicos do atuador.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Movimento do êmbolo

Posiç

ão y

(m)

Tempo (s)

Page 51: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

52

Figura 3. 9: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com Volts e

De outro modo, a Figura 3.10 mostra que durante as simulações observa-se que as

vazões em ambas as câmaras acontecem praticamente de forma simétrica para um .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5 Vazão

Tempo (s)

m³/

s

vazão na camara a

vazão na camara b

Page 52: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

53

Figura 3.10: Gráfico das vazões nas câmaras do cilindro com

Na Figura 3.11, mostra o comportamento das pressões e nas câmaras do cilindro

quando simulados em .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5 Vazão

Tempo (s)

m³/

s

vazão na camara a

vazão na camara b

Page 53: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

54

Figura 3.11: Comportamento das pressões nas câmaras com

A Figura 3.12 mostra a dinâmica das pressões e no cilindro quando simulados em

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2x 10

6 Comportamento das pressões nas câmaras

Tempo (s)

Pre

ssão(P

a)

pa

pb

Page 54: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

55

Figura 3.12: Comportamento das pressões nas câmaras com

Quando se compara os resultados mostrados nas Figuras 3.11 e Figura 3.12, observa-se

que, após alguns décimos de segundos da simulação, tanto as vazões quanto as pressões, se

estabilizam em torno de um ponto de equilíbrio de magnitude 0,2 comparativamente.

A Figura 3.13 mostra o comportamento inicialmente amortecido da aceleração do

êmbolo do cilindro. Este amortecimento dura uma fração muito pequena de tempo.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2x 10

6 Comportamento das pressões nas câmaras

Tempo (s)

Pre

ssão(P

a)

pa

pb

Page 55: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

56

Figura 3.13: Aceleração do êmbolo do cilindro

A Figura 3.14 ilustra as pequenas oscilações amortecidas da velocidade do êmbolo no

cilindro em um curto intervalo de tempo.

Tanto as oscilações amortecidas da aceleração quanto da velocidade não são

perceptíveis no posicionamento do cilindro mostradas na simulação na Figura 3.8.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6aceleração

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

Page 56: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

57

Figura 3.14: Velocidade do êmbolo

Usando o sinal de controle (60 da abertura da válvula) obtém-se um

movimento do cilindro como descreve a Figura 3.15. Para a simulação foi regulado o tempo

de simulação em , respeitando o limite de curso do cilindro. Este movimento é

praticamente linear e crescente.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

x 10-3 velocidade

Velo

cid

ade (

m/s

)

Tempo (s)

Page 57: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

58

Figura 3.15: Movimento do êmbolo com sinal de controle

A Figura 3.16 apresenta o comportamento do sinal de controle na válvula quando se

desconta o efeito de Zona Morta. Nesta situação aplicou-se um sinal de controle

e descontou-se da região de Zona Morta.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Movimento do êmbolo

Posiç

ão y

(m)

Tempo (s)

Page 58: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

59

Figura 3.16: Sinal de controle descontada a zona morta.

A Figura 3.17 mostra o comportamento das pressões e nas câmaras do cilindro

nestas novas condições consideradas, ou seja, com 60% de abertura da válvula e um tempo de

simulação de 1,15 segundos.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.43.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4sinal de controle

Tempo (s)

u (

Volts)

sinal de controle u

Page 59: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

60

Figura 3.17: Comportamento das pressões nas câmaras do cilindro descontada a Zona Morta

A Figura 3.18 mostra as vazões nos orifícios da válvula para um sinal de controle,

e .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

6 Comportamento das pressões nas câmaras

Tempo (s)

Pre

ssão(P

a)

pa

pb

Page 60: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

61

Figura 3.18: gráfico das vazões descontadas a Zona Morta

É importante ressaltar que compararmos os gráficos da Figuras 3.17 e 3.18 com os

gráficos mostrados nas Figuras 3.11 e 3.12, fica visível que, quanto maior o sinal de entrada

aplicado, maiores as oscilações do sistema e mais rápido se alcança o ponto de equilíbrio.

A Figura 3.19 mostra o comportamento da aceleração do êmbolo do cilindro nesta nova

simulação.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-4 Vazão

Tempo (s)

m³/

s

vazão na camara a

vazão na camara b

Page 61: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

62

Figura 3.19: Gráfico da aceleração do êmbolo

A Figura 3.20 mostra esta aceleração do êmbolo do cilindro quando se observa em um

incremento de tempo muito pequeno.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

aceleração

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

Page 62: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

63

Figura 3.20: Gráfico da aceleração do êmbolo do cilindro

Analisando as Figuras 3.19 e 3.20 observa-se a vantagem dos atuadores hidráulicos em

partidas rápidas, pois eles têm capacidade de alcançar altas acelerações em curto espaço de

tempo.

A Figura 3.21, descreve a velocidade do êmbolo do cilindro, aumentando em um certo

espaço de tempo de modo a fornecer picos de velocidade de acordo com as condições iniciais

da Tabela 1. Estes valores são importantes nas especificações dos componentes construtivos

do atuador hidráulico. Os fabricantes de cilindros hidráulicos recomendam que para

velocidades de trabalho maiores que sejam especificadas vedações especiais para o

êmbolo e as hastes dos cilindros.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0

2

4

6

8

10

12

14

16

aceleração

Acele

ração (

m/s

²)

Tempo (s)

Page 63: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

64

Figura 3.21: Gráfico da velocidade do êmbolo do cilindro

3.5 Discussões

Este capítulo apresentou em um primeiro instante, os parâmetros do atuador hidráulico,

tomados para a simulação computacional do modelo de 4ª ordem não linear. Em seguida foi

feita a apresentação dos diagramas de blocos do sistema em Simulink, utilizados nas

simulações computacionais, bem como, a descrição detalhada da implementação

computacional do modelo matemático e a identificação da não linearidade da zona morta. As

simulações computacionais do modelo em malha aberta para o sinal de entrada em degrau

foram também apresentadas, constatando-se as características do comportamento do sistema.

Os resultados das simulações feitas demonstram a eficiência da metodologia proposta

para a implementação dos diagramas de blocos permitindo, assim, observar o comportamento

dinâmico do atuador hidráulico e validar o modelo matemático escolhido neste trabalho.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1velocidade

Velo

cid

ade (

m/s

)

Tempo (s)

Page 64: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

65

4. DESCRIÇÃO DA BANCADA DE AQUISIÇÃO DE DADOS E RESULTADOS

EXPERIMENTAIS

4.1 Introdução

Nesta seção apresentam-se os resultados dos testes experimentais realizados no Núcleo

de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ campus

Panambi, bem como, a descrição da bancada utilizada para a aquisição dos dados

experimentais.

4.2 Descrição da bancada de aquisição

O sistema de controle é composto por uma placa eletrônica dSPACE 1104 (hardware),

pela integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk e pelos diversos sensores

utilizados para medir as variáveis do sistema. Para a obtenção de resultados confiáveis é

necessário que sejam utilizados dispositivos capazes de medir o deslocamento da mesa da

bancada e/ou a aceleração e a frequência, de acordo com os requisitos das normas das

montadoras. Para alimentação dos componentes com corrente contínua de 24 VDC, foram

utilizadas: uma fonte de alimentação de corrente contínua Instrutherm como mostra a Figura

4.1 e uma fonte controlada HP como ilustra a Figura 4.2.

Page 65: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

66

Figura 4.1: Fonte Instrutherm para alimentação dos sensores

Figura 4.2: Fonte HP para alimentação da válvula proporcional

A figura 4.3, mostra em detalhes dois transdutores de pressão utilizados, na câmara do

cilindro hidráulico conforme sugere Prado (2011).

Page 66: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

67

Figura 4.3: Válvula proporcional NG6 e transdutores de pressão Zürich PSI-420

Para a medição vertical à mesa da bancada foi utilizado um transdutor de posição da

marca Balluff tipo BTL6-A. E, para o controle da válvula proporcional BOSCH NG6

mostrado na Figura 4.3.

A válvula foi controlada utilizando-se uma cartela eletrônica marca BOSCH WV 45-

RGC 2 conforme ilustra a Figura 4.4.

Page 67: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

68

Figura 4.4: Detalhe para a Cartela Eletrônica e para o capacitor

Para o melhor funcionamento da cartela eletrônica foi necessário utilizar um capacitor

eletrolítico 4700 μF X 35V, como carga para suavizar os picos de corrente, conforme ilustra a

Figura 4.4.

A Figura 4.5 mostra um sistema de proteção contra curtos para a placa de controle da

dSPACE. Este sistema é constituído por um amplificador operacional opto acoplado e serve

exclusivamente para segurança do sistema eletrônico de controle. Este mesmo sistema foi

também utilizado por Prado (2011) em seu trabalho de conclusão de curso e se mostrou

bastante eficiente.

Page 68: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

69

Figura 4.5: Opto acoplador para proteção da placa eletrônica dSPACE

A Figura 4.6 mostra a placa de controle com o sistema dSPACE ligada a um

microcomputador, em detalhes na figura 4.6.

Figura 4.6: Foto da bancada de aquisição

Page 69: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

70

4.3 Resultados experimentais

A seguir são apresentados alguns resultados experimentais de validação dos modelos

computacionais obtidos nos equipamentos do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas

e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ campus Panambi.

A Figura 4.7 destaca o sinal de controle dado à válvula proporcional de controle

direcional indicado por (20% da abertura da válvula), e descreve o

movimento do carretel da válvula, .

Figura 4.7: Identificação do sinal de controle

A Figura 4.8 mostra o deslocamento “y” do cilindro hidráulico da bancada.

0 5 10 15 20 25 30-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Gráfico

tempo (s)

u [

V]

u (V)

xv (V)

Page 70: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

71

Figura 4.8: Deslocamento “y” do cilindro na bancada

A Figura 4.9 mostra o comportamento das pressões além da diferença quando o

sistema hidráulico é colocado em funcionamento.

0 5 10 15 20 25 30-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Gráfico

tempo (s)

posiç

ão [

m]

y (m)

xv/10 (V)

Page 71: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

72

Figura 4.9: Comportamento das pressões com

A Figura 4.10 descreve deslocamento “y” da haste do cilindro, bem como um “y”

ajustado no trecho de . Neste caso foi ampliada escala mostrada na Figura 4.8.

0 5 10 15 20 25 30-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Gráfico Pressões

tempo (s)

pre

ssão n

as c

âm

ara

s [

Pa]

pa(bar)

pb(bar)

deltap(bar)

Page 72: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

73

Figura 4.10: gráfico do ajuste de “y”

A Figura 4.11 descreve o menor sinal de controle (100% da abertura da

válvula) aplicado durante os testes de vibração realizados. Descreve também o movimento do

carretel da válvula, .

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Gráfico

tempo (s)

deslo

cam

ento

[m

]

y(m)experimental

y(m)ajuste

Page 73: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

74

Figura 4.11: Sinal de controle

A Figura 4.12 descreve o deslocamento “y”do cilindro quando se aplica uma tensão de

controle de e compara-se ao movimento do carretel da válvula.

0 2 4 6 8 10 12-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Gráfico

tempo (s)

u [

V]

u (V)

xv (V)

Page 74: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

75

Figura 4.12: Deslocamento y, do cilindro durante o teste de vibração com

A Figura 4.13 mostra o deslocamento “y”do cilindro mostrando uma faixa ampliada

durante o inicio do movimento, comparativamente a Figura 4.12.

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Gráfico

tempo (s)

u [

V]

y (m)

xv/10 (V)

Page 75: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

76

Figura 4.13: Deslocamento do cilindro durante o teste de vibração com e com

zoom mostrando o início do percurso.

Na Figura 4.14 observa-se que a pressão na câmara a ( ) é de aproximadamente

e na câmara b ( ), de aproximadamente , isso implica que, sendo a maior

que , o deslocamento do cilindro acontece para baixo.

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Gráfico

tempo (s)

u [

V]

y (m)

xv/10 (V)

Page 76: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

77

Figura 4.14: Gráfico da comparação das pressões nas câmaras do cilindro

A Figura 4.15 representa o ajuste do deslocamento y do cilindro quando se utiliza um

sinal de controle de , num trecho de a .

0 2 4 6 8 10 12-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Gráfico Pressões

tempo (s)

pre

ssão n

as c

âm

ara

s [

Pa]

pa(bar)

pb(bar)

deltap(bar)

Page 77: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

78

Figura 4.15: gráfico do ajuste de “y” com

A figura 4.16 descreve um sinal de controle de , ou seja, e

descreve, também, o movimento do carretel da válvula expresso por .

3.85 3.9 3.95 4 4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06Gráfico

tempo (s)

deslo

cam

ento

[m

]

y(m)experimental

y(m)ajuste

Page 78: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

79

Figura 4.16: Sinal de controle , e movimento do carretel da válvula

A Figura 4.17 descreve a trajetória do deslocamento “y” da haste do cilindro hidráulico

quando se usa um sinal de controle .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Gráfico

tempo (s)

u [

V]

u (V)

xv (V)

Page 79: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

80

Figura 4.17: Deslocamento do cilindro hidráulico com sinal de controle

A Figura 4.18 mostra em escala ampliada o deslocamento do cilindro hidráulico.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Gráfico

tempo (s)

posiç

ão [

m]

y (m)

xv/10 (V)

Page 80: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

81

Figura 4.18: Zoom do deslocamento do cilindro hidráulico apresentado na Figura 4.17

A Figura 4.19 mostra as pressões na câmara do cilindro.

2.5 3 3.5 4 4.5

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Gráfico

tempo (s)

posiç

ão [

m]

y (m)

xv/10 (V)

Page 81: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

82

Figura 4.19: Pressões nas câmaras do cilindro

A Figura 4.20 mostra o ajuste do deslocamento do cilindro hidráulico

comparativamente ao valor obtido experimentalmente.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Gráfico Pressões

tempo (s)

pre

ssão n

as c

âm

ara

s [

Pa]

pa(bar)

pb(bar)

deltap(bar)

Page 82: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

83

Figura 4.20: Ajuste do deslocamento do cilindro hidráulico

Na Figura 4.19 percebe-se o comportamento das pressões nas duas câmaras do cilindro

hidráulico. É notório que a pressão inicial na câmara ( ) é de aproximadamente 1 , e

na câmara ( ), de aproximadamente 31 , isso faz no entanto, que a pressão maior

desloque a haste do cilindro para cima, ou seja, para o sentido positivo do cilindro. Já na

Figura 4.20, percebe-se o ajuste do deslocamento da haste do cilindro hidráulico, comparado

com o deslocamento experimental no intervalo determinado a partir de um zoom mostrado na

Figura 4.186 no intervalo de a segundos.

4.4 Discussões

Este capítulo apresentou na seção 4.2, a descrição da bancada de aquisição dos dados

experimentais e na seção 4.3 mostrou-se alguns resultados experimentais obtidos. Entre estes

o deslocamento do êmbolo do cilindro hidráulico em função do tempo de simulação e a

variação das pressões nas distintas câmaras ( e ) do cilindro. Posteriormente, faz-se um

ajuste do deslocamento do êmbolo do cilindro, comparando com o resultado do deslocamento

y do experimento através da escolha de trecho onde o movimento do cilindro se comporta de

forma linear.

Page 83: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

84

5. VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL

5.1 Introdução

Este capítulo trata da validação experimental do modelo adotado, ou seja, da

comparação entre os resultados encontrados na simulação computacional versus simulação

experimental.

Esta é uma parte muito importante do trabalho, pois é fazendo-se a validação

experimental que compara-se os resultados encontrados nos dois âmbitos, simulação

computacional e experimental coincidem ou pelo menos, se aproximam.

5.2 Resultados da validação experimental

A parte experimental deste trabalho foi realizada com diferentes sinais de controle ,

sendo que o valor máximo foi de e o mínimo de

A seguir apresenta-se a comparação entre os resultados da simulação computacional e

com os resultados da parte experimental. Neste caso, foram selecionados aleatoriamente os

sinais de controle para validar os modelos.

A Figura 5.1 mostra a comparação entre um resultado da simulação computacional e do

resultado experimental usando um sinal de controle , um coeficiente de

amortecimento viscoso e massa

Page 84: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

85

Figura 5.1: Simulação computacional versus experimental com

Pode-se observar que o a trajetória do embolo do cilindro na simulação computacional

não está sobreposto a trajetória obtida experimentalmente sendo que para que validemos o

modelo, estes resultados precisam estar o mais próximo possível se não totalmente

sobrepostos. Para tentar ajustar esta curva foram feitas alterações no valor do coeficiente de

atrito viscoso.

A Figura 5.2 mostra a comparação entre o resultado da simulação computacional e a

experimentação com sinal de controle e .

0 5 10 15 20 25 30-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

tempo (s)

posiç

ão (

m)

Gráfico simulação X experimeto

simulação

experimental

Page 85: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

86

Figura 5.2: Comparação entre simulação computacional versus Experimental com

Percebe-se que ao aumentarmos o valor de (coeficiente de atrito viscoso) de 1500

para 1800 , o desenho da linha que expressa o resultado da simulação computacional

ficou praticamente sobre a linha que descreve o comportamento da simulação experimental,

validando, no entanto, o modelo escolhido.

A Figura 5.3, descreve o deslocamento do êmbolo do cilindro na parte experimental

comparando o mesmo com o deslocamento obtido na simulação computacional usando

, degrau e tempo de simulação de .

Page 86: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

87

Figura 5.3: Comparação entre a parte experimental e simulação computacional

A Figura 5.4, descreve a trajetória do êmbolo do cilindro hidráulico em um tempo de

simulação , sinal de controle , coeficiente de atrito viscoso

, e degrau de .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

tempo (s)

y(m

)

comparação experimento X simulação

simulação

experimental

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88

Figura 5.4: Gráfico da comparação do deslocamento do y experimental e simulado

5.3 Discussões

Neste capítulo foram apresentados os resultados da comparação entre os resultados

obtidos nas simulações computacionais, com os resultados experimentais escolhendo-se

arbitrariamente sinais de controle de acionamento das válvulas.

Os resultados da validação experimental ilustram a eficiência do modelo adotado e da

metodologia proposta para a implementação dos diagramas de blocos e permitem observar o

comportamento dinâmico do atuador hidráulico, validando o modelo matemático considerado.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

tempo (s)

y(m

)comparação experimento X simulação

simulação

experimental

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89

6. CONCLUSÃO

Nesta dissertação apresentou-se a modelagem matemática de um sistema de atuação

com hidráulica proporcional aplicado numa bancada para testes de vibração, resultando num

sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares de 4ª ordem, bem como, a simulação

computacional para a qual utilizou-se o software MatLab/Simulink.

Inicialmente, apresentou-se uma breve revisão bibliográfica sobre atuadores hidráulicos

e suas vantagens em relação aos atuadores pneumáticos e elétricos.

Em seguida, foi realizada a Modelagem Matemática não linear do atuador hidráulico

considerando-se apenas a característica linear de atrito viscoso.

Para a realização das simulações computacionais o modelo matemático foi interpretado

na forma de diagramas de blocos da biblioteca simulink. Apresentou-se no entanto, o processo

utilizado para chegar aos resultados, desde a construção dos diagramas de blocos, os dados

utilizados até a interpretação dos resultados.

Neste trabalho foi mostrado também alguns resultados obtidos experimentalmente

utilizando uma bancada de testes de vibração, do Núcleo de Inovação em Máquinas

Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ Campus Panambi.

A partir dos resultados obtidos validou-se experimentalmente o modelo matemático

utilizado, ilustrando a eficiência deste, bem como, da metodologia proposta.

Para prosseguimento deste trabalho sugere-se:

- inclusão da dinâmica não linear do atrito em atuadores hidráulicos;

- desenvolvimento de um controlador para o atuador de acordo com as condições

exigidas nos testes de vibração comerciais.

Page 89: MODELAGEM MATEMÁTICA DO ACIONAMENTO HIDRÁULICO DE

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