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Modelagem e Simulação de Sistemas.
Enrique Ortega
Unicamp, março 2006.
Revisão: junho 2007
www.unicamp.br/fea/ortega
Faculdade de Engenharia de Alimentos
Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada
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Modelagem e simulação
a. As leis da Termodinâmica;
b. Os balanços de massa e energia;
c. O conceito de sistema fechado e aberto;
d. A tipologia das fontes de energia,
e. As funções que descrevem as interações entre os elementos de um sistema.
Para fazer a simulação de sistemas é necessário conhecer:
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Para representar um sistema usaremos o diagrama de fluxos de energia.
Nesse diagrama usam-se símbolos gráficos (ícones) para mostrar os componentes e as interações do sistema.
Existem símbolos para: fontes externas, linhas de escoamento de energia e/ou massa, interações de forças e estoques de energia.
“Ecossistemas e Políticas Públicas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco
“Modelagem e simulação de Ecossistemas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/ecosim
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Fluxo de Energia
Produtor
Fonte externa ilimitada
Estoque interno
Transação
preço
Sumidouro de Energia
Fonte externa não renovávellimitada
ConsumidorInteração
Sistema ou subsistema
Interruptor
Símbolos com conexões
Fonte externa renovávellimitada
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Existem várias técnicas de modelagem:
A determinística consiste em propor um tipo de comportamento entre forças, interações e produtos para um sistema, ela exige testar o desempenho do modelo e achar os valores corretos para os coeficientes utilizados.
a estatística, a fenomenológica, a determinística, e outras.
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Porque simular? Geralmente interessa prever o desempenho de um sistema, observando como mudam os estoques internos com o tempo (Q versus T).
O modelo permite visualizar o impacto de:
alteração na composição das forças externas
formação de novos arranjos internos.
DQ = J*DT - K*Q*DT
Q
T
alteração nos fluxos internos
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O modelo de um sistema permite ações de controle para melhorar o desempenho, e atingir certos padrões de qualidade.
Para fazer a simulação de um sistema pode usar-se qualquer linguagem de programação ou planilhas eletrônicas ou aplicativos específicos (MatLab, Matemática, Stella, iThink, Simile, EmSim).
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Leis da Termodinâmica
Primeira lei: “A energia não se cria e não desaparece,ela apenas muda de forma"
E = constante = soma de energias
Segunda lei: "A energia potencial se converte em trabalho (W) e energia degradada (Q)"
E = W + Q
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Princípios dos sistemas abertos (quarta e quinta leis da termodinâmica) :
"Os sistemas criam laços auto-catalíticos e se auto-organizam."
Os sistemas abertos evoluem e sua evolução depende da energia externa disponível, da organização interna e do aproveitamento dos resíduos do sistema.
“Os sistemas interagem para criar redes de fluxo de energia”.
As redes permitem aumentar a circulação de materiais e a captura de energia potencial disponível.
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Princípios dos sistemas abertos
Os sistemas pulsam, eles se desenvolvem em ciclos de produção, consumo, reciclagem.
Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o sistema cresce.
O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para incorporar mais estoques.
Do ponto de vista do sistema terrestre vive-se um momento de intenso consumo de estoques e esse crescimento é visto como um processo contínuo, autônomo e infinito, sendo que é apenas parte de um ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio.
Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para a energia se aplicam também para a massa:M = constante no sistema = soma de massas
M disponível = M transformada + M dispersada
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Exemplo 1. Fluxo constante de energia (J) e uma saída (kQ)
Temos um sistema que recebe o fluxo J, possui um estoque Q e apresenta uma vazão de saída proporcional ao volume do estoque Q. Como será o gráfico Q x T?
O fluxo constante J, expressado em energia ou massa por unidade de tempo permite durante o incremento de tempo DT (segundos) aumentar em DQ o estoque interno Q (Joules ou kg).
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Diferença no estoque no intervalo DT = entrada ocorrida em DT- saída ocorrida em DT
Entrada de energia no intervalo de tempo DT: DQ (in) = J * DT -> (J/s).(s) ou (kg/s).(s)
O estoque tem um dreno e assumimos que a a vazão de saída é proporcional ao estoque de energia. Então a saída de energia no intervalo de tempo dT é: DQ (out) = K*Q*DT -> (1/s).(J).(s) ou (1/s).(kg).(s)
A equação do balanço de energia no intervalo DT é: Acumulação = Entrada - Saída DQ = DQ(in) - DQ(out)
DQ = J*DT - K*Q*DT
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DQ = J*DT - K*Q*DT
Se o intervalo de tempo for unitário (DT = 1) a expressão fica como: DQ = J - K*Q Para simular a variação do estoque interno de energia Q no decorrer do tempo T teríamos que escrever em qualquer linguagem de programação o seguinte procedimento:
Inicio do programa Definir o tipo o os nomes das variáveis: J, Q, T, DT, K, TMAX e atribuir valores iniciais as variáveis:
J=4 Q=10K=0.05
Q = Q + DQ
T=0 DT=1 TMAX=10
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Q versus T
0,000
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
80,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
Q versus T
0,000
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
140,000
160,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
Q versus T
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
K=0.05
K=0.0025
K=1.0
DQ = J*DT - K*Q*DT
J=4 Q=10
K=0.05 T=0
DT=1 TMAX=10
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Applets Java
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Modelos básicos
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Q
Tanque
Energia externa
K*Q
Energia dispersada
J
Q
Dreno
K*Q
Energia dispersada
DQ = J - K*Q*DT
DQ = - K*Q*DT
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Q
Estoque não renovável
K2*QK1*E
Q
Dreno
K2*Q
E
XEnergia externa
Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação
K1*J*Q
Dreno
DQ = K1*E – K2*Q
DQ = K1*J*Q – K2*Q
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R
Q
Dreno
K2*Q*Q
XEnergia externa
Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação
X
K1*J*Q
Q
Dreno
K2*Q
XEnergia externa
Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação
K1*R*Q
J
DQ = K1*R*Q – K2*Q
DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q
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Q
Dreno
K2*Q
X
Fonte limitada
E
R
Q
Dreno
K3*Q
XEnergia externa
K1*R*Q
J
EX
K1*E*Q
K2*E*QFonte limitada
Fonte limitada na origem
Laço de retro-alimentação
DQ = K1*E*Q – K2*Q
DQ = K1*R*Q + K2*E*Q – K3*Q
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Uso da ferramenta EmSim para resolver o modelo SlowRen
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Modelo
SlowRen
Desenvolvimento com recursos renováveis, inicialmente há grandes estoques disponíveis que se esgotam e depois se sustenta com fluxos contínuos.
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Modelagem e simulação
Fonte de energia renovável de fluxo pequeno
Interação de consumo
Estoque de formação lenta
QE
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
-k4E
-k*E*Q
+ k1*E*Q
– k3*Q
Um balanço para cada nó.As vezes, também nas fontes!
Estoque de formação rápida
J
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Diagrama sistêmico
QE
Je
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
-> Simulação
-> Modelagem
-> Calibração (com dados dos fluxos e dos estoques)
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Equações dos balanços dos estoques e das fontes
QE
Je
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
Re = Je / (1 + k0*E*M)
Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*M*E – k2*E –k3*E*Q
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
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Je
Equações dos balanços em torno dos estoques e das fontes
QE
Se
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
Re = Je / (1 + k0*M*E)
Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*E*M*Re – k2*B –k3*E*Q
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
E
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SlowRen
J
Fonte de energia externa limitada
Interação de consumo
Estoque de formação lenta
QE
S
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
k4E
-k*E*Q
+ k1*E*Q
– k3*Q
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SlowRen
DE/DT = + J – k4*E -k0*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
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Agora vamos a prática!