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Universidade de São PauloEscola de Engenharia de São Carlos

Departamento de Engenharia Mecânica

SEM0533 - Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos II

Aula # 3

1

Varoto, P. S.

Modelagem e Análise de Sistemas EletromecânicosUsando Métodos Variacionais*

Prof. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. VarotoProf. Tit. Paulo S. Varoto*Material gentilmente cedido pela Profa. Dra. Maíra M. OliveiraAll rights reserved

Nessa aula ...

• Revisão• Objetivo dessa aula• Dinâmica Lagrangiana para sistemas mecânicos

•• Dinâmica Lagrangiana para sistemas elétricos• Dinâmica Lagrangiana para sistemas eletro-mecânicos• Conclusões• Próxima aula ...

2

Varoto, P. S.

• Próxima aula ...

Revisão

No curso Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos I, a modelagem de sistemas mecânicos, elétricos, térmicos

e fluídicos foi apresentada.

3

Varoto, P. S.

G(s): função de transferência no domínio de Laplace

Revisão

Sistemas Mecânicos

Utilizamos as Leis de Newton da mecânica para descrever o comportamento de sistemas mecânicos utilizando os elementos:

mola, amortecedor e inércia.mola, amortecedor e inércia.

Mola

4

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Mecânicos



Amortecimento

5

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Mecânicos



Inércia

6

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Elétricos

As leis físicas básicas que regem o comportamento de circuitos elétricos As leis físicas básicas que regem o comportamento de circuitos elétricos são as Leis de Kirchhoff:

1. Lei das Correntes nos Nós afirma que: “A somatória das correntes que chegam em um nó de um circuito é igual à somatória das correntes que saem deste nó”.

2. Lei da Voltagem nas Malhas diz: “A somatória das quedas de voltagem ao longo de uma malha percorrida num mesmo sentido é igual a zero”.

7

Varoto, P. S.

Aplicamos essas leis considerando os elementos de resistência, capacitância e indutância

Revisão

Sistemas Elétricos

ResistênciaResistência

8

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Elétricos

CapacitânciaCapacitância

9

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Elétricos

IndutânciaIndutância

10

Varoto, P. S.

Revisão

Sistemas Elétricos

ExemploE1 E2

+ - - +

R1 R2 R3

I1 I2 I3

1. Lei das Correntes nos Nós 231 iii =+

11

Varoto, P. S.

2. Lei da Voltagem nas Malhas

22332

33111

iRiRE

iRiRE

+=−

−=

Objetivo

O objetivo dessa aula é obter modelos desistemas eletro-mecânicos

através da dinâmica Lagrangiana

12

Varoto, P. S.

Alto-falante eletro-magnéticoMicrofone capacitivo

De acordo com a 2o. Lei de Newton, a resultante de forças agindo numa partícula é igual a taxa de variação do momento:

mvpdt

dpf ==

Mecânica Newtoniana e Energia Cinética

mvpdt

f ==

vdpvdtdt

dpdx

dt

dpfdx ===O incremento do trabalho em uma partícula:

m

pvdppT

p

2)(

2

0

== ∫A função de energia cinética é definido:

A função de co-energia cinética é definido:

2

2mv

=

13

Varoto, P. S.

2)(

2

00

* mvmvdvpdvpT

vv

=== ∫∫

Transformação de Legendre: )()(*

pTpvvT −=

Coordenadas generalizadas e vínculos cinemáticos

As coordenadas generalizadas, qi, são o cojunto de coordenadas que permitem a descrição geométria completa do sistema com respeito a um referencial.

Coordenadas relativas Coordenadas absolutas

θ1

Coordenadas relativas

θ2

θ1

Coordenadas absolutas

θ2

O número mínimo de coordenadas generalizadas é igual ao número de graus

de liberdade do sistema.

14

Varoto, P. S.

Sistemas com mais coordenadas generalizadas que o mínimo necessitam de vínculos cinemáticos para a correta descrição do problema.

Coordenadas generalizadas e vínculos cinemáticos

Vínculos holônomicos Vínculos não-holônomicos

0),,( 21 =tqqqf nK 0=+∑ dtadqa oii

i

Exemplo de vínculo não-holônomico: disco rolando sem deslizar no plano

θ

θ

vx

rv

=

=

&

&

cos

15

Varoto, P. S.

θ

θ

vseny

vx

=

=

&

& cos

Deslocamentos Virtuais

Os deslocamentos virtuais são mudanças infinetesimais na configuração do sistema. Considerando uma partícula se movendo numa superfície:

0),,( =zyxf

Os deslocamentos virtuais devem satisfazer: 0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂z

z

fy

y

fx

x

fδδδ

( )TT

zyxXz

f

y

f

x

ff δδδδ ,,,, =

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇Definindo e , a equação fica:

0)( =∇ XfT δ

Normal a 0=XF

Tδ

Assim como as forças de vínculo

16

Varoto, P. S.

Normal a superfície 0=XF

Tδ

O trabalho virtual das forças de vínculo sobre qualquerdeslocamento virtual é NULO.

Princípio dos Trabalhos Virtuais

O Princípio dos trabalhos virtuais é a formulação variacional do equilíbrio estático de um sistema mecânico sem atrito.

Para um sistema com N partículas com posições vetoriais xi:

Forças externas

Forças dos vínculos

0)(111

=⋅=⋅′

+=⋅ ∑∑∑===

i

N

iii

N

iii

N

iii xFxFFxR δδδ

17

Varoto, P. S.

O trabalho virtual das forças externas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.

Princípio dos Trabalhos Virtuais

O trabalho virtual das forças externas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.

Exemplo:Exemplo:

18

Varoto, P. S.

δθθθδδ

θδθδθδθδ

θθ

θ

)2cos5(

2cos5

cos2sin5

tan5

2

444 3444 21

wf

asenwafywxf

asenyax

ayax

=

−=+

−==

==

Princípio de D’Alembert

O Princípio de D’Alembert estende o Princípio dos Trabalhos Virtuais para a dinâmica:

′NNN

0)()(111

=⋅−=⋅−′

+=⋅ ∑∑∑===

iii

N

iii

N

iiiii

N

iii xxmFxxmFFxR δδδ &&&&

Forças externas

Forças dos vínculos

Forças inerciais

19

Varoto, P. S.

O trabalho virtual das forças efetivas sobre deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos é NULO.

Se o tempo não aparece explicitamente nos vínculos, pode-se aplicar os deslocamentos reais:

{0)( =⋅−⋅ ∑∑ iiiii dtxxmdxF &&& ( ) xxm

xdxmx

xdmxxm

d&&&

&&&

&&& ⋅=⋅+⋅=⋅ 2

Princípio de D’Alembert

{0)(

11

=⋅−⋅ ∑∑== i

ix

iiiii

i dtxxmdxF

δ

&&& ( ) xxmdt

xmxdt

mxxmdt

&&&&&&& ⋅=⋅+⋅=⋅ 2

{*

1 2

1dTdtxxm

dt

ddtxxm

iiii

iix

iii =

⋅=⋅ ∑∑

=

&&&&&

δ

dV−

Energia Potencial

Diferencial

Energia Cinemática Diferencial 0)(

* =+VTd

20

Varoto, P. S.

Diferencial 0)( =+VTd

cteVT =+* Conservação da energia total

Trabalho virtual das forças externas

0)( =⋅−∑=

iii

N

i xxmF δ&&

i

N

ii xFW δδ ⋅= ∑

=1

1d NNN

Princípio de Hamilton

1

∑=

iiii

i

( ) ( )

( ) *

1

111 2

1

Txxdt

dm

xxmxxdt

dmxxm

N

iiii

N

iiii

N

iiiii

N

iii

δδ

δδδ

∑

∑∑∑

=

===

−⋅=

⋅−⋅=⋅

&

&&&&&

( )

( ) xxxxd

xxd

xxxdt

xdxx

dt

d

&&&&

&&&

&

δδδ

δδδ

⋅−⋅=⋅

⋅+⋅=⋅

( ) xxxxxxxx &&&&&&&& δδδδ ⋅=⋅+⋅=⋅ 2

21

Varoto, P. S.

( ) xxxxdt

xdt

&&& δδδ ⋅−⋅=⋅ ( ) xxxxxxxx &&&&&&&& δδδδ ⋅=⋅+⋅=⋅ 2

( )∑=

⋅=+N

iiii xx

dt

dmTW

1

* δδδ &

Princípio de Hamilton

( ) [ ] 022

* =⋅=+ ∑∫tNt

xxmdtTW δδδ &

Integrando no intervalo [t1,t2] e assumindo que as configurações no t1 e no t2 são conhecidas ( ):0)()( 21 == txtx ii δδ

( ) [ ] 0

111

* =⋅=+ ∑∫= ti

iii

t

xxmdtTW δδδ &

ncWVW δδδ +−=

Energia Potencial

Virtual

Trabalho virtual das forças não-

conservativas

22

Varoto, P. S.

( )[ ] 0..2

1

* =+−= ∫ dtWVTIV

t

t

ncδδ

LagrangeanoL

Equações de Lagrange

( )tqqxx nii ,,1 K=

Se as coordenadas generalizadas forem independentes, o V.I. pode ser transformado em um conjunto de equações diferenciais:

t

xq

q

xx i

jj j

ii

∂

∂+

∂

∂= ∑ &&

t: importante para efeitos giroscópios

tqj

j ji

∂∂

( )tqqqqTT nn ,,,,11

** &K&K=Forma geral da coenergia cinética :

( )tqqVV n ,,1K=Forma geral da energia potencial :

23

Varoto, P. S.

( )tqqVV n ,,1K=Forma geral da energia potencial :

( )tqqqqLVTL nn ,,,,11

* &K&K=−=Forma geral do Lagrangeano :


∑∑∑∑ =⋅∂

∂=⋅=

k

kk

i k

k

k

ii

i

iinc qQqq

xFxFW δδδδ

Trabalho virtual das forças não conservativas :

Forcas generalizadas associadas a coordenada generalizada qk

Aplicando o Princípio de Hamilton :

( ) dtqQtqqqqLIV

t

∫ ∑

+=2

,,,,,,.. δδ &K&K

24

Varoto, P. S.

( )

dtqQqq

Lq

q

L

dtqQtqqqqLIV

t

t

i

i

i

i

i

i

i

i

t

i

i

inn

∫ ∑∑

∫ ∑

+

∂

∂+

∂

∂=

+=

2

1

1

,,,,,,.. 11

δδδ

δδ

&&

&K&K


Usando:

i

i

i

i

i

i

qq

L

dt

dq

q

L

dt

dq

q

Lδδδ

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

&&&

&

0..2

1

2

1

=

−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂= ∫∑∑ dtqQ

q

L

q

L

dt

dq

q

LIV

t

t

i

i

i

iii

t

t

i

i

δδ&&

Integrando por partes para eliminar : iq&δ

0)()( == txtx δδ

00

25

Varoto, P. S.

0)()( 21 == txtx ii δδ

i

ii

Qq

L

q

L

dt

d=

∂

∂−

∂

∂

&

0

Equações de Lagrange:

Equações de Lagrange com vínculos

Vínculos:

Resolvido pela inclusão de multiplicadores de Lagrange

mlqa k

k

lk K,10 ==∑ δ

0=

∑∑ k

k

lk

l

l qa δλ

0..2

11

=

−−

∂

∂−

∂

∂= ∫∑ ∑

=

dtqaQq

L

q

L

dt

dIV

t

t

i

i

m

l

lkli

ii

δλ&

0

kl

Combinação linear

Para vínculos holonômicos, esse método resulta em um sistema de equações

26

Varoto, P. S.

Para vínculos holonômicos, esse método resulta em um sistema de equações algebrico-diferenciais

( )

niq

fQ

q

L

q

L

dt

d

mltqqqf

m

l i

lli

ii

nl

K&

KK

1

10,,

1

21

=∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂

==

∑=

λ

DINÂMICA DEMULTICORPOS

Equações de Lagrange com elemento dissipador

Forças dissipativas:

i

iq

DQ

&∂

∂−=

Amortecedor viscoso pode ser representado por uma função de dissipação quadrática:

i

iii

Qq

L

q

D

q

L

dt

d=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

&&Equações de Lagrange:

27

Varoto, P. S.

xCxDT &&

2

1=


Exemplo 1: Vibração de um sistema discreto linear, sem efeito giroscópico

xMxTT

112

1*

= &&Co-energia cinética

0)()( == txtx δδ

KxxxMxVTL

KxxV

xMxTTT

T 2

1

2

1

2

12 * −=−=

=

=&&

&&Co-energia cinética

Energia Potencial

Energia Dissipada

Trabalho virtual das forças não-conservativas xfW

xCxD

T

T

δ=

= &&2

1i

iii

Qq

L

q

D

q

L

dt

d=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

&&

28

Varoto, P. S.

0)()( 21 == txtx ii δδdas forças não-conservativas xfWnc δ=

fKxCxxM =++&&


Exemplo 2:

22* 11θθ && IIT +=

222111 θθ LXLX ==

0)()( == txtx δδ

2

22

2

11

*

2

1

2

1θθ && IIT +=

( )

( ) ( )2

11222

2

111

2

122

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

θθθ LLKLK

XXKXKV

−+=

−+=

29

Varoto, P. S.

0)()( 21 == txtx ii δδ2

112

1θ&CD =


Exemplo 2: ( ) ( )

( )2

11211222

2

222

2

111

2

22

2

11

*

2

12

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

θθθ

θθθθ

LKLLK

LKLKIIVTL

−+

+−−+=−= &&

0)()( == txtx δδ

22

{ {{

0

1

)(

111

11221212

111111

QLDL

dt

d

LLLKLKCI

=∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

−+− θθθθθ

θθθ&&&

&43421&

i

iii

Qq

L

q

D

q

L

dt

d=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

&&

{ {{2

222 FL

QLDL

dt

d=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

θθθ &43421&

30

Varoto, P. S.

0)()( 21 == txtx ii δδ { { 2

11221222

)(

2

0

22 FL

LLLKI

dt ∂∂ ∂

−− θθθ

θθθ43421

&&

0)(1122121

2

111111=−−++ θθθθθ LLLKLKCI &&&

211221222)( FLLLLKI =−+ θθθ&&

Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Elétricos

CAPACITOR

carga

corrente[Farads]

Energia elétrica é o trabalho de carregar o capacitor até a carga q:

31

Varoto, P. S.

A co-energia elétrica pode ser calculada através da transformação de Legendre:


INDUTOR

fluxo

voltagem[Weber]

Energia magnética é calculado pela integração da potência descarregada no sistema:

32

Varoto, P. S.

A co-energia magnética pode ser calculada através da transformação de Legendre:


FONTES DE VOLTAGEM E CORRENTE

Uma fonte real apresenta voltagem máxima

quando os terminais quando os terminais estão abertos e corrente máxima se os terminais

estão conectados

Fonte reais podem ser modeladas combinando fontes ideais e resistores:

33

Varoto, P. S.


EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE FLUXO

Coordenadas generalizadas de fluxo

Voltagens que satisfazem a Regra da Malha de Kirchhoff

Lagrangiano

Fonte de correntes

34

Varoto, P. S.

correntes generalizadas associadas as

fluxo λk


Exemplo:

35

Varoto, P. S.

Elemento dissipativo: Resistor


Exemplo:Formulação de fluxo

36

Varoto, P. S.


EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE CARGA

Coordenadas generalizadas de carga

Correntes que satisfazem a Regra dos Nós de Kirchhoff

Lagrangiano

Fonte de voltagem

37

Varoto, P. S.

voltagem generalizadas associadas as

cargas qk


Exemplo:Formulação de carga

Cte, dado do sistema

Portanto o sistema pode ser modelado com 1 coordenada generalizada q1

38

Varoto, P. S.

Dinâmica Lagrangiana para Sistemas Eletro-Mecânicos

Transdutores eletromecânicos

Energia Mecânica

Energia Elétrica

A teoria de parâmetros concentrados é baseada na teoria quasi-estática do eletromagnetismo. Essa teoria assume que a dimensão do

componente é menor que o comprimento de onda eletromagnético.

Dessa maneira, o campo de força é elétrico ou magnético. Dessa maneira, é possível separar a analise da:

39

Varoto, P. S.

maneira, é possível separar a analise da:

1. força elétrica em transdutores capacitivos

2. força magnética em transdutores indutivos


TRANSDUTOR: Capacitor com placas móvel

Equilibra a força de atração eletrostática

A potência total é a soma da potência elétrica e mecânica:elétrica e mecânica:

40

Varoto, P. S.



Sendo um sistema conservativo, a integral não depende do caminho :

( ) ( ) ( )∫∫∫ +==

),(

)0,(

0

)0,(

)0,0(

),(

)0,0(

,,),(,

qx

x

e

x

e

qx

ee dqqxWdxqxWqxdqxWW

4434421

0)0,( =xfForça nula, quando carga é nula

41

Varoto, P. S.



42

Varoto, P. S.


TRANSDUTOR: Indutor com núcle móvel

Mantém o núcleo em equilíbrio

Da mesma maneira que o caso anterior:

43

Varoto, P. S.


TRANSDUTOR: Indutor com núcle móvel

Considerando um indutor linear:

44

Varoto, P. S.


TRANSDUTOR: Bobina móvelImã permanente

Fluxo magnético devido ao imã

A lei de Faraday afirma que o incremento da voltagem de em um comprimento elementar dl na direção da

corrente induzida pelo movimento da bobina é:

Uma partícula de carga em movimento em um campo magnético fica sujeita a força de Lorentz:

45

Varoto, P. S.

Macroscopicamente, a contribuição da força magnética é maior. Para um comprimento elementar, definimos:


TRANSDUTOR: Bobina móvel

Integrando sobre dθ, a queda de voltagem na bobina é

E a força f é:

Constante do transdutor

46

Varoto, P. S.

A potência total é igual a potência elétrica, ei, somada com a potência mecânica, fv:

E a energia magnética se mantém constante

Wm=0 (referência)


TRANSDUTOR: Bobina móvelRepresentação simbólica

0

47

Varoto, P. S.

0

Da mesma maneira que nos casos anteriores:

EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE FLUXO

Lagrangiano


Trabalho Virtual dos componentes não

conservativos

48

Varoto, P. S.

EQUAÇÕES DE LAGRANGE, FORMULAÇÃO DE CARGA

Lagrangiano


Trabalho Virtual dos componentes não

conservativos

49

Varoto, P. S.

ELEMENTOS DISSIPATIVOS

Formulação de fluxo


Formulação de carga

Parte Mecânica

50

Varoto, P. S.

EXEMPLO 1: Alto-falante eletromagnético


Formulação de carga

51

Varoto, P. S.

EXEMPLO 1: Alto-falante eletromagnético


52

Varoto, P. S.

EXEMPLO 2: Microfone Capacitivo


No equilíbrio, a carga q0 no capacitor produz uma força de atração entre as placas que é

balanceada pela ação da mola.balanceada pela ação da mola.

x0: distância entre os terminais X1: alongamento da mola no equilíbrio

Força eletrostática:

53

Varoto, P. S.

No equilíbrio:



54

Varoto, P. S.



55

Varoto, P. S.

EXEMPLO 2: Excitador – eletrodinâmico


56

Varoto, P. S.



Modo de corrente: q não é uma coordenada generalizada, pois é dado

No domínio de Laplace:

57

Varoto, P. S.



58

Varoto, P. S.

Gerador de força ideal

ωc~2ωp

Próxima aula ...

• Aspectos relevantes na função de transferência para a avaliação e projeto de sistemas mecatrônicos:avaliação e projeto de sistemas mecatrônicos:

• Relacionar parâmetros físicos do sistemas com pólos e zeros• Controle Colocado X Não-colocado• Lugar das raízes (Root-locus)• Funções de transferência de malha aberta (Sensitividade, Sensitividade complementar, etc.)

59

Varoto, P. S.

(Sensitividade, Sensitividade complementar, etc.)

modelagem e análise de sistemas eletromecânicos usando ... · universidade de são paulo escola...

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