MODEL PILIHAN KUALITATIF

Oleh

Bambang Juanda

Seringkali dalam suatu survei kita berhadapan

dengan peubah kualitatif yang mempunyai skala

pengukuran nominal atau ordinal. Nilai-nilai

peubah respons kualitatif ini terbatas (limited

dependent variable), bahkan sering hanya bernilai

dua kemungkinan saja. Misalnya, apakah

seseorang membeli mobil atau tidak; memilih

atau tidak dalam Pilkada (pemilihan kepala

daerah); punya penyakit jantung koroner atau

tidak; dan masih banyak contoh lainnya. Peubah

kualitatif yang hanya mempunyai dua

kemungkinan nilai ini disebut peubah biner.

Meskipun logis kita memperkirakan suatu

hubungan langsung antara pendapatan dan

perilaku pembelian, namun kita tidak dapat yakin

apakah masing-masing konsumen dengan

pendapatan tertentu pasti akan membeli produk.

Oleh karena itu, tujuan model pilihan kualitatif

adalah menentukan peluang bahwa individu

dengan karakteristik-karakteristik tertentu akan

memilih suatu pilihan tertentu dari beberapa

alternatif yang tersedia. Jika pilihannya hanya ada

dua alternatif disebut model pilihan biner.

Overview

C o n t i n u o u s

C a t e g o r i c a l

L i n e a r R e g r e s s i o n

A n a l y s i s

-

R e s p o n s e A n a l y s i s

-Model Peluang Linear

-Model Probit

Ilustrasi

Studi mengenai pengaruh tingkat pendapatan,

jenis kelamin dan umur terhadap membeli

tidaknya seseorang pada suatu produk yang

dijual dengan harga tertentu.

Peubah Penjelas (bebas): umur, jenis kelamin dan

tingkat pendapatan

Peubah Respons(Y): membeli (=1) atau tidak (=0)

Ilustrasi utk 1 Peubah Bebas

Studi mengenai pengaruh tk pendapatan atau

jenis kelamin (X) terhadap membeli tidaknya

seseorang (Y) pada suatu produk yang dijual

dengan harga tertentu.

Peubah Respons: Y = 1, jika membeli

0, jika tidak membeli

Peubah Penjelas (bebas):

Tk Pendapatan: X = Rp …… juta

atau Jenis Kelamin: X= 1, jika Pria

0, jika Wanita

1. Model Peluang Linear

Yi = + Xi + εi (10.1)

Dimana Xi = nilai karakteristik (misalnya pendapatan) individu ke-i,

Yi = 1 , jika pilihan kesatu dipilih (misalnya membeli mobil)

0 , jika pilihan kedua dipilih (tidak membeli mobil).

εi = peubah acak yang menyebar bebas dengan nilai tengah 0.

Untuk menginterpretasikan persamaan (10.1) kita tentukan nilai harapan dari masing-masing pengamatan peubah respons Yi :

E(Yi) = + Xi (10.2)

Karena Yi hanya mempunyai kemungkinan dua macam nilai (1 dan 0), kita dapat menggambarkan sebaran peluang Y dengan memisalkan:

Pi = P(Yi=1) dan 1-Pi = P(Yi=0),

sehingga E(Yi) = 1 (Pi) + 0 (1-Pi) = Pi. (10.3)

model (10.1) peluang bahwa individu konsumen ke-i dengan pendapatan tertentu (Xi) akan membeli mobil.

Slope garis mengukur pengaruh perubahan 1 unit pendapatan terhadap perubahan peluang membeli mobil

Dugaan Model Peluang Linear

+ Xi , jika 0<(+Xi)<1

Pi = 1 , jika (+Xi) ≥ 1

0 , jika (+Xi) ≤ 0 (10.4)

Sebaran Peluang bagi εi

Yi εi Peluang

1 1- - Xi Pi

0 - - Xi 1 - Pi

E(εi) = (1- - Xi) Pi + (- - Xi) (1-Pi) = 0

sehingga Pi = + Xi

(1-Pi) = 1 - - Xi

Ragam komponen sisaan

Jadi, peubah Y menyebar menurut

sebaran (distribusi) peluang Bernouli.

Masalah heteroskedastisitas

)1()1()()1()( 222iiiiiii PPPXPXE

)()1()](1[)()()( 2222iiiiiiiii EPPYEYEYEYEYVar

Kendala dalam model peluang linear perlu transformasi model (linear) awal sedemikian rupa sehingga prediksi nilai Y berada dalam selang (0;1) untuk semua nilai peubah bebas X. Salah satu bentuk transformasi yang mempunyai karakteristik seperti ini adalah fungsi peluang kumulatif (cumulative probability function), F.[1] Sebaran peluangnya dapat direpresentasikan dalam bentuk:

Pi = F( + Xi) = F(Zi)

Sebenarnya banyak fungsi peluang kumulatif yang mungkin dapat digunakan, namun disini hanya dua macam yang dipertimbangkan, yaitu fungsi peluang normal dan logistik kumulatif.

[1] Fungsi peluang kumulatif adalah F(xi)=Peluang (X≤xi)

Model Probit Pi = F( + Xi) = F(Zi)

asumsikan ada suatu indeks Zi yg bernilai kontinu secara teoritis, yg ditentukan oleh nilai peubah penjelas X shg dapat ditulis:

Zi = + Xi

asumsikan bahwa Z merupakan peubah acak yang menyebar normal sehingga peluang bahwa Z lebih kecil (atau sama dengan) Zi dapat dihitung dari fungsi peluang normal kumulatif. Untuk fungsi peluang normal baku kumulatif dapat dituliskan dalam rumus:

dimana s: peubah acak menyebar normal dgn nilai tengah 0 dan ragam1. Dgn rumus transformasi diatas, peubah Pi akan bernilai dlm selang (0;1). Pi menggambarkan peluang individu berkarakteristik (berpendapatan) Xi memilih pilihan-1 (beli mobil). Karena nilai peluang ini diukur berdasarkan luas daerah dibawah kurva normal baku dari - sampai Zi, maka peluang pilihan-1 (beli mobil) makin tinggi jika nilai indeks Zi makin tinggi. Untuk menduga indeks Zi, kita menggunakan kebalikan (inverse) dari fungsi normal baku kumulatif (10.9) dengan:

Zi = F-1(Pi) = + Xi

i

Zs

ii dseZFP 22

2

1)(

Hubungan Nilai Indeks Z dan

Sebaran Peluang Normal Kumulatifnya

Z F(Z) Z F(Z)

-3.0 .001 0.5 .691

-2.5 .006 1.0 .841

-2.0 .023 1.5 .933

-1.5 .067 2.0 .977

-1.0 .159 2.5 .994

-0.5 .309 3.0 .999

0.0 .500 3.5 .999

Model (Peluang) Linear vs Model Probit

Model Linear

Meskipun model probit lebih menarik dari

model peluang linear, namun untuk

menduga parameter koefisiennya

menggunakan pendugaan kemungkinan

maksimum (maximum likelihood, ML) non

linear. Selain itu, justifikasi atau interpretasi

koefisiennya agak terbatas. Oleh karena itu

sebaiknya menggunakan model logit yang

dibahas dalam subbab berikut

menggunakan peubah penjelasnya (dpt peubah kategorik atau peubah numerik) untuk menduga peluang kejadian tertentu dari peubah respons kategori.

)(

)(

10

10

1)/1(

i

i

X

X

iie

eXYE

)()( 1

1

1

1)(

10XgXii

eePXP

i

Model Regresi Logistik (Model logit)

Model Logit Sederhana :

Sebaran Logistik menyerupai kurva berbentuk S,

sehingga interpretasinya logis. 0 ≤ E(Y/X) ≤ 1

Interpretasi: Peluang kejadian tertentu dari peubah respons kategori (misalnya membeli) jika pendapatannya Xi

Transformasi Logit

Peluang kejadian tertentu dari peubah respons kategori (pi), ditransformasi shg

i indeks semua kasus (observasi 1,2,..,n).

pi peluang kejadian (misalnya, membeli) terjadi untuk kasus ke-i.

log adalah natural log (bilangan dasar e).

logit( ) logpp

pi

i

i

1ii Xxg 10)(

Fungsi g(x) sudah Linear dalam Parameter,

dan -~ ≤ g(x) ≤ ~, shg dpt diduga dgn OLS

Assumption

(peubah X berskala Interval)

P i

Predictor (X)

Transformasi

logit

Predictor (X)

Interpretasi Koefisien Model Logit Utk Peubah Bebas biner, mis Jenis Kelamin (X=1, X=0)

)(101

1)1(1

e

P

0

0

1)0(

e

eP

)(

)(

10

10

1)1(

e

eP

01

1)0(1

e

P

)(

)(

10

10

1)(

i

i

X

X

ie

eXP

X=1 X=0

Y=1

Y=0

P(1) : Peluang membeli produk utk konsumen Pria

P(0) : Peluang membeli produk utk konsumen Wanita )1(1

)1(

P

POdd pria

)0(1

)0(

P

POddwanita

1 1 Jumlah

eP

P

P

POddsRatio

)0(1

)0(/

)1(1

)1( 1

Interpretasi Koefisien

1 = g(X+1) – g(X)

utk X biner: 1 = g(1) – g(0)

ii

i

i XXgXP

XP10)(

)(1

)(log

))0(1/()0(

))1(1/()1(log

)01(1

)0(log

)1(1

)1(log

PP

PP

P

P

P

P

1

)0(1/)0(

)1(1/)1( ePP

PP

Odds Ratio:

“Berapa kali Kemungkinan

membeli utk konsumen Pria

dibandingkan Konsumen Wanita”

Interpretasi Pendekatan Peluang Relatif P(1)/P(0)

ini berlaku bila P(x) kecil

Utk X kontinu, exp(1) : Berapa kali Kemungkinan

membelinya jika X naik 1 unit

Ukuran Asosiasi

Properties of the Odds Ratio

0

O D D S R A T I O O F G R O U P A T O G R O U P B

- 0 . 5

N o A s s o c i a t i o n

=x+1 =x

• SK (1-) 100% bagi Odds Ratio: exp(c ± z/2 c s)

• Dlm realitas P(x) jika x berbeda 1 unit (12 dgn 1011)

dapat cukup berbeda. →Dilema utk peubah kontinu

dimodelkan linear dlm model logit. Jika yakin bahwa logit

tdk linear dgn covariate grouping (Dummy)

^ ^

Note:

Multiple Logistic Regression

Purchase Gender Income Age

logit (pi) = 0 + 1X1 + 2X2 + 3X3

Ilustrasi model utk mengkaji pengaruh jenis kelamin (X1),

umur (X2), dan tingkat pendapatan (X2) terhadap membeli

tidaknya seseorang pada suatu produk yang dijual dengan

harga tertentu.

logit (pi) = iiii

i

i XXXXgXP

XP3322110)(

)(1

)(log

)(

)(

332210

332210

1)(

iii

iii

XXX

XXX

ie

eXP

Utk Peubah Bebas X kontinu, seringkali 1 unit terlalu kecil atau

besar utk dipertimbangkan Pendugaan utk perubahan “c” unit

1),()( c

excxc

g(x+c) – g(x) = c 1

Odds Ratio-nya:

Pengujian Model dgn p Peubah Bebas

Uji Model secara keseluruhan:

H0: 1= 2=…=p=0

H1: ada j≠0

Likelihood Ratio Test Statistics (G) ~

Uji parsial koefisien:

H0: j=0

H1: j≠0

WaldTest Statistics (W) ~ Z

2

(p)

Categorical Variables Codings

132 1,000 ,000

144 ,000 1,000

155 ,000 ,000

240 1,000

191 ,000

Low

Medium

High

INCOME

Female

Male

GENDER

Frequency (1) (2)

Parameter coding

Classification Tablea

236 33 87,7

131 31 19,1

61,9

Observed

0

1

PURCHASE

Overall Percentage

Step 1

0 1

PURCHASE Percentage

Correct

Predicted

The cut v alue is ,500a.

Variables in the Equation

.025 .018 1.974 1 .160 1.026

.511 .209 5.954 1 .015 1.667

12.305 2 .002

-.787 .253 9.676 1 .002 .455

-.686 .243 7.945 1 .005 .503

-1.325 .720 3.382 1 .066 .266

AGE

GENDER(1)

INCOME

INCOME(1)

INCOME(2)

Constant

Step

1a

B S.E. Wald df Sig. Exp(B)

Variable(s) entered on step 1: AGE, GENDER, INCOME.a.

Adjusted Odds Ratio

P r e d i c t o r

G e n d e r

O u t c o m e

P u r c h a s e

C o n t r o l l i n g f o r

Types of Logistic Regression

R e s p o n s e V a r i a b l e

Y e s N o

B i n a r y T w o

C a t e g o r i e s

T y p e o f L o g i s t i c R e g r e s s i o n

B i n a r y

N o m i n a l

O r d i n a l

T h r e e o r

M o r e C a t e g o r i e s

Hipotesis: Sabuk Pengaman akan membuat Pengendara Lebih

aman jika terjadi KECELAKAAN. Pengendara yang menggunakan

Sabuk Pengaman lebih besar Peluangnya mengalami cidera lebih

ringan dibandingkan yg tdk menggunakan

1. Tidak ada yang luka

2. Terjadi luka ringan

3. Terjadi luka dan memerlukan rawat jalan

4. Terjadi luka dan memerlukan rawat inap

5. Meninggal

Regresi Logistik Ordinal • Y skala ordinal yg punya c kategori

• Peluang Kumulatif P(Y≤j): peluang respons Y pd

kategori 1,2,...,j

• P(Y≤j)=P(Y=1)+ P(Y=2)+...+ P(Y=j)

• P(Y≤1) ≤ P(Y≤2) ≤ ..... ≤ P(Y≤c)=1

• Odd ratio = P(Y≤j) / P(Y>j) = exp(β)

• Logit P(Y≤j) = Log { P(Y≤j) / P(Y>j) }

• Logit P(Y≤j) = αj + β X; j=1,2,..,c-1

• Asumsi: pengaruh X sama utk tiap peluang kumulatif.

Jika tdk, gunakan regresi logistik nominal.

• β >0: Peluang utk nilai order lebih kecil, lebih besar

jika X naik satu unit