model pergerakan harga saham menggunakan random walk dan ... · deret taylor dan maclaurin tidak...
TRANSCRIPT
i
MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN
RANDOM WALK DAN GERAK BROWN
S K R I P S I
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
GEORGE RIDHO SETYAWAN
NIM : 053114010
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2009
ii
MODEL OF STOCK PRICE MOVEMENT USING
RANDOM WALK AND BROWNIAN MOTION
T H E S I S
Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements
to Obtain The Sarjana Sains Degree
In Mathematics
by :
GEORGE RIDHO SETYAWAN
Student Number : 053114010
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2009
iii
S K R I P S I
MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN
RANDOM WALK DAN GERAK BROWN
Oleh:
George Ridho Setyawan
NIM : 053114010
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. Tanggal 25 Juni 2009
iv
S K R I P S I
MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
George Ridho Setyawan
NIM : 053114010
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
Pada tanggal 15 Juli 2009
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.
Sekertaris Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si.
Anggota Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
Yogyakarta, 15 Juli 2009
Fakultas Sains Dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan
Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T.
v
Pernyataan Keaslian Karya
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 25 Juni 2009
Penulis
George Ridho Setyawan
vi
I asked for strength
And God gave me difficulties to make me strong
I asked for wisdom
And God gave me problems to solve
I asked for prosperity
And God gave me a brain and brawn to work
I asked for courage
And God gave me dangers to overcome
I asked for love
And God gave me opportunities
I received nothing I wanted
I received everything I needed
My prayer has been answered
vii
ABSTRAK
Random walk merupakan sebuah teori dalam probabilitas yang menyatakan
bahwa pergerakkan sebuah partikel bersifat random. Dalam random walk,
probabilitas untuk bergerak naik maupun turun adalah sama. Random walk yang
simetrik merupakan random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk
dua nilai yang berbeda. Random walk termasuk suatu proses stokastik yang
bersifat diskret.
Gerak brown merupakan sebuah proses stokastik yang bersifat kontinu dan
sering disebut sebagai Proses Wiener. Gerak brown dapat dibentuk dari sebuah
random walk yang simetrik yaitu dengan mencari nilai limit dari distribusi
random walk tersebut.
Random walk dan gerak brown dapat dipakai untuk memodelkan pergerakkan
harga saham. Model pergerakkan harga saham dengan kedua teori tersebut dapat
memberikan gambaran yang mendekati kenyataannya.
viii
ABSTRACT
The purpose of this study is to compare two models of probability theory;
Random Walk and Brownian motion. According to random walk theory, a
particle movement is random in nature. This movement whether up or down for
two different values has an equal probability called symmetric random walk.
Random walk is an example of discrete stochastic process.
On the other hand, Brownian motion is an example of continuous stochastic
process which also known as Wiener process. Brownian motion can be formed
from a symmetric random walk by counting the limit of its distribution.
Both Random Walk and Brownian motion can be used to predict the
movement of stock price. The result shows that both models could predict close to
actual stock price.
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yesus Kristus penolong dan
juruselamat dalam hidupku yang oleh karena anugerah dan kemurahanNya
sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk
memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik atas bantuan, gagasan, dan
dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini
perkenankanlah penulis menghaturkan terima kasih kepada :
1. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang
telah banyak meluangkan waktu dan dengan penuh kesabaran
membimbing penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan
baik.
2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi.
3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi
Matematika yang telah banyak membantu.
4. Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku penguji yang telah banyak
membantu dan memberi masukan kepada penulis.
5. Prof. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.
6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., dan Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., yang
pernah menjadi dosen pembimbing akademik bagi penulis.
7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang memberikan banyak
ilmu serta keramahan yang diberikan selama kuliah.
8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
x
9. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan
administrasi selama penulis kuliah.
10. Perpustakaan USD yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada
penulis.
11. Kedua orang tuaku serta adik dan kakakku yang selalu memberikan
dukungan kepadaku.
12. Eko Budi Santoso, S.E., M.Si. dan Irma Dhearni Saragih, S.E. yang
sudah banyak membantu penulis serta memberikan dukungan selama
penulis menyelesaikan skripsi ini.
13. Keluarga besar Jehovah Nissi dan Full Blast yang sudah memberikan
semangat kepada penulis.
14. Teman-teman matematika angkatan 2005 : Ratna, Chris, Luis, Puput,
Tyas, Nanin, Priskila,Vincent, Sisiria, Ine, Devi, Septi, Wuri, Susi,
Echy, Dedy, Zetho, Yudhi, Sella, Vira.
15. Keluarga besar PMK Oikumene.
16. Keluarga besar Center City on A Hill.
17. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
Walaupun penulis telah berusaha menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-
baiknya, namun penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih terdapat
kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran
dan kritik yang dapat membangun dan menyempurnakan skripsi ini.
Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan
bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya matematika.
Yogyakarta, 15 Juli 2009
Penulis
xi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :
Nama : George Ridho Setyawan
NIM : 053114010
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma, Karya Ilmiah saya yang berjudul :
MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN
beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya
memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau
media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya
maupun member royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya
sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 15 Juli 2009
Yang menyatakan
(George Ridho Setyawan)
xii
Daftar Isi
HALAMAN JUDUL i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING iii
HALAMAN PENGESAHAN iv
HALAMAN KEASLIAAN KARYA v
HALAMAN PERSEMBAHAN vi
ABSTRAK vii
ABSTRACT viii
KATA PENGANTAR ix
DAFTAR ISI xii
DAFTAR TABEL xiv
DAFTAR GAMBAR xv
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah 1
B. Perumusan Masalah 3
C. Pembatasan Masalah 3
D. Tujuan Penulisan 3
E. Metode Penulisan 4
F. Manfaat Penulisan 4
G. Sistematika Penulisan 4
BAB II LANDASAN TEORI
A. Probabilitas 6
B. Variabel Random dan Distribusinya 9
C. Distribusi Bernoulli dan Binomial 24
D. Distribusi Normal 31
xiii
BAB III RANDOM WALK DAN GERAK BROWN
A. Random Walk 38
B. Gerak Brown 65
C. Konstruksi Gerak Brown Menggunakan Random Walk Simetrik 70
D. Ito’s Lemma 77
BAB IV MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM
A. Model Random Walk 81
B. Model Gerak Brown 83
C. Perbandingan Model Random walk dengan Model Gerak Brown 88
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan 91
B. Saran 92
DAFTAR PUSTAKA 93
LAMPIRAN 94
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 14
Tabel 3.1 61
Tabel 3.2 65
Tabel 4.1 86
Tabel 4.2 86
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 32
Gambar 2.2 37
Gambar 3.1 39
Gambar 3.2 46
Gambar 3.3 71
Gambar 3.4 73
Gambar 4.1 82
Gambar 4.2 83
Gambar 4.3 87
Gambar 4.4 88
Gambar 4.5 90
Gambar 4.6 90
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam bidang ekonomi saham merupakan suatu hal yang sering dibahas dan
diperbicangkan. Saham adalah surat tanda kepemilikan terhadap sebuah
perusahaan. Saham ditransaksikan di sebuah bursa efek melalui proses IPO
(Initial Public Offering). Dengan menerbitkan saham, yang berarti menjual
sebagian kepemilikan perusahaan kepada publik, perusahaan mendapatkan dana
segar yang dapat digunakan untuk tujuan ekspansi, operasional atau yang lainnya.
Dengan menerbitkan saham, nilai sebuah perusahaan menjadi lebih mudah untuk
diukur.
Saham termasuk instrumen investasi yang memiliki resiko tinggi karena
pergerakan harganya yang cepat. Pergerakan harga dari sebuah perusahaan
dipengaruhi oleh banyak hal seperti kinerja perusahaan, laporan keuangan
perusahaan, kondisi ekonomi, estimasi bisnis di masa yang akan datang, dan
banyak lainnya. Hal ini membuat harga saham berfluktuasi secara acak.
Pada interval diskret (misalnya pengamatan per detik), harga dari saham tersebut
diasumsikan dapat berubah menjadi lebih tinggi (meningkat) ataupun lebih
rendah (menurun) satu unit dari harga saham sebelumnya . Dengan kata lain jika
harga saham pada detik ke n adalah , maka harga saham pada detik ke n+1
adalah 1 1 atau 1 1.
2
Seiring dengan perkembangan zaman, pergerakan harga saham tersebut
kemudian dibawa ke dalam bentuk sebuah model matematika yang dapat
menggambarkan pola pergerakan harga saham tersebut. Salah satu model yang
dikembangkan adalah model random walk dan model gerak Brown.
Secara sederhana, random walk dapat digambarkan sebagai suatu
percobaan dimana perpindahan posisi seseorang ditentukan dengan pelemparan
sebuah koin. Bayangkan seseorang berdiri tepat pada titik asal (titik nol) pada
sebuah garis bilangan real. Orang tersebut akan berpindah tempat berdasarkan
hasil pelemparan sebuah koin yang akan dilemparkan sebanyak n kali
pelemparan. Jika hasil pelemparan koin adalah gambar (k), maka orang tersebut
akan bergerak ke arah kanan (arah positif). Demikian juga sebaliknya, jika hasil
pelemparan koin adalah angka (n-k), maka orang tersebut akan bergerak ke arah
kiri (arah negatif). Apabila peluang orang tersebut untuk berpindah ke arah kanan
adalah p dan peluang orang tersebut berpindah ke arah kiri adalah q, maka
diperoleh persamaan berikut
dan 1
Dalam percobaan tersebut, peluang seseorang bergerak ke kanan akan sama
besarnya dengan peluang orang tersebut bergerak ke kiri. Hal ini menunjukkan
bahwa pergerakan orang tersebut merupakan proses stokastik yang sederhana dan
bersifat random.
Gerak Brown pertama kali ditemukan oleh seorang ahli tanaman dari
Skotlandia yaitu Robert Brown. Gerak Brown merupakan suatu kejadian khusus
dari random walk. Gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah random walk yang
3
simetrik. Proses gerak Brown sering kali disebut proses Wiener, yaitu salah satu
proses stokastik yang sangat berguna dalam aplikasi teori probabilitas.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Random Walk ?
2. Apa yang dimaksud dengan Gerak Brown ?
3. Bagaimana Random Walk dan Gerak Brown digunakan untuk
memodelkan pergerakan harga saham ?
C. Batasan Masalah
1. Random walk dan gerak Brown yang dibahas hanya yang berdimensi
Satu
2. Deret Taylor dan Maclaurin tidak dibahas secara mendalam
3. Eliminasi Gauss tidak dibahas secara mendalam
4. Sifat spatial homogeneity dari random walk tidak dibahas dan dibuktikan
5. Teorema 2.4.1 tidak dibuktikan
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains dalam matemetika. Selain itu penulisan skripsi
ini juga bertujuan :
1. Mempelajari dan memahami Random Walk.
2. Mempelajari dan memahami Gerak Brown.
3. Mempelajari Ito’s Lemma.
4
4. Mempelajari hubungan antara random walk dan gerak Brown dalam
model pergerakan harga saham.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah dapat memahami
teori Random Walk dan Gerak Brown serta penggunaanya dalam model harga
saham.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan
karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam karya ilmiah ini
tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika. Juga akan digunakan program
Excel, Matlab dan SPSS.
G. Sistematika Penulisan
BAB I: PENDAHULUAN
Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,
pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat
penulisan, dan sistematika penulisan.
5
BAB II LANDASAN TEORI
Dalam bab II dibahas tentang probabilitas, variabel random, fungsi
distribusi probabilitas, nilai harapan dan variansi, fungsi
pembangkit momen, distribusi Bernoulli, distribusi binomial,
distribusi normal serta pendekatan normal terhadap binomial.
BAB III RANDOM WALK dan GERAK BROWN
Dalam Bab III dibahas tentang random walk, gerak Brown, dan
Ito’s Lemma.
BAB IV MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM
Dalam Bab IV dibahas tentang model pergerakan harga saham
menggunakan random walk dan gerak Brown.
BAB V PENUTUP
Dalam Bab V akan diberikan kesimpulan dan saran.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Probabilitas
Ruang sampel (S) adalah himpunan yang unsur-unsurnya menyatakan semua
kemungkinan hasil suatu percobaan. Setiap unsur dari ruang sampel disebut titik
sampel. Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel S.
Definisi 2.1.1
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk
A, sehingga
0 1 , 0 , dan 1
Definisi 2.1.2 Probabilitas klasik
Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N titik sampel yang berbeda dan
masing-masing berkemungkinan sama untuk terjadi, dan jika tepat ada sebanyak n
dari titik-titik sampel tersebut merupakan unsur dari kejadian A, maka probabilitas
kejadian A adalah :
P
Teorema 2.1.1 (Aturan Penjumlahan)
Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka probabilitas terjadinya kejadian A
atau B adalah
(2.1)
7
Bukti :
Pendekatan yang akan digunakan adalah mengekspresikan kejadian dan A
sebagai gabungan dari kejadian yang saling lepas
′
′
dengan demikian
′
′
Sehingga
′
Jika A dan B adalah kejadian yang saling asing dengan 0, maka
aturan penjumlahan menjadi semakin sederhana yaitu
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah
terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan | . Lambang
| biasanya dibaca ‘probabilitas kejadian B terjadi bila diketahui kejadian A
terjadi’ atau lebih sederhana lagi ‘probabilitas B, bila A diketahui’.
8
Definisi 2.1.3
Probabilitas bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan | , ditentukan
oleh
| P A BP A
dengan 0 (2.2)
Contoh 2.1.1
Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu
0,83 ; peluang sampai tepat waktu 0,82 dan peluang berangkat
dan sampai tepat waktu 0,78. Cari peluang bahwa a). pesawat sampai
tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, dan b). Pesawat berangkat tepat
waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Jawab :
a) Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu
| ,,
0,94
b) Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu
| ,,
0,95
Teorema 2.1.2 (Aturan Perkalian)
Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka
| (2.3)
9
Bukti :
Bukti teorema ini akan diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat (2.1.3)
| P A BP A
|
Definisi 2.1.4
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika
B. Variabel Random dan Distribusinya
Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel
random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk
nilai-nilai numeris dari pada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang
lain.
Definisi 2.2.1
Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel
S, yang memetakan setiap elemen e∈S ke bilangan real.
Notasi : SexeX ∈= ,)(
x R∈
Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z,
sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan
huruf-huruf kecil yang bersesuaian seperti x, y, z.
10
Contoh 2.2.1
Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka,
ruang sampel S = (i,j)| i,j∈1, 2, 3, 4, 5, 6.
Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah
dadu maka X(i,j) = i + j, sehingga X(3,5) = 3 + 5 = 8
X(5,2) = 5 + 2 = 7
Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari
himpunan S ke himpunan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai untuk
menghitung peluang timbulnya suatu kejadian.
Dengan mengambil contoh 2.2.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah
bilangan maksimal adalah 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan
sebagai 3,2∈Y atau dapat pula dinyatakan dalam interval 3| ≤= yyY .
Dengan probabilitas :
121
363))1,2(),2,1(),1,1(()3( ===≤ PYP .
Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada
ruang sampel diskret dan nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang.
Contoh 2.2.2
variabel random diskret :
o X = Banyaknya bayi yang lahir dalam waktu satu tahun di Yogyakarta.
o S = Frekuensi denyut jantung permenit.
11
Variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada
ruang sampel kontinu.
Contoh 2.2.3
Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu
babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan
terdekat seperti menit atau detik, secara teoritik dapat diukur waktu dengan
sembarang satuan kecil.
Definisi 2.2.2
Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi probabilitas diskret X bila dan hanya bila
memenuhi syarat :
( i ) f(x)≥ 0 , untuk semua nilai x real
( ii ) ∑ 1
Definisi 2.2.3
Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya
bila memenuhi syarat :
( i ) f(x)≥ 0 untuk semua nilai x real
( ii ) ∫∞
∞−
=1)( dxxf
Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret
Definisi 2.2.4
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai
12
F(x) = P(X≤ x) untuk semua nilai real x.
Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.
Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu
Definisi 2.2.5
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x)
didefinisikan sebagai :
F(x) = ∫∞−
x
dttf )(
Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).
Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Bersama
Definisi 2.2.6
Jika X dan Y adalah variabel random diskret yang didefinisikan pada ruang
probabilitas maka fungsi distribusi bersama X dan Y didefinisikan sebagai
FXY x, y P X x, Y y
Fungsi Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama
Definisi 2.2.7
Vektor variabel random berdimensi k, X X , X , … , X dikatakan kontinu jika
ada fungsi f X , X , … , X , yang disebut fungsi densitas bersama dari X
sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan
13
x , x , … , x … f t , … , t d
X
t , … , dt
Untuk semua x x , x , … , x
Definisi 2.2.8 Variabel-variabel random saling bebas
Variabel-variabel random X , X , … , X dikatakan saling bebas bila untuk setiap
berlaku
P a X b , … , a X b P a X b
Nilai Harapan dan Variansi
Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam
statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel
random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam
teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Nilai harapan
dinyatakan dalam definisi berikut
Definisi 2.2.9
, jika x diskret dengan fungsi probabilitas
∞
∞
, jika x kontinu dengan fungsi densitas
14
Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X)
merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur di dalam domain fungsi
dengan peluang yang bersesuaian sebagai faktor pembobot.
Contoh 2.2.4
Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan
menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali
lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa
hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi
probabilitas sebagai berikut :
Tabel 2.1 Tabel distribusi probabilitas
Hadiah X 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah
Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ?
Permainan disebut adil jika 3,5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah
yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain.
Nilai harapan 3,5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika
permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara
jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.
15
Sifat-sifat Nilai Harapan
Definisi 2.2.10
Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X
maka,
E[g(X)] = ⎪⎩
⎪⎨⎧∑
∫=∞
∞−
n
iii xpxpxg
xfdxxfxg
1
)(asprobabilitfungsidengandiskretXjika),()(
)(densitasfungsidengankontinuXjika,)()(
Teorema 2.2.1
Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x)
dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka
E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)]
Bukti
Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan
E[ag(x)+bh(x)] = ∫∞
∞−
+ dxxfxbhxag )()]()([
= a ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
+ dxxfxhbdxxfxg )()()()(
= aE[g(x)] + bE[h(x)]
Sifat-sifat lain nilai harapan
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku
1. E(a) = a
2. E(bX) = b E(X)
16
3. E(X + a) = E(X) + a
4. E(bX + a) = b E(X) + a
Bukti:
1. E(a) = a
Misalkan , maka
2. E(bX) = b E(X)
3. E(X + a) = E(X) + a
4. E(bX + a) = b E(X) + a
17
Teorema 2.2.2
Apabila , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka
E X X … X E X E X … E X
Bukti:
Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.
1. Rumus benar untuk 1
Akan ditunjukkan benar untuk 2,
dan merupakan variabel random yang saling bebas dengan dengan fungsi
distribusi gabungan P X , X . Karena variabel random tersebut saling bebas
maka dapat ditulis P X , X P P , sehingga
X ,X
P X , X
P P
P P
2. Diandaikan bahwa rumus benar untuk dimana 2
3. Akan ditunjukkan bahwa rumus benar untuk
… …
…
18
Definisi 2.2.11
Variansi variabel random X adalah :
Var X E X E X (2.4)
Teorema 2.2.3
Apabila X merupakan sebuah variabel random maka variansi dari X adalah
Var X E X E X
Bukti :
Berdasarkan definisi
2
2
2
Sifat-sifat lain variansi
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku
1. Var(X + a) = Var(X)
2. Var(bX) = b2 Var(X)
3. Var(bX + a) = b2 Var(X)
Bukti :
1. Var(X + a) = Var(X)
19
2 2
2
2
2 2
2. Var(bX) = b2 Var(X)
3. Var(bX + a) = b2 Var(X)
20
2
2
2
2
2 2
Teorema 2.2.4
Apabila , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka
Var X X X Var X Var X Var X
Bukti :
Persamaan di atas benar untuk 1. Selanjutnya akan dibahas untuk 2,
berdasarkan definisi maka diperoleh
Var (X1 + X2) = E [((X1 + X2) - E [X1 + X2])2]
= E [ ( (X1+ X2 ) – E[X1 ] - E [X2 ] )2]
= E [((X1 - E [X1]) + (X2 - E [X2]))2]
= E [(X1- E [X1]) + (X2 - E [X2])2 +2(X1-E[X1])( X2-E[X2 ] )]
= E [(X1 - E [X1])2] + E [(X2 - E [X2])2] +
2E[(X1-E[X1])( X2-E[X2] )]
21
= Var (X1) + Var (X2) + 2E [(X1 - E [X1])( X2 - E [X2])]
Karena dan merupakan variabel random yang saling bebas maka
berdasarkan Definisi 2.2.8 diperoleh
E [(X1 - E [X1])( X2 - E [X2])] = E [X1 - E [X1]] E [X2 - E [X2]]
= (E[X1]-E[X1])(E[X2]-E[X2 ])
= 0 Sehingga,
Var (X1 + X2) = Var (X1) + Var (X2)
Diasumsikan bahwa rumus benar untuk k. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
rumus benar untuk 1.
Var (X1 + … + Xk-1+ Xk ) = Var (X1 + … + Xk-1) + Var (Xk)
= Var (X1) + … + Var (Xk-1)+ Var (Xk)
Kovariansi
Definisi 2.2.12
Kovariansi antara dua variabel random adalah ukuran sifat asosiasi (hubungan)
antara keduanya. Jika X dan Y merupakan dua variabel random maka kovariansi
dari X dan Y didefinisikan sebagai
Cov X, Y E X E X Y E Y
Sifat-sifat kovariansi
1. Cov X, X Var X
2. Cov X, Y Cov Y, X
3. Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z
22
Bukti :
1. Cov X, X Var X
Cov X, X E X E X X E X
E X E X
Var X
2. Cov X, Y Cov Y, X
Cov X, Y E X E X Y E Y
E XY XE Y YE X E X E Y
E YX YE X XE Y E Y E X
E Y E Y X E X
Cov Y, X
3. Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z
Cov X Y, Z E X Y Z E X Y E Z
E XZ E YZ E X E Z E Y E Z
E XZ E X E Z E YZ E Y E Z
Cov X, Z Cov Y, Z
Definisi 2.2.13
Korelasi dari dua variabel random X dan Y ditulis , dan didefinisikan
sebagai
,Cov X, Y
Var X Var Y
23
Fungsi Pembangkit Momen
Salah satu nilai harapan khusus yang sangat berguna dalam teori
probabilitas dan statistika adalah konsep fungsi pembangkit momen.
Definisi 2.2.14
Jika X adalah variabel random, maka nilai harapan disebut
fungsi pembangkit momen dari X jika nilai harapan tersebut ada untuk semua t
dalam interval –h < t < h, untuk h > 0.
Teorema 2.2.5
Andaikan Y1,Y2,...,Yn adalah variabel random yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen berturut MY1(t), MY2(t),...,MYn(t). Bila
maka fungsi pembangkit momen dari U adalah …
∏ (2.5)
Bukti :
… karena Yi saling bebas maka
…
…
∏
24
C. Distribusi Bernoulli dan Distribusi Binomial
Distribusi Bernoulli didasarkan atas ruang sampel yang dibangkitkan dari
percobaan Bernoulli. Ruang sampel percobaan ini terdiri atas dua unsur yang
biasanya disimbolkan dengan sukses dan gagal masing-masing dengan peluang
timbulnya p dan 1 . Bila sukses disimbolkan dengan 1 dan gagal dengan
0, maka fungsi probabilitas Bernoulli dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.3.1
Bila X adalah variabel random Bernoulli maka distribusi probabilitas X adalah
x = 0,1 (2.6)
Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta
fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Bernoulli.
Nilai harapan dari distribusi Bernoulli dapat dicari dengan menggunakan Definisi
2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi Bernoulli merupakan
distribusi probabilitas yang diskret.
∑
∑ 1
0 1 1 1
Jadi nilai harapan dari distribusi Bernoulli adalah p. Selanjutnya dengan
menggunakan Definisi 2.2.8 akan dicari variansi dari distribusi Bernoulli yaitu
1 .
25
Var (X) = E[x2] – (E[x])2
∑
∑ 1
0 1 1 1
0
Var (X) = E[x2] – (E[x])2
1
Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan
digunakan Definisi 2.2.9.
Mx(t) = E[etx]
∑
∑ 1
1 1
1
1 1
Jadi FPM dari distribusi Bernoulli adalah 1 1 .
Distribusi Binomial
Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua
kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Hal ini dapat
terjadi, misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian
26
atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat. Dapat
ditentukan atau dipilih salah satu hasil sebagai sukses. Hal ini juga benar bila
kartu ditarik secara berturutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan
disebut sukses atau gagal tergantung pada apakah kartu merah atau hitam yang
terambil. Proses seperti ini disebut proses Bernoulli.
Percobaan binomial merupakan percobaan yang terdiri atas ulangan-
ulangan percobaan Bernoulli. Percobaan binomial adalah percobaan yang
memiliki ciri-ciri berikut:
1. Percobaan terdiri atas n ulangan.
2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses atau gagal.
3. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah
sama, tidak berubah-ubah.
4. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain.
Banyaknya X yang sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak
binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial
dan akan dinyatakan dengan ; , , karena nilainya tergantung pada
banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p). Akan dicari
rumus yang akan memberikan peluang x sukses dalam n usaha suatu prcobaan
binomial. Pertama, pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan
tertentu. Karena usaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil yang berbeda
dapat diperkalikan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan tiap kegagalan
dengan peluang 1 . Jadi peluang untuk urutan tersebut adalah .
27
Sekarang harus ditentukan banyaknya semua titik sampel dalam percobaan
tersebut yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini
sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok
sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n-x hasil pada
kelompok kedua. Jumlah ini dapat dinyatakan dengan .
Definisi 2.3.2
Apabila X1,...,Xn masing-masing merupakan variabel random yang saling bebas
dan berdistribusi Bernoulli, maka ∑ merupakan variabel random yang
berdistribusi Binomial yaitu :
; , , x = 0,1,2,...,n (2.7)
Contoh 2.3.1
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.
Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.
Jawab:
Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau
dipengaruhi yang berikutnya. Jadi, 34 untuk tiap keempat pengujian,
sehingga
2; 4,
!! !
Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta
fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Binomial.
28
Nilai harapan dari distribusi binomial dapat dicari dengan menggunakan Definisi
2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi binomial merupakan
distribusi probabilitas yang diskret.
E x ∑ p x
x !! !
!! !
n 1
Jadi nilai harapan dari distribusi binomial adalah np.
Selanjutnya untuk mencari variansi dari distribusi binomial akan digunakan
definisi 2.2.8
E x x 1 1 p x
1
x x 1 !! !
!! !
1 2
29
1
1
Var (x) = E[x2] – (E[x])2
1
Variansi dari distribusi binomial adalah .
Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan
digunakan Definisi 2.2.9.
Mx(t) = E[etx]
∑
∑
∑
1 1
FPM dari distribusi binomial adalah 1 1 .
30
Contoh 2.3.2
Buktikan jika 1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang
saling bebas dan berdistribusi Bernoulli, maka
merupakan variabel random yang berdistribusi binomial!
Jawab :
Untuk membuktikan bahwa Y berdistribusi binomial maka akan diguakan sebuah
metode dalam menentukan fungsi distribusi variabel random yaitu metode fungsi
pembangkit momen.
Jika berdistribusi bernoulli maka fungsi pembangkit momenya adalah
1 1
, maka fungsi pembangkit momenya adalah
…
…
1 1 1 1 … 1 1
1 1
Jika diperhatikan, persamaan terakhir yang diperoleh merupakan fungsi
pembangkit momen bagi variabel random Binomial. Jadi terbukti bahwa jika
1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang saling bebas
dan berdistribusi Bernoulli, maka merupakan variabel
random yang berdistribusi binomial.
31
Definisi 2.3.3
Fungsi Gamma ditulis )(kΓ , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai
dtetk tk∫∞
−−=Γ0
1)( (2.8)
Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat :
π=Γ
−=Γ−Γ−=Γ
)2/1(
)!1()()1()1()(
nnkkk
k>1, dan n = 1, 2, .. (2.9)
D. Distribusi Normal
Distribusi normal sangat penting baik dalam statistika teori maupun
terapan. Distribusi ini pertama kali dipelajari pada abad kedelapan belas, ketika
orang mengamati galat pengukuran berdistribusi simetrik dan berbentuk bel. De
Moivre mengembangkan bentuk matematik distribusi ini pada tahun 1733,
sebagai bentuk limit distribusi binomial. Laplace juga telah mengenal distribusi
ini sebelum tahun 1775. Gauss menurunkan persamaan distribusi ini dari suatu
studi tentang galat dalam pengukuran yang berulang-ulang dari kuantitas yang
sama, dan mempublikasikannya pada tahun 1809. Untuk menghormatinya
distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gauss. Pada abad kedelapan
belas dan sembilan belas, berbagai usaha telah dilakukan untuk membuat
distribusi ini sebagai hukum probabilitas yang mendasari semua variabel kontinu,
maka digunakan nama distribusi normal.
32
Definisi 2.4.1
Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ
dan variansi σ2, apabila variabel itu mempunyai fungsi probabilitas yang
berbentuk
f(x) = 2
2)(
21
21 μ
σ
πσ
−− xe (2.10)
dengan
∞<<∞− X 0>σ
∞<<∞− μ 718,214,3 == edanπ .
Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik seperti dalam
gambar dibawah ini dan dinamakan kurva normal.
Gambar 2.1 : kurva normal dengan mean µ dan variansi σ2
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi siat-sifat fungsi
densitas.
µ
33
Pertama, harus ditunjukkan bahwa integral dari fungsi densitas normal adalah 1.
Kedua, harus ditunjukkan bahwa µ dan σ2 adalah mean dan variansi dari X.
Dengan mensubstitusikan σμ−
=xz dan dx = σdz, didapat :
I = dzedzedxxf zz 2/
0
2/ 22
212
21),;( −
∞−
∞
∞−
∞
∞−∫∫ ∫ ==
ππσμ
Bila dimisalkan w = z2/2, maka z = w2 dan dz = (w-1/2/ 2 )dw, sehingga
I = dwew w−∞ −
∫0
2/1
π
Dengan menggunakan fungsi Gamma didapat,
I 1)2/1(=
Γ=
π
Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan σμ−
=xz memegang peranan
yang sangat penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.
Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan.
Fungsi densitas hasil transformasi dari X ke Z disebut Distribusi normal standar
yang fungsinya,
φ ∞<<∞−= − zez z ,21)(
2
π (2.11)
Berikut ini dengan menggunakan Definisi 2.4.1 akan dicari nilai harapan dan
variansi dari variabel random X yang berdistribusi normal.
E(X) = dxxx⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−∫∞
∞−
2
21exp
21
σμ
πσ
34
Misal z = σμ−x maka x = σz + µ dan dx = σdz sehingga diperoleh
E(X) = dzexzσ
πσ
2
21
21 −
∞
∞−∫
= dzexz 2
21
21 −
∞
∞−∫ π
= dzezz 2
21
21)(
−∞
∞−∫ +
πμσ
= dzedzezzz
∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
+22
21
21
21 μπ
σ
= 121 2
21
⋅+−
∞
∞−∫ μ
πσ dzez
z
jika dimisalkan, -1/2z2 = w maka z = w2 dan z dz = -dw
atau dz = z
dw = w
dw2
sehingga diperoleh
E(X) = μπ
σ +−
∞
∞−∫ dzez
z 2
21
21
= μπ
σ +− ∫∞
∞−
dwew
21
= μπ
σ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− ∫ ∫
∞−
∞0
02dwedwe ww
= ] ] μπ
σ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− ∞−
∞−
−
021
021 22
2zz
ee
= ( ) μπ
σ+−+−− ∞−∞− )()(
200 eeee
35
= 0 + µ
= µ
E(X2) = dxxx⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−∫∞
∞−
22
21exp
21
σμ
πσ
Misal, z = σμ−x maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh
E(X2) = dzexz
∫∞
∞−
−σ
πσ
2
21
2
21
= dzez z
∫∞
∞−
−+ 2
212
2)(
πμσ
= dzezz z 2
21222
2)2( −
∞
∞−∫
++π
μμσσ
= ∫∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
−∞
∞−
++ dzedzezdzez zzz 222
212
21
2122
222
2 πμ
πμσ
πσ
= 102
22122 2
⋅++−
∞
∞−∫ μ
πσ dzez z
= ∫∞
∞−
−+ 22
12
2 2
2μ
πσ dzez
z
misal ½ z2 = w maka z = w2 dan z dz = dw sehingga diperoleh
E(X2) = w
dwew w
22
2
2
∫∞
∞−
−
πσ + µ2
= dwew w∫∞
∞−
−212
πσ + µ2
36
= dwew w∫∞
−
0
2122
πσ + µ2
dengan menggunakan persamaan (2.8) dan (2.9) didapatkan
E(X2) = dwew w∫∞
−
0
2122
πσ + µ2
= )2/3(2 2
Γπσ + µ2
= )2/1(212 2
Γπσ + µ2
= ππσ
212 2
+ µ2
= 2σ + µ2. (2.12)
Dengan menggunakan persamaan (2.4) maka
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
= ( 22 μσ + ) - µ2 = σ2 (2.13)
Hampiran Normal Terhadap Binomial
Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial dengan langsung
dapat diperoleh dari rumus distribusi binomial ; , atau dari tabel distribusi
bila n kecil. Bila n tidak ada dalam daftar tabel yang tersedia, maka peluang
binomial terpaksa dihitung dengan cara hampiran.
Distribusi normal sering merupakan hampiran yang baik terhadap
distribusi diskret. Distribusi normal merupakan distribusi hampiran yang
memudahkan karena fungsi distribusi tumpukannya (kumulatif) mudah
37
ditabelkan. Distribusi binomial dihampiri dengan baik oleh distribusi normal
dalam praktek bila digunakan fungsi distribusi kumulatif. Berikut ini akan
diberikan sebuah teorema yang memungkinkan penggunaan luas di bawah kurva
normal untuk menghampiri peluang binomial bila n cukup besar.
Teorema 2.4.1
Bila X peubah acak binomial dengan rataan dan variansi maka
bentuk limit distribusi
bila ∞ , adalah distribusi normal standar N z; 0,1 .
Gambar 2.2 : hampiran Normal terhadap Binomial
38
BAB III
RANDOM WALK dan GERAK BROWN
Suatu proses stokastik , merupakan kumpulan dari variabel-
variabel random. Jadi untuk setiap , merupakan variabel random.
Indeks t seringkali menggambarkan waktu dan lebih mengarah kepada hasil
atau keadaan dari proses tersebut pada waktu t.
Dalam bab III ini akan dibahas mengenai Random Walk dan Gerak Brown.
Random walk dan gerak Brown merupakan contoh dari suatu proses stokastik
dan sering digunakan dalam memodelkan pergerakan harga saham. Selain itu juga
akan dibahas mengenai Ito’s Lemma yang juga merupakan lemma yang cukup
penting dan sering digunakan dalam proses stokastik.
A. Random Walk
Secara harafiah random walk berarti langkah random. Suatu percobaan
sederhana dapat menggambarkan dengan jelas mengenai konsep dasar dari
random walk, yaitu pelemparan sebuah mata uang dua sisi. Bayangkan seseorang
yang berada pada titik nol (origin) pada sebuah garis bilangan real dan orang
tersebut akan melemparkan sebuah mata uang dua sisi yang seimbang . Apabila
dalam setiap kali pelemparan mata uang tersebut, muncul sisi gambar maka orang
tersebut akan berpindah satu unit langkah ke arah kanan ( positive direction) dan
jika muncul sisi angka maka orang tersebut akan berpindah satu unit langkah ke
arah kiri (negative direction).
39
Kejadian di atas merupakan suatu hal yang mengandung suatu ketidakpastian,
yaitu dalam hal ini peluang memegang peranan yang cukup penting. Bukan
sesuatu hal yang mudah dalam menentukan dengan tepat dan benar apakah orang
tersebut akan bergerak ke arah kanan ataupun sebaliknya, karena dalam situasi ini
orang tersebut mempunyai peluang yang sama besar untuk bergerak ke arah kanan
maupun kiri. Hal ini membuat orang tersebut akan bergerak secara acak
berdasarkan hasil pelemparan sebuah mata uang.
Dapat dikatakan bahwa kejadian perpindahan orang tersebut sebagai sebuah
random walk sederhana atau suatu sistem dinamis stokastik yang diskret yang
akan berkembang menjadi random walk.
Gambar 3.1 gambar random walk pada garis bilangan real
Definisi 3.1.1
Misalkan , , … , merupakan variabel random yang bernilai real dan
0 sehingga,
0 ∑
‐10
‐5
0
5
10
15
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
S(n)
S(n)
n
40
maka barisan variabel random ∞ disebut sebagai random walk dengan
0 merupakan keadaan awal.
Apabila definisi ini dipersempit dengan mengasumsikan bahwa hanya bernilai
1 atau -1 dengan peluang yang sama, maka barisan variabel random ∞
disebut sebagai random walk sederhana.
Pembahasan selanjutnya mengenai random walk akan diawali dengan sebuah
aplikasi. Sebuah aplikasi yang cukup sederhana dari random walk adalah dalam
dunia ekonomi, dalam hal ini harga saham, yaitu situasi dimana seseorang yang
mempunyai saham dengan harga tertentu yang dilambangkan dengan S. Pada
interval diskret (misalnya pengamatan per detik), harga dari saham tersebut
diasumsikan dapat berubah menjadi lebih tinggi (meningkat) ataupun lebih
rendah (menurun) satu unit dari harga saham sebelumnya . Dengan kata lain jika
harga saham pada detik ke n adalah , maka harga saham pada detik ke n+1
adalah 1 1 atau 1 1. Sama seperti pada
pembahasan sebelumnya bahwa peluang harga saham tersebut untuk meningkat
akan sama besar dengan peluang harga saham tersebut untuk menurun. Asumsi ini
menghasilkan sebuah sifat yaitu sifat simetrik bagi random walk.
Definisi 3.1.2
Jika distribusi dari random walk mempunyai 1 1 , maka
random walk tersebut disebut sebagai random walk yang simetrik, dan
mempunyai beberapa sifat dasar yaitu:
41
i. | 0 | 0 untuk setiap
, , , ( Spatial Homogeneity/ kesamaan tempat).
ii. | 0 | untuk setiap
, , , (Temporal Homogeneity/ kesamaan waktu).
Berdasarkan pembahasan di atas, apabila merupakan sebuah variabel
random yang dapat bernilai 1 atau -1 dengan nilai probabilitas yang sama dan
untuk 0, maka dapat dikatakan bahwa random walk dengan sejumlah n
langkah yang telah diambil sebagai jumlahan parsial dan ditulis
0 (3.1)
Variabel random merupakan bentuk umum dari variabel random
Bernoulli, karena merupakan sebuah variabel random yang menggambarkan
sebuah kejadian dengan dua kemungkinan hasil yaitu 1 dan -1. Apabila
merupakan variabel yang menyatakan harga saham pada hari ke-n dan 1
untuk harga saham pada hari sebelumnya, maka dan 1 dapat
dikurangkan dan diperoleh
0
1 0
1
Secara induksi rumus untuk mencari nilai dari variabel dapat didefinisikan
dengan menggunakan rumus 1 untuk 0, dimana 0
merupakan keadaan awal random walk.
42
Apabila keadaan awal dari random walk adalah 0 dan jumlah langkah
yang telah ditempuh sebanyak 0, dimana 0 adalah banyaknya langkah ke
arah kanan (positif) dan 0 adalah banyaknya langkah ke arah kiri
(negatif) maka dapat dicari probabilitas bagi yang menyatakan keadaan atau
posisi dari sebuah random walk setelah menempuh sejumlah n langkah.
0 0 2
Jika diperhatikan dengan baik, 2 merupakan jumlahan dari variabel random
Xi yang saling bebas dan berdistribusi Bernoulli sehingga mengakibatkan variabel
0 berdistribusi binomial (Definisi 2.5.1). Untuk menyatakan posisi
atau tempat dari random walk setelah n langkah ditempuh dapat menggunakan
persamaan 0 2 , dan karena variabel 0 berdistribusi
binomial maka akan dicari peluang k sukses dari n langkah yang ada sehingga
dapat ditulis bahwa
0 2
(3.2)
Jika 0 0 maka variabel 0 dapat ditulis menjadi sebuah
variabel random yang baru yaitu 0 untuk 0,1, … sehingga
diperoleh suatu hubungan yaitu 0 0.
2
43
Lemma 3.1.1
Jika random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan
keadaan awal S 0 0, maka
1) 0 jika |m| ,
2) 0 jika n m gasal,
3) ⁄ , selainya.
Bukti :
1) 0
, 0 0
Jika merupakan variabel random yang dapat bernilai 1 atau -1 dengan
peluang yang sama, maka . Dengan demikian sebagai
jumlahan parsial untuk 0 tidak dapat mencapai nilai apabila
| | . Sehingga terbukti benar bahwa
0 | |
2) Berdasarkan Persamaan (3.2) dan 0 0, maka diperoleh 2
sehingga 2 . Hal ini menunjukan bahwa genap dan
kontradiksi dengan asumsi bahwa gasal. Jadi terbukti bahwa
0
3) Diasumsikan bahwa 2 dan genap. Dari asumsi tersebut diperoleh
kemudian dengan menggunakan rumus sebelumnya(Persamaan 3.2)
maka
0 2 2
44
Pada pembahasan sebelumnya, random walk dapat secara bebas bergerak ke
arah kiri maupun kanan berdasarkan jumlah langkah yang ada. Misalkan sebuah
batas diletakan pada jalur dari random walk. Diasumsikan bahwa keadaan awal
dari random walk adalah positif yaitu 0 0 dan diasumsikan juga bahwa
batas bawah dari random walk adalah 0. Apabila random walk mencapai nilai
batas tersebut dalam jumlah langkah yang berhingga, maka random walk akan
berada pada nilai batas tersebut. Dalam random walk keadaan seperti ini dikenal
sebagai kondisi penyerapan nilai batas ( Absorbing Boundary Condition ).
Sangat perlu untuk diperhatikan setiap nilai terkecil yang dicapai oleh
karena nilai batas pada 0 yang bersifat menyerap (absorbing). Oleh sebab itu
didefinisikan : 0 . Jika j adalah bilangan bulat positif
terkecil sedemikian hingga 0 0 , maka berdasarkan sifat
penyerapan nilai batas 0 untuk semua .
Lemma 3.1.2
Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan
untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik
secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga
45
bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap (absorbing). Jika , 0, | |
dan genap juga genap maka
∧ 0 | 0 ⁄ ⁄ (3.3)
Bukti :
Untuk membuktikan lemma di atas akan diawali dengan pembahasan mengenai
random walk tanpa nilai batas, yaitu variabel random yang mempunyai
keadaan awal 0 0 dan yang dapat bernilai negatif karena tidak
adanya batas. Dalam situasi ini dengan menggunakan aturan penjumlahan
diperoleh
| 0
∧ 0 0 ∧ 0 0 (3.4)
Berdasarkan sifat kesamaan tempat (spatial homogeneity) dari random walk,
maka di dapat
| 0 | 0 0
Menggunakan Lemma 3.1.1 bagian (iii) dengan | | karena akibat dari
| | dan genap maka rumus probabilitas di atas dapat ditulis
menjadi
| 0 0 ⁄ (3.5)
sekarang sifat simetrik dari random walk akan digunakan untuk random walk
yang tidak dibatasi
| 0 0 | 0 0
46
Seperti yang tampak pada Gambar 3.2, realisasi dari random walk yang
memotong sumbu x pada dapat direfleksikan di sekitar sumbu x. Random
walk yang tidak mempunyai batas mengakibatkan bahwa ada kemungkinan untuk
random walk tersebut mencapai daerah bagian bawah yaitu nilai negatif. Garis
putus-putus pada gambar di bawah ini menyatakan bahwa random walk mencapai
nilai negatif dan dapat direfleksikan di sekitar sumbu x sehingga diperoleh
gambar dari random walk yang selalu berada diatas sumbu x meskipun tidak
mempunyai batas.
Gambar 3.2 random walk yang simetri dengan keadaan awal 0
Nilai probabilitas dari random walk di atas sama dengan nilai dari setiap jalur
yang dicapai. Oleh karena itu berdasarkan sifat refleksif dari gambar di atas dan
dengan mengingat syarat bahwa | | dan genap, maka
∧ 0 | 0 | 0
| 0 0
jj
j
47
⁄ (3.6)
Berdasarkan hal ini, untuk membuktikan lemma di atas menjadi sedikit lebih
mudah yaitu dengan mensubtitusikan Persamaan 3.6 dan Persamaan 3.5 ke dalam
Persamaan 3.4 sehingga diperoleh
∧ 0 | 0
⁄ ⁄
Contoh 3.1.1
Sebuah random walk yang simetrik dengan keadaan awal 0 10, berapakah
probabilitas bahwa 50 16 dan 0 0,1, … ,50 ?
Jawab :
Diketahui bahwa 50, 16, dan 10.
Untuk menghitung probabilitas di atas maka akan digunakan rumus
∧ 0 | 0
⁄ ⁄
⁄ ⁄
2
0.0787178
Mengingat bahwa notasi yang digunakan sangat panjang, maka dengan tujuan
mempermudah penulisan maka akan didefinisikan sebuah fungsi baru yaitu
, ⁄ ⁄
48
Sebuah variabel random baru yaitu Ω akan didefinisikan sebagai waktu
penghentian ( stopping time ) jika nilai dari sebuah random walk sama dengan A
dalam kesempatan yang pertama. Selanjutnya akan dibahas mengenai probabilitas
bahwa Ω mempunyai nilai berupa bilangan asli dengan keadaan awal yang
diberikan 0 0 dengan parameter 0 dan nilai batas pada 0 bersifat
menyerap (absorbing). Andaikan bahwa keadaan awal dari random walk adalah
0 0, dengan menggunakan sifat kesamaan tempat (spatial
homegeneity) dari random walk maka diperoleh
0
0 0 0
Misalkan Ω menyatakan bahwa random walk pada langkah ke n mencapai
nilai 0 pada kesempatan yang pertama sehingga jika Ω berarti 0.
Ω jika dan hanya jika 1 1 , 0 dan 1, dimana
1 dan 1 1 , 0 merupakan kejadian yang saling bebas,
sehingga
Ω | 0
1 1 1 0 | 0
1| 0 1 1 0 | 0
1 1 0 | 0
, 1
Sehingga Ω | 0 , 1
49
Didefinisikan sebuah simbol baru yaitu yang menyatakan sembarang
jalur dalam interval diskret [0,A] dari 0 menuju A dan menjauhi 0. Sedangkan
merupakan sebuah simbol untuk menyatakan probabilitas dari sebuah
random walk yang berawal dari 0 dan melalui jalur . Akhirnya simbol
akan digunakan untuk menyatakan probabilitas dari random walk yang
berawal pada 0 dan akan mencapai nilai dengan menjauhi keadaan
0. Dengan menggunakan aturan penjumlahan pada prinsip probabilitas maka
diperoleh
Setiap pergerakan dari random walk untuk bergerak ke kanan ataupun ke kiri
adalah bebas dan tidak bergantung pada pergerakan sebelumnya, sehingga
keadaan awal 0 dari random walk tersebut dapat dibentuk menjadi dua
keadaan yaitu 1 1 dengan probabilitas dan 1 1 dengan
probabilitas sehingga rumus probabilitas di atas dapat ditulis menjadi
∑
1 1
0 1 2 1 (3.7)
Pada pembahasan sebelumnya dikatakan bahwa random walk hanya
mempunyai satu nilai batas yang bersifat menyerap yaitu 0. Selanjutnya random
walk yang akan dibicarakan adalah random walk dengan dua nilai batas yang
50
bersifat menyerap yaitu 0 dan A. Karena kedua nilai batas tersebut bersifat
menyerap maka diperoleh 0 0 dan 1.
Teorema 3.1.1
Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan
untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik
secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga
bahwa nilai batas pada titik 0 dan A bersifat menyerap. Jika 0 0
maka
1. Probabilitas random walk mencapai nilai A tanpa harus mencapai nilai 0
adalah ⁄ ,
2. Probabilitas random walk mencapai nilai 0 tanpa harus mencapai nilai A
adalah 1 ⁄ .
Bukti
Pembuktian teorema di atas akan dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan
linear (Persamaan 3.7).
Persamaan 3.7 di atas merupakan suatu sistem persamaan linear yang mempuyai
solusi yang juga merupakan nilai bagi untuk 1,2, … , 1 dengan nilai
0 0 dan 1. Jika ditulis dalam bentuk matriks maka diperoleh :
1 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1
0123
1
0000
01
51
Untuk mempermudah menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut akan
dibentuk matriks segitiga atas dengan menggunakan eliminasi Gauss. Eliminasi
Gauss bekerja dengan menambahkan perkalian skalar dengan baris pada baris
dibawahnya yang pada akhirnya akan menghasilkan matris segitiga atas yaitu
matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
10
0000
1000000012100000
00012100000012100000012100000001
M
L
L
M
L
L
L
L
Dengan mengalikan -1 pada baris pertama dan kemudian ditambahkan pada baris
kedua diperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
10
0000
1000000012100000
00012100000012100000012000000001
M
L
L
M
L
L
L
L
Selanjutnya baris kedua dikalikan dengan kemudian ditambahkan pada baris
ketiga
52
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
10
0000
1000000012100000
0001210000001000000012000000001
23
M
L
L
M
L
L
L
L
Langkah selanjutnya adalah dengan mengalikan pada baris ketiga dan
menjumlahkannya pada baris keempat dan diperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
10
0000
1000000012100000
000100000001000000012000000001
34
23
M
L
L
M
L
L
L
L
Misalkan bahwa eliminasi Gauss telah dikerjakan sampai pada baris ke i sehingga
bentuk dari matriks tersebut pada baris ke i dan i+1 adalah
00
0012100000100 1
LL
LL
−−−i
i
Sekali lagi eliminasi Gauss dioperasikan yaitu dengan mengalikan 1 1 ⁄
pada baris ke i kemudian dijumlahkan pada baris ke i+1 sehingga diperoleh
00
001000000100
)1(1
LL
LL
ii
ii
+−−−
Apabila eliminasi Gauss dikerjakan terus hingga pada baris ke A maka akan
terbentuk matriks segitiga atas seperti di bawah ini
53
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
10
0000
100000001000000
000100000001000000012000000001
1
34
23
M
L
L
M
L
L
L
L
AA
Apabila matriks segitiga atas ini ditulis kembali berdasarkan sistem persamaan
linearnya maka diperoleh
1 0 0 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1
0123
1
0000
01
Sistem persamaan linear yang baru ini akan sedikit mempermudah dalam mencari
semua nilai solusi yang mungkin bagi sistem persamaan linear tersebut. Apabila
nilai diketahui maka untuk menentukan nilai 1 dapat ditentukan
dengan menggunakan persamaan berikut
1 0
1 (3.8)
Misalkan diambil , seperti diketahui bahwa nilai batas pada A bersifat
menyerap sehingga 1, kemudian disubstitusikan pada Persamaan 3.8
11
54
Misalkan bahwa nilai diketahui, maka dengan mengambil
dan mensubtitusikannya pada Persamaan 3.8 diperoleh
1
1 (3.9)
Berdasarkan hasil yang sudah diperoleh maka dalam kasus yang lebih umum
dapat dikatakan bahwa . Apabila diambil maka
. Nilai dari solusi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini
01
1
0
1
Variabel menyatakan probabilitas dari sebuah random walk dengan
keadaan awal 0 akan mencapai titik 0 dan menjauhi titik .
Dengan mengganti variabel A pada Persamaan 3.7 dengan 0 maka diperoleh
sebuah persamaan
0 1 2 1 (3.10)
Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas dapat dilakukan sama seperti yang
sebelumnya dilakukan tetapi akan sedikit sulit. Oleh sebab itu akan digunakan
cara yang lebih mudah yaitu dengan menggunakan sifat simetrik dari random
walk. Seperti yang diketahui bahwa peluang sebuah random walk untuk bergerak
55
ke atas akan sama dengan ketika bergerak ke bawah. Mengingat bahwa kedua
nilai batas (0 dan A) bersifat menyerap sehingga mengakibatkan 0 1 dan
0. Berdasarkan hal tersebut dan konsep mengenai probabilitas dari
semua kemungkinan kejadian yang terjadi adalah 1, maka dapat ditulis
1
1
1
Berdasarkan hasil terakhir yang diperoleh maka dapat ditulis semua nilai bagi
untuk 1,2, … , 1 dalam sebuah matriks di bawah ini
01
1
1
0
Sehingga diperoleh sebuah kesimpulan yaitu
dan 1 untuk 1,2, … , 1
Misalkan 0, merupakan himpunan nilai batas yang bersifat menyerap dari
random walk berdimensi satu, maka dapat didefinisikan sebuah simbol yang
menyatakan nilai harapan untuk waktu penghentian bagi random walk yang
mencapai titik A.
56
: waktu untuk random walk bergerak dari 0 untuk 0 ke B
dan mengikuti jalur .
Ω : nilai harapan .
Berdasarkan definisi nilai harapan maka diperoleh
Ω
Apabila random walk bergerak mulai dari nilai batas 0 maka nilai
harapannya adalah 0, sehingga Ω 0 Ω 0. Jalur dari dapat
dibentuk menjadi jalur yang berbentuk 1 atau 1 dengan
penambahan satu langkah, sehingga diperoleh
Ω ∑ 1 1
∑ ∑
∑
Ω 1 Ω 1 1
2 Ω 1 2Ω Ω 1 (3.11)
Teorema 3.1.2
Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan
untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik
secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga
bahwa nilai batas pada 0 dan A bersifat menyerap, maka jika 0 0
57
random walk memotong nilai batas ( S = 0 atau S = A) setelah sejumlah langkah
yang telah ditempuh diberikan oleh rumus
Ω
Bukti
Pembuktian teorema ini akan dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan
linear (3.11).
Persamaan 3.11 sering kali disebut sebagai Persamaan Poisson untuk waktu
penghentian. Dari persamaan Poisson ini dapat dibentuk sebuah sistem persamaan
linear untuk waktu penghentian dan ditulis dalam bentuk matriks berikut ini
( )( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−Ω
ΩΩΩ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
02
22
0
1
210
10000001210000
000121000001210000001
MM
L
L
M
L
L
L
AA
B
B
B
B
B
Matriks yang dibentuk dari Persamaan Poisson dikenal sebagai matriks
tridiagonal. Jika diperhatikan seluruh entri pada matriks tersebut bernilai nol
kecuali entri-entri pada diagonal utama, sub-diagonal, dan super diagonal. Banyak
metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear,
tetapi metode yang akan digunakan adalah sama dengan yang sudah digunakan di
depan yaitu eliminasi Gauss. Operasi pertama yang dilakukan adalah
memperbesar matriks dengan menambah sebuah kolom pada sisi bagian kanan
matriks tersebut dan ditulis menjadi
58
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−
02
22
0
10000001210000
000121000001210000001
M
L
L
M
L
L
L
Apabila baris pertama dikalikan dengan -1 dan kemudian dijumlahkan dengan
baris kedua maka diperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−
02
22
0
10000001210000
000121000001200000001
M
L
L
M
L
L
L
Perhatikan sekarang bahwa semua entri pada kolom pertama sudah bernilai nol
kecuali entri pada diagonal utama. Selanjutnya hal yang sama akan dilakukan
untuk kolom yang kedua dengan mengalikan pada baris kedua dan
menjumlahkanya dengan baris ketiga sehingga menjadi
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−
02
32
0
10000001210000
00010000001200000001
23
M
L
L
M
L
L
L
Langkah selanjutnya adalah dengan mengalikan pada baris ketiga dan
menjumlahkannya pada baris keempat dan diperoleh
59
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−−
−
10
432
0
1000000012100000
000100000001000000012000000001
34
23
M
L
L
M
L
L
L
L
Operasi baris elementer ini harus terus dilakukan sampai dua baris terakhir.
Andaikan eliminasi Gauss telah dioperasikan pada baris ke i pada matriks yang
diperbesar tersebut sehingga baris ke i dan i+1 dari matriks tersebut menjadi
seperti berikut
20012100000100 1
−−
−−− ii
i
LL
LL
Dengan mengalikan baris ke i dengan 1 1 ⁄ kemudian dijumlahkan dengan
baris i+1 dan menghasilkan
)1(001000000100
)1(1
+−−
+−−−
ii
ii
ii
LL
LL
Terlihat bahwa dengan melakukan eliminasi Gauss maka matriks yang diperbesar
ini menjadi matriks segitiga atas dan ditulis
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−
−
0
32
0
1000000100000
00010000001200000001
1
23
AAA
M
L
L
M
L
L
L
60
Proses eliminasi Gauss sama halnya dengan menjumlahkan hasil kali persamaan
linear dengan persamaan linear yang lainya. Jika matriks segitiga atas tersebut
ditulis kembali berdasarkan Persamaan 3.11 maka diperoleh
( )( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−Ω
ΩΩΩ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
0
32
0
1
210
1000000100000
00010000001200000001
1
23
AA
A
B
B
B
B
B
AA
MM
L
L
M
L
L
L
(3.12)
Sekarang sistem persamaan linear ini sudah dapat digunakan untuk mencari solusi
bagi nilai Ω untuk 1,2, … , 1.
Apabila nilai dari Ω diketahui maka dapat ditentukan nilai bagi Ω 1
dengan menggunakan persamaan
Ω 1 Ω
Ω 1 1 Ω (3.13)
Berdasarkan (3.12) nilai Ω 0, nilai ini akan digunakan sebagai substitusi
dalam Persamaan 3.13. Misalkan diambil dan dimasukkan ke dalam
persamaan 3.13, maka
Ω 1 1 Ω
1 0
1
Selanjutnya apabila diambil 1 dan disubstitusikan pada Persamaan 3.13
maka diperoleh
61
Ω 2 2 Ω 1
2 1
2 2
Dengan menggunakan induksi maka dapat dicari solusi yang lain. Misalkan
Ω diketahui, maka dengan mengambil kemudian
disubstitusikan ke dalam Persamaan 3.11
Ω 1 11
1 1
1
Ω 1 1 1 (3.14)
Sehingga dalam kasus yang lebih umum Ω . Dengan
mensubtitusikan ke dalam Persamaan 3.12 maka diperoleh
Ω
Contoh 3.1.2
Misalkan sebuah random walk simetrik berada dalam interval diskret 0,1,2,3,4
dimana nilai batas pada 0 dan 4 bersifat menyerap. Jika 0 maka nilai
harapan untuk waktu penghentian dari random walk tersebut adalah
Tabel 3.1 nilai harapan dari waktu penghentian random walk
62
Dalam Teorema 3.2 dijelaskan mengenai jumlah langkah rata-rata yang
diperlukan oleh sebuah random walk simetrik untuk mencapai kedua titik batas
pada interval [0,A] berdasarkan titik awal atau keadaan awal. Selanjutnya akan
dibahas mengenai waktu untuk random walk bergerak bersyarat. Hal tersebut
adalah rata-rata jumlah langkah yang diperlukan sebuah random walk simetrik
untuk mencapai nilai batas pada titik A yang menjauhi nilai batas yang lain yaitu
0. Simbol Ω menyatakan waktu untuk random walk bergerak bersyarat pada
keadaan awal 0 yang mencapai nilai batas A dan menjauhi nilai batas 0,
sehingga waktu untuk random walk bergerak bersyarat ini dapat dirumuskan
sebagai berikut :
Ω∑
∑∑
Perhatikan bahwa jumlahan di atas terjadi pada semua kemungkinan jalur yang
berawal pada 0 dan berakhir pada titik A dan menjauhi titik 0 sehingga
hal ini mengakibatkan bahwa waktu untuk random walk bergerak bersyarat dan
probabilitas jalur tersebut saling berhubungan berdasarkan persamaan berikut :
Ω ∑ (3.15)
Sisi bagian kanan dari Persamaan 3.15 akan didekomposisikan menjadi dua
bagian sama seperti hal sebelumnya yang telah dilakukan sehingga diperoleh
Ω
∑ 1 1
1 Ω 1 1 Ω 1
2 1 Ω 1 2 Ω 1 Ω 1 (3.16)
63
Sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar
matriks elementer. Penyelesaian dari sitem persamaan linear tersebut berupa hasil
perkalian vektor Ω untuk 0,1,2, … , . Dengan tujuan agar tidak
memakan banyak tempat dan mempersingkat notasi maka akan didefinisikan
sebuah simbol baru yaitu Ω . Pada nilai batas dimana 0, 0
karena 0 0 dan juga berlaku 0 karena Ω 0. Sehingga dengan
menggunakan Teorema 3.1.1 dan semua informasi yang ada maka Persamaan
3.16 apabila dituliskan dalam bentuk matriks menjadi seperti dibawah ini
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
0
0
10000001210000
000121000001210000001
)1(2
4
2
1
2
1
0
AA
A
A
A
A
zz
zzz
MM
L
L
M
L
L
L
(3.17)
Teorema 3.1.3
Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan
untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik
secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga
bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap. Random walk akan berhenti pada
waktu yang pertama dimana . Misalkan , , … , merupakan
solusi dari matriks (Persamaan 3.17), maka nilai harapan dari waktu penghentian
diberikan oleh
Ω untuk 1,2, … ,
64
Bukti
Pembuktian teorema di atas akan dilakukan dengan cara induksi.
Ω dan seperti yang diketahui bersama bahwa nilai 0 0 dan
Ω 0 dikarenakan nilai batas pada A bersifat menyerap.
1. Akan dibuktikan rumus benar untuk 1
Ω 1 .
1 Ω 1
Ω 1
Ω 1
Rumus benar untuk 1
2. Diandaikan rumus benar untuk
3. Akan dibuktikan rumus benar untuk 1
Ω 1
Ω
Ω 1
Ω 1
Rumus benar untuk 1.
65
Contoh 3.1.3
Misalkan sebuah random walk yang simetrik terjadi pada garis bilangan bulat.
Andaikan bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap. Jika 0 0 5
waktu penghentian bagi random walk ketika mencapai nilai 5 adalah
Tabel 3.2 waktu penghentian dari random walk
B. Gerak Brown
Gerak Brown pertama kali ditemukan oleh seorang ahli tanaman
berkebangsaan Scotlandia yaitu Robert Brown pada tahun 1827 melalui
eksperimennya terhadap pergerakan serbuk sari tanaman dalam zat cair yang
bergerak secara tak beraturan. Sekitar tahun 1900 Louis Bachelier seorang
mahasiswa matematika di Paris mempelajari sifat-sifat dari harga saham dan dia
menemukan adanya pergerakan yang tak beraturan dan kemudian
mengembangkan apa yang ditemukan oleh Brown secara matematis dan
menggunakannya sebagai model untuk pergerakan harga saham. Pada tahun 1920
Norbert Wiener mengembangkan kerangka model tersebut secara probabilistik.
Pergerakan ini kemudian dikenal sebagai Gerak Brown atau Proses Wiener.
66
Definisi 3.2.1
Sebuah proses stokastik , 0 disebut sebagai Gerak Brown jika
i. 0 0 dan kenaikannya bersifat kontinu.
ii. Pergerakan atau kenaikan pada interval waktu merupakan variabel random
yang saling bebas.
iii. Pergerakan atau kenaikan yang terjadi pada interval waktu dengan panjang
interval u dari waktu t ke berdistribusi normal dengan mean 0 dan
variansi sama dengan panjang interval waktu tersebut.
Fungsi densitas dari variabel random yang berdistribusi normal dengan mean µ
dan variansi adalah
1√2
exp12
µσ
Dengan mengacu pada definisi 3.2.1 bagian iii maka kenaikan dari sebuah
gerak Brown pada interval , berdistribusi normal dengan mean 0 dan
variansi sama dengan panjang interval. Fungsi distribusi dari kenaikan tersebut
ditulis sebagai berikut
P B t u B t a1
√u√2πexp
12
x√u
dx
Dengan memperhatikan definisi di atas bahwa nilai dari 0 0 maka
berdasarkan (i) dan (iii) maka fungsi densitas dari gerak Brown pada akhir periode
waktu 0, didapat dengan mengganti nilai μ 0 dan √
67
√ √
exp√
(3.18)
Dapat dikatakan bahwa untuk 0, berdistribusi normal dengan mean 0
dan variansi t.
Kovarians dari gerak Brown pada waktu s dan t dimana merupakan
nilai harapan dari variabel random tersebut, yaitu
, Ε Ε Ε
Berdasarkan definisi 3.2.1 nilai Ε dan Ε adalah 0, sehingga
, Ε
Dengan sedikit modifikasi pada maka dapat ditulis
maka
Ε Ε B s
Ε B s Ε
Ε B s Ε Ε
00
Apabila maka Ε . Jadi untuk sembarang waktu s dan t
Ε min , (3.19)
Misalkan bahwa dan merupakan dua gerak Brown yang saling bebas
dan juga diberikan sebuah bilangan 1 1. Untuk interval waktu 0
didefinisikan sebuah proses baru yaitu
68
1
Untuk setiap waktu t, proses tersebut merupakan kombinasi linear dari
variabel random normal yang saling bebas sehingga berdistribusi normal.
Hal pertama yang akan dibahas adalah menunjukkan bahwa Z merupakan gerak
Brown dengan jalan memodifikasi nilai harapan dan variansinya pada waktu t dan
variansinya pada semua interval waktu. Hal ini akan menunjukkan bahwa Z dan B
mempunyai korelasi atau hubungan.
Nilai harapan dari adalah
E E 1
E 1 E
0 1 0
0
dan variansinya adalah
1
1
1
1
Selanjutnya perhatikan proses berikut
1
1
69
1
merupakan kenaikan yang bersifat random dari gerak Brown B
dalam interval waktu u dan merupakan kenaikan yang bersifat
random dari gerak Brown dalam interval waktu u. Kedua hal ini merupakan
kejadian yang saling bebas satu sama lain, sama halnya jika dikalikan dengan
sebuah konstanta maka variansi dari jumlah sama dengan jumlah variansi dan
ditulis
1
1
1
Nilai dari variansi ini tidak bergantung pada waktu awal t dalam interval u, dan
sama dengan panjang interval tersebut. Z mempunyai sifat-sifat yang sama
dengan gerak Brown dan variansinya adalah
2 ,
2 ,
2
70
Sekarang akan dilihat hubungan antara Z dan B pada waktu t. Hal ini
didefinisikan sebagai kovariansi diantara dan yang diukur oleh hasil
kali dari standar deviasi antara dan yaitu :
,,
Akan dikerjakan bagian pembilang terlebih dahulu
, 1 ,
, 1 ,
, 1 ,
, 1 0
Dengan memasukkan nilai dari variansi dan yaitu t, maka diperoleh
,√ √
(3.20)
Gerak Brown B dan Z mempunyai korelasi untuk semua waktu t.
C. Konstruksi Gerak Brown Menggunakan Random Walk Simetrik
Gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah random walk, yaitu dengan
mencari limit dari distribusi random walk tersebut. Random walk yang simetrik
adalah random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk dua nilai
yang berebeda. Misalkan diambil sebuah interval 0, dan kemudian dipartisi
menjadi n subinterval yang sama besar dengan panjang interval ∆ ⁄ .
Interval-interval ini mempunyai titik akhir ∆ , 0, … , .
71
Sebuah partikel yang bergerak di dalam dan sepanjang interval waktu
tersebut akan bergerak naik ataupun turun dengan probabilitas yang sama. Partikel
tersebut akan mulai bergerak pada waktu 0 dengan nilai (posisi) 0 juga. Besar
pergerakan partikel tersebut adalah √∆ .
Pada titik waktu 1 posisi partikel tersebut dapat berada pada level √∆
atau √∆ . Apabila pada waktu 1 partikel tersebut berada pada level √∆
maka pada titik waktu 2 posisi partikel tersebut dapat berada pada level
√∆ √∆ 2√∆ ataupun √∆ √∆ 0. Sama halnya jika pada titik waktu
1 partikel tersebut berada pada level √∆ maka pada titik waktu 2
posisi partikel tersebut dapat berada pada level √∆ √∆ 0 ataupun
√∆ √∆ 2√∆ .
Apabila setiap posisi partikel tersebut dihubungkan satu dengan yang
lainnya maka akan diperoleh sebuah jalur yang kontinu. Terdapat sejumlah jalur
yang berbeda yang dapat dilewati oleh partikel tersebut. Apabila diambil titik
waktu sejumlah 6, maka dapat diterangkan bahwa untuk setiap titik akhir
atau terminal dari setiap jalur memiliki sejumlah j pergerakan ke atas (kenaikan)
yang diberi label (n,j) seperti pada gambar di bawah ini
Gambar 3.3 diagram pohon yang simetrik untuk random walk
72
Apabila terdapat sejumlah k interval, maka akan ada 1 terminal pada
waktu T, dan diberi label yaitu , 0 sampai , . Juga terdapat sebanyak 2
jalur yang berbeda menuju ke terminal tersebut. Setiap jalur tersebut mempunyai
probabilitas . Hal ini diperoleh dari penjabaran rumus berikut
Berdasarkan Definisi 2.1.4 dengan 1 dan 2 , dimana A menyatakan
sebuah jalur maka
12
12
Jumlah dari semua probabilitas setiap jalur tersebut adalah sama dengan
banyaknya jalur yang ada dikali dengan yang sama dengan 1. Misalkan
bahwa y merupakan jumlahan dari probabilitas setiap jalur yang ada sehingga
ditulis
212 1
Banyaknya jalur tersebut dapat digambarkan sebagai sebuah segitiga pascal
berikut
73
Gambar 3.4 segitiga pascal untuk jalur random walk
Pembahasan selanjutnya adalah nilai harapan dan variansi dari random walk
yang simetrik. Misalkan bahwa kenaikan atau pergerakan posisi random walk dari
waktu hingga dinotasikan oleh sebuah variabel random diskret yang
memiliki dua nilai yang berbeda. Nilai harapan dan variansi dari adalah
Ε12 √Δ
12 √Δ 0
Ε Ε
Ε
√Δ √Δ
Δ
Posisi dari partikel tersebut pada waktu T merupakan jumlahan dari n buah
variabel random yang saling bebas dan identik secara distribusi. Didefinisikan
bahwa , maka nilai harapan dan variansi dari adalah
Ε Ε
Ε Ε Ε
0
0 (3.21)
74
Karena merupakan variabel random yang saling bebas (Teorema 2.2.4) maka
variansi dapat ditulis menjadi ∑ , selain itu juga identik
secara distribusi sehingga mempunyai variansi yang sama yaitu Δ , sehingga
dapat ditulis
Δ (3.22)
Fungsi distribusi probabilitas dari dapat ditentukan dengan menggunakan
fungsi pembangkit momen yaitu Ε exp , yang merupakan fungsi dari dan
akan disimbolkan dengan .
Ε exp
Ε exp
Ε exp … exp
Sebagaimana X , … , X merupakan variabel random yang saling bebas, maka
variabel random exp , … , exp juga saling bebas sehingga menurut
Teorema 2.4.2, nilai harapan dari hasil kali variabel random tersebut dapat ditulis
sebagai hasil kali dari nilai harapan dari setiap variabel random tersebut
Ε exp Ε exp … Ε exp
Ε exp
75
Sama seperti yang identik secara distribusi, maka semua Ε exp
mempunyai nilai yang sama sehingga diperoleh
Ε exp (3.23)
Mengingat bahwa merupakan variabel random yang bernilai √Δ atau √Δ
dengan probabilitas yang sama yaitu , maka sama halnya dengan hal tersebut
bahwa Ε exp exp √∆ exp √∆ .
Untuk nilai Δ yang kecil, dapat digunakan ekspansi deret pangkat untuk bentuk
exponen (exp) dan hal ini dapat didekati oleh deret Maclaurin dan diperoleh
exp √Δ 1 √Δ!
Δ!
Δ
exp √Δ 1 √Δ!
Δ!
Δ
Sehingga
Ε exp12 1 √Δ
12 Δ
12 1 √Δ
12 Δ
1 Δ
dan
1 Δ (3.24)
Untuk menentukan limit dari m dengan ∞ adalah dengan mengubahnya
dalam bentuk logaritma natural (ln)
ln ln 112 Δ
Dengan memperhatikan ekspansi deret Maclaurin untuk fungsi ln 1
ln 1 2! 3! 4!
76
Sehingga dapat menggunakan sifat ln 1 untuk nilai y yang kecil, maka
diperoleh
ln 12 Δ
dengan ∆
ln12
12 T
sehingga
ln12 T
exp (3.25)
Ini merupakan fungsi pembangkit momen bagi yang berdistribusi normal
dengan mean 0 dan variansi T. Jika dibawa dalam waktu yang kontinu yang
merupakan limit dari waktu diskret, fungsi densitasnya menjadi
√ √
exp√
(3.26)
dengan x merupakan nilai dari variabel random .
Persamaan (3.26) merupakan hasil dari penurunan limit dari distribusi sebuah
random walk yang simetrik yang sudah dikerjakan sebelumnya. Apabila
persamaan (3.18) dan (3.26) dibandingkan maka akan diketahui bahwa kedua
persamaan ini sama. Dengan kata lain gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah
random walk yang simetrik.
77
D. Ito’s Lemma
Pembahasan mengenai Ito’s lemma ini akan diawali dengan pembahasan
mengenai ekspansi deret Taylor untuk sebuah fungsi yang berturunan
1 kali pada suatu interval terbuka yang memuat titik . Fungsi tersebut
dapat ditulis sebagai berikut
!
! ! (3.27)
Suku terakhir dari rumus di atas adalah bentuk dari deret Taylor dengan
suku sisa dan dinotasikan dengan . Mengingat bahwa f merupakan fungsi
dengan satu variabel maka Dengan mengambil 0 maka deret Taylor (3.27)
di atas dapat ditulis menjadi
0 0 0 (3.28)
Selanjutnya, ekspansi dari deret Taylor dengan satu variabel ini akan digunakan
untuk fungsi dengan dua variabel.
Misalkan bahwa fungsi , mempunyai turunan parsial sampai suku
ketiga pada interval terbuka yang memuat titik dengan koordinat , .
Didefinisikan sebuah fungsi , dimana h dan k
merupakan bilangan-bilangan yang cukup kecil sehingga berada di sekitar
, . Dengan menggunakan aturan rantai untuk fungsi dua variabel maka
diperoleh turunan pertama dan kedua dari fungsi ,
dengan 0,
0 , , (3.29)
78
0 , 2 , , (3.30)
Persamaan 3.28 dapat ditulis menjadi
0 0 0
0 0 0 (3.31)
Apabila Persamaan (3.29) dan (3.30) disubstitusikan pada Persamaan (3.31)
dengan 1 , maka diperoleh
∆ 1 0
, , (3.32)
12 , 2 , ,
Persamaan (3.32) ini akan digunakan untuk menurunkan Ito’s Lemma.
Lemma 3.3.1 Ito’s Lemma
Misalkan bahwa variabel random X digambarkan oleh sebuah proses Ito
, , (3.33)
dengan merupakan variabel random normal. Misalkan bahwa ,
merupakan sebuah variabel random. Variabel random Y dapat digambarkan atau
dijelaskan berdasarkan proses Ito di bawah ini
, , , (3.34)
Bukti :
Misalkan X merupakan sebuah variabel random yang digambarkan melalui
sebuah proses Ito dengan bentuk
79
, ,
dengan merupakan variabel random normal dan a dan b merupakan fungsi
dari X dan t. Misalkan didefinisikan sebuah variabel random yang lain yaitu
, yang merupakan sebuah fungsi dari X dan t. Proses Ito yang
menggambarkan variabel random X akan digunakan untuk menentukan proses Ito
yang menggambarkan variabel random Y. Dengan meggunakan ekspansi deret
Taylor untuk Y seperti pada Persamaan (3.32) diperoleh
∆ ∆ ∆12 ∆ ∆ ∆
12 ∆
∆ ∆12 ∆
∆ ∆12 ∆
Suku sisa dari deret Taylor yaitu memuat semua suku dari ∆ untuk 2
(nilai ∆ mendekati 0 ).Sebagaimana nilai ∆ menjadi semakin kecil maka
∆ ∆ ∆12!
Seperti yang diketahui bahwa merupakan variabel random normal dengan
nilai harapan 0 dan variansi ∆ . Berdasarkan definisi, maka
∆ 0
∆
Hasil yang diperoleh di atas yaitu ∆ akan digunakan sebagai
nilai pendekatan bagi sehingga dapat ditulis
80
∆ ∆ ∆!
∆ (3.35)
Contoh 3.3.1
Misalkan bahwa variabel random P ditentukan oleh sebuah proses stokastik
berikut
Carilah sebuah proses stokastik yang dapat menentukan Y jika diberikan
a)
b) ln
Jawab :
Dengan menggunakan Ito lemma
a)
, dan , untuk , maka
12 1
12
b) ln
, dan , untuk ln , maka
1 12
1 1
2
81
BAB IV
MODEL PRGERAKAN HARGA SAHAM
A. Model Random Walk
Dalam pembahasan mengenai random walk, dimisalkan bahwa harga saham
dapat bergerak naik ataupun turun dengan probabilitas yang sama. Ini merupakan
random walk yang simetrik. Dalam random walk yang sederhana, variabel
random Bernoulli digunakan sebagai nilai untuk mengukur besarnya perubahan
atau kenaikan yang terjadi pada waktu t.
Dalam model random walk, besarnya perubahan harga saham untuk
meningkat maupun menurun adalah sama dengan probabilitas yang sama.
Berdasarkan Definisi 3.3.1 dan asumsi dalam random walk yang simetrik maka
model untuk pergerakan harga saham dengan random walk adalah
∑ (4.1)
Dengan merupakan harga saham awal ( 0) dan merupakan variabel
random Bernoulli yang bernilai 1 dan -1.
Pada umumnya besarnya pergerakan atau perubahan harga saham untuk naik
dan turun tidaklah sama. Oleh sebab itu perlu dicari sebuah nilai yang dapat
mewakili besarnya pergerakan harga saham tersebut sehingga asumsi dari random
walk yaitu besar pergerakan harga saham untuk naik ataupun turun adalah sama
dengan probabilitas yang sama dipenuhi. Nilai yang dapat mewakili pergerakan
82
tersebut adalah rata-rata dari pergerakan harga saham ( ) yaitu .
Sehingga Persamaan 4.1 dapat diubah menjadi
∑ (4.2)
(4.3)
Dalam pembahasan aplikasi model random walk ini akan digunakan data harga
saham dari PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009 - 16 Juni 2009
(data 1) dan PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober – 28 November
2009 (data 2).
Nilai dari variabel random adalah bilangan random random Bernoulli
yang dibangkitkan dengan menggunakan bantuan Program SPSS. Dengan bantuan
Excel maka diperoleh nilai 185,483 dan dibulatkan menjadi 185 untuk
data 1 dan 8,225 dan dibulatkan menjadi 9. Apabila semua nilai
tersebut dimasukkan ke dalam persamaan 4.3 maka diperoleh gambar seperti
dibawah ini
Gambar 4.1 data harga saham PT.BRI vs Random walk model dengan Excel
5000
5500
6000
6500
7000
7500
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
actual Vs Predict
Actual Predict
83
Gambar 4.2 data harga saham PT.Indosiar vs Random walk model dengan Excel
B. Model Gerak Brown
Gerak Brown muncul dalam perkembangan model pergerakan harga saham
atau yang sering disebut sebagai dinamika harga saham. Misalkan ∆ merupakan
sebuah interval waktu, dan ∆ merupakan harga saham sekarang pada
waktu dan waktu yang akan datang ∆ , dan ∆ merupakan kenaikan dari
gerak Brown setelah ∆ waktu. Perluasan dari model yang diadopsi dari dinamika
harga saham dan dalam interval waktu yang bersifat diskret adalah
∆ ∆ ∆ (4.4)
Dengan dan merupakan konstanta. Ini merupakan persamaan diferensial
stokastik yang berarti bahwa perubahan harga saham relatif pada nilai harga
saham pada waktu t, ∆ ⁄ yang bergerak naik atau bertumbuh
pada per unit waktu yang merupakan elemen non-random pada model tersebut
220240260280300320340360
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Data vs Predict
Data Predict
84
dan juga terdapat parameter yang merupakan unsur atau elemen yang bersifat
random yang juga mempengaruhi pergerakan atau kenaikkan dari gerak Brown
setelah ∆ waktu.
Model pergerakan harga saham di atas merupakan model yang bersifat
diskret. Apabila model tersebut dibawa dalam bentuk model yang bersifat kontinu
maka model tersebut akan menjadi sebuah persamaan diferensial stokastik berikut
atau
(4.5)
Misalkan diambil sebuah fungsi , ln dan dengan menggunakan
Ito’s lemma maka Persamaan 4.5 menjadi
ln
ln
Apabila kedua ruas diintegralkan maka diperoleh
ln12
ln ln 012
ln 012
0 exp12
0 exp12
85
Jadi solusi atau penyelesaian dari Persamaan (4.2) adalah
0 exp (4.6)
Dalam pembahasan aplikasi model pada harga saham akan digunakan
model pergerakan harga saham menggunakan gerak Brown (4.6) yaitu
0 exp
dengan dan merupakan konstanta yang diperoleh dari mean dan standar
deviasi dari return harga saham. Return merupakan hasil yang diperoleh dari
investasi yang digunakan untuk mengukur perubahan kemakmuran yaitu
perubahan kekayaan pada waktu tertentu. Perubahan kemakmuran ini
menunjukkan tambahan kekayaan dari kekayaan sebelumnya.
dengan )( itS dan )( 1+itS adalah harga saham ti dan ti+1.
Data return harga saham yang akan digunakan harus berdistribusi normal.
Setiap data return harga saham akan diuji terlebih dahulu apakah berditribusi
normal atau tidak. Untuk menguji normalitas data maka akan digunakan Uji
Kolmogorov Smirnov dalam SPSS.
Data harga saham yang akan digunakan dalam aplikasi kali ini adalah data
harga saham dari PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009 sampai 16
Juni 2009 (data1) dan PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober 2009
sampai 28 November 2009 (data 2).
)()()( 1
i
iihariani tS
tStSr −= +
86
Selanjutnya return dari data harga saham tersebut akan diuji apakah data
tersebut berdistribusi normal atau tidak dengan menggunakan Kolmogorov
Smirnov pada SPSS dan hasilnya adalah
Tabel 4.1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorov Smirnov(data1)
data N 31
Normal Parameters(a,b) Mean ,0031323 Std. Deviation ,04000729
Most Extreme Differences
Absolute ,125 Positive ,125 Negative -,082
Kolmogorov-Smirnov Z ,696 Asymp. Sig. (2-tailed) ,718 a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data.
Dari hasil di atas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return dari data
harga saham tersebut berdistribusi normal.
Tabel 4.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorov Smirnov(data2)
Dari hasil di atas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return dari data
harga saham tersebut berdistribusi normal.
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
31-,004227
********,170,170
-,137,946,333
NMeanStd. Deviation
Normal Parametersa,b
AbsolutePositiveNegative
Most ExtremeDifferences
Kolmogorov-Smirnov ZAsymp. Sig. (2-tailed)
data
Test distribution is Normal.a.
Calculated from data.b.
87
Selanjutnya model tersebut akan digunakan untuk memodelkan
pergerakan harga saham. Dengan mensubtitusi nilai untuk 0,0031323 ,
0,04000729, 0,00423 dan 0,042267 serta membangkitkan
bilangan random normal sebagai nilai untuk , maka diperoleh gambar
sebagai berikut
Gambar 4.3 data aktual harga saham PT.BRI beserta prediksinya menggunakan
model gerak Brown
5000
5500
6000
6500
7000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
actual vs predict
actual Predict
88
Gambar 4.4 data aktual harga saham PT.Indosiar beserta prediksinya
menggunakan model gerak Brown
C. Perbandingan Model Random Walk dengan Model Gerak Brown
Pembahasan kali ini mengenai perbandingan dua buah model yang sudah
dibahas sebelumnya yaitu model random walk dan model gerak Brown. Seperti
yang diketahui bahwa tujuan dari pembuatan sebuah model adalah untuk
mendekati nilai yang sesungguhnya, sehingga wajar kalau hasil yang diperoleh
dari model yang ada tidak sama persis atau hanya mendekati nilai sebenarnya.
Besar kesalahan sebuah model untuk mendekati nilai yang sebenarnya disebut
sebagai nilai error, yang didefinisikan sebagai berikut
ErrSQ S S
Err_Diff = BM_ErrSQ – RW_ErrSQ
Nilai kuadrat error ini akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan
kedua model tersebut. Model yang mempunyai jumlah nilai kuadrat error yang
lebih kecil dianggap sebagai model yang lebih baik dalam memprediksikan
220
240
260
280
300
320
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Data vs Predict
Data Predict
89
pergerakan harga saham. Apabila jumlah dari Err_Diff yang bernilai negatif lebih
dari atau sama dengan 2 maka model gerak Brown memuat nilai error lebih
sedikit dibandingkan dengan model random walk.
Setelah dilakukan perhitungan untuk data1 dengan 32 (lihat lampiran
tabel 1 ), diperoleh bahwa jumlah Err_Diff yang bernilai negatif adalah 18 yang
berarti bahwa model gerak Brown memuat nilai error lebih sedikit. Juga diperoleh
jumlah kuadrat eror dari model random walk adalah 9466500 dan model gerak
Brown adalah 3445731. Berdasarkan jumlah kuadrat eror dan jumlah Err_Diff
maka dapat disimpulkan bahwa untuk contoh data harga saham dari PT. BRI ,
model gerak Brown lebih baik dari model random walk.
Selanjutnya untuk data 2, setelah dilakukan perhitungan dengan 32,
(lihat lampiran tabel 2 ) diperoleh bahwa jumlah Err_Diff yang bernilai negatif
adalah 29 yang berarti bahwa model gerak Brown memuat nilai error lebih
sedikit. Juga diperoleh jumlah kuadrat eror dari model random walk adalah 62510
dan model gerak Brown adalah 9826,501. Berdasarkan jumlah kuadrat eror dan
jumlah Err_Diff maka dapat disimpulkan bahwa untuk contoh data harga saham
dari PT. Indosiar , model gerak Brown lebih baik dari model random walk.
90
Gambar 4.5 nilai eror_RW dan eror_GB pada data harga saham PT.BRI
Gambar 4.6 nilai eror_RW dan eror_GB pada data harga saham PT.Indosiar
Dari Gambar 4.5 dan 4.6 memberikan gambaran bahwa model random walk
memiliki nilai eror yang lebih besar dari model gerak Brown. Hal ini berarti
bahwa model gerak Brown dapat dikatakan lebih baik dari model random walk.
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Eror_RW vs Eror_GB
Err_RW Err_GB
01000200030004000500060007000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Eror_RW vs Eror_GB
Eror_RW Eror_GB
91
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Random walk merupakan sebuah pergerakan atau perpindahan dari suatu
partikel atau benda yang bersifat random dimana setiap nilai yang dicapai
ditentukan dengan teori probabilitas. Random walk yang simetrik merupakan
random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk dua nilai yang
berbeda.
Gerak Brown atau juga yang biasa disebut sebagai proses Wienner
merupakan unsur yang cukup penting dalam model harga saham. Gerak Brown
dapat dibentuk dengan menggunakan random walk yang simetrik, yaitu dengan
mencari limit dari distribusi random walk yang simetrik tersebut.
Random walk dan gerak Brown mempunyai peranan masing-masing dalam
model pergerakan harga saham. Apabila kedua model ini dibandingkan maka
model gerak Brown akan cenderung lebih baik karena nilai pendekatan yang
diberikan lebih mendekati nilai sebenarnya dengan nilai eror yang kecil. Hal ini
juga disebabkan oleh asumsi pada random walk yang menyatakan bahwa besarnya
pergerakan untuk meningkat dan menurun adalah sama, tetapi pada kenyataannya
tidak seperti itu.
92
B. Saran
Random walkm dan gerak Brown yang dibahas dalam skripsi ini terbatas
pada random walk dan gerak Brown yang berdimensi satu. Akan lebih baik jika
skripsi ini bisa dikembangkan dalam pembahasan mengenai random walk dan
gerak Brown dalam dimensi dua, tiga atau juga bahkan dalam dimensi fraktal.
Juga aplikasi pada bidang kehidupan yang lain sehingga dapat bermanfaat bagi
banyak pihak dan kemajuan ilmu pengetahuan.
93
DAFTAR PUSTAKA
Buchanan, J. Robert. (2005). An Undergraduate Introduction to Financial
Mathemamtics . Singapore : World Scientific Publishing Co. Pto. Ltd.
Ross, Sheldon M. (1997). Introduction To Probability Models. Sixth Edition.
San Diego: Academic Press.
Rudnick, Joseph and Gaspari, George. (2004). Elements of The Random Walk .
Cambridge : Cambridge University Press.
Taylor, A. E. and Mann, W. R. (1983). Advanced Calculus, 3rd edition, John
Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA.
Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-Tiga.
Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
Wiersema, Ubbo F. (1988). Brownian Calculus, John Wiley & Sons, Inc., New
York, NY, USA.
94
LAMPIRAN
Data harga saham PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009
sampai 16 Juni 2009.
Date Close 16/06/2009 5900 15/06/2009 6300 12/06/2009 6000 11/06/2009 5800 10/06/2009 5950 09/06/2009 6000 08/06/2009 5900 05/06/2009 5850 04/06/2009 6000 03/06/2009 5800 02/06/2009 5600 01/06/2009 5950 29/05/2009 6650 28/05/2009 6300 27/05/2009 6050 26/05/2009 6100 25/05/2009 6150 22/05/2009 6150 20/05/2009 6100 19/05/2009 6250 18/05/2009 6400 15/05/2009 6700 14/05/2009 6650 13/05/2009 6650 12/05/2009 6800 11/05/2009 6450 08/05/2009 6500 07/05/2009 6500 06/05/2009 6350 05/05/2009 6300 04/05/2009 6700 01/05/2009 6350
95
Data harga Saham PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober
sampai 28 November 2008.
Tanggal Harga 12/19/2008 250 11/7/2008 265 12/18/2008 250 11/6/2008 275 12/17/2008 250 11/5/2008 280 12/16/2008 250 11/4/2008 280 12/15/2008 250 11/3/2008 280 12/12/2008 250 10/31/2008 285 12/11/2008 250 10/30/2008 290 12/10/2008 250 10/29/2008 290
12/9/2008 250 10/28/2008 260 12/5/2008 240 10/27/2008 275 12/4/2008 250 10/24/2008 280 12/3/2008 250 10/23/2008 280 12/2/2008 250 10/22/2008 300 12/1/2008 255 10/21/2008 280
11/28/2008 250 10/20/2008 285 11/27/2008 245 10/17/2008 280 11/26/2008 245 10/16/2008 285 11/25/2008 240 11/24/2008 250 11/21/2008 250 11/20/2008 240 11/19/2008 260 11/18/2008 265 11/17/2008 280 11/14/2008 275 11/13/2008 270 11/12/2008 285 11/11/2008 285 11/10/2008 290
96
Tabel 1: hasil perbandingan model random walk dan model gerak Brown pada
data harga saham PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk,
DATA Predict_RW Predict_GB ErorrDiff
5900 5900 5900 06300 6085 5825,872 178571,96000 6270 5558,409 122102,95800 6455 5985,214 ‐3947215950 6640 6038,291 ‐4683056000 6455 5714,888 ‐1257365900 6640 6289,734 ‐3957085850 6825 6303,988 ‐7445206000 7010 6016,066 ‐1019842
5800 6825 6118,787 ‐9490005600 6640 6095,718 ‐8358645950 6455 6022,267 ‐2498036650 6270 6260,761 7106,776300 6455 5953,982 95703,166050 6640 6667,676 33424,136100 6825 6090,943 ‐5255436150 6640 6166,605 ‐2398246150 6455 6421,186 ‐19483,46100 6640 6181,911 ‐2848916250 6825 6158,062 ‐3221726400 6640 5993,171 107909,96700 6455 6284,135 112918,46650 6640 5901,016 560876,96650 6455 6420,466 14661,066800 6640 6673,875 ‐9692,596450 6455 6097,63 124139,46500 6270 6502,813 ‐52892,16500 6455 6622,078 12878,156350 6270 5922,822 176080,86300 6085 5973,027 60686,236700 5900 6488,839 ‐5954116350 5715 6256,173 ‐394421
97
Tabel 2: hasil perbandingan model random walk dan model gerak Brown pada
data harga saham PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk,
DATA Predict_RW Predict_GB ErorrDiff285 285 285 0280 294 278,16 ‐192,606285 303 262,45 184,5536280 312 281,39 ‐1022,07300 321 281,63 ‐103,432280 312 263,47 ‐750,829280 321 289,09 ‐1598,44275 330 287,33 ‐2872,93260 339 271,18 ‐6116,1290 330 273,74 ‐1335,58290 321 270,35 ‐574,735285 312 264,65 ‐314,966280 303 273,41 ‐485,558280 312 257,09 ‐498,929280 321 287,3 ‐1627,67275 330 258,91 ‐2766,08265 321 260,09 ‐3111,92290 312 269,16 ‐49,6173285 321 256,39 ‐477,452285 330 253,19 ‐1013,04270 321 243,95 ‐1922,61275 312 254,32 ‐941,262280 321 235,96 258,7974265 312 255,78 ‐2123,91260 321 264,2 ‐3703,33240 312 238,13 ‐5180,52250 303 252,73 ‐2801,54250 312 255,46 ‐3814,24240 303 225,13 ‐3747,8245 294 225,23 ‐2009,99245 285 243,75 ‐1598,43250 276 232,54 ‐371,253