mod_02 divisibilidade (3º-ext-int) (1)

8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)

1/51

MATEMÁTICA1

4 2 3

1 2 1 4

0

DIVISIBILIDADE

01. MÚLTIPLOS E DIVISORES

Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, diz-se que a é divisve! por b "ou que a é mú!tip!o de b#. $esse %aso, diz-se ainda que b divide a.

& nota'ão b | a indi%a que b divide a.

EXEMPLOS

(.1# 2 ) * ⇔ * é divisve! por 2, pois+

* 2

0 3

(.2# 3 ) 1, 3 ) 2 e 3 ) 42 ⇔ 1, 2 e 42 são divisveis por 3, pois+

1 3 2

0 ,

2 - 3

0

(.3# * é divisve! por 1, 2, 3 e *. /ndi%ando-se o %onjunto dos divisores de * por "*#, temos+

"*# 1, 2, 3, *

(.4# zero é mú!tip!o de qua!quer número, mas s5 é divisor de!e mesmo.

%onjunto 6"a# dos mú!tip!os de um número a é o %onjunto dos naturais vezes a.&ssim+

6"2# 0, 2,4, *, 7, 10,...8 "2# 1, 26"3# 0, 3, *, , 12, 1,...8 "3# 1, 36"4# 0, 4, 7, 12, 1*,...8 "4# 1, 2,46"*# 0,*,12,17,...8 "*# 1,2,3,*

$ote que o %onjunto dos mú!tip!os de um número é infinito, e o %onjunto dos divisores é finito.9m número natura! é par quando é divisve! por 2 e é mpar quando não é par.

02. NÚMEROS PRIMOS

9m número, %om ex%e'ão do número 1, é primo quando é divisve! somente por e!e mesmo e pe!a unidade.:amos es%rever a!;uns números naturais em ordem %res%ente a partir de 2. estaquemos o 2 e risquemos todos os

mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida. estaquemos o 3 e risquemos todos os mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida.estaquemos o e risquemos todos mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida et%.

2 3 4 , * - 7

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 , 1 * 1 -

1 7 1 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 ,

2 * 2 - 2 7 2 3 0 3 1 3 2 3 3 e t % .

%onjunto P dos números primos é infinito e não existe nen


2/51

MATEMÁTICA2

03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE

9m número é divisve! por+

a# 2, quando o ú!timo a!;arismo da direita for 0,2, 4, * ou 7, isto é, quando o número for par.

EXEMPLOS

30, 7*, 104 são números divisveis por 2.

># 3, quando a soma dos a!;arismos que o representam formar um número divisve! por 3.

EXEMPLOS

4 é divisve! por 3, pois 4 ? " é divisve! por 3#87022 é divisve! por 3, pois 7 ? 0 ? 2 ? 2 12 "12 é divisve! por 3#.

%# 4, quando o número expresso pe!o a;rupamento dos dois ú!timos a!;arismos da direita de sua representa'ão édivisve! por 4.

EXEMPLOS

124 é divisve! por 4, pois 24 tam>ém o é837407 é divisve! por 4, pois 07 7 tam>ém o é8300 é divisve! por 4, pois 00 @ tam>ém o é.

d# , quando o ú!timo a!;arismo da direita for 0 ou .

EXEMPLOS

720 é divisve! por , pois termina em 0834 é divisve! por , pois termina em .

e# *, quando for divisve! ao mesmo tempo por 2 e por 3.

EXEMPLOS

24 é divisve! por *, pois é divisve! por 2 e por 38130 é divisve! por *, pois é divisve! por 2 e por 3.

f# 7, quando o número expresso pe!o a;rupamento dos trAs ú!timos a!;arismos da direita de sua representa'ão é divisve! por 7.

EXEMPLOS

34024 é divisve! por 7, pois 024 tam>ém o é8

3000 é divisve! por 7, pois 000 tam>ém o é.

;# , quando a soma dos a!;arismos de sua representa'ão formar um número divisve! por .

EXEMPLOS

4 é divisve! por , pois 4 ? " é divisve! por #87430 é divisve! por , pois 7 ? 4 ? 3 ? ? ? 0 2 "2 é divisve! por #.


3/51

MATEMÁTICA3

4.1. B $C6(D $&B9D&E 6&/D F9( 1 9 G =D/6 9 =( S(D (H6=SB $96 C$/H=D9B ( I&BD(S =D/6S.

EXEMPLO

:amos de%ompor 0 em fatores primos.&p!i%ando as re;ras da divisi>i!idade, temos+

0 2.48 /S=S/B/: =DJB/H%omo

4 3.1 e 0 21 3., 4 3

1 3temos, i;ua!mente,

0 2 . 32 . 1 2 . 32 .

=ode-se o>servar me!inando esses fatores um a um, dois a dois et%.

:amos o>ter o %onjunto dos divisores de 42 e 04.

a# 42 2 &s %om>ina'Les dos produtos dos números 2, 3 e são+21 3 um a um+ 28 38

dois a dois+ "2.3# *8 "2.# 148 "3.# 211 trAs a trAs+ "2.3.# 42

(xiste, ainda, o número 1, que é divisor de qua!quer número.&ssim, o %onjunto "42# dos divisores de 42 é+ "42# 1, 2, 3, *, , 14, 21, 42

/S=S/B/: =DJB/H

142 2 2 "42# 1, 2, 3, *, , 14, 21, 4221 3 3 *

14 21 421

1 ># 04 2 2

22 2 412* 2 7

*3 3 3 * 12 2421 3 17 3* 2

14 27 * 21 42 74 1*7 *3 12* 22 041

=ortanto+

"04# 1, 2, 3, 4, *, , 7, , 12, 14, 17, 21, 24, 27, 3*, 42, *, *3, 2, 74, 12*, 1*7, 22, 04

$B&+ emonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a %ada expoente das potAn%ias dos fatores primos e, em se;uida, mu!tip!i%ando esses novos expoentes.

&ssim+

42 21 . 31 . 1 tem "1 ? 1# . "1 ? 1# . "1 ? 1# 2 . 2 . 2 7 divisores.04 23 . 32 . 1 tem "3 ? 1# . "2 ? 1# . "1 ? 1# 4 . 3 . 2 24 divisores.

Neneri%amente, o número+

am . >n . % p . ... tem "m ? 1# . "n ? 1#. "p ? 1# ... divisores naturais.

0. MÁXIMO DIVISOR COMUM !".#.$%


4/51

MATEMÁTICA4

Honsideremos os %onjuntos dos divisores de 24 e 30.

"24# 1, 2, 3, 4, *, 7, 12, 24"30# 1, 2, 3, , *, 10, 1, 30 e a%servamos que esse %onjunto tem um mnimo, diferente de zero, que é 12. Homo os e!ementos de 6"4# ∩ 6"*# sãomú!tip!os %omuns a 4 e *, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 .

/ndi%a-se m.m.%. "4,*# 12.

=ortanto+

O mnimo mú!tip!o %omum entre dois ou mais números é o menor e!emento, diferente de zero, da interse'ão dos%onjuntos dos mú!tip!os dos números dados.P

0(. M)TODO PRÁTICO PARA SE OBTER O !D!" . E O !!" . ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS


5/51

MATEMÁTICA

e%ompLem-se os números em fatores primos. Ieito isso+

o m.d.c. serK o produto dos fatores primos %omuns, tomando %ada um %om o menor expoente.o m.m.c. serK o produto dos fatores primos %omuns e não %omuns, tomando %ada um %om o maior expoente.

EXEMPLOS

(.1# :amos o>ter m.d.% e m.m.% entre 74 e 3*0.

74 2 3*0 242 2 170 2 74 22 . 3 . 21 3 0 2

4 3 3*0 23 . 32 . 1 1 3 1

=ortanto+

m.d.% "74, 3*0# 22

. 3 12m.m.% "74, 3*0# 23 . 32 . . 220

(.2# Sejam & 22 . 3m . 3 e Q 31 . n . . :amos %a!%u!ar m e n, sa>endo que o m.m.% "&, Q# 100.

ra, m.m.% "&, Q# 100 22 . 32 . 4 . 18 !o;o, m 2 e n 4.

0*. PROPRIEDADES DO !D!" . E DO !!" . ENTRE DOIS NÚMEROS

=.1# Se x é mú!tip!o de a e x é mú!tip!o de b, então x é mú!tip!o do m.m.%. "a8 >#.

EXEMPLOS

(.1# Se um número é mú!tip!o de 2 e 3, então é mú!tip!o de * "m.m.% "28 3##

(.2# Se um número é mú!tip!o de 4 e *, então é mú!tip!o de 12 "m.m.% "48 *##

=.2# Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.% "a8 >#

EXEMPLOS

(.1# Se um número é divisor de 30 e 4, então é divisor de 1.

Sim>o!i%amente, podemos dizer+

6"a# ∩ 6"># 6 "m.m.% "a8 >##"a# ∩ "># "m.d.% "a8 >##

=.3# Sejam a e b dois números naturais. produto a . b é i;ua! ao produto do m.d.% pe!o m.m.%. desses números. /sto é

a x > m.d.%. "a, ># x m.m.%. "a8 >#a 23 . 32 . 4 e > 2 . 33 .

EXEMPLOS

a 23 . 32 . 4 m.d.%."a,># 2 . 32

> 2 . 33 . m.m.%."a,># 23 . 33 . 4 . a x > 24 . 3 . 4 . m.d.%."a, ># x m.m.%."a, ># 24 . 3 . 4 .

e, portanto, a x > m.d.%. "a, ># x m.m.%. "a, >#.EXERC'CIOS


6/51

MATEMÁTICA&

01. "I&B(H-S=# 9m %erto p!aneta possui dois saté!ites naturais+ Eua & e Eua Q8 o p!aneta ;ira em torno do So! e os saté!itesem torno do p!aneta, de forma que os a!in


7/51

MATEMÁTICA(

Seja >

a uma fra'ão irredutve! de números inteiros, isto é, uma fra'ão que não pode mais ser simp!ifi%ada.

Se na fatora'ão de b s5 tiverem os fatores 2 ou , então a fra'ão terK %omo resu!tado um de%ima! exato.Se pe!o menos um dos fatores de b for diferente de 2 e , então a fra'ão terK %omo resu!tado um de%ima! inexato %ter o ;eratriz da dzima 0,333...

x 0,333... ⇒ 10x 3,333...

=ortanto+

10x 3,333 ... R x 0,333 ...

x 3 ⇔ x .

3

&ssim, 0,333... .3

(.2# /dem para 0,171717...x 0,171717... ⇒ 100x 17,171717...

=ortanto+100x 17,171717 ... Rx 0,171717 ...

x 17 ⇔ x

17

&ssim, 0,171717...

17

(.3# 1,2343434...


8/51

MATEMÁTICA*

x 1,2343434... ⇒ 1000x 1234,343434...

=ortanto+1000x 1234,343434 ... R10x 12,343434 ...

x 1222

x 4*11

01222 =

EXERC'CIO

"9IQ Se x 0...00,1

31-1-,0.4...33,1....33,12.7−

−−, %a!%u!e o va!or de x .


9/51

MATEMÁTICA-

EXERC'CIOS PROPOSTOS

01. &ssina!e V ou F.

a# número 43 é primo.

># izemos que um natura! a é divisor de >, se existir

um inteiro %, ta! que > a . %.%# número 100 tem 24 divisores naturais.

d# m.m.%."2480# é 3*0.

e# m.d.%."1208107# é !2.

f# Se x é mú!tip!o de 12 e x é mú!tip!o de 10, então xé mú!tip!o de 120.

;# Se x é mú!tip!o de 1 e x é mú!tip!o de 17, então xé mú!tip!o de 0.

tém-se um número que é divisve! por 2, por 3 e por . menor va!or que x pode assumir satisfaz V %ondi'ão+

a# 30 W x W 42

># 2 W x W 30%# 10 W x W 20d# W x W 10e# 0 W x W

0. "9IQ Benramsempre trAs. Ha!%u!e quantos !ivros possuo.

0*. 9ma sa!a retan;u!ar mede ,04m por ,40m. eseja-se%o!o%ar !ajotas quadradas, todas do mesmo tamanrar nenri! de 17, quando e!as a%onte%erão juntasnovamenteX

a# (m outu>ro de 2020 ># (m a>ri! de 201%# (m outu>ro de 2010d# (m a>ri! de 2007e# (m outu>ro de 200

07. Ha!%u!e+

"1,2222...# . "2,444...# R "1,7333...# . "0,444...#

0. Ha!%u!e+

"1,7333# . "1,*3*3*3...# ? "1,4***...# . "2,0444...#

10. "9HS&E# Se a fra'ão irredutve! >

a é a ;eratriz da

dzima peri5di%a 1, 0333..., então a soma a ? > éi;ua! a+

a# 27 ># 117%# 22d# 30e# 403

11. "9HS&E# Seja 6 um dos números naturais es%ritos%om trAs a!;arismos, que divididos por 2 ou 3, ou ou deixam resto 1. & soma dos a!;arismos de 6 podeser+

a# ># *%# d# 7e#

12. "9(IS# Se o md% "a, ># é 3 e a é um número par,então o md% "3a, *># é+

a# 17 ># 1%# 12d# e# *

13. "9$(Q# Sendo $ e n, respe%tivamente, o md% e omm% de 3*0 e 300, o quo%iente nYm é i;ua! a+

a# 3 ># *%# 10d# 30e# *0


10/51

MATEMÁTICA10

2 2 , 5 m 2 7 m

3 1 , 5 m

14. "9HS&E# 9ma editora deverK enviar pe!o %orreioexemp!ares dos !ivros &, Q e H nas quantidades de 144,170 e 324 exemp!ares, respe%tivamente. Serão feitos

pa%otes, todos %om o mesmo número de exemp!ares, deum s5 tipo de !ivro. eseja-se que ém,restando 11m da pe'a. Sa>endo que o número de%ortes o>tidos foi o menor possve!, nas %ondi'Lesdadas, qua! é o va!or de nX

a# ># 11%# 1d# 23e# 34

1. "I9:(SB# $o a!to de uma emissora de B:, duas!uzes Opis%amP %om frequAn%ias diferentes. & primeiraOpis%aP 1 vezesYminuto e a se;unda Opis%aP 10vezesYminuto. Se num %erto instante as !uzes pis%amsimu!taneamente, ap5s quantos se;undos e!as vo!tarãoa pis%ar ao mesmo tempoX

a# 12 ># 10%# 20d# 1

e# 30

17. 9m enxadrista quer de%orar uma parede retan;u!ar,dividindo-a em quadrados, %omo se fosse umta>u!eiro de xadrez. & parede mede 4,40m por 2,m.

etermine o menor número de quadrados que e!e pode %o!o%ar na parede+

a# 10 ># 20%# 30d# 40e# 0

1. "9I6N# Sejam a, > e % números primos distintos, emque a Z >. mKximo divisor %omum e o mnimomú!tip!o %omum de m a2 . > . %2 e n a>2 são,respe%tivamente, 21 e 1*4.

=ode-se afirmar que a ? > ? % é+

a# ># 10%# 12d# 42e# *2

20. &ssina!e as proposi'Les verdadeiras.

"01# número 100 tem 24 divisores naturais."02# Se x é mú!tip!o de 1 e x é mú!tip!o de *, então x

é mú!tip!o de 0."04# Se o m.m.%. "a8 ># é a . >, então a e > são primos

entre si.

"07# Se x é divisor de *00 e x é divisor de *40, entãox é divisor de 40."1*# Se um número natura! n dividido por 13 deixa

resto , então "n ? # é mú!tip!o de 13.

21. 9m terreno de forma trian;u!ar, %om as dimensLesindi%adas na fi;ura a>aixo, deve ser %er%ado %omarame farpado. =ara isso, serão %o!o%adas esta%asequidistantes entre si. etermine o menor número deesta%as que podem ser uti!izadas.

a# 4 ># 30

%# 2d# 21e# 17

22. "9(SI-.1# Se x representa um número natura!qua!quer de dois a!;arismos distintos, es%revendo-se oa!;arismo 7 V esquerda de x, o>tém-se um novonúmero que tem a mais que x+

a# 7 unidades. ># x unidades.%# 7x unidades.

d# 70 unidades.e# 700 unidades.


11/51

MATEMÁTICA11

23. "9HS&E-00.1# 9m número inteiro e positivo é%onstitudo de dois a!;arismos distintos %uja soma é11./nvertendo-se a posi'ão de seus a!;arismos, o>tém-seoutro número que ex%ede o primeiro em 4 unidades. menor dos números estK %ompreendido entre+

a# 0 e 10 ># 10 e 20%# 20 e 30d# 30 e 40e# 40 e 0

24. 9m número é %onstitudo de dois a!;arismos, %ujasoma va!e . 6udando-se a ordem dos a!;arismos,o>tém-se um número nove unidades superior ao

primitivo. Ha!%u!e o número primitivo.

2. 9m número natura! de dois a!;arismos é vezes asoma dos seus a!;arismos. Ha!%u!e esse número,

sa>endo que o a!;arismo das dezenas ex%ede em 3unidades o a!;arismo das unidades.

2*. "9$/D/# & fra'ão ;eratriz de 3,4111... é+

a#10000

3-41

>#10000

3-411

%#00

3-041

d# 000

3-041

e#000

3-041

2. "9$/D/# resto da divisão do inteiro n por 12 é .Fua! o resto da divisão de n por 4X

a# 0 ># 1%# 2d# 3e# 4

27. "II=-6N# número m 471*a, sendo a oa!;arismo das unidades, é divisve! por 1. va!or dea é+

a# 2 ># 0%# d# 3e# 4

2. "IN:-S=# Seja x o maior número inteiro de 4a!;arismos que é divisve! por 13, e %, o menor número inteiro positivo de 4 a!;arismos que édivisve! por 1. & diferen'a x R T é um número+

a# primo. ># mú!tip!o de *.%# menor que 00.

d# quadrado perfeito.e# divisve! por .

30. "I9:(SB-S=# Fua! dos %in%o números re!a%ionadosa>aixo não é um divisor de 101X

a# 2 ># 0

%# *4d# e# 20

31. "I9:(SB-S=# s números inteiros positivos sãodispostos em OquadradosP da se;uinte maneira+

1 2 3 10 11 12 1 .. ..4 * 13 14 1 .. .. .. .. .. 7 1* 1 17 .. .. ..

número 00 se en%ontra em um dessesOquadradosP. & O!in# 3 e 3%# 2 e 3d# 3 e 2e# 3 e !

GABARITO

01. a# : 02. 13. 24. 34

># : 03. 3 14. & 2. *3%# : 04. & 1. ( 2*. Hd# : 0. *3 1*. H 2. e# : 0*. 210 1. & 27. Hf# I 0. ( 17. 2. Q;# : 07. 02 1. H 30.


12/51

MATEMÁTICA12

3 cm

4 c m

5 c m

RA+ES E PROPORÇES

01. RA+ÃO

ados dois números, a e b, > ≠ , %

a ou a + >.

$a razão >

a

, a é %


13/51

MATEMÁTICA13

(.1# 10.31.21

10

3

2 =⇒= (.2# 2.420.20

2

4

=⇒=

(.3#

1.,220.12,020

1

,2

12,0==

2!3! .1 P1.P1*DD D P1.P.1,7

=.1#

d

%

>

a

d >

%a

d >

%a

d

%

>

a==

−

−=

+

+⇒=

=.2#%

d%

a

>a

d

%

>

a +=

+⇒=

=.3#%

d%

a

>a

d

%

>

a −=

−⇒=

2!4! 81+D9 D*1+ *+:1+ P1.P.1"*.+*

2!4!'! 8rande#as diretamente proporcionais

Ouas ;randezas são diretamente propor%ionais quando, aumentando-se uma de!as, a outra aumenta na mesma razão da primeira.P

EXEMPLO

:ejamos as duas ;randezas+ R quantidade de %anetas "F# R pre'o "=#Supon


14/51

MATEMÁTICA14

>servamos que as ;randezas v e t são inversamente propor%ionais, visto que a razão entre as ve!o%idades*

*0

0= é

inversa a razão dos tempos %orrespondentes,

*.

OBSERVAÇES IMPORTANTES

1a

# Se num exer%%io dizemos que trAs ;randezas, a, b e c, são diretamente propor%ionais, respe%tivamente, a m, n e p, indi%amos+

p

%

n

>

m

a == .

Homo essas fra'Les são i;uais, dizemos que o seu resu!tado é %onstante e %ostumamos representar esse resu!tado por

m

a=== .

2a# Se num exer%%io dizemos que trAs ;randezas, a, b e c, são inversamente propor%ionais, respe%tivamente, a m, n e p,indi%amos+

p

1%

n

1 >

m

1a == .

o mesmo modo que o anterior, esse resu!tado pode ser representado pe!a %onstante

m

1

a==

U.

EXERC'CIOS

01. & soma de dois números é 1*2. maior estK para 13,assim %omo o menor estK para . $essas %ondi'Les,qua! a diferen'a entre os númerosX

02. Mosé, Moão e =edro jo;aram na Eoto a quantia de D\20,00, sendo que Mosé %ontri>uiu %om D\ ,00, Moão,%om D\ *,00 e =edro, %om D\ ,00. Se e!es ;aner, %onsiderando que o prAmio vai ser divido em

partes propor%ionais ao que %ada um investiuX

03. & soma de trAs números va!e 31. Ha!%u!e %ada número,se e!es são inversamente propor%ionais,respe%tivamente, a 2, 3 e .

04. "9HS&E-00# &o %onferir suas respostas, Vs 100questLes de um teste, dois a!unos, %uriosamente,o>servaram que os números de questLes que


15/51

MATEMÁTICA1

REGRA DE TRS

01. REGRA DE TRS SIMPLES

:ejamos os pro>!emas+

1o# Se Mosé %omprou 3 metros de um te%ido por \ 1, por quanto e!e %ompraria * metros do mesmo te%idoX

SOLUÇÃO

C 2 " 3 4 5 " 6 7 0 2

3 m

* m

P 4 6 8 2

\ 1 ,

x

&s setas %o!o%adas apresentam mesmo sentido, pois as ;randezas são diretamente propor%ionais. =or isso, armamos a propor'ão na ordem apresentada no esquema a>aixo.

/sto é+

30x3

1.*x1.*x3

x

1

*

3 2 =∴==⇔=⇔= .

=ortanto, * m do te%ido seriam %omprados por \ 30.

izemos que esse é um pro>!ema de re=ra de tr>s simples e direta, pois as setas %on%ordantes ;eram uma propor'ão direta.

2o# =ara se %onstruir um muro, * pedreiros ;astam 12 dias. (m quanto tempo pedreiros %onstruirão o mesmo muroX

SOLUÇÃO

P 6 # 4 6 5 4 2 9

*

T 6 " 3 2

1 2 d i a s

x

&s setas %o!o%adas apresentam sentidos %ontrKrios, pois as ;randezas são inversamente propor%ionais. =or isso, armamosa propor'ão %onservando o sentido de uma fra'ão e invertendo a outra.

&ssim, podemos es%rever 7

12.*x12.*x

12

x

*

3

4

==⇔=⇔=

=ortanto, pedreiros %onstruirão o mesmo muro em 7 dias.izemos que esse é um pro>!ema de re=ra de tr>s simples e inversa, pois as setas dis%ordantes ;eram uma propor'ão inversa.

EXERC'CIOS

01. =ara pintar uma superf%ie de 10 m2, um pintor ;asta12 !atas de tinta. Fuantas !atas de tinta são ne%essKrias

para pintar 200 m2 da superf%ieX02. $uma via;em da %idade até a %idade ?, um ve%u!o

;asta * minutos, V ve!o%idade média de 100 UmY


16/51

MATEMÁTICA1&

03. 9ma torneira en%!ema é 30 m.


17/51

MATEMÁTICA1(

>servem que na primeira etapa da reso!u'ão do pro>!ema mantivemos a quantidade de dias %onstante e notamos que+

• dup!i%ando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser %onstrudos dup!i%a.

$a se=unda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros %onstante e notamos que+

• trip!i%ando os dias de tra>a!


18/51

MATEMÁTICA1*

M)DIAS

01. M)DIA ARITM)TICA

:ejamos o exemp!o+

=edro é um a!uno que %onse;uiu em quatro tra>a!stitui as quatro pode ser dada por+

*4

24

4

3-==

+++

=ortanto, o número * é o va!or médio das notas , , 3 e e é %tida somando-se as notas e dividindo-se o resu!tado por 4.

GENERALI+AÇES

& média aritméti%a " !!# dos n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada porn

a...aaa.&.6 n321

++++=

02. M)DIA GEOM)TRICA

& média ;eométri%a " !8!# de n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por n n321 a.....a.a.a.N.6 =

EXEMPLOS

(.1# & !8 . entre 2 e 7 é 41*7.2 ==

(.2# & !8! entre 1, 3 e é 32-.3.1 33 ==

(.3# & !8 . entre 4, *, * e é *3.2#3.2"3.23.3.2.3.2.2.*.*.4 4 44 444 224 =====

03. M)DIA PONDERADA

:ejamos o exemp!o+

(m um determinado %o!é;io, existem trAs ava!ia'Les por unidade+ um teste, %om peso 3, um tra>a!a!stitui as trAs notas pode ser dada por+

2,*10

*2

10

30724

23

.*2.43.7==

++=

++++

GENERALI+AÇÃO

& média ponderada " !P!# de n números, a1, a2, a3, ..., an, %om os respe%tivos pesos p1, p2, p3, ..., pn é dada por+

n321

nn332211

p... p p p p.a... p.a p.a p.a.=.6

++++++++=


19/51

MATEMÁTICA1-


01. "9IDS# 9ma estrada de 31 Um de extensão foiasfa!tada por trAs equipes, , ? e " , %ada uma de!asatuando em um tre%a!endo que a média anua! para essa es%o!aé o>tida %om os pesos 2, 2, 2 e 4, respe%tivamente,

para as quatro unidades e que qua!quer a!uno pre%isade média anua! para ser aprovado, sem re%upera'ão,%a!%u!e quanto o a!uno em fo%o pre%isa de média naquarta unidade para passar direto.

10. "9I6N# 9ma firma é %onstituda por dois s5%ios, e ?, %ujos %apitais investidos são 200 mi! e 30 mi! reais,respe%tivamente. Bodo !u%ro ou prejuzo da firma édividido, entre os dois, propor%iona!mente ao %apita!investido. & firma a%usou um prejuzo de 121 mi! reais.&s par%e!as do prejuzo, em mi! reais, %orrespondentesa %ada s5%io são, respe%tivamente+

a# 20 e 101 ># 40 e 0%# 44 e d# e 2

e# 100 e 21


20/51

MATEMÁTICA20

11. "I9:(SB-DM# 9m >ar vende su%o e refres%o detan;erina. &m>os são fa>ri%ados di!uindo em K;ua um%on%entrado dessa fruta. &s propor'Les são de uma

parte de %on%entrado para trAs de K;ua, no %aso dosu%o, e de uma parte de %on%entrado para seis de K;ua,no %aso do refres%o. refres%o tam>ém poderia ser

fa>ri%ado di!uindo x partes de su%o em % partes deK;ua, se a razão

T

x fosse i;ua! a quantoX

a#2

1d#

3

4

>#4

3e# 2

%# 112. "I&I/-Q_# (m uma empresa, 7 fun%ionKrios

produzem 2.000 pe'as, tra>a!# 12%# 1d# 17e# 20

1. "9IS6-DS# 9ma ponte é feita em 120 dias por 1*tra>a!a!


21/51

MATEMÁTICA21

2*. 9m a!a!a!a!a!a!a!


22/51

MATEMÁTICA22

CON

a, quando a não é divisve! por b, s5 pode ser+

• 9m de%ima! exato "(.1 e (.2#• 9ma dzima peri5di%a "(.3 e (.4#


23/51

MATEMÁTICA23

%onjunto dos ra%ionais é um %onjunto denso, isto é, entre dois ra%ionais quaisquer existem infinitos outros ra%ionais.&inda o %onjunto ; não reso!ve todos os pro>!emas8 vejamos o exer%%io+

Fua! o número positivo %ujo quadrado é i;ua! a 2X

SOLUÇÃO

1

1 20

x2 28 este número x , positivo, é %on


24/51

MATEMÁTICA24

&na!ise %ada questão a se;uir e di;a se é verdadeira ou Balsa.

01. (xiste natura! que não é ra%iona!.

02. Bodo natura! é ra%iona!.

03. (xiste número inteiro que não é natura!.

04. Bodo número natura! é inteiro re!ativo.

0. 9m número inteiro re!ativo pode ser irra%iona!.

0*. Bodo número inteiro é ra%iona!.

0. (xiste número que é ra%iona! e irra%iona!, simu!taneamente.

07. Bodo irra%iona! é rea!.

0. (xiste número rea! que não é irra%iona!.

10. Bodo número irra%iona! é rea!.

11. s números da forma >

a, %om a ∈ ` e > ∈ ` podem não ser ra%ionais.

12. %onjunto dos números ra%ionais é formado pe!os e!ementos da forma >

a, %om a ∈ ` e > ∈ `.

13. Boda dzima peri5di%a é um número irra%iona!.

14. (xiste dzima peri5di%a que não pode ser es%rita so> a forma >

a

, %om a ∈ ` e > ∈ `.

1. produto de números reais sempre é ra%iona!.

1*. Se o%orrer pq ∈ `, isto é porque p ∈ ` e q ∈ `.

1. quo%iente entre ra%ionais, quando possve!, é sempre ra%iona!.

17. quo%iente entre irra%ionais é sempre irra%iona!.

1. Se x ∈ ` e T ∈ Fb, então x . T ∈ Fb.

20. Se x ∈ +

` e T ∈ c

F+ , então"x ? T# ∈ c

F+ .

21. Se x ∈ $ e T ∈ D, então "x ? T# ∈ F.

22. Se x ∈ Fb e T ∈ Fb, então "x . T# ∈ Fb.

23. número 2U ? 3, U ∈ `, sempre é mpar.

24. número U 2 ? U, U ∈ `, sempre é par.

2. Se n ∈ ` é um número par, então n2 tam>ém é par.

2*. Se n ∈ ` é um número mpar, então n2 tam>ém é mpar.

2. número U 3 ? U, U ∈ `, pode ser mpar.

27. &s expressLes 2U ? 1 e 2U ? 3, U∈ `, são ;enéri%as para a representa'ão de dois números mpares %onse%utivos.


25/51

MATEMÁTICA2

2. %onjunto x ) x U, U∈ ` representa o %onjunto dos mú!tip!os de .

30. &s expressLes U e U ? 1 representam dois mú!tip!os %onse%utivos de , qua!quer que seja


26/51

MATEMÁTICA2&

01. DEFINIÇÃO

H 0, %om a ≠ 0, sendo W, Z, ≤ ou ≥.

EXEMPLOS

(.1# 2x ? 4 W 0

(.2# 3x R ≥ "2 R x# ? 1

(.3# 12

x

*

1x2

4

3x+

−≥+−−

02. PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

=.1.# Somando-se "ou su>traindo-se# um mesmo número aos dois mem>ros de uma desi;ua!dade, o>tém-se uma desi;ua!dadeequiva!ente.

EXEMPLOS Z 3 ⇔ ? 2 Z 3 ? 2, ou seja, Z x R 3 Z 0 ⇔ x R 3 ? "3# Z 0 ? "3#, ou seja, x Z 3x ? 4 Z 2 ⇔ x ? 4 R 4 Z 2 R 4, ou seja, x Z R2

=.2.# 6u!tip!i%ando-se "ou dividindo-se# am>os os mem>ros de uma desi;ua!dade por um número positivo, o>temos outradesi;ua!dade equiva!ente.

EXEMPLOS

Z 3 ⇔ . 2 Z 3 . 2, ou seja, 14 Z *

2

x

Z ⇔ 2

x

. "2# Z . "2#, ou seja, x Z 10

3x Z 12 ⇔ Z3

12, ou seja, x Z 4

=.3.# 6u!tip!i%ando-se "ou dividindo-se# am>os os mem>ros de uma desi;ua!dade por um número ne=ativo, o sina! dadesi;ua!dade deve ser invertido.

EXEMPLOS

Z 3 ⇔ . "R1# W 3 . "-1#, ou seja, R W R3 Rx Z R3 ⇔ Rx"R1# W R3 . "R1#, ou seja, x W 3

R2x ≥ 12 ⇔ 2x2−− ≤ 212− , ou seja, x ≤ *

G %ostume reso!ver a inequa'ão R 2x Z 12 mu!tip!i%ando ini%ia!mente am>os os mem>ros por R1.

&ssim+ R 2x ≥ 12 ⇔ 2 x ≤ R12

x ≤ 2

12−

x ≤ R*

PRODUTOS NOTÁVEIS


27/51

MATEMÁTICA2(

(xistem, a!;uns produtos que são muitos usados na K!;e>ra e que, por isso, daremos um maior destaque+

01. =UADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

"a ? >#2 a2 ? 2a> ? >2

02. =UADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

"a R >#2 a2 R 2a> ? >2

03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

"a ? ># . "a R ># a 2 R >2

04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

"a ? >#3 a3 ? 3a2 > ? 3a>2 ? >3

0. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

"a R >#3 a3 R 3a2 > ? 3a>2 R >3

0&. =UADRADO DA SOMA DE TRS TERMOS

"a ? > ? %#2 a2 ? >2 ? %2 ? 2a> ? 2a% ? 2>%

EXERC'CIOS

01. esenvo!va

a# "a ? > R %#2

># "x R 3#2 R "2x ? 3#2

%# "3x R 2# . "3x ? 2# R "2x R 3#3

02. Sa>endo-se que a ? > 10 e a . > 20, %a!%u!e a2 ? >2.

FATORAÇÃO


28/51

MATEMÁTICA2*

PRIMEIRO CASO> .1 ".

a> ? a% a . "> ? %#

EXEMPLOS

SEGUNDO CASO> 81P+.

a> ? a% ? >d ? %d a. "> ? %# ? d. "> ? %# "> ? %# . "a ? d#

a> ? a% ? >d ? %d "> ? %# . "a ? d#

EXEMPLOS

TERCEIRO CASO> D*1+, D ;D1D.

a2 R >2 "a ? ># . "a R >#

EXEMPLOS

=UARTO CASO> 1*+C*. ;D1D. P1*.

a2 ? 2a> ? >2 "a ? >#2

EXEMPLOS

=UINTO CASO> 1*+C*. D. 8+D. 81

ax2 ? >x ? % a . "x R xb# . "x R xP#


29/51

MATEMÁTICA2-

EXEMPLOS

SEXTO CASO> "?. P1*.

a3 ? 3a2 > ? 3a>2 ? >3 "a ? >#3

a3

R 3a2

> ? 3a>2

R >3

"a R >#3

EXEMPLOS

S)TIMO CASO> . . D*1+, D "?.

a3 ? >3 "a ? ># . "a2 R a> ? >2#

a3 R >3 "a R ># . "a2 ? a> ? >2#

EXEMPLOS

EXERC'CIOS

01. Iatore+


30/51

MATEMÁTICA30

a# x2 R 2x2 R x ? 17

># 4x2 - 2

%# x2 - *x ? 1

d# x2 R x R *

e# x3 *x2 ? 12x ? 7

f# x3 - 2

02. Simp!ifique 4x2x

7x

.1*x4x4x

7x2x2

3

23

2

++

−

+−−

−−.

POTNCIAS

01. DEFINIÇES


31/51

MATEMÁTICA31

Seja a um número rea! e n um número natura! maior que 1.Bemos+

vezesn

na....a.a.aa =

aa1a 10 ==

0a%om,a

1a

n

n ≠=−

02. PROPRIEDADES

nnnnm

n

mnmnm # >.a" >.aa

a

aaa.a === −+

( ) n.mnmn

n

n

aa >

a

>

a=

=

EXERC'CIOS

01. Simp!ifique a expressão4n3n

2n1nn

22

222

++

++

+

++.

02. "I&B(H# as trAs senten'as a>aixo+

/# 2x?3 2x . 23

//# "2#x 2x///# 2x ? 3x x

a# somente a * é verdadeira. ># somente a ** é verdadeira.%# somente a *** é verdadeira.d# somente a ** é fa!sa.e# somente a *** é fa!sa.

RA'+ES

01. DEFINIÇES

1.1. Seja n um número natura! par e não nu!o e seja a um número rea! não ne;ativo.


32/51

MATEMÁTICA32

+∈=⇔= D >ea > >a nn

1.2. Seja n um número natura! ímpar e seja a um número rea!.

a > >a nn =⇔=

EXEMPLOS

(.1# 2 = (.# D x8)x)x2 ∈∀=

(.2# 273 = (.*# 0x8xx 2 ≥=

(.3# 32-3 −=− (.# D x8xx3 3 ∈∀=

(.4# 21*4 = (.7# D ∉−

OBSERVAÇÃO

$ote que 3, e não 3.

02. POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Seja a ∈ n

meD + ∈ F "m ∈ ` e n ∈ $#

n maa nm

=

EXEMPLOS

(.1# 33 2 422 32

== (.2# 33 21

= (.3# 44 3

12

1 4

3

== −−

03. PROPRIEDADES

Se a ∈ D ?, > ∈ D ?, m ∈ `, n ∈ $ e p ∈ $, temos+

=.1.# nnn >.a >.a = =.3.# ( ) n mmn aa =

=.2.# 0 >8 >

a

>

a

n

n

n ≠= =.4.# p.nn p aa =

EXEMPLOS

(.1# x2x.4x.4 == (.3# ( ) 323 42 =

(.2#3

x

x

x== (.4# *3 -- =

EXERC'CIO

Simp!ifique+

a# 0-2327 −++


33/51

MATEMÁTICA33

># 3333 1271243- −+−

04. RACIONALI+AÇÃO DE DENOMINADORES

Da%iona!izar o denominador de uma fra'ão si;nifi%a e!iminar todos os radi%ais deste denominador, sem %om isso a!terar ova!or da fra'ão.

EXEMPLOS

(.1#3

3

3

3.

3

1

3

1 ==

(.2#1

10

30

102

10

10.

103

2

103

2===

(.3# 33

3 2

3 2

334

2

410

2

2.

2

10

2

10===

(.4#a

a

a

a.

a

1

a

1 - 4

- 4

- 4

- 3- 3==

(.# ( ) ( ) ( )2.22

2.*

2

2.

2

*

2

* +=−+=

++

−=

−

EXERC'CIOS

01. Da%iona!ize+

a#

10


34/51

MATEMÁTICA34

>#3 17

*

%#3

1

+

d#321

1

++

e#3

2

2

3 +

02. "9HS&E-00# Simp!ifi%ando-se( )23*

23

+, o>tém-se+

a# 423 −

># 223 −

%#4

423 −

d#4

23

e#3

2

E=UAÇES DO SEGUNDO GRAU

01. DEFINIÇÃO

Hx ? % 0, sendo a, b e c números reais, %om a ≠ 0.

EXEMPLOS

(.1# 3x2 ? 4x R 1 0 "a 3, > 4, % R1#


35/51

MATEMÁTICA3

(.2# Rx2 ? 2x ? 7 0 "a R1, > 2, % 7#

(.3# 2x2 R 1* 0 "a 2, > 0, % R1*#

(.4# x2 R x 0 "a 1, > R, % 0#

(.#

==== 0%,0 >,21

a02

x2

$ote que o termo de maior ;rau da equa'ão do se;undo ;rau é ax2, %om a ≠ 0, o que justifi%a o seu nome. Se > 0 ou % 0ou > 0 e % 0, a equa'ão do se;undo ;rau é dita incompleta. Se > ≠ 0 e % ≠ 0, a equa'ão do se;undo ;rau é dita completa.

&s raí#es de uma equa'ão do se;undo ;rau são os va!ores que quando su>stitudos no !u;ar de x tornam o primeiromem>ro i;ua! ao se;undo mem>ro.

$ote nas equa'Les que+

(.1# x2 R x ? 10 0, Se su>stituirmos x por 2 ou por , temos+

=+−=+−=+−=+−

0103210.-010144102.-2

2

2

&ssim, dizemos que 2 e são as raí#es ou #eros da equa'ão x2 R x ?

10 0.

(.2# 3x2 R 12 08 se su>stituirmos x por 2 ou por - 2, temos+

=−=−−

=−=−

0121212#2".3

01212122.3

2

2

&ssim, dizemos que 2 e R 2 são as razes ou zeros da equa'ão 3x2 R 12 0.

02. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS

evemos sa>er, antes de tudo, que é vK!ida a equiva!An%ia & . Q 0 ⇔ & 0 ou Q 0.

PRIMEIRO TIPO

ax2 ? >x 0 "% 0#

SOLUÇÃO

ax2 ? >x 0x ."ax ? ># 0x 0 ou ax ? > 0

a

>x

−=

−=a

>80S

SEGUNDO TIPO

ax2 ? % 0 "> 0#

SOLUÇÃO


36/51

MATEMÁTICA3&

ax2 ? % 0ax2 R %

x2 a

%−

0a

%%om8

a

%x ≥

−−±=

Sea

%− ≥ 0, S

−±a

%

Sea

%− W 0, S φ

03. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES COMPLETAS

$a prKti%a, a so!u'ão da equa'ão do se;undo ;rau %omp!eta é feita %om a f5rmu!a de QKsUara.:ejamos a dedu'ão dessa f5rmu!a+

ax2 ? >x ? % 0

ax2 ? >x R% "x 4a#

4a2x2 ? 4a>x R4a% "?>2#

4a2x2 ? 4a>x ? >2 >2 R 4a%

"2ax ? >#2 >2 R 4a%

2ax ? > a%4 >2 −

2ax R > a%4 >2 −

a2

a%4 > >x

2 −±−= , sendo >2 R 4a% ∆, que é %xe

a2

>cx

∆−−=

∆+−=

QS(D:&g(S

• Se ∆ Z 0, a equa'ão possui duas razes reais distintas.• Se ∆ 0, a equa'ão possui duas razes reais i;uais.• Se ∆ W 0, a equa'ão não possui razes reais.

04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RA'+ES

(xistem duas re!a'Les importantes numa equa'ão do tipo ax2 ? >x ? % 0 que envo!vem as razes xb e xP e os %oefi%ientesa, b, e c.

PRIMEIRA RELAÇÃO> . D 19


37/51

MATEMÁTICA3(

Somando-se mem>ro a mem>ro as i;ua!dades a se;uir, temos

a

>

a2

>2

a2

> >xcx

a2

>

x

a2

>cx

−=−

=∆−−∆+−

=+

∆−−=

∆+−=

=ortanto+a

>ex.cx −=

SEGUNDA RELAÇÃO> P1.D. D 19

(a4

> >

a4

# >"a2 >.

a2 >x.cx

a2

>x

a2

>cx

2

22

2

2 −=∆−=

∆−−

∆+−=

∆−−=

∆+−=

=ortanto+a

%ex.cx =

0. E=UAÇES BI=UADRADAS

.1.DEFINIÇÃO

Hx2 ? % 0, sendo a, b ec números reais, %om a ≠ 0.

EXEMPLOS

(.1# x4 ? 4x2 ? 1 0(.2# x4 R 3x2 ? 2 0(.3# x4 R 71 0

.2. RESOLUÇÃO DE E=UAÇÃO BI=UADRADA

Boda equa'ão do tipo ax4 ? >x2 ? % 0 é equiva!ente ao mode!o a"x2#2 ? >"x#2 ? % 0.

Iazendo x2 T, temos+

aT2 ? >T ? % 0, que é uma equa'ão do se;undo ;rau de variKve! %. $e!a, en%ontramos as razes Tb e TP e da+

TxTx

cTxcTx

Tx 2

2

2

±=⇒=

±=⇒=

=


38/51

MATEMÁTICA3*

EXEMPLOS

(.1# :ejamos qua! o %onjunto verdade da equa'ão x4 R 10x2 ? 0

SOLUÇÃO

& equa'ão é equiva!ente a "x2

#2

R 10x2

? 0

Iazendo x2 T, temos+

T2 R 10T ? 0, %ujas razes são Tb e TP 1.

ra, x 811x

3xT

±=±=

±=±= T R3, R1, 1, 3

E=UAÇES IRRACIONAIS

01. DEFINIÇÃO

H radi%a!.

EXEMPLOS

(.1# 2x3 =−(.2# 1x11x −=+

(.3# x2-x −=++(.4# 4x-2x10x2 +=−++

02. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES IRRACIONAIS

=ara reso!vermos equa'Les irra%ionais, devemos e!iminar os radi%ais da equa'ão e, ao fina!, verifi%armos as so!u'Les.Honvém !em>rar que+

a > ⇒ a2 >2 "verdadeiro#a2 >2 ⇒ a > "fa!so#

a > ⇔ a2

>2

"fa!so#

EXEMPLOS

(.1# 2x3 =− . (!evando mem>ro a mem>ro ao %u>o, temos+

x R 78 x 13.

G importante verifi%ar, ap5s a reso!u'ão da equa'ão, se a so!u'ão rea!mente satisfaz.

VERIFICAÇÃO

x 13 ⇒ 33 7213 ⇔=−

2 ⇔ 2 2 ":#

&ssim+ : 13


39/51

MATEMÁTICA3-

(.2# 11x + x R 18 e!evando mem>ro a mem>ro ao quadrado, temos+

x ? 11 "x R 1#2

x ? 11 x2 R 2x ? 1

x2 ? 3x R 10 08 xb e xP R2

VERIFICAÇÃO

xb ⇒ 4441*111 =⇔=⇔−=+ ":#

xb R2 ⇒ 33312112 −=⇔−=⇔−−=+− "I#

$ote que apesar de 3 ≠ R3, temos 32 "R3#2. =ortanto, quando se e!evou ao quadrado os mem>ros da equa'ão, umadas so!u'Les, x R 2, era estranro, temos+

-x-x =++ 8 e!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+

( ) 22 -x-x =++

x ? ? 2 4xx#-x" =++

x242x-x2 2 −=+

ividindo por 2, temos+

x21x-x2 −=+

(!evando am>os os mem>ros outra vez ao quadrado, temos+

x2 ? x "21 R x#2

x2 ? x 441 R 42x x2

4x 441

4

441x ==

VERIFICAÇÃO

x ⇒ *24321*2- =+⇔−=+⇔−=++ ":#

&ssim+ :


40/51

MATEMÁTICA40

(.4# 4x-2x10x2 +=−++

(!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+

( ) ( )( ) ( )

4x420x10x4x22

4x-2x2x10x2210x2

4x-2x10x2

2

22

−=−++

+=−+−+++

+=−++

ividindo por 2, temos+

2x220x*x2 2 −=−+ 8

e!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+

2x2 ? *x R 20 "2x R 2# 2

2x2 ? *x R 20 4x2 - 7x ? 4 R2x2 ? 14x R 24 0 +"R2#x2 R x ? 12 08 !o;o, xb 4 e xP 3.

VERIFICAÇÃO

$a equa'ão ini%ia! "antes de e!evarmos os dois mem>ros ao quadrado#, vamos su>stituir as razes xb 4 e xP 3en%ontradas.

xb 4 ⇒ 24242233221744.-24104.2 ==+⇔=+⇔+=−++ ":#

xP 3 ⇒ 14211*43.-23103.2 =+⇔=+⇔+=−++ ":#

&ssim+ : 3,4

(.# Deso!vamos a equa'ão 1x*xx*x 22 ++=++ .

SOLUÇÃOHomo vemos, esta equa'ão é do se;undo tipo e, portanto, se re%orrermos ao mesmo pro%esso das anteriores,

teremos que e!evK-!a duas vezes ao quadrado para e!iminar os radi%ais. (ntretanto, %as as so!u'Les satisfazem.

&ssim+ : R 7, 2

EXERC'CIOS

01. Deso!va as se;uintes equa'Les+

a# x ? 142x =−


41/51

MATEMÁTICA41

># 2xx31x −=−+


01. esenvo!va+

a# "2x R 3#2 ? "1 ? 2x# . "1 R 2x# ># "x2 ? 2x#2 R "x R 2#3

%# "3x ? 1#3 ? "x2 R 4x R 3#2

02. Sendo x ? T ? z 10 e xT ? xz ? Tz 30, %a!%u!e x 2

? T2 ? z2.

03. Sa>endo que a ? > 10 e a . > 20, %a!%u!e a3 ? >3.

04. Ha!%u!e o va!or da expressão ( x3 R 3x2T ? 3xT2 R T3

para x 11 e T 11.

0. Iatore+

a# x2 ? 2xT ? x ? 10T ># x2T2 R %# 4x2 - 4xT2 ? T4

d# x3 R 7T3 R *x2T ? 12xT2

e# x2 ? 2x R 1

0*. Simp!ifique+

a#10x3x

7x.

4x4x

20x4xx2

3

2

23

−−

−

+−

+−−

>#

4T

2T.

4x12x

4x14x12T2xT-Tx*22

22

−

+

+−

−+−+−

%#1x

1xx.

xx

1x3x3x3

2

2

23

+

+−

+

+++

0. Se a>1

aa>

1 $ea>1

a >

a6

2

+

−

−=+

−

+= , %om a>

≠ -1, então %a!%u!e $

6.

07. Simp!ifique a expressão22

22

ax

a*axx

−++

.


23

>a3 >a*a3

>aa

+−−

.

10. Se 2x ? 2 R2 a, então 7x ? 7 Rx é i;ua! a+

a# a3

># a2 R a%# a3 R 3ad# a3 - ae# $D&

11. & expressão 2a

>

>

a2

2

2

2

2

+++ , para a Z 0 e > Z 0 é

equiva!ente a+

a# >.a

>a +

># a ? > ? 2

%#a>

# >a" 2+

d#22

2

>a

# >a" +

12. Da%iona!ize+

a# 3

20

>#4 -2

12

%#3

1

−

d#31

11

−+

13. Fua! o maior entre os números *43 20e, X


121

122−

++

− .

1. Ha!%u!e o va!or da expressão

134

2.13

3

13

−

−+

+.

1*. Se a Z 0 e > Z 0, a expressão

( ) ( ) a>3 >a.a > >a 1 +++ − é i;ua! a ...

1. & equa'ão 3x2 ? >x ? % 0 tem razes 1 e 4. s

va!ores dos %oefi%ientes b e c são, respe%tivamente+

a# e 4 ># R e 4%# e 12d# -1 e 12e# R1 e R12

17. $a equa'ão do se;undo ;rau x2 ? 3mx ? m R 0, seas razes são opostas, %a!%u!e m.

1. $a equa'ão x2 R 7x ? p R 1 0, uma raiz é o trip!o daoutra. Ha!%u!e.

20. Ha!%u!e a soma dos inversos das razes da equa'ão 3x2

? x R 0.

21. Sendo a e b as razes da equa'ão 2x2 R x ? m 3,

então se3

4

>

1

a

1=+ , qua! o va!or de mX


42/51

MATEMÁTICA42

22. Se a soma das razes da equa'ão "x R # . "x ? p# R 1é , qua! o va!or do produto das razesX

23. etermine o %onjunto so!u'ão das se;uintes equa'Les+

a# "x ? 3#2 "x R 1# . "x ? #

>#4x3x21

4x

−−=+−%# x ? 4 . "x R 1# x R 4d# * . "x ? 2# R 4x 2 . "x ? 1# ? 4

24. etermine o %onjunto so!u'ão das se;uintesinequa'Les+

a#*

1x3

3

x3

2

3x2 −# 4 . "x R 2# R "3x?2# Z x R * R 4 . "x R 1#%# * . "x ? 2# R 2 . "3x ? 2# Z 2 ."3x R 1# R 3 R "2x R 1#

2. Deso!va os sistemas+

a#

=−

=+

xT

1

T

2

x

1

,3

T

2

x

>#

=−

=−

T4x3

,T3x2

%#

=

=−

12T.x

-Tx 22

2*. Deso!va as se;uintes equa'Les+

a# 31x23 =++

># 117xx =−−−

%# 2x

1x

2

2 =+

−+

d# 3xx3xx 22 −−=+−

e# 311xx =++

GABARITO

01. a# 10-12x ># x4 ? 3x3 ? 10x2 R !2x ? 7%# x4 ? 1x3 ? 3x2 ? 33x ? 10

02. 40

03. 40004. 70. a# "x ? # . "x ? 2T#

># "xT ? 3# "xT R 3#%# "2x R T2#2

d# "x R 2T#3

e# "x ? # "x R 3#

0*. a# x2

? 2x ? 4 >#

2x3

1x2

−−

%#x

1x +

0. >

07.a3x

a2x

−+

0.# >a"a3

1

−10. H

11. H12. a#

3

4

># 4 172

%#2

33 +

d# 1233- +++

13. 4 14. `ero1. 21*. a>4

1. 17. m 01. p 13

20.

-

21.4

2-

22. 1123. a# R

># φ%# D

d# φ24. a# S x ∈ DYx Z R 3 ># φ%# D

2. a# "48 # ># "8 3#%# "48 3#8 "R48 R3#

2*. a# 24 ># 34%# R484d# 38 R2e#


=1. & equa'ão1

1x

10

12xx

+=−− é equiva!ente a

>

ax = , a e b primos entre si. (ntão a ? > é um+


43/51

MATEMÁTICA43

a# número primo. ># número par.%# divisor de .d# mú!tip!o de 3.e# quadrado perfeito.

=2. istri>u D\ 0,00 entre trAs po>res. Sa>e-se que o2o re%e>eu a ter'a parte do 1 o, o 3o re%e>eu D\ 0,00 amais que o 2o e que ainda so>raram D\ 0,00. Ha!%u!equanto re%e>eu %ada po>re.

=3. & soma das idades de pai e fi!#

1e#

-

%#2

1

=7. sistema de equa'Les !ineares

=+=−xTmx1Tx2 tem

so!u'Les e, e s5 se+

a# m ≠ 2 ># m ≠ R1

%# m ≠ 2

1

d# m ≠ 0

e# m ≠ 2

3

−


44/51

MATEMÁTICA44

=. Se x, T e z satisfazem V %ondi'ão

=−+

−=−

=+−

1zTx2

4xT2

-z3Tx

,

então x ? T ? z va!e+

a# R ># 2%# 0d# R11e# *

=10. %onjunto de va!ores reais que so!u%iona a equa'ão

1x

1

1x

3

1x

x32 +

=−

−−+

no universo 1 é+

a# R1 ># D R 1%# D d# 0e# 3

=11. Se o%orre x R T 2 e x . T , entãoT

1

x

1 − va!e+

a#

2−

># R*

%#2

3

d# R1

e#*

1

=12. & equa'ão do se;undo ;rau "3x R 1#2 ? "2x R 1# . "2x ? 1# 0 possui as razes x1 e x2. etermine, então, o va!or de x 1 ?x2.

a# R0,4 ># *Y13%# R3d#

e#2

1−

=13. & diferen'a entre o quadrado da soma de um número%om 3 e o do>ro do produto desse número pe!o seu%onse%utivo é 13. (sse número é+

a# R1 ># %# 2d# 3e# R*


45/51

MATEMÁTICA4

=14. Fua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão

1x

xx122

2

=−

−− em 1.

a#

−2

-,3

># 2

%#

−

2

-

d# Re# φ

=1. & soma de dois números é p e a soma dos re%pro%os"inversos# desses números va!e &. Eo;o, o produtodos números é+

a# p . q

>#q

p

%# p

q

d# pq R pe# p2 q ? pq2

=1*. izer qua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão

#3x"

3x*

3x

x

x

*x22

−

−=

−

+

−

+ em 1.

=1. va!or a>so!uto da diferen'a entre a soma e o produto das razes da equa'ão R2x2 ? 10x R 3 0 é+

a# 3 >#

%#2

-

d#3

e# 0

=17. & equa'ão do se;undo ;rau 2x2 R Ux ? 3 0 possui R 1 %omo uma de suas razes. (ntão a outra raiz é+

a# R3Y2 ># 1%# 0d# R1Y2e# Y2

=1. Se a equa'ão x2 R 2 αx ? β 0 possui R %omo raizdup!a, então α . β é+

a# R10 ># R12%# 7d# 1*0e# 2


46/51

MATEMÁTICA4&

=20. >serve a equa'ão do se;undo ;rau 2x2 R mx ? n 08a asser'ão Balsa é+

a# Se seus zeros são simétri%os, então m 0. ># Se uma das razes é nu!a, então n 0.

%# Se seus zeros são re%pro%os, então n 2.d# Se a diferen'a dos seus zeros for nu!a, então m2 7n.e# Se uma das razes é nu!a, então a outra raiz é n.

=21. &s razes da equa'ão do se;undo ;rau 3x2 R 1x ? λ 0, %onstante, diferem de uma unidade8 sendoassim, é um e!emento do %onjunto.

a# R2, , 13 ># 0, 1, %# !2, 1, 20#d# , 17, 1

e# R11, 4, 7

=22. Honsiderando a equa'ão 2x2 ? mx R 7 0 de razes

x1 e x2 e sa>endo-se que 2x

x

x

x

1

2

2

1 −=+ , as razes

dessa equa'ão formam o %onjunto+

a# xYx 0 ou x 1 ># xYx 1Y2 ou x 2%# xYx R1 ou x 2d# xYx 2

e# xYx 1Y2

=23. Deso!va a equa'ão x4 R x2 R 12 0, em 1.

=24. Deso!va a equa'ão x* ? x3 R 7 0.

=2. Deso!va a equa'ão "x3 R 1#2 R "x3 R1# R 14 0.

=2*. & equa'ão do se;undo ;rau %ujas razes são 32 +

e 32 − é+

a# 2x2 ? x R 1 0 ># Rx2 ? x R 3 0%# 3x2 ? x ? 2 0d# x2 R 4x ? 1 0e# x2 R x R 1 0

=2. %onjunto so!u'ão da equa'ão 1x1x23 =−+ possui quantos e!ementosX

a# um ># dois%# trAsd# quatroe# infinitos


47/51

MATEMÁTICA4(

=27. Deso!va 3x3x +=+ .

=2. Fuantas so!u'Les reais possui a equa'ãox212x1x −=−++ X

a# zero

># uma%# duasd# trAse# mais de trAs

=30. Ha!%u!e a soma das razes da equa'ão

x3x1x3x 22 +−=+− .

=31. Ha!%u!e as razes da equa'ão 2

x

x2

x2

x

3 2

3

3

3 2

=−

+

−.

=32. Sa>endo-se que *Tx =+ e que x ? T 32,então x% va!e+

a# 3 ># 4%# d# *e#

=33. Deso!ver a equa'ão x2xx3 = em 1.

=34. %onjunto de números reais x para que

13

1x3

2

x2+

−−≤

− forma o interva!o rea!+

a# "R ∞,2

>#

∞+− ,3

2

%#

∞−32,

d# "R ∞,0e# "-1,?∞#

=3. Deso!vendo a inequa'ão x4

3

x21

2

2x<

−−

+,

o>temos o %onjunto %omo so!u'ão.(ntão é verdadeiro que+

a# S2 ∈

># R π ∈ S%# 13 ∈ Sd# 1Y2 ∈ Se# R ∈ S


48/51

MATEMÁTICA4*

=3*. maior número inteiro que satisfaz V %ondi'ão

x2

1

2

111

,1x2+≥

+−

−, é

a# R1 ># 0

%# 1d# e# R

=3. %onjunto de reais x que satisfazem V %ondi'ão

>−

≤+−

<−

# 2

%#

3

d#

e#2

3

=41. Deso!va a equa'ão 0103x

xx3=−

+− .

=42. Ha!%u!ar o produto das razes da equa'ão

0x23x

3x2x 22

=++

−+ .


49/51

MATEMÁTICA4-

=43. Fua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão

0x

2

*xx

*xx

22

2

=−−−+

+−X

=44. 9m dos va!ores de x para que

=−

−=−

3xTx

*xTTx

2

22

é+

a# R3 ># %# R11d# 3Y2e# 1Y2

=4. uas pessoas empre;am, juntas, DS 144.000,00 na%ompra de a'Les que rendem *k ao ano.&nua!mente, a primeira re%e>e D\ 1.200,00 a maisque a se;unda. Fua! o %apita! que %ada umaempre;ouX

=4*. 9ma mistura de 20m é %onstituda de duassu>st[n%ias, e ?, nas propor'Les 2k e k,respe%tivamente. Sa>endo que para um mesmovo!ume a su>st[n%ia pesa o do>ro de ?, que

per%enta;em do peso tota! da mistura representa o peso de X

=4. 9ma torneira %onse;ue en%


50/51

MATEMÁTICA0

=4. Simp!ifi%ar a expressão 34-34- ++− .

=. Ha!%u!e o va!or de ...222x +++= .

=*. uas rodas de en;rena;em tAm 40 e *0 dentes, %adauma %om um dente estra;ado. Se, num dado instante,esses dois dentes estão em %ontato, quantas vo!tas aroda pequena darK para que se repita esse en%ontroX

=. 9m terreno de forma trian;u!ar tem !ados demedidas 17 m, 24 m e 30 m. eve-se %er%ar esseterreno %om esta%as espa'adas i;ua!mente, V mKximadist[n%ia possve!.Fua! deve ser V dist[n%ia entre as esta%asX

=7. eterminar o maior número pe!o qua! se deve dividir 423, *, 17 para se o>ter os restos 3, 4 e 1,respe%tivamente.

=. 9ma senuir entre os seus 3 fi!


51/51

MATEMÁTICA1

GABARITO

01. & 33. 22,2,0: =

02. 1a# D\ 20,00 34. H2a# D\ 0,00 3. H3a# D\ 1*0,00 3*. Q

03. =ai+ 34 anos 3. (Ii!

mod_02 divisibilidade (3º-ext-int) (1)

Documents