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MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in DortmundKlaus Gerber, Leichlingen. Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht. Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Related-Rates-Problems– Aufgaben mit verketteten Änderungsraten –
Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht
MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
In ein trichterförmiges Gefäß läuftWasser ein. Es hat die Form einesauf der Spitze stehenden Kegels mitdem Radius r = 5 cm und der Höheh = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig-keit beträgt 9 cm3/min.
Mit welcher Geschwindigkeit steigtder Wasserpegel, wenn dieFüllhöhe gerade 6 cm beträgt?
Pólyas Kegel
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel
1. Zeichnung:
2. Gegebene Änderungsrate:
Gesuchte Änderungsrate:
3. Kettenregel:
4. Es gilt:
Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man:
Ableiten ergibt:
mincm39
dtdV
dtdy
yx)y,x(V 231
hr
yx
32
2
31)( y
hryV
2412
2
2
yyhr
dydV
241
min3
9ydt
dy cm
dydVdtdV
mincm
mincm 32,01
dtdy
5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:
Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:
Gesucht!
Lösung:
dtdy
dydV
dtdV
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an.
2. Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten.
3. Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft.
4. Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie).
5. Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.
Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen:
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Verwandte Aufgaben:
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Ein Glas entsteht durch die Rotationdes Graphen zu f(x) = 0,5 x im Intervall [0; 10].Nun wird das Glas mit der Spitzenach unten aufrecht gestellt und mitWein gefüllt. Die Zufluss-geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min.
Berechne die momentanePegelgeschwindigkeit, wenn dieFüllhöhe 6 cm beträgt?
Pólyas Kegel mit dem HDI
4. Berandungsfunktion f mit . f und f2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die
Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt:
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Pólyas Kegel mit dem HDI
1. Zeichnung:
2. Gegebene Änderungsrate:
Gesuchte Änderungsrate:
3. Kettenregel:
mincm39
dtdV
dtdx
241
mincm
dxdVdtdV
x9
dtdx
3
mincm
mincm 32,01
dtdx
5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:
Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:
Gesucht!
Lösung:
xxf 21
x
0
2 dttfxV
2412')( xxfxV
dxxdV
dtdx
dxdV
dtdV
Allgemein gilt:
2.fktBerandungs.chwZuflussges.eschwlgPege
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Verwandte Aufgaben:
Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche ......
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
In das trichterförmiges Gefäß läuftWasser ein. (Radius r = 5cm undder Höhe h = 10cm.) Wasser läuft nun mit derveränderlichen Zuflussgeschwindig-keit dV/dt = t zu.
Berechne die momentanePegelgeschwindigkeit 3s nach demStart des Zuflusses in das leereGlas?
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss
Einsetzen in die umgeformte Kettenregel:
Separation der Variablen:
Integration:
Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen:
Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit:
3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :
tyy 4'2
ctycdttdtyy
23
312 24'
32
332 66 ttty
241
dydVdtdV
yt
dtdy
3323
32 66' 3
1
ttty
dtdy
cm cm2 33 s s
2y ' 3s 0,57
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1. Geometrisch orientierte Strategien
2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI
3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen
4. Experimentelle Untersuchungen
Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA)
Befüllung einer Glaskaraffe
y = -1,0155E-05x4 + 2,8438E-04x3 - 1,1964E-02x2 + 4,7493E-01x - 3,9873E+00
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25 30
Füllhöhe y in cm
Pege
lges
chw
indi
gkei
t dy/
dt in
cm
/s
2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem.
3. Vergleich der Modelle.
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!