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MM aa tt ee mm áá tt ii cc aa FF ii nn aa nn cc ii ee rr aa CAPITAL
En esta clase el capital es el dinero que se invierte o es prestado.
INTERES
Para definir el interés nos podemos remitir a algunas definiciones:
Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo.
Utilidad o ganancia que genera un capital.
Alquiler que se paga por hacer uso del capital ajeno.
Retribución económica que le devuelve el capital inicial al inversionista.
TASA DE INTERES
Es la relación que existe entre la utilidad obtenida en un periodo y el capital que inicialmente se comprometió para producir dicha utilidad. Ejemplo: si una persona invierte hoy la suma de $3.000.000 y al final del año recibe la suma de $3.600.000, ¿cuál fue la tasa de interés que estuvo involucrada en esta inversión? DATOS: CAPITAL INICIAL (VP) = $3.000.000 CAPITAL FINAL (VF) = $ 3.6000.000 INTERES EN PSOS ( I ) = VF – VP = $ $3.600.000 - $ 3.000.000 I = $ 600.000 Denotemos la tasa de interés con la letra i i= I / VP = $ 600.000 / $ 3.000.000 i= 0.20 = 20 %
TIEMPO
Es el lapso durante el cual se hace uso o se cede el capital y según las partes se puede dividir en años, meses, semestres, trimestres, días, entre otras.
POSTULADO DE LAS FINANZAS
Este principio establece que el interés producido por una inversión está en función de tres variables:
El capital inicial: mientras más grande sea el capital mayor será el interés producido por éste.
La tasa: ésta depende de las fuerzas del mercado, y esta sujeta al juego de la oferta y la demanda. Cuando hay escasez de dinero las tasas aumenta y cuando hay abundancia de él, las tasas tienden a disminuir.
El tiempo: mientras mayor sea la duración de la inversión, mayor será el interés producido.
Lo anterior nos permite concluir que para cualquier cálculo de intereses, es absolutamente necesario establecer los valores de las tres variables mencionadas.
TIPOS DE INTERES
3.1. INTERES SIMPLE
Se dice que una operación financiera está sujeta al concepto de interés simple, cuando los intereses liquidados periódicamente no se suman al capital, es decir los intereses no generan intereses; por lo cual el capital inicial (VP) permanece constante durante la vigencia de crédito o de la inversión. NOTA: La tasa de interés simple se aplica sobre el capital inicial, lo que hace que los intereses sean iguales en todos los periodos. EJEMPLO 1: Una persona presta $ 4.000.000 al 3% mensual, durante 7 meses. ¿Cuánto se espera recibir de intereses? DATOS: VP = $ 4.000.000 i= 3% mensual = 0.03 TIEMPO (n) = 7 meses I =? Solución: Tenemos que I = $ 4.000.000 . 0.03 . 7 I = $ 840.000 Respuesta, el interés producido por $ 4.000.000 al 3% mensual durante 7 mess es $ 840.000.
I = VP . i . n
Nota: la tasa de interés y el tiempo tienen que estar en la misma base, es decir, si los intereses son mensuales el tiempo tiene que ser mensual; si es bimestral el tiempo es bimestral.
EJEMPLO 2: Un CDT de $5.000.000 paga un interés del 2.8% trimestral simple; cuánto genera en concepto de intereses en un año. DATOS VP = $ 5.000.000 i= 2.8 % trimestral n = 1 año = 4 trimestres. Solución I = $ 5.000.000 . 0.028 .4 I = $ 560.000 Respuesta, un CDT de $ 5.000.000 colocados al 2.8% trimestral durante un año genera un interés de $ 560.000 EJEMPLO 3: Una inversión generó un interés de $ 1.250.000 durante 3 años, si la tasa de interés que se reconoció por esta inversión fue el 2.3% mensual, ¿cuál fue el capital que inicialmente se invirtió? DATOS: I = $ 1.250.000 i= 2.3% mensual 0.023 n = 3 años = 36 meses Solución Por formula general tenemos que Se despeja de la formula VP, VP = I / (i .n) entonces, VP = $1.250.000 / (0.023 . 36) VP = $ 1.250.000/ 0.828 VP = $ 1.509.661, 84
I = VP .i .n
Respuesta, para que una inversión produzca un $ 1.250.000 de interés, durante tres años a una tasa del 2,3% su capital inicial debe ser $1.509.661.84 EJEMPLO 4: Durante cuanto tiempo estuvo invertido un capital de $10.000.000 para que al 4% bimestral produjera $ 6.700.000 de intereses. DATOS VP = $ 10.000.000 I= $ 6.700.000 i= 4% bimestral = 0.04 n = ? Por fórmula general tenemos que
Despejamos de la formula,
n= I / (VP .i) entonces n = $ 6.700.000 / ($ 10.000.000 .0.04) n = $ 6.700.000 / $400.000 n= 16.75 bimestres
Respuesta, el tiempo que se necesita para un capital de $10.000.000 produzca $ 6.700.000 de interese a una tasa de 4 % bimestral es de 16,75 bimestres.
EJEMPLO 5:
Una persona realizo una inversión de $ 12.000.000 y al año y medio recibió de intereses la suma de $ 1.370.000, cual fue la rentabilidad mensual de esta inversión.
DATOS: VP = $ 12.000.000 I = $ 1.370.000 n = 1, 5 años = 18 meses i= ?
Por formula general tenemos que
Despejamos i i= I /( VP.n)
Entonces, i= $ 1.370.000 / ($12.000.000 . 18)
I = VP .i .n
I = VP .i .n
i = $ 1.370.000 / $216.000.000
i = 0.00634 equivalente a 0.634% mensual.
NOTA: Cuando la respuesta sea en tasa de interés, esta se debe dar en términos porcentuales. EJEMPLO 6: ¿Qué suma tendrá que pagar una persona al término de 3 años, si en este momento le prestan $7.500.000 al 5% semestralmente y se debe pagar al final los intereses y el capital? Antes de solucionar el ejercicio, cabe aclarar que en ocasiones no se pagan periódicamente los intereses sino que se pacta desde el inicio, entre las partes, el pago de los intereses y el capital al finalizar el vencimiento del plazo, esto es conocido como monto o valor final o valor futuro y lo denominamos VF. Se denomina monto o valor futuro al capital inicial (VP) más los intereses (I), entonces: VF = VP + I Recordar que I = VP .i .n Reemplazamos en la fórmula, VF = VP + (VP .i .n) VF = VP .(1+ (i.n)) Solución del ejercicio DATOS: n = 3 años = 6 semestres. VP = $ 7.500.000 i= 5% semestral 0,05 VF = ? Tenemos que VF = $7.500.000 .( 1 + ( 0,05 . 6) VF = $ 7.500.000 .( 1 + ( 0,3)) VF = $7.500.000 .1,3 VF = $ 9.750.000 Respuesta, al termino de tres años, una persona que presta $7.500.000 al 5% semestral debe pagar al vencimiento $ 9,750.000.
VF = VP .(1 + (i .n))
EJEMPLO 7: Calcule el monto a recibir en nueve meses por ahorrar $ 1.000.000 hoy, con una tasa de interés del 8,5% anual. DATOS. VP = $ 1.000.000 i= 8,5% anual 0,085 n = 9 meses = 9/360 = 0,025 VF= ? Utilizamos la fórmula VF = $ 1.000.000 .( 1+ (0,085 .0,025)) VF = $ 1.000.000 .1.002125 VF = $ 1.002.125 Respuesta, por ahorrar $1.000.000 hoy, a una tasa de interés del 8,5% anual por nueve meses recibe $ 1.002.125. EJEMPLO 8: Un crédito tiene un valor al vencimiento de $90.000 ¿Cuál será el valor presente en 60 días antes del vencimiento? Suponga una tasa de interés del 28% anual. DATOS VF = $ 90.000 n= 60 días = 60 / 360 = 0,166666666 i= 28% 0,28 VP = ? Solución Sabemos que
Despejamos de la fórmula VP = VF / (1+ (i.n)) entonces,
VP = $ 90.000 / (1+ (0,28 . 0,166666666)) VP = $ 90.000 / (1,046666667) VP = $ 85.987, 26 Respuesta, el valor presente de un crédito que estaba al 28% en 60 días es de $85.987, 26.
VF = VP . (1 + (i . n))
FORMULAS DE INTERES SIMPLE
Fórmula 1 Interés simple I = VP . i . n
Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = I /( i . n)
Fórmula 3 Tasa de Interés i = I / ( VP .n)
Fórmula 4 Número de Periodos n = I / (VP . i)
Fórmula 5 Monto o Valor Futuro VF = VP . (1 + i. n )
G u í a 1 : I n t e r é s s i m p l e
1) ¿Durante cuánto tiempo fue necesario dejar depositados $ 7200, con una
tasa trimestral del 6 %, para obtener una ganancia de $ 2160? Rta: 15 meses
2) Por depositar $ 2700 durante un año y medio se obtiene una ganancia de $
1944. ¿Cuál es la tasa de interés trimestral?. Rta: 12 %
3) ¿Qué suma se deberá depositar, por el lapso de 15 meses para obtener un
rédito de $ 3333, en un banco que ofrece el 12 % mensual?. Rta: $ 1851,67
4) ¿Qué inversión es necesario hacer para que durante dos años y medio de
depósito, al 15 % semestral produzca una ganancia de $ 1500?. Rta: $ 2.000
5) ¿En qué tiempo $ 3500, depositados en un banco que ofrece una tasa del 4
% mensual, producen un beneficio de $ 1960?. Rta: 14 meses
6) ¿A qué tasa de interés trimestral es necesario depositar $ 4500 durante dos
años para que produzcan una ganancia de $ 1800?. Rta: 5 %
7) ¿A qué tasa de interés anual se deben depositar $ 4.000 para que produzcan
un interés exacto de $ 176, después de 73 días de depositados?. Rta: 22 %
8) Realizamos un depósito de $ 14.400, al 2,5% bimestral, y obtenemos una
ganancia de $ 5.400. ¿En qué tiempo se produjo dicha ganancia?.
Rta: 30 meses
9) Si queremos que $ 7.200, depositados al 18 % anual, produzcan una
ganancia de $ 245, utilizando año exacto. ¿Durante cuántos días debemos
dejar el depósito?. Rta: 69 días
10) ¿Qué inversión es necesario hacer para que durante 1 año y medio de
depósito, al 5 % trimestral produzca una ganancia de $ 1.296,30?. Rta: $ 4321
11) ¿Cuántos días de depósito son necesarios para que $ 5.000 produzcan una
ganancia de $ 134,79, si la tasa anual es 0,08, (año exacto)?. Rta: 123 días
12) ¿Qué suma de dinero se obtendrá como beneficio si se prestan $ 5.600,
durante 8 meses, al 6 % bimestral?. Rta: $ 2688
13) ¿Cuánto dinero nos han prestado si a los 65 días debemos pagar un interés
comercial de $ 116,93 y hemos trabajado con una tasa de interés de 0,28
anual?. Rta: $ 2.312,90
14) ¿A qué tasa de interés semestral es necesario depositar la suma de $
7.800, para que en 3 años y medio produzca un beneficio de $ 2.730?.
Rta: 5 %
G u í a 2 : I n t e r é s s i m p l e
Completar los espacios vacíos siendo la capitalización anual
Ejerc Capital Razón t (días) Is Año comercial Is Año exacto
15) $ 4200 16 % 75
16) 24 % 45 $ 166,65
17) 18 % $ 133,32
18) $ 7500 25 % 72
19) Calcular el interés que producen $ 13000 en 9,5 meses al 2% mensual.
Rta: $2470
20) ¿Cuál es el interés que ha producido por $ 14500 en 3 meses al 1,5%
mensual. Rta: $ 652,50
21) Calcular el interés que ha ganado una colocación de $17000 que
permaneció invertida durante 15 meses al 12% semestral. Rta: $ 5100
22) Determine cual es el capital que en 120 días produce $ 1224 de interés al
18% anual. Rta: $ 20.400
23) Calcule el capital que en 5 meses y 20 días produce $1.020 de interés al
18% anual. Rta: $ 12.000
24) Si las 2/3 partes de un capital producen $ 3.300 de interés en 7 meses y
10 días al 24% anual. ¿ Cuál es el valor del mencionado capital?. Rta: $ 33.750
25) Calcule el capital inicial de un deposito si el duplo del mismo produce, en
5 meses y 20 días, un interés de $ 2.720 al 18% anual. Rta: $ 16.000
26) El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de
interés durante 9 meses. El resto de ese capital se coloca en la misma fecha
al 24 % anual durante el mismo lapso. Si el interés total al 15 de diciembre
es de $120.000, ¿Cuál es el capital originario?. Rta: $ 705.882
27) ¿A qué porcentaje anual se colocaron $23.000 si en 14 meses ganaron $
5.903,33?. Rta: 22%
28) Un capital de $32.560 permaneció colocado durante 8,5 meses ganando
en concepto de intereses la suma de $4.151,40. ¿A qué tasa de interés se
colocó?. Rta: 18 % anual
.
29) ¿ A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $ 46.885 que en 7
meses y 15 días se incremento en $ 7.032,75?. Rta: 24 %.
30) Calcule la tasa de interés anual que en 8 meses hizo que un capital de
$71.325 produjera una ganancia de $9.034,50. Rta: 19 %
31) Las 2/3 partes de un capital de $10.500 se colocaron durante 6 meses al
10 % anual, mientras que el resto de ese capital se colocó durante el mismo
lapso a una tasa de interés distinta. Si el interés producido por ambas partes
del capital inicial es $ 560, ¿Cuál es la tasa a la que se colocó la tercera parte
restante? Rta: 12% anual
.
32) Se tienen dos capitales de $ 10.000 y $ 15.000, respectivamente; el
primero se coloca durante 9 meses al 18 % anual, mientras que el segundo
se coloca durante medio año a una tasa de interés tal que, al final del plazo,
el interés ganado asciende en total a $2.850, ¿Cuál es la tasa de interés a la
que se colocó el segundo capital?. Rta: 20% anual
33) ¿ Cuanto tiempo debe permanecer depositado un capital de $30.000
colocado al 24% anual para ganar $8 400 de interés?. Rta: 14 meses
34) Calcule en cuanto tiempo $ 25.000 ganan $3.333,33 de interés si se
colocan al 20% anual. Rta: 8 meses
35) Calcule en cuanto tiempo $ 16.000 ganan $ 16.000 de interés si se
colocan al 24% anual. Rta: 4,16 Años = 4 años,1 mes y 28 días
36) ¿En cuanto tiempo $ 25.000, se incrementan en $7.800 si permanecen
colocados al 20 % anual. Rta: 1 año 6 meses 22 días
37) ¿En cuanto tiempo $47.000, colocados al 20% anual, ganan $ 5.000 de
intereses?. Rta: 6 meses 11 días
38) Una persona posee $27.000. Las 2/3 partes de ese capital consigue
colocarlas al 24 % anual durante 6 meses, mientras que el resto lo coloca al
20% anual durante un periodo de tiempo tal que, finalizado el mismo, se
obtiene una ganancia total de $3.510. ¿ Cuál es el tiempo de colocación del
tercio del capital inicial?. Rta: 9 meses
.
3.2. INTERES COMPUESTO
La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitalización de Intereses. La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada período y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo. Supongamos que una persona invierte $1.000.000 en un CDT a 4 meses, a una tasa del 0.9% mensual, con liquidación mensual de intereses. ¿Cuánto dinero recibirá la persona al cabo de los 4 meses cuando se haya madurado el CDT? El cálculo puede ilustrarse en la siguiente tabla:
Valor del CDT 1.000.000,00
Número total de períodos 4
Tasa de interés mensual 0,90%
Período Saldo Inicial Intereses Saldo Final
1 1.000.000,00 1.000.000 x 0,9% = 9.000 1.009.000,00
2 1.009.000,00 1.009.000 x 0,9% = 9.081 1.018.081,00
3 1.018.081,00 1.018.081 x 0,9% = 9.162,73 1.027.243,73
4 1.027.243,73 1.027.243,73 x 0,9% = 9.245,19 1.036.488,92 Observemos el procedimiento paso por paso para que tratemos de deducir una fórmula que nos permita calcular directamente el monto final. 0 1 2 3 n /__________/__________________/________________ / ______________/ VP VF1 = VP + I VF2 = VF1 + VF1 .i.n VF3 = VF2 + VF2 .i.n I VF1 = VP + VP . i .n VF2 = VF1. (1+ i) VF3 = VF2. (1+ i) VF1 = VP . (1 + i) VF2 = VP (1+i) . (1+i) VF3 = VP (1+i)2 . (1+i) VF2 = VP (1+ i)2 VF3 = VP (1+ i)3
Como se acumula período a período, la n va tomando el valor de uno, y los intereses de cada período se liquidan sobre el monto anterior. De acuerdo al anterior desarrollo, si continuamos y llegamos al periodo 15 el valor futuro es:
VF 15 = VP (1+ i) 15
Podemos concluir que a los n periodos el monto o valor futuro será: VF = VP (1 + i) n
EJEMPLO 9: Un capital de $36.000.000 estuvo invertido 3 años, al 28% anual compuesto. ¿Cuál fue su monto o valor futuro? DATOS: VP = $ 36.000.000 n= 3 años i= 28% 0,28 VF = ? Solución
Sabemos que
Reemplazamos en la fórmula. VF = $ 36.000.000 (1 + 0,28) 3
VF = $ 36.000.000 . 2,097152 VF = $ 75.497.472 Respuesta, un capital de $36.000.000 invertido hoy al 28% anual durante 3 años equivale a $75.497.472. EJEMPLO 10:
Una persona desea disponer de $3.000.000 dentro de dos años. ¿Cuánto debe invertir hoy para cumplir su objetivo, si la tasa de interés que le reconoce la entidad financiera es del 18% anual con capitalización mensual?
DATOS. VF = $ 3.000.0000 n = 2 años 24 meses i = 18% anual con capitalización mensual 18%/12 = 1.5% mensual
VF = VP (1+ i) n
Nota: recordemos que la tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar en la misma base. Cuando se habla de capitalización se esta indicando que los intereses se suman al capital de acuerdo al periodo de referencia. Ejemplo. Si decimos que se tiene una tasa de interés del 30% anual con capitalización bimestral, entonces los periodos de referencia son 6 bimestres puesto que seis corresponde a los bimestres que tiene un año. Solución al ejercicio Sabemos que Despejamos la fórmula, VP = VF / (1+ i) n
Entonces,
VP = $ 3.000.000 / (1 + 0.015) 24
VP = $ 3.000.000 / 1,429502812 VP = $ 2.098.631, 75 Respuesta, si una persona quiere disponer de $3.000.000 dentro de dos años a una tasa del 18% anual con capitalización mensual debe invertir hoy $2.098.631,75 EJEMPLO 11:
Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados y capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000. ¿Cual fue la tasa de interés que le reconocieron en esta inversión?
DATOS VP = $ 5.000.000 VF = $ 6.250.000 n= 1, 5 años = 18 meses i= ? Sabemos que: Despejamos de la fórmula, VF / VP = (1 + i)n
Para poder despejar el interés se saca raíz cuadrada de n a ambos lados.
n√VF/ VP = (1+i)
VF = VP (1+ i) n
VF = VP (1+ i) n
i= (n√VF/ VP ) – 1 i = ( 18√$6.250.000/ $ 5.000.000) – 1 i = 1.012474024 -1 i = 0,012474 = 1, 2474% mensuales. Respuesta, la tasa de interés que se reconoce en una inversión de $5.000.000 a un año y medio con periodos de capitalización mensuales, es de 1,2474% mensual. EJEMPLO 12: Una persona tomo prestado $10.000.000 a una tasa de interés del 2% mensual compuesto, y al final del crédito pagó $41.611.403, 75 ¿qué plazo le concedieron? DATOS: VP = $ 10.000.000 VF = $ 41.611.403,75 i= 2% mensual n = ? Sabemos que Despejamos la variable n, VF / VP = (1 + i) n
Por las propiedades de la potenciación, para despejar la n debemos utilizar los logaritmos, así. Log (VF/VP) = n log (1+i) n = log (VF/ VP) / log (1+ i) n = log ($41.611.403,75/ $10.000.000) /log ( 1+ 0,02) n = 72 meses = 6 años Respuesta, el tiempo que le concedieron en este crédito es de 72 meses equivalente a 6 años.
VF = VP (1+ i) n
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO
Fórmula 1 Monto o Valor Futuro VF = VP x (1 + i ) n
Fórmula 2 Valor Presente o Valor Actual VP = VF /( 1 + i ) n
Fórmula 3 Tasa de Interés i = ( VF / VP) 1/n – 1
Fórmula 4 Número de Periodos n = log (VF/VP)/log (1+i)
Formula 5 Interés compuesto I = VP ((1+i)n – 1)
Todas los ejemplos anteriores se pueden realizar utilizando Calculadora Financiera o las funciones financieras del Excel. Estas herramientas deben considerarse con un instrumento para facilitar los cálculos pues su manejo, más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el sentido de que la clave está en plantear adecuadamente el problema que se requiere resolver, para luego plasmarla en forma de instrucciones a la maquina o computador. Para conocer como se manejan las fórmulas en la calculadora financiera, se deja documento en la fotocopiadora de la Universidad. Para conocer como se maneja las funciones financieras en Excel, se hace una simulación con el desarrollo de los ejercicios de interés compuesto mencionados en este capitulo, con un video que usted encontrará en la página web, que se le enviará por correo posteriormente. Sin embargo, se explica a continuación las herramientas básicas de Excel y el manejo de la calculadora financiera.
G u í a 3 : M o n t o c o m p u e s t o
39) Calcular el monto que ha producido una inversión de $10.000 que ha
permanecido depositada durante 6 meses al 1% mensual de interés.
R: $10.615, 20
40) Calcular el monto obtenido a los 14 meses de haber depositado un capital
de $ 12.000 al 1,5 % mensual. R: $ 14.781,07
41) Un capital de $ 11.500 se colocó al 2,30 % mensual durante 17 meses ¿
Cuál es el monto final obtenido?. R: $16.927,14
42) Calcular el valor inicial de una inversión que, permaneciendo colocada
durante 8 meses al 1,5% mensual de interés, permitió retirar un capital final
o monto de $26.000. R: $ 23.080
43) ¿ Cuál es el capital que se ha colocado hace 14 meses al 2% mensual de
interés, si hoy pudo retirarse la suma final de $ 68.000? R: $51.535,50
44) Luego de 2 años y 3 meses de haber estado colocado un capital al 11%
semestral de interés, se pudo retirar un monto total de $ 22.500. Calcular el
valor del depósito inicial. R: $ 14.067,89
45) Calcular cuantos meses permaneció colocado un capital de $ 10.000 si,
ganando un 1,5% mensual de interés, produjo un monto total de $ 14.948.
R: 27 meses.
46) ¿ En cuántos meses $20.000 se transforman en $ 50.000, si se lo coloca al
3 % mensual. R: 31 meses
47) Calcular en cuántos meses un capital de $ 29.300 se transforma en un
monto de $ 48.800, colocado al 2,5% mensual. R: 20 meses y 19 días.
48) Calcular cuántos bimestres estuvo colocado un capital de $ 51.120, si ,al
3,5% bimestral , permitió retirar un monto de $ 72.700.
R: 20 meses y 14 días.
49) ¿ A qué tasa mensual de interés se colocó un capital de $ 20. 000, si, luego
de 27 meses, se transformó en un monto de $38.956?. R 2,5% mensual.
50) Calcular la tasa mensual a la cual se colocaron $ 40.000 durante 25 meses,
sabiendo que el monto total retirado fue de $ 65.624. R: 2% mensual
51) Durante 14 meses he colocado la suma de $ 22.500 a una tasa mensual tal
que al cabo del plazo de colocación, pude retirar un capital total de
$45.000. Calcular el valor de la tasa mensual. R: 5,071% mensual
52) Durante 11 meses coloqué $ 8.000 en una cuenta y, al momento de retirar
el total producido, el saldo final era equivalente al importe de la inversión
original aumentada en un 50%. Deseo saber a qué tasa mensual de interés
se realizó la operación.
R: 3,75% mensual
53) Realizamos una inversión de $ 20.000 al 5 % mensual durante 20 meses. A
los 15 meses del depósito la tasa de interés aumenta en un punto, pero a
los 10 meses de la inversión inicial se retiró una suma de dinero. Luego de
todo esto se pudo retirar al final la suma de $ 15000. ¿Cuál fue la suma de
dinero que se retiró a los 10 meses?. R: 23795,45
Ejerc C R t Mc Ic
54) 12.000 2,45% mensual 22 meses 20.346 8.346
55) 11.000 2,75% mensual 14 meses
56) 14.000 11% semestral 18 meses
57) 2,40% mensual 26 meses 18.800
58) 8% trimestral 2.5 años 78.000
59) 1,5% mensual 1 año y 7 m 12.000
60) 10.000 2% mensual 22.522
61) 10. 000 4% bimestral 9.479
62) 49.500 2,30 % mensual 84.600
63) 50.000 5,25% bimestral 50.000
64) 7,5% trimestral 67.000 15.000
65) 8.100 12% semestral 81.000
66) 10.000 ¿? trimestral 17 trimest. 37.000
67) 30.000 ¿? trimestral 19 trimest. 60.768
68) 26.000 ¿? mensual 14 meses 47.000
69) 45.000 ¿? mensual 21 meses 45.000
70) 88.800 ¿? bimestral 7 bimestres 124.600
71) 47.200 ¿? bimestral 14 bimestres 125.600
72) 12.000 12% semestral 8 años
73) 9% cuatrim 6 años y 8 m. 80.000
74) 27.700 11% semestral 56.500
75) 38.600 ¿? mensual 16 meses 68.800
G u í a 4 : T a s a s
Completar los espacios en blanco, Calculando los valores de tasas que
corresponden en cada caso:
Ejerc Tasa de interés
periódica Subperíodos
Tasa efectiva
periódica
Tasa equivalente
subperiódica a la
tasa i
76) 0,24 anual m = 12 ( meses)
77) 0,20 anual m = 4 (trimestres)
78) 0,12 anual m = 6 (bimestres)
79) 0,18 anual m = 2 ( semestres)
80) 0,15 anual m = 3(cuatrimestres)
81) 0,20 anual m = 4 (trimestres)
82) 0,18 anual m = 6 (bimestres)
83) 0,27 anual m = 3 (cuatrimestres)
84) 0,16 anual m = 4 ( trimestres)
85) Indicar, uniendo con flechas, cuáles tasas de interés de la primera columna se
corresponden con alguna tasa de la segunda columna, según el concepto de TASAS
EQUIVALENTES.
Tasa periódica Tasa subperiódica
24% anual, capitalizable bimestralmente; 3,923%
20% anual, capitalizable por trimestre; 1,96%
12% semestral, capitalizable mensualmente; 4,661%
8% cuatrimestral, capitalizable por bimestre; 1,9427%
6% trimestral, capitalizable mensualmente; 3,65%
4% bimestral, capitalizable mensualmente; 1,9804%
8% cuatrimestral, capitalizable mensualmente 1,9069%
86) Una entidad ofrece una tasa nominal del 17 %, calcular la tasa efectiva si la
capitalización se realiza con tasa proporcional: a) bimestral; b) semestral
87) Se realiza una inversión de $ 7.600 al 16 % anual, durante 3 años y medio,
hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal
anual; b) se trabaja con tasa proporcional cuatrimestral; c) se trabaja con
tasa efectiva; d) se trabaja con tasa equivalente cuatrimestral.
88) Sabiendo que la tasa nominal anual des del 24 %, hallar: a) la tasa
equivalente mensual; b) la tasa equivalente semestral.
89) Sabiendo que la tasa nominal anual es del 25 %, hallar: a) la tasa
equivalente trimestral; b) la tasa equivalente semestral.
90) Se realiza un depósito de $ 3.200 al 18 % anual durante 3 años, hallar el
total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b)
se trabaja con tasa proporcional trimestral; c) se trabaja con tasa efectiva; d)
se trabaja con tasa equivalente trimestral.
91) Se realiza una inversión de $ 6.200 al 17 % anual, durante 3 años, hallar el
total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b)
se trabaja con tasa equivalente bimestral; c) se trabaja con tasa proporcional
bimestral; d) se trabaja con tasa efectiva anual.
92) Dada una tasa nominal anual del 16 %, calcular la tasa anual efectiva si la
capitalización se realiza con tasa proporcional: a) trimestral; b) mensual.
93) Sabiendo que la tasa nominal anual es del 16 %, hallar: a) la tasa
equivalente trimestral; b) la tasa equivalente cuatrimestral.
Respuestas:
120) a) i’= 0,18251 b) i’= 0,17723
121) a) Mc= $12776,64
b) Mc= $13114,59
c) i’= 0,16869 Mc= $13.114,79
d) i(3) = 0,05072 Mc= $12.776,95
122) a) i(12) = 0,01809 b) i(2) = 0,11355 123) a) i(4) = 0,05737 b) i(2) =
0,11803
124) a) Mc= $ 5257,70
b) Mc= $ 5426,82
c) i’= 0,19252 Mc= $ 5426,84
d) i(4) = 0,04225 Mc= $ 5257,91
125) a) Mc= $ 9930
b) i(6) 0,02651 Mc= $ 9929,54
c) Mc= $ 10251,85
d) i’= 0,18251 Mc= $ 10251,94
126) a) i’= 0,16986 b) i’= 0,17227 127) a) i(4) = 0,0378 b) i(3) = 0,05072
G u í a 5 : M á s E j e r c i c i o s s o b r e t a s a s
94) Sabiendo que la tasa nominal es del 19 %, hallar:
a) la tasa equivalente mensual; b) la tasa equivalente trimestral.
95) Sabiendo que la tasa proporcional trimestral es del 5 %, hallar la tasa
efectiva anual.
96) Se realiza una inversión de $ 3.400 al 15 % anual, durante 2 años y medio,
hallar el total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal
anual; b) se trabaja con tasa proporcional cuatrimestral; c) se trabaja con
tasa efectiva anual. d) se trabaja con tasa equivalente cuatrimestral;
97) Una entidad ofrece una tasa nominal anual del 21 %, calcular la tasa
efectiva si la capitalización se realiza: a) trimestral; b) semestral.
98) Se realiza un depósito al 15 % anual, durante 5 años, obteniendo un monto
de $ 9.800, calcular el valor de la inversión efectuada si: a) se trabaja con
tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa proporcional trimestral; c) se
trabaja con tasa efectiva anual. d) se trabaja con tasa equivalente trimestral.
99) Dada una tasa nominal anual del 25 %, hallar:
a) tasa equivalente trimestral; b) la tasa equivalente semestral.
100) Dada una tasa nominal anual del 27 %, calcular la tasa efectiva anual si la
capitalización se realiza con tasa proporcional:
a) cuatrimestral; b) mensual.
101) Se realiza una inversión de $ 8.500 al 21 % anual, durante 3 años, hallar el
total retirado luego de ese tiempo si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b)
se trabaja con tasa equivalente bimestral; c) se trabaja con tasa proporcional
bimestral d) se trabaja con tasa efectiva anual.
102) Sabiendo que la tasa nominal es del 23 %, hallar:
a) la tasa equivalente semestral; b) la tasa equivalente cuatrimestral.
103) Si depositamos una suma de dinero por el tiempo de 4 años, al 25 % anual
y deseamos obtener un monto de $ 8.700, calcular el valor de la inversión
efectuada, si: a) se trabaja con tasa nominal anual; b) se trabaja con tasa
equivalente bimestral.; c) se trabaja con tasa proporcional bimestral d) se
trabaja con tasa efectiva anual.
Respuestas:
128) a) i12= 0,0146; b) i4= 0,044448 129) i’ = 0,21551
130)
131) a) i’= 0,22712 b) i’= 0,22103 132) a) C= $ 4872,33 b) C= $ 4693,14 c) i’= 0,15865
C = $ 4693,15 d) i4 = 0,03556 C = $ 4872,15 133) a) i4 = 0,05737 b) i2 = 0,11803 134)
a) i’= 0,29503 b) i’= 0,30605 135) a) Mc= $ 15058,29 b) i6 = 0,03228 Mc= $ 15058,24
c) Mc= $ 15788,66 d) i’= 0,22926 Mc= $ 15788,84 136) a) i2= 0,10905; b) i3= 0,07144
137) a) C = $ 3563,52 b) i6 = 0,03789 C = $ 3563,59 c) = $ 3266,09 d) i’= 0,27753 C =
$ 3266,14
G u í a 6 : D e s c u e n t o S i m p l e
Descuento comercial
Año comercial
104) Calcular el descuento operado sobre un valor futuro de $ 1.000, efectuado al 2 %
mensual, 5 meses antes de su disponibilidad. Rta: $ 100
105) Un documento de $ 800, que fue firmado con un vencimiento que operará dentro
de 5 meses, se descontó hoy al 4 % bimestral. Se desea conocer el valor del
descuento. Rta: $ 80
106) Un documento de $ 1.000, que vence dentro de 4 meses y medio, se ha
descontado hoy al 2 % mensual. Calcular el valor del descuento. Rta: $ 90
107) Por un documento, que desconté hoy, me cobraron un interés total de $ 70,40
(descuento operado). Sabiendo que el vencimiento se produce dentro de 6 meses y
que la tasa mensual es del 2 %, deseo conocer el valor por el cual el documento fue
originariamente firmado. Rta: $ 586,66
108) Por un documento, que vence dentro de 8 meses, me descontaron hoy $ 151,20,
tomando una tasa bimestral del 4,5 %. ¿Por cuánto ha sido firmado el documento?.
Rta: $ 840
109) ¿A qué tasa mensual se descontó un documento de $ 1.500 si 7 meses antes de
vencer sufrió un descuento de $ 262,50?. Rta: 2,5 %
110) Un documento de $ 700 se descontó 5 meses y medio antes de vencer en una
entidad que aplicó un descuento de $ 115,50. Se desea conocer la tasa mensual a
la que se efectuó la operación. Rta: 3 %
111) ¿Cuántos bimestres antes de vencer se descontó un documento de $ 900 por el
cual se han descontado $ 162 con una tasa bimestral del 4,5 %?. Rta: 4 bimestres
112) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ 1.200 si al
aplicarle un 2 % mensual el importe total del descuento realizado fue de $ 108?
Rta: 4 meses y medio
113) Calcular cuánto se recibe al descontar 2 meses antes de vencer un documento de
$ 3.800. La tasa mensual aplicada es del 2 %. Rta: $ 3.648
114) Un documento se descontó 3 meses antes de vencer al 2 % mensual de interés.
Sabiendo que se ha recibido la suma de $ 3.280, se desea calcular el importe por el
cual se ha firmado la deuda documentada. Rta: $ 3.489,36
115) Un documento de $ 1.400 se descontó 3 meses antes de vencer, recibiendo por
el descuento operado un valor actual de $1.232. Calcular la tasa de interés mensual
a la cual se efectuó el descuento. Rta: 4 %
116) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ 800 si, al
aplicársele el 5,5 % mensual, se recibió la suma de $ 624 en concepto de valor
actual. Rta: 4 meses
Año exacto
117) Calcular el descuento operado sobre un cheque que se extendió a 45 días de
plazo, si se procedió a descontarlo al 32,5 % anual de interés. El importe del cheque
es de $ 5.300. Rta: $ 212,36
118) Por un documento que vence dentro de 21 días me han descontado en concepto
de intereses la suma de $ 70,89. Calcular el importe por el cual se firmó el
documentos. Rta: $ 4.400
119) ¿A qué tasa anual de interés se descontó un documento de $ 5.300, que vence
dentro de 40 días, si el importe de intereses descontados fue de $ 151?. Rta: 26 %
120) Calcular cuántos días antes de vencer se descontó un documentos de $ 4.300,
sabiendo que se le aplicó el 22,5 % anual de interés y que la suma total de intereses
descontados ascendió a $ 111,33. Rta: 42 días
121) Una deuda de $ 2.250 se documentó a 15 días de plazo. ¿Cuánto se recibe hoy,
si el documento se lo descuenta al 38,5 % anual. Rta: $ 2.214,40
122) Por haber descontado un documento 30 días antes de vencer con una tasa anual
del 26 %, se ha recibido la suma de $ 5.088,90 como valor actual. Calcular el valor
nominal del documento firmado. Rta: 5.200
123) Un documento de $ 3.521 se descontó 23 días antes de vencer, recibiendo un
valor actual de $3.372,82. Calcular la tasa de interés anual a la cual se efectuó el
descuento. Rta: 48 %
124) Se ha recibido la suma de $ 4.253,57, por haber descontado al 30 % anual un
documento que se ha firmado por valor de $ 4.320. Se desea saber cuántos días
antes de vencer se ha realizado la operación. Rta: 19 días
Descuento racional
Completar los espacios en blanco, aplicando los conceptos de “Descuento racional”.
Resolver los ejercicios.
Ejerc Vr R t Dr
Año com Año ex
125) 3.500 2,5 % mensual 2 meses 175
126) 3.800 2,25 % mensual 3 meses
127) 4.100 26 % anual 40 días 116,82
128) 3.900 25 % anual 50 días
129) 28 % anual 35 días 107,40
130) 3.700 ¿...? anual 45 días 120,25
131) 4.000 30 % anual ¿...? días 147,95
132) 4.200 28 % anual ¿...? días 112,77
Año comercial 133) Un documento de $ 2.180, que vence dentro de 3 meses, se ha descontado al 3
% mensual. Calcular el valor actual. Rta: $ 2.000
134) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $ 3.052 si, 3 meses
antes de vencer, permitió obtener un valor actual $ 2.800 Rta: 3 %
135) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $ 3.052 si, 3 meses
antes de vencer, permitió obtener un valor actual $ 2.800 Rta: 3 %
136) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documentos de $ 3.960, si, al
2,5 % mensual, permitió obtener un valor actual de $ 3.600?. Rta: 4 meses
Año exacto
137) Un documento de $ 3358,77 se descontó 25 días antes de vencer al 26 % anual
de interés. Calcular el valor percibido luego de descontarlo. Rta: $ 3.300
138) He recibido en mano $ 4.000 por haber descontado un documento 42 días
antes de vencer, al aplicar una tasa anual de interés del 26 %. ¿Cuál es el valor
nominal por el cual el documento se extendió? Rta: $ 4119.68
139) Por descontar un documento 60 días antes de vencer con una tasa anual del 25
%, he recibido un valor actual de $ 5.100. Calcular el valor nominal del documento.
Rta: $ 5.309,59
140) ¿A qué tasa anual de interés se descontó un documento de $ 3.872,88, si, 25
días antes de vencer, hizo percibir un valor actual de $ 3.800. Rta: 28 %
141) Una deuda de $4.138,10 se documentó al 28 % anual. Al descontarlo, se
percibió un valor actual de $ 4.000. Se desea saber cuántos días antes de vencer se
ha negociado ese documento. Rta: 45 días
142) Calcular el valor por el cual se firmó una deuda, si 8 meses antes de vencer, al
descontarse al 4 % mensual, permitió obtener un descuento de $ 370
143) Por un documento que vence dentro de 10 meses se descontaron hoy $ 162,
tomando una tasa trimestral de 5 %. ¿Por cuánto se ha firmado el documento? .
144) Por un documento que vence dentro de 6 meses, se descontaron hoy $ 245, con
una tasa bimestral de 8 %. ¿Por cuánto se firmó el documento? .
145) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $ 1.980, si, al
2,5 % mensual, permitió obtener un valor actual de $ 1.800?.
Más de Descuento comercial
146) Por un documento, que se descontó 68 días antes de vencer al 32 % anual de
interés, se ha recibido la suma de $ 6.372. Calcular el importe por el cual se firmó
dicho documento (Descuento comercial, año exacto).
147) Por un documento, que se descontó 52 días antes de vencer al 35 % anual de
interés, se ha recibido la suma de $ 2.124. Calcular el valor del descuento
efectuado (Descuento comercial, año exacto).
148) ¿A qué tasa anual se descontó un documento de $ 10.600, que vence dentro de
40 días, si el importe descontado fue $ 302?. (Desc comercial año exacto).
G u í a N º 8 : D e s c u e n t o C o m p u e s t o
Con tasa d
E
j N V’ t d D’
183) 6600 4777,74 16 meses 0,02 mensual
184) 5700 3036,73 23 meses 0,027 mensual
185) 6000 3785,78 1 año 8 m 0,045 bimestral
186) 10000 4876,75 14 meses 0,05 mensual
187) 15000 7455 1 año 0,0566 mensual
188) 7427,50 5600 1 año 3 m 0,07 trimestral
189) 8324,60 5500 1 año 6 m 0,045 bimestral
190) 15412 6000 13 meses 0,07 mensual
191) 7600 ¿? 0,0275 mens 1600
192) 5800 4700 ¿? 0,055 bimest
193) 30000 19 meses ¿? mensual 60768
194) 6400 14 meses ¿? mensual 1100
Con tasa i
Ej N V t i D
195) 13801 10000 1,5 0,24
196) 10982,29 8000 16 meses 0,02 mensual
197) 12277,23 7500 1 año 9 m 0,06 trimestral
198) 7600 5586,23 1 año 4 m 0,08 cuatrim
199) 5700 4406,29 13 meses 0,02 mensual
200) 5100 10 m 20 d 0,02 mensual 1200
201) 7600 8 m 21 d 0,0275 mens 1600
202) 5800 4700 7 m 24 d 0,055 bimest
203) 30000 19 meses 0,06 mensual 60768
204) 6400 14 meses 0,0136 mensual 1100
G u í a 9 : M á s s o b r e I n t e r é s S i m p l e
205) Realizamos dos depósitos de $ 4.300 y $ 5.200, el primero permanece
depositado 8 meses al 5 % bimestral, ¿Durante cuánto tiempo deberá
permanecer depositado el segundo, con una tasa del 7 % cuatrimestral para
producir el mismo interés simple?.
206) Realizamos una inversión de $ 3.200 al 14 % anual y luego de 1 año y 9
meses retiramos el total del dinero y lo depositamos en otra entidad que
trabaja con una tasa del 3% bimestral, obteniendo una ganancia de $ 750.
¿Durante cuánto tiempo permaneció el segundo depósito?.
207) Poseemos un capital de $ 5750 y con el mismo realizamos dos
inversiones. 2/5 partes del total del dinero se depositan al 2 % mensual durante
6 meses y el resto se deposita por el lapso de 8 meses, obteniendo un interés
total de $ 560. ¿A qué tasa de interés bimestral fue realizado el segundo
depósito?.
208) Realizamos un depósito de $ 8.400 al 5 % trimestral durante 8 meses y
luego retiramos el total y lo depositamos durante 7 meses al 22 % anual.
Calcular el total retirado en el segundo depósito
209) Realizamos un depósito de $ 4.300, durante 5 meses, en un banco que
ofrece un 3 % de interés mensual. Al cabo de ese tiempo retiramos el total del
dinero y lo depositamos en una entidad que ofrece el 7 % bimestral, durante 9
meses. ¿Cuál es el total de dinero que retiramos luego de los dos depósitos?.
210) Se realiza un depósito de $ 4.500, al 15 % anual durante 1 año y medio.
¿A qué tasa de interés trimestral se deberá depositar la misma suma de dinero
para que produzca el mismo interés en 1 año?.
211) ¿Cuánto tiempo debe permanecer depositada una suma de $ 3.200, al 8
% trimestral, para que produzca el mismo interés que $ 4.000 al 5 % bimestral
durante 7 meses?.
212) ¿Qué suma de dinero se deberá depositar durante 7 meses al 2 %
mensual de interés para que produzca el mismo interés simple que $ 3.600 al 5
% trimestral durante 8 meses?.