mir - lml - shilov g. e. - calculus of rational functions - 1982

7/29/2019 MIR - LML - Shilov G. E. - Calculus of Rational Functions - 1982

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~ J 1 1 1 m R

. . u


3/55

L I T T L E M A T H E M A T I C S L I B R A R Y

G . E . S h i l o vC A L C U L U SO F R A T I O N A LF U N C T I O N S

T r a n s l a t e d f r o m t h e R u s s i a nb yV . I . K i s i n

M I R P U B L I S H E R SM O S C O W


4/55

F i r s t p u b l i s h e d 1 9 7 6S e c o n d p r i n t i n g 1 9 8 2

H a a K 2 A U ( c 1 O J f A 3 A N em E n g l i s h t r a n s l a t i o n , M i r P u b l i s h e r s , 1 9 8 2


5/55

C o n t e n t sF o r e w o r d 61 . G r a p h s 72 . D e r i v a t i v e s 2 43 . I n t e g r a l s 3 74 . S o l u t i o n s t o P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . 4 8


6/55

F o r e w o r d

T h e c o n c e p t s o f d e r i v a t i v e a n d i n t e g r a l a r e b a s i c f o r t h ec a l c u l u s . T h e y a r e n o t e l e m e n t a r y ; i n a n y s y s t e m a t i c t e x t -b o o k o n c a l c u l u s t h e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e c o n c e p t s i s p r e c e -d e d b y t h e t h e o r y o f r e a l n u m b e r s , t h e t h e o r y o f l i m i t s , a n dt h e t h e o r y o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . T h i s p r e l i m i n a r y p r o c e -d u r e i s n e c e s s a r y t o f o r m u l a t e t h e c o n c e p t s o f d e r i v a t i v e a n di n t e g r a l i n s u f f i c i e n t l y u n i v e r s a l f o r m , t o b e a p p l i e d t o t h ew i d e s t p o s s i b l e c l a s s o f f u n c t i o n s . I f , h o w e v e r , w e r e s t r i c to u r s e l v e s t o a c o m p a r a t i v e l y n a r r o w c l a s s o f r a t i o n a l f u n c -t i o n s a n d u t i l i z e t h e i l l u s t r a t i v e l a n g u a g e o f g r a p h s , w e c a np r e s e n t t h e c o n c e p t s o f d e r i v a t i v e a n d i n t e g r a l i n a f e wp a g e s , s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e l y a n d a t t h e s a m e t i m e p i t h i l y .A n d t h i s i s t h e p u r p o s e o f t h e p a m p h l e t i n t e n d e d f o r a w i d ec i r c l e o f r e a d e r s ; t h e k n o w l e d g e o f s e c o n d a r y s c h o o l s t u d e n t si s s u f f i c i e n t t o i n s u r e u n d e r s t a n d i n g o f e v e r y t h i n g t h a t w i l lb e d i s c u s s e d .


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1 . G r a p h sT h o u g h w e a s s u m e t h a t t h e r e a d e r i s c o n v e r s a n t

w i t h g r a p h s , w e s h a l l a n y w a y r e m i n d t h e b a s i c p o i n t s .L e t u s d r a w t w o m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r s t r a i g h t l i n e s ,o n e h o r i z o n t a l a n d o n e v e r t i c a l , a n d d e n o t e b y 0 t h e i ri n t e r s e c t i o n p o i n t . T h e h o r i z o n t a l l i n e w i l l b e r e f e r r e d t o a st h e a x i s o f a b s c i s s a s a n d t h e v e r t i c a l l i n e - a s t h e a x i s o f o r d i -n a t e s . T h e p o i n t 0 d i v i d e s e a c h l i n e i n t o t w o s e m i - a x e s ,a p o s i t i v e a n d a n e g a t i v e o n e ; t h e r i g h t - h a n d s e m i - a x i s o fa b s c i s s a s a n d t h e u p p e r s e m i - a x i s o f o r d i n a t e s a r e c a l l e dp o s i t i v e , w h i l e t h e l e f t - h a n d s e m i - a x i s o f a b s c i s s a s a n d t h el o w e r s e m i - a x i s o f o r d i n a t e s a r e c a l l e d n e g a t i v e . W e m a r kt h e p o s i t i v e s e m i - a x e s b y a r r o w s . N o w t h e p o s i t i o n o f e a c hp o i n t M o n t h e p l a n e c a n b e d e f i n e d b y a p a i r o f n u m b e r s .T o d o t h i s w e d r o p p e r p e n d i c u l a r s f r o m t h e p o i n t M o n t oe a c h o f t h e a x e s ; t h e p e r p e n d i c u l a r s w i l l c u t o n t h e a x e s t h es e g m e n t s O A a n d O B ( F i g . 1 ) . T h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t O A ,t a k e n w i t h t h e s i g n " + " i f A i s l o c a t e d o n t h e p o s i t i v e s e m i -

a x i s a n d w i t h t h e s i g n " - " i f i t l i e s o n t h e n e g a t i v e s e m i -a x i s , w i l l b e c a l l e d t h e a b s c i s s a o f t h e p o i n t M a n d w i l l b ed e n o t e d b y x . S i m i l a r l y , t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t O B ( w i t ht h e s a m e r u l e o f s i g n s ) w i l l b e c a l l e d t h e o r d i n a t e o f t h ep o i n t M a n d d e n o t e d b y y . T h e n u m b e r s , x a n d y , a r e c a l l e dt h e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t M . E a c h p o i n t o n t h e p l a n e i sd e t e r m i n e d b y c o o r d i n a t e s . P o i n t s o f t h e a b s c i s s a a x i s h a v et h e o r d i n a t e e q u a l t o z e r o , w h i l e t h e p o i n t s o f t h e o r d i n a t ea x i s h a v e z e r o a b s c i s s a . T h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s 0 . ( t h ep o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f a x e s ) h a s b o t h c o o r d i n a t e s e q u a l t oz e r o . C o n v e r s e l y , i f t w o a r b i t r a r y n u m b e r s x a n d y o f a n ys i g n s a r e g i v e n , w e c a n a l w a y s p l o t , a n d t h i s i s v e r y i m p o r -

- - - - - - - - - I Ml y

x0 AF i g . I

7


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t a r t , e x a c t l y a u n i q u e p o i n t M w i t h t h e a b s c i s s a x a n d t h eo r d i n a t e y ; t o a c h i e v e t h i s w e h a v e t o l a y o f f t h e s e g m e n tO A x o n t h e a b s c i s s a a x i s a n d t o e r e c t a p e r p e n d i c u l a rA M = y ( s i g n s b e i n g t a k e n i n t o a c c o u n t ) ; t h e p o i n t M w i l lb e t h e o n e s o u g h t f o r .L e t t h e r u l e b e g i v e n w h i c h i n d i c a t e s t h e o p e r a t i o n s t h a ts h o u l d b e p e r f o r m e d o v e r t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ( d e n o t e db y x ) t o o b t a i n t h e v a l u e o f t h e q u a n t i t y o f i n t e r e s t ( d e n o -t e d b y y ) .E a c h s u c h r u l e d e f i n e s , i n t h e l a n g u a g e u s e d b y m a t h e m a -t i c i a n s , t h e q u a n t i t y y a s f u n c t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x .I t c a n b e s a i d t h a t a g i v e n f u n c t i o n i s j u s t t h a t s p e c i f i c r u l e

b y w h i c h t h e v a l u e s o f y a r e o b t a i n e d f r o m t h e v a l u e s o f x .F o r i n s t a n c e , t h e f o r m u l a

i n d i c a t e s t h a t t o o b t a i n t h e v a l u e s o f y w e h a v e t o s q u a r et h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x , a d d i t t o u n i t y a n d t h e n d i v i d eu n i t y b y t h e o b t a i n e d r e s u l t . I f x t a k e s o n s o m e n u m e r i c a lv a l u e x o t h e n b y v i r t u e o f o u r f o r m u l a y t a k e s o n a c e r t a i nv a l u e y o . T h e v a l u e s x o a n d y o d e f i n e a p o i n t M . i n t h e p l a n en + J 2 P ' b 1 T 2 . % . W ' - , A n . + J J ) . T , , b , g g n A t i e r _ l n v n s x , Ya n d c a l c u l a t e b y t h e f o r m u l a t h e n e w v a l u e y l ; t h e p a i ro f n u m b e r s x 1 , y 1 d e f i n e s a n e w p o i n t M l o n t h e p l a n e . T h eg e o m e t r i c l o c u s o f a l l p o i n t s o f t h e p l a n e , w h o s e o r d i n a t e sa r e r e l a t e d t o a b s c i s s a s b y t h e g i v e n f o r m u l a , i s c a l l e d t h eg r a p h o f t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n .G e n e r a l l y s p e a k i n g , t h e s e t o f g r a p h p o i n t s i s i n f i n i t e s ot h a t w e c a n n o t h o p e t o p l o t a l l o f t h e m w i t h o u t e x c e p t i o n b yu s i n g t h e f o r e g o i n g r u l e . B u t w e s h a l l n o t h a v e t o d o t h a t .I n m o s t c a s e s a c e r t a i n m o d e r a t e n u m b e r o f p o i n t s i s s u f f i -c i e n t f o r u s t o b e a b l e t o r e a l i z e t h e g e n e r a l s h a p e o f t h eg r a p h .T h e m e t h o d o f p l o t t i n g a g r a p h " p o i n t - b y - p o i n t " c o n s i s t sj u s t i n p l o t t i n g a c e r t a i n n u m b e r o f g r a p h p o i n t sa n d i n j o i n i n g t h e s e p o i n t s b y a s s m o o t h a c u r v e a sp o s s i b l e .A s a n e x a m p l e w e s h a l l c o n s i d e r t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n

11 + Z 2 ( 1 )


9/55

F i g . 2

F i g . 3

L e t u s c o m p i l e t h e f o l l o w i n g t a b l ex

i0 I 1 I 2 3 - 1 - 2 - 3

Ul

1 1 / 2 1 / 5 1 / 1 0 1 / 2 1 / 5 4 / 1 0

T h e f i r s t l i n e l i s t s t h e v a l u e s o f x = 0 , 1 , 2 , 3 , - 1 , - 2 , - 3 .A s a r u l e , i n t e g r a l v a l u e s o f x a r e m o r e u s e f u l f o r c a l c u l a -t i o n s . T h e s e c o n d l i n e l i s t s t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f yc a l c u l a t e d b y f o r m u l a ( 1 ) . P l o t t i n g t h e c o r r e s p o n d i n gp o i n t s o n t h e p l a n e ( F i g . 2 ) a n d c o n n e c t i n g t h e m b y a s m o o t hc u r v e , w e o b t a i n t h e g r a p h ( F i g . 3 ) .T h e r u l e o f p l o t t i n g a g r a p h " p o i n t - b y - p o i n t " i s , a s w eh a v e s e e n , e x t r e m e l y s i m p l e a n d r e q u i r e s n o " s c i e n c e " .N e v e r t h e l e s s , i t m a y b e f o r t h i s v e r y r e a s o n t h a t b l i n da d h e r i n g t o t h i s " p o i n t - b y - p o i n t " r u l e m a y b e f r a u g h t w i t hs e r i o u s e r r o r s .

9


10/55

Y

0 0

F i g . 4

F i g . 5

L e t u s p l o t " p o i n t - b y - p o i n t " t h e c u r v e s p e c i f i e d b y t h ee q u a t i o n1Y = ( 3 x 2 - 1 ) 2 ( 2 )

T h e t a b l e o f x a n d y v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o t h i s e q u a t i o ni s a s f o l l o w s

x 0 1 2 1 3 - 1 - 21

- 3Y 1 1 / 4 1 / 1 2 1 1 1 / 6 7 6 1 / 4 1 / 1 2 1 1 1 / 6 7 6

T h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e p l a n e a r e p l o t t e d i nF i g . 4 w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o F i g . 2 . C o n n e c t i n g t h e p l o t t e dp o i n t s w i t h a s m o o t h c u r v e w e o b t a i n t h e g r a p h ( F i g . 5 ) .I t m a y s e e m t h a t w e c o u l d p u t t h e p e n a w a y a n d f e e l s a t i s -f i e d : t h e a r t o f p l o t t i n g g r a p h s h a s b e e n g r a s p e d ! B u t f o r t h es a k e o f a t e s t l e t u s c a l c u l a t e y f o r s o m e i n t e r m e d i a t e v a l u eo f x , f o r e x a m p l e , f o r x = 0 . 5 . A f t e r p e r f o r m i n g t h e c a l c u l a -t i o n s , w e o b t a i n a n u n e x p e c t e d r e s u l t : y = 1 6 . T h i s i s i A1 0


11/55

F i g . 6 F i g . 7

s t r i k i n g d i s a g r e e m e n t w i t h o u r g r a p h . A n d w e c a n n o t g u a -r a n t e e t h a t c a l c u l a t i o n o f y f o r o t h e r i n t e r m e d i a t e v a l u e so f x - a n d t h e i r n u m b e r i s i n f i n i t e - w i l l n o t p r o d u c e e v e ng r e a t e r d i s c r e p a n c i e s . U n f o r t u n a t e l y , t h e m e t h o d o f t r a c i n gt h e g r a p h " p o i n t - b y - p o i n t " p r o v e s r a t h e r u n r e l i a b l e .W e s h a l l d i s c u s s b e l o w a n o t h e r m e t h o d o f g r a p h p l o t t i n gw h i c h i s m o r e r e l i a b l e i n t h e s e n s e o f s a f e g u a r d i n g u s f r o ms u r p r i s e s s i m i l a r t o o n e w e h a v e e n c o u n t e r e d a b o v e . U s i n gt h i s m e t h o d w e s h a l l b e a b l e t o p l o t t h e c o r r e c t g r a p h o fE q . ( 2 ) . I n t h i s m e t h o d - l e t u s t e r m i t , f o r i n s t a n c e , " b ys u c c e s s i v e o p e r a t i o n s " - w e h a v e t o p e r f o r m d i r e c t l y i n t h eg r a p h a l l t h e o p e r a t i o n s w h i c h a r e w r i t t e n d o w n i n a g i v e n

f o r m u l a , v i z . a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n , d i v i -s i o n , e t c .L e t u s c o n s i d e r a f e w s i m p l e s t e x a m p l e s . W e s h a l l p l o ta g r a p h c o r r e s p o n d i n g t o t h e e q u a t i o ny = x ( 3 )

T h i s e q u a t i o n e x p r e s s e s t h a t a l l p o i n t s o f t h e c u r v e o f i n t e -r e s t h a v e e q u a l a b s c i s s a s a n d o r d i n a t e s . T h e l o c u s o f t h ep o i n t s f o r w h i c h o r d i n a t e s a r e e q u a l t o a b s c i s s a s i s t h eb i s e c t r i x o f t h e a n g l e b e t w e e n p o s i t i v e s e m i - a x e s a n d o f t h ea n g l e b e t w e e n n e g a t i v e s e m i - a x e s ( F i g . 6 ) .T h e g r a p h c o r r e s p o n d i n g t o t h e e q u a t i o n y = k x w i t ha c o e f f i c i e n t k i s o b t a i n e d f r o m t h e f o r e g o i n g g r a p h b ym u l t i p l y i n g e a c h o r d i n a t e b y t h e s a m e n u m b e r k . L e t u s s e t ,f o r e x a m p l e , k = 2 ; e a c h o r d i n a t e o f t h e f o r e g o i n g g r a p h1 1


12/55

Y

b

0 - x

0 x 0F i g . 8 F i g . 9

: x

m u s t b e d o u b l e d , s o t h a t a s a r e s u l t w e o b t a i n a s t r a i g h tl i n e r i s i n g m o r e s t e e p l y ( F i g . . 7 ) . W i t h e a c h r i g h t w a r d s t e pa l o n g t h e x - a x i s t h e l i n e r i s e s t w o s t e p s u p a l o n g t h e y - a x i s .B y t h e w a y , t h i s e n a b l e s u s t o p e r f o r m r e a d i l y t h e p l o t t i n go n s q u a r e d p a p e r . I n t h e g e n e r a l c a s e o f t h e e q u a t i o ny = k x w i t h a n a r b i t r a r y k a s t r a i g h t l i n e i s o b t a i n e d . I fk > 0 , t h e n w i t h e a c h r i g h t w a r d s t e p t h e l i n e w i l l r i s e ks t e p s u p a l o n g t h e y - a x i s . I f k < 0 , t h e l i n e w i l l d e s c e n d .C o n s i d e r t h e f o r m u l a y = k x + b ( 4 )T o p l o t t h e c o r r e s p o n d i n g g r a p h w e h a v e t o a d d t o e a c ho r d i n a t e o f t h e a l r e a d y k n o w n l i n e t h e s a m e n u m b e r b . T h i sw i l l s h i f t t h e s t r a i g h t l i n e y = k x a s a w h o l e u p w a r d i nt h e p l a n e b y b u n i t s ( f o r b > 0 ; i f b < 0 t h e o r i g i n a l c u r v ew i l l n a t u r a l l y b e s h i f t e d d o w n w a r d ) . A s a r e s u l t w e s h a l lo b t a i n a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o t h e o r i g i n a l o n e ; i t d o e sn o t p a s s a n y m o r e t h r o u g h t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s b u tc u t s o n t h e o r d i n a t e a x i s t h e s e g m e n t b ( F i g . 8 ) .T h e n u m b e r k i s c a l l e d t h e s l o p e o f a s t r a i g h t l i n e y == k x + b ; w e a l r e a d y m e n t i o n e d t h a t t h i s n u m b e r k s h o w sb y w h a t n u m b e r o f s t e p s t h e s t r a i g h t l i n e m o v e s u p w a r d p e re a c h r i g h t w a r d s t e p . I n o t h e r w o r d s , k i s t h e t a n g e n t o ft h e a n g l e b e t w e e n t h e d i r e c t i o n o f t h e x - a x i s a n d t h e s t r a i g h tl i n e y = k x + b .T h e e q u a t i o n y = k ( x - x 0 ) ` I - y o ( 4 ' )c o r r e s p o n d s t o t h e s t r a i g h t l i n e w i t h t h e s l o p e k ; i t p a s s e st h r o u g h t h e p o i n t ( x o , y o ) ( F i g . 9 ) , s i n c e s e t t i n g x = x og i v e s y = y o .

1 2


13/55

4

Y IC o

A0F i g . 1 0

o B

0

F i g . 1 1

A

T h u s , t h e g r a p h o f a n y f i r s t - d e g r e e p o l y n o m i a l i n x i sa s t r a i g h t l i n e w h i c h i s p l o t t e d a c c o r d i n g t o t h e a f o r e s a i dr u l e s . L e t u s p a s s o v e r t o t h e s e c o n d - d e g r e e p o l y n o m i a l s .C o n s i d e r t h e f o r m u l ay = x 2 ( 5 )

I t c a n b e p r e s e n t e d i n t h e f o r my = y 1 , w h e r e y 1 = x

I n o t h e r w o r d s , t h e r e q u i r e d g r a p h w i l l b e o b t a i n e d i f e a c ho r d i n a t e o f t h e a l r e a d y k n o w n l i n e y = x i s s q u a r e d . L e tu s f i n d o u t w h a t t h i s s h o u l d p r o d u c e .S i n c e 0 2 = 0 , 1 2 = 1 , ( - 1 ) 2 = 1 , w e o b t a i n t h r e e r e f e -r e n c e p o i n t s A , B , C ( F i g . 1 0 ) . I f x > 1 , t h e n x 2 > x ; t h e r e -f o r e t o t h e r i g h t o f t h e p o i n t B t h e c u r v e w i l l b e a b o v e t h eb i s e c t r i x o f t h e q u a d r a n t a n g l e ( F i g . 1 1 ) . I f 0 < x < 1 ,t h e n 0 < x 2 < x ; t h e r e f o r e t h e c u r v e b e t w e e n t h e p o i n t s Aa n d B w i l l b e u n d e r t h e b i s e c t r i x . M o r e o v e r , w e s t a t e t h a t ,

a s i t a p p r o a c h e s t h e p o i n t A , t h e c u r v e w i l l o u t e r a n a n g l eh o u n d e d a b o v e b y t h e l i n e y = k x ( h o w e v e r s m a l l k ) a n db e l o w b y t h e x - a x i s ; i n d e e d , t h e i n e q u a l i t y x 2 < k x i ss a t i s f i e d f o r a l l x < k . T h i s f a c t m e a n s t h a t t h e s o u g h t - f o rc u r v e i s t a n g e n t t o t h e a b s c i s s a a x i s a t t h e p o i n t 0 ( F i g . 1 2 ) .L e t u s m o v e n o w l e f t w a r d a l o n g t h e x - a x i s f r o m t h e p o i n t 0 .W e k n o w t h a t t h e n u m b e r s - a a n d + a w h e n s q u a r e d g i v e1 3


14/55

F i g . 1 2 F i g . 1 3

t h e s a m e r e s u l t a 2 . T h e o r d i n a t e o f o u r c u r v e w i l l t h e r e f o r eb e t h e s a m e b o t h f o r x = + a a n d f o r x = - a . I n g e o m e t r i -c a l t e r m s t h i s m e a n s t h a t t h e g r a p h o f t h e c u r v e i n t h e l e f t -h a n d s e m i - p l a n e c a n b e o b t a i n e d b y r e f l e c t i o n r e l a t i v e t ot h e o r d i n a t e a x i s o f t h e c u r v e a l r e a d y p l o t t e d i n t h e r i g h t -h a n d s e m i - p l a n e . W e o b t a i n t h e c u r v e w h i c h i s c a l l e d t h ep a r a b o l a ( F i g . 1 3 )N o w , f o l l o w i n g t h e s a m e p r o c e d u r e , w e s k e t c h a m o r ec o m p l i c a t e d c u r v e

y = a z O ( 6 )a n d a s t i l l m o r e c o m p l i c a t e d o n ey = a z 2 + b ( 7 )T h e f i r s t o f t h e s e c u r v e s i s o b t a i n e d b y m u l t i p l y i n g a l lo r d i n a t e s o f p a r a b o l a ( 5 ) - w e s h a l l r e f e r t o i t a s a r e f e r e n c ep a r a b o l a - b y a n u m b e r a .

I f a > I t h e c u r v e w i l l b e s i m i l a r t o ( 5 ) b u t w i l l r i s em o r e s t e e p l y ( F i g . 1 4 ) .I f 0 < a < 1 t h e c u r v e w i l l b e l e s s s t e e p ( F i g . 1 5 ) , a n dw h e n a < 0 i t s b r a n c h e s w i l l t u r n d o w n w a r d ( F i g . 1 6 ) .C u r v e ( 7 ) w i l l b e o b t a i n e d f r o m c u r v e ( 6 ) b y s h i f t i n g i tu p w a r d b y a s e g m e n t b i f b > 0 ( F i g . 1 7 ) . I f b < 0 , w eh a v e t o s h i f t t h e c u r v e d o w n w a r d ( F i g . 1 8 ) . A l l t h e s e c u r v e sa r e a l s o c a l l e d p a r a b o l a s .1 4


15/55

F i g . 1 4 7 Y 0F i g . 1 8

b

0

F i g . 1 7

F i g . 1 5

y = a x e + bb > 0

x

1 5


16/55

F i g . 1 8C o n s i d e r n o w a m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e o f p l o t t i n gg r a p h s b y m e a n s o f m u l t i p l i c a t i o n . L e t t h e p r o b l e m b e t op l o t t h e g r a p h o f t h e e q u a t i o ny = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( 8 )H e r e w e h a v e t h e p r o d u c t o f f o u r m u l t i p l i e r s . L e t u s p l o te a c h o f t h e m s e p a r a t e l y : a l l o f t h e m a r e s t r a i g h t l i n e s p a r a l -l e l t o t h e b i s e c t r i x o f t h e q u a d r a n t a n g l e a n d c u t t i n g t h e

s e g m e n t s o n t h e o r d i n a t e a x i s ( s e e F i g . 1 9 )0 , - 1 , - 2 , - 3A t t h e p o i n t s 0 , 1 , 2 , 3 o f t h e x - a x i s t h e s o u g h t - f o r c u r v ew i l l h a v e t h e o r d i n a t e 0 s i n c e t h e p r o d u c t i s e q u a l t o z e r oi f a t l e a s t o n e o f t h e f a c t o r s i s e q u a l t o z e r o . A t o t h e r p o i n t st h e p r o d u c t w i l l d i f f e r f r o m z e r o a n d i t s s i g n c a n e a s i l y b ef o u n d b y c o n s i d e r i n g t h e s i g n s o f t h e c o - f a c t o r s . T h u s , a l l

f a c t o r s a r e p o s i t i v e t o t h e r i g h t o f t h e p o i n t 3 ; h e n c e , t h e

F i g . 1 9

1 6


17/55

Y a

xU 1 2 3

F i g . 2 0 F i g . 2 1p r o d u c t i s p o s i t i v e t o o . B e t w e e n t h e p o i n t s 2 a n d 3 o n eo f t h e m u l t i p l i e r s i s n e g a t i v e a n d t h e r e f o r e t h e p r o d u c t i sn e g a t i v e . T w o o f t h e m u l t i p l i e r s a r e n e g a t i v e b e t w e e n t h ep o i n t s 1 a n d 2 , s o t h a t t h e p r o d u c t i s p o s i t i v e , e t c . W eo b t a i n t h e f o l l o w i n g d i s t r i b u t i o n o f s i g n s ( F i g . 2 0 ) . T o t h er i g h t o f t h e p o i n t 3 a l l m u l t i p l i e r s w i l l i n c r e a s e a s x i n c r e a -

s e s , s o t h a t t h e p r o d u c t w i l l i n c r e a s e g r e a t l y a t t h a t . T o t h el e f t o f t h e p o i n t 0 a l l m u l t i p l i e r s i n c r e a s e t h e i r n e g a t i v ev a l u e s a n d t h e p r o d u c t ( w h i c h i s p o s i t i v e ) a l s o r i s e s s t e e p l y .N o w i t i s n o t d i f f i c u l t t o s k e t c h t h e g e n e r a l s h a p e o f t h eg r a p h ( F i g . 2 1 ) .S o f a r w e o n l y u s e d t h e o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n a n d m u l t i -p l i c a t i o n . N o w w e s u p p l e m e n t t h e m w i t h d i v i s i o n . L e t u sp l o t t h e c u r v e1y = I T X 2 ( 9 )T o d o t h i s w e s h a l l p l o t s e p a r a t e l y t h e g r a p h o f t h e n u m e r a -t o r a n d t h a t o f t h e d e n o m i n a t o r .T h e g r a p h f o r t h e n u m e r a t o rY i = 1i s t h e s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o t h e a b s c i s s a a x i s a t t h e d i s t a n -c e 1 f r o m i t . T h e g r a p h o f t h e d e n o m i n a t o ry z = x ` + 1i s a r e f e r e n c e p a r a b o l a s h i f t e d u p w a r d b y 1 . T h e t w o g r a p h sa r e s h o w n i n F i g . 2 2 .L e t u s d i v i d e e a c h o r d i n a t e o f t h e , n u m e r a t o r b y t h e c o r -r e s p o n d i n g ( i . e . t a k e n f o r t h e s a m e x ) o r d i n a t e o f t h e d o n o -

1 7


18/55

F i g . 2 2

F i g . 2 3

- 40 1

F i g . 2 4

Y 1 = 1N u m e r a t o r


19/55

Y

ON u m e r a t o r N u m e r a t o r

r x

F i g . 2 5 F i g . 2 6m i n a t o r , I f x = 0 t h e n y l = y 2 = 1 , w h e n c e y = 1 . F o rx 0 t h e n u m e r a t o r i s l e s s t h a n t h e d e n o m i n a t o r a n d t h eq u o t i e n t i s l e s s t h a n u n i t y . S i n c e b o t h t h e n u m e r a t o r a n dt h e d e n o m i n a t o r a r e a l w a y s p o s i t i v e , t h e q u o t i e n t i s p o s i -t i v e t o o ; h e n c e , t h e g r a p h i s e n c l o s e d w i t h i n a b a n d b e t w e e nt h e a b s c i s s a a x i s a n d t h e l i n e y = 1 . W h e n x i n c r e a s e sw i t h o u t l i m i t , t h e d e n o m i n a t o r a l s o i n c r e a s e s w i t h o u tl i m i t w h i l e t h e n u m e r a t o r r e m a i n s c o n s t a n t ; t h e r e f o r e t h eq u o t i e n t a p p r o a c h e s z e r o . A l l t h i s r e s u l t s i n t h e g r a p h o f t h eq u o t i e n t s h o w n i n F i g . 2 3 . T h e c u r v e t h u s o b t a i n e d i s t h es a m e a s t h a t p l o t t e d p o i n t - b y - p o i n t ( F i g . 3 ) .I n t h e m e t h o d o f g r a p h i c a l d i v i s i o n s p e c i a l r o l e i s p l a y e db y t h o s e v a l u e s o f x w i t h w h i c h t h e d e n o m i n a t o r b e c o m e sz e r o . I f t h i s i s n o t a c c o m p a n i e d b y t h e n u m e r a t o r a l s o t u r n -i n g z e r o , t h e q u o t i e n t b e c o m e s i n f i n i t e . T o r e a l i z e t h em e a n i n g o f t h i s e x p r e s s i o n l e t u s p l o t t h e c u r v ey = i ( 1 0 )W e a l r e a d y k n o w t h e g r a p h s o f b o t h t h e n u m e r a t o r a n d t h ed e n o m i n a t o r ( F i g . 2 4 ) . F o r x = 1 w e h a v e y l = y 2 = 1 ,w h e n c e y = 1 . F o r x > 1 t h e n u m e r a t o r i s s m a l l e r t h a n t h ed e n o m i n a t o r a n d t h e q u o t i e n t i s l e s s t h a n 1 , s i m i l a r l y t ot h e f o r e g o i n g e x a m p l e , i n f i n i t e r i s e o f x r e s u l t s i n t h e q u o -t i e n t a p p r o a c h i n g z e r o a n d w e o b t a i n t h e p a r t o f t h e c u r v ec o r r e s p o n d i n g t o t h e v a l u e s x > 1 ( F i g . 2 5 ) .L e t u s c o n s i d e r n o w t h e r a n g e o f x v a l u e s b e t w e e n 0 a n d1 . W h e n x a p p r o a c h e s z e r o f r o m t h e s i d e o f 1 , t h e d e n o m i n a -t o r a p p r o a c h e s z e r o w h i l e t h e n u m e r a t o r r e m a i n s e q u a l t o 1 .T h e r e f o r e t h e q u o t i e n t i n c r e a s e s w i t h o u t l i m i t , e x c e e d i n g

1 9


20/55

F i g . 2 7h o w e v e r l a r g e n u m b e r , g i v e n s u f f i c i e n t l y s m a l l v a l u e so f x , a n d w e o b t a i n t h e b r a n c h g o i n g o f f t o i n f i n i t y ( F i g . 2 6 ) .I f x < 0 t h e d e n o m i n a t o r a n d c o n s e q u e n t l y t h e w h o l eq u o t i e n t b e c o m e n e g a t i v e . T h e g e n e r a l s h a p e o f t h e g r a p hi s p r e s e n t e d i n F i g . 2 7 .

Y

F i g . 2 8 F i g . 2 9

2 0


21/55

N o w w e a r e r e a d y t o t a c k l e t h ep r o b l e m o f p l o t t i n g t h e c u r v e d i s -c u s s e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i ss e c t i o n11 1 = 4 2 ( 1 1 )- )W e s h a l l f i r s t p l o t t h e g r a p h o ft h e d e n o m i n a t o r . T h e c u r v e y l == 3 x 2 i s t h e " t r i p l e " r e f e r e n c e p a -r a b o l a ( F i g . 2 8 ) . S u b t r a c t i o n o fu n i t y m e a n s s h i f t i n g t h e g r a p h b y

o n e u n i t y d o w n w a r d ( F i g . 2 9 ) . T h ec u r s e i n t e r s e c t s t h e x - a x i s a t t w op o i n t s w h i c h c a n e a s i l y b e f o u n db y s e t t i n g 3 x 2 - I e q u a l t o z e r o :x 1 , 2 Y 1 / 3 = f 0 . 5 7 7 . . . L e tu s s q u a r e t h e o b t a i n e d , g r a p h . T h eo r d i n a t e s o f t h e p o i n t s x 1 a n d x 2 F i g . 3 0w i l l r e m a i n e q u a l t o z e r o . A l l o t h e r o r d i n a t e s w i l l b ep o s i t i v e a n d t h e g r a p h w i l l b e l o c a t e d a b o v e t h e a b s c i s s aa x i s . A t t h e p o i n t x = 0 t h e o r d i n a t e w i l l h e e q u a l t o1 , a n d t h i s i s t h e m a x i m u m o r d i n a t e w i t h i n t h ei n t e r v a l f r o m x l t o x 2 . O u t s i d e t h i s i n t e r v a l t h e c u r v e w i l ls t e e p l y r i s e u p w a r d o n b o t h s i d e s o f t h e p l o t ( F i g . 3 0 ) .T h e g r a p h o f t h e d e n o m i n a t o r i s t h u s p l o t t e d . T h e d o t t e dl i n e i n t h e s a m e d r a w i n g s h o w s t h e g r a p h o f t h e n u m e r a -t o r J Z = 1 . N o w w e o n l y h a v e t o d i v i d e t h e n u m e r a t o r b yt h e d e n o m i n a t o r . S i n c e b o t h t h e n u m e r a t o r a n d t h e d e n o m i -n a t o r a r e a l w a y s p o s i t i v e , t h e q u o t i e n t w i l l b e p o s i t i v e a n dt h e w h o l e g r a p h w i l l b e l o c a t e d a b o v e t h e a b s c i s s a a x i s .F o r x = 0 t h e n u m e r a t o r a n d t h e d e n o m i n a t o r a r e e q u a l ,a n d t h e i r r a t i o i s e q u a l t o 1 . L e t u s m o v e r i g h t w a r d f r o mp o i n t 0 a l o n g t h e a b s c i s s a a x i s . T h e n u m e r a t o r r e m a i n se q u a l t o 1 w h i l e t h e d e n o m i n a t o r d e c r e a s e s ; c o n s e q u e n t l y ,t h e q u o t i e n t i n c r e a s e s f r o m i t s v a l u e 1 . W h e n w e r e a c h t h ep o i n t x 2 = 0 . 5 7 7 . . . , t h e d e n o m i n a t o r b e c o m e s e q u a l t oz e r o . T h i s m e a n s t h a t b y t h i s m o m e n t t h e v a l u e o f t h eq u o t i e n t w i l l g o t o i n f i n i t y ( F i g . 3 1 ) . T o t h e r i g h t o f t h ep o i n t x 2 t h e d e n o m i n a t o r w i l l r a p i d l y c h a n g e i n a r e v e r s ew a y f r o m t h e v a l u e 0 t o 1 a n d t h e n w i l l g r o w u n b o u n d e d l y .T h e g r a p h o f t h e q u o t i e n t , o n t h e c o n t r a r y , w i l l r e t u r n f r o mi n f i n i t y t o 1 , w i l l i n t e r s e c t t h e l i n e y = I a t t h e s a m e p o i n t

2 1


22/55

Y 1

r. - a e n o m i n a l o

0F i g . 3 1 F i g . 3 2

- x

a s t h e g r a p h o f t h e d e n o m i n a t o r , a n d w i l l t h e n a p p r o x i m a t ew i t h o u t l i m i t t o z e r o ( F i g . 3 2 ) .T h e p a t t e r n o n t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h e o r d i n a t e a x i sw i l l b e t h e s a m e ( F i g . 3 3 ) .W e h a v e m a r k e d o n t h i s g r a p h t h e p o i n t s c o r r e s p o n d i n gt o i n t e g e r v a l u e s x = 0 , 1 , 2 , 3 , - 1 , - 2 , - 3 . T h e s e a r et h e v e r y p o i n t s w h i c h w e s e l e c t e d w h i l e p l o t t i n g t h e g r a p h" p o i n t - b y - p o i n t " i n p a g e 1 0 . B u t t h e t r u e s h a p e o f t h e g r a p hd i f f e r s c o n s i d e r a b l y f r o m t h a t g i v e n i n F i g . 5 .

W e s e e t h a t i n r e a l i t y t h e c u r v e d o e s n o t d e c r e a s e s m o o t h l yf r o m t h e v a l u e 1 ( f o r z = 0 ) t o t h e v a l u e 1 / 4 ( f o r x = 1 ) a n dt o s t i l l s m a l l e r v a l u e s , b u t i n s t e a d g o e s u p t o i n f i n i t y . H e r ew e c a n a l s o l o c a t e t h e p o i n t w i t h t h e c o o r d i n a t e s x = 1 / 2 ,y = 1 6 w h i c h c o u l d n o t b e f o r c e d o n t o t h e f o r m e r , e r r o n e o u sg r a p h b u t f i t s p e r f e c t l y t h e n e w , c o r r e c t g r a p h .W e h a v e d i s c u s s e d t h e s i m p l e s t o p e r a t i o n s w h i c h c a n b ep e r f o r m e d w i t h g r a p h s . M o r e p r e c i s e l y , w e s t a r t e d o f f w i t ht h e s i m p l e s t e q u a t i o n y = x a n d t h e n u s e d t h e f o u r a r i t h m e -t i c o p t r a t i o n s : a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l t i p l i c a t i o n a n dd i v i s i o n .T h e f u n c t i o n s y ( x ) o b t a i n e d a s a r e s u l t o f s u c h o p e r a t i o n sa r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m o f a q u o t i e n t o f t w o p o l y n o m i a l s

y I x ) P ( - ) = a o + a i z + . . . = a n x nQ ( x ) ' _ b o - b i x + . . . T b m x m

Y I

Oc

E0c0I

TN u m e r a t o r


23/55

F i g . 3 3

a n d a r e r e f e r r e d t o a s t h e r a t i o n a l f u n c t i o n s o f t h e v a r i a b l e x .( O t h e r f u n c t i o n s e x i s t a s w e l l i n t h e c a l c u l u s b u t e v e n t h e i rd e f i n i t i o n r e q u i r e s a d e v e l o p e d t h e o r y o f r e a l n u m b e r s ;t h e r e f o r e i n t h e p r e s e n t p a m p h l e t w e s h a l l r e s t r i c t t h e d i s -c u s s i o n t o r a t i o n a l f u n c t i o n s o n l y . )F o r t h o s e r e a d e r s w h o b e c a m e i n t e r e s t e d i n p l o t t i n gg r a p h s " b y s u c c e s s i v e o p e r a t i o n s " w e s u g g e s t h e r e s e v e r a lp r o b l e m s f o r p r a c t i c e a n d s e l f - c h e c k i n g .P r o b l e m s

P l o t t h e g r a p h s o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :l . y = x 2 + x + 1 . 2 . y = x ( x ' - 1 ) . 3 . y = z 2 ( x4 . y = x ( x - 1 ) 2 . 5 . y = x y 1

R e c o m m e n d a t i o n . I n P r o b l e m 5 i t i s a d v i s a b l e t o s e p a r a t e a ni n t e g e r c o m p o n e n t :

6 . x 2 2 3. 7 .2 3


24/55

R e c o m m e n d a t i o n . S e p a r a t i o n o f t h e i n t e g e r c o m p o n e n t w i l l a l s ob e u s e f u l i n P r o b l e m s f i a n d 7 .8 . y = V x -R e c o z n m e n d a t i o n . S q u a r e r o o t o f x e x i s t s w h e n x > 0 * a n d d o e sn o t e x i s t w h e n x < 0 .9 . y = V 1 x 2 .H o w c a n i t b e p r o v e d t h a t t h e r e s u l t i n g c u r v e i s t h ec i r c l e ?R e c o m m e n d a t i o n . T h e e x a c t d e f i n i t i o n o f a c i r c l e s h o u l d b e r e c a l -l e d a n d t h e n t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m a p p l i e d .

1 0 . y = V 1 + x 2 .P r o v e t h a t a s x - - > o o t h e b r a n c h e s o f t h i s c u r v e a p p r o a c hi n f i n i t e l y c l o s e l y t h e b i s e c t r i c e s o f t h e q u a d r a n t a n g l e s .R e c o m m e n d a t i o n . V i T X 2 - x = 11 ; x 2 + x

1 1 . y = x 1 x ( 1 - x ) . 1 2 . y = x 2 V 1 X .1 3 . V =

1 ^ x1 4 . x 2 3 ( 1 - X ) 2 1 32 t V 1 ^ x 2 y =S o l u t i o n s t o a l l p r o b l e m s a r e g i v e n i n p p . 4 8 - 5 0 .

2 . D e r i v a t i v e sT h e m e t h o d o f p l o t t i n g t h e g r a p h " b y s u c c e s s i v e o p e r a -t i o n s " e n a b l e s u s t o o b t a i n t h e g e n e r a l p i c t u r e a s t o t h ec h a r a c t e r o f t h e f u n c t i o n v a r i a t i o n . B u t t h e s e m e t h o d sb e c o m e i n a d e q u a t e t o s o l v e c e r t a i n m o r e p r e c i s e l y f o r m u l a -t e d p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , t h e c u r v e o f a g r a p h ( F i g . 3 4 )h a v i n g d r o p p e d d o w n t o a c e r t a i n v a l u e y o , w h i c h c o r r e s -p o n d s t o t h e a b s c i s s a x 0 , s t a r t s r i s i n g ; t h e c o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n y ( x ) i s s a i d t o h a v e a l o c a l m i n i m u m a t t h e p o i n t x 0 .T h e c o n c e p t o f t h e l o c a l m a x i m u m h a s s i m i l a r m e a n i n g ; w es a y t h a t t h e f u n c t i o n y = y ( x ) h a s a l o c a l m a x i m u m a t t h e

p o i n t x e i f i t s g r a p h r i s e s a s x i n c r e a s e s u p t o t h e p o i n t x oa n d t h e n b e g i n s t o s l o p e d o w n ( F i g . 3 5 ) . T h e q u e s t i o n i s ,w h a t a r e t h e e x a c t v a l u e s o f x e a n d y e ?T h i s s t a t e m e n t i s n o t s e l f - e v i d e n t a t a l l b u t r e q u i r e s f o r i t ss u b s t a n t i a t i o n a w e l l d e v e l o p e d t h e o r y o f r e a l n u m b e r s . I t s p r o o fc a n b e f o u n d i n a n y g o o d t e x t b o o k o n c a l c u l u s . H e r e i t i s o n l y n e c e s -s a r y , h a v i n g a s s u m e d t h e e x i s t e n c e o f t h e r o o t , t o p l o t i t s g r a p h .

2 4


25/55

Y

X e X

F i g . 3 4 F i g . 3 5I t i s e a s y t o i m a g i n e a s p e c i f i c s i t u a t i o n i n w h i c h s u c ha p r o b l e m w o u l d a r i s e . F o r i n s t a n c e , l e t t h e g r a p h o f T ' i g . 3 4p l o t t h e c o s t o f o n e t o n o f s o m e p r o d u c t a s f u n c t i o n o f d a i l yc o n s u m p t i o n o f e l e c t r i c e n e r g y . L o w d a i l y c o n s u m p t i o n o fe n e r g y w i l l m e a n v e r y s l o w p r o d u c t i o n o f o n e t o n o f t h ep r o d u c t , a n d t h e e x i s t e n c e o f p e r m a n e n t e x p e n d i t u r e s ( c o s to f m a n p o w e r , e t c . ) w i l l r e s u l t i n h i g h c o s t p e r t o n o f t h ep r o d u c t . H i g h d a i l y c o n s u m p t i o n o f e n e r g y w i l l s h o r t e nt h e t i m e o f p r o d u c t i o n o f o n e t o n o f p r o d u c t b u t t h e c o s tp e r t o n w i l l b e i n c r e a s e d d u e t o t h e r i s e i n t h e c o s t o f t h ee n e r g y c o n s u m e d . T h i s c o s t p e r t o n w i l l b e m i n i m u m a ta c e r t a i n v a l u e o f t h e d a i l y e n e r g y c o n s u m p t i o n ; w e a r en a t u r a l l y v e r y m u c h i n t e r e s t e d t o k n o w w h a t t h i s m i n i m u mc o s t s h o u l d b e a n d w h a t d a i l y c o n s u m p t i o n o f e n e r g y i tc o r r e s p o n d s t o . B e l o w w e s h a l l d i s c u s s a s i m i l a r p r o b l e m( p . 3 2 ) .T o o b t a i n a n e x a c t a n s w e r t o t h e q u e s t i o n o n t h e p o s i t i o no f t h e p o i n t o f l o c a l m i n i m u m n e w m e t h o d s a r e r e q u i r e d ,w h i c h l e a d u s i n t o t h e f i e l d o f t h e c a l c u l u s c a l l e d t h e d i f f e -r e n t i a l c a l c u l u s .T h e i d e a o f s o l v i n g t h e s u g g e s t e d p r o b l e m i s a s f o l l o w s .A t a n g e n t s t r a i g h t l i n e c a n b e d r a w n a t , e a c h p o i n t o f t h eg r a p h y ( x ) . T h e t a n g e n t s t r a i g h t l i n e a t t h e p o i n t A o ft h e y ( x ) g r a p h ( F i g . 3 6 ) i s d e f i n e d a s t h e l i n e a p a s s i n gt h r o u g h t h e p o i n t A i n s u c h a w a y t h a t t h e c u r v e y ( x ) i t s e l f ,a s i t a p p r o a c h e s t h e p o i n t A . . e n t e r s i n t o a n y n o m a t t e rh o w s m a l l a n g l e w i t h t h e v e r t e x i n A , c o n t a i n i n g t h e s t r a i g h tl i n e a , a n d r e m a i n s i n s i d e i t . ( I n S e c . I t h e a b s c i s s a a x i sw a s s a i d t o b e t a n g e n t t o t h e r e f e r e n c e p a r a b o l a i n j u s t t h i ss e n s e . ) A n a r b i t r a r y s t r a i g h t l i n e 0 p a s s i n g t h r o u g h t h ep o i n t A i s c a l l e d t h e s e c a n t f o r t h e g r a p h y ( x ) ; a n a n g l ew i t h t h e v e r t e x i n A a n d t h e b i s e c t r i x ( i , i n t o w h i c h t h e c u r v ei n t h e v i c i n i t y o f t h e p o i n t A d o e s n o t e n t e r , c a n a l w a y s b e

2 5


26/55

i n d i c a t e d f o r a s e c a n t n o t c o i n c i d i n g w i t h t h e t a n g e n t( F i g . 3 7 ) . W e s h a l l d e n o t e t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t a t t h ep o i n t ( x , y ) b y k = k ( x ) . T h i s f u n c t i o n k ( x ) i s c a l l e d t h ed e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n y ( x ) . ( L a t e r w e s h a l l p r o v e t h a t i fy ( x ) i s a p o l y n o m i a l , t h e n k ( x ) i s a l s o a p o l y n o m i a l , a n di f y ( x ) i s a r a t i o n a l f u n c t i o n , t h e n k ( x ) i s a r a t i o n a l f u n c -t i o n t o o , a n d s h a l l p r e s e n t p r e c i s e r u l e s f o r t h e c a l c u l a t i o no f k ( x ) . ) L e t u s a s s u m e t h e f u n c t i o n k ( x ) a s a l r e a d y f o u n df o r t h e s p e c i f i e d f u n c t i o n y ( x ) . A t t h e s o u g h t - f o r p o i n t o f t h el o c a l m i n i m u m ( x o , y o ) t h e t a n g e n t l i n e a m u s t b e h o r i z o n t a l[ r e d u c t i o a d a b s u r d u m ( t h e p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n ) : w eh a v e s e e n t h a t t h e c u r v e y = y ( x ) m u s t e n t e r i n t o t h e a n g l e

h o w e v e r s m a l l c o n t a i n i n g t h e l i n e a ; i f t h e l i n e a i s o b l i q u e ,w e c a n c o n s t r u c t a s m a l l a n g l e w i t h a a s i t s b i s e c t r i x ,w h o s e s i d e s h a v e s l o p e s o f t h e s a m e s i g n ( F i g . 3 6 ) a n d ,c o n s e q u e n t l y , t h e c u r v e y = y ( x ) c a n n o t h a v e a l o c a l m i n i -m u m a t ( x o , y o ) ] . T h e r e f o r e , a t t h e p o i n t x = x o o f t h e l o c a lm i n i m u m , k ( x o ) = 0 . T h u s w e h a v e t h e e q u a t i o nk ( x ) = 0

G e n e r a l l y s p e a k i n g , t h i s e q u a t i o n c a n h a v e s e v e r a l s o l u -t i o n s . E a c h o f t h e m d e f i n e s t h e p o i n t ( x o , y o ) o n t h e c u r v ey = y ( x ) a t w h i c h t h e t a n g e n t i s h o r i z o n t a l ; w e m u s t f i n da l l t h e s e s o l u t i o n s a n d a m o n g t h e m s i n g l e o u t t h a t w h i c h i so f i n t e r e s t t o u s . T h u s , o n c e t h e f u n c t i o n k ( x ) i s k n o w n , t h ep r o b l e m i s r e d u c e d t o s o l v i n g t h e a l g e b r a i c e q u a t i o n .W e s h a l l n o w p a s s t o p l o t t i n g t h e f u n c t i o n k ( x ) . F i r s to f a l l l e t y = x 2 b e o u r r e f e r e n c e p a r a b o l a . W e w a n t t o

r J

0 X eF i g . 3 6

Y 1

0F i g . 3 7

x

2 6


27/55

F i g . 3 S F i g . 3 9

f i n d t h e s l o p e o f t h e t a n g e n t a t t h e p o i n t ( x o , y o ) o f t h i sp a r a b o l a .L e t u s d e n o t e b y A x a n d A y t h e i n c r e m e n t s o f t h e a b s c i s s aa n d o r d i n a t e o f t h e p a r a b o l a w h e n w e m o v e f r o m t h e p o i n t( x o , y o ) t o t h e p o i n t ( x 1 , y l ) i n i t s v i c i n i t y :x 1 = x o + A x , y i = y o + A y

( F i g . 3 8 ) . S i n c ey o = x o , y e + A y = ( x o + A x ) 2w e f i n d b y s u b t r a c t i o n t h a t

A y = 2 x o A x - + ( A x ) 'L e t u s d r a w a s e c a n t l i n e t h r o u g h t w o p o i n t s ( x , , y e ) a n d( x 1 , y i ) ( F i g . 3 9 ) . I t s s l o p e i s o b v i o u s l y e q u a l t oA y = 2 x a + A x7 7a n d i t s e q u a t i o n i n t h e c o m p l e t e f o r m i s ( s e e E q . ( 4 ' ) )y = ( 2 x o + A x ) ( x - x o ) + y o ( 1 2 )L e t u s r e d u c e A x d o w n t o z e r o ( F i g . 4 0 ) . S e c a n t ( 1 2 ) c o r r e s -p o n d i n g l y r o t a t e s a r o u n d t h e p o i n t ( x o , y o ) a n d , w h e n A xb e c o m e s z e r o , t a k e s t h e p o s i t i o n d e s c r i b e d b y t h e e q u a t i o n

y t a n = 2 x o ( x - x o ) + y o ( s )T h i s s t r a i g h t l i n e , r e s u l t i n g f r o m s e c a n t r o t a t i o n , i s t h es o u g h t - f o r t a n g e n t t o t h e p a r a b o l a y = x 2 a t t h e p o i n t ( x o , y o )L e t u s p r o v e t h i s s t a t e m e n t . T h e e q u a t i o n o f t h e c u r v ey = x 1 c a n b e r e p h r a s e d i n t h e f o r my = y o + 2 x o ( x - x o ) + ( x - x p ) 2 == y o + [ 2 x o + ( x - x 9 ) 1 ( x - x o )

2 7


28/55

F i g .

t h ' . _ , s i t i s a p p a r e n t t h a t w i t h s m a l l d e v i a t i o n s o f x f r o m x ot h e c u r v e p a s s e s w i t h i n t h e a n g l e h o w e v e r s m a l l , f o r m e d b yt h e s t r a i g h t l i n e s1y = y o + ( 2 x o e ) ( x - x o )

; w h i c h i s w h a t w i l l b e t h e c a s e i f w e a s s u m e t h a t - e


29/55

w e o b t a i n b y r e m o v i n g t h e b r a c k e t s i n E q . ( 1 4 ) b y t h eN e w t o n f o r m u l a * a n d b y s u b t r a c t i n g E q . ( 1 3 ) f r o m E q . ( 1 4 )A y = ( a , + 2 a z x o + + A x + e 2 ( 1 5 )

F u r t h e r o n , t h e s l o p e o f t h e s e c a n t i s o b t a i n e d b y d i v i d i n gA y b y A x . S i n c e s 2 A x = e l , i t s e x p r e s s i o n h a s t h e f o r m- a , + 2 a z x o + + n a n x o ` ` + E in xT h e c o m p l e t e e q u a t i o n o f t h e s e c a n t i s a s f o l l o w s :

y = ( a t + 2 a e x a + . + n a " o - ' + a 1 ) ( x - . T o ) - - y oW h e n w e a s s u m e t h a t A x = 0 , e t b e c o m e s z e r o a n d w eo b t a i n t h e e q u a t i o n o f t h e t a n g e n ty t a n = ( a t - - 2 a 2 x 0 . . . ; n a , x o - ' ) ( x - x o ) + Y oC o n s e q u e n t l y t h e e x p r e s s i o n f o r t h e s l o p e o f t h e t a n g e n tl i n e i s k = a , + 2 a z x o + + n a " x n - ( 1 t i )W h e n x o i s f i x e d , k i s a n u m b e r ; i f x o i s v a r i e d , t h i s n u m b e rw i l l a l s o v a r y a n d w e s h a l l o b t a i n t h e f u n c t i o n g i v i n g t h ev a l u e s o f c o r r e s p o n d i n g s l o p e s o f t a n g e n t s t o t h e c u r v ey = P ( x ) a t i t s v a r i o u s p o i n t s . A s w e a l r e a d y s a i d , t h i sf u n c t i o n i s t h e d e r i v a t i v e o f P ( x ) ; i t i s d e n o t e d a s P ( x ) .T h e o b t a i n e d f o r m u l a c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r mP ( x ) = a t + 2 a 2 x + . . . + ( 1 6 ' )T h e r u l e o f f o r m i n g P ( x ) o u t o f P ( x ) i s q u i t e s i m p l e :i n t h e s u m ( 1 3 ) e a c h x k i s r e p l a c e d b y k x k - 1 .I n p a r t i c u l a r , t h e d e r i v a t i v e o f a c o n s t a n t ( i . e . o f a f u n c -t i o n w h i c h f o r a l l v a l u e s o f x t a k e s o n t h e s a m e v a l u e y = a o )i s e q u a l t o 0 . I n t h i s c a s e , h o w e v e r , t h i s i s a l s o o b v i o u sg e o m e t r i c a l l y : t h e t a n g e n t t o t h e p l o t o f t h e f u n c t i o n y = a oi s h o r i z o n t a l a t e a c h p o i n t !R e t u r n i n g t o t h e g e n e r a l c a s e , w e s h a l l e m p h a s i z e t h ee q u a l i t y s t e m m i n g f r o m E q . ( 1 5 ) :

P ( x + A x ) P ( x ) + P ' ( x ) A x + e 2 ( 1 7 )T h e N e w t o n f o r m u l a : f o r a n y k a n d a n y u a n d u

( u T c j x = u a 1 ' c h - ' U + k ( 1 . 21 ) u k - 2 U 2 +

k ( k - 1 ' ) ( k - 2 ) k ( k - 1 ) k , k k ,+ 1 . 2 . 3 4 4 - 3 U 3 + 1 . 2 1 , 2 U + . 1 U U - - 1 U 1 1 .2 9


30/55

L e t u s c o n s i d e r a s i m i l a r p r o b l e m a b o u t a t a n g e n t f o rt h e g e n e r a l r a t i o n a l f u n c t i o nP ( x )

w h e r e P ( x ) a n d Q ( x ) a r e p o l y n o m i a l s .U s i n g E q . ( 1 7 ) w e o b t a i nP ( X O + A x ) - P ( x o ) + P ' ( x o ) A x = e 2p o - 1 y - Q ( x o + d x ) Q ( x o ) + Q ' ( x o ) i t x + e 2S u b t r a c t i n g E q . ( 1 8 ) f r o m E q . ( 1 9 ) , w e o b t a i n

A y _ P ( z o ) + P ' ( x o ) A x + e 2 P ( x o ) _Q ( X O ) - " Q ' ( X O ) [ 1 x + e 2 Q ( x 0 )_ [ P ' ( x o ) Q ( x o ) - Q ' ( x o ) P ( x o ) 1 0 x + e 2Q ( x e ) [ Q ( x o ) + Q ' ( x o ) A x + e 2 1H e n c e t h e s l o p e o f t h e s e c a n t i s

o y P ' ( X O ) Q ( x ' o ) - Q ' ( x o ) P ( X O ) - 1 - E 1A x - Q 2 ( x o ) E iT h e c o m p l e t e e q u a t i o n o f t h e s e c a n t t a k e s t h eY = P ' ( X O ) Q ( x o ) - Q ' ( t o ) P ( X O ) + e t ( x - x o ) - [ - y oQ 2 ( x o ) E i

( 1 8 )

( 1 9 )

( 2 0 )

( 2 1 )f o r m

L e t u s a s s u m e t h a t Q ( x e ) # 0 a n d A x = 0 , w e o b t a i nt h e e q u a t i o n o f t h e t a n g e n tY t a n = P ' ( X O ) Q ( X O ) - Q ' ( X O ) P ( x o ) ( x - x o ) + Y oQ 2 ( x o )

T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t w h e n x = x o i s t h u s e q u a l t oy ( x o ) = P ' ( x o ) Q ( x e ) Q ' ( - - o ) P ( X O )Q 2 ( x o )T h i s f o r m u l a g i v e s t h e r u l e f o r c a l c u l a t i n g t h e d e r i v a t i v eo f t h e q u o t i e n t P ( x )Q ( X )( P ' P ' Q - Q ' P ( 2 2 )Q ) Q 2L e t u s c o n s i d e r s e v e r a l e x a m p l e s o f a p p l y i n g a l l t h eo b t a i n e d f o r m u l a s .1 . W h a t t w o p o s i t i v e n u m b e r s , w h o s e s u m i s e q u a l t o c ,y i e l d t h e m a x i m u m p r o d u c t ?T h i s p r o b l e m h a s a n e l e m e n t a r y a l g e b r a i c s o l u t i o n . N o tr e s o r t i n g t o t h i s s o l u t i o n , w e s h a l l u s e o u r g e n e r a l m e t h o d .

3 0


31/55

I f o n e o f t h e s e n u m b e r s i s x a n d t h e o t h e r i s c - x , w e m u s tf i n d t h e m a x i m u m o f t h e f u n c t i o nP ( x ) = x ( c - x ) = - - x 2 + c xW e h a v e P ( x ) = - 2 x + ca n d , s e t t i n g t h e d e r i v a t i v e e q u a l t o z e r o , w e f i n d t h e s o l u t i o nx = c / 2 , c - x = c / 2

T h e n e x t p r o b l e m , t h o u g h s i m i l a r t o t h e f i r s t i n i t s f o r m ,h a s n o e l e m e n t a r y s o l u t i o n .2 . W h a t t w o p o s i t i v e n u m b e r s , w h o s e s u m i s e q u a l t o c ,h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : t h e c u b e o f t h e f i r s t n u m b e rt i m e s t h e s q u a r e o f t h e s e c o n d y i e l d s t h e m a x i m u m p o s s i b l ev a l u e ?H e r e w e m u s t f i n d t h e m a x i m u m o f t h e f u n c t i o nP ( x ) = x 3 ( c - x ) 2 = x b - 2 c x ' + C 2 x 3W e k n o w t h a t t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n m u s t b e z e r oa t t h e p o i n t o f t h e m a x i m u m .W e c a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v eP ' ( x ) = 5 x ' - 8 c x 3 + 3 c 2 x 2

S e t t i n g i t e q u a l t o z e r o , w e h a v e a n o b v i o u s s o l u t i o n x = 0 .S e e k i n g s o l u t i o n s f o r x 0 , w e h a v e t o s o l v e t h e q u a d r a t i ce q u a t i o nI t s s o l u t i o n i s 5 x 2 - 8 c x + 3 c 2 = 0_ 4 c t V 1 6 c - 1 5 c _ 4 c 4 - cz - 5 - 5

T h u s t h e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n y = P ( x )i s h o r i z o n t a l a t t h e p o i n t s x 1 = 0 , x 2 = 2 - c a n d x 3 = c .T h e v a l u e s o f x l a n d x 3 y i e l d z e r o f o r t h e v a l u e o f P ( x )w h i l e x y i e l d s a p o s i t i v e v a l u e P ( x 2 ) _ ( 3 / 5 ) 3 ( 2 / 5 ) 2 c 5 .H e n c e , t h e n u m b e r s s o u g h t f o r a r e x 2 = = 3 0 5 , c - x 2 = 2 c / 5 .3 . A t w h a t a n g l e s d o e s t h e c u r v e y = P ( x ) = z ( x - 1 ) xx ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( s e e F i g . 2 1 ) i n t e r s e c t t h e x - a x i s ?O b v i o u s l y , w e s h a l l m e a n b y t h e a n g l e b e t w e e n t h e a x i s a n dt h e c u r v e t h e a n g l e b e t w e e n t h e a x i s a n d t h e t a n g e n t t o t h ec u r v e ( a t t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e c u r v e w i t h t h ea x i s ) .

3 1


32/55

S o l u t i o n . R e m o v i n g t h e b r a c k e t s w e o b t a i ny = x 4 - 6 x 3 - r - 1 1 x 2 - 6 xw h e n c e a c c o r d i n g t o E q . ( 1 6 ' )

y ' = 4 x 3 - 1 8 x 2 + 2 2 x - 6T h e c u r v e y = P ( x ) i n t e r s e c t s t h e x - a x i s a t t h e p o i n t s0 , 1 , 2 a n d 3 . S u c c e s s i v e s u b s t i t u t i o n i n t h e a b o v e f o r m u l ay i e l d sy ' ( 0 ) = - 6 , y ' ( 1 ) = 2 , y ' ( 2 ) _ - 2 , y ' ( 3 ) = 6T h e s e n u m b e r s a r e s l o p e s o f t a n g e n t l i n e s a t t h e p o i n t si n d i c a t e d , i . e . t h e t a n g e n t s o f t h e a n g l e s i n q u e s t i o n .4 . A t w h a t p o i n t s w i l l t h e t a n g e n t l i n e t o t h e c u r v e o fP r o b l e m 3 b e h o r i z o n t a l ?T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t l i n e a t t h e p o i n t s w h e r e i t i sh o r i z o n t a l i s z e r o . S e t t i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t h e d e r i v a t i v ee q u a l t o z e r o , w e o b t a i n t h e e q u a t i o n4 x 3 - 1 8 x 2 + 2 2 x - 6 = 0

T h i s e q u a t i o n h a s a n o b v i o u s s o l u t i o n x l = 3 1 ' 2 ( f r o m t h ed r a w i n g , o n t h e b a s i s o f s y m m e t r y a r g u m e n t s ) . T a k i n g o u tt h e f a c t o r x - 3 / 2 w e o b t a i n4 x 3 - 1 8 x 2 + 2 2 x - 6 = 4 ( x - 3 , 2 ) ( x " - 3 x + 1 )N o w i t r e m a i n s t o s o l v e t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n x 2 - 3 x ++ 1 = 0 . T h e s o l u t i o n y i e l d sX 2 ,

T h e c o r r e s p o n d i n g o r d i n a t e s c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d :9y i 2 2 ) 2 / 13 V 5 i i / 5 - i / 5Y 2 , 3 = 2 2 2

1 s ( : ; - 9 ) ( 5 - 1 ) = - 15 . W e k n o w t h a t v e l o c i t y o f a m o t o r s h i p i s e x p r e s s e d a sf u n c t i o n o f t h e c o s t o f f u e l c o n s u m e d p e r h o u r , p r o u b l e s ,b y t h e f o r m u l aV = C p 1 ( 2 3 )

3 2


33/55

T h i s f o r m u l a i s i l l u s t r a t e d b y t h e Vg r a p h ( F i g . 4 1 ) . T h e g r a p h a g r e e s _ _w i t h a n a t u r a l a s s u m p t i o n t h a ta t t h e b e g i n n i n g , i . e . a t c o m p a -r a t i v e l y l o w e x p e n d i t u r e s f o rf u e l , t h e v e l o c i t y o f t h e m o t o rs h i p i n c r e a s e s i n p r o p o r t i o n t o ` o Pt h e i n c r e a s e i n f u e l c o n s u m p t i o n ,t h e n t h e r a t e o f v e l o c i t y i n c r e a s e F i g . 4 1s l o w s d o w n , a n d n o r i s e i i i f u e l s u p p l y c a n f o r c e t h es h i p t o m o v e f a s t e r t h a n c e r t a i n l i m i t i n g v e l o c i t y c .A s i d e f r o m e x p e n d i t u r e s f o r f u e l t h e r e a r e p e r m a n e n te x p e n d i t u r e s t h a t t a k e q r o u b l e s p e r h o u r . W h a t s h o u l d t h ev e l o c i t y o f s t e a m i n g f r o m t h e p o r t A t o t h e p o r t B , l o c a t e da t a d i s t a n c e o f s k m f r o m A , b e t o r e a l i z e t h e m i n i m u m c o s to f t h e c r u i s e ?S o l u t i o n . L e t v b e t h e v e l o c i t y a n d T = s r v t h e t i m e o ft r a v e l l i n g . C o s t o f f u e l i s c a l c u l a t e d a s f o l l o w s : c o s t p e r h o u ri s o b t a i n e d b y i n v e r t i n g f o r m u l a ( 2 3 )

P = v ( 2 4 )a n d t o t a l c o s t P i s t h e n f o u n d b y m u l t i p l y i n g E q . ( 2 4 ) b yt h e t i m e T = s / v ; P = c s v . P e r m a n e n t e x p e n d i t u r e s Qc o m e t o q T = q . T h e t o t a l e x p e n d i t u r e R i s e q u a l t oR = P + Q = C V q v s ( C v + f l ( 2 5 )T h e g r a p h o f t h i s f u n c t i o n i s o f t h e f o r m s h o w n i n F i g . 4 2 .T o f i n d t h e v e l o c i t y v c o r r e s p o n d i n g t o t h e m i n i m u m t o t a lc o s t , w e s e t t h e d e r i v a t i v e o f R o v e r v e q u a l t o z e r o

I q

W h e n c e v 2 - q ( c - v ) 2 = 0 , v 2 = q ( c - v ) 2v = V q ( c - v ) = V q c - V q v *

V = 1 / g c k m / h* O n e s o l u t i o n , c o r r e s p o n d i n g t o t h e e q u a t i o n

( 2 6 )

v = - V ' q ( c - v )i s r e j e c t e d a s m e a n i n g l e s s , s i n c e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s n e g a t i v e ( v < c ) .3 3


34/55

F i g . 4 2 F i g . 4 3S u b s t i t u t i n g E q . ( 2 6 ) i n t o E q . ( 2 5 ) , w e f i n d a l s o t h e t o t a le x p e n d i t u r e s f o r t h e m o s t e c o n o m i c a l c r u i s e :R - S + Y q ) ( I + Y Q )

6 . W h a t i s t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e y = x 3 f o r x = 0 ?W e h a v e y ' = 3 x z , w h i c h f o r z = 0 o b v i o u s l y y i e l d sy ' = 0 , s o t h a t t h e x - a x i s i s t h e t a n g e n t ( F i g . 4 3 ) .W e s e e t h a t i n t h i s c a s e t h e t a n g e n t p a s s e s f r o m o n e s i d eo f t h e c u r v e o n t o t h e o p p o s i t e s i d e : w h e n x > 0 t h e c u r v ei s a b o v e t h e t a n g e n t w h i l e f o r x < 0 i t g o e s u n d e r t h e t a n g e n tl i n e . T h e p o i n t s o f t h e g r a p h a t w h i c h t h e t a n g e n t l i n ep a s s e s f r o m o n e s i d e o f t h e c u r v e t o t h e o t h e r a r e c a l l e d t h ep o i n t s o f i n f e c t i o n ( F i g . 4 4 ) . T h u s , t h e s a m e v a l u e x = 0d e t e r m i n e s t h e p o i n t o f i n f l e c t i o n f o r t h e f a m i l y o f c u r v e sy = C x 3 + xf o r v a r i o u s v a l u e s o f C ( F i g . 4 5 ) .I n d e e d , w e h a v e y ' ( 0 ) = 1 , s o t h a t t h e e q u a t i o n o f t h e

t a n g e n t l i n e d r a - N v n t h r o u g h t h e p o i n t ( 0 , 0 ) t a k e s t h e f o r mY t a n = X

t h e r e f o r e t h e d i f f e r e n c e y - y t a n = C X 1a l t e r s s i g n w h e n w e p a s s f r o m n e g a t i v e t o p o s i t i v e v a l u e s o f x .L e t u s s t a t e t h e p r o b l e m o f f i n d i n g t h e i n f l e c t i o n p o i n to f t h e g r a p h o f a g i v e n f u n c t i o n y = f ( x ) .A s c a n b e s e e n f r o m F i g . 4 5 , i f t h e c u r v e p a s s e s f r o m t h ep o s i t i o n " b e l o w t h e t a n g e n t " i n t o t h a t " a b o v e t h e t a n g e n t "

3 4


35/55

a s x i n c r e a s e s , - t h e n i t s s l o p e y ' ( x ) o n b o t h s i d e s o f t h e p o i n to f t a n g e n c y i s g r e a t e r t h a n e x a c t l y a t t h i s p o i n t :Y , ( x ) > y ' ( x 0 )x r x oS i m i l a r l y , i f t h e c u r v e p a s s e s f r o m t h e p o s i t i o n " a b o v e t h et a n g e n t " i n t o t h e " b e l o w - t a n g e n t " p o s i t i o n a s x i n c r e a s e s ,t h e n y ' ( x ) o n b o t h s i d e s o f t h e t a n g e n c y p o i n t i s l e s s t h a ne x a c t l y a t t h i s p o i n t :

y ' ( x ) < y ' ( x o )x * x aI n t h e f i r s t c a s e t h e i n f l e c t i o n p o i n t i s t h a t o f a l o c a l m i n i -m u m o f t h e f u n c t i o n y ' ( x ) , a n d i n t h e s e c o n d c a s e - t h a t o fa l o c a l m a x i m u m o f t h i s f u n c t i o n . T o f i n d t h e s e p o i n t s w em u s t f i r s t c a l c u l a t e t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n y ' ( x ) .T h e f u n c t i o n ( y ' ( x ) ) ' i s c a l l e d t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h ef u n c t i o n y ( x ) a n d i s d e n o t e d a s y " ( x ) . O u r n e x t s t e p i s t of i n d t h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n

y " ( x ) = 0A b s c i s s a s o f a i l i n f l e c t i o n p o i n t s s o u g h t f o r a r e c o n t a i n e da m : , n g t h e s o l u t i o n s t o t h i s e q u a t i o n . ( " S u p e r f l u o u s " s o l u -

F i g . 4 4 F i g . 4 53 5


36/55

F i g . 4 0

t i o n s , n o t d e t e r m i n i n g p o s i t i o n s o f i n f l e c t i o n p o i n t s , m a ya l s o a p p e a r ; o f c o u r s e , s u c h s o l u t i o n s m u s t b e r e j e c t e d * . )7 . L e t u s f i n d t h e i n f l e c t i o n p o i n t s o f t h e c u r v e y = 1 + x 2( F i g . 4 6 ) . T h e f i g u r e p r o m p t s u s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e r em u s t b e t w o s u c h p o i n t s , s i t u a t e d s y m m e t r i c a l l y r e l a t i v et o t h e o r d i n a t e a x i s . W e s h a l l f i n d t h e m u s i n g t h e f o r e g o i n gr u l e s .W e h a v ey , = 2 x

( 1 x 2 ) 2" ( I J r ) ( 1 - + - x 2 ) 2 2 - 2 x ( 4 z + 4 z 3 ) 6 z 2 - 2( 1 ' x 2 ) 4 t 2 ) 3S e t t i n g t h e e q u a t i o n f o r y " t o z e r o , w e o b t a i n t w o s o l u t i o n s :x 1 , 2 = 1 1 1 % 3 = 0 . 5 7 7W e s e e t h a t t h e d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s m a k e s i t p o s s i b l et o s o l v e b y m e a n s o f a u n i f i e d g e n e r a l m e t h o d a w i d e v a r i e t yo f p r o b l e m s n o t s o l v a b l e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e e l e -m e n t a r y m a t h e m a t i c s . T h i s i s w h a t m a k e s t h e d i f f e r e n t i a lc a l c u l u s a p o w e r f u l m a t h e m a t i c a l t o o l .

P r o b l e m s1 5 . W h a t i s t h e h e i g h t - t o - b a s e d i a m e t e r r a t i o f o r a ( c y l i n d -r i c a l ) c a n o f a g i v e n v o l u m e , w h i c h r e q u i r e s m i n i m u m o f

m e t a l f o r i t s p r o d u c t i o n ?F o r e x a m p l e , w e h a v e f o r t h e f u n c t i o n y = z 4 :y ' = 4 x 3 , y " = 1 2 x 2w h e n z = 0 w e o b t a i n y " ( x ) = 0

h o w e v e r , t h i s p o i n t i s n o t t h e i n f l e c t i o n p o i n t o f t h e c u r v e y = z 4 .3 6


37/55

1 6 . S q u a r e p i e c e s a r e c u t o u t o f as q u a r e s h e e t o f i r o n a t i t s c o r n e r s a n dt h e s h e e t i s t h e n b e n t a l o n g t h ed a s h e d l i n e s , s o t h a t t h e s h e e t i s c o n -v e r t e d i n t o a b o x o p e n e d f r o m a b o v e( F i g . 4 7 ) . A t w h a t s i z e o f t h e r e m o v e ds q u a r e p i e c e s w i l l t h e v o l u m e o ft h e b o x b e m a x i m a l ?1 7 . T h e f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v eo f t h e f u n c t i o n y = Y T - ( x ) i s

y - f ' ( x )2 1 / f ( x )F i g . 4 7

H a v i n g a s s u m e d t h i s f o r m u l a t o b e v a l i d , s o l v e t h e f o l l o w i n gp r o b l e m . A h o u s e i s a t a d i s t a n c e o f h k m f r o m a ( s t r a i g h t ) r o a d( F i g . 4 8 ) . A p e r s o n h a s t o w a l k t o t h e r o a d a n d t h e n d r i v et o t h e t o w n w h i c h i s a t a d i s t a n c e ( m e a s u r e d a l o n g t h es t r a i g h t l i n e ) o f s k m f r o m t h e h o u s e . T h e s p e e d o f t h e p e d e s t -r i a n i s u a n d t h e s p e e d o f t h e c a r i s v . F i n d t h e s h o r t e s tr o u t e .

h

F i g . 4 81 8 . H o w l a r g e s h o u l d a s e c t o r c u t o u t o f a c i r c l e w i t h t h er a d i u s R b e s o t h a t t h e f u n n e l r o l l e d o u t o f t h e r e m a i n d e rw o u l d h a v e m a x i m u m h o l d i n g c a p a c i t y ?N u m e r o u s p r o b l e m s i n v o l v i n g d e r i v a t i v e s a n d t h e i r

a p p l i c a t i o n t o v a r i o u s f i e l d s o f m a t h e m a t i c s , p h y s i c s , e t c .c a n b e f o u n d i n p o p u l a r b o o k s o f p r o b l e m s .3 . I n t e g r a l s

H o w s h o u l d w e d e f i n e t h e a r e a o f a p l a n e f i g u r e b o u n d e d ,i n t h e g e n e r a l c a s e , b y a n o n - r e c t i l i n e a r c o n t o u r ' L e t u ss t a r t w i t h t h e f o l l o w i n g p r e m i s e s :3 7


38/55

F i g . 6 9

1 . T h e a r e a o f a r e c t a n g l e w i t h s i d e s a a n d b i s e q u a l t o a b .2 . A r e a s o f e q u a l ( i . e . c o i n c i d i n g w h e n s u p e r p o s e d ) f i g u r e sa r e e q u a l .3 . I f t h e f i g u r e D i s c o m p o s e d o f f i g u r e s 0 1 , ( D , , ,t h e n i t s a r e a i s e q u a l t o t h e s u m o f a r e a s o f f i g u r e s 0 1 , . . , ( D .H e n c e i t f o l l o w s t h a t t h e a r e a s o f h o m o g e n e o u s f i g u r e s a r ee q u a l . F u r t h e r m o r e , a t r i a n g l e w i t h t h e b a s e a a n d h e i g h t hc a n b e s o c u t t h a t a r e c t a n g l e c a n b e c o n s t r u c t e d . w i t h s i d e sa l 2 a n d h ( F i g . 4 9 ) ; w h e n c e t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e i s h a 1 2 .F i n a l l y , t h e a r e a o f a n y p o l y g o n c a n b e c a l c u l a t e d a s t h es u m o f a r e a s o f t r i a n g l e s c o m p o s i n g t h i s p o l y g o n ( F i g . 5 0 ) .4 . T h e a r e a o f t h e f i g u r e 0 i s s m a l l e r t h a n t h a t o f a n yp o l y g o n e n c l o s i n g i t , a n d g r e a t e r t h a n t h a t o f a n y p o l y g o ne n c l o s e d b y i t ( F i g . 5 1 ) .T h e r e i s a t h e o r e m a c c o r d i n g t o w h i c h t h e o n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c e c a n b e s e t b e t w e e n e a c h p l a n e f i g u r e I D , b o u n d e db y a n o t t o o c o m p l i c a t e d c o n t o u r , a n d a n u m b e r S ( c I T ) , r e f e r r e d

F i g . 5 0 F i g . 5 1

3 8


39/55

F i g . 5 2

t o a s t h e a r e a o f t h e f i g u r e ( D , s o t h a t t h e c o n d i t i o n s 1 - 4 a r es a t i s f i e d . ( T h e p r e c i s e s t a t e m e n t a n d t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e ma r e t o o c o m p l i c a t e d t o b e p r e s e n t e d h e r e ; e x h a u s t i v e d i s c u s -s i o n o f t h e s e p r o b l e m s c a n b e f o u n d i n L e b e s q u e ' s m o n o g r a p h" O n m e a s u r e m e n t o f q u a n t i t i e s " ( " S u r l a m e s u r e d e s g r a n -d e u r s " , G e n e v e , P a r i s , 1 9 5 6 ) .I n a n y c a s e , i n t h e i n d i c a t e d s e n s e t h e a r e a e x i s t s f o r a n yf i g u r e w h o s e c o n t o u r i s c o m p o s e d o f f i n i t e a r c s o f g r a p h s o fr a t i o n a l f u n c t i o n s . A s s u m i n g t h i s t h e o r e m , w e s h a l l d i s c u s st h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e a r e a o f t h e f i g u r e D ( c u r v i -l i n e a r t r a p e z o i d ) b o u n d e d b e l o w b y a s e g m e n t o f t h ex - a x i s f r o m x = a t o x = b , a b o v e b y t h e c u r v e y = f ( x )( a s u s u a l , f ( x ) i s a r a t i o n a l f u n c t i o n ) , a n d a t t h e s i d e s b ys t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o t h e y - a x i s a n d p a s s i n g t h r o u g h t h ep o i n t s x = a , x = b ( F i g . 5 2 ) .L e t u s t a k e a n u m b e r x o l o c a t e d w i t h i n t h e r a n g e f r o m at o b , a n d s t a t e a s i m i l a r p r o b l e m a s r e g a r d s t h e d e t e r m i n a -t i o n o f t h e a r e a o f t h e f i g u r e c ( x o ) w h i c h d i f f e r s f r o m t h ef i g u r e 1 i n t h a t i t s r i g h t - h a n d s i d e i s f o r m e d b y a v e r t i c a ll i n e p a s s i n g n o t t h r o u g h t h e p o i n t b , b u t t h r o u g h x o . T h ev a l u e o f t h i s a r e a d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n o f t h e p o i n t x o ,i . e . i s - t h e f u n c t i o n o f t h e a r g u m e n t x o a n d d e f i n e d o n t h ew h o l e s e g m e n t a < x o < b , w e s h a l l d e n o t e t h i s f u n c t i o nb y S ( x o ) . I t i s o b v i o u s t h a t S ( a ) = 0 a n d t h a t S ( b ) i s t h e

s o u g h t - f o r a r e a o f t h e f i g u r e ( D . W e c a n a p p r o x i m a t e l y t r a c et h e g r a p h o f t h i s f u n c t i o n ; i n t h e g i v e n c a s e i t s s h a p e i s s i m i -l a r t o t h a t s h o w n i n F i g . 5 3 .I f t h e r i g h t - h a n d a b s c i s s a x 0 o f t h e f i g u r e ( x o ) i s i n c r e a -s e d b y A x o = x l - x o , t h e a r e a g a i n s a n i n c r e m e n tA B D E C = A S ( F i g . 5 4 ) w h i c h i s f o r m e d b y t h e a r e a o f t h er e c t a n g l e A B D C = y A x e a n d b y t h e a r e a o f t h e c u r v i l i n e a r3 9


40/55

e x e

x 0

F i g . 5 3 F i g . 5 4

A YD

t r i a n g l e C D E . T h e l a t t e r a r e a d o e s n o t e x c e e d A y A x o ; 'a n d c o n s e q u e n t l y , i n a c c o r d a n c e w i t h t h e f o r e g o i n g n o t a t i o ni t c a n b e d e n o t e d b y e 1 A x 0 .T h u sS ( x 1 ) - S ( x o ) = ( y + a 1 ) A x 0T h e e q u a t i o n o f a s e c a n t o f t h e g r a p h o f t h e c u r v e y = S ( x ) ,p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s ( x 0 , S ( x 0 ) ) a n d ( x 1 , S ( x l ) ) i s

1 _ o ( z 0 ) ( x - x 0 ) = ( y ( x 0 ) T e ! ) ( x - x 0 )- S ( x 0 ) = S ( X 0A s s u m i n g h e r e , a s b e f o r e , t h a t x l = x 0 , w e o b t a i n t h ee q u a t i o n o f t h e t a n g e n t a t t h e p o i n t ( x 0 , y o ) :

y - S ( x 0 ) = y ( x 0 ) ( x - x 0 )T h e s l o p e o f t h e t a n g e n t i s t h u s e q u a l t o y ( x 0 ) . B u t t h es l o p e o f t h e t a n g e n t t o t h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n y = S ( x )a t t h e p o i n t w i t h t h e a b s c i s s a x , i s , a s w e k n o w , t h e d e r i v a -t i v e o f t h e f u n c t i o n S ( x ) f o r x = x 0 . T h u s , w e o b t a i n t h ee q u a l i t yS , ( x 0 ) = y ( x 0 )T h e r e f o r e , t o f i n d t h e f u n c t i o n S ( x ) w e h a v e t o f i n d t h e f u n c -t i o n w h o s e d e r i v a t i v e i s y ( x ) , i . e . t o p e r f o r m a n o p e r a t i o n

* W e a s s u m e t h a t t h e f u n c t i o n y i n c r e a s e s ( o r d e c r e a s e s ) i n t h er a n g e f r o m z o t o x l ; f o r t h e r a t i o n a l f u n c t i o n y t h i s i n t e r v a l c a n a l w a y sb e c h o s e n s u f f i c i e n t l y s m a l l f o r t h i s c o n d i t i o n t o b e s a t i s f i e d .4 0


41/55

r e c i p r o c a l t o d i f f e r e n t i a t i o n a n d c a l l e d i n t e g r a t i o n . A n yf u n c t i o n F ( x ) w h o s e d e r i v a t i v e i s y ( x ) i s c a l l e d t h e a n t i -d e r i v a t i v e o f y ( x ) , o r t h e i n t e g r a l o f y ( x ) . L e t u s n o t e t h a ti f w e h a v e d e t e r m i n e d o n e o f t h e a n t i d e r i v a t i v e s F ( x )o f t h e f u n c t i o n y ( x ) t h e n a n y o t h e r f u n c t i o n o f t h e t y p eF ( x ) + C ( w h e r e C i s c o n s t a n t ) i s s u i t a b l e a s a n a n t i d e r i -v a t i v e o f t h e s a m e f u n c t i o n y ( x ) s i n c e t h e d e r i v a t i v e o fa c o n s t a n t i s z e r o . A s w e h a v e m e n t i o n e d , t h e s o u g h t - f o rf u n c t i o n S ( x ) d r o p s t o z e r o w h e n x = a . T h e r e f o r e , h a v i n gd e t e r m i n e d a n a n t i d e r i v a t i v e F ( x ) , w e c a n w r i t e f o r t h eu n k n o w n c o n s t a n t C t h e e q u a t i o n

S ( a ) = F ( a ) + C = O , w h e n c e C = - F ( a )F i n a l l y , h a v i n g f o u n d t h e a n t i d e r i v a t i v e f u n c t i o n F ( x ) , w es h a l l w r i t e t h e s o u g h t - f o r e q u a t i o n i n t h e f o r mS ( x ) = F ( x ) - F ( a )

a n d , i n p a r t i c u l a r ,S ( b ) = F ( b ) - F ( a ) ( 2 7 )w h i c h g i v e s t h e s o l u t i o n o f o u r p r o b l e m o r , m o r e p r e c i s e l y ,t h e s o l u t i o n i s r e d u c e d t o t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h ea n t i d e r i v a t i v e o f a g i v e n f u n c t i o n f ( x ) .T o m a k e p o s s i b l e t h e a p p l i c a t i o n o f t h e g e n e r a l r e s u l t ( 2 7 )o b t a i n e d a b o v e w e m u s t b e a b l e t o d e t e r m i n e t h e a n t i d e r i -v a t i v e . I f t h e f u n c t i o n y = y ( x ) i s a p o l y n o m i a l

y = a o + a , L x + + a n x "t h e n o n e o f t h e a n t i d e r i v a t i v e s c a n e a s i l y b e w r i t t e n , v i z . :

F ( x ) = a o x + a i 2 + . . . + a n n n + 1 ( 2 8 )T h e r e f o r e , n o s u b s t a n t i a l d i f f i c u l t i e s a r e e n c o u n t e r e d i n

c a l c u l a t i o n s o f a r e a s o f f i g u r e s b o u n d e d ( a b o v e ) b y c u r v e so f t h e t y p e y = P ( x ) , w h e r e P ( x ) i s a p o l y n o m i a l .L e t , f o r e x a m p l e , y = y ( x ) b e a l i n e a r f u n c t i o n ( F i g . 5 5 )v a r y i n g o n t h e s e g m e n t a < x < b f r o m t h e v a l u e p t o t h ev a l u e q :y = P + b _ Q ( x - a )

4 1


42/55

qP I

a bF i g . 5 5

- x

A c c o r d i n g t o E q . ( 2 8 ) , o n e o f i t s p o s s i b l e a n t i d e r i v a t i v e gi s o f t h e f o r mF ( x ) - _ p x + ( x - a ) a , q - p2 b - aA c c o r d i n g t o E q . ( 2 7 ) w e h a v e

S ( b ) = F ( b ) - F ( a ) = p b + ( 6 - a ) 2 O - P ) - p Q == ( b - a ) ( p + g 2 P ) = ( b - a ) ( p + qw h i c h i s i d e n t i c a l t o t h e f o r m u l a f o r t h e a r e a o f a t r a p . e z o i Ji n e l e m e n t a r y g e o m e t r y . I n p a r t i c u l a r , f o r a r e a s c l a r e c t s a n g l e -a n d t r i a n g l e ( p a r t i c u l a r c a s e s o f a t r a p e z o i d ) w e a l s o o b t a i xt h e f o r m u l a s o f e l e m e n t a r y g e o m e t r y .H o w e v e r , t h e m e t h o d o f i n t e g r a t i o n e n a b l e s u ` t o c a l c i u l a t ea r e a s o f . m a n y n o n - e l e m e n t a r y f i g u r e s . L e t u s c c p s i d e r s o m e

a d d i t i o n a l e x a m l e s .1 . L e t u s c a l c u l a t e t h e a r e a O A B ( F i g . 5 6 ) o f t h e c u r v i l i -n e a r t r i a n g l e b o u n d e d b e l o w b y t h e s e g m e n t 0 < < o ao f t h e x - a x i s , o n t h e r i g h t b y t h e o r d i n a t e x = Q a n d n b o v ' eb y t h e c u r v e y = C x n . T h e a n t i d e r i v a t i v e o f ` h eY = x n i s F ( x ) = x n + i / ( n + 1 )t h e r e f o r e a c c o r d i n g t o E q . ( 2 7 ) :

a n + 1 a .S ( a ) = C a n + l ` C p a + 1 = C nn p 1 n + 1 n + 1 - jT h e n u m b e r C a n i s t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t A k T h e t r e f o i t et h e a r e a o f i n t e r e s t , S ( a ) , i s 1 / ( n + 1 ) - t h f r a c l t o n o i . f t i ec i r c u m s c r i b e d r e c t a n g l e O A B C .4 2


43/55

2 . L e t u s c a l c u l a t e t h e a r e a s S 1 , S 2 a n d S 3 ( F i g . 5 7 ) b o u n -d e d b y t h e c u r v e y = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) a n d b y t h e s e g -m e n t s o f t h e x - a x i s f r o m 0 t o 1 , f r o m 1 t o 2 , a n d f r o m 2 t o 3 .H e r e w e h a v ey = P ( x ) = x 4 - 6 x 3 + 1 1 x 2 - 6 xa n d i t s a n t i d e r i v a t i v e i s

6 x 4 1 1 . 1 6 x 24 + 3 2W h e n c eS 1 = F ( 1 ) - F ( 0 ) = 5 - 2 + 3 - 3 = - 3T h e m i n u s s i g n i n d i c a t e s t h a t t h e a r e a S 1 l i e s b e l o w t h ex - a x i s . T h e n

S z = F ( 2 ) - F ( 1 ) s 2 2 4 + 1 2 + 3 0 9 1 1= 3 0a n d , f i n a l l y ,S 3 = F ( 3 ) - F ( 2 ) = 2 5 2 + 9 9 - 2 7 - } 5 = - 3 0T h e l a s t r e s u l t c o i n c i d e s w i t h S 1 ; t h i s c o u l d b e p r e d i c t e do n t h e b a s i s o f s y m m e t r y .3 . L e t u s c a l c u l a t e t h e a r e a S ( F i g . 5 8 ) u n d e r t h e c u r v ey = 1 / x 2 b e t w e e n t h e l i n e s x = 1 a n d x = N , w h e r e N i sa l a r g e n u m b e r . T h e a n t i d e r i v a t i v e o f y ( x ) = 1 / x 2 i s ,

F i g . 5 6 F i g . 5 7

4 3


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Y

1

0

F i g . 5 8

o b v i o u s l y , F ( x ) = - ( 1 / x ) , a n d w e o b t a i nS = F ( N ) - F ( 1 ) = 1 - 1 1 N ( 2 9 )I t i s i n t e r e s t i n g t h a t a t t h e N h o w e v e r l a r g e , t h i s a r e a i ss m a l l e r t h a n 1 . F o r m u l a ( 2 9 ) i n d i c a t e s t h a t i t i s l o g i c a l t oa s s i g n t o t h e w h o l e i n f i n i t e l y s t r e t c h e d f i g u r e , b o u n d e d b e l o wb y t h e x - a x i s , a b o v e b y t h e c u r v e y = 1 / x 2 , o n t h e l e f t b yt h e s e g m e n t o f t h e l i n e x = 1 a n d n o t b o u n d e d o n t h e r i g h t -h a n d s i d e , a f i n i t e a r e a , n a m e l y t h e a r e a e q u a l t o 1 .W e s e e t h a t c a l c u l u s o f i n t e g r a l s b a s e d o n t h e c a l c u l u s

o f d e r i v a t i v e s e n a b l e s u s t o s o l v e i n a u n i f i e d m a n n e r a n u m -b e r o f p r o b l e m s o n a r e a s , w h i c h c a n n o t b e s o l v e d b y m e a n so f e l e m e n t a r y m a t h e m a t i c s . H o w e v e r , t h e p r o b l e m o f a r e ac a l c u l a t i o n i s a c o m p a r a t i v e l y p a r t i c u l a r p r o b l e m , o n l y o n er e a l i z a t i o n o f t h e g e n e r a l p r o b l e m o f f i n d i n g t h e a n t i d e r i v a -t i v e f u n c t i o n f r o m i t s d e r i v a t i v e . B u t m a n y p r o b l e m s i nm a t h e m a t i c s , m e c h a n i c s , p h y s i c s , c h e m i s t r y , b i o l o g y a r er e d u c e d t o t h i s g e n e r a l p r o b l e m ; t h e i n t e g r a l c a l c u l u s m a k e si t p o s s i b l e t o s o l v e b y m e a n s o f a g e n e r a l m e t h o d a g r e a tn u m b e r o f p r o b l e m s w i t h m o s t v a r i e d s p e c i f i c c o n d i t i o n s b u tw i t h c o m m o n m a t h e m a t i c a l e s s e n c e ( f o r i n s t a n c e , c a l c u l a -t i o n o f e n e r g y r e q u i r e d f o r l a u n c h i n g a s a t e l l i t e ; f i n d i n g t h el a w t h a t g o v e r n s r a d i o a c t i v e d e c a y ; q u a n t i t a t i v e a n a l y s i so f t h e c o u r s e o f a c h e m i c a l r e a c t i o n o r o f p r o l i f e r a t i o n o fb a c t e r i a ) . N o t b e i n g a l s o a b l e t o d e s c r i b e h e r e a l l t h e s ea t t r a c t i v e a p p l i c a t i o n s w e a d v i s e t h e r e a d e r t o p a y a t t e n -t i o n t o a m o n o g r a p h b y G . P h i l l i p s " D i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n s " , c o n t a i n i n g a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s c o n c e r n i n gd i v e r s e f i e l d s o f s c i e n c e a n d t e c h n o l o g y a n d r e q u i r i n g a p p l i -c a t i o n o f t h e i n t e g r a l c a l c u l u s .4 . M o r e c a r e f u l a p p r o a c h w i l l b e n e c e s s a r y i n t h e e x a m p l et o f o l l o w . T h e s u b j e c t i s t h e a r e a S u n d e r t h e s a m e c u r v ey = 1 / x 2 b e t w e e n t h e l i n e s x = a a n d x = b > a ( F i g . 5 9 ) .

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U s i n g t h e s a m e t e c h n i q u e s w eo b t a i nS = F ( b ) - F ( a ) = a - bI f a a n d b a r e o f t h e s a m es i g n , t h e r e s u l t i s p o s i t i v e ;t h i s i s q u i t e n a t u r a l s i n c e t h ec u r v e y = 1 1 x 2 i s s i t u a t e da b o v e t h e x - a x i s . I f , h o w e -v e r , a a n d b h a v e o p p o s i t e Y = : 2s i g n s , a < 0 a n d b > 0 , t h er e s u l t u n e x p e c t e d l y t u r n s o u tn e g a t i v e w h i c h c o n t r a d i c t st h e g e o m e t r i c p a t t e r n . T h er e a s o n i s t h a t o u r a p p l i c a t i o no f r u l e ( 2 7 ) t o t h e a n t i d e r i -v a t i v e h a s b e e n o n l y f o r m a l . xI n r e a l i t y r u l e ( 2 7 ) h a s d e f i n i t e 0 bl i m i t s a s t o i t s a p p l i c a t i o n F i g . 5 9b e y o n d w h i c h i t i s i n v a l i d a -t e d ; - u n f o r t u n a t e l y , h e r e w e c a n n o t e v e n i n d i c a t e p r e c i s e l yt h e s e l i m i t s s i n c e t h e n e c e s s a r y s t a t e m e n t s w o u l d r e q u i r et h e c o n c e p t s t h a t a r e n o t i n t r o d u c e d y e t .B e s i d e s , m o r e a t t e n t i v e a n a l y s i s r e v e a l s " w h i t e s p o t s "1 4 a ` I ] Y L , T f i i \ S u ` V i " P , L i \ S 1 ? d o f T P ? . t L Y P . 9 , .o f c e r t a i n r a t i o n a l f u n c t i o n s c a n b e o b t a i n e d f r o m t h ee q u a l i t y

( ( x i a ) m ) - ( x _ a ) m + ls t e m m i n g f r o m g e n e r a l f o r m u l a ( 2 2 ) . N a m e l y , f o r t h e e x p r e s -s i o ny ( x ) _ ( x b a 1 ) 2 + ( x b a 2 ) 3 + . . . + ( x _ a m ) m + l ( 3 0 )

t h e a n t i d e r i v a t i v e c a n b e g i v e n b y t h e f o r m u l aF ( x ) x b i a s - 2 ( x b 2 2 2 ) 2 m . ( x b a m ) ' nH o w e v e r , i t i s n o t e v e r y r a t i o n a l f u n c t i o n t h a t c a n b er e d u c e d t o f o r m ( 3 0 ) . F o r i n s t a n c e , t h e a n t i d e r i v a t i v e o f t h ef u n c t i o n 1 1 x c a n n o t b e o b t a i n e d i n t h i s w a y . A c t u a l l y t h ef u n c t i o n 1 1 x h a s i t s a n t i d e r i v a t i v e b u t n o t o n l y i s i t n o n -r a t i o n a l , i t e v e n d o e s n o t b e l o n g t o a c l a s s o f e l e m e n t a r yf u n c t i o n s w h i c h a r e s t u d i e d i n h i g h s c h o o l ,

mir - lml - shilov g. e. - calculus of rational functions - 1982

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