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I. �।¥« äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå . . . . . . 4§1. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠. . . . . . . . . . . . . 4§2. �®¯ë⪨ ᢥ¤¥¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨© ®¤®©
¯¥à¥¬¥®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6§3. �®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« . 11§4. � ¯à¨¬¥¥¨¨ ®¤®¬¥à®© ä®à¬ã«ë �¥©«®à ª
¢ëç¨á«¥¨î ¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . . . . . . . 14II. �¥¯à¥à뢮áâì äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå 20§1. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®ï⨥¬ ¯à¥¤¥« . . . . . . . . . 20§2. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© . . . . . . . . . . 23III. �¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å¯¥à¥¬¥ëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§1. � áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§2. �¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ . . . . . . . . . . 32§3. �¨ää¥à¥æ¨ «. �¢ ਠâ®áâì ä®à¬ë
¤¨ää¥à¥æ¨ « . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35§4. �®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ . . . . . . . . . . . . . . 38§5. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ . . 45
�⢥âë ª ã¯à ¦¥¨ï¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63�¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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§ 1. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠�¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå
ä®à¬ «ì® ¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨®¤®© ¯¥à¥¬¥®©. � ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ ®¡ë箤 îâáï ¤¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« | ¯® �®è¨ ¨ ¯® �¥©¥, ¤®-ª §ë¢ ¥âáï ¨å à ¢®á¨«ì®áâì.
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.1 (¯® �®è¨). �ãªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥-«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® ç¨á« ε ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ç¨á«® δ, çâ® ¤«ï¢á¥å~x ¨§ ¯à®ª®«®â®© δ-®ªà¥áâ®áâ¨~a ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮|f(~x)− b| < ε.
� ï§ëª¥ ª¢ â®à®¢: lim~x→~a
f(~x) = b, ¥á«¨
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀~x ∈ Uδ(~a) → |f(~x)− b| < ε.
� í⮬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ~x = (x1, . . . , xn) ¨ ~a = (a1, . . . , an)| â®çª¨ n-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn; f(~x) == f(x1, . . . , xn) (¢® ¨§¡¥¦ ¨¥ ¯ãâ ¨æë, ¥á«¨ â®çª Rn ®¡®-§ ç ¥âáï ¬ «®© ¡ãª¢®© « â¨áª®£® «ä ¢¨â , ¬ë ¡ã¤¥¬ áâ -¢¨âì ¤ í⮩ ¡ãª¢®© áâ५ªã; ¥á«¨ áâ५ª¨ ¥â | íâ® ¤¥©áâ-¢¨â¥«ì®¥ ç¨á«®, â.¥. â®çª ç¨á«®¢®© ¯àאַ© R1). �ப®«®â ﮪà¥áâ®áâì â®çª¨ ~a | íâ® ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® 0 << ρ(~x,~a) < δ, £¤¥
ρ(~x,~a) =√
(x1 − a1)2 + . . . + (xn − an)2.
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.2 (¯® �¥©¥). �ãªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ- ï ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨~xk â ª®©, çâ® ~xk 6= ~a ¨ lim
k→∞~xk = ~a, ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮
limk→∞
f(~xk) = b.
5
�室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª ~xk ª â®çª¥ ~a ®§ -ç ¥â, çâ® lim
k→∞ρ(~xk,~a) = 0, â.¥.
∀ ε > 0 ∃ k0 : ∀ k > k0 → ρ(~xk,~a) < ε.
�ᥠ®á®¢ë¥ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢ äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥¬¥-®© á®åà ïîâáï ¢ ¬®£®¬¥à®¬ á«ãç ¥: â¥®à¥¬ë ®¡ à¨ä¬¥-â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨ïå á ¯à¥¤¥« ¬¨, ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢, á¢ï§ -ë¥ á ¥à ¢¥á⢠¬¨ ¨ â.¤. �ãªæ¨ï α(~x) §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®-¥ç® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a, ¥á«¨ lim
~x→~aα(~x) = 0. �᫨ äãªæ¨ï
f(~x) ®£à ¨ç¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨~a, äãªæ¨ï α(~x) ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ~x → ~a, â® äãªæ¨ïα(~x)f(~x) â ª¦¥ ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¯à¨ ~x →~a.
�®¢®àïâ, çâ® f(~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x →~a (f(~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®âg(~x)), ¥á«¨ f(~x) = α(~x)g(~x), £¤¥ α(~x) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨~x → ~a. �᫨ g(~x) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®-⮩ ®ªà¥áâ®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à ¢®á¨«ì® à ¢¥áâ¢ãlim~x→~a
f(~x)g(~x) = 0.
�¥á¬®âàï ®¡é®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ áãé¥áâ-¢®¢ ¨ï ¯à¥¤¥« ¤«ï äãªæ¨© ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨æ¨¯¨- «ì® á«®¦¥¥, 祬 ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥. � ¯à¨¬¥à, ¥á«¨äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¯®-à §®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ x >> a ¨ x < a, â® ¤®áâ â®ç® ¨áá«¥¤®¢ âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¤-®áâ®à®¨å ¯à¥¤¥«®¢ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ . � ç¨á«®¢®© ¯àאַ© ªâ®çª¥ ¬®¦® ¯®¤®¡à âìáï ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨, ¢®â 㦥 ¯«®á-ª®á⨠R2 â ª¨å ᯮᮡ®¢ ¡¥áª®¥ç® ¬®£®, çâ® ãá«®¦ï¥â á¨-âã æ¨î. �ਠí⮬ ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å à §¬¥à®á⥩ n > 3ª à⨠¥ ãá«®¦ï¥âáï ª ç¥á⢥®. �à¨æ¨¯¨ «ìë¬ ï¢«ï-¥âáï ¨¬¥® ¯¥à¥å®¤ ®â n = 1 ª n = 2. � ¤ «ì¥©è¥¬, ¥á«¨ ¥®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® n = 2.
�®çª ~x ¯«®áª®á⨠§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ª®®à¤¨ â å: ~x = (x, y);f(~x) = f(x, y). �।¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå §ë¢ ¥âá濫®©ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨ ®¡®§ ç ¥âáï
lim(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) ¨«¨ limx→x0y→y0
f(x, y).
6
�¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® �®è¨: limx→x0y→y0
f(x, y) = b, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥-
¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠(x0, y0) ¨ ∀ ε > 0∃ δ > 0: ∀ (x, y), 0 <
√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ → |f(x, y)−b| <
< ε.�¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯® �¥©¥: lim
x→x0y→y0
f(x, y) = b, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥-
¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠(x0, y0) ¨ ¤«ï «î-¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xk, yk) â ª®©, çâ® (xk, yk) 6= (x0, y0) ¨lim
k→∞(xk, yk) = (x0, y0), ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ lim
k→∞f(xk, yk) =
= b.�¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ãá«®¢¨¥ (xk, yk) 6= (x0, y0)
®§ ç ¥â ¥á®¢¯ ¤¥¨¥ â®ç¥ª; ¯à¨ í⮬ ¢®§¬®¦®, ¯à¨¬¥à,çâ® xk = x0 (® ⮣¤ ®¡ï§ â¥«ì® yk 6= y0).
§ 2. �®¯ë⪨ ᢥ¤¥¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨© ®¤®©¯¥à¥¬¥®©
�áâ¥á⢥® ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á, ¥«ì§ï «¨ ¤¢®©®© ¯à¥-¤¥« äãªæ¨¨ f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0) ᢥá⨠ª ¯à¥¤¥« ¬ ¢¨¤ lim
x→x0
( limy→y0
f(x, y)) ¨ limy→y0
( limx→x0
f(x, y))?
x
y
0 x0 + δ
y0 + δ
x0 − δ
y0 − δ
x0
y0
�¨á. 1.1
7
�®ç¥¥, ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ®á⨠(x0, y0), â® ® ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ª¢ ¤à ⥠¢¨¤ {x0 −− δ < x < x0 + δ, y0 − δ < y < y0 + δ} á ¢ëª®«®â®© â®çª®©(x0, y0) (á¬. à¨á. 1.1). �ãáâì ¤«ï «î¡®£® x ∈ (x0 − δ; x0 ++ δ), x 6= x0, áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim
y→y0
f(x, y) (áâ५ª¨ ¢¨§¨ ¢¢¥àå à¨á. 1.1). � ª ª ª äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©ϕ(x) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© δ-®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨x0, â® ¬®¦® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ lim
x→x0
ϕ(x)
(áâ५ª¨ ¢«¥¢® ¨ ¢¯à ¢® à¨á. 1.1). �᫨ â ª®© ¯à¥¤¥«áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¥£® ¥áâ¥á⢥® §¢ âì ¯®¢â®àë¬ ¯à¥¤¥«®¬lim
x→x0
( limy→y0
f(x, y)). � «®£¨ç® ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¯®¢-â®àë© ¯à¥¤¥« lim
y→y0
( limx→x0
f(x, y)).�¥âà㤮 ¯à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥à, ª®£¤ ®¡ ¯®¢â®àëå ¯à¥¤¥«
áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ᮢ¯ ¤ îâ, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.�ਬ¥à 1.1. � áᬮâਬ äãªæ¨î f(x, y) = (x + y)2
x2 + y2 , x2+
+ y2 > 0. � ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ ®¢ª ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ -¨¨ lim
x→0y→0
f(x, y). � áᬮâਬ á ç « ¯®¢â®àë¥ ¯à¥¤¥«ë.
�«ï «î¡®£® x 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = limy→0
(x + y)2
x2 + y2 = x2
x2 = 1,¯®í⮬㠯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« lim
x→0(limy→0
f(x, y)) = 1. � «®£¨ç®,
¤«ï «î¡®£® y 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ψ(y) = limx→0
(x + y)2
x2 + y2 = y2
y2 = 1, ¨¤à㣮© ¯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« â ª¦¥ à ¢¥ 1.
�¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. � á ¬®¬ ¤¥«¥,f(x, x) = 2; f(x,−x) = 0. �᫨ ¡ë ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮-¢ « ¨ à ¢ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xk, yk) 6=6= (0, 0) â ª®©, çâ® lim
k→∞(xk, yk) = (0, 0), ¢ë¯®«ï«®áì ¡ë à -
¢¥á⢮ limk→∞
f(xk, yk) = b. �® ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ limk→∞
xk = 0, â®f(xk, xk) = 2, f(xk,−xk) = 0, â.¥. b = 2 = 0. �®«ã祮¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ®âáãâá⢨¥ ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« .
�¯à ¦¥¨¥ 1.1. �®ª § âì, çâ® ¤«ï äãªæ¨¨ f(x, y) =
8
= x2 − y2
x2 + y2 , x2+y2 > 0, ®¡ ¯®¢â®àëå ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0áãé¥áâ¢ãîâ, ® à §«¨çë.
�¯à ¦¥¨¥ 1.2. �®ª § âì, çâ® ¤«ï äãªæ¨¨ f(x, y) =
={
x sin 1y , y 6= 0;
0, y = 0,¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0 à ¢¥ 0,
¯®¢â®àë© ¯à¥¤¥« limx→0
(limy→0
f(x, y)) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â (¥ áãé¥áâ-¢ã¥â ¤ ¦¥ lim
y→0f(x, y) ¨ ¯à¨ ®¤®¬ x 6= 0).
�¯à ¦¥¨¥ 1.3. �ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«lim
x→x0y→y0
f(x, y) = b, ¨ ¯à¨ «î¡®¬ x ∈ (x0 − δ;x0 + δ), x 6= x0,
áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = limy→y0
f(x, y). �®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¢-â®àë© ¯à¥¤¥« lim
x→x0
ϕ(x) = b.�éñ ®¤ ¯®¯ë⪠ᢥá⨠¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ª ¯à¥¤¥« ¬ äãª-
権 ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© | íâ® ¯à¥¤¥«ë ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬.�¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.3. �ãáâì~l = (cos ϕ; sin ϕ) | ¥¤¨¨çë©
¢¥ªâ®à. �᫨ äãªæ¨ï f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®-«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (x0; y0), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x → x0,y → y0 ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® ¯à ¢«¥¨î, ®¯à¥-¤¥«ï¥¬®¬ã 㣫®¬ ϕ) §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥-¬¥®© ρ:
limρ→+0
f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ).
� ¬ ¥ ç ¨ ¥. � í⮬ á«ãç ¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢¢®¤ïâáﯮ«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë ¯«®áª®á⨠á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (x0, y0).�¨ªá¨à®¢ ®¥ § 票¥ ϕ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äãªæ¨ï à á-ᬠâਢ ¥âáï «¨èì «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0, y0) ¯®¤ã£«®¬ ϕ ª ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì®© ®á¨Ox.
�â६«¥¨¥ (x, y) ª (x0, y0) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã.�ਠϕ = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥-®© f(x, y0) ¢ â®çª¥ x0:
limx→x0+0
f(x, y0),
¯à¨ ϕ = π2 ¯®«ãç ¥¬ lim
y→y0+0f(x0, y).
9
�⢥ত¥¨¥ 1.1. �᫨ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→y0
f(x, y) = b, â®
¯à¥¤¥« ¯® «î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î ¯à¨ x → x0, y → y0 à ¢¥ b.¤ � áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ρk ¯®«®¦¨-⥫ìëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim
k→∞ρk = 0. �®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-
®áâì â®ç¥ª (xk, yk) = (x0 + ρk cosϕ, y0 + ρk sinϕ) áâ६¨âáïª â®çª¥ (x0, y0), ¯à¨çñ¬ (xk, yk) 6= (x0, y0). �®£¤ lim
k→∞f(x0 +
+ρk cosϕ, y0+ρk sinϕ) = b, â.¥. limρ→+0
f(x0+ρ cosϕ, y0+ρ sinϕ) =
= b (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥¤¥« ¯® �¥©¥ äãª-樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå x, y ¨ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ρ). ¥
�âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ë äãªæ¨¨ f(x, y) ¯® ¤¢ã¬à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢ â®çª¥ (x0, y0) à §«¨çë, â® ¤¢®©®©¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
� ª, ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1
f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =(ρ cosϕ + ρ sinϕ)2
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ= (cosϕ + sin ϕ)2
(¯à¨ ϕ = π4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ϕ = − π
4 ¨¬¥¥¬ 0). �® à §«¨çë¬ -¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë¥ ¯à¥¤¥«ë, § ç¨â, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0 ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
�®§¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã ¯à ¢-«¥¨î äãªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x → x0, y → y0 ®¤¨ ¨ â®â¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ b? � ᮦ «¥¨î, í⮥¢¥à®.
�ਬ¥à 1.2. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =x2y
x4 + y2, x2 + y2 > 0.
�ãáâì x → 0, y → 0. �¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬.
f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =ρ3 cos2 ϕ sinϕ
ρ4 cos4 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=
ρ cos2 ϕ sinϕ
ρ2 cos4 ϕ + sin2 ϕ.
�᫨ sinϕ = 0, â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ à ¢® 0 ¯à¨ «î¡®¬ρ > 0. �᫨ sinϕ 6= 0, â® ¢áñ à ¢® lim
ρ→+0f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = 0.
�â ª, ¯® «î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î ¯à¥¤¥« f(x, y) ¯à¨ x → 0, y →→ 0 à ¢¥ 0. �® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, x2) = 1
2 . � «®£¨ç®
10
à áá㦤¥¨î ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1: ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ limk→∞
xk = 0, â®
f(xk, 0) = 0, f(xk, x2k) = 1
2 . �¢®©®© ¯à¥¤¥« limx→0y→0
f(x, y) ¥
áãé¥áâ¢ã¥â.
x
y
0
A
B
C
�¨á. 1.2
� ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®©§®©â¨ â ª,çâ® ¯® ª ¦¤®¬ã ¯à ¢«¥¨î¯à¥¤¥« à ¢¥ 0 (¢à®¤¥ ¡ë, ª ª¨ ¨¤â¨ ª â®çª¥, ¢áñ à ¢® 0), ¯® ¯ à ¡®«¥ ¯®«ãç ¥¬ ¤àã-£®¥ ç¨á«® 1
2? �®§ì¬ñ¬, ¯à¨-¬¥à, â®çªã A à¨á. 1.2. � -票¥ f(A) = 1
2 , ® ¯à¥¤¥«f(~x) ¯® ¯à ¢«¥¨î AO à -¢¥ 0. �® ¦¥ ¬®¦® ᪠§ âì¯à® â®çª¨ B, C, . . . , «¥¦ 騥 ¯ à ¡®«¥. �® ¢á¥å íâ¨å â®ç-ª å äãªæ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â § -
票¥ 12 . �¥¬ ¡«¨¦¥ â ª ï â®çª ª ç «ã ª®®à¤¨ â, ⥬ ª®-
à®ç¥ ®â१®ª, ª®â®à®¬ äãªæ¨ï ¤®«¦ ý㯠áâìþ ®â § ç¥-¨ï 1
2 ¤® § 票ï 0, ® â ª®© ®â१®ª ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìã¨ã, ¨ áâ६«¥¨¥ äãªæ¨¨ ª ã«î ¢¤®«ì í⮣® ®â१ª ¨-祬㠥 ¯à®â¨¢®à¥ç¨â.
�®¢¥à襮 ïá®, çâ® ¥á«¨ 㤠áâáï ¤®¡¨âìáï áâ६«¥¨ïª ã«î ¯® «î¡®© ¯ à ¡®«¥, â® ¬®£ãâ ©â¨áì ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ªà¨¢ë¥ ( ¯à¨¬¥à, á¯¨à «¨), ¯® ª®â®àë¬ áâ६«¥¨ï ª ã«î¥ ¡ã¤¥â. �®¦¥â ᮧ¤ áâìáï ¢¯¥ç â«¥¨¥, çâ® ¥¢®§¬®¦® ¤®-¡¨âìáï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« . �® ¨ íâ® ¥¢¥à®.
�à®áâ® ¬ë ¨¢® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®ï⨥ ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì® ª ¯à¥¤¥« ¬ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥-६¥®©. �â® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥¢®§¬®¦®, ¨ ã¦ë ¤à㣨¥¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï.
11
§ 3. �®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤¢®©®£®¯à¥¤¥«
�⢥ত¥¨¥ 1.2. �ãáâì äãªæ¨ï f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (x0, y0), ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨-⥫쮥 ç¨á«® ρ0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ϕ ¨ ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0)¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮
|f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ)− b| 6 F (ρ),
£¤¥ limρ→+0
F (ρ) = 0.�®£¤ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« lim
x→x0y→y0
f(x, y) = b.
¤ �§ ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â, çâ®∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ ρ ∈ (0; δ) → F (ρ) < ε.
�«ï ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ (x, y) ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á« ρ¨ ϕ â ª, çâ® x = x0 + ρ cosϕ, y = y0 + ρ sinϕ (â.¥. ¢¢¥¤ñ¬¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (x0, y0)). �®£¤ ρ ==
√(x− x0)2 + (y − y0)2. �®í⮬㠤«ï ¢á¥å â®ç¥ª (x; y) â ª¨å,
çâ® 0 <√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ, ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮|f(x, y) − b| = |f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ) − b| 6 F (ρ) < ε. �⮨ ®§ ç ¥â, çâ® lim
x→x0y→y0
f(x, y) = b. ¥
�ਬ¥à 1.3. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =x2y
x2 + y2, x2 + y2 > 0.
�¢¥¤ñ¬ ¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ (0; 0): x == ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.
�®£¤ f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = ρ3 cos2 ϕ sin ϕρ2(cos2 ϕ + sin2 ϕ)
= ρ cos2 ϕ sinϕ.� ª ª ª |f(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| 6 ρ → 0, â® lim
x→0y→0
f(x, y) = b.
� ¬ ¥ ç ¨ ¥ 1. �àã¡® ®è¨¡®çë¬ ï¢«ï¥âáï à á-á㦤¥¨¥: lim
ρ→+0ρ cos2 ϕ sinϕ = 0, á«¥¤®¢ ⥫ì®, lim
x→0y→0
f(x, y) =
= 0.� á ¬®¬ ¤¥«¥, ¬ë ¤®ª § «¨ ⮫쪮 â®, çâ® ¯à¥¤¥« f(x, y)
¯à¨ x → 0, y → 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ¯à ¢«¥¨î à ¢¥ 0. � ª ¬ë
12
¢¨¤¥«¨, í⮣® ¥éñ ¥¤®áâ â®ç® ¤«ï «¨ç¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥-¤¥« . �㦠®æ¥ª ¬®¤ã«ï à §®á⨠f(x, y)− b ᢥàåã äãª-樥© ⮫쪮 ®â ρ, ¥ § ¢¨áï饩 ®â ϕ ¨ áâ६ï饩áï ª ã«î¢¬¥á⥠á ρ.
� ¬ ¥ ç ¨ ¥ 2. �¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¯¥à¥-室 ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á¯®á®-¡®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠«¨ç¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« . �ਢ¥¤ñ¬ ¥éñ®¤® à¥è¥¨¥ ¯à¨¬¥à 1.3. �«ï «î¡ëå ç¨á¥« x, y ¨¬¥¥â ¬¥áâ®¥à ¢¥á⢮ |xy| 6 x2 + y2
2 . � ç¨â, f(x, y) = x · xyx2 + y2 |
¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© äãªæ¨¨ x ®£à ¨ç¥ãîäãªæ¨î xy
x2 + y2 . �®í⮬ã f(x, y) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï äãª-æ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0.
�ਢ¥¤ñ®¥ à¥è¥¨¥ § ç¨â¥«ì® ¡®«¥¥ ý¨áªãáá⢥®þ,祬 ¯¥à¢®¥. �¥â®¤ ¢¢¥¤¥¨ï ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â 㨢¥àá «¥¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¡ëáâ॥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ã¦ãî ®æ¥ªã,祬 ¯à¨¬¥¥¨¥ ª ª¨å-«¨¡® ¥à ¢¥á⢠¥¯®á।á⢥® ¤«ïäãªæ¨© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå, å®âï ¡ë¢ ¥â ¨ ¨ ç¥.
�ਬ¥à 1.4. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =x5
x4 + y4, x2 + y2 > 0.
�¬¥¥¬
|f(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| =∣∣∣∣
ρ5 cos5 ϕ
ρ4(cos4 ϕ + sin4 ϕ)
∣∣∣∣ 6
6 ρ
(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2 − 2 cos2 ϕ sin2 ϕ=
ρ
1− sin2 2ϕ2
6
6 ρ
1− 12
= 2ρ → 0,
¯®í⮬ã limx→0y→0
f(x, y) = 0.
�ਬ¥à 1.5. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =ln(1 + 3
√x2y2)√
x2 + y2, x2 + y2 > 0.
13
�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. �¬¥¥¬
f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =ln(1 + 3
√ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ)
ρ6 1
ρln(1 + ρ4/3).
�।¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© F (ρ) = 1ρ ln(1+ρ4/3) ¬®¦®
¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥ïï ä®à¬ã«ã �¥©«®à :
limρ→+0
ln(1 + ρ4/3)ρ
= limρ→+0
ρ4/3 + o(ρ4/3)ρ
= 0;
¯®í⮬ã limx→0y→0
f(x, y) = 0.
�®£¤ ¯®«ã票¥ 㦮© ®æ¥ª¨ ᢥàåã âॡã¥â § ç¨-⥫ìëå ãᨫ¨©.
�ਬ¥à 1.6. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =3√
x3 + y4 − x√x2 + y2
, x2 + y2 > 0.
�¯ïâì-â ª¨ f(x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. �¬¥¥¬
f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) =3√
ρ3 cos3 ϕ + ρ4 sin4 ϕ− ρ cosϕ
ρ=
= 3
√cos3 ϕ + ρ sin4 ϕ− cosϕ 6 3
√cos3 ϕ + ρ− cosϕ.
�ãáâì cosϕ = t ∈ [−1; 1]. �®£¤
0 6 f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) 6 g(t, ρ) = 3√
t3 + ρ− t.
�ਠ䨪á¨à®¢ ®¬ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ ρ ©¤ñ¬ F (ρ) == max−16t61
g(t, ρ). �ந§¢®¤ ï äãªæ¨¨ g(t, ρ) ª ª äãªæ¨¨ ®â
t ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ ρ à ¢ 13 (t3 + ρ)−2/3 · 3t2 − 1. � ®¡-
à é ¥âáï ¢ ã«ì, ¥á«¨ t2 = (t3 + ρ)2/3, â.¥. t6 = t6 + 2t3ρ + ρ2,®âªã¤ t = − 3
√ρ2 . �ਠ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå ρ íâ® § 票¥ t
¯à¨ ¤«¥¦¨â ®â१ªã [−1; 1], ¨ ¤«ï 宦¤¥¨ï F (ρ) 㦮
14
¢ë¡à âì ¨¡®«ì襥 ¨§ âàñå ç¨á¥«:
g
(− 3
√ρ
2, ρ
)= 3
√− ρ
2+ ρ + 3
√ρ
2= 3
√4ρ;
g(1, ρ) = 3√
1 + ρ− 1 ∼ ρ
3, ρ → +0;
g(−1, ρ) = 3√−1 + ρ + 1 ∼ ρ
3, ρ → +0.
�ਠ¬ «ëå ρ ¨¡®«ì訬 ¨§ íâ¨å ç¨á¥« ¡ã¤¥â 3√
4ρ; § ç¨â, ©¤ñâáï ρ0 > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®¥à ¢¥áâ¢
0 6 f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) 6 3√
4ρ.�«¥¤®¢ ⥫ì®, lim
x→0y→0
f(x, y) = 0.
�¯à ¦¥¨¥ 1.4. �®ª § âì, çâ®: ) lim
x→0y→0
x3y√x6 + y6
= 0; ¡) limx→0y→0
arctg√|x|5 + y6
x2 + y2 = 0;
¢) limx→0y→0
x sin y + y sin x√x2 + y2
= 0; £) limx→0y→0
1− cosx3√
x4 − x2y2 + y4= 0.
�¯à ¦¥¨¥ 1.5. �®ª § âì, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ãîâ: ) lim
x→0y→0
x3yx4 + x2y2 + y4 ; ¡) lim
x→0y→0
x3yx6 + y4 ;
¢) limx→0y→0
x3yx6 + y2 ; £) lim
x→0y→0
ln(1 + xy)x2 + y2 .
§ 4. � ¯à¨¬¥¥¨¨ ®¤®¬¥à®© ä®à¬ã«ë �¥©«®à ª ¢ëç¨á«¥¨î ¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢
�®à¬ã« �¥©«®à ¤«ï äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ë宯¨à ¥âáï ¯®ï⨥ ¤¨ää¥à¥æ¨ « n-£® ¯®à浪 ¨ ¢®§¨-ª ¥â ¢ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥,祬 ¯®ï⨥ ¯à¥¤¥« . �® ¥ á«¥¤ã¥â § ¡ë¢ âì ® ⮬, çâ®,¯à¨áâã¯ ï ª ¨§ãç¥¨î ¬®£®¬¥à®£® «¨§ , áâ㤥âë 㦥§ ª®¬ë á ä®à¬ã«®© �¥©«®à ¤«ï äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥¬¥-®©, ¨, ¥áâ¥á⢥®, ¯ëâ îâáï ¯à¨¬¥ïâì ¥ñ ª ¢ëç¨á«¥¨î¤¢®©ëå ¯à¥¤¥«®¢. �®¯ëâ ¥¬áï ¢ëïá¨âì, ᪮«ìª® íâ® ¤®-¯ãá⨬®. �£à ¨ç¨¬áï ä®à¬ã«®© � ª«®à¥ (à §«®¦¥¨¥ ¢®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ 0).
15
� ª ¨§¢¥áâ®, ¥á«¨ äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ϕ(u) ¨¬¥¥ân ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ â®çª¥ 0, â® ϕ(u) =
n∑k=0
ϕ(k)(0)k! uk + o(un) ¯à¨
u → 0 (ä®à¬ã« �¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ �¥- ®); íâ® ®§ ç ¥â, çâ®
limu→0
ϕ(u)−n∑
k=0
ϕ(k)(0)k! uk
un= 0. (1.1)
�¬¥¥â ¬¥áâ®�⢥ত¥¨¥ 1.3. (�¥®à¥¬ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã
¯®¤ § ª®¬ ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥-®©). �ãáâì äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå f(x, y) ¨¬¥¥â ¯à¥-¤¥« lim
x→x0y→y0
f(x, y) = b, äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© g(u) ¥¯à¥-
àë¢ ¢ â®çª¥ b. �®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« á«®¦®© äãªæ¨¨¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå lim
x→x0y→y0
g(f(x, y)) = g(b), â.¥. limx→x0y→y0
g(f(x, y)) =
= g( limx→x0y→y0
f(x, y)) (§ ª ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« ¨ § ª ¥¯à¥à뢮©
äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¬®¦® ¬¥ïâì ¬¥áâ ¬¨).¤ �ãáâì (xk, yk) | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª¯«®áª®á⨠⠪ ï, çâ® lim
k→∞(xk, yk) = (x0, y0), ¯à¨çñ¬ (xk, yk) 6=
6= (x0, y0). �®£¤ limk→∞
f(xk, yk) = b, â.¥. limk→∞
uk = b, £¤¥ uk =
= f(xk, yk). �®£¤ ¨§ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨¨ g(u) ¢ â®çª¥ bá«¥¤ã¥â, çâ® lim
k→∞g(uk) = g(b). � ª ª ª (xk, yk) | ¯à®¨§¢®«ì ï
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â®ç¥ª, áâ६ïé ïáï ª (x0, y0), ¨ â ª ï, çâ®(xk, yk) 6= (x0, y0), â® lim
x→x0y→y0
g(f(x, y)) = g(b). ¥
� ¬ ¥ ç ¨ ¥. �â ⥮६ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥-ë¬ à á¯à®áâà ¥¨¥¬ ¤¢ã¬¥àë© á«ãç © «®£¨ç®© ®¤-®¬¥à®© ⥮६ë (f ¨ g | äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©), ª®-â®à ï ¤®«¦ ¤®ª §ë¢ âìáï (®, ª ᮦ «¥¨î, ¥ ¢á¥£¤ ¤®ª -§ë¢ ¥âáï) ¢ «î¡®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ .
�ãáâì ⥯¥àì u(x, y) | äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå â ª ï,çâ® lim
x→x0y→y0
u(x, y) = 0, ¢ ª ç¥á⢥ ¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ 0 äãª-
16
樨 ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© g(u) ¢®§ì¬ñ¬
g(u) =
ϕ(u)−n∑
k=0
ϕ(k)(0)k! uk
un , u 6= 0;0, u = 0.
�ਬ¥ïï ⮫쪮 çâ® ¤®ª § ãî ⥮६ã, ¨§ (1.1) ¯®«ã稬lim
x→x0y→y0
g(u(x, y)) = 0 ⇒
ϕ(u(x, y)) =n∑
k=0
ϕ(k)(0)k!
(u(x, y))k + o((u(x, y))n)
¯à¨ x → 0, y → 0. (1.2)�®á«¥¤¥¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥-¬¥ëå. � ¯à¨¬¥à,
ex2y =n∑
k=0
x2kyk
k!+ o(x2nyn) ¯à¨ x → 0, y → 0.
�ãáâì ρ =√
x2 + y2. �®£¤ |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨, á«¥¤®¢ -⥫ì®, |x2y| 6 ρ3. � ª ª ª
o(x2nyn) = α(x, y)·x2nyn = α(x, y)·(
x
ρ
)2n(y
ρ
)n
ρ3n = β(x, y)·ρ3n,
£¤¥ β(x, y) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï äãªæ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ®£à ¨ç¥ãî; ¯®í⮬ão(x2nyn) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρ3n). �â ª,
ex2y =n∑
k=0
x2kyk
k!+ o(ρ3n) ¯à¨ x → 0, y → 0.
� ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ u(x, y) |¬®£®ç«¥ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå ¡¥§ ᢮¡®¤®£® ç«¥ (¢ í⮬á«ãç ¥ lim
x→0y→0
u(x, y) = 0). �®¦® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ρ 6 1 ¨¬¥¥â
¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮ |u(x, y)| 6 Cρm, £¤¥ C | á㬬 ¬®¤ã«¥© ª®-íää¨æ¨¥â®¢ ¬®£®ç«¥ , m | ¬¨¨¬ «ì ï á⥯¥ì ®¤®-ç«¥®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¤ ë© ¬®£®ç«¥; ¯à¨ í⮬ o((u(x, y))n)¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρmn). � ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮
17í⮣® ä ªâ £à®¬®§¤ª®, ¯®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ ª ¦¤®¬ ª®ªà¥â-®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥¨¥.
�ਬ¥à 1.7. � §«®¦¨âì äãªæ¨î f(x, y) = arctg(xy ++ x2 − y3) ¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à ¯à¨ x → 0, y → 0 ¤® o(ρ6).
�ãáâì u(x, y) = xy + x2 − y3 | ¬®£®ç«¥; ¬¨¨¬ «ì ïá⥯¥ì ¢å®¤ïé¨å ¢ ¥£® ®¤®ç«¥®¢ à ¢ 2. �®í⮬㠯à¨ρ 6 1 ¨¬¥¥¬
|u(x, y)| 6 ρ2 + ρ2 + ρ2 = 3ρ2,¨ ¤«ï à §«®¦¥¨ï f(x, y) ¤® o(ρ6) 㦮 ¢§ïâì à §«®¦¥¨¥arctg u ¤® o(u3):
arctg u = u− u3
3+ o(u3).
�®£¤ arctg(xy + x2 − y3) =
= xy+x2−y3− 13
(xy+x2−y3)3+o((xy−x2−y3)3), x → 0, y → 0.
�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® o((u(x, y))3) = α(x, y)(u(x, y))3 =
= α(x, y) ·(
u(x, y)ρ2
)3
· ρ6 = o(ρ6), â ª ª ª äãªæ¨ï β(x, y) =
= α(x, y) ·(
u(x, y)ρ2
)3
| ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ®£à ¨ç¥ãî.
�஬¥ ⮣®, ¢ ¬®£®ç«¥¥ 13 (xy+x2−y3)3 㦮 ¢ë¡à®á¨âì
¢á¥ ®¤®ç«¥ë ᥤ쬮© á⥯¥¨ ¨ ¢ëè¥, â ª ª ª, ¯à¨¬¥à,∣∣∣13 · 3(xy + x2)2 · y3∣∣∣ 6 (ρ2 + ρ2)2 · ρ3 = 4ρ7, ¨ íâ® á« £ ¥¬®¥ ¥áâì
o(ρ6). �ª®ç ⥫ì®arctg(xy + x2 − y3) =
= xy + x2 − y3 − 13
(x3y3 + 3x4y2 + 3x5y + x6) + o(ρ6) =
= xy + x2 − y3 − 13
x3y3 − x4y2 − x5y − 13
x6 + o(ρ6).
� ¬ ¥ ç ¨ ¥. �®¤ç¥àªñ¬, ¥éñ à §, çâ® ¢ íâ¨åà §«®¦¥¨ïå ρ ï¥âáï ¥ ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®©, äãª-樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå ρ(x, y) =
√x2 + y2; ¯®í⮬ã o(ρ6) 㦮
¯®¨¬ âì ª ª o((x2 + y2)3) ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå
18
¯¥à¥¬¥ëå. �¥¯®¨¬ ¨¥ í⮣®, â ª¦¥ ⮣®, çâ® ¢ à -¢¥á⢥ (1.2) u(x, y) ¤®«¦ ¡ëâì ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© äãªæ¨¥©¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå, ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ®è¨¡®çë¬ ¢ë¢®¤ ¬.
�ᯮ¬¨¬, ¯à¨¬¥à, çâ® äãªæ¨ï ¨§ ¯à¨¬¥à 1.3 ¥ ¨¬¥¥â¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0, ¨ à áᬮâਬ ®è¨¡®ç®¥ ¤®ª § -⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0.
�á®, çâ® f(x, 0) = 0 ¯à¨ x 6= 0. �᫨ y 6= 0, â® f(x, y) =
=x2
y
1 +(
x2
y
)2 . � ª ª ª u(x, y) = x2
y = ρ2 cos2 ϕρ sinϕ = ρ cos2 ϕ
sinϕ , â®
limρ→+0
u(x, y) = 0, ¨ f(x, y) = u1 + u2 = u(1 − u2 + o(u2)) = u −
− u3 + o(ρ3); limx→0y→0
f(x, y) = 0.
�訡ª á®á⮨⠢ ⮬, çâ® äãªæ¨ï u(x, y) ¢á¥£® «¨è쨬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ®¬ ϕ (â.¥.¯à¥¤¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ¯à ¢«¥¨î à ¢¥ 0) ¨ ¥ ï¥âáï ¡¥á-ª®¥ç® ¬ «®© äãªæ¨¥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå. � ¯¨á ë¥ o ¬ -«ë¥ ®¯ïâì-â ª¨ ¬®¦® à áᬠâਢ âì «¨èì ª ª o ¬ «ë¥ ¯à¨ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ®¬ ϕ, ¨ ¢ ¨â®£¥ ¬ë ¤®ª § «¨«¨èì â®, çâ® ¯à¥¤¥« f(x, y) à ¢¥ 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ¯à ¢«¥¨î.
�ਬ¥à 1.8. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =x sin y − y sinx
(x2 + y2)3/2, x2 + y2 > 0.
� ª ª ª sin y = y − y3
6 + o(y3) = y − y3
6 + o(ρ3); sinx = x −− x3
6 + o(x3) = x − x3
6 + o(ρ3) (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ® â®, çâ®|x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨ o(ρ3) ¯®¨¬ ¥âáï ª ª o((x2 + y2)3/2) ¢ á¬ëá«¥¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå). �®£¤ x sin y − y sinx =
= x(y − y3
6 + o(ρ3))− y
(x− x3
6 + o(ρ3))
= yx3 − xy3
6 + o(ρ4);§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ® â®, çâ® x ·o(ρ3) = x ·α(x, y) ·ρ3 = β(x, y) ·ρ4,£¤¥ β(x, y) = x
ρ · α(x, y) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y →→ 0; «®£¨ç®, y · o(ρ3) = o(ρ4). � ª ª ª
∣∣∣yx3 − xy3
6
∣∣∣ 6 ρ4
3 ,
19
â® x sin y − y sinx = o(ρ3) + o(ρ4) = o(ρ3) = o((x2 + y2)3/2
), ¨
limx→0y→0
f(x, y) = 0.
�ਬ¥à 1.9. �®ª ¦¥¬, çâ® limx→0y→0
x sin y − y sin x(x2 + y2)2 ¥ áãé¥áâ-
¢ã¥â. � á ¬®¬ ¤¥«¥, x sin y−y sinx = yx3 − xy3
6 +o(ρ4), ¯®í⮬ã
x sin y − y sinx
(x2 + y2)2=
yx3 − xy3
6(x2 + y2)2+
o((x2 + y2)2)(x2 + y2)2
.
�â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢ë© ã«î; ¯®í⮬㠤®-áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0. �¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ x = ρ cosϕ,y = ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬ρ4 sinϕ · cos3 ϕ− ρ4 cosϕ · sin3 ϕ
6ρ4(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2=
sinϕ cos3 ϕ− cosϕ · sin3 ϕ
6.
�® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ | à §ë¥ ¯à¥¤¥«ë, § ç¨â, ¤¢®©®©¯à¥¤¥« ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ x → 0, y → 0 ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
�¯à ¦¥¨¥ 1.6. �®ª § âì, çâ® ) lim
x→0y→0
ln(1 + x3 + y3)x2 + y2 = 0;
¡) limx→0y→0
shx · ln(y +√
1 + y2)− sin y · arcsin x
(x2 + y2)5/2 = 0.
�¯à ¦¥¨¥ 1.7. �®ª § âì, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ãîâ: ) lim
x→0y→0
1− cos(x3 + y3)x6 + y6 ;
¡) limx→0y→0
shx · ln(y +√
1 + y2)− sin y · arcsin x(x2 + y2)3 .
II. ������������� ����������������� ����������
§ 1. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®ï⨥¬ ¯à¥¤¥« �¥¯à¥à뢮áâì ¢ â®çª¥ äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå
®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ®¤®¬¥à®¬ á«ãç ¥.�¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.1. �ãªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®-
â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ~a ∈ Rn, §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢â®çª¥ ~a, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim
~x→~af(~x) = f(~a).
�᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à¥¤¥« ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äãªæ¨ï®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®áâ¨~a, ¢ á ¬®© â®çª¥ ¬®¦¥â¡ëâì ¥ ®¯à¥¤¥«¥ ¢®¢á¥, ⮠⥯¥àì ® ¤®«¦ ¡ëâì ®¯à¥¤¥-«¥ ¨ ¢ á ¬®© â®çª¥~a, ¯à¨çñ¬ ¯à¥¤¥« ¤®«¦¥ ¡ëâì à ¢¥ § -票î äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥. � ¯®¬¨¬, çâ® δ-®ªà¥áâ®áâì â®çª¨~a | íâ® ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® ρ(~x,~a) < δ; ¥á«¨ ¨§í⮩ δ-®ªà¥áâ®á⨠㤠«¨âì â®çªã ~a | ¯®«ã稬 ¯à®ª®«®âãà¥áâ®áâì. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠¬®¦® à áè¨äà®-¢ âì ª ª ¢ â¥à¬¨ å �®è¨, â ª ¨ ¢ â¥à¬¨ å �¥©¥.
�® �®è¨: äãªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ ~a, §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì®£® ç¨á« ε ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® δ, çâ® ¤«ï ¢á¥å ~x ¨§ δ-®ªà¥áâ®á⨠~a ¢ë¯®«ï¥âáï¥à ¢¥á⢮ |f(~x)− f(~a)| < ε.
� ï§ëª¥ ª¢ â®à®¢:∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x, ρ(~x,~a) < δ → |f(~x)− f(~a)| < ε.
�® �¥©¥: äãªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ ~a, §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠~xk â ª®©, çâ® lim
k→∞~xk = ~a, ¢ë¯®«-
ï¥âáï à ¢¥á⢮ limk→∞
f(~xk) = f(~a).�£®¢®àª ~xk 6=~a ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¥ 㦠.� ª ¨ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à¥¤¥« , ¢á¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ìë¥ ®â-
«¨ç¨ï ¬®£®¬¥à®£® á«ãç ï ®â ®¤®¬¥à®£® ¯à®ï¢«ïîâáï 㦥
21¯à¨ n = 2, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìäãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå f(x, y).
�¡êñ¬ áâ®ï饣® ¯®á®¡¨ï ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¥áª®«ìª®ãá«®¦¨âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.1 ¨ à áᬮâà¥âì ¯®ï⨥ ¥¯à¥àë¢-®á⨠äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¯® ¬®¦¥áâ¢ã (â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®ï-⨥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ ¯® ¬®¦¥áâ¢ã); ¬ë ¡ã¤¥¬ à á-ᬠâਢ âì ⮫쪮 äãªæ¨¨, ®¯à¥¤¥«ñë¥ ¢ ¥ª®â®à®© δ-®ªà¥áâ®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¨~a (¢ ¤¢ã¬¥à®¬ á«ãç ¥ |â®çª¨ (x0, y0)).
� «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.3, ¢¢¥¤ñ¬ ¯®ï⨥ ¥¯à¥àë¢-®á⨠äãªæ¨¨ ¯® ¤ ®¬ã ¯à ¢«¥¨î.
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.2. �ãáâì~l = (cos ϕ, sinϕ) | ¥¤¨¨çë©¢¥ªâ®à. �ãªæ¨ï f(x, y), ®¯à¥¤¥«ñ ï ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ (x0, y0), §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢ í⮩ â®çª¥ ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à ~l, ¥á«¨ äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ρ
f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ)
¥¯à¥àë¢ á¯à ¢ ¢ â®çª¥ 0, â.¥.lim
ρ→+0f(x0 + ρ cosϕ, y0 + ρ sinϕ) = f(x0, y0).
�¥¯à¥à뢮áâì ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à (1, 0) ®§ ç ¥â, çâ®lim
ρ→+0f(x0 + ρ, y0) = f(x0, y0), â.¥. lim
x→x0+0f(x, y0) = f(x0, y0).
�®®¡é¥, ¥á«¨ limx→x0
f(x, y0) = f(x0, y0), â® £®¢®àïâ ® ¥¯à¥àë¢-®á⨠äãªæ¨¨ f(x, y) ¯® x ¢ â®çª¥ (x0, y0) (¥¯à¥à뢮áâì ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à (1; 0) | íâ® ¥¯à¥à뢮áâì ¯® x á¯à ¢ ).� «®£¨ç®, ¥¯à¥à뢮áâì ¯® ¯à ¢«¥¨î ¢¥ªâ®à (0, 1) |íâ® ¥¯à¥à뢮áâì ¯® y á¯à ¢ .
�ãªæ¨ï f(x, y) =
{(x + y)2
x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0
¥¯à¥àë¢
ª ª ¯® x, â ª ¨ ¯® y ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.1). �â® § ç¨â,çâ® ® ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0,−1). �® ¢á¥¬ ®áâ «ìë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬® ¥ ¡ã¤¥â ¥¯à¥à뢮©, â ª ª ª f(ρ cosϕ, ρ sinϕ) = (cosϕ ++ sinϕ)2, íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ à ¢® 1 ⮫쪮 ¯à¨ ϕ = π
2 k ,k ∈ Z,ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à ¢«¥¨ï¬ ç¥âëàñå 㪠§ ëå ¢¥ªâ®à®¢.
22
�ãªæ¨ï f(x, y) =
{x2y
x4 + y2 , x2 + y2 > 0;0, x = y = 0
¥¯à¥àë¢ ¯®
«î¡®¬ã ¯à ¢«¥¨î ¢ â®çª¥ (0, 0), ® ¥ ï¥âáï ¥¯à¥àë¢-®© ¢ í⮩ â®çª¥ (á¬. ¯à¨¬¥à 1.2).
� ¢®â äãªæ¨ï f(x, y) =
{x2y
x2 + y2 , x2 + y2 > 0;0, x = y = 0
ï¥âáï
¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.3).�᫨ äãªæ¨¨ f(x, y) ¨ g(x, y) ¥¯à¥àë¢ë ¢ â®çª¥ (x0, y0),
â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨ ç á⮥ â ª¦¥ ¥¯à¥àë¢ë ¢ í⮩â®çª¥ (¢ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¤® âॡ®¢ âì, ç⮡ë g(x0, y0) 6=6= 0). �®í⮬ã äãªæ¨¨ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.1{1.3 ¥¯à¥àë¢ë ¢ª ¦¤®© â®çª¥, ®â«¨ç®© ®â (0, 0); ¯®á«¥¤ïï ¯®á«¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥-¨ï f(0, 0) = 0 á⠥⠥¯à¥à뢮© ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®áâ¨;¯¥à¢ë¥ ¤¢¥, ª ª ¨å ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢áñ à ¢® ¡ã-¤ãâ ¨¬¥âì ¢ í⮩ â®çª¥ à §àë¢.
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.3. �®çª (x0, y0) §ë¢ ¥âáï â®çª®© à §-àë¢ äãªæ¨¨ f(x, y), ¥á«¨ f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®-ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (x0, y0), ® ¥ ï¥âáï ¥¯à¥àë¢-®© ¢ í⮩ â®çª¥.
�§ ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ ¨§¢¥áâ ⥮६ ® ¥-¯à¥à뢮á⨠᫮¦®© äãªæ¨¨.
�ãáâì äãªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n), äãªæ¨¨ x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)
¥¯à¥àë¢ë ¢ â®çª¥ (t01, . . . , t0k). �®£¤ , ¥á«¨ x01 =
= x1(t01, . . . , t0k), . . . , x0n = xn(t01, . . . , t0k), â® á«®¦ ï
äãªæ¨ï f(x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)) ¥¯à¥àë¢ ¢â®çª¥ (t01, . . . , t0k).
�⬥⨬, çâ® ¢ãâ२¥ äãªæ¨¨ x1, . . . , xn ¬®£ãâ ¡ëâìäãªæ¨ï¬¨ ®â à §®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå; ¯à¨¬¥à, x1 == x1(t1, t2), x2 = x2(t1, t2, t3), x3 = x3(t1, t2, . . . , t10). �®£¤ ¢ ª ç¥á⢥ k ¬®¦® ¢§ïâì ¨¡®«ì襥 ¨§ íâ¨å ç¨á¥«; ¢ 襬á«ãç ¥ k = 10.
�âáî¤ ¨ ¨§ ¥¯à¥à뢮áâ¨ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨© ®¤-®© ¯¥à¥¬¥®© á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï á㯥௮§¨æ¨ï í«¥¬¥â à-
23ëå äãªæ¨© ®â ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå ï¥âáï ¥¯à¥àë¢-®© ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠ª®â®à®© ® ¢ë-à ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®© ç¥à¥§ í«¥¬¥â àë¥ äãªæ¨¨. � ¯à¨¬¥à,f(x, y) = ln(1 + sin2(exy − 3) − x5 − y4) ¥¯à¥àë¢ ¢ «î¡®©â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¢ëà ¦¥¨¥ ¯®¤ § ª®¬ «®£ à¨ä¬ ¯®«®¦¨â¥«ì®.
§ 2. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨©�ᥠ¯à¨¬¥àë í⮣® ¯ à £à ä ä®à¬ã«¨àãîâáï ®¤¨ ª®¢®:
©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¥¯à¥à뢮á⨠¤ ®© äãªæ¨¨. �â® § ç¨â,çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0, y0) â ª®©, çâ® f(x, y) ®¯à¥¤¥«¥ ¢¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨, 㦮 ®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨f(x, y) ¥¯à¥à뢮© ¢ í⮩ â®çª¥ (â.¥. ®¯¨á âì ¢á¥ â®çª¨ ¥-¯à¥à뢮á⨠¨ â®çª¨ à §àë¢ ).
�ਬ¥à 2.1. f(x, y) ={
(x2 + y2)xy, x2 + y2 > 0;1, x = y = 0.
� ª ª ª ¯à¨ x2 + y2 > 0 f(x, y) = exy ln(x2+y2), â® ¢ ª ¦-¤®© â ª®© â®çª¥ äãªæ¨ï f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ª ª á㯥௮§¨æ¨ïí«¥¬¥â àëå äãªæ¨©. �áâ ñâáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¯à¥¤¥« äãª-樨 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ãáâì g(x, y) = xy ln(x2 + y2). �¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à-¤¨ â ¬.
|g(ρ cosϕ, ρ sinϕ)| = |ρ2 cosϕ · sinϕ · ln ρ2| 6 2ρ2| ln ρ|(§¤¥áì ¬ë ã竨, çâ® ln ρ < 0 ¯à¨ 0 < ρ < 1).
� ª ¨§¢¥áâ®, limρ→+0
ρ2 ln ρ = 0, ¯®í⮬ã limx→0y→0
g(x, y) = 0.
�® ⥮६¥ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ § ª®¬ ¥¯à¥à뢮©äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© (ã⢥ত¥¨¥ 1.3), lim
x→0y→0
f(x, y) =
= exp(limx→0y→0
g(x, y)) = e0 = 1. � ç¨â, f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥
(0, 0). �â ª, f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.
�ਬ¥à 2.2. f(x, y) ={
x sin 1y , y 6= 0;
0, y = 0(á¬. ã¯à ¦¥-
¨¥ 1.2).
24
) �ãªæ¨ï f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥y0 6= 0 (ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥-¬¥®©).
¡) � «¥¥, limx→0y→0
x sin 1y = 0 (¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç®
¬ «®© äãªæ¨¨ x ®£à ¨ç¥ãî äãªæ¨î ϕ(y) =
={
sin 1y , y 6= 0;
0, y = 0). � ç¨â, lim
x→0y→0
f(x, y) = f(0, 0), ¨ äãªæ¨ï
f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥ (0, 0).¢) � áᬮâਬ, ª®¥æ, â®çªã (x0, 0), £¤¥ x0 6= 0. �®ª -
¦¥¬, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→0
f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áã-
é¥á⢮¢ « ¨ à ¢ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®-祪 (xk, yk) â ª®©, çâ® lim
k→∞(xk, yk) = (x0, 0) ¨ (xk, yk) 6= (x0, 0),
¢ë¯®«ï«®áì ¡ë à ¢¥á⢮ limk→∞
(xk, yk) = b. �® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-
®á⨠(x′k, y′k) ¨ (x′′k, y
′′k), £¤¥ x′k = x0, y′k = 1
2πk + π2
; x′′k = x0,
y′′k = 12πk − π
2, k = 1, 2, . . . , 㤮¢«¥â¢®àïîâ ã¦ë¬ ãá«®¢¨ï¬,
f(x′k, y′k) = x0, f(x′′k, y
′′k) = −x0, â.¥. b = x0 = −x0. � ª ª ª
x0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® f(x, y) à §àë¢ ¢ â®çª¥ (x0, 0).
�ਬ¥à 2.3. f(x, y) ={
x arctg x− arctg yx− y , x 6= y;
0, x = y. ) �ãªæ¨ï f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥
y0 6= x0 (ª ª १ã«ìâ ⠯ਬ¥¥¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権ª í«¥¬¥â àë¬ äãªæ¨ï¬ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©).
¡) �® ⥮६¥ � £à ¦ ¤«ï «î¡ëå x, y ¢ë¯®«ï¥âáï à -¢¥á⢮ arctg x − arctg y = 1
1 + ξ2 (x − y), £¤¥ â®çª ξ «¥¦¨â¬¥¦¤ã x ¨ y. � ª ª ª 0 < 1
1 + ξ2 6 1, â® | arctg x−arctg y| 6 |x−− y| ¤«ï «î¡ëå x ¨ y. �®£¤ f(x, y) = x · ϕ(x, y), £¤¥ ϕ(x, y) =
={ arctg x− arctg y
x− y , x 6= y;0, x = y.
� ç¨â, limx→0y→0
f(x, y) = 0 (¯à®¨§¢¥-
¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© äãªæ¨¨ x ®£à ¨ç¥ãî äãªæ¨î
25
ϕ(x, y); ¨§ ¯à¨¢¥¤ñ®© ¢ëè¥ ®æ¥ª¨ á«¥¤ã¥â, çâ® |ϕ(x, y)| 6 1¯à¨ ¢á¥å x, y).
�â ª, limx→0y→0
f(x, y) = f(0, 0), ¨ äãªæ¨ï f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢
â®çª¥ (0, 0).¢) � áᬮâਬ, ª®¥æ, â®çªã (x0, x0), £¤¥ x0 6= 0. �®-
ª ¦¥¬, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â limx→x0y→x0
f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥«
áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨â®ç¥ª (xk, yk) â ª®©, çâ® lim
k→∞(xk, yk) = (x0, x0) ¨ (xk, yk) 6=
6= (x0, x0) ¢ë¯®«ï«®áì ¡ë à ¢¥á⢮ limk→∞
f(xk, yk) = b.
x
y
0
(x0, x0 + 1
k
)
(xk, xk)y0 = x0
x0
�¨á. 2.3
�® (á¬. à¨á. 2.3), ¥á«¨ ¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(xk, xk),xk = x0 + 1
k , ¨(x0, x0 + 1
k
), k = 1, 2, . . . , â® ®¨ 㤮¢«¥â-
¢®àïîâ ã¦ë¬ ãá«®¢¨ï¬. �⬥⨬, çâ® f(xk, xk) = 0,
limk→∞
f(x0, x0 + 1
k
)= x0 lim
k→∞
arctg(x0 + 1
k
)− arctg x0
1k
.
�®á«¥¤¨© ¯à¥¤¥« à ¢¥ ¯à®¨§¢®¤®© äãªæ¨¨ arctg x ¢â®çª¥ x0, â.¥. 1
1 + x20. �®í⮬ã b = 0 = x0
1 + x20. � ª ª ª x0 6= 0,
â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x, y)à §àë¢ ¢ â®çª¥ (x0, x0).
�ਬ¥à 2.4. f(x, y) ={
xy, x ∈ Q, y ∈ Q;0, x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.
26
� ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ «¨§¥ äãªæ¨© ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©¢ à §«¨çëå ª®âà¯à¨¬¥à å ¢áâà¥ç ¥âáï äãªæ¨ï �¨à¨å«¥:D(x) =
{1, x ∈ Q,0, x 6∈ Q. � áᬠâਢ ¥¬ ï äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥-
६¥ëå ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ äãªæ¨î �¨à¨å«¥: f(x, y) == xyD(x)D(y).
) � áᬮâਬ â®çªã, «¥¦ éãî ª®®à¤¨ âëå ®áïå, â.¥.â®çªã (x0, y0) â ªãî, çâ® x0y0 = 0, â.¥. å®âï ¡ë ®¤® ¨§ § ç¥-¨© x0 ¨«¨ y0 ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. �ãáâì, ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ®áâ¨,x0 = 0. �®£¤ , ¥á«¨ ¢§ïâì ®ªà¥áâ®áâì â®çª¨ (0, y0) à ¤¨ãá 1,â® ¢ ¥© |y| < |y0|+ 1, ¨ |yD(x)D(y)| < |y0|+ 1. �®í⮬ã äãª-æ¨ï f(x, y) ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© äãªæ¨¨ x ®£à ¨ç¥ãî äãªæ¨î yD(x)D(y). � ç¨â, lim
x→0y→y0
f(x, y) = 0 =
= f(0, y0). �ãªæ¨ï f(x, y) ¥¯à¥àë¢ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©â®çª¥.
¡) � áᬮâਬ â®çªã, ¥ «¥¦ éãî ª®®à¤¨ âëå ®áïå,â.¥. â®çªã (x0, y0) â ªãî, çâ® x0y0 6= 0. �®ª ¦¥¬, çâ® ¥ áã-é¥áâ¢ã¥â lim
x→x0y→y0
f(x, y). �᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢-
ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª (xk, yk) â ª®©,çâ® lim
k→∞(xk, yk) = (x0, y0) ¨ (xk, yk) 6= (x0, y0), ¢ë¯®«ï«®áì ¡ë
à ¢¥á⢮ limk→∞
f(xk, yk) = b. �® ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ìëåç¨á¥« x0, y0 ©¤ãâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠à 樮 «ìëå ç¨-ᥫ x′k, y′k, ¨àà 樮 «ìëå ç¨á¥« x′′k, y′′k â ª¨¥, çâ® lim
k→∞x′k =
= x0, limk→∞
x′′k = x0, x′k 6= x0, x′′k 6= x0; limk→∞
y′k = y0, limk→∞
y′′k =
= y0, y′k 6= y0, y′′k 6= y0. �®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª (x′k, y′k)
¨ (x′′k, y′′k) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ã¦ë¬ ãá«®¢¨ï¬; f(x′k, y
′k) = x′ky
′k;
limk→∞
f(x′k, y′k) = x0y0, f(x′′k, y
′′k) = 0. �®í⮬ã b = x0y0 = 0.
� ª ª ª x0y0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f(x, y) à §àë¢ ¢ â®çª¥ (x0; y0).
�¯à ¦¥¨¥ 2.1. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¥¯à¥à뢮á⨠¤ -®© äãªæ¨¨:
) f(x, y) =
{(3√
x2 + y2)x+y
, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
27
¡) f(x, y) ={
(x2 + y2) cos 1x2 , x 6= 0,
0, x = 0;
¢) f(x, y) =
{x3y − x2y2
x3 − y3 , x 6= y,0, x = y;
£) f(x, y) ={
x2 + y2, x ∈ Q, y ∈ Q,0, x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.
III. ������������������ ����������������� ����������
§1. � áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥�¯à¥¤¥«¥¨¥ 3.1. � á⮩ ¯à®¨§¢®¤®© ¯® x äãªæ¨¨
¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0) §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤- ï äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© f(x, y0) ¢ â®çª¥ x0. � á⮩¯à®¨§¢®¤®© ¯® y äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå f(x, y) ¢ â®çª¥(x0, y0) §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤ ï äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©f(x0, y) ¢ â®çª¥ y0 (¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® í⨠¯à®¨§¢®¤ë¥ áã-é¥áâ¢ãîâ ¨ ª®¥çë).
�¨¬¢®«¨ç¥áª¨ í⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ë â ª∂f
∂x(x0, y0) =
d
dxf(x, y0)
∣∣∣x=x0
;
∂f
∂y(x0, y0) =
d
dyf(x0, y)
∣∣∣y=y0
.
(3.1)
�«ï ç á⮩ ¯à®¨§¢®¤®© ¯® x ¢ â®çª¥ (x0, y0) ¯à¨¬¥ï-¥âáï ᨬ¢®« ∂f
∂x (x0, y0) ≡ f ′x(x0, y0). �«ï ç á⮩ ¯à®¨§¢®¤-®© ¯® y ¢ â®çª¥ (x0, y0) ¯à¨¬¥ï¥âáï ᨬ¢®« ∂f
∂y (x0, y0) ≡≡ f ′y(x0, y0). �¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥á⢠(3.1) ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢ë-ç¨á«¥¨ï ∂f
∂x (x0, y0) 㦮 § 䨪á¨à®¢ âì ¯¥à¥¬¥ãî y == y0, ¨ ¯®«ãç¥ãî äãªæ¨î ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© f(x, y0) ¯à®-¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì ¯® í⮩ ¯¥à¥¬¥®© x ¢ â®çª¥ x0. �¯¥-à æ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ®¡®-§ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ d
dx . � «®£¨ç® ®¡êïáï¥âáï ¢â®à®¥ ¨§à ¢¥á⢠(3.1).
�᫨ ¢á¯®¬¨âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© äãªæ¨¨ ®¤®©¯¥à¥¬¥®©, â® à ¢¥á⢠(3.1) ¬®¦® § ¯¨á âì â ª
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)∆x
;
∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)∆y
29
(í⨬¨ à ¢¥á⢠¬¨ ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ § ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤®© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥-¬¥®© ¥«ì§ï ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¨§¢¥áâë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ ¨ï).
� ®¡é¥¬ á«ãç ¥ äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå ç áâãî¯à®¨§¢®¤ãî äãªæ¨¨ f(x1, . . . , xn) ¯® ¯¥à¥¬¥®© xi ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n) ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª
∂f
∂xi(x0
1, . . . , x0n) =
d
dxif(x0
1, . . . , x0i−1, xi, x
0i+1, . . . , x0
n)∣∣∣xi=x0
i
.
� áâ®ï饬 ¯®á®¡¨¨ ¬ë ¢ ®á®¢®¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìäãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå.
�᫨ ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (x0, y0), äãªæ¨ïf(x, y) ï¥âáï á㯥௮§¨æ¨¥© í«¥¬¥â àëå äãªæ¨©, â®ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¬®¦® ¢ëç¨á«ïâì ¯® ®¡ëçë¬ ä®à¬ã-« ¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï, áç¨â ï ®¤ã ¨§ ¯¥à¥¬¥ëå ¯ à ¬¥â-஬. � ¯à¨¬¥à,∂
∂x(3x2y3 + ex + ln(x− sin y)) = 6xy3 + ex +
1x− sin y
;
∂
∂y(3x2y3 + ex + ln(x− sin y)) = 9x2y2 − cos y
x− sin y;
∂
∂x
(x2 − y2
x2 + y2
)=
(x2 + y2) · 2x− (x2 − y2) · 2x
(x2 + y2)2;
∂
∂y
(x2 − y2
x2 + y2
)=−2y(x2 + y2)− (x2 − y2) · 2y
(x2 + y2)2.
�®á«¥¤¨¥ ¤¢ à ¢¥á⢠¢ë¯®«ïîâáï ¢® ¢á¥å â®çª å, ªà®¬¥(0, 0). �᫨ ¦¥ ¤®®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨î
f(x, y) =
{x2 − y2
x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0,
â® ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ â®çª¥ (0, 0) ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ®¯ïâì-â ª¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î. �¬¥¥¬
∂f
∂x(0, 0) =
d
dxf(x, 0)
∣∣∣x=0
.
30
�® f(x, 0) ={
1, x 6= 0,1, x = 0, â.¥. f(x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. �à®-
¨§¢®¤ ï â ª®© äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x à ¢ 0 ¢ «î-¡®© â®çª¥, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ x = 0. � ç¨â, ∂f
∂x (0, 0) = 0. �
¤à㣮© áâ®à®ë, ∂f∂y (0, 0) = d
dy f(0, y)∣∣∣y=0
. � ª ª ª f(0, y) =
={−1, y 6= 0;
1, y = 0, â® íâ äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© y ¥ ¨¬¥¥â
¯à®¨§¢®¤®© ¢ â®çª¥ y = 0. � ç¨â, ∂f∂y (0, 0) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
�®£¤ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¢ â®çª¥ ¯à¨-室¨âáï ¢ëç¨á«ïâì ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©.
�ਬ¥à 3.1. �ëç¨á«¨âì ∂f∂x ¨ ∂f
∂y ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®á⨤«ï äãªæ¨¨
f(x, y) =
{exp
(− 1
x2 + y2
), x2 + y2 > 0;
0, x = y = 0.
�áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0)
∂f
∂x= exp
(− 1
x2 + y2
)· 2x
(x2 + y2)2;
∂f
∂y= exp
(− 1
x2 + y2
)· 2y
(x2 + y2)2.
� «¥¥, ∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
.
�® f(x, 0) =
{exp
(− 1
x2
), x 6= 0;
0, x = 0.�ந§¢®¤ãî â ª®© äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¢ â®çª¥ x =
= 0 ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ⮫쪮 ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨îd
dxf(x, 0)
∣∣∣x=0
= lim∆x→0
f(∆x)− f(0)∆x
=
= limt→0
exp(− 1
t2
)
t= lim
u→∞e−u2
1u
= limu→∞
u
eu2 .
31
�®«ãç¥ãî ¥®¯à¥¤¥«ñ®áâì ¢¨¤ ∞∞ à áªàë¢ ¥¬ ¯® ¯à -¢¨«ã �®¯¨â «ï: lim
u→∞1
eu2 · 2u= 0. � ç¨â, ∂f
∂x (0, 0) = 0. � -
«®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.
�᫨ äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(çâ® à ¢®á¨«ì® áãé¥á⢮¢ ¨î ª®¥ç®© ¯à®¨§¢®¤®©), â®® ¥¯à¥àë¢ ¢ í⮩ â®çª¥. �¡à ⮥ ¥¢¥à® ( ¯à¨¬¥à,äãªæ¨ï |x| ¥¯à¥àë¢ , ® ¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤®© ¢ â®çª¥ 0).�«ï äãªæ¨© ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå ¤¥«® ®¡á⮨â á«®¦¥¥.
�ਬ¥à 3.2. � áᬮâਬ äãªæ¨î
f(x, y) =
{(x + y)2
x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0.
�â äãªæ¨ï ¥ ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬.¯à¨¬¥à 1.1). �¬¥á⥠á ⥬,
∂f
∂x(0, 0) =
d
dxf(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0,
â ª ª ª f(x, 0) ={
1, x 6= 0,1, x = 0, â.¥. f(x, 0) ≡ 1, ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï
í⮩ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¢ «î¡®© â®çª¥ à ¢ 0. � -«®£¨ç®, ∂f
∂y (0, 0) = 0.� ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®¨§®©â¨ â ª, çâ® äãªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ç áâ-
ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ â®çª¥, ¥ ï¥âáï ¥¯à¥à뢮©? � § -«®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨¨, ¨¬¥î饩¯à®¨§¢®¤ãî. �® ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® «¨ç¨¥ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ®§ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëåf(x, y) «¨èì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ ®¬ x ¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ y. �¥®-¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà¥áâã ¨§ ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯ à «-«¥«ìëå ª®®à¤¨ âë¬ ®áï¬, ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ â®çªã (x0, y0).�® ¢á¥å ®áâ «ìëå â®çª å ¨§ ®ªà¥áâ®á⨠(x0, y0) äãªæ¨ï ¬®-¦¥â ¢¥á⨠ᥡï ᪮«ì 㣮¤® ¯«®å®, ¤ ¦¥ ¬®¦¥â áâ६¨âìáï ª∞ ¯® ¯à ¢«¥¨ï¬, ¥ ᮢ¯ ¤ î騬 á ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ª®®à-¤¨ âëå ®á¥©. �¥¯à¥à뢮áâì ¦¥ äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (x0, y0)®§ ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ¢® ¢á¥© ý⮫á⮩þ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨. � ª¨¬ ®¡à §®¬, äãªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ®¡¥
32
ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ â®çª¥, ®¡ï§ ¡ëâì ¥¯à¥à뢮© ¯®ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥¬¥ëå ¢ í⮩ â®çª¥, ® ¥ ®¡ï§ ¡ëâì ¥-¯à¥à뢮© ª ª äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå.
�ਬ¥à 3.3. �ãªæ¨ï f(x, y) = |x| + |y| ¥¯à¥àë¢ ¢â®çª¥ (0, 0), ® ∂f
∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)
∣∣∣x=0
= ddx |x|
∣∣∣x=0
| ¥ áã-
é¥áâ¢ã¥â. � «®£¨ç®, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f∂y (0, 0).
� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¥ ®¡ï§ ¨¬¥âìç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥. �â® ¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â 訬 á«®¦¨¢-訬áï ý®¤®¬¥àë¬þ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬.
§ 2. �¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥�ᯮ¬¨¬, çâ® äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© §ë¢ ¥âáï
¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à 饨¥ ¢ â®çª¥¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f(x0) ≡ f(x0 + ∆x)− f(x0) = A∆x + o(∆x) ¯à¨ ∆x → 0.
� ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤¨ää¥-à¥æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ à ¢®á¨«ì «¨ç¨î ª®¥ç®© ¯à®¨§-¢®¤®© ¢ â®çª¥, ¯à¨çñ¬ A = f ′(x0).
� «®£¨ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï äãªæ¨© ¥-᪮«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå.
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 3.2. �ãªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥ëå f(x1, . . . , xn) §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0
1, . . . , x0n), ¥á«¨ ¥ñ
¯à¨à 饨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f(x1, . . . , xn) ≡ f(x0
1 +∆x1, . . . , x0n +∆xn)−f(x0
1, . . . , x0n) =
= A1∆x1 + . . . + An∆xn + o(ρ)¯à¨ (∆x1, . . . , ∆xn) → (0, . . . , 0).
�¤¥áì ρ =√
(∆x1)2 + . . . + (∆xn)2 | äãªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥ëå∆x1, . . . , ∆xn.
�§ ªãàá «¨§ ¨§¢¥áâë�¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨.
�᫨ äãªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n), â® ® ¥¯à¥àë¢ ¢ í⮩ â®çª¥ ¨ ¨¬¥¥â
33¢ í⮩ â®çª¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥¬¥ë¬∂f∂xi
(x01, . . . , x0
n) = Ai, i = 1, 2, . . . , n.�⨠¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¥ ïîâáï ¤®áâ â®ç묨.�ਬ¥à 3.4. �ãªæ¨ï f(x, y) =
√|xy| ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥
(0, 0) ¨ ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥-६¥ë¬, ® ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥.¤ �ãªæ¨ï ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥ (0, 0) ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ¥¯à¥-àë¢ëå äãªæ¨©. � «¥¥,
∂f
∂x(0, 0) =
d
dxf(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0,
â ª ª ª f(x, 0) ≡ 0 | ⮦¤¥á⢥® ã«¥¢ ï äãªæ¨ï ®¤®©¯¥à¥¬¥®©. � «®£¨ç® ∂f
∂y (0, 0) = 0.�®ª ¦¥¬, ª®¥æ, çâ® äãªæ¨ï ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨-
à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0). �à¨à 饨¥ äãªæ¨¨ ¢ í⮩ â®çª¥∆f(0, 0) ≡ f(∆x,∆y)− f(0, 0) =
√|∆x∆y|.
�᫨ f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), â® A1 = A2 = 0,¨ ∆f(0, 0) = o(ρ) ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0, â.¥.
lim∆x→0∆y→0
√|∆x∆y|√
(∆x)2 + (∆y)2= 0.
�® ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ∆x = ρ cosϕ, ∆y =
= ρ sinϕ, â®√|ρ cos ϕ · ρ sin ϕ|√
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=
√| cosϕ sinϕ|. �® à §ë¬
¯à ¢«¥¨ï¬ à §ë¥ ¯à¥¤¥«ë, § ç¨â, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áã-é¥áâ¢ã¥â, ¨ f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ¥
�®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨. �᫨äãªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¨¬¥¥â ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥-६¥ë¬ ∂f
∂x1, . . . , ∂f
∂xn, ¥¯à¥àë¢ë¥ ¢ â®çª¥ (x0
1, . . . , x0n)
ª ª äãªæ¨¨ n ¯¥à¥¬¥ëå, â® ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ í⮩â®çª¥.
�â® ¤®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¥ ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬.�ਬ¥à 3.5. �ãªæ¨ï f(x, y) = 3
√x2y2 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬
¢ â®çª¥ (0, 0), ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®¤®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨
34
(0, 0), ¢® ¢á¥å â®çª å ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥ë ∂f∂x ¨ ∂f
∂y . � ç¨â, ¥¬®¦¥â ¡ëâì ¨ à¥ç¨ ® ¥¯à¥à뢮á⨠∂f
∂x ¨ ∂f∂y ¢ â®çª¥ (0, 0).
¤ �à¨à 饨¥ äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (0, 0)
∆f(0, 0) ≡ f(∆x,∆y)− f(0, 0) = 3√
(∆x)2(∆y)2.
�¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ∆x = ρ cosϕ, ∆y == ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬: |∆f(0, 0)| = 3
√ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ 6 ρ4/3. � -
ç¨â, |∆f(0, 0)|ρ 6 ρ1/3. �® ã⢥ত¥¨î 1.2 lim
∆x→0∆y→0
∆f(0, 0)ρ = 0,
â.¥. ∆f(0, 0) = o(ρ) ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0. � ç¨â, f(x, y) ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ A1 = A2 = 0(®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ∂f
∂x (0, 0) = ∂f∂y (0, 0) = 0).
�®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ®á¨ y, ªà®¬¥ â®çª¨(0, 0), ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f
∂x . � á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ y0 6= 0
∂f
∂x(0, y0) =
d
dxf(x, y0)
∣∣∣x=0
=d
dx
(3
√x2y2
0
)∣∣∣x=0
=
= 3
√y20
d
dx( 3√
x2)∣∣∣x=0
= 3
√y20 · lim
∆x→0
3√
(∆x)2
∆x,
¯®á«¥¤¨© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. � «®£¨ç®, ¢ ª ¦¤®©â®çª¥ ®á¨ x, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0), ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ∂f
∂y . ¥�«ï § ¯®¬¨ ¨ï ¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© ¨ ¤®áâ â®çëå
ãá«®¢¨© ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨, â ª¦¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åª®âà¯à¨¬¥à®¢, ¯®«¥§ á«¥¤ãîé ï á奬 (á¬. à¨á. 3.4)
�¯à¥¤¥«¥¨¥ 3.3. �ãªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥ëå f(x1, . . . , xn) §ë¢ ¥âáï ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n), ¥á«¨ ¢á¥ ¥ñ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ∂f
∂x1, . . . ,
∂f∂xn
¥¯à¥àë¢ë ¢ í⮩ â®çª¥ ª ª äãªæ¨¨ n ¯¥à¥¬¥ëå.�®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠⥯¥àì ¬®¦¥â
¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ® â ª: ¥á«¨ äãªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¥¯à¥-à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥, â® ® ¤¨ää¥-à¥æ¨à㥬 ¢ í⮩ â®çª¥.
35
ç áâ륯ந§¢®¤ë¥¥¯à¥àë¢ë
áãé¥áâ¢ãîâç áâ륯ந§¢®¤ë¥
¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì
¥¯à¥à뢮áâì|x|+ |y|√|xy|
3√
x2y2{
(x + y)2
x2 + y2 , x2 + y2 > 0;1, x = y = 0
XXXXXXz ©©©©©¼
¡¡
¡µ
HHHHHHHHHY
�¨á. 3.4
§3. �¨ää¥à¥æ¨ «. �¢ ਠâ®áâì ä®à¬ë¤¨ää¥à¥æ¨ «
� ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, «¨¥©- ï ç áâì ¯à¨à é¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© äãªæ¨¨ §ë¢ -¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «®¬ äãªæ¨¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥. � -¯®¬¨¬, çâ® ¯à¨à 饨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© äãªæ¨¨ ¯à¥¤-áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
∆f(x01, . . . , x0
n) = A1∆x1 + . . . + An∆xn + o(ρ).
�¨¥© ï ç áâì ¯à¨à 饨ï A1∆x1+ . . .+An∆xn | íâ® ¨ ¥áâ줨ää¥à¥æ¨ «. �¡®§ ç ¥âáï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ df(x0
1, . . . , x0n).
�à¨à é¥¨ï ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ∆x1, . . . , ∆xn ¯à¨-ïâ® §ë¢ âì ¨å ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¬¨ ¨ ®¡®§ ç âì dx1, . . . ,dxn. � ª ª ª ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© äãªæ¨¨ Ai == ∂f
∂xi(x0
1, . . . , x0n), â®
df =∂f
∂x1dx1 + . . . +
∂f
∂xndxn (3.2)
(df ¨ § 票ï ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå à áᬠâਢ îâáï ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n)).
36
�¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠᫮¦®©äãªæ¨¨.
�ãáâì äãªæ¨ï f(x1, . . . , xn) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(x0
1, . . . , x0n), äãªæ¨¨ x1(t1, . . . , tk), . . . , xn(t1, . . . , tk)
¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë ¢ â®çª¥ (t01, . . . , t0k). �®£¤ , ¥á«¨ x01 =
= x1(t01, . . . , t0k), . . . , x0n = xn(t01, . . . , t0k), â® á«®¦ ï äãª-
æ¨ï f(x1(t01, . . . , t0k), . . . , xn(t01, . . . , t0k)) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢â®çª¥ (t01, . . . , t0k), ¯à¨çñ¬ ¤«ï ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå í⮩äãªæ¨¨ ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ t1, . . . , tk ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:
∂f
∂ti=
∂f
∂x1· ∂x1
∂ti+ . . .+
∂f
∂xn· ∂xn
∂ti=
n∑
j=1
∂f
∂xj
∂xj
∂ti, i = 1, 2, . . . , k.
� áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ ti ¡¥àãâáï ¢ â®çª¥(t01, . . . , t0k), ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ xj | ¢â®çª¥ (x0
1, . . . , x0n).
�⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¥ ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬ë, ¢á¥£® «¨èì ¨¬¥îâ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¢ á®-®â¢¥âáâ¢ãîé¨å â®çª å, â® á«®¦ ï äãªæ¨ï ¬®¦¥â ¨ ¥ ¨¬¥âìç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå. � áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, á«ãç © n = 2,k = 1. �᫨ äãªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0, y0), äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x = x(t), y = y(t) ¤¨ää¥à¥æ¨-àã¥¬ë ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨çñ¬ x0 = x(t0), y0 = y(t0), â® á«®¦- ï äãªæ¨ï f(x(t), y(t)) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨-çñ¬ df
dt = ∂f∂x
dxdt + ∂f
∂ydydt .
�ãªæ¨ï f(x, y) =√|xy| ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥
(0, 0), ® ¨¬¥¥â ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ (¯à¨¬¥à 3.4). �᫨ ¢§ïâìx = t, y = t (¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©),â® á«®¦ ï äãªæ¨ï f(x(t), y(t)) = |t| ¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤®© ¢â®çª¥ t = 0. �â®â ä ªâ ï¥âáï ª®á¢¥ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬â®£®, çâ® äãªæ¨ï
√|xy| ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�¨ää¥à¥æ¨ « äãªæ¨¨ n ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëåf(x1, . . . , xn) ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥á⢮¬ (3.2), £¤¥ dx1, . . . , dxn
| ¤¨ää¥à¥æ¨ «ë ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå. �᫨ áç¨â âì⥯¥àì, çâ® df | ¤¨ää¥à¥æ¨ « á«®¦®© äãªæ¨¨ k ¥§ ¢¨-
37ᨬëå ¯¥à¥¬¥ëå t1, . . . , tk, â®
df =k∑
i=1
∂f
∂tidti =
k∑
i=1
n∑
j=1
∂f
∂xj
∂xj
∂ti
dti =
=n∑
j=1
∂f
∂xj
(k∑
i=1
∂xj
∂tidti
)=
n∑
j=1
∂f
∂xjdxj .
�®«ã稫®áì à ¢¥á⢮, «®£¨ç®¥ (3.2), ⮫쪮 §¤¥áì dxj
| ¤¨ää¥à¥æ¨ «ë äãªæ¨© xj(t1, . . . , tk). �®¢¯ ¤¥¨¥ ¯®ä®à¬¥ ¯®«ã祮£® à ¢¥á⢠¨ (3.2) §ë¢ ¥âáï ¨¢ ਠâ-®áâìî ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ « ®â®á¨â¥«ì® § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥-ëå. �â®â ä ªâ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨¤¨ää¥à¥æ¨ «®¢.
�ਬ¥à 3.6. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëåäãªæ¨© ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå
d(u
v
)=
v du− u dv
v2
¢ â®çª å, £¤¥ § ¬¥ â¥«ì ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì.¤ �«ï äãªæ¨© ¤¢ãå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå f(x, y) = x
y
ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ∂f∂x = 1
y , ∂f∂y = − x
y2 . � ª ª ª í⨠ç áâ륯ந§¢®¤ë¥ ¥¯à¥àë¢ë ¢ â®çª å, £¤¥ y 6= 0, â® äãªæ¨ï¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 , ¨
df =1y
dx− x
y2dy.
� ᨫ㠨¢ ਠâ®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ « , ¤«ï á«®¦®©äãªæ¨¨ f(u, v) = u
v ¤¨ää¥à¥æ¨ « ¡ã¤¥â
df =1v
du− u
v2dv =
v du− u dv
v2. ¥
� ¬ ¥ ç ¨ ¥. �᫨ u, v | ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãª-樨 ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, â® à ¢¥á⢮ ¨§ ¯à¨¬¥à 3.6 ¢ë⥪ ¥â¨§ ä®à¬ã«ë ¯à®¨§¢®¤®© ç á⮣®. � ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï
38
¯à¨¬¥¥¨¥ ¨¢ ਠâ®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ « . � «®-£¨ç® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãª-権 ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå
d(uv) = u dv + v du.
�ਬ¥à 3.7. �¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥¨¥ d(arctg u
v
), £¤¥ u
v |¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥-ëå, ¯à¨çñ¬ § ¬¥ â¥«ì ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì.
�«ï äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© f(x) = arctg x
df = f ′(x) dx =dx
1 + x2.
� ᨫ㠨¢ ਠâ®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ « ,
d(arctg
u
v
)=
d(
uv
)
1 + u2
v2
=v2
v2 + u2· v du− u dv
v2=
v du− u dv
u2 + v2.
§ 4. �®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥�®¤ ä®à¬ «ìë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ ¯®¨¬ ¥âáï ¢ë-
ç¨á«¥¨¥ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «®¢ ¢ â¥å á«ã-ç ïå, ª®£¤ ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨äãªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ í«¥¬¥â àëåäãªæ¨© ¨ § ¢¥¤®¬® ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 . �ëç¨á«¥-¨¥ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «®¢ ᢮¤¨âáï ⮫쪮ª ¯à¨¬¥¥¨î ¨§¢¥áâëå ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï äãª-権 ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¨ ª à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬.
�ਬ¥à 3.8. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨ « äãªæ¨¨f(x, y) = exy−π sin y: ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¥ (x, y); ¡) ¢ â®çª¥(1, π).
�¥à¢ë© ᯮᮡ. � ©¤ñ¬ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¤ ®©äãªæ¨¨:
∂f
∂x= y · exy−π sin y,
∂f
∂y= (x− π cos y) · exy−π sin y,
∂f
∂x(1, π) = πeπ,
∂f
∂y(1, π) = (1 + π)eπ.
39�®í⮬ã:
) df(x, y) = yexy−π sin ydx + (x− π cos y)exy−π sin ydy;
¡) df(1, π) = πeπdx + (1 + π)eπdy.
�â®à®© ᯮᮡ. �«ï äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© f(u) == eu ¤¨ää¥à¥æ¨ « df = eu du. � ᨫ㠨¢ ਠâ®á⨠ä®à¬ë¤¨ää¥à¥æ¨ « :
) df(x, y) = exy−π sin y d(xy−π sin y) = exy−π sin y(y dx+x dy−− π cos y dy) = yexy−π sin ydx + (x− π cos y)exy−π sin ydy.
�â®â ᯮᮡ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì ¤¨ää¥à¥æ¨ « á«®¦®©äãªæ¨¨ ¡¥§ ¥¯®á।á⢥®£® 宦¤¥¨ï ¥ñ ç áâëå ¯à®-¨§¢®¤ëå. �¬¥áâ® ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨© ¯à®¢®¤¨âáï ®¤®,¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª®¥. �â®â ᯮᮡ ⥬¢ë£®¤¥¥, 祬 ¡®«ì襥 ç¨á«® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ï-îâáï à£ã¬¥â ¬¨ äãªæ¨¨. � ¯à¨¬¥à, ¤«ï äãªæ¨¨ ¯ï⨯¥à¥¬¥ëå ¢¬¥áâ® ¯ï⨠¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨© 㦮 ¯à®¢®-¤¨âì ¢á¥£® ®¤® | í⮠㦥 áãé¥á⢥®¥ ®¡«¥£ç¥¨¥. � á ¬¨ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥, ¥á«¨ ®¨ ã¦ë, ¬®£ãâ ¡ëâì ᮡà ëª ª ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ « å ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥-¬¥ëå. � 襬 ¯à¨¬¥à¥
∂f
∂x= yexy−π sin y;
∂f
∂y= (x− π cos y)exy−π sin y.
¡) df(1, π) = πeπdx + (1 + π)eπdy.
�ਬ¥à 3.9. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨ « äãªæ¨¨f(x, y, z) =
(xy
)1/z¢ â®çª¥ (1, 1, 1).
�¥à¢ë© ᯮᮡ. �।áâ ¢¨¬ äãªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨-樨 í«¥¬¥â àëå:
f(x, y, z) = exp(
1z
lnx
y
).
40
� ©¤ñ¬ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥:
∂f
∂x= exp
(1z
lnx
y
)1z
y
x
1y
=1xz
(x
y
)1/z
;
∂f
∂y= exp
(1z
lnx
y
)1z
y
x
(− x
y2
)= − 1
yz
(x
y
)1/z
;
∂f
∂z= exp
(1z
lnx
y
)ln
x
y
(− 1
z2
)= − 1
z2ln
x
y
(x
y
)1/z
;
∂f
∂x(1, 1, 1) = 1;
∂f
∂y(1, 1, 1) = −1;
∂f
∂z(1, 1, 1) = 0; df(1, 1, 1) = dx− dy.
�â®à®© ᯮᮡ. d(eu) = eu du, ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨¢ ਠâ-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «
df(x, y, z) = exp(
1z
lnx
y
)d
(1z
lnx
y
)=
=(
x
y
)1/z
·[1z
d
(ln
x
y
)+ ln
x
y· d
(1z
)].
� ª ª ª d(lnu) = 1u du, â® ¢ ᨫ㠨¢ ਠâ®á⨠ä®à¬ë ¤¨ä-
ä¥à¥æ¨ «
d
(ln
x
y
)=
y
xd
(x
y
)=
y
x· y dx− x dy
y2=
y dx− x dy
xy.
�®í⮬ã
df(x, y, z) =(
x
y
)1/z (y dx− x dy
xyz− 1
z2ln
x
y
);
df(1, 1, 1) = dx− dy.
�®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¢ë¯®«-¥¨¨ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå áç áâ묨 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨.
41�ਬ¥à 3.10. �८¡à §®¢ âì ãà ¢¥¨¥, ¯à¨¨¬ ï ξ, η §
®¢ë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥:
∂z
∂x=
∂z
∂y, ξ = x + y, η = x− y.
�«ï í⮣® 㦮 ¢ëà §¨âì ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®â äãª-樨 z ¯® ýáâ àë¬þ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ x, y ç¥à¥§ ¥ñç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ý®¢ë¬þ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ξ,η. �® ä®à¬ã«¥ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå á«®¦®© äãªæ¨¨ ¨¬¥¥¬
∂z
∂x=
∂z
∂ξ
∂ξ
∂x+
∂z
∂η
∂η
∂x=
∂z
∂ξ+
∂z
∂η;
∂z
∂y=
∂z
∂ξ
∂ξ
∂y+
∂z
∂η
∂η
∂y=
∂z
∂ξ− ∂z
∂η.
�®¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢¥¨¥, ¯®«ã稬
∂z
∂ξ+
∂z
∂η=
∂z
∂ξ− ∂z
∂η.
� ®¢ëå ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤∂z∂η = 0.
�¥è¥¨ï¬¨ í⮣® ãà ¢¥¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥æ¨àã-¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ξ, ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥¨¥ãà ¢¥¨ï ¯à¨ïâ® § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥ z = f(x + y), £¤¥ f |¯à®¨§¢®«ì ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©.
� ¤ ç ¥áª®«ìª® ãá«®¦ï¥âáï, ¥á«¨  § ¤ ® ¢ëà ¦¥-¨¥ ýáâ àëåþ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå ç¥à¥§ ®¢ë¥, ®¡à â-®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ ¬ ¢¨¤¥ ¯¨á âì á«®¦® ¨«¨ ¥ 㤠ñâá®¡é¥.
�ਬ¥à 3.11. �¥è¨âì ãà ¢¥¨¥ x ∂u∂y − y ∂u
∂x = 0, ¯à¥®¡-à §®¢ ¢ ¥£® ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ x = r cosϕ, y = r sinϕ.
�¡à ⮥ ¢ëà ¦¥¨¥ r, ϕ ç¥à¥§ x, y £à®¬®§¤ª® ¨ ¥®¤®-§ ç®, ¯®í⮬㠢ëà §¨¬ á ç « ∂u
∂r ¨ ∂u∂ϕ ç¥à¥§ ∂u
∂x ¨ ∂u∂y ,
¯®â®¬ ¯®«ã稬 ®¡à ⮥ ¢ëà ¦¥¨¥ (§¤¥áì ¯à¨¤ñâáï à¥è âì
42
㦥 «¨¥©ãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©). �¬¥¥¬∂u
∂r=
∂u
∂x
∂x
∂r+
∂u
∂y
∂y
∂r=
∂u
∂xcosϕ +
∂u
∂ysinϕ;
∂u
∂ϕ=
∂u
∂x
∂x
∂ϕ+
∂u
∂y
∂y
∂ϕ= − ∂u
∂x· r sinϕ +
∂u
∂y· r cosϕ.
(3.3)
�¬®¦¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥á⢠(3.3) r sinϕ, ¢â®à®¥ cosϕ, § ⥬ á«®¦¨¬ ¯®«ãç¥ë¥ à ¢¥á⢠. �®«ã稬:
r∂u
∂y= r sinϕ · ∂u
∂r+ cosϕ · ∂u
∂ϕ,
â.¥.∂u
∂y= sinϕ · ∂u
∂r+
cosϕ
r
∂u
∂ϕ.
�᫨ ⥯¥àì 㬮¦¨âì ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥á⢠(3.3) r cosϕ, ¢â®-஥ sinϕ, § ⥬ ¢ëç¥áâì ¨§ ¯¥à¢®£® ¢â®à®¥, â® ¯®«ã稬
r∂u
∂x= r cosϕ · ∂u
∂r− sinϕ · ∂u
∂ϕ, â.¥.
∂u
∂x= cosϕ · ∂u
∂r− sinϕ
r
∂u
∂ϕ.
�®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥¬
x sinϕ∂u
∂r+
x cosϕ
r
∂u
∂ϕ− y cosϕ
∂u
∂r+
y sinϕ
r
∂u
∂ϕ= 0.
� ª ª ª x = r cosϕ, y = r sinϕ, â® ç«¥ë, ᮤ¥à¦ 騥 ∂u∂r ,
ã¨ç⮦ âáï, ¨ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤∂u
∂ϕ= 0.
�¥è¥¨¥¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ë¥äãªæ¨¨ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© r, ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥-¨ï § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ u = f(
√x2 + y2), ¨«¨, çâ® ¯à®é¥, u =
= f(x2 + y2), £¤¥ f | ¯à®¨§¢®«ì ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãª-æ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©.
�®£¤ ¢ ãà ¢¥¨ïå ᮢ¥àè îâáï ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ § ¬¥ë,ª á î騥áï ¥ ⮫쪮 ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ® ¨ ¥¨§-¢¥áâëå äãªæ¨©.
43�ਬ¥à 3.12. �८¡à §®¢ âì ãà ¢¥¨¥
x∂z
∂x+ y
∂z
∂y=
x
z,
¯à¨¨¬ ï ξ, η § ®¢ë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥: ξ = 2x− z2,η = − y
z .�¤¥áì ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ u, v ¢ëà ¦ îâáï ¥ ⮫쪮 ç¥à¥§
áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ x, y, ® ¨ ç¥à¥§ ¥¨§¢¥áâãî äãªæ¨î z.�¬¥¥¬
∂z
∂x=
∂z
∂ξ· ∂ξ
∂x+
∂z
∂η· ∂η
∂x.
�® 㦮 ãç¥áâì, çâ® ξ ¨ η ¢ëà ¦ îâáï ¥ ⮫쪮 ç¥à¥§ x, y,® ¨ ç¥à¥§ z, ª®â®à ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ï¥âáï äãªæ¨¥© ®â x,y. �®í⮬ã
∂ξ
∂x= 2− 2z
∂z
∂x;
∂η
∂x=
y
z2
∂z
∂x.
� ç¨â,∂z
∂x=
∂z
∂ξ
(2− 2z · ∂z
∂x
)+
∂z
∂η· y
z2· ∂z
∂x.
�®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¨¬ ®â®á¨â¥«ì® ∂z∂x :
∂z
∂x
(1 + 2z · ∂z
∂ξ− y
z2· ∂z
∂η
)= 2
∂z
∂ξ, ®âªã¤
∂z
∂x= 2
∂z∂ξ
1 + 2z · ∂z∂ξ −
yz2 · ∂z
∂η
.
� «®£¨ç®,
∂z
∂y=
∂z
∂ξ· ∂ξ
∂y+
∂z
∂η· ∂η
∂y=
∂z
∂ξ
(−2z · ∂z
∂y
)+
∂z
∂η·y ∂z
∂y − z
z2.
�®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¨¬ ®â®á¨â¥«ì® ∂z∂y :
∂z
∂y
(1 + 2z · ∂z
∂ξ− y
z2· ∂z
∂η
)= − 1
z
∂z
∂η, ®âªã¤
∂z
∂y= − 1
z·
∂z∂η
1 + 2z · ∂z∂ξ −
yz2 · ∂z
∂η
.
44
�®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥¬
2x∂z
∂ξ− y
z
∂z
∂η=
x
z
(1 + 2z
∂z
∂ξ− y
z2
∂z
∂η
),
â.¥.∂z
∂η
(xy
z3− y
z
)=
x
z.
� ª ª ª y = −ηz, x = ξ + z2
2 , â® ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ãà ¢¥-¨¥ ¯à¨¢¥¤ñâáï ª ¢¨¤ã
η(z2 − ξ)∂z
∂η= z(z2 + ξ).
� ¯¨á âì ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï-¥âáï ¢®§¬®¦ë¬, ¯®í⮬ã â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¨¬¥îâ ç¨áâ® â¥å¨-ç¥áª¨© å à ªâ¥à.
�¯à ¦¥¨¥ 3.1. �®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨-à㥬ëå äãªæ¨© ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå:
) d(uv) = u dv + v du;¡) d(uv) = uv lnu du + vuv−1 dv ¢ â®çª å, £¤¥ u > 0.�¯à ¦¥¨¥ 3.2. �¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥¨¥:
) d(arcsin e−u), ¥á«¨ u > 0;¡) d(sin3(u2v) + ln(1 + arctg2 v)).�¯à ¦¥¨¥ 3.3. �ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨ « äãªæ¨¨
f(x, y) ¢ â®çª¥ (x0, y0): ) f(x, y) = arctg(x2 − y2), (x0, y0) = (1, 1);¡) f(x, y) = x cos x
y , (x0, y0) = (π, 2);¢) f(x, y) = arcsin(xy), (x0, y0) =
(√3, 1
2
).
�¯à ¦¥¨¥ 3.4. �८¡à §®¢ âì ãà ¢¥¨¥, ¯¥à¥å®¤ï ª®¢ë¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. �᫨ 㤠áâáï, ©â¨ ®¡é¥¥à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï
) y ∂z∂x − x ∂z
∂y = 0, ξ = x , η = x2 + y2;¡) x ∂z
∂x + y ∂z∂y = z, ξ = x , η = y
x ;¢) x ∂z
∂x +√
1 + y2 ∂z∂y = xy, ξ = ln x , η = ln(y +
√1 + y2);
£) (x + y) ∂z∂x − (x− y) ∂z
∂y = 0, x = eξ cos η , y = eξ sin η;
45
¤) (x + z) ∂z∂x + (y + z) ∂z
∂y = x + y + z, ξ = x + z , η = y + z.
§5. �áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨¢ â®çª¥
�᫨ ä®à¬ã« , ª®â®à®© § ¤ ñâáï äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥-ëå, ᮤ¥à¦¨â ¬®¤ã«¨, ª®à¨ à §«¨çëå á⥯¥¥©, 䨣ãàë¥áª®¡ª¨ (â.¥. ®¤ ä®à¬ã« ¯à¨ ®¤¨å § 票ïå à£ã¬¥â®¢,¤à㣠ï | ¯à¨ ¤à㣨å), â® ä®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥,ª ª ¯à ¢¨«®, ¥¢®§¬®¦®. � ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì 㦮 ¢ëïá¨âì,ï¥âáï «¨ â ª ï äãªæ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª å, £¤¥®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¯®¤ª®à¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¨«¨ ¢ëà ¦¥¨ï¯®¤ § ª®¬ ¬®¤ã«ï, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ý᪫¥©ª þ, â.¥. ¯¥à¥å®¤ ®â®¤®© ä®à¬ã«ë ª ¤à㣮©. �ਠí⮬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ 㤮¡® ¯à¨-¤¥à¦¨¢ âìáï á«¥¤ãî饩 áå¥¬ë ¤¥©á⢨©.
1) �ëïᨬ á ç « , áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© â®çª¥(x0, y0) ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥
A =∂f
∂x(x0, y0), B =
∂f
∂y(x0, y0). (3.4)
�᫨ å®âì ®¤ ¨§ ¨å ¥ áãé¥áâ¢ã¥â | ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥ç¨ ®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¢ â®çª¥.
2) �᫨ ®¡¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ, ⮤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ᢮¤¨âáï ª à ¢¥áâ¢ã
lim∆x→0∆y→0
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)−A ·∆x−B ·∆y√(∆x)2 + (∆y)2
. (3.5)
�᫨ äãªæ¨ï ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0, y0), â® à -¢¥á⢮ (3.5) ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ¨ ¯à¨ ª ª¨å A, B. �᫨ ¤¨ää¥-à¥æ¨à㥬 | ¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¨ A, B, ®¯à¥¤¥«ñëå ¨§ (3.4).�®í⮬ã, ¥á«¨ A ¨ B ©¤¥ë ¨§ (3.4), ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì¢ë¯®«¥¨¥ à ¢¥á⢠(3.5).
� ¤ «ì¥©è¥¬, ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨á-á«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ f(x, y) ¢ â®çª¥ (0, 0).
46
�ਬ¥à 3.13. f(x, y) =√
x2 + xy + y2. � ª ª ª∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= ddx |x|
∣∣∣x=0
| ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®f(x, y) ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.14. f(x, y) = |x|α|y|β, £¤¥ α > 0, β > 0.�¬¥¥¬ ∂f
∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0, â ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨
¢á¥å x. � «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.
�áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«¥¨¥ à ¢¥á⢠(3.5) ¯à¨ x0 == y0 = 0, f(0, 0) = 0, A = B = 0, â.¥. ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
|∆x|α|∆y|β√(∆x)2 + (∆y)2
.
�᫨ ¢¢¥á⨠¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë ∆x = ρ cosϕ, ∆y = ρ sinϕ,â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤
ρα| cosϕ|αρβ| sinϕ|β√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
= ρα+β−1| cosϕ|α| sinϕ|β.
�᫨ α + β > 1, â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥, ¡ã¤ãç¨ ¥®âà¨-æ ⥫ìë¬, ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρα+β−1. �®á«¥¤ïï äãªæ¨ï ®â ρáâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0. �®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©®©¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, ¨ äãªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0).
�᫨ α + β = 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ à ¢®| cosϕ|α| sinϕ|β, â.¥. ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. �।¥«ë ¯® à §ë¬ -¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãª-æ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
� ª®¥æ, ¥á«¨ α + β < 1, â® ¯à¨ ϕ 6= πk2 , k ∈ Z, ᮮ⢥â-
áâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë© ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0.�¥¬ ¡®«¥¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«, ¨ äãªæ¨ï f(x, y) ¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
� áâë¥ á«ãç ¨ ¯à¨¬¥à 3.14 ¡ë«¨ à áᬮâà¥ë ¢ëè¥.�᫨ α = β = 1
2 , â® f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.4), ¥á«¨ α = β = 2
3 | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 (¯à¨-¬¥à 3.5). �᫨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.14 α ¨ β ïîâáï à 樮 «ì묨ç¨á« ¬¨, ¢ëà ¦¥ë¬¨ ¤à®¡ï¬¨ á ¥çñâë¬ § ¬¥ ⥫¥¬, â®
47
¬®¤ã«¨ ¢ ãá«®¢¨¨ ¬®¦® ®¯ãáâ¨âì. � ¯à¨¬¥à, f(x, y) = 3√
x2y
¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (α = 23 , β = 1
3), f(x, y) =
= 5√
x3y4 | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 (α = 35 , β = 4
5).
�ਬ¥à 3.15. f(x, y) = 3√
x3 + y3. �¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) =
= ddx f(x, 0) = 1, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x. � «®£¨ç®,
∂f∂y (0, 0) = 1.
�㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
3√
(∆x)3 + (∆y)3 −∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥ ¢¢¥¤¥¨ï ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â ∆x = ρ cosϕ, ∆y == ρ sinϕ, ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥3√
ρ3 cos3 ϕ + ρ3 sin3 ϕ− ρ cosϕ− ρ sinϕ√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
=
= 3
√cos3 ϕ + sin3 ϕ− cosϕ− sinϕ.
�®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ, ¯à¥¤¥«ë ¯® à §ë¬ -¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãª-æ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.16. f(x) = 3√
x3 + y4.�¬¥¥¬: ∂f
∂x (0, 0) = ddx f(x, 0) = 1, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨
¢á¥å x. � «¥¥, f(0, y) = 3√
y4 ¨ ∂f∂y (0, 0) = d
dy f(0, y)∣∣∣y=0
=
= lim∆y→0
3√
(∆y)4∆y = 0.
�㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
3√
(∆x)3 + (∆y)4 −∆x√(∆x)2 + (∆y)2
.
48
�ᯮ¬¨¬, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 1.6; ¤®-ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ã⢥ত¥¨ï ¤®áâ â®ç® á«®¦®). � ç¨â,f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�®£¤ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¯®«¥§®¯à¨¬¥ïâì ⥮६㠮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠᫮¦®© äãªæ¨¨.
�ਬ¥à 3.17. f(x, y) = ln(3 + cos(xy) + 4√
x2|y|3).�ᯮ¬¨¬, çâ® äãªæ¨ï 4
√x2|y|3 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥
(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.14 ¯à¨ α = 12 , β = 3
4). � ª ª ª äãªæ¨ï3 + cos(xy) § ¢¥¤®¬® ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ «î¡®©â®çª¥, â® äãªæ¨ï u(x, y) = 3 + cos(xy) + 4
√x2|y|3 ¤¨ää¥à¥-
æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¯à¨çñ¬ u(0, 0) = 4. � ª ª ª ¢¥èïïäãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ln u ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u == 4, â® á«®¦ ï äãªæ¨ï f(x, y) = lnu(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.18. f(x, y) = sin(ex+y + 3√
x3 + y3).�ãªæ¨ï 3
√x3 + y3 ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨-
¬¥à 3.15). �«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠f(x, y)¡ã¤¥¬ à áá㦤 âì ®â ¯à®â¨¢®£®. �ãáâì f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨-à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), f(0, 0) = sin 1. �®£¤ äãªæ¨ï g(x, y) == ex+y + 3
√x3 + y3 = arcsin f(x, y) â ª¦¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬
¢ â®çª¥ (0, 0). � á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¥èïï äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥-¬¥®© arcsinu ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = sin 1, ¯®í⮬ãá«®¦ ï äãªæ¨ï g(x, y) = arcsin f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢â®çª¥ (0, 0). �® ⮣¤ 3
√x3 + y3 = g(x, y)− ex+y | ¤¨ää¥à¥-
æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¢ â®çª¥ (0, 0), íâ® ¥ â ª. �®«ã祮¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
� ¬ ¥ ç ¨ ¥. �ãªæ¨¨ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 3.17 ¨ 3.18¬®¦® ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ¨ ¯® ®¡é¥© á奬¥,® â ª¨¥ à áá㦤¥¨ï ¤®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª¨ ¨ âॡãîâ ¥ª®-â®à®© ¨§¢®à®â«¨¢®áâ¨. �ਢ¥¤ñë¥ ¦¥ ¢ëè¥ à¥è¥¨ï íâ¨å¯à¨¬¥à®¢ ¯à®áâë ¨ áâ ¤ àâë.
�ਬ¥à 3.19. f(x, y) = cos( 3√
xy).�ãªæ¨ï 3
√xy ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨-
¬¥à 3.14 ¯à¨ α = β = 13). � § «®áì ¡ë, «®£¨ç® ¯à¨-
49¬¥àã 3.18, ¬®¦® ¤®ª § âì ¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì á«®¦®©äãªæ¨¨ f(x, y). �® §¤¥áì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥¨¥ ¥ ¯à®©¤ñâ,¯®â®¬ã çâ® f(0, 0) = 1, äãªæ¨ï arccosu ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨-à㥬 ¢ â®çª¥ u = 1 (íâ äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥ «¨èì ®â१ª¥[−1, 1], ¢ ª®æ å ¥£® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥). �à¨-¤ñâáï ¯à¨¬¥¨âì ®¡éãî á奬ã.
�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= 0, â ª ª ª
f(x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x. � «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0. � ª ª ª
f(0, 0) = 1, ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
cos(
3√
∆x ·∆y)− 1√
(∆x)2 + (∆y)2. (3.6)
�ãªæ¨ï 3√
xy ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯®â®¬ã, ç⮢ëà ¦¥¨¥ 3
√∆x∆y ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬
∆x = ρ cosϕ, ∆y = ρ sinϕ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 23 ¯® ¯¥à¥¬¥®©
ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. �®à §®áâì ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.6) 㦥 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª43 ¯® ρ (â ª ª ª ¤«ï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¢¥«¨ç¨ë α ¢ëà ¦¥¨¥cosα− 1 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª α2). �®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ áâ६«¥¨¥ ªã«î á®åà ¨âáï, ¨, ¯®å®¦¥, ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ¡ã¤¥â ¨¬¥â쬥áâ®. �¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ íâ® ªªãà â®.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ®æ¥¨¬ ¬®¤ã«ì¯à ¢®© ç á⨠(3.6):∣∣∣∣∣∣cos
(3√
ρ2 cosϕ sinϕ)− 1
√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
∣∣∣∣∣∣=
2ρ
sin2
(3√
ρ2 cosϕ sinϕ
2
)6
6 2ρ
(3√
ρ2 cosϕ sinϕ
2
)2
6 2ρ· ρ4/3
4=
12
ρ1/3.
�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0 (§¤¥áì¨á¯®«ì§®¢ ë ä®à¬ã« âਣ®®¬¥âਨ 1 − cosα = 2 sin2 α
2 ¨¥à ¢¥á⢮ | sinα| 6 |α|, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ ¢á¥å § 票ïå α).� ç¨â, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.6) à ¢¥ 0, ¨ äãªæ¨ïf(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
50
�®¯à®¡ã¥¬ ⥯¥àì à §®¡à âìáï ¢ ⮬, ¬®¦® «¨ ¯à¨ 宦-¤¥¨¨ í⮣® ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« ¯à¨¬¥ïâì à §«®¦¥¨¥ ª®á¨ãá ¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à . �§ à ¢¥á⢠(1.2) ¨¬¥¥¬
cos ( 3√
xy) = 1− 12
( 3√
xy)2 + o(( 3√
xy)2)
¯à¨ x → 0, y → 0,
£¤¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå.�® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ =
√x2 + y2. �®í⮬ã |( 3
√xy)2| 6 ρ4/3,
¨ o(( 3√
xy)2) = α(x, y)( 3√
xy)2 = α(x, y)( 3√
xy)2
ρ4/3 ρ4/3 = o(ρ4/3),
â ª ª ª äãªæ¨ï β(x, y) = α(x, y)( 3√
xy)2
ρ4/3 | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï¯à¨ x → 0, y → 0, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ®£à ¨ç¥ãî.
� ç¨â, cos( 3√
xy)− 1 = − 12 ( 3√
xy)2 + o(ρ4/3), ¨
cos( 3√
∆x∆y)− 1√(∆x)2 + (∆y)2
= − 12
3√
(∆x)2(∆y)2√(∆x)2 + (∆y)2
+ o(ρ1/3), (3.7)
(¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ § ¬¥¨«¨ x ∆x, y ∆y, ρ ==
√(∆x)2 + (∆y)2). �¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.7)
¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0 (í⮠ᮮ⢥â-áâ¢ã¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨ 3
√x2y2 ¢ â®çª¥ (0, 0) |
á¬. ¯à¨¬¥àë 3.5 ¨ 3.14). �â®à®¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«,à ¢ë© ã«î, â ª ª ª ρ1/3 | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0,∆y → 0. �⨬ ¤®ª § ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ f(x, y)¢ â®çª¥ (0, 0).
� ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥ ¯à®é¥ ¯à¥¤ë¤ã饣®. �®í⮬ã,¥á«¨ ¥áâì ¢®§¬®¦®áâì ®¡®©â¨áì ¡¥§ à §«®¦¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥�¥©«®à , â® «ãçè¥ í⮩ ¢®§¬®¦®áâìî ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. �¥¬¥ ¬¥¥¥ ¡ë¢ îâ á«ãç ¨, ª®£¤ ¯à¨¬¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë �¥©«®à ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à §ã¬ë¬ ᯮᮡ®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ¤¢®©-®£® ¯à¥¤¥« .
�ਬ¥à 3.20. f(x, y) = 5√
xy − sin( 5√
xy).�¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, ¯®í⮬ã ∂f
∂x (0, 0) =
= ddx f(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0. � «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.
51�㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x, ∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
5√
∆x ·∆y − sin( 5√
∆x ·∆y)√(∆x)2 + (∆y)2
.
�§ à ¢¥á⢠(1.2) ¨¬¥¥¬
5√
xy − sin( 5√
xy) =16
( 5√
xy)3 + o(( 5√
xy)3) ¯à¨ x → 0, y → 0.
�® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ =√
x2 + y2, ¯®í⮬ã, «®£¨ç®à áá㦤¥¨ï¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ®o(( 5√
xy)3) = o(ρ6/5). �®£¤ , § ¬¥¨¢ x ∆x, y ∆y, ¯®«ã稬5√
∆x ·∆y − sin( 5√
∆x ·∆y)√(∆x)2 + (∆y)2
=16
5√
(∆x)3(∆y)3√(∆x)2 + (∆y)2
+ o(ρ1/5),
(3.8)£¤¥ ρ =
√(∆x)2 + (∆y)2. �¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®©
ç á⨠(3.8) ¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0,â ª ª ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ∆x = ρ cosϕ,∆y = ρ sinϕ, ¨¬¥¥¬∣∣∣∣∣
5√
ρ3 cos3 ϕ · ρ3 sin3 ϕ√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
∣∣∣∣∣ 6 ρ1/5,
ρ1/5 | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0. �â®à®¥á« £ ¥¬®¥ ¨ ¯®¤ ¢® ¨¬¥¥â ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. �®í⮬㠤¢®©®©¯à¥¤¥« ¢ëà ¦¥¨ï ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.8) à ¢¥ ã«î, ¨ äãªæ¨ïf(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.8 ¨ 1.9, à¥èñëå ¯à¨ ¯®¬®é¨ à §«®¦¥¨ï¯® ä®à¬ã«¥ �¥©«®à , «¥£ª® ãᬮâà¥âì, çâ® äãªæ¨ï
f(x, y) =
{x sin y − y sin x
x2 + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0
¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), äãªæ¨ï
f(x, y) =
{x sin y − y sin x(x2 + y2)3/2 , x2 + y2 > 0,
0, x = y = 0
¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
52
�ਢ¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥àë § ¤ ç, ¯à¥¤« £ ¢è¨åáï áâ㤥⠬ 1ªãàá ���� íª§ ¬¥ 樮ëå ª®â஫ìëå à ¡®â å ¯®¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã «¨§ã ¢ ¢¥á¥¥¬ ᥬ¥áâà¥.
�ਬ¥à 3.21. f(x, y) =
{(x2y3)3/5
x2 − xy + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.
� ª ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¨ § ¬¥ ⥫¥ áâ®ïâ ®¤®à®¤ë¥ ¢ëà -¦¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® x, y (¢ ç¨á«¨â¥«¥ á⥯¥¨ 3, ¢ § ¬¥ ⥫¥| á⥯¥¨ 2), â® äãªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â á⥯¥ì 1 ®â®á¨â¥«ì®ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ áâ६«¥¨¥ ª ã«î 㦥 ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ .� ª¨¥ ¨âã¨â¨¢ë¥ á®®¡à ¦¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ á ª ¬ë᫨ ® ⮬,çâ® f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). � ⥯¥àì ¯à¨-¢¥¤ñ¬ ªªãà ⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮.
� ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x (¯à¨ x 6= 0 íâ® á«¥¤ã¥â¨§ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë, f(0, 0) â ª¦¥ à ¢ 0), â® ∂f
∂x (0, 0) =
= ddx f(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0.
� «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.
�áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
((∆x)2(∆y)3)3/5
((∆x)2 −∆x∆y + (∆y)2)√
(∆x)2 + (∆y)2.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà -¦¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥
((ρ cosϕ)2(ρ sinϕ)3)3/5
(ρ2 cos2 ϕ− ρ2 cosϕ sinϕ + ρ2 sin2 ϕ)√
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=
=(cosϕ)6/5(sinϕ)9/5
1− cosϕ sinϕ,
â.¥. ®® ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ.�।¥«ë ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥-
¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢â®çª¥ (0, 0).
53
�ਬ¥à 3.22. f(x, y) =
{(x2y3)3/5√x2 − xy + y2
, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.
�âã¨â¨¢ë¥ á®®¡à ¦¥¨ï, «®£¨çë¥ ¯à¨¢¥¤ñë¬ ¢ ç «¥ à¥è¥¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , ¯®ª §ë¢ îâ, çâ®äãªæ¨ï f(x, y) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 3
2 ®â®á¨â¥«ì® ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥-«¥¨ï ρ ¯à®¤®«¦ ¥â áâ६¨âìáï ª ã«î. � ç¨â, ® ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ªªãà ⮥ ¤®-ª § ⥫ìá⢮.
� «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã, 㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à -¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
((∆x)2(∆y)3)3/5
√(∆x)2 −∆x∆y + (∆y)2
√(∆x)2 + (∆y)2
. (3.9)
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬, ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨¥((ρ cosϕ)2(ρ sinϕ)3)3/5
√ρ2 cos2 ϕ− ρ2 cosϕ sinϕ + ρ2 sin2 ϕ
√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
=
=ρ(cosϕ)6/5(sinϕ)9/5
√1− cosϕ sinϕ
.
� ª ª ª ¢á¥£¤ 1−cosϕ sinϕ = 1− 12 sin 2ϕ > 1
2 , â® è¥ ¢ë-à ¦¥¨¥ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ
√2. �¢®©®© ¯à¥¤¥« (3.9)
à ¢¥ 0, äãªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).�ਬ¥à 3.23. f(x, y) = x
√1 + y2/3.
�¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= 1, ∂f∂y (0, 0) =
= ddy f(0, y)
∣∣∣y=0
= 0, â ª ª ª f(x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x, f(0, y) = 0
¯à¨ ¢á¥å y. �஢¥à¨¬, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)−∆x√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
∆x(√
1 + (∆y)2/3 − 1)√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤
ρ cosϕ(√
1 + (ρ sinϕ)2/3 − 1)√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
= cosϕ(√
1 + (ρ sinϕ)2/3 − 1).
54
�® ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î√
1 + ρ2/3 − 1. �â äãªæ¨ï®â ρ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0. �¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0,äãªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.24. f(x, y) = 3√
sin4 x + cos4 y.�⬥⨬, çâ® f(0, 0) = 1. � «¥¥,
∂f
∂x(0, 0) =
d
dxf(x, 0)
∣∣∣x=0
=d
dx(sinx)4/3
∣∣∣x=0
=
=43
(sinx)1/3 cosx∣∣∣x=0
= 0,
∂f
∂y(0, 0) =
d
dyf(0, y)
∣∣∣y=0
=d
dy(cos y)4/3
∣∣∣y=0
=
=43
(cos y)1/3(− sin y)∣∣∣y=0
= 0.
�⬥⨬, çâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¢â®à®© ¨§ íâ¨å¯à®¨§¢®¤ëå ¢¯®«¥ § ª®®, ¢®â ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯¥à¢®© ¨§ ¨å,áâண® £®¢®àï, 㦮 ¡ë«® ¡ë ¯à®¢®¤¨âì ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î. �¥¬¥ ¬¥¥¥ ¬®¦® áç¨â âì ¨§¢¥áâë¬, çâ® d
dx (x4/3) = 43 x1/3 ¯à¨
¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå x, £¤¥ x1/3 = 3√
x, ¨ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯¥à¢®©¨§ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ⮦¥ áç¨â âì ®¡®á®¢ ë¬.
�㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
3√
sin4 ∆x + cos4 ∆y − 1√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà -¦¥¨¥ ®æ¥¨âáï ¯® ¬®¤ã«î ᢥàåã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:∣∣∣∣∣
3√
sin4(ρ cosϕ)+ cos4(ρ sinϕ)− 1√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
∣∣∣∣∣ =|A− 1|
ρ=
|A3 − 1|ρ(1 + A + A2)
=
=| sin4(ρ cosϕ) + cos4(ρ sinϕ)− 1|
ρ(1 + A + A2)6
6 | sin4(ρ cosϕ)|+ |1− cos4(ρ sinϕ)|ρ
6 ρ4 + 2 sin2(ρ sinϕ)ρ
6
6 ρ4 + 2ρ2
ρ= 2ρ + ρ3.
55�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, á®-
®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨-à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). �¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ®ç¥¢¨¤ ï 楯®çª âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© 1− cos4 α = (1 + cos2 α)(1−− cos2 α) 6 2 sin2 α.
�ਬ¥à 3.25. f(x, y) =
{y
(1− cos x√
|y|
), y 6= 0,
0, y = 0.� ª ª ª f(x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, f(0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®
∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= 0, ∂f∂y (0, 0) = d
dy f(0, y)∣∣∣y=0
= 0.�㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
∆y
(1− cos ∆x√
|∆y|
)
√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
∆y · 2 sin2
(∆x
2√|∆y|
)
√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î
2|∆y|(
∆x2√|∆y|
)2
ρ=
(∆x)2
2ρ6 ρ2
2ρ=
ρ
2.
� ¯à¨¢¥¤ñ®© 楯®çª¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© áç¨â «®áì, çâ® ∆y 6=6= 0, ® ®ª®ç ⥫ì ï ®æ¥ª ∣∣∣∣∣
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
∣∣∣∣∣ 6 ρ
2,
£¤¥ ρ =√
(∆x)2 + (∆y)2, á¯à ¢¥¤«¨¢ , ®ç¥¢¨¤®, ¨ ¯à¨ ∆y == 0. �ਠí⮬ ¤ ¦¥ ¥ ¯à¨è«®áì ä®à¬ «ì® ¯¥à¥å®¤¨âì ª¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬. �ã¦ë© ¬ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥0, f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.26. f(x, y) =
(x + y) arctg(
xy
)2, y 6= 0,
π2 x, y = 0.
56
� ª ª ª f(x, 0) = π2 x ¯à¨ ¢á¥å x, f(0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y,
â® ∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= π2 , ∂f
∂y (0, 0) = ddy f(0, y)
∣∣∣y=0
= 0.� ª ª ª f(0, 0) = 0, ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)− π2 ∆x
√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
(∆x + ∆y) arctg(
∆x∆y
)2− π
2 ∆x√
(∆x)2 + (∆y)2.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà -¦¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
(ρ cosϕ + ρ sinϕ) arctg(
ρ cosϕρ sin ϕ
)2− π
2 ρ cosϕ√
ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=
= (cos ϕ + sin ϕ) arctg(ctg2 ϕ)− π
2cosϕ,
â.¥. ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. �।¥«ë ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ à §-«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.27. f(x, y) =
3
√x6 + y6
|x|+ y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.
� ª ª ª f(x, 0) = |x|5/3 ¯à¨ ¢á¥å x, f(0, y) = y4/3 ¯à¨ ¢á¥åy, â® ∂f
∂x (0, 0) = ddx f(x, 0)
∣∣∣x=0
= 0, ∂f∂y (0, 0) = d
dy f(0, y)∣∣∣y=0
=
= 0. �㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
3√
(∆x)6 + (∆y)63√|∆x|+ (∆y)2
√(∆x)2 + (∆y)2
.
� ª ª ª á ¨â¥à¥áã¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ¢ ¥ª®â®à®©®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ (0, 0), â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® |∆x| 6 1.�®£¤ |∆x| > (∆x)2, ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ®æ¥¨âáï ᢥàåã
57ç¥à¥§
3√
(∆x)6 + (∆y)63√
(∆x)2 + (∆y)2√
(∆x)2 + (∆y)26
3√
2ρ6
ρ2/3 · ρ = 3√
2ρ1/3.
�â ª,∣∣∣∣f(∆x, ∆y)− f(0, 0)√
(∆x)2 + (∆y)2
∣∣∣∣ 6 3√
2ρ1/3, £¤¥ ρ =√
(∆x)2 + (∆y)2,¨ ¨â¥à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0. �ãªæ¨ï f(x, y)¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਬ¥à 3.28. � ©â¨ ¢á¥ § 票ï α ¨ A, ¯à¨ ª®â®àëå
äãªæ¨ï f(x, y) =
{(x2 + 2y2)α sin
(π3 − x + y
), x2 + y2 > 0,
A, x = y = 0,¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å α ¨ A ©â¨ ¤¨ä-ä¥à¥æ¨ « df(0, 0).
�®ï⨥ ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 äãªæ¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢¢¥-¤¥® ¤«ï äãªæ¨© ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå «®£¨ç® ®¤®-¬¥à®¬ã á«ãç î: lim
~x→~af(~x) = ∞, ¥á«¨
∀E > 0 ∃ δ > 0 : ∀~x ∈ Uδ(~a) → |f(~x)| > E.
�᫨ äãªæ¨ï g(~x) ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ~x →~a ¨ ¥ ®¡à é -¥âáï ¢ ã«ì ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠~a, â® f(~x) == 1
g(~x) | ¡¥áª®¥ç® ¡®«ìè ï ¯à¨ ~x →~a.� ª ª ª ¯à¨ α < 0 äãªæ¨ï (x2 + 2y2)−α ï¥âáï ¡¥áª®-
¥ç® ¬ «®© ¯à¨ x → 0, y → 0, â® (x2 + 2y2)α | ¡¥áª®¥ç®¡®«ìè ï. � ª ª ª lim
x→0y→0
sin(
π3 − x + y
)=√
32 , â® f(x, y) â ª¦¥
ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¯à¨ x → 0, y → 0 ( «®£¨ç®®¤®¬¥à®¬ã á«ãç î ¬®¦® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ lim
~x→~af1(~x) = ∞,
lim~x→~a
f2(~x) = C 6= 0, â® lim~x→~a
f1(~x)f2(~x) = ∞). � ç¨â, ¯à¨ α <
< 0 äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¥ï¢«ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਠα = 0 äãªæ¨ï f(x, y) = sin(
π3 − x + y
). �¤¨á⢥-
ë¬ § 票¥¬ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ f(x, y) ¡ã¤¥â ª ª ¥¯à¥à뢮©,â ª ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ï¥âáï A =
√3
2 . �à¨
58
í⮬ § 票¨ A äãªæ¨ï f(x, y) ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¤ ¦¥ ¥¯à¥-à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ df(0, 0) ¬®¦® ¢ë-ç¨á«¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ «ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï:
df(x, y) = cos(π
3− x + y
)(dy − dx); df(0, 0) =
12
(dy − dx).
� ª®¥æ, ¯à¨ α > 0 limx→0y→0
f(x, y) = 0. �®í⮬ã f(x, y) ¡ã¤¥â
¥¯à¥à뢮© ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ A = 0.�«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠à áᬮâਬ á -
ç « äãªæ¨î g(x, y) = (x2 + 2y2)α. � ª ª ª g(x, 0) = |x|2α, â®∂g∂x (0, 0) = d
dx g(x, 0)∣∣∣x=0
= ddx (|x|2α)
∣∣∣x=0
= lim∆x→0
|∆x|2α
∆x | ¥áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ 0 < α 6 1
2 . � ç¨â, g(x, y) ¥ ï¥âáï ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0). �® ¥á«¨ ¡ë f(x, y) ¡ë« ¤¨ää¥-à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0), â® ¨ g(x, y) = f(x, y)
sin(
π3 − x + y
) ¡ë«
¡ë ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥, íâ® ¥ â ª. � ç¨â, ¯à¨0 < α 6 1
2 äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
�ਠα > 12 ¨¬¥¥¬: ∂g
∂x (0, 0) = ddx |x|2α
∣∣∣x=0
= 0. � «®£¨ç®,∂g∂y (0, 0) = d
dy g(0, y)∣∣∣y=0
= ddy (2α|y|2α)
∣∣∣y=0
= 0. � ª ª ª
∣∣∣∣∣g(∆x,∆y)− g(0, 0)√
(∆x)2 + (∆y)2
∣∣∣∣∣ =((∆x)2 + 2(∆y)2)α
√(∆x)2 + (∆y)2
6 (3ρ2)α
ρ= 3αρ2α−1,
¨ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, â®äãªæ¨ï g(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ dg(0, 0) = 0.� ç¨â, ¯à¨ α > 1
2 äãªæ¨ï f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨©, ¨
df(x, y) =
= dg(x, y) sin(π
3− x + y
)+ g(x, y) · cos
(π
3− x + y
)(dy − dx),
df(0, 0) = dg(0, 0) · sin π
3+ g(0, 0) · cos
π
3· (dy − dx) = 0.
59
�⢥â. f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯à¨ α = 0,A =
√3
2 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 12 (dy − dx)) ¨ ¯à¨ α > 1
2 ,A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 0).
� áᬮâਬ ¯à¨¬¥àë, ª®£¤ 㦮 ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì ¥ ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢ ¤à㣨å â®çª å ¯«®áª®áâ¨.
�ਬ¥à 3.29. �áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâìäãªæ¨î f(x, y) = log2(5+ |x− 1|5/7 · |y +2|1/3) ¢ â®çª¥ (1,−2).
� áᬮâਬ á ç « äãªæ¨î u(x, y) = |x− 1|5/7|y + 2|1/3.� ª ª ª u(x,−2) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, u(1, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®
∂u
∂x(1,−2) =
d
dxu(x,−2)
∣∣∣x=1
= 0;
∂u
∂y(1,−2) =
d
dyu(1, y)
∣∣∣y=−2
= 0.
� ª ª ª u(1,−2) = 0, â® ¯à®¢¥à¨¬, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
u(1 + ∆x,−2 + ∆y)− u(1,−2)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
|∆x|5/7|∆y|1/3
√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ∆x = ρ cosϕ,∆y = ρ sinϕ, ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ρ5/7| cosϕ|5/7ρ1/3| sinϕ|1/3
√ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ
=ρ22/21| cosϕ|5/7| sinϕ|1/3
ρ6 ρ1/21.
�®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0,§ ç¨â, ¨â¥à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, äãªæ¨ïu(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1,−2).
�¥èïï äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© g(u) = log2(5+u) ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = 0. �® ⥮६¥ ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®-á⨠᫮¦®© äãªæ¨¨ äãªæ¨ï f(x, y) = g(u(x, y)) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1,−2).
�ਬ¥à 3.30. �áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâìäãªæ¨î f(x, y) = (2x2 − y2 − 1)
√x2 + y2 − xy − x− y + 1 ¢
â®çª¥ (1, 1).�⬥⨬, çâ® f(1, 1) = 0. � «¥¥,
f(1, y) = (1− y2)√
y2 − 2y + 1 = (1− y2)|y − 1| ¯à¨ ¢á¥å y,
60
f(x, 1) = (2x2−2)√
x2 − 2x + 1 = 2(x2−1)|x−1| ¯à¨ ¢á¥å x.
� ©¤ñ¬ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ äãªæ¨¨ f(x, y) ¢ â®çª¥ (1, 1).�¬¥¥¬: ∂f
∂x (1, 1) = ddx f(x, 1)
∣∣∣x=1
= lim∆x→0
2((1 + ∆x)2 − 1)|∆x|∆x =
= 2 lim∆x→0
(2 + ∆x)|∆x| = 0. � «®£¨ç®, ∂f∂y (1, 1) = 0.
�áâ ñâáï ¢ëïá¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«
lim∆x→0∆y→0
f(1 + ∆x, 1 + ∆y)− f(1, 1)√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
(2(1 + ∆x)2 − (1 + ∆y)2 − 1)×
×√
(1+ ∆x)2+ (1+ ∆y)2− (1+ ∆x)(1+ ∆y)− 1−∆x−∆y√(∆x)2 + (∆y)2
=
= lim∆x→0∆y→0
(4∆x− 2∆y +2(∆x)2− (∆y)2)√
(∆x)2+ (∆y)2−∆x∆y√(∆x)2 + (∆y)2
.
�®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®«ã祮¥ ¢ë-à ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤(4ρ cosϕ− 2ρ sinϕ+2ρ2 cos2 ϕ− ρ2 sin2 ϕ)
√ρ2− ρ2 cosϕ sinϕ
ρ=
= ρ(4 cosϕ− 2 sin ϕ + 2 cos2 ϕ− sin2 ϕ)√
1− cosϕ sinϕ,
¨ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ(4 + 2 + 2 + 1)√
1 + 1 = 9ρ√
2.�â® ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, § ç¨â, ¨â¥-à¥áãî騩 á ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0. �«¥¤®¢ ⥫ì®, f(x, y)¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (1, 1).
�ਬ¥à 3.31. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâ¨äãªæ¨¨ f(x, y) = x|y|+ y|x|.
�â® § ç¨â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ (x0, y0) ¯«®áª®á⨠㦮®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨ ¤ ï äãªæ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©¢ í⮩ â®çª¥.
) � «î¡®© â®çª¥ (x0, y0), £¤¥ x0y0 6= 0 (â.¥. ¢ «î¡®© â®çª¥,¥ «¥¦ 饩 ª®®à¤¨ âëå ®áïå) äãªæ¨ï f(x, y) ï¥âáï¤ ¦¥ ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®©, â ª ª ª ¢ ¥ª®â®à®©®ªà¥áâ®á⨠í⮩ â®çª¨ § ¢¥¤®¬® ¨¬¥¥â ¥¯à¥àë¢ë¥ ç áâë¥
61
¯à®¨§¢®¤ë¥ (f(x, y) = 2xy ¢ I ç¥â¢¥àâ¨, f(x, y) = −2xy ¢ IIIç¥â¢¥àâ¨, f(x, y) = 0 ¢® II ¨ IV ç¥â¢¥àâïå).
¡) � â®çª¥ (0, 0): ∂f∂x (0, 0) = d
dx f(x, 0)∣∣∣x=0
= 0, «®£¨ç®∂f∂y (0, 0) = 0.
lim∆x→0∆y→0
f(∆x,∆y)− f(0, 0)√(∆x)2 + (∆y)2
= lim∆x→0∆y→0
∆x|∆y|+ ∆y|∆x|√(∆x)2 + (∆y)2
= 0,
â ª ª ª ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ρ cosϕ|ρ sinϕ|+ ρ sinϕ|ρ cosϕ|
ρ= ρ(cosϕ| sinϕ|+ sin ϕ| cosϕ|),
¨ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2ρ. � ç¨â, f(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨-à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
¢) �®ª ¦¥¬, ª®¥æ, çâ® ¢ â®çª å, «¥¦ é¨å ª®®à¤¨- âëå ®áïå, ªà®¬¥ â®çª¨ (0, 0), äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ï¥âá廊ää¥à¥æ¨à㥬®©. � áᬮâਬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ®á⨠â®çªã(x0, 0), £¤¥ x0 6= 0. �¬¥¥¬ ∂f
∂y (x0, 0) = ddy f(x0, y)
∣∣∣y=0
=
= ddy (x0|y| + |x0|y)
∣∣∣y=0
= x0ddy |y|
∣∣∣y=0
+ |x0| | ¥ áãé¥áâ¢ã¥â,
â ª ª ª ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ddy |y|
∣∣∣y=0
. � ç¨â, f(x, y) ¥ ï¥âá廊ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0, 0).
�¯à ¦¥¨¥ 3.5. �®ª § âì, çâ® äãªæ¨ï f(x, y) ¥ ï¢-«ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0):
) f(x, y) =√
x2 + y2;¡) f(x, y) = 5
√x5 − y5;
¢) f(x, y) = sin(2xy + 5√
x3y2);£) f(x, y) = arctg(
√1− x2 − y2 +
√|xy|).
�¯à ¦¥¨¥ 3.6. �®ª § âì, çâ® äãªæ¨ï f(x, y) ï-¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0):
) f(x, y) =√
x4 + y4;¡) f(x, y) = 3
√x4 − y4;
¢) f(x, y) = arcsin(
x2 + y2
2 + 7√
x4y4)
;£) f(x, y) = ch(5ex − ln(1 + x2 − y2)− 8
√|x|3y6).
62
�¯à ¦¥¨¥ 3.7. �áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨:
) f(x, y) =
{(x3 + y3)2
x4 + y4 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
¡) f(x, y) =
{x5 + y5
x4 + x2y2 + y4 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
¢) f(x, y) =
{x3y2√x6 + y6
, x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
£) f(x, y) =
{x3y2
(x6 + y6)2/3 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
¤) f(x, y) =
x3 − xy2
(x6 + y6 − 3
2 x3y3)1/4 , x2 + y2 > 0,
0, x = y = 0;
¥) f(x, y) =
(y2 − xy)2(x8 + y8 − 4
3 x4y4)1/3 , x2 + y2 > 0,
0, x = y = 0.�¯à ¦¥¨¥ 3.8. �áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì
¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨: ) f(x, y) = e
3√
xy − 3√
xy;¡) f(x, y) = sh 7
√xy − arcsin 7
√xy;
¢) f(x, y) =
xey − yex + y − x + xy2 (x− y)
(x2 + y2)3/2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
£) f(x, y) =
xey − yex + y − x + xy2 (x− y)
x2 + y2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0;
¤) f(x, y) = ch 6√|xy|+ cos 6
√|xy|;
¥) f(x, y) =
x arctg y − y arctg x + xy3 (y2 − x2)
(x2 + y2)5/2 , x2 + y2 > 0,0, x = y = 0.
�¯à ¦¥¨¥ 3.9. �áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢ â®çª¥ (0, 0) äãªæ¨¨:
) f(x, y) = x4/5(cos( 5√
y)− 1);
63
¡) f(x, y) = y2/3 arctg√|x|;
¢) f(x, y) = y + cos 3√
x2 + y2;
£) f(x, y) =
{x3
y arctg yx2 + y2 , y 6= 0,
x, y = 0;¤) f(x, y) = 5
√sinx(1− cosxy);
¥) f(x, y) =
y sin√
x2
|y| , y 6= 0,0, y = 0.
�¯à ¦¥¨¥ 3.10. � ©â¨ ¢á¥ § 票ï α ¨ A, ¯à¨ ª®â®-àëå äãªæ¨ï
f(x, y) ={
(3x2 + y2)α ln(2 + x− 3y). x2 + y2 > 0,A, x = y = 0,
¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¨ ¯à¨ íâ¨å α ¨ A ©â¨ ¤¨ä-ä¥à¥æ¨ « df(0, 0).
�¯à ¦¥¨¥ 3.11. �áá«¥¤®¢ âì äãªæ¨î f(x, y) ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬®áâì ¢ ¤ ®© â®çª¥:
) f(x, y) = arctg(3 + |x + 3|2/5|y − 1|3/4) ¢ â®çª¥ (−3, 1);¡) f(x, y) = cos
(π4 +
∣∣∣x− π2
∣∣∣2/7|y|4/5
)¢ â®çª¥
(π2 , 0
);
¢) f(x, y) = (xy + 3)√
2x2 + y2 + xy − 2x + 3y + 4 ¢ â®çª¥(1,−2);
£) f(x, y) = (x2 + xy− 4)√
x2 + y2 + xy − 4x− 2y + 4 ¢ â®çª¥(2, 0).
�¯à ¦¥¨¥ 3.12. � ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®-á⨠äãªæ¨¨:
) f(x, y) = |x2 − y2|;¡) f(x, y) = 1
1 + |xy| ;¢) f(x, y) = (y − |x|)2.
�⢥âë ª ã¯à ¦¥¨ï¬2.1. ) � §àë¢ ¢ â®çª¥ (0, 0), ¥¯à¥àë¢ ¢ ®áâ «ìëå â®ç-ª å; ¡) à §àë¢ ¢ â®çª å (0, y0), £¤¥ y0 6= 0, ¥¯à¥àë¢ ¢®áâ «ìëå â®çª å; ¢) à §àë¢ ¢ â®çª å (x0, x0), £¤¥ x0 6= 0,
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¥¯à¥àë¢ ¢ ®áâ «ìëå â®çª å; £) ¥¯à¥àë¢ ¢ â®çª¥ (0, 0),à §àë¢ ¢ ®áâ «ìëå â®çª å.3.3. ) 2 dx− 2 dy; ¡) − π
2 dx + π2
4 dy; ¢) dx + 2√
3 dy.3.4. ) z = f(x2 + y2); ¡) z = xf
(yx
); ¢) ∂z
∂ξ + ∂z∂η = eξ sh η; £)
∂z∂ξ = ∂z
∂η ; ¤) (2ξ + η − z) ∂z∂ξ + (ξ + 2η − z) ∂z
∂η = ξ + η − z.� ®â¢¥â å ª ®áâ «ìë¬ ã¯à ¦¥¨ï¬ ý¤ þ ®§ ç ¥â, çâ®
äãªæ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ ¤ ®© â®çª¥, ý¥âþ | ¥ ¤¨ä-ä¥à¥æ¨à㥬 .3.7.
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3.9. ) ¤ ; ¡) ¤ ; ¢) ¤ ; £) ¥â;¤) ¥â; ¥) ¤ .
3.10. �ਠα = 0, A = ln 2 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = dx− 3 dy2 );
¯à¨ α > 12 , A = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ df(0, 0) = 0).
3.11. ) ¤ ; ¡) ¤ ; ¢) ¥â; £) ¤ .
3.12. ) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª å (x, y) â ª¨å, çâ® y 6= ±x, â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ ®áâ «ìëå â®ç-ª å; ¡) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª å (x, y) â ª¨å, çâ® xy 6= 0, â ª¦¥ ¢ â®çª¥ (0, 0). �¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ ®áâ «ìëå â®ç-ª å; ¢) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ «î¡®© â®çª¥.
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