mini-video 1 de 3 materia: concepto. teorema de rouché sistemas de ecuaciones lineales
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Mini-video 1 de 3
Materia: Concepto. Teorema de Rouché
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Se definen:
mnmn11m
1nn1111
bxaxa
bxaxa
Sistemas de ecuaciones lineales
Se definen:
Ejemplos:
mnmn11m
1nn1111
bxaxa
bxaxa
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Forma vectorial de un sistema:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
1 2 3
3 2 1 2
1 x 7 x 9 x 14
1 0 1 2
æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç
Sistemas de ecuaciones lineales
Forma vectorial de un sistema:
Forma matricial:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
1 2 3
3 2 1 2
1 x 7 x 9 x 14
1 0 1 2
æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç
1
2
3
3 2 1 2 x
Ax b con: A 1 7 9 , b 14 , x x
1 0 1 2 x
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = - = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -÷ ÷ ÷è ø è ø è øç ç ç
Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
Ejemplo:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3
x x 2
ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
Ejemplo:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3
x x 2
ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî
3 1 2 2 3 3 4 3 2
1 7 2 9 3 1 14 27 14
1 3 2
ì ´ - ´ + = - + =ïïïï - ´ + ´ = - + =íïïï - = -ïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
Ejemplos:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
Ejemplos:
Soluciones:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
1 2 3x 1, x 2, x 3= = =1 1
x ( 7z 23k 16), y (z 2k 5)3 3
= - + + = - +
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas homogéneos
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas homogéneos
Ejemplo:
x 2y 3z 9k 0
3y z 2k 0
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 1x ( 7z 23k), y (z 2k)
3 3= - + = -
Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 1:
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 1:
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
3 2 1
rango(A) rango 1 7 9 3
1 0 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷è øç3 2 1 2
rango(A*) rango 1 7 9 14 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - - ÷è øç
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
a b 1
2a 3b 0
2a 2b 0
ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
a b 1
2a 3b 0
2a 2b 0
ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî
1 1
rango(A) rango 2 3 2
2 2
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç
1 1 1
rango(A*) rango 2 3 0 3
2 2 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
:
1azyx
1zayx
1zyax
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
3a 3a 2 0 a 1,a 2- + = Þ = =-
Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
Veamos que pasa si a=1:
ax y z 1
x ay z 1
x y az 1
x y z 1
Si a 1 x y z 1
x y z 1
ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ
Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
Veamos que pasa si a=1:
Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1 Compatible e indeterminado
ax y z 1
x ay z 1
x y az 1
x y z 1
Si a 1 x y z 1
x y z 1
ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ
Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
Calculamos:
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
2 1 1
rango(A) rango 1 2 1 2
1 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
2 1 1 1
rango(A*) rango 1 2 1 1 3
1 1 2 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
Calculamos:
Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3 Incompatible
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
2 1 1
rango(A) rango 1 2 1 2
1 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
2 1 1 1
rango(A*) rango 1 2 1 1 3
1 1 2 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
Mini-video 2 de 3
Materia: Resolución de Sistemas Lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Ejemplos:
4x
2x
4x3
2x
3
1x
2xx
0xx2
6xx
0xx2
6xx
2
1
2
21
21
21
21
21
21
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Ejemplos:
Se obtienen:- Intercambiando entre sí dos ecuaciones- Multiplicando una ecuación por un número 0- Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.
4x
2x
4x3
2x
3
1x
2xx
0xx2
6xx
0xx2
6xx
2
1
2
21
21
21
21
21
21
Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:
Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:
Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2
Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Tenemos que: 1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 41 2 3 4
1 2 41 3 4
1 2 3 4 1 3 4
1 2 4 1 2 3 4
1 3 4
4x x 4x 3x 7
x 2x x 3
4x x 4x 3x 7
3x x 2x 2x 4
4x x 4x 3x 74x x 4x 3x 72x x x 1x 2x x 3
3x x 2x 2x 4 x 2x x 32x x x 1 3x x 2x 2x 4
x 2x x 3
2x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 4
x x 1
3x x 2x 2x 4
2x x x 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:
1 2 3 4
1 2 3 41 3 4
1 3 41 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7
4x x 4x 3x 7x 2x x 3
x 2x x 33x x 2x 2x 4
2x x x 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:
A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.
1 2 3 4
1 2 3 41 3 4
1 3 41 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7
4x x 4x 3x 7x 2x x 3
x 2x x 33x x 2x 2x 4
2x x x 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b- Regla de Cramer (Ejemplo)
Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Sistemas de ecuaciones lineales
Tenemos:
1 2
3
2 2 1 3 2 1
14 7 9 1 14 9
2 0 1 1 2 18 16x 1; x 2;
3 2 1 3 2 18 81 7 9 1 7 9
1 0 1 1 0 1
3 2 2
1 7 14
1 0 2 24x 3
3 2 1 81 7 9
1 0 1
-
-
- - - -= = = = = =
- -
- -
- -
-
-
-= = =
-
-
-
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas Indeterminados
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundarias
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer
Ejemplo: Resolver
1xxx2
3xx2x
421
431
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer
Ejemplo: Resolver
Solución:
1xxx2
3xx2x
421
431
1 3 4
1 2 4
x 3 2x x1 0 2 1 1 0Rango 2, 0
2x x 1 x2 1 0 1 2 1
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
1
2
3
4191 0.5 0.33 x 1.83
18850.5 0.33 0.25 x Sol:
630.33 0.25 0.2 x 0.78
1637
1.
3
1
6
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
1
2
3
4191 0.5 0.33 x 1.83
18850.5 0.33 0.25 x Sol:
630.33 0.25 0.2 x 0.78
1637
1.
3
1
6
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷Det(A) 0@
Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss
Sea Ax=b y A*=(A|b)
El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:
De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.
sIbA
Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss
Sea Ax=b y A*=(A|b)
El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:
De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.
Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.
sIbA
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
2 1 21
3 3 326 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
2 1 21
3 3 326 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.
Mini-video 3 de 3
Materia: Prácticas con
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
La función RowReduce[ ] de Mathematica:
Sistemas de ecuaciones lineales
La función RowReduce[ ] de Mathematica:
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
Sistemas de ecuaciones lineales