milestone 2:

1

Milestone 2:על מה נדבר היום:

.פאות של פאונים קמורים

.(The cyclic Polytopeהפאון המחזורי (

.תיאוריית החסם העליון

1

2

3

סמינר בגיאומטריה חישוביתII – חלק 5פרק

2

Milestone 2::פאות של פאונים קמורים

מהצורה P עצמו או תת קבוצה של P להיות P של פאון קמור פאהנגדיר1.

מוכל כולו באחד מחצאי המרחב הסגור הנגזר מ P הינו על-מישור אשר hבאשר

h.

hP

אםנקודה קיצונית לקבוצה עבור קבוצה נקרא לנקודה 2.dRX Xx

xXCONVx \

נקודה קיצונית

לא נקודה קיצונית

3


יהי פאון קמור חסום.: 1משפט

הוא הקמור של קודקודיו.P הם קודקודיו, וPאזי הנקודות הקיצוניות של

הינו קמור של מספר סופי של נקודות.Pנשים לב כי •

.Pנסמן ב את קבוצת הנקודות המינימאלית שהקמור שלה הוא •

נסמן ב את קבוצת הקודקודים המייצגים את הקמור.•

.Pנסמן ב את קבוצת הנקודות הקיצוניות של •

על מנת להוכיח את המשפט נראה שמתקיים:

נשתכנע כי בדוגמא שלנו השוויון הנ"ל •

אכן מתקיים כאשר:

dRP

v

1v 2v

3v

4v

5v

6v7v

9v

8v

mV

vV

eV

:P

evm VVV

54321 ,,,,, vvvvvvVVV evm

4


נראה .הוכחה: •

מתקיים: .Pנשים לב כי מהגדרת נקודה קיצונית לקבוצה 1.

כך ש h, אזי קיים על-מישור Pנראה : יהי קודקוד של 2.

, לכן hו נמצא באחד מחצאי המרחבים הפתוחים המוגדרים על ידי

נקודה קיצונית ולכן vהוא קמור. סה"כ אך ולפיכך

ונקבל .

לבסוף נראה ונקבל כי:3.

אם כך יהי נראה .

P קודקוד של vעל מנת להראות ש

נראה כי קיים על-מישור אשר מכיל את

P. בצד אחד ו

vh

v

1v 2v

3v

4v

5v

6v7v

9v

8v

:P

evm VVV

me VV

ev VV vVv vhP

vP \ vP \

Pv )\( vPconvveVv

ev VV

vm VV

evme VVVV 231

mVvvVv

vhP v vh

5

נסמן את הקמור ממינימאליות נאמר , ולכן 4.

h ו זרות זו לזו וניתן להעביר ביניהם על-מישור Cהקבוצות הקמורות

המפריד ביניהם.

נשים לב כי הקבוצה הינה קמורה מכיוון שהיא מהווה 5.

חיתוך של קבוצה קמורה עם חצי המרחב פתוח מ . כמו כן כל קטע

עם על-מישור .v חולק אך ורק את הנקודה

ראינו קבוצה קמורה וכן קבוצה קמורה לכן גם 6.

קבוצה קמורה.

קמורה ומכילה את היאTמכיוון ש7.

בהכרח מכילה גם את

ולכן כנדרש.


vh h

1v 2v

3v

4v

5v

6v7v

9v

8v

v

:P

C

)\( vVconvC mmVCv

vvmv hVconvhP \)(\

vhvhPxvx \|

vh

vhP \ v vhPT v )\(

mV

)( mVconvP

vhP v

6

:פאות של פאונים קמורים

.P פאה שלFיהי פאון קמור חסום ותהי : 2משפט

F ובנוסף הפאות של F הנמצאים בP הם בדיוק הקודקודים של Fאזי הקודקודים של

.F אשר מוכלות בPהם בדיוק הפאות של

dRP

P

F

h

0v 1v

3v 2v

P

F

h

G

7


.F הנמצאים בP הם בדיוק הקודקודים של Fתחילה נראה כי הקודקודים של •

P, ו- את קודקודי P את קבוצת הקודקודים עבור הפאון הקמור Vנסמן ב

.Fאשר ב

נשים לב כי , כמו כן בשביל לקבל נקודות על חייבים להשתמש

הנמצאים על ולכן משיקולים דומים לאלו שראינו במשפט Vרק בקודקודי

הקודם מתקיים: ולכן ממשפט קודם כל

הנקודות

.F הנמצאים בP ואלו הם בדיוק קודקודי F הם בדיוק הקודקודים של Fהקיצוניות של

P

F

h

0v 1v

3v 2v

)()( hVconvhVconvF

nvv ...0

hVconvF )(h

h

8


נראה כי "פאה של פאה היא פאה" ולהיפך.•

:P שהיא עצמה פאה של F, היא גם פאה של F המוכלת בP) של G פאה )נסמנה

וכן פאה של F היא פאה של Gנשתמש באותו על-מישור )ראה ) על מנת להראות ש

P .

:P , היא פאה של P) שלF) של פאה )G פאה )

F פאה של G כך ש , וכמו כן h לכן קיים על-מישור P פאה של Fמהנחה

כך ש וסה"כ נקבל .gלכן קיים על-מישור

היא גם פאה G’ ב ) נוכל לומר כי h )ראה G סביב hמצד שני אם נסובב מעט את

באשר . בסעיף הקודם ראינו כי מדובר באותם הקודקודים ולכן Pשל

הפאות שוות.

P

F

h

G

h

P

F

h g

G

hPF

gFG ghPG

I II

II

hPG

9

:הפאון המחזורי

נגדיר את העקום ב עקומת מומנט: •

כעקומת מומנט. דוגמאות:

Rtttt d :),,,( 2 dR

Rttt :),( 2 Rtttt :),,( 32

הקמור של מספר נקודות סופי (: cyclic polytope)פאון מחזורי נגדיר •

על עקומת המומנט.

10


נסמן עקומת מומנט כ ב .•

חותך את עקומת המומנט ב נקודות לכל היותר.כל על-מישור : 1למה •

כמו כן אם יש נקודות חיתוך אזי לא יתכן ש משיק ל ולכן בכל נקודת חיתוך

עובר מצד אחד של לצידו השני.

נבטא את על-מישור בעזרת המשוואה , כאשר מתקייםהוכחה: •

. נשים לב כי נקודה ב היא מהצורה

הוא tואם נקודה זו נמצאת על אזי מתקיים ולכן

שורש של פולינום )שונה מאפס) מדרגה ולפי משפט קיימים לו לכל היותר

שורשים.

כמו כן אם ישנם שורשים שונים אזי כולם חייבים להיות שורשים פשוטים מהצורה:

ליד כל אחד מהשורשים הפשוטים הפולינום

מחליף סימן ולכן נוכל להסיק כי עובר מצד אחד של לצידו השני.

hd

Rtttt d :),,,( 2 dR

dh

h

hbxa ,

bxaxaxa dd 2211),,,( 2 dttt

h0221 btatata d

d

dd

d

)())(()( 21 dh ztztzttP h

11


של הפאון.d-1 הינה פאה ממימד facetניזכר כי •

בלתי תלויים קודקודיםd) של tuple נקבעת בעזרת קבוצה )facetנשים לב כי כל •

אפינית.

)קשת) 1 הינה הפאה ממימד facetלמשל בדוגמה עבור ריבוע לכן ה

קודקודים.2 בעזרת קבוצה של facetוניתן לייצג כל

בפאון מחזורי. לשם כך נעזר בקריטריון facets אנו מעוניינים לעמוד את מספר ה•

.facet קודקודים מהוות dהזוגיות של גייל על מנת לקבוע אילו קבוצות של

2d

a b

d c

bafacet ,1#

dcfacet ,3#

cbfacet ,2# adfacet ,4#

12


עם סידור P קבוצת קודקודים של פאון מחזורי V תהי קריטריון הזוגיות של גייל: •

ליניארי

.tלאורך עקומת המומנט כך שקודקוד גדול יותר מייצג ערך גדול יותר של הפרמטר

כך ש .P קודקודים השייכים לdתהי קבוצה של

אם ורק אם לכל שני קודקודים מספר P של facet מהווה Fאזי

המקיימים הינו זוגי.הקודקודים

VvvvF d 110 ,, 110 dvvv

FVvu \,

Fvi vvu i

u v

1v 2v0v 3v 4v

13


הוכחה: •

אם ורק אם כל הנקודות facet מהווה F, אזי Fיהי על-מישור הנפרש על ידי 1.

נמצאות באותו צד של .V\Fבקבוצה

נקודות )הנקודות המייצגות את dמכיוון שעקומת המומנט חותכת את בדיוק ב2.

Fנחלקה ל (d+1. חלקים אשר כל אחד נמצא לחלוטין בצד אחד של

מוכלים כולם בקטעים האי זוגיים כגון V\Fלכן אם הקודקודים בקבוצה 3.

Fכמו בתמונה או לחילופין אם הם כולם מוכלים בקטעים הזוגיים אזי

.facetמהווה

יש מספר זוגי של V\F קודקודים ב 2הנ"ל שקול לקריטריון גייל מכיוון שבין כל 4.

. Fקודקודי

,, 31

0

1

2

3

4

5

,, 20

fh

fh

fh

d ,,0 fh

14


קודקודים כאשר n עם dבפאון מחזורי ממימד facets מספר ה משפט: •

הינו:

(i( עבור d.זוגי

(ii( עבור d.אי זוגי

1dn

(iii( עבור מספר קבועd . מתקיים סדר גודל של 2/dn

15


הוכחה:•

מעגלים dשווה למספר הדרכים לשבץ facetsמקריטריון גייל נסיק כי מספר ה 1.

מעגלים לבנים כך שישנו מספר זוגי של מעגלים שחורים בין כל שני n-dשחורים ו

מעגלים לבנים.

אנו נאמר כי סידור של מעגלים שחורים ולבנים הוא סידור סידור מזווג: נגדיר 2.

מזווג אם לכל קטע רציף של מעגלים שחורים יש אורך זוגי.

0

1

2

3

4

5

16


הוכחה:•

n-2k מעגלים שחורים ו k2נשים לב כי מספר האפשרויות לסידורים המזווגים של 3.

מעגלים לבנים הוא .

מכיוון שעל ידי "מחיקת" כל מעגל שחור שני אנו מקבלים התאמה של "אחד על אחד"

מקומות.n-k מעגלים שחורים ב kבבחירת המיקומים של

כדורים לבנים.2 כדורים שחורים ו4. במקרה זה ישנם n=6 ו k=2נראה דוגמה עבור

בחר 4מכיוון שהסידור מזווג, מעגלים שחורים יגיעו באורך זוגי. ולכן הנ"ל יכול להיות )

2=(6 1

2

3

4

5

6

17


הוכחה:•

אי זוגי מהצורה dעתה נחזור לבעיה המקורית, ונביט תחילה במקרה בו 4.

.

בסידור תקין של מעגלים אנו מחויבים לסידור מספר מעגלים שחורים אי זוגי בהתחלה

או בסוף )אך לא בשניהם).

במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בהתחלה נמחק את המעגל •

מעגלים לבנים כמו n-1-2k מעגלים שחורים ו2kהשחור הראשון ונסדר בזיווג

מקודם: .

במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בסוף נמחק את המעגל השחור •

האחרון ונסדר בזיווג את המעגלים הנותרים: .

אי זוגי:dסך הכל הנ"ל מבסס את הנוסחה עבור מקרה של

12 kd

18


הוכחה:•

זוגי מהצורה . מספר המופעים העוקבים של מעגלים שחורים dעבור 5.

בהתחלה יכול להיות זוגי או אי זוגי.

במקרה הזוגי מתקיים סידור מזווג קלאסי כהגדרתו אשר נסכם לכדי •

אפשרויות.

במקרה האי זוגי נשים לב כי מתחייב שיישארו גם מספר אי זוגי של מעגלים •

שחורים בסוף ולכן היות ובמקרה זה המעגל הראשון והאחרון נקבעו להיות

שחורים "נמחק" אותם )היות והם מקובעים במקומם לא נספור אותם בחישוב)

מעגלים n-2k) מעגלים שחורים ו k-1)2לבסוף נקבל במקרה זה סידור מזווג של

לבנים המוסיפים לנו

אפשרויות.

זוגי נקבל: dסך הכל מסכימת האפשרויות בשני האפשרויות עבור •

אפשרויות כנדרש.

kd 2

19

:תיאוריית החסם העליון

תיאוריית החסם העליון עוסקת בתכונה ייחודית של מספר הפאות בפאון המחזורי.•

מבין כל הפאונים הקמורים ממימד עם קודקודים, משפט החסם העליון: •

הפאון המחזורי ממקסם את מספר הפאות בכל מימד.

בפרק זה אנו נראה תוצאה משעורת על סדר הגודל למספר הפאות המקסימאלי.•

לפאון קמור ממימד עם קודקודים, משפט החסם העליון האסימפטוטי:•

ולכל היותר פאות סך הכל. facetsיש לכל היותר

מתקיים סדר גודל של עבור שני הגורמים. dעבור מספר קבוע

dn

dn

12 d

2/dn

20


simplicialראשית נראה נכונות משפט זה עבור פאונים סימפליציאלים )•

polytope בהם כל אחד מה (facets סימפלקס מהווה.

הוא קמור של קבוצת נקודות בלתי תלויות אפינית ב .סימפלקס•

נקודות כאשר המרחקים בין d+1 הוא קמור של dממימד סימפלקס משוכלל •

נקודות זהה.2כל

אזי:d פאון סימפליציאלי ממימד Pיהי •

.I מתקיים

.II וכן

הנ"ל יוכיח את הטענה אסימפטוטית עבור פאונים סימפליציאלים מכיוון שמספר •

הפאות ממימד בהכרח קטן מ - מספר כלל קבוצות

הקודקודים.

dR

21


•. סימפליציאלים פאונים עבור המשפט נכונות נראה

• : מתקיים כי ניזכר

הפשוט *• הדואלי הפאון אל מתקיים. Pנעבור כי להראות עלינו

וגם .

של *• פאה לכל כי לב , Pנשים פשוט פאון של קודקוד וכל אחד קודקוד לפחות יש

מ )dממימד חלק .incidentהוא . הראשון( שוויון האי את נקבל מכאן פאות

ממימד .• הפאות מספר במונחי הקודקודים מספר את נחסום עתה

הפאון * את משותפת .Pנסובב קורדינטה תהיה לא מהקודקודים אחד שלאף כך

) אופקית) קשת שאין כך

22)1

2(1

ddd

dd

22


עם • קודקוד על .dנביט ממנו היוצאות מכוונות קשתות

לפחות • או מטה כלפי ממנו היוצאות קשתות לפחות יש היונים שובח עקרון לפי

. מעלה כלפי קשתות

של • קבוצה כל מעלה כלפי יוצאות מהקשתות לפחות בו במקרה

. ביותר הנמוך הקודקוד הינו עבורה ממימד פאה מהוות עולות קשתות

קשתות • של קבוצה כל מטה כלפי יוצאות מהקשתות לפחות בו במקרה

. ביותר הגבוה הקודקוד הינו עבורה ממימד פאה מהוות יורדות

עבור • דוגמה ממימד 2כאשר d=3להלן המתאימה בפאה ואכן מ עולות 2קשתות

. ביותר התחתון הקודקוד הינו

v

v

vv

v

23


שהקודקוד • מתקיים ממימד אחת בפאה שלפחות עתה הנמוך הראנו הוא

. ביותר הגבוה או ביותר

• , הקודקודים מספר פאה בכל ייחודיים הינם ביותר והגבוה הנמוך שהקודקוד מכיוון

ממימד . הפאות מספר מפעמיים יותר לא הוא

•. : השני השוויון האי את נקבל הכל סך

v

v

24


•. סימפליציאלים אינם אשר פאונים עבור העליון החסם נכונות את להראות לנו נותר

קמור :1למה • פאון סימפליציאלי dממימד Pלכל פאון כך dממימד Qקיים

שמתקיים

עבור .k=1,2….,dוגם למה • :1הוכחת

של Vתהי 1. הקודקודים . Pקבוצת ונגדיר אחד אחד הקודקודים על נעבור ויהי

:pushingפעולת הבא באופן

- הנגזר , מישור על אף על אינה אשר מ היותר לכל במרחק קודקוד נבחר

הקבוצה הקבוצה. Vמקודקודי את להיות’ .Vונגדיר

בקבוצה קודקוד כל על נעבור חדשה pushingונבצע Vכך קודקודים קבוצת נקבל

. סימפליציאני פאון המהווה

Vv

Pv

v

'\ vvVV

v

25


למה • :1הוכחת

פאון 2. שלכל להראות קודקודים Pעלינו קבוצת שדחיפת , Vעם כך קיים ולכל

הנוצר הפשוט בפאון הפאות מספר את מפחיתה לא .Qשל

ממימד U⊂Vתהי 3. הפאה של הקודקודים ב, k≤d-1≥ 0עבור Pשל Kקבוצת את’ Vנסמן

מ שנוצרה הקודקודים הקודקוד .Vקבוצת של ה דחיפת לאחר

ב • קודקוד הזזנו לא אזי של Uובהכרח Uאם פאה גם כי, conv(V’)מהווה נניח לכן

.

אזי • של האפיני בקמור נמצא וגם ממימד אם פאה עבור Kמהווה

conv(V’).

Vv0

v

UvUv

v

Uvv vU \ vU \

1v

v

2v

v

21,vvU

1v

2v

26


למה • :1הוכחת

מהווה • כי נראה של האפיני בקמור נמצא אינו אך אם

ממימד .conv(V’)עבור Kפאה

של האפיני הקמור כי לב הקומפקטית Uנשים לקבוצה .conv(V\U)זר

של האפיני הקמור גם קטן במרחק את נזיז .Uאם קטן במרחק יזוז

של הקמור המקורי ממקומו במרחק את נזיז שאם כך קיים conv(V\U)ו Uלכן

ממימד פאה מהווה ולכן לזה זה זרים לאחר conv(V’)עבור Kיישארו

של . ה דחיפת

Uvv vU \ vvUU \

v

0v

vvUU \

v

1v

v

1v

v

vvU ,1 vvU ,1v

27


•h vector עבור פאון קמור :P ב נגדיר h vector מהצורה

באשר

קשתות היוצאות כלפי מעלה.iהוא מספר הקודקודים אשר לכל אחד מהם יש בדיוק

בפאון פשוט מתקיים עבור הקודקוד הגבוה והנמוך ביותר בהתאמה.•

מהצורה באשר מייצג את מספר f vectorניזכר בהגדרת •

.P בiהפאות ממימד

באופן הבא:f vectorוה h vector נבקש לקשור בין ה•

כל קודקוד שנספר ב הוא הקודקוד הנמוך ביותר עבור בדיוק פאות

יש בדיוק קודקוד אחד נמוך ביותר ולכן:k, ולכל פאה ממימד kממימד

מתקיים i<kכאשר עבור

dR dhhh ,...,, 10ih

10 dhh

dfff ,...,, 10if

v

28


נביט בדוגמה הבאה. אנו יודעים כי בקובייה מתקיים: מס' הקודקודים•

מס' הקשתות

facets מס' ה

הקובייה עצמה

:h vectorנחשב את ה

1

2

3

4

75

68

1

6

12

8

3

2

1

0

f

f

f

f

1|1

5,3,2|3

7,6,4|3

8|1

3

2

1

0

vertexh

verticesh

verticesh

vertexh

29


נשתכנע כי אכן מתקיים:•

1

2

3

4

75

6 8

1

6

12

8

3

2

1

0

f

f

f

f

1

3

3

1

3

2

1

0

h

h

h

h

30


:h vector על מנת לשחזר את הf vector באופן דומה נוכל להיעזר ב•

1

6

12

8

3

2

1

0

f

f

f

f

1

3

3

1

3

2

1

0

h

h

h

h

1

2

3

4

75

6 8נחזור ונציב לאחור:

31


:ראינו כי מתקיים•

1

6

12

8

3

2

1

0

f

f

f

f

1

3

3

1

3

2

1

0

h

h

h

h

1

2

3

4

75

6 8

קיבלנו את נוסחת אוילר.

32


:כמו כן ראינו כי מתקיים•

1

6

12

8

3

2

1

0

f

f

f

f

1

3

3

1

3

2

1

0

h

h

h

h

1

2

3

4

75

6 8

33


:h vector על מנת לשחזר את הf vector ראינו אם כן כי נוכל להיעזר ב•

בחרנו כיוון מסוים אליו השוונו את h vector נשים לב כי שכאשר הגדרנו את ה•

מספר הקשתות היוצאות כלפי מעלה מכל קודקוד, אולם עתה מהנוסחה הנ"ל

והנ"ל נכון ללא קשר לכיוון f vectorבעזרת ה h vector אנו יכולים להסיק את ה

שנבחר.

.i=0,1,…,d נוכל להסיק כי לכל Pעל ידי הפיכה של •

והם כוללות את Dehn-Sommerville relationsהשוויונות הנ"ל ידועות כ •

: . 3הנוסחה הסטנדרטית של אוילר עבור פאונים ממימד

2120 fff

34


h בעזרת הh vector נוכל להגדיר את הPסה"כ עבור פאון סימפליציאלי •

vector של הפאון הדואלי הפשוטP:כאשר *

.h vector במונחי ה תיאוריית החסם העליוןנוכל לנסח את•

0f קודקודים מתקיים:n עם dלכל פאון סימפליציאלי ממימד

milestone 2:

Documents