mikrodalga tekniği 8.ders

Adnan GRR Smith Diyagram

1 / 23

SMITH DYAGRAMI Smith diyagram, yksek frekans devre uygulamalar iin, en kullanl grafik aralarndan

birisidir. Kompleks fonksiyonlar canlandrmak iin gzel bir yntem salar ve ortaya

konmasndan bugne kadar gncelliini devam ettirmektedir. Matematiksel adan, Smith

diyagram, yansma katsays ile tanmlanan koordinatlara gre, btn mmkn kompleks

empedanslarn basit bir gsterimidir. Yansma katsaysnn tanm blgesi, kompleks

dzlemde 1 yarapl bir dairedir. Bu ayn zamanda, Smith Diyagramnn tanm blgesidir.


2 / 23

Smith diyagramnn amac, yansma katsaysnn tanm blgesindeki btn mmkn

empedanslar karakterize etmektir. Bunun iin,

)(1)(1

)()()( 0 d

dZdIdVdZ

+== eklinde verilen hat empedansnn genel tanmyla balamak gerekir. Bu eitlik,

{ })( Im ),( Re)( = fdZ eklinde bir kompleks fonksiyon salar. Bunlar sadece, karakteristik empedans Z0 olan hatlara uygulanabilir. Genel eriler elde etmek iin,

)(1)(1)()(

0 dd

ZdZdz

+== eklinde tanmlanan normalize empedans kavramn iin iine sokacaz. Normalize

empedans, normalize diren r (normalize empedansn reel bileeni) ve normalize

reaktans xi (normalize empedansn imajiner bileenini) tanmlayan eri aileleri kullanlarak Smith Diyagram zerinde gsterilir. Bu nedenle,

jxrzjzdz +=+= )(Im)( Re)(


3 / 23

yazlmaldr. nce, yansma katsaysn koordinatlar yardmyla,

ir jjd +=+= )( Im)( Re)( eklinde ifade edersek,

( ) 2222

121

)11)(

ir

iir

ir

ir jjjjxrdz +

+=++=+=

elde edilir. Bu eitliin reel ksmlarnn eitliinden,

( ) 2222

11

ir

irr +=

( ) ( ) 01

11

111 2222 =++++++ rrrr iirr

( ) ( )r

rr

r irr +=++

+++ 1

1)1(1

111 222

rr

rr

rrr irr +=++

++++ 11)1(

)1(12)1( 22

22


4 / 23

22

2

11

1

+=+

+ rrr

ir

elde edilir. majiner ksmlarn eitliinden ise,

( ) 2212

ir

ix +=

( )[ ] } 01121 0222 =++ iir xx ( )[ ] 2222 1121 xxx iir =++ ( ) 2222 1121 xxx iir =

++

( ) 22

2 111xx

ir =

+

x ile arplp 1 eklenip karlyor

DARE DENKLEM Sabit Diren Daireleri

DARE DENKLEM Sabit Reaktans Daireleri


5 / 23

elde edilir. Reel ksmn sonucu olarak elde edilen normalize dirence ait daire denklemi,

koordinatlar [r, i] olan kompleks dzlemde, r normalize direnci verilen btn empedanslar, merkezi ve yarap

+ ,01M rr

r+= 1

1R

olan bir daire zerinde bir daire zerindedir. Normalize diren r, 0 dan a kadar deitiinden, tamamen || 1 ile snrl olan yansma katsays blgesi iinde yer alan bir daire ailesi elde edilir. Bu dairelere SABT DREN DARELER denir.


6 / 23

majiner ksmn sonucu olarak elde edilen normalize reaktansa ait daire denklemi,

koordinatlar [r, i] olan kompleks dzlemde, x normalize reaktans verilen btn empedanslar, merkezi ve yarap

x11,M

x1R =

olan bir daire zerinde bir daire zerindedir. Normalize diren r, - dan a kadar deitiinden, || 1 ile snrl olan yansma katsays blgesi iinde kalan bir eri ailesi elde edilir. Bu erilere SABT REAKTANS DARELER denir.


7 / 23

Kaypsz iletim hatlar iin Smith Diyagram ile aadaki hesaplar yaplabilir.

Z(d) verilmi ise (d) bulunabilir. (d) verilmi ise Z(d) bulunabilir.

L ve ZL verilmi ise (d) ve Z(d) bulunabilir. (d) ve Z(d) verilmi ise L ve ZL bulunabilir. dmax ve dmin (voltaj duran dalgasnn maksimum ve minimumlarnn konumlar)

bulunur. Voltaj Duran Dalga Oran (VSWR) bulunur. Z(d) verilmi ise Y (d) bulunabilir. Y (d) verilmi ise Z(d) bulunabilir.

Z(d) verilmi ise (d)nin Hesab 1. lk olarak,

jxrZXj

ZR

ZdZ z(d) +=+==

000

)(


8 / 23

eitliiyle normalize empedans hesaplanr.

2. Normalize sabit diren dairesi r bulunur (veya izilir)

3. Normalize sabit reaktans erisi x bulunur (veya izilir) 4. ki erinin kesime yeri kompleks dzlemdeki yansma katsaysn gsterir. Smith

Aba direkt olarak (d) yansma katsaysnn genliini ve faz asn verir. RNEK : Karakteristik empedans ohm 500 =Z ve ykten d-uzaklktan grnen giri empedans ohm10025)( jdZ += olan iletim hattnda d-noktasndaki yansma katsaysn bulunuz.

ZM : zm aadaki diyagram zerinde verilmitir.


9 / 23

1. Normalizasyon

25.0 50j100)(25)(

jdz

+=+=

2. Normalize Diren Dairesi

0.5=r

3. Normalize Reaktans Erisi

2=x

4. Bu vektr yansma katsaysn gsterir

0510.8246)(

j0.640.52)(

=+=

d

d


10 / 23

(d) verilmi ise Z(d)nin Hesab 1. lk olarak, abak zerinde, verilmi olan yansma katsays (d) yi gsteren kompleks

noktay iaretlenir.

2. Bu noktaya karlk gelen normalize sabit diren dairesi r ve normalize sabit reaktans

erisi x deeri okunur. 3. Normalize empedans,

jxrz(d) += ve gerek empedans,

)()( 00 jxrZZdz Z(d) +== eklinde bulunur.

L ve ZL verilmi ise (d) ve Z(d)nin hesab L

djLe(d == 2)


11 / 23

olduundan, bilinen bir yk empedans ile sonlandrlm bir kaypsz iletim hatt boyunca

yansma katsaysnn genlii sabittir. Bu nedenle, kompleks dzlemde, merkezi koordinat

sisteminin orijininde ve yarap |L| olan bir daire, iletim hatt boyunca yansma katsaysnn btn mmkn deerlerini gsterir. Yansma katsaysnn sabit genlik dairesi

Smith diyagramnda izildiinde, herhangi bir yerdeki hat empedans belirlenebilir. Yntemi

adm-adm aadaki ekilde aklamak mmkndr:

1. lk olarak, abak zerinde, yk yansma katsays L ve normalize yk empedans zL iaretlenir.

2. Sabit genlik |(d)|= |L| yansma katsays dairesi izilir. 3. Ykn bulunduu konumdan balayarak, abak zerinde saat ynnde

dd 222 ==

as kadar gidilir. letim hatt zerindeki d-konumuna karlk gelen abak zerindeki bu

yeni noktadaki (d) ve Z(d) deerleri daha nceki gibi abaktan okunabilir.


12 / 23

RNEK : Karakteristik empedans ohm 500 =Z ve ykten d-uzaklktan grnen giri empedans ohm 10025 +=LZ olan iletim hattnda ykten d=0.18 uzaklktan grnen empedans ve yansma katsaysn bulunuz.

ZM : zm aadaki diyagram zerinde verilmitir.


13 / 23


14 / 23

L ve ZL verilmi ise dmax ve dminnin hesab 1. lk olarak, abak zerinde, yk yansma katsays L ve normalize yk empedans zL

iaretlenir.

2. Sabit yansma katsays (d)|= |L| dairesi izilir. Bu daire yansma katsaysnn reel eksenini iki noktada keser. Bu noktalardan, (d)nin pozitif reel olduu yani, aban reel ekseninin sa yars zerinde olan dmax noktasn, (d)nin negatif reel olduu yani, aban reel ekseninin sol yars zerinde olan da dmin noktasn gsterir.

3. Uzaklk lmleri iin, aban d tarafna yerletirilmi olan ve dalga boyuna gre

normalize edilmi uzaklklar gsteren mesafe skalas kullanlr. L vektr ile reel eksen arasndaki alar da d skala zerinde verilmitir. Bu skalalar, dmax ve dmin uzaklklarn lmek iin imkan salar.

RNEK : Karakteristik empedans ohm 500 =Z ve yk empedans ohm 10025 +=LZ ve ohm 10025 =LZ iletim hatlar zerindeki maksimum ve

minimum voltaj noktalarnn yke olan uzaklklarn bulunuz.

ZM : zm aadaki abaklar zerinde verilmitir.


15 / 23

=+= 50 10025 0ZZL


16 / 23

== 50 10025 0ZZL


17 / 23

L ve ZL verilmi ise Voltaj Duran Dalga Oran (VSWR)nin hesab Voltaj Duran Dalga Oran VSWR (veya ksaca S),

L

LVVS

+==11

min

max

eklinde tanmlanr. Duran dalgann maksimum noktasnda normalize empedans,

!!!!!!! 11

)(1)(1

)(max

maxmax SVSWRd

ddz

L

L ==+=

+= eklinde verilir. Bu byklk her zaman reel ve birden byk veya bire eittir, yani S 1 dir. VSWR yansma katsaysnn pozitif ve reel olduu dmax noktasndaki reel normalize empedansn deeri okunarak kolayca elde edilir. Yntemi adm-adm aadaki ekilde

aklamak mmkndr:

1. Abak zerinde, yk yansma katsays L ve normalize yk empedans zL iaretlenir. 2. Sabit yansma katsays, |(d)| = |L|, dairesi izilir. 3. Bu dairenin dmax noktasna karlk gelen -dzleminin pozitif reel ekseni ile kesime

yeri bulunur. Sabit diren dairesi de bu noktadan geer.


18 / 23

4. Bu noktadaki normalize diren deeri, VSWR deerini verir.

RNEK : Karakteristik empedans Z0=50 ohm ve yk empedans ZL1=25+j100 ohm ve

ZL2=25-j100 ohm olan iletim hatlarnda VSWRyi bulunuz. ZM : zm aadaki abaklar zerinde verilmitir.


19 / 23

Z(d) verilmi ise Y(d)nin Hesab Normalize empedans ve admitans,

)(1)(1

)(1)(1

)(dd

y(d)dd

dz +=

+= eklinde tanmlanr.

)()4

( dd =+ olduundan,

y(d)dd

d

ddz =+

=

+

++=

+

)(1)(1

41

41

4

yazlabilir. Bu eitlik, sadece normalize empedans ve admitans iin geerlidir. Gerek

deerler,


20 / 23

00

0

)()(

44

ZdydyYY(d)

dzZdZ

==

+=

+

olur. Burada, Y0=1/Z0 iletim hattnn karakteristik admitansdr. Z(d) verilmi ise Y(d)yi

hesaplayabilmek iin, yntemi adm-adm aadaki ekilde aklamak mmkndr:

1. lk olarak, abak zerinde, yk yansma katsays L ve normalize yk empedans zL iaretlenir.

2. Sabit yansma katsays, |(d)| = |L|, dairesi izilir. 3. Sabit || dairesi zerinde, normalize empedans noktasna ap olarak zt yani, 1800

ters tarafta normalize admitans deeri okunur.


21 / 23

RNEK : ohm 10025 +=LZ yk ile sonlandrlm ohm 500 =Z luk bir iletim hattnn yk admitansn bulunuz.

ZM : zm aadaki abaklar zerinde verilmitir.


22 / 23

Smith aba, uzayn koordinat referans kaydrlarak, hat admitanslar iin de kullanlabilir.

Sonra da, nmerik deerleri admitans temsil etmek zere okumak suretiyle, abak zerinde

hareket edilebilir. imdi, empedans admitans terminolojisini inceleyelim.

jXRZsakjDirenEmpedans

tanRe

+=+=

jBGYsjSusepsKondksAdmi

tantantan

+=+=

Empedans abanda, doru yansma katsays, daima normalize empedansa karlk gelen

bir vektrle gsterilir. zellikle admitanslar iin hazrlanan abaklar, admitansa uygun olan

doru yansma katsays verecek ekilde deitirilir. Empedans ve admitans, ayn abak

zerinde zt taraflarda bulunduundan, imajiner ksmlar daima farkl olacaktr. Bundan

dolay,

pozitif (indktif) reaktans negatif (indktif) suseptansa negatif (kapasitif) reaktans pozitif (kapasitif) suseptansa karlk gelir. Nmerik olarak,


23 / 23

2222))((1

xrxj

xrr

jxrjxrjxr

jxrjbgyjxrz ++=+

=+=+=+=

Admitans iinSmith Aba

Negatif (ndktif)

Suseptans

Pozitif (Kapasitif) Suseptans

mikrodalga tekniği 8.ders

Documents