BLM 4

TRANSMSYON (LETM) BORULARI VE MKRODALGA REZONATRLER

4.1 GR Bu blmde ilk olarak, uniform klavuzlama yaplar boyunca yaylan dalga karakteristiklerinin genel

bir analizi yaplacaktr. letim borusu olarak adlandrlan dalga klavuzlama yaplarnda temel denklemler deerlendirildiinde grlecektir ki; iletim ynnde alan bileeni bulunmayan TEM (Transverse ElectroMagnetic enine elektromanyetik) dalgalarna ek olarak, boyuna elektrik alan bileenli TM (Transverse Magnetic - enine manyetik) dalgalar ve boyuna manyetik alan bileenli TE (Transverse Electric enine elektrik) dalgalar da mevcuttur. TM ve TE modlarnn her ikisi de karakteristik kesim (cut off) frekanslarna sahiptir. zel bir mod iin kesim frekansnn altndaki

frekanslarda dalga propagasyonu (yaylm) olmaz ve bu modda g ve sinyal iletimi sadece kesim frekansnn stndeki frekanslarda mmkn olur. Bu sebeple, TM ve TE modunda alan iletim borular yksek geiren filtre gibi dnlebilir. Elektromanyetik dalgalar, keyfi kesitli ii bo veya herhangi bir dielektrik madde ile dolu metal

borular iinde yaylabilir. Elektromanyetik teori olmakszn, iletim borularnn zelliklerini aklamak

mmkn deildir. Grlecektir ki; tek iletkenli iletim borularnda TEM dalgalar yaylmaz.

Yaylma Modlar Dikdrtgen kesitli iletim borularnda, elektromanyetik alanlar ve propagasyon karakteristikleri TM ve TE modlar iin ayr ayr incelenecektir. Dairesel kesitli iletim borularndaki elektromanyetik alanlar ve propagasyon karakteristikleri ise; dairesel silindirik koordinatlar sistemindeki Maxwell

denklemlerinin bir sonucu olarak Bessel fonksiyonlar ve sfrlar ile balantldr.

TEM modu z x

y

H E

Kark mod

H E E

H

E H

TM

TE

Ayrca, ak dielektrik tabak veya ubuk yardmyla da elektromanyetik dalgalar klavuzlanabilir.

Temel olarak alanlar, dielektrik blge iinde hapsedilmitir ve enine dzlemdeki tabaka yzeyinin

dnda hzl bir ekilde bozulur. Bu nedenle, bir dielektrik tabaka veya ubuk ile klavuzlanan bu

dalgalar yzey dalgalar olarak adlandrlr. Bu tip iletim borularnda TM ve TE modlarnn her ikisi de mmkndr.

Mikrodalga frekanslarnda, tellerle balanan (indktans ve kapasitans gibi) elemanlarn rezonans devresi olarak kullanlmas uygun deildir. nk bu elemanlarn boyutlar olduka kktr. Imadan dolay ve deri olaynn bir sonucu olarak, tellerin direnci ok byktr. Eer rezonans eleman olarak ii bo bir iletken kutu kullanlrsa, bu glkler ortadan kalkar. nk iletken duvarlarla evrilmi bir hacim, elektromanyetik alanlar iinde tutar ve ma olmaz. letken hacimlerin cidarlar, akm iin geni bir yzey saladndan, kayplar olduka kktr. Bunun sonucu olarak, kapal bir iletken hacim, ok yksek kalite faktrl (Q) bir rezonatr olarak kullanlabilir. Btn yzeyleri kapatlm bir iletim borusuyla oluturulabilecek byle bir hacim,

Rezonatr Oyuu (cavity) olarak adlandrlr.

Bu blmde, daha nceki blmlerde olduu gibi, elektromanyetik dalgalarn pozitif z-ynnde

yayld ve propagasyon (yaylma) sabitinin = + j eklinde olduu kabul edilecektir. Ayrca zamana bamllk exp (jt) eklinde alnacaktr.

4.2 DKDRTGEN KESTL LETM BORULARI Pratik iletim borular genellikle, etraf kapal uniform kesitli yaplardr. retim ve analiz kolayl

bakmndan, bu kesitlerin en basitleri, dikdrtgen ve dairesel-silindiriktir. Bu blmde dikdrtgen

kesitli transmisyon borularnda TM ve TE modlar ve propagasyon karakteristikleri analiz edilecektir.

4.2.1 TM MODU Enine manyetik dalgalar, propagasyon ynnde sadece elektrik alan bileeni mevcut olan,

manyetik alan bileeni sfr olan modlardr. inde kaynak bulunmayan basit ortamda,

HjErr

= (4.7a) EjH

rr= (4.7b)

ile verilen Maxwell denklemleri,

022 =+ EkE rr (4.8) eklindeki homojen vektr Helmholtz denklemini salar. Burada dalga says k,

=k (4.9)

ile tanmlanr. Denk (4.8) ile verilen vektr dalga denklemini elektrik alann bileeni iin de ayr

ayr yazmak mmkndr. O halde,

zzz eyxEzyxE

= ),(),,( 0 (4.10) olmak zere,

022 =+ zz EkE veya

0222

2

2

2

2=+

++

z

zzz EkzE

yE

xE

(4.11)

ekil.4.6 Dikdrtgen Kesitli letim Borusu 0

y -z

x

yazlabilir. Denk (4.10) ile verilen eitlik burada yerine yazlrsa;

( ) 0022202202 =+++ zzz EkyExE (4.12) elde edilir. Buradaki diferansiyel denklem,

( ) ( ) ( )yFxRyxE z =,0 (4.13) yazlarak deikenlerine ayrlabilir. Bylece,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0222222 =+++ yFxRky yFxRx xRyF elde edilir. Bu diferansiyel denklemin her iki taraf R(x)F(y) ile blnerek,

( ) ( ) 022

2=+ xRk

dxxRd

x (4.14)

( ) ( ) 022

2=+ yFk

dyyFd

y (4.15)

eklinde iki ayr diferansiyel denklem elde edilir. Burada,

2222 yx kkk +=+ (4.16) eitlii kullanlmtr.

0 a

y-z

xx=0 yzeyi

b x=a yzeyi

y=b yzeyi

y=0 yzeyi

Ayrca Denk (4.14) ve (4.15) ile verilen diferansiyel denklemlerin zm,

( ) ( ) 0,,,,0 == zyaEzyE zz (4.17a) ( ) ( ) 0,,,0, == zbxEzxE zz (4.17b) eklindeki snr artlarn salamaldr. Denk (4.14) ve (4.15) ile verilen adi diferansiyel denklemlerin

zmleri srasyla,

( ) xkBxkAxR xmxm cossin += (4.18)

( ) ykDykCyF ynyn cossin += (4.19) eklinde olup, Denk (4.17)deki snr artlar bu ifadelerde kullanlrsa,

00 == nm DB ve

,......3,2,1== mamkx

(4.20)

,......3,2,1== nbnky

(4.21)

elde edilir. Bylece Denk (4.13) ve (4.10)dan,

( )

=m n

zmnz eyb

nxamEzyxE sinsin,, (4.22)

elde edilir. Burada Emn , genlik katsaysdr. Ayrca, Denk (4.16), (4.20) ve (4.21) ile verilen

eitliklerden, propagasyon sabiti,

222

+

=

bn

am

(4.23)

eklinde elde edilir.

Dier alan bileenlerinin hesaplanabilmesi iin, Denk(4.7) ile verilen Maxwell denklemlerinden,

xE

kE zx

+= 22

(4.24a)

yE

kE zy

+= 22

(4.24b)

yE

kjH zx

+= 22

(4.24c)

xE

kjH zy

+

= 22

(4.24d)

0=zH (4.24e) yazlr. Denk (4.22)deki zm, bu eitliklerde yerine yazlrsa dier elektromanyetik alan

bileenleri,

( )

+=

m n

zmnx eyb

nxamE

am

kzyxE

sincos,, 22 (4.25a)

( )

+=

m n

zmny eyb

nxamE

bn

kzyxE

cossin,, 22 (4.25b)

( )

+= m nz

mnx eybnx

amE

bn

kjzyxH

cossin,, 22 (4.25c)

( )

+=

m n

zmny eyb

nxamE

am

kjzyxH

sincos,, 22 (4.25d)

eklinde elde edilir. Buradaki m ve n tamsaylarnn her kombinasyonu, daha nce de aklanan ve

TMmn modu olarak belirlenen bir modu tanmlar. Buna gre, sonsuz sayda TM modunun mevcut olduu aikardr. Buradaki ilk indis (m), x-ynndeki yarm periyotluk alan deiimini ve ikinci indis de (n), y-ynnde yarm periyotluk alan deiimini belirtir. Ayrca, her bir propagasyon modunun bir de kesim frekans vardr. Kesim frekansnda propagasyon sabitinin sfr olmas gerekir. Bylece Denk (4.23)den,

22

22

+

==bn

amk cc

(4.26)

yazlabilir. cc f 2= olduu gznne alnrsa kesim frekans,

22

21

+

=

bn

amfc

(4.27)

eklinde elde edilir. Denk (4.26), Denk (4.23)de yerine yazlrsa, yaylma sabiti,

2

1

=

cc f

fk (4.28)

eklinde elde edilir. Burada, kk iindeki (f/fc)2 ile 1 karlatrldnda, yaylma sabiti iin iki blge tanmlanr.

a) f>fc Blgesi: Bu blgede k2>kc2 ve imajinerdir. Bylece,

22 kkj c == (4.29) yazlabilir. Buradan;

2

1

==ffjkj c

( )2/1 ffk c= (4.30) elde edilir. Bu durumda, borudaki dalgaboyu da,

( )2/12

ffcg

== (4.31)

olur. Burada,

fv

k== 2

dr. Dalgaboyu , ve ile karakterize edilen ortamda elektromanyetik dalgann dalgaboyu ve v, yaylma hzdr. Boru iinde yaylan dalgann faz hz,

( )2/1 ffvvc

f ==

(4.32)

ve grup hz,

( )2/1/1 ffvdd

v cg == (4.33) dr.

Bir iletim borusunda yaylan TM modlarnn dalga empedans saf rezistiftir ve daima ortamn karakteristik empedansndan kktr. TM modu iin dalga empedans enine elektrik ve manyetik alan bileenleri ile kolayca belirlenebilir. Buna gre,

jH

EHEZ

x

y

y

xTM === (4.34)

yazlabilir. f >fc iin, propagasyon sabiti Denk (4.29) ile verildiine gre,

( )2/1 ffZ cTM = (4.35) elde edilir. Burada, ortamn karakteristik empedans olup,

= dur. Boluk iin =120 = 377 ohmdur. TM modundaki dalga empedansnn (f/fc)ye gre deiimi ekil.4.7de gsterilmitir.

b) f

nedenle, bir iletim borusu yksek geiren filtre zellii gsterir. f < fc durumunda, TM modlarnn dalga empedans Denk (4.34) ve (4.36) yardmyla,

( )2/1 ccTM ffkjZ = (4.37) eklinde bulunur.

f/fc

0 1 2 3 4

N

o

r

m

a

l

i

z

e

M

o

d

E

m

e

p

d

a

n

s

,

Z

/

0

1

2

3

ZTM/

ZTE/E

v

e

n

a

s

c

e

n

t

M

o

d

e

ekil 4.7: TM ve TE Dalgalar in Normalize Dalga Empedanslar

Buna gre, kesim frekansnn altndaki frekanslarda kaybolan TM modlarnn dalga empedans saf reaktiftir. TMmn modlar iin, m ve n indislerinin her ikisi de sfr olamaz. Bu nedenle, dikdrtgen kesitli iletim borularnda en kk kesim frekansna sahip olan (dominant - baskn) mod TM11dir. ekil 4.8de TM11 moduna ait alan dalmlar gsterilmitir.

ekil 4.8: TM11 Modu in Alan Dalm 4.2.2 TE MODU Enine elektrik dalgalar, yaylma ynnde sadece manyetik alan bileenine sahiptir. Elektrik alann yaylma ynndeki bileeni sfrdr. Manyetik alann z-bileeni,

zzz eyxHzyxH= ),(),,( 0 (4.38a)

olmak zere vektr dalga denklemi,

0)( 022

20

2

20

2=++

+

zzz Hk

yH

xH

(4.38b)

eklinde yazlabilir. Burada,

2222 yx kkk +=+ (4.39) dir. Bu diferansiyel denklemin zm,

000

0 ==

== ax

z

x

zx

Hx

H (4.40a)

000

0 ==

== by

z

y

zy

Hy

H (4.40b)

eklindeki snr artlarn salamaldr. Denk (4.38b)de,

( ) ( ) ( )yFxRyxH z =,0 (4.41) yazlmak suretiyle,

( ) ( ) 022

2=+ xRk

dxxRd

x (4.42)

( ) ( ) 022

2=+ yFk

dyyFd

y (4.43)

eklinde iki adi diferansiyel denklem elde edilir. Bunlarn zmleri srasyla,

( ) xkBxkAxR xmxm cossin += (4.44) ( ) ykDykCyF ynyn cossin += (4.45) dir. Denk (4.40) ile verilen snr artlar kullanlarak,

00 == nm CA ve

,......3,2,1== mamkx

(4.46)

,......3,2,1== nbnk y

(4.47)

elde edilir. Bylece manyetik alann z-bileeni iin zm,

( )

=m n

zmnz eyb

nxamHzyxH coscos,, (4.48)

eklinde elde edilir. Burada Hmn genlik katsaysdr. Denk (4.7) ile verilen Maxwell denklemleri kullanlarak,

yH

kjE zx

+

= 22

(4.49a)

xH

kjE zy

+= 22

(4.49b)

0=zE (4.49c)

xH

kH zx

+= 22

(4.49d)

yH

kH zy

+= 22

(4.49e)

eitlikleri yazlr. Dikkat edilecek olursa, bu ifadelerin tamam Hz bileenine bamldr.Bu nedenle, Denk (4.48) ile verilen eitlik Denk (4.49)daki eitliklerde kullanlrsa,

( )

+= m nz

mnx eybnx

amH

bn

kjzyxE

sincos,, 22 (4.50a)

( )

+=

m n

zmny eyb

nxamH

am

kjzyxE

cossin,, 22 (4.50b)

( )

+= m nz

mnx eybnx

amH

am

kzyxH

cossin,, 22 (4.50c)

( )

+= m nz

mny eybnx

amH

bn

kzyxH

sincos,, 22 (4.50d)

bulunur. Yaylma sabiti , TM modlarnda olduu gibi,

222

kbn

am

+

= (4.51)

dir. Yaylma sabitinin sfr olmas, iletim borusunun kesimde olmas yani, elektromanyetik dalga yaylmnn olmamas demektir. Bylece TE modu iin kesim frekans, TM modundaki kesim frekans ile ayn olup,

22

21

+

=

bn

amfc

(4.52)

dir. Burada yaylma hz,

1=v

dr. TEmn modlarnda, m ve n indislerinden herhangi biri sfr olabilir. Ancak her ikisi birden sfr olamaz. Herhangi bir dikdrtgen kesitli iletim borusunda, a>b olmak zere, en alak kesim frekans m=1, n=0 halinde mevcut olur. Buna gre, Denk (4.52)den, baskn (dominant) modun kesim frekans ve dalgaboyu,

av

af

221

10 == (4.53) ve

a210 = (4.54) eklinde elde edilir. Bu nedenle, dikdrtgen kesitli iletim borularnda dominant mod, TE10 modudur. TEmn modlar iinde en dk zayflamaya urayan mod olmas ve elektrik alann her yerde bir ynde polarize edilmi olmas nedeniyle, TE10 modu zel bir neme sahiptir. TE10 modu iin alan dalm ekil.4.9da gsterilmitir.

(a)

(b)

ekil.4.9: (a) Baz TE Modlarnn E-Alan Dalm (b) TE10 modunun 3-boyutlu E ve H alan dalm

Enine elektrik alan bileenleri ile enine manyetik alan bileenleri arasnda dalga empedansn tanmlayan,

j

HE

HEZ

x

y

y

xTE === (4.55)

eklinde bir bant vardr.

Ayrca TM modlarnda olduu gibi, TE modlarnda da, yaylma sabiti iin iki ayr blge mevcuttur. a) f >fc Blgesi: Bu blgede imajinerdir ve propagasyon vardr. Buna gre Denk (4.51)den,

22 kkj c == (4.56a) ( )2/1 ffjk c= (4.56b) yazlabilir. Bunun sonucu olarak, TM dalgalar iin verilen Denk (4.30), (4.31), (4.32) ve (4.33)

ifadeleri TE dalgalar iin de geerlidir. Denk (4.56b), Denk (4.55)de kullanlrsa, TE modu iin

dalga empedans;

( )2/1 ffZ cTE = (4.57)

eklinde elde edilir. Bu denklem gstermektedir ki, bir iletim borusunda yaylan TE modlarnn dalga empedans saf rezistif ve daima ortamn karakteristik empedansndan byktr. ZTE empedansnn (f/fc) ye gre deiimi ekil.4.7de gsterilmitir.

b) f < fc Blgesi: Bu durumda yaylma sabiti reeldir ve yaylan mod yoktur, yani,

( )2/1 cc ffk == (4.58) dr. Bu durumda, TE modlarnn dalga empedans,

( )2/1 ccTE ffkjZ

= (4.59)

eklinde olup, saf reaktiftir.

4.3 DARESEL-SLNDRK LETM BORULARI Bu blmde, uniform silindirik iletim borularnda elektromanyetik dalga propagasyonunun temel zellikleri incelenecektir. Gz nne alnacak boru tipi, propagasyon ynnde uniform kesitli, iletken bir silindirik tptr. z-ekseni, boru ekseni olarak alnacaktr. lk olarak, boru cidarlarnn mkemmel iletken olduu ve iinin boluk ya da elektriksel parametreleri ve olan homojen,

izotrop bir ortam ile doldurulduu kabul edilecektir.

Byle bir iletim borusunun i blgesinde, TM ve TE modlar iin ayr ayr dalga denklemlerinin

zm elde edilecektir. Dikdrtgen kesitli iletim borularnda olduu gibi, burada da TEM modunun propagasyonu mmkn deildir.

y

0

az

xekil.4.10: Dairesel Silindirik letim Borusu

4.3.1 TM MODU TM modunda, sadece elektrik alann z-bileeni mevcut olduuna gre,

022 =+ zz EkE (4.60) eklinde skaler dalga denkleminin dairesel-silindirik koordinatlar sisteminde zmnn bulunmas

gerekir. Denk (4.60)da,

( ) ( ) zzz eEzE = ,,, 0 (4.61) eitlii yazlacak olursa,

( ) 011 02220220 =+++ zzz EkEE (4.62) diferansiyel denklemi elde edilir. Burada,

222 += kK (4.63) ve

( ) ( ) ( ) FRE z =,0 (4.64) olduu gz nne alnarak, Denk (4.62) ile verilen diferansiyel denklem,

01 22

22

2=

++ RmK

ddR

dRd

(4.65a)

0222

=+ FmdFd

(4.65b)

eklinde deikenlerine ayrlabilir. Denk (4.65a) ile verilen diferansiyel denklem, Bessel diferansiyel

denklemidir ve zm,

( ) ( ) ( ) KNBKJAR mmmm += (4.66) eklindedir. Burada Jm(K) birinci nevi, Nm(K) da ikinci nevi Bessel fonksiyonlardr. Am ve Bm ise, genlik katsaylardr. Denk (4.65b)deki adi diferansiyel denklemin zm de,

( ) mDmCF mm sincos += (4.67) dir. Burada da Cm ve Dm, genlik katsaylardr. Dairesel-silindirik iletim borularnda,

( )a,0 (4.68) olmas nedeniyle, 0= da, Denk (4.66)da ortaya kan ikinci nevi Bessel fonksiyonu sonsuzdur. Bu durum ise, fiziksel bir zme kar dmeyecei iin,

0=mB (4.69)

olmaldr. Benzer ekilde; 0= daki iletken yzeylerinde elektrik alann teetsel bileeni sfr olacandan Denk (4.66) ve (4.69)dan,

( ) 0=KaJm (4.70a) yazlabilir. Buradaki birinci nevi Bessel fonksiyonunun sfrlar Pmn ile gsterilmek zere,

,.....3,2,1,...2,1,0 === nma

PK mn ve (4.70b)

elde edilir. Bessel fonksiyonlar ekil 4.11de ve sfrlar da Tablo 4.1de gsterilemitir.

0 2 4 6 8 10 12 14 161

0.5

0

0.5

1

J0 x( )

J1 x( )

J2 x( )

x

0 2 4 6 8 10 12 14 161

0.5

0

0.5

1

Y0 x( )

Y1 x( )

Y2 x( )

x

ekil 4.11: Bessel Fonksiyonlar

TABLO 4.1 Bessel Fonksiyonunun Sfrlar (Pmn)

m n

0 1 2 3 4 5

1 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771

2 5.520 7.016 8.417 9.761 11.065 12.339

3 8.654 10.173 11.620 13.015 14.372

4 11.792 13.324 14.796 16.22 17.62

Denk (4.61) ve (4.64)den elektrik alann z-bileeni,

( )

=m n

zmnmmnz em

ma

PJEzE

cossin

,, (4.71)

eklinde elde edilir. Dier alan bileenleri ise, Denk (4.7) ile verilen Maxwell denklemlerinin dairesel-silindirik koordinatlar sistemindeki zm vastasyla,

= zEK

E 22

(4.72a)

= zEK

E 12 (4.72b)

= zEKjH 12 (4.72c)

= zEKjH 2 (4.72d)

0=zH (4.72e) elde edilir. Dikkat edilecek olursa, Denk (4.72)deki ifadeler Ez alanna bamldr. Bylece Denk (4.71)de elde edilen ifade, Denk (4.72)de kullanlarak, dier alan bileenleri kolaylkla elde

edilebilir. Ayrca Denk (4.63) ve (4.70b)den,

22

ka

Pmn

= (4.73) yazlabilir. Yine, kesim frekansnda yaylma sabiti sfr olacandan,

a

Pk mnc = (4.74)

a

Pf mnc 2= (4.75)

elde edilir. Alternatif olarak,

c

ck 2=

yazlarak, kesim dalgaboyu da,

mn

c Pa 2= (4.76)

eklinde elde edilir. Dairesel-silindirik iletim borusu modlar, z-ynnde bir dalga empedansna

sahiptir. TM modu iin bu dalga empedans,

HE

HE

ZTM == (4.77) eklinde olup, Denk(4.72)den,

( )2/1 ffZ cTE = (4.78) eklinde elde edilir. Bu bant, dikdrtgen kesitli iletim borusunda elde edilen dalga empedans ile ayndr.

4.3.2 TE MODU Yaylma ynnde sadece manyetik alan bileeni mevcut olan TE dalgalarnn analizi iin ilk olarak,

022 =+ zz HkH (4.79) eklindeki dalga denklemi zlmelidir. Blm (4.3.1)deki ilemlere benzer ekilde,

222 += kK (4.80) olmak zere,

( ) ( ) ( )[ ][ ] ++=m

z

nmmmmKmmz emDmCKNBJAzH

sincos,, (4.81)

elde edilir. Dairesel-silindirik iletim borusunda,

( )a,0 (4.82a) olup, Denk (4.81)deki zm,

0=

=azH

(4.82b)

ile verilen snr artn salamaldr. =0da, ikinci nevi Bessel fonksiyonu sonsuz olduundan, fiziksel bir zme kar dmezler. Bu nedenle,

0=mB olmaldr. Benzer ekilde, Denk (4.82b)den;

( ) 0= am KJ (4.83b) yazlabilir. Bylece, Bessel fonksiyonunun trevinin sfrlar mnP ' olmak zere,

a

PK mn'= (4.84) elde edilir. Buna gre, Denk (4.81)den,

( )

=m n

zmnmmnz em

ma

PJHzH

cossin',, (4.85)

bulunur. Denk (4.84)de grlen Bessel fonksiyonunun sfrlar Tablo 4.2 de verilmitir.

Denk (4.7) ile verilen Maxwell denklemlerinin zmnden, TE moduna ait dier alan bilenleri de,

= zHKjE 12 (4.86a)

= zHKjE 2 (4.86b)

0=zE (4.86c)

= zH

KH 2 (4.86d)

= zHK

H 12 (4.86e)

eklinde elde edilir. Bu alan bilenleri Hz alanna baml olduklarndan, Denk (4.85) yardmyla kolayca bulunabilir.

TABLO 4.2 Bessel Fonksiyonunun Sfrlar ( )mnP '

mn 0 1 2 3 4

1 3.832 1.84 3.05 4.2 5.32

2 7.016 5.33 6.71 8.02 11.35

3 10.173 8.54 9.91 11.35 12.68

4 13.324 11.71 13.17 14.59 15.96

Yaylma sabiti de, Denk (4.80)den;

22' k

aP mn

= (4.87)

eklinde bulunur. Kesim frekansnda yaylma sabiti sfr olacandan,

a

Pk mnc'= (4.88)

ve

a

vPaPf mnmnc 2

'2

' == (4.89) dr. Ayrca,

c

ck 2= (4.90)

olmas nedeniyle, kesim dalgaboyu da,

mn

c Pa

'2 = (4.91)

olur. TE modunda dairesel-silindirik iletim borusunun dalga empedans ise, dikdrtgen kesitli borular iin verilmi olan dalga empedans ile ayndr.

Grld gibi, kesim frekanslar TM modlar iin (Pmn), TE modlar iin de mnP ' deerleri ile

orantldr. Tablo 4.1 ve 4.2ye gre 211101,1101 ',',', PPPPP deerlerine karlk gelen Bessel

fonksiyonu ve trevinin sfrlar belirlenebilir. Bundan dolay, bu kesim frekanslarna karlk den

modlar, TM01, TM11, TE01, TE11, ve TE21 dir. Bunlarn mod paternleri, ekil 4.12de gsterilmitir.

ekil.4.12 : Dairesel-Silindirik letim Borularnda Mod Paternleri

4.4 LETM BORULARINDA ZAYIFLAMA Bir iletim borusunun iletken cidarlar ve boruyu dolduran dielektrik ortam mkemmel deilse, herhangi bir iletim modu iin zayflama meydana gelir. Mkemmel olmayan dielektrikler iin efektif dielektrik katsays,

= jeff 1 (4.92)

dr. Bu nedenle,

22 kkc = eitliinde,

22

+

=bn

amkc

ve

effek = olduu gz nne alnrsa,

+

=

222

bn

amj eff

yazlabilir. Denk (4.92), bu eitlikte yerine yazlrsa,

( )[ ] 22 /1 ckjkj = ( )[ ]2222 1 cc kkjkkj = (4.93) elde edilir. Burada,

2/1

221

ckkj

terimi Binom serisine alp, ilk iki terimi alnacak olursa,

( )

= 2222

21

cc

kkjkkj

22222

cc

kkjkk

+

= (4.94)

elde edilir. Yaylma sabitinin,

j+= olduu gz nne alnrsa, dielektrik kayplarnn sebep olduu zayflama,

( )2/12 ffcd = (4.95)

eklinde elde edilir. Burada dielektrik ortamn iletkenlii ve , karakteristik empedans olup,

= (4.96)

dr. Boluk iin 377120 == ohmdur. letim borusunun cidarlarndaki kayplardan dolay oluan zayflamay hesaplayabilmek iin, sonsuz

uzun iletim hattndaki voltaj ve akmdan faydalanmak mmkndr. Sonsuz uzun ve kaypl bir iletim

hattnda,

( ) ( )zjizi eVeVzV + == (4.96a) ( ) ( )zjizi e

ZVe

ZVzI + ==

00 (4.96b)

yazlabilir. Herhangi bir z-mesafesinde hat boyunca yaylan ortalama g,

( ) ( ) ( )[ ]( ) zi eRZV

zIzVzP

202

0

2

*

2

Re21

=

= (4.97)

dir. Burada R0, kaypl hat iin karakteristik empedansn reel ksmdr. Enerjinin korunumu ilkesine gre, hat boyunca P(z)in mesafe ile azalma miktar, birim uzunluktaki g kaybna (PL) eittir. Bylece Denk (4.97)den,

( ) ( ) ( )zPzPzzP

L== 2

( )( ) ( )mNeperzPzPL /

2= (4.98)

elde edilir. Ayrca nr , cidar yzeyine dik ve darya ynlenmi birim vektr olup, HnJs

rrr = dr. Burada sJ

r, yzeysel akm younluudur. Boru cidarlarndaki g kayb ise,

( ) dsJRdsHRzPs

sss

tsL == 22 21

21

(4.100)

eitliinden hesaplanabilir. Burada, Ht manyetik alann teetsel bileeni ve Rs ise,

2

=sR (4.101) ile tanml yzey direncidir. Ayrca, iletim borusu ile iletilen ortalama g,

( ) =s

sdHEzP rrr *Re

21

(4.102)

ile tanmldr.

imdi, dikdrtgen kesitli iletim borularnda en nemli iletim modu olan TE10 dominant modu iin zayflama formln elde etmeye alalm. TE10 modu iin, sadece Ey, Hx ve Hz alanlar mevcuttur. Bylece Denk (4.48), (4.50b) ve (4.50c)de, m=1, n=0 ve,

2

22

=+a

k

yazlarak, boru kesitindeki ortalama g ak z=0da,

( ) 2100 0

*2

Re21

==

aHabdxdyHEzP

baxy (4.103)

eklinde bulunur. Burada TE10 modu iin,

( )

= xa

HajyxE y

sin0,, 10

( )

+= xa

aHjyxHx

sin0,, 10

eitlikleri kullanlmtr.

Birim uzunluktaki iletken cidarlarnda harcanan gc hesaplamak iin drt kenar da gz nne

almak gerekir. Manyetik alann cidarlara teet bileenleri,

( )byHHH zxt ,0,2221 =+= (4.104a) ( )ayHH zt ,0,222 == (4.104b) dr. Buna gre boru cidarlarndaki toplam g kayb,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+=+=+== a a b b

tttts

L dyaxHdyxHdxbyHdxyHRzP

0 0 0 0

22

22

21

21 002

( )

+

+

=

a a bsL dydxxa

adxxa

HRzP0 0 0

22

2210 sincos

( ) ( )

+

+= baaHRzP sL

22

10 12

(4.105)

elde edilir. Daha nce belirtildii gibi, iletimin mevcut olabilmesi iin, nn imajiner olmas gerekir. Bylece Denk (4.56)dan,

( )2/1 ffk c= olduu bilinmektedir. Bu ifade Denk (4.105)de yerine yazlrsa,

( ) ( )

+= 2210 /2 csL ffabHRzP (4.106)

elde edilir. Burada,

a

fc 21=

dr. Bylece Denk (4.98), (4.103) ve (4.106)dan TE10 modu iin,

( )( )

( )2

2

1 2 / /

1 /

cc s

c

b a f fR

b f f

+ =

(4.107)

elde edilir. Buradan anlalaca gibi, b boyutu arttka zayflama azalr. Bununla birlikte, b boyutu arttka, TE11 (veya TM11) gibi yksek dereceli modlarn kesim frekans da azalr.

4.5. DER LETM BORULARI Standard dikdrtgen kesitli bir iletim borusunun alt veya st veyahut her iki duvarna boyuna metal eklenerek, ekil 4.13de gsterilen girintili iletim borular oluturulabilir. Girinti uniform olarak dalm bir yk gibi davranarak, borunun karakteristik empedansn ve faz hzn azaltr. Faz hzndaki azalma, TE10 modundaki kesim frekansnn belirli bir oranda dmesine neden olur. Ayn zamanda, TE20 ve TE30 modlarnn kesim frekanslar, uygun girinti tasarlanarak artrlabilir. Bylece band genilii artar. Band geniliindeki bu art boru cidarlarndaki kayplarn artmasna ve g kapasitesinin azalmasna neden olur. Girinti boyutlarnn uygun ekilde deitirilmesiyle borunun karakteristik empedansn ve zayflamay belirli bir oranda

artrmak mmkndr. Karakteristik empedans kolaylkla deitirilebildiinden, girintili iletim borular tam kuplaj ve uygunlama ilemi iin kullanldr.

ekil 4.13 : Girintili letim Borular Dier bir iletim borusu ise; dielektrik ubuk veya tabaka tipindeki borudur. Eer bir ortamn dielektrik sabiti onu evreleyen dier ortamnkinden nemli derecede yksek olursa, iki ortam arasndaki snr yzeyi klavuzlama sreksizlii oluturur. Bu durumda, metal borularda yaylan dalgalara ok benzeyen dalgalar dielektrik ubuk veya tabaka iinde yaylabilir. Bu olay, kritik adan daha byk ada az youn dielektrik snrna arpan youn

dielektrikteki yryen dalgann yansmas fikrinden ortaya kar. Kesim frekansnn altndaki frekanslarda dielektrik mkemmel bir iletim borusu gibi davranmaz. Byk apl dielektrik teller ve

metal borulardaki hzlar ayndr. Bu tip borularda, alan tamamen dielektrik blge iinde deildir.

Dielektrik ortam evreleyen ortamda da belirli bir mesafeye kadar alan mevcuttur. Kesim frekansnn zerinde, snr yzeyinden balayarak alan hzl bir ekilde azalr ve enerji kayb olmaz. Kesim frekansnn altnda ise, enerji kayb sz konusudur. Bu durumda da iletim olmasna ramen radyasyon kayb ok byktr. 10 GHzin zerindeki frekanslarda, metal iletim borularnn aplarnn klmesi ve kayplarn artmas sebebiyle, dielektrik ubuk tipindeki borular kullanm alan bulmutur. Gnmzde ok ince dielektrik iletim borular (Fiberler) ile optik iletimi salanmaktadr.