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Miguel Balbás

Agustín García-Berrocal

Fundación Gómez-Pardo

Servicio de publicaciones

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(x)

Taller de incertidumbres 1

Taller de incertidumbres

La incertidumbre de medida

Miguel Balbás y Agustín García-Berrocal

Cátedra de Metrología de los Hidrocarburos

Laboratorio Lecem

2017


TALLER DE INCERTIDUMBRES

1. La incertidumbre de la medida

Lo habitual cuando medimos algo es pensar que si el aparato con el que medimos es

bueno y el procedimiento de medida es correcto, nos tiene que salir una medida,

representada por un número, que nos indicará el verdadero valor de la propiedad que

estamos midiendo. Esta forma de pensar es errónea. El primer objetivo de este tema es

conseguir que el lector se haga consciente de que siempre tenemos dudas sobre el

verdadero valor que tiene el mensurando que estamos midiendo (llamamos mensurando

a la propiedad que se mide, por ejemplo si tratamos de medir una temperatura con un

termómetro, la temperatura es el mensurando; así con el término mensurando nos

referimos a cualquier propiedad que se mida). En realidad el concepto de verdadero

valor del mensurando deja de tener sentido, al ser algo que nunca puede llegar a

conocerse.

La medida la expresaremos en la forma M U , donde U recibe el nombre de

incertidumbre de la medida, de forma que con M y U podemos formar el intervalo

de valores ,M U M U dentro del cual estimamos, con una cierta probabilidad, que

está incluido el verdadero valor del mensurando.

Que tenemos dudas sobre su valor lo avalan dos circunstancias claras que se nos

presentan en la práctica metrológica: en primer lugar, si repetimos la medición que

estamos realizando, con aparatos de medida de suficiente precisión, los valores que

obtenemos no coinciden, las últimas cifras decimales con las que queremos

aproximarnos al valor buscado varían de una medida a otra, con lo que no sabemos cuál

es la medida correcta. En segundo lugar, los aparatos de medida, por sofisticados que

sean, no son exactos; y lo corrobora el hecho de que el fabricante del aparato mide un


cierto patrón y le salen diferentes medidas; se dice que el fabricante está calibrando el

aparato, y nos debe dar a conocer esa incertidumbre que se obtiene en origen.

En el año 1993 se reunieron la Organización Internacional de Normalización (ISO), el

Buró Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) y la Organización Internacional de

Metrología Legal (OIML) con la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada

(UIPPA), con la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (UICPA), con la

Federación Internacional de Química Clínica (FICC) y con la Comisión Electrotécnica

Internacional (CEI) y promovieron la elaboración de una guía que recibe el nombre de

“Guía para la expresión de la incertidumbre de medida”, en inglés GUM (Guide to the

expression of Uncertainty in Measurement), que proporciona una información completa

sobre la forma de abordar la expresión de la incertidumbre y una base para la

comparación de los resultados de medida.

El Centro Español de Metrología (CEM) realizó la primera versión en lengua española

en el año 1998. Nos atendremos en lo que sigue a la notación y a los conceptos

contenidos en dicha Guía.

Siguiendo el documento GUM para nosotros el valor más probable de la medida nos lo

da M , siendo la incertidumbre U el parámetro que utilizamos para caracterizar la

dispersión de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando en torno

al valor de M.

2. Fuentes de incertidumbre

En general, cuando se mide se cometen imperfecciones que dan lugar a errores

desconocidos en cierta medida. La estimación del margen de cada posible error da lugar

a una componente de la incertidumbre total final.

El error se considera constituido por una componente aleatoria, al azar, que es

impredecible, y una componente sistemática. El error aleatorio puede reducirse si se

incrementa el número de medidas efectuadas. El error sistemático, si se produce por un

efecto identificado, puede cuantificarse e incluso aplicar una corrección para


compensarlo. No obstante, el error final cometido no puede ser conocido y siempre

existirá.

No debe confundirse el error con la incertidumbre, que cuantifica la duda que tenemos

sobre el error cometido. Tan es así que, en la mayoría de las mediciones, el error

cometido es menor que la incertidumbre cuantificada.

En cada proceso de medida debe hacerse un análisis para identificar cuáles son las

posibles causas de error. De entre las numerosas fuentes de incertidumbre que inciden

en el proceso de obtención de la medida pueden destacarse, por la frecuencia con que se

presentan, las siguientes:

Efecto de las magnitudes de influencia

Toda medición se realiza bajo condiciones ambientales (temperatura, presión,

humedad relativa, estado de vibración, etc.) que están afectando al valor del

mensurando. La ignorancia de su efecto o la medición imperfecta de estas

condiciones producen incertidumbre en la medida. Si medimos la longitud de

una varilla metálica, ¿cuál es la temperatura ambiente? Si ésta varía, cambia la

longitud de la varilla.

Muestra no representativa

Si se miden las características de una serie de objetos teóricamente iguales,

tomando para ello una muestra de dicha serie, puede que no sea suficientemente

representativa del conjunto. Se mide el diámetro de una serie bolas de un

rodamiento, ¿son todas exactamente iguales?

Definición incompleta del mensurando o realización imperfecta de su

definición

Nos piden medir la temperatura que alcanza un horno. ¿Dónde la mido, en qué

lugar del horno? La magnitud “temperatura del horno” está indefinida y sólo

puede darse un margen de sus posibles valores (incertidumbre).


Aproximaciones o imperfecciones del procedimiento de medida

Queremos medir el volumen de una moneda, midiendo sus longitudes

características (diámetro de sus caras para hallar su área y espesor de la

moneda). Hacemos la hipótesis de que la moneda es un cilindro de pequeña

altura y medimos el área de su base (círculo) y el espesor (altura). ¿Pero es en

realidad un cilindro perfecto? ¿No tienen sus caras el relieve de las

inscripciones, en lugar de ser superficies planas? ¿Son todos los diámetros

exactamente iguales? La estimación de la desviación respecto de dicho cilindro

perfecto conduce a la incertidumbre correspondiente.

Limitaciones e imperfecciones del sistema de medida

O Lecturas sesgadas

Lecturas incorrectas al leer una escala analógica por parte del operador.

Por ejemplo, no delimitar con exactitud qué dos marcas de escala

coinciden en un calibre y en su nonius.

Calibración y deriva

Incertidumbre que se arrastra de origen, al aportar el fabricante los

resultados de la medición de un patrón en fábrica (calibración), y

verificación de esta incertidumbre cada cierto intervalo de tiempo vía

recalibración (deriva). O bien como varía en el tiempo desde la última

calibración efectuada (deriva).

Ajuste o corrección de un error sistemático

Incertidumbre producida por la duda sobre la perfecta (verdadera)

corrección del error identificado. La imperfección de esta corrección

conduce a un error residual cuya estimación es dicha incertidumbre.

Resolución del aparato de medida

Cada aparato “lee” su medida con unas ciertas cifras decimales, pero

ignora el resto de cifras siguientes. Una báscula electrónica de laboratorio

hace una lectura de la masa en gramos con indicación de la primera cifra

decimal (décimas de gramo). Por ejemplo 14,7 g. Pero no lee más. Se dice


que la resolución de la báscula es de 0,1 g. Esto quiere decir que la

lectura de su pantalla es 14,7 siempre que el valor de la masa esté

comprendido entre 14,65 g y 14,75 g. Si fuera menor de 14,65 g, se leería

14,6; y si alcanzara 14,75 g o algo más, se leería 14,8. Pero el verdadero

valor de la masa, con las cifras decimales siguientes se desconoce,

cometiéndose un error de truncamiento.

Uso de datos tabulados

La utilización de números o constantes conocidas, tomándolas de tablas, se

hace escribiéndolas con un cierto número de cifras decimales, truncando

las cifras siguientes necesariamente. ¿Con cuántas cifras escribo el valor

de ? ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad g? ¿Cómo tomaremos

la densidad del líquido con el que estamos trabajando? Es un efecto que

se estima análogamente al de la resolución del aparato.

2. Clases de medidas: directas e indirectas

Diremos que estamos ante una medida directa cuando disponemos de un aparato de

medida apropiado tal que su indicación nos da un valor del mensurando. Medir una

temperatura con un termómetro es hacer una medida directa; medir una diferencia de

potencial entre dos puntos mediante un voltímetro es hacer una medida directa.

Sin embargo, en la mayoría de los casos en la práctica, el valor del mensurando Y se

obtiene matemáticamente aplicando una fórmula que incluye los valores de otros varios

mensurandos iX medidos directamente. Diremos que en este caso no disponemos de

un aparato de medida de Y. En el ejemplo de la moneda, podemos medir su volumen V

de forma indirecta si medimos directamente su diámetro D y su espesor e, aplicando la

relación 2

4

DV e (área de la base circular por la altura e del cilindro). Mediante

dos medidas directas (la de D y la de e) obtenemos V de forma indirecta (en este caso,

si mantuviéramos la notación estricta de la Guía tendríamos que V sería Y, D sería 1X

y e sería 2X ; 2

12

4

XY X ).


En el caso más general en cada medida directa aparecen dos categorías de evaluación de

incertidumbres, las que la Guía denomina evaluación de incertidumbre de tipo A y de

tipo B. Hay que estimar cuidadosamente cada una de ellas, tal como veremos a

continuación, y combinarlas para obtener la incertidumbre final de la medida directa.

En la medida indirecta, conocidas las incertidumbres de las medidas directas que

intervienen, hay que combinar adecuadamente éstas para obtener finalmente la

incertidumbre de la medida indirecta. Hay que aplicar lo que se denomina ley de

propagación de las incertidumbres para llegar al resultado final, tal como se verá más

adelante. La incertidumbre de la medida indirecta se denomina con frecuencia

incertidumbre combinada.

4 Incertidumbre de la medida directa

La Guía establece que las fuentes de incertidumbre de la medida directa se pueden

clasificar como tipo A o B según sea el procedimiento de evaluación aplicado para su

estimación.

Comencemos, por mayor claridad, por hablar de la evaluación de las incertidumbres de

tipo B. Muchas de las fuentes de incertidumbre dan como resultado una incertidumbre

que no depende del valor que obtengamos en la medición. Pensemos, por ejemplo, en la

resolución del aparato de medida. En el ejemplo que hemos expuesto, la balanza tiene

una resolución de 0,1 g. Pero esto es igual para la medida de 14,7 g, que poníamos en el

ejemplo y para 25,3 g o cualquier otra lectura que el aparato nos diera. Lo mismo puede

decirse de la incertidumbre de calibración del aparato, o de la deriva, o del ajuste, o la

producida por los datos tabulados, etc. Obsérvese que en algunos casos (calibración,

deriva, etc.) el posible error cometido tiene carácter aleatorio, debido al azar; sin

embargo, en otros casos el posible error es de tipo sistemático (resolución, datos

tabulados, etc.). Las incertidumbres de tipo B pueden tener uno u otro carácter.

En todos estos casos pueden estimarse las incertidumbres de tipo B antes de efectuar las

mediciones, su evaluación es previa al acto de medir.

Sin embargo hay otras fuentes de incertidumbre cuyo efecto desconocemos a priori y

que son siempre fruto del azar en la medición. Son las incertidumbres de tipo A.


Pensemos, por poner un ejemplo, en magnitudes de influencia que no controlamos. El

efecto nos produce medidas que difieren unas de otras. Debemos analizar el conjunto

estadístico de los valores obtenidos y con ello evaluar la incertidumbre.

Comencemos por calcular la incertidumbre que denominamos incertidumbre típica de

tipo A y que denotaremos como Au (obsérvese que se escribe con u minúscula en lugar

de utilizar la U mayúscula que utilizamos para acompañar a M ; más adelante veremos

cómo transformamos u en U).

Tenemos delante de nosotros un conjunto de números que representan las distintas

medidas que hemos obtenido como lecturas o indicaciones de cierto aparato de medida.

Pasemos revista a algunos conceptos que maneja la Estadística. Para razonar

correctamente debemos suponer que las medidas obtenidas no son pocas; porque si así

fuera, podría ocurrir que por azar todas fuesen mayores que el verdadero valor del

mensurando y esto nos haría pensar que éste es mayor de lo que realmente es.

Análogamente ocurriría si todas fuesen, por razón del azar, menores, haciéndonos

pensar el resultado debería ser menor. Supongamos, por tanto, que disponemos de un

conjunto con muchos valores de medida. Teóricamente deberíamos suponer que son

infinitos (luego volveremos sobre esta hipótesis para razonar con el número n real de

medidas que tenemos). Para analizar este conjunto estadístico de infinitos números

supongamos que los representamos en un gráfico con dos ejes coordenados. En

horizontal, en las abcisas, representamos los posibles diferentes valores x que toma el

mensurando medido. En ordenadas tratamos de representar el número de veces que ha

aparecido cada valor de x en el conjunto de medidas. Para hacerlo prácticamente

dividamos el eje horizontal en tramos de longitud x . Para un cierto valor ix

agrupemos todas las medidas con valores comprendidos entre ix y ix x . Al

suponer que nuestra población de valores tiene un número n de elementos que tiende a

infinito, el número in de medidas en este intervalo puede ser muy grande. Para hacer

manejable nuestra representación gráfica, dividamos por n el valor de los números de

medidas en cada intervalo, obteniendo así un número relativo in n , que siempre será

menor que la unidad. Construyamos ahora una barra rectangular que tenga por base el


x de nuestro intervalo y por altura un número if tal que el área del rectángulo

coincida con el número relativo in n de medidas entre ix y ix x . Esta ordenada if

se denomina frecuencia (figura 1A) del resultado ix .

Si hacemos la misma construcción para cada intervalo ix y

ix x , construimos lo

que se denomina un histograma (véase figura 1B).

Fig.1: Diagrama de frecuencias: Histograma

En este análisis no distinguimos cuántas medidas son de valores próximos a ix y

cuántas lo son a ix x . Para mejorarlo supongamos que vamos haciendo estas barras

verticales cada vez más estrechas, es decir, con una base x cada vez más pequeña. En

el límite en que x tiende a cero, x se convierte en dx . Tendremos así infinitas barras

pero infinitamente estrechas (figura 2).

Fig. 2: Curva de distribución de probabilidades


Hemos dibujado la curva que se forma al unir los centros de cada base horizontal

superior, definiendo así el valor de f para cada valor de x f f x . Hemos trazado

también en la figura dos valores concretos de x, sean 1x y 2x . Si calculamos el área que

encierra la curva con el eje horizontal entre la vertical de 1x y la vertical de 2x ,

sumando todas las barras diferenciales obtenemos la integral:

2

11 2( ) ( )

x

xárea x x x f x dx (1)

Lo que estamos haciendo es sumar el número de medidas cuyo valor x está

comprendido entre 1x y 2x (casos favorables), pero este número dividido por n total de

medidas efectuadas (casos totales) es, por consiguiente, el valor de la probabilidad de

que el valor de la medida esté comprendido entre 1x y 2x :

2

11 2( ) ( )

x

xf x dx prob x x x (2)

Si hubiéramos tomado el intervalo total de la curva, el área encerrada por toda la curva

sería 1, ya que sumaríamos todos los ( )in suma n pero divididos por el valor de n.

La curva f (x) se denomina distribución de probabilidad (figura 2).

La Estadística tiene un teorema muy importante, conocido como teorema central del

límite, que establece que cuando un suceso aleatorio es consecuencia (suma) de varios

sucesos aleatorios independientes, la forma de la curva f (x) es la conocida como curva

normal o curva de Gauss (véase figura 3A). Cuando medimos concurren en la medición

diversos procesos al azar (recuérdese la enumeración de fuentes de incertidumbre) de

forma que podemos admitir que el conjunto de nuestras infinitas medidas tienen

siempre una distribución de esta forma. Esta distribución normal tiene un máximo

(llamaremos al valor de x en este máximo) y es simétrica respecto a la vertical que

pasa por = x, como se ve en la figura. La curva se cierra en el infinito, es decir, es

asintótica con el eje horizontal de las x. Para caracterizar una distribución de este tipo,

lo primero es conocer el valor medio . Conociendo la función f (x) podemos expresar


A B

Fig. 3: Curva normal o gaussiana

como:

( )x f x dx

(3)

donde para cada valor de x tenemos un número de medidas obtenidas f (x) dx , área del

diferencial de anchura dx, es decir, hemos sumado todos los valores de las medidas,

pero divididas por n. El valor de sitúa el centro de la curva sobre el eje horizontal.

En segundo lugar hay que valorar la dispersión de las medidas en torno al valor de .

Podríamos tener una curva estrecha, esbelta, con los valores muy agrupados o por el

contrario una curva ancha, roma, que nos denuncia grandes diferencias entre los valores

de las medidas obtenidas. Para ello (véase figura 3B) se toma la distancia ( x- ) de las

medidas aparecidas en el diferencial de área dibujado hasta el eje de simetría ( x = ).

Pero no se puede sumar este valor con los de los demás diferenciales porque, en razón

de la simetría, aparece otro diferencial a la izquierda del eje de x menor que y a la

misma distancia, que ahora es ( - x). De forma que la suma de cada dos diferenciales

simétricos se anula. Para evitar que esto ocurra se elevan todas las distancias ( x- ) al

cuadrado, convirtiendo todos los sumandos en positivos. Así se calcula:

2 2( ) ( )x f x dx

(4)

x

f

x

f

dx

x-


Esta expresión (4) se denomina varianza de la distribución. Su raíz cuadrada, que vuelve

a tener las mismas dimensiones físicas que x, recibe el nombre de desviación típica

de la distribución.

Una distribución con una pequeña (curva estrecha, esbelta) indica que los valores de

las medidas se separan poco del valor medio, es decir, que son muy parecidas unas a

otras. Sin embargo si es grande y la curva es ancha, la dispersión de los valores es

grande, hay mucha separación entre unos y otros. En la práctica cuanto menor sea la

desviación típica más calidad tendrá nuestra medida.

De este modo los valores de y de (figura 3A) nos caracterizan la distribución.

Pero nuestro caso real es que no disponemos de infinitas medidas, tan solo tenemos un

número n relativamente pequeño de medidas. No sabemos, por tanto, a qué curva

corresponderían si hubiésemos seguido midiendo indefinidamente, no conocemos la

función f (x) de densidad de probabilidad y no podemos calcular con (3) y (4) los

valores de y de . La Estadística nos dice que pueden estimarse estos valores con

los datos que poseemos: se pueden calcular unos estimadores que son los números con

mayor probabilidad de parecerse respectivamente a y .

Para el primero se estima mediante el número x :

1

n

i

i

x

xn

(5)

donde se han sumado todos los valores de las medidas obtenidas y se ha dividido por el

número n de ellas; x recibe el nombre de media. Para estimar el valor de se obtiene

primero la estimación de la varianza 2 , llamando 2s a su mejor estimador:

2

2 1

( )

( )( 1)

n

i

i

x x

s xn

(6)


donde se ha sustituido en los cuadrados de las distancias el valor desconocido de por

su valor estimado x . Recibe 2( )s x el nombre de varianza de la muestra o varianza

muestral. Hallando la raíz cuadrada de 2( )s x se tiene la desviación típica muestral s(x).

Tomaremos como valor M más probable del verdadero valor de la medida el valor de x

que estima el valor de , que es el valor con la máxima probabilidad en nuestra curva:

M x (7)

y con él y con 2( ) ( )s x s x podemos establecer un intervalo de valores.

Pero en realidad nos interesa conocer cómo variaría el valor de x si repitiésemos

muchas veces el proceso de medida, porque este es el dato que vamos a igualar a M. Si

se repitiesen las series de n medidas infinitas veces obtendríamos una curva de

distribución de los diferentes valores de x , uno para cada vez que repitiésemos la serie

de n medidas. La Estadística demuestra que el valor de de la distribución de las x

siempre coincide con el valor de de las x. Sin embargo la distribución de las x es

una curva mucho más esbelta que la distribución de las x, su varianza es n veces menor

(véase figura 4):

22 ( )( )

xx

n

(8)

Se ha representado en la figura 4 la distribución de los valores de x y debajo la

distribución de las x si hubiéramos repetido infinitas veces el proceso de medida, esta

última centrada en el mismo valor de pero con una varianza 2( )x que es n veces

menor que 2( )x . La varianza 2( )x recibe el nombre de varianza de la media

muestral.


Fig 4: Distribución de la población de medidas y de su media

Este valor de la dispersión de x es lo que verdaderamente nos preocupa. Su estimación

se hace partiendo de (8) mediante:

2 2

2 1 1

( ) ( )

( ) ,, ( )( 1) ( 1)

n n

i i

i i

x x x x

s x s xn n n n

(9)

La raíz cuadrada de la varianza de la media muestral recibe el nombre de desviación

típica de la media muestral.

Se elige para definir la incertidumbre típica ( )Au x la expresión de la desviación típica

de la media muestral:

( )Au x s x (10)

Se denomina incertidumbre típica por haber sido obtenida a partir de una desviación

típica.

x (x)

f

(x)

f

(x)

(x)


Con los valores (5) de x y (9) de s x se puede definir el intervalo (M-u,M+u) , es

decir, M u , como el intervalo en que razonablemente, con una cierta probabilidad, se

encuentra el verdadero valor del mensurando.

Obsérvese, como vimos anteriormente, que cuanto menor sea la dispersión de los datos,

es decir, s x , menor será el valor de la incertidumbre típica, y por tanto, más

estrechamente acotado estará el intervalo en el cual entendemos que está contenido el

verdadero valor de la medida.

En la obtención de las incertidumbres típicas de tipo B, Bu , también se establece una

cierta distribución de probabilidades, y se estima el valor de su desviación típica. En

muchos casos la distribución es normal, gaussiana, y entonces la desviación típica se

evalúa con el procedimiento que acabamos de ver para la incertidumbre de tipo A.

Piénsese, por ejemplo, en la calibración del aparato de medida. Con las medidas

obtenidas, midiendo un determinado patrón, se valorarán los estimadores x y s x .

Con este último se tiene el valor de Bu , dato que ya se tendrá antes de empezar nuestro

trabajo de medición.

En otros casos se desconoce completamente la distribución de la densidad de

probabilidad; se supone entonces que es constante en un cierto intervalo 2a y nula en el

resto. Por ejemplo en el caso de la resolución del aparato. Decíamos en el ejemplo del

epígrafe 2 que la balanza electrónica tenía una resolución 2a = 0,1 g. Si lo

representamos (figura 5A) en una escala horizontal, centrándonos en la medida

obtenida de 14,7 g, como poníamos en el ejemplo, el aparato leerá 14,7 g siempre que

el valor a medir no llegue a los 14,75 g y sea superior o igual que 14,65 g (es decir,

siempre que esté en el intervalo 2a=0,1 g en torno a 14,7 g). Que el aparato lea 14,7 g

no nos da información de cuánto vale la cifra decimal siguiente, no sabemos en qué

punto, entre los extremos, corresponde al valor que está midiendo. Para nosotros

cualquier valor intermedio tiene la misma probabilidad de ser, no hay ningún valor con

una probabilidad mayor. Sin embargo si el valor fuera menor que 14,65 g, el aparato

ya no leería 14,7 sino 14,6.


Fig. 5: A) Resolución. B) Distribución rectangular

Lo mismo sucede si el valor alcanza o supera los 14,75; entonces leería 14,8. Por eso

fuera del intervalo 2a estamos seguros de que la probabilidad es nula. Si lo

representamos (figura 5B) centrándonos en el origen, ya que este intervalo de resolución

es el mismo para cualquier valor en que se mida, el intervalo se extiende desde –a hasta

a con una misma probabilidad. Fuera de él es nula. La distribución no tiene forma de

gaussiana como veíamos antes, sino que en este caso se nos forma un rectángulo. Se

dice que es una distribución rectangular. La altura del rectángulo es fácil de conocer

puesto que el área encerrada por la curva debe valer la unidad, por tanto si la base mide

2a , su altura ( )h f x debe ser 1 2a para que el producto de base por altura sea igual a

la unidad. Si calculamos mediante la expresión (4), se tiene:

3 3 22 2 2 21 1 1

( ) ( ) ( 0)2 2 2 3 3 3

a a

a a

a a ax f x dx x dx x dx

a a a

(12)

puesto que desde hasta –a el valor de f(x) es nulo, lo mismo que desde a hasta .

Por tanto:

2

( )3 3

B

a au x (13)

recordando que a es la mitad de la resolución 2a. En el caso de la balanza es

0,1 2 0,05( )

3 3Bu x g.

En Estadística se demuestra que cuando un suceso aleatorio es suma de varios procesos

aleatorios, su varianza es la suma de las varianzas de los procesos componentes. No se

pueden sumar las desviaciones típicas, pero sí es posible hacerlo con las varianzas. Así,


para componer el resultado final de la incertidumbre de una medida directa, sumaremos

la varianza 2

Au del tipo A con la varianza 2

Bu del tipo B (que a su vez puede ser suma de

las varianzas Biu de las diferentes componentes de tipo B que le corresponda:

2 2

B Biu u ). Así:

2 2 2( ) ( ) ( )A Bu x u x u x (14)

Y por tanto:

2 2( ) ( ) ( )A Bu x u x u x (15)

Las dimensiones físicas de ( )u x son siempre las mismas que las de x.

5. Incertidumbre de la medida indirecta

Hemos dicho páginas atrás que muchas veces medimos un mensurando mediante la

aplicación de una fórmula geométrica o física. Medimos directamente los otros

mensurandos que son los que utilizamos en la fórmula para alcanzar el valor del

mensurando buscado. De estos mensurandos medidos directamente conocemos su

incertidumbre, estimada tal como acabamos de ver en el epígrafe anterior. Lo que

necesitamos ahora es establecer cómo se combinan estas incertidumbres directas para

obtener la incertidumbre de la medida indirecta. Esto se denomina con frecuencia

obtener la ley de propagación de las incertidumbres.

Antes de ver lo que prescribe la Guía internacional, analizaremos un ejemplo sencillo:

Supongamos que deseamos medir el área de una cartulina de forma rectangular y que

no disponemos de un aparato que mida áreas. Para resolver el problema nos

basaremos en que el área S del rectángulo es el producto de su base L por su altura H:

S L H (16)

Nos basta, por tanto, con medir directamente el valor de L y el valor de H, para lo cual

sí tenemos aparatos de medida, e introducir estos valores en (16) para hallar S.

Comencemos por la base, hallaremos su valor medio L mediante la media de los

valores medidos. También estimaremos, como medida directa, su incertidumbre típica


u(L). Lo mismo haremos para tener H y u H . La figura 6A refleja que nuestra duda

en la medida de L lleva consigo una incertidumbre en el valor del área.

Fig. 6: Medida del área de un rectángulo: incertidumbres

Ya no podemos afirmar que el área del rectángulo es el producto de L por H , porque

puede que haya que incluir el rectángulo rayado de área H u L . Lo hemos dibujado

en positivo, pero lo mismo haríamos en negativo restando u L de L (no lo dibujamos

para que la figura quede más clara). Esto significa que la incertidumbre en la medida

de L causa una incertidumbre Lu S en la medida de S.

Pero lo mismo nos ocurre con la incertidumbre u H de la medida de H. En la figura

6B se ha representado el rectángulo rayado de área Hu S L u H . Suponemos que

u L y u H no están correlacionadas entre sí sino que son independientes la una de

la otra, de forma que el valor de una de ellas es independiente del valor de la otra.

Vemos cómo la incertidumbre directa u L viene multiplicada por la longitud H para

formar un área; de igual manera ocurre con u H multiplicada por L . Estos factores,

que multiplican a cada una de las incertidumbres directas para dar valores con las

mismas dimensiones del mensurando buscado, reciben el nombre de coeficientes de

sensibilidad. Así, en nuestro ejemplo el coeficiente de sensibilidad Lc de la base es H y

el coeficiente de sensibilidad Hc de la altura es L . Podríamos poner:


( )

( )

L L

H H

u S c u L

u S c u H

(17)

Para hallar la incertidumbre total de S recordemos que podemos sumar las varianzas:

2 22

L Hu S c u L c u H (18)

de donde se obtiene u S .Las dimensiones de los coeficientes de sensibilidad son, en

este caso, las de una longitud, de manera que al multiplicarlas por u(L) o por u(H), el

resultado, tenga las dimensiones de un área.

Cuando las fórmulas a utilizar son más complicadas, es difícil intuir qué expresión

tienen los coeficientes de sensibilidad. Analicemos con más detalle el valor de Lc en el

ejemplo anterior. Si a la base L del rectángulo le añadimos una unidad, se nos añadirá

un rectángulo vertical de área (1 )H H . Por tanto H representa la variación de S por

unidad de variación de L . En términos matemáticos diremos que es la derivada de S

cuando solo varía L; es lo que se denomina derivada parcial de S respecto de L (es

decir, manteniendo constante la altura H).

NOTA 1: Las derivadas parciales de una función de varias variables 1 2( , ,.... )ny f x x x se

denotan como

i

y

x

. Por ejemplo sea

2 3

1 23y x x . Para derivar parcialmente respecto de 1x ,

se deja 2x como si fuera constante 3 2

2 1(3 )y x x , donde el paréntesis indica una constante.

Así al derivar se tiene 3 3

2 1 1 2

1

(3 )2 6y

x x x xx

. La otra derivada parcial sería, poniendo

2 3

1 2(3 )y x x : 2 2 2 2

1 2 1 2

2

(3 )3 9y

x x x xx

.


En la expresión S L H , o sea S H L , se obtiene L

SH c

L

. De igual manera

S L H y así H

SL c

H

. Podríamos reescribir (18) poniendo:

2 2

2 S Su S u L u H

L H

(19)

La Guía internacional dice que si estamos midiendo un mensurando indirectamente

mediante una expresión matemática 1 2( , ,..... )ny f x x x su varianza es:

2 2 2 2 2 2 2

1 21 2( ) ( ) ( ) ......... ( )x x x nn

u y c u x c u x c u x (20)

donde los coeficientes de sensibilidad x ic se calculan mediante:

x ii

yc

x

(21)

Sus dimensiones son las de y divididas por las de xi . De 2( )u y se obtiene ( )u y .

NOTA 2: Cuando las variables están correlacionadas entre sí, la Guía establece que la

incertidumbre de y se obtiene a partir de:

12 2 2

1 1 1

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , )n n n

i i i j i j i j

i i j i

u y c u x c c u x u x r x x

(22)

donde ( , )i jr x x representa el coeficiente de correlación entre xi y xj . Si una pareja de

variables no están relacionadas r = 0 y en el caso de que la correlación sea máxima 1r .

En el ejemplo del rectángulo escribiremos:

2 2 2 2 2 2 ( , )L H L Hu S c u L c u H c c u L u H r L H (23)

Supongamos que la correlación fuera máxima, por ejemplo, si se quiere conservar siempre el

formato del rectángulo con H

cteL . Esto quiere decir que una variación de L llevaría

aparejada una variación de H conocida. El nuevo valor de H se calcularía conociendo el

nuevo valor de L. Su coeficiente de correlación es ( , ) 1r L H . En este caso:

2 2 2 2 2 2L H L Hu S c u L c u H c c u L u H (24)

Si suponemos además que el aparato de medida es el mismo para medir L y H, podemos

admitir que sus incertidumbres directas serán muy parecidas u L u H , con lo que:

2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( ) ( ) ( )L H L H L Hu S c c c c u L c c u L L H u L (25)


de donde en este caso particular:

( )u S L H u L Lu L Hu L (26)

que equivale a sumar directamente en este caso las áreas de las franjas vertical y horizontal,

de igual anchura, es decir, sumar las desviaciones típicas, sin pasar por las varianzas.

6. Incertidumbre expandida

Hemos definido hasta ahora un intervalo en torno al valor de , sumando y restando el

valor de , es decir, desde ( ) hasta ( ) . Con sus correspondientes

estimadores x M y s x u podemos dar el intervalo ( , )M u M u como intervalo

en el que creemos que está el verdadero valor del mensurando. Pero ¿qué probabilidad

tenemos de acertar? Sabemos que el área que encierra la curva normal mide

probabilidades. En Estadística se tiene un procedimiento para hallar áreas encerradas.

Para ello, lo primero que se hace es un cambio de variable en la función de distribución,

llamando z a la nueva variable según:

x

zx

(27)

El área que encierra la nueva función f (z) se ha tabulado. En la tabla correspondiente

aparece el valor del área encerrada en la cola de la derecha desde un valor concreto de z

hasta z . Observemos que la curva f (z) está centrada en el eje vertical porque si

hacemos x , se hace z=0. Luego su valor medio es 0z . Si queremos saber el

valor del área encerrada por la curva entre x y x , vemos que en el

extremo izquierdo z vale -1 porque:

1

mientras que en el extremo derecho del intervalo es:

1


es decir z=+1. Entrando en la tabla con z = 1 se ve que la cola de la derecha, es decir,

valores superiores de z, vale 0,15866. La cola de la izquierda en el extremo izquierdo,

por ser simétrica vale lo mismo. Por tanto entre las dos colas, derecha e izquierda (véase

figura 7) el área que encierran es 2 0,15866. El cuerpo central de la curva encierra,

por tanto, la diferencia entre el área total de la curva, igual a la unidad, y el área de las

dos colas [ 1-2 (0,15866) ] = 0,68268. En tanto por ciento 68,27 % aproximadamente,

valor parecido a 66,67 % que sería 2 3 del área total. Este cálculo nos indica que la

probabilidad de que una nueva medida caiga dentro del intervalo que hemos definido, es

de 2 3 aproximadamente. La probabilidad de que la medida sea errónea es muy grande,

lo que hace que este intervalo se quede muy corto.

Pero nadie nos obliga a tomar como incertidumbre el valor de la incertidumbre típica u.

Podemos definir a nuestra voluntad un intervalo mayor haciendo:

U ku (28)

U recibe el nombre de incertidumbre expandida y k el de factor de cobertura o constante

de recubrimiento (en referencia al área recubierta). No es conveniente dar a k un valor

Fig. 7: Diferentes recubrimientos del área de la curva

alto porque daríamos un valor muy grande de la incertidumbre, aumentando nuestra

duda y disminuyendo, por tanto, la calidad de nuestra medida. Un compromiso entre

ambas necesidades se obtiene en la práctica haciendo 2k (véase la figura 7).

Con k = 2 se tiene un intervalo doble del anterior, es decir, desde 2x hasta 2x .

Para 2 / 2z , la tabla da un valor para la cola de la derecha de 0,02275.

Con lo que el área de la zona central es [1-2 (0,02275)] = 0,95450. Traducido a tanto


por ciento, es mayor del 95 %, una buena probabilidad de acierto. La industria toma

sistemáticamente este valor de k = 2, haciendo la incertidumbre expandida 2U u ,

afirmando que su nivel de confianza es N.C. = 95 %.

NOTA 3: Hemos supuesto que la aplicación del teorema central del límite nos ha conducido a

una distribución normal gaussiana. Si se necesitara aproximar más, en el cálculo anterior puede

sustituirse (nosotros no entraremos en ello) esta distribución normal por una distribución

parecida, denominada de Student, elegida en función de los grados de libertad que presente el

proceso.

APÉNDICE: Un caso práctico: Medida de la densidad de una moneda

Supongamos que se nos presenta en la práctica el problema de determinar en el

Laboratorio la densidad de una moneda. Y que no disponemos de un aparato que nos

mida directamente densidades. Para hacerlo recurrimos determinar indirectamente la

densidad mediante la expresión:

M

V (29)

donde es la densidad, M la masa de la moneda y V su volumen.

Disponemos de una báscula electrónica para medir la masa y aparatos de medida de

longitudes, tales como el calibre o pie de rey y del palmer o tornillo micrométrico.

Comencemos por hallar el volumen de la moneda. Hacemos la hipótesis de que es un

cilindro de base circular grande comparada con la altura (espesor de la moneda). El

volumen lo obtendremos también indirectamente, multiplicando el área de la base por

la altura. La base es aproximadamente un círculo de área:

22

4

DS R (30)

donde R es el radio de la base y D el diámetro. Mediremos el diámetro porque es

imposible medir el radio, al no tener localizada con exactitud la posición del centro del

círculo. Emplearemos para la medida de D el calibre porque, si la moneda es grande,

puede no entrar en el tornillo micrométrico. Comenzaremos por medir Dn veces

sucesivos diámetros (no siempre el mismo, para evitar que nos estemos centrando en un

diámetro ligeramente deformado). Llamemos iD a las diferentes medidas obtenidas.

Para hallar el valor de D comencemos por obtener su valor medio mediante:


1

Dn

i

i

D

D

Dn

mm (31)

Con el valor medio de D podemos hallar la incertidumbre de tipo A, ( )Au D :

2

1

( )

( 1)

Dn

i

iA

D D

D D

u Dn n

mm (32)

Para determinar la incertidumbre de tipo B, tomaremos el único dato de que

disponemos, que es la resolución del calibre, sabiendo que 2 0,05cala mm. Por tanto:

0,05 2 0,025( )

3 3 3

calB

au D mm (33)

De esta forma la incertidumbre típica de D se obtiene de:

2 2 2( ) ( ) ( )A Bu D u D u D mm2 (34)

Como el espesor e es relativamente pequeño podemos medirlo con el palmer o tornillo

micrométrico. Midámoslo en veces en distintos puntos, siendo ei las medidas obtenidas.

El valor medio de e será:

1

en

i

i

e

e

en

mm (35)

Con este valor podemos cuantificar ( )Au e :

2

1

( )

( 1)

en

i

iA

e e

e e

u en n

mm (36)

Por otro lado la resolución del palmer es cinco veces menor que la del calibre:

2 0,01pala mm. Por tanto:

0,01 2 0,005

3 3 3

pal

B

au e mm (37)

Con lo que la incertidumbre típica de e, ( )eu e , se obtiene de:

2 2 2

A Bu e u e u e mm2 (38)


Con estos resultados podemos abordar el cálculo de la incertidumbre típica del

volumen V del cilindro. Empecemos hallando su valor medio, teniendo en cuenta la

expresión (30), donde emplearemos los valores medios (31) y (35) de D y de e:

2

4

DV S e e mm

3 (39)

Para calcular su incertidumbre típica u(V), indirectamente, tendremos que considerar

que el coeficiente de sensibilidad Dc del diámetro se obtiene de:

2

42

4 2D

eD

V e D ec D

D D

mm2 (40)

Y el coeficiente de sensibilidad de ec del espesor se tiene mediante:

2

24

4e

De

V Dc

e e

mm

2 (41)

Estamos en condiciones de calcular la incertidumbre típica u(V) del volumen:

2 222 2 22

2 2 2 2 2 1 1

( ) ( )

2 ( 1) 3 4 ( 1) 3

eD nn

i ipalcali i

D e

D D e e

D D e eaDe a D

u V c u D c u en n n n

(42)

La u(V) tiene las dimensiones de L3

; como la u(D) y la u(e) tienen dimensiones de L,

los coeficientes (40) y (41) tienen que tener dimensiones de L2como se comprueba en

sus expresiones( D e y D2

respectivamente).

Obsérvese que hemos despreciado la incertidumbre producida por el valor de (que

es un valor tabulado) puesto que es conocido con un número tan grande de cifras

decimales, dadas en cualquier calculadora, que la ( )u puede considerarse

despreciable frente a u D y a u e .

Nos queda, por último, medir la masa M en la balanza. Llamemos iM a los Mn valores

obtenidos. La incertidumbre típica Au M de tipo A se obtiene hallando en primer

lugar el valor medio M :


1

Mn

i

i

M

M

Mn

g (43)

Con él se calcula:

2

1

( 1)

Mn

i

iA

M M

M M

u Mn n

g (44)

Por otro lado la resolución de la balanza, como hemos comentado en páginas anteriores, es

2 0,1Ma g , con lo que 0,05Ma g y así:

0,05

3 3

balB

au M g (45)

Por último:

2

22 2 2 1

( 1) 3

Mn

i

baliA B

M M

M Ma

u M u M u Mn n

g

2 (46)

Pasamos a valorar la densidad y su incertidumbre. Partamos de la expresión (29) M V .

Debemos notar que el valor de la masa M y de su incertidumbre u M están expresados en

gramos; no es necesario transformarlos. Sin embargo el volumen V y su incertidumbre u V

vienen expresados en milímetros cúbicos, siendo necesario pasarlos a centímetros cúbicos,

puesto que la unidad en la que se expresa la densidad es 3g/cm . Para ello nos bastará con

dividir por 1000 los valores de V y de u V .

Se calcula el valor medio de la densidad mediante:

M

V (47)

Para hallar la incertidumbre típica ( )u , obtengamos los coeficientes de sensibilidad de la

masa y del volumen:

2

1

1 4M

MV

cM M V D e

cm

-3 (48)


2 4 22

1

16V

MM MVc

V V V D e

g/cm6 (49)

Por tanto: 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )M Vu c u M c u V (50)

Obsérvese que las dimensiones y unidades de Mc y de Vc son las necesarias para que ( )u se

exprese en g/cm3. Sustituyendo valores se tiene:

2

2 2 222 22 2 222 1 1 1

2 4 22

( ) ( ) ( )4 16

( )( 1) 3 2 ( 1) 3 4 ( 1) 3

eM D nn n

i i ipalbal cali i i

M M D D e e

M M D D e eaa M De a D

un n n n n nD e D e

(51)

y hallando la raíz cuadrada se tiene ( )u .

En principio pueden arrastrarse en las operaciones numéricas todos los decimales

disponibles. Si no quiere hacerse así, deben tomarse los valores medios como mínimo con una

cifra decimal más que lo que den los aparatos en función de su resolución. Por ejemplo, la

media de los diámetros obtenidos con el calibre debe tener como mínimo tres cifras decimales

ya que las medidas leídas tienen dos cifras decimales. La incertidumbre típica se valora con

dos cifras significativas, es decir, sin considerar los ceros a la izquierda. Si, por ejemplo,

tenemos para ( )u el valor numérico 0,0254321 se deja 0,026. Como se trata de una

incertidumbre, la última cifra considerada se redondea por exceso para no disminuir el valor

de u. Los valores medios se expresan finalmente con tantas cifras decimales como hayamos

dejado en su incertidumbre. Así si para el valor de se tiene 8,20435187, como hemos dejado

( )u con tres cifras decimales ( )u = 0,026 g/cm3 , expresaremos también con tres cifras

decimales, es decir, =8,204 g/cm3. En la expresión de la última cifra se redondea por

exceso o por defecto al dígito más cercano.

Para finalmente pasar de la incertidumbre típica ( )u a la incertidumbre expandida ( )U , se

toma un nivel de confianza N.C.= 95 %, haciendo que la constante k valga 2. Así finalmente:

( ) 2 ( )U u g/cm3 (52)

Y nuestro resultado de la medida será:

U g/cm3 (53)

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