1

Miernictwo elektroniczne I semestr studiów stacjonarnych kierunek Elektronika i telekomunikacja

Dr hab. in. Krzysztof Górecki, prof. nadzw. AM

C-350 Tel. 586901448

E-mail: gorecki@am.gdynia.pl atol.am.gdynia.pl/~gorecki

konsultacje – wtorek 11-12

2

Wykład (30 h) 1. Przedmiot metrologii. Definicje podstawowych poj. 2. Metody rejestracji i opracowywania wyników pomiarów. 3. Wzorce jednostek wybranych wielkoci elektrycznych. 4. Analiza błdu i niepewnoci pomiaru. 5. Mierniki magnetoelektryczne. 6. Pomiary napi przemiennych. 7. Mostki prdu stałego i zmiennego. 8. Cyfrowe pomiary czstotliwoci, okresu i przesunicia fazowego. 9. Przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe. 10. Multimetry analogowe i cyfrowe. 11. Metody pomiaru podstawowych wielkoci elektrycznych. 12. Oscyloskopy analogowe i cyfrowe. 13. Pomiary oscyloskopowe.

3

Literatura

[1] Chwaleba A., Poniski M., Siedlecki A.: Metrologia elektryczna. WNT, Warszawa, 2010. [2] Rydzewski J.: Pomiary oscyloskopowe. WNT, Warszawa, 1999. [3] Kulka Z., Libura A., Nadachowski M.: Przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-

analogowe. WKŁ, Warszawa, 1987. [4] Dusza J., Gortat G., Leniewski A.: Podstawy miernictwa. Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998. [5] Jdrzejowski K. i inni: Laboratorium podstaw miernictwa. Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998. [6] Zielonko R. i inni: Laboratorium z podstaw miernictwa. Wydawnictwo Politechniki

Gdaskiej, Gdask, 1998. [7] Kołodziejski J., Spiralski L., Stolarski E.: Pomiary przyrzdów półprzewodnikowych.

WKiŁ, Warszawa 1990. [8] Górecki K., Stepowicz W.J.: Laboratorium Podstaw Miernictwa. Wydawnictwo Akademii

Morskiej w Gdynia, Gdynia, 2005. [9] Arendarski J.: Niepewno pomiarów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,

Warszawa, 2003.

4

Warunki zaliczenia: Dwa kolokwia w cigu semestru z zakresu wykładu: 1. 16 listopada 2011 2. 4 stycznia 2012 Naley zaliczy obydwa kolokwia. Ocena kocowa stanowi redni arytmetyczn ocen z obu kolokwiów. Dla osób, które nie uzyskaj zaliczenia w ten sposób – dodatkowe zaliczenie 11 stycznia 2012.

5

1. Przedmiot metrologii. Definicje poj podstawowych

We wszystkich dziedzinach ycia spotykamy si z problemem okrelenia, co jest wiksze, a co mniejsze lub z okreleniem ile czego jest, np. robic zakupy. W zwizku z tym konieczne jest okrelenie wielkoci, która ma by mierzona, np. masa i wyznaczenie jej wartoci w umownych jednostkach, np. w kilogramach.

W ramach przedmiotu „Podstawy miernictwa elektronicznego” bd omawiane zagadnienia dotyczce pomiaru wielkoci elektrycznych. W szczególnoci przedmiotem miernictwa elektronicznego s metody i przyrzdy pomiarowe oraz ocena wiarygodnoci uzyskanych wyników. Wielkociami mierzonymi s napicia i prdy stałe oraz zmienne, czstotliwo, przesunicie fazowe, rezystancja i impedancja oraz parametry elementów półprzewodnikowych i układów elektronicznych. Wartoci wymienionych wielkoci mog zmienia si w szerokim zakresie. Dlatego mona wyróni szczegółowe metody pomiaru wartoci wymienionych wielkoci przeznaczone do zastosowania w zakresie tylko bardzo duych lub tylko bardzo małych wartoci rozwaanych wielkoci.

Dla lepszej przejrzystoci dalszych rozwaa przedstawiono poniej definicje podstawowych poj uywanych w metrologii: 1. Wielko – właciwo ciał lub zjawisk, któr mona mierzy, np. napicie, prd 2. Warto – liczba okrelajca ile jednostek miary zawiera dana wielko fizyczna 3. Jednostka miary – umownie przyjta i okrelona z dostatecznie du dokładnoci warto

danej wielkoci słuca do pomiaru wartoci tej samej wielkoci, np. volt, amper 4. Symbol jednostki miary – literowe oznaczenie jednostki miary danej wielkoci, np. V, A

6

5. Wzorzec – fizyczne odwzorowanie jednostki miary danej wielkoci 6. Pomiar - proces poznawczy, wykonywany eksperymentalnie przez porównanie wielkoci

fizycznej z jej wartoci przyjt umownie za jednostk miary. 7. Kontrola – proces poznawczy, polegajcy na eksperymentalnym porównaniu wielkoci

kontrolowanej z wzorcow i okreleniu do jakiego przedziału wartoci naley warto kontrolowanej wielkoci Wyrónia si trzy rodzaje kontroli: a) Kontrola alternatywna (rys.1)– okrelenie czy warto kontrolowanej wielkoci jest

wiksza (mniejsza) od zadanej wartoci granicznej, np. kontrola współczynnika zniekształce nieliniowych wzmacniacza mocy

Xmax

Dobre Złe

X

Rys.1. Ilustracja kontroli alternatywnej.

b) Kontrola tolerancji (rys.2) – okrelenie, czy warto kontrolowanej wielkoci mieci si w zadanym przedziale tolerancji, np. kontrola rezystancji rezystora wzorcowego

Xmax

Dobre Złe

X

Złe

Xmin

Rys.2. Ilustracja kontroli tolerancji.

7

c) Kontrola strefowa (rys.3) – okrelenie, do którego przedziału tolerancji naley warto kontrolowanej wielkoci, np. pomiar rezystancji wyprodukowanych rezystorów

Xmax

Złe

X

Złe

Xmin

A B C D E

Rys.3. Ilustracja kontroli strefowej.

8. Testowanie – kompleksowa kontrola wszystkich istotnych parametrów danego obiektu. Wynik jest binarny, tzn. pozytywny lub negatywny.

9. Dokładno – zgodno wyniku pomiaru z rzeczywist wartoci mierzonej wielkoci 10. Błd pomiaru (niepewno pomiaru) – okrela przedział wartoci, w którym z

okrelonym prawdopodobiestwem znajduje si warto mierzonej wielkoci 11. Rozdzielczo – najmniejszy, mierzalny danym przyrzdem pomiarowym przyrost

wartoci danej wielkoci. 12. Metoda pomiarowa - sposób prowadzcy do uzyskania wartoci dowolnej wielkoci

drog eksperymentaln

8

Wszystkie pomiary, które wykonywane s w elektronice mona podzieli na trzy grupy: a) Pomiary laboratoryjne, b) Pomiary kontrolno-fabryczne, c) Pomiary instalacyjno-eksploatacyjne.

Pomiary laboratoryjne s prowadzone dokładnie i skrupulatnie przez wysoko wykwalifikowany personel, w specjalnie do tego przeznaczonych pomieszczeniach. Pierwszorzdne znaczenia ma w tym przypadku dokładno i powtarzalno uzyskanych wyników, natomiast wymiary i ciar urzdze pomiarowych maj znaczenie drugorzdne.

Pomiary kontrolno-fabryczne s wykonywane na rónych etapach wytwarzanie

elementów i układów elektronicznych przez operatorów nie posiadajcych wysokich kwalifikacji. Przyrzdy pomiarowe musz by tak skonstruowane, aby pomiar mógł by wykonywany szybko, a wynikiem pomiaru jest informacja, czy warto mierzonej wielkoci mieci si w zadanym przedziale tolerancji.

Pomiary instalacyjno-eksploatacyjne s wykonywane w czasie uruchamiania

okrelonego urzdzenia i okresowo w czasie jego eksploatacji. Odpowiednie przyrzdy pomiarowe (wskaniki) s wbudowane w tym urzdzeniu lub stosuje si urzdzenia przenone. Istotne jest, aby urzdzenia te były lekkie, zasilane bateryjnie, ale nie musz cechowa si wysok dokładnoci.

9

Stosowane s trzy zasadnicze kryteria podziału metod pomiarowych: 1. Ze wzgldu na sposób uzyskiwania wartoci mierzonej wielkoci:

a) Metody bezporednie, gdy warto mierzonej wielkoci odczytuje si bezporednio z przyrzdu pomiarowego,

b) Metody porednie, gdy warto okrelonej wielkoci wyznacza si z zalenoci analitycznej na podstawie zmierzonych bezporednio wartoci wielkoci wystpujcych w tej zalenoci.

2. Ze wzgldu na zastosowane przyrzdy pomiarowe:

a) Analogowe, b) Cyfrowe.

10

3. Ze wzgldu na sposób postpowania przy wykonywaniu pomiaru: a) Metoda odchyłowa – warto wielkoci mierzonej odczytuje si bezporednio ze skali

przyrzdu wyskalowanej w jednostkach wielkoci mierzonej. W metodzie tej nie wystpuje wzorzec. Metoda ta jest mało dokładna, ale jej zalet jest szybko i prostota realizacji pomiaru.

b) Metoda rónicowa – wielko mierzona jest porównywana ze wzorcem, a przyrzd pomiarowy wskazuje rónic midzy wartoci mierzon a wartoci wzorcow. Stosowana przy pomiarach małych zmian na duym poziomie. Dokładno pomiaru zaley od dokładnoci wykonania wzorca i dokładnoci porównania.

c) Metoda zerowa – warto mierzonej wielkoci odczytywana jest z odpowiednio dobranego wzorca lub wyznaczana z zalenoci analitycznej zachodzcej midzy elementami układu pomiarowego, np. mostka. Odczyt wykonywany jest po zrównowaeniu układu pomiarowego, to znaczy, gdy prd płyncy przez kontroln gał układu pomiarowego jest równy zero.

d) Metoda podstawieniowa – na wejcie przyrzdu pomiarowego na przemian podawane s wartoci mierzone i wartoci wzorcowe. Po kolejnych przełczeniach modyfikowana jest warto wzorcowa, tak aby uzyska jednakowe wskazania układu pomiarowego dla wartoci mierzonej i wzorcowej.

11

We wszystkich wymienionych metodach pomiarowych wykorzystywane s przyrzdy pomiarowe. Ogólny schemat przyrzdu pomiarowego przedstawiono na rys.1. Na rysunku tym, X oznacza mierzon wielko wejciow, np. napicie, natomiast Y – wielko wyjciow, np. kt wychylenia wskazówki przyrzdu pomiarowego. Właciwoci kadego przyrzdu pomiarowego charakteryzowane s przez zbiór parametrów: 1. Warto maksymalna Xmax 2. Czuło przyrzdu pomiarowego S – stosunek przyrostu wielkoci wyjciowej do

wejciowej

0XXdX

dYS

==

(1)

W praktyce wyznacza si warto S jako odwrotno wartoci mierzonej wielkoci odpowiadajc najmniejszej działce na skali przyrzdu (wywietlaczu). 3. Stała przyrzdu pomiarowego C – odwrotno czułoci 4. Pobór energii z układu pomiarowego (rezystancja wejciowa) 5. Błd pomiaru

12

Przyrzdpomiarowy

XObiektbadany Przetwornik 1

Przetwornik 2

Przetwornik 3

Wzorzec

Układporównujcy

Wskanik

Y

Linia łczca

Rys.4. Ogólny schemat przyrzdu pomiarowego.

13

2. Metody rejestracji i opracowania wyników pomiarów

Wyniki pomiarów mog by rejestrowane i przedstawiane na trzy sposoby: 1. metoda cyfrowa – rejestrowanie konkretnych wyników liczbowych dowiadczenia w

postaci odpowiednio ułoonych tablic. Kada tablica powinna mie swój numer i nazw, kada kolumna tablicy powinna by oznaczona symbolem wielkoci mierzonej wraz z jednostk. Wartoci zmiennej niezalenej powinny zmienia si monotonicznie, a wynik pomiaru powinien odzwierciedla klas przyrzdu, to znaczy naley zapisa wszystkie cyfry widoczne na wywietlaczu (take zera nieznaczce).

2. Metoda analogowa – przedstawienie wyników pomiarów w postaci wykresów, które ułatwiaj interpretacj pomiarów, łatwo ich analizy i wyznaczania ekstremów oraz punktów przegicia i miejsc zerowych. Skala wykresu powinna by tak dobrana, aby zapewni przejrzysty przebieg krzywej oraz umoliwiała odczytanie wartoci z wykresu z dokładnoci odpowiadajc dokładnoci pomiaru. Zwykle zmienna niezalena jest zaznaczana na osi odcitych, a zmienna zalena na osi rzdnych. Na osiach naley oznaczy nazwy wielkoci mierzonych oraz ich jednostki. Podziałka powinna by tak dobrana, aby 1 działka odpowiadała całkowitej wielokrotnoci liczb 1, 2, 4, 5 w jednostkach wielkoci mierzonej. W niektórych przypadkach, np. gdy skala liniowa nie zapewnia przejrzystoci lub uniemoliwia wykrelenie całej krzywej, stosuje si skal nieliniow, najczciej logarytmiczn lub pierwiastkow. Odpowiedni dobór skal na osiach umoliwia uzyskanie wykresu liniowego i najczciej pozwala take na łatwe wyznaczenie wartoci parametrów funkcji, np. jeeli funkcja eksponencjalna przedstawiona zostanie w skali liniowo-

14

logarytmicznej, to otrzyma si wykres liniowy, którego nachylenie jest proporcjonalne do współczynnika znajdujcego si w wykładniku eksponenty. Wyniki pomiarów naley nanosi na wykresie w postaci krzyyków, kółek, kwadracików itp. Na podstawie pomiarów naley wykreli krzyw gładk, która nie musi przechodzi przez wszystkie punkty pomiarowe, ale naley j tak poprowadzi, aby suma kwadratów odchyłek punktów pomiarowych od krzywej osignła minimum. Punkty pomiarowe powinny by tak dobrane, aby dokładnie odzwierciedlały przebieg krzywej w zakresie gwałtownych zmian jej przebiegu oraz w okolicach ekstremów, miejsc zerowych i punktów przegicia. Poszczególne krzywe powinny by opisane w przejrzysty sposób za pomoc symboli. Na wykresie naley poda informacje, jakie parametry były stałe w czasie pomiaru.

3. Metoda analityczna – przedstawienie zalenoci analitycznej opisujcej zaleno funkcyjn midzy mierzonymi wielkociami. Metoda ta ma wiele zalet, np. pozwala na zwizło zapisu i łatwo przeprowadzania operacji matematycznych, np. róniczkowanie, całkowanie, sumowanie itd. Dodatkowo analityczna posta wyniku eksperymentu ułatwia porównanie go z rozwaaniami teoretycznymi. Na podstawie kształtu wykresu, obrazujcego wynik pomiarów dobierana jest posta zalenoci funkcyjnej, a nastpnie metodami optymalizacyjnymi dobierane s parametry tej funkcji w taki sposób, aby uzyska jak najmniejsz odległo wyznaczonych punktów pomiarowych i krzywej aproksymujcej te wyniki. W celu wyznaczenia współczynników funkcji stosuje si róne metody optymalizacyjne. Najpopularniejsz z nich jest metoda najmniejszych kwadratów. W metodzie tej

15

parametry funkcji aproksymujcej wyniki pomiarów s dobierane tak, aby uzyska minimum sumy kwadratów odchyłek wartoci zmierzonych yi(xi) od odpowiadajcych im wartoci aproksymowanych f(xi). Dla n pomiarów zaleno ta ma nastpujc ogóln posta

( )( ) min1

2 =−= =

n

iii xfyS (65)

W ogólnoci funkcja f(x) opisana jest za pomoc m parametrów a, b, c, itd. W celu wyznaczenia wartoci tych parametrów naley obliczy pochodne czstkowe zmiennej S wzgldem wszystkich parametrów funkcji f(x) i przyrówna otrzymane pochodne do zera. W ten sposób otrzyma si układ m równa z m niewiadomymi posiadajcy jednoznaczne rozwizanie. Przykładowo, dla aproksymacji pomiarów za pomoc funkcji liniowej o postaci y = a.x + b, otrzyma si układ równa o postaci

( )[ ]

( )

=−⋅−

=⋅−⋅−

=

=

0

0

1

1n

iii

n

iiii

bxay

xbxay

(66)

który ma nastpujce rozwizanie

16

( )

⋅−=

−⋅

⋅−⋅⋅

=

= =

= =

= ==

n

xay

b

xxn

xyxyn

a

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

iii

1 1

1

2

1

2

1 11

(67)

17

3. Wzorce jednostek wybranych wielkoci elektrycznych

Wzorzec to urzdzenie pomiarowe do odtwarzania jednostki miary wielkoci fizycznej lub odtwarzajce, ze znan dokładnoci, okrelon warto danej wielkoci. W zalenoci od roli, jak pełni w procesach pomiarowych i dokładnoci stosuje si róne wzorce. Tworz one piramid hierarchiczn: 1. wzorce pierwotne – etalony; słu do przekazywania jednostki miary innym wzorcom: a) wzorzec podstawowy (pastwowy), b) wzorzec-wiadek, c) wzorce odniesienia. 2. wzorce kontrolne, 3. wzorce robocze, 4. certyfikowane urzdzenia pomiarowe.

Im dalej od wierzchołka tej piramidy, tym mniejsza dokładno wzorca i wiksza liczba wzorców nalecych do okrelonej grupy.

Wzorzec powinien posiada nastpujce cechy: a) niezmienno w czasie, b) łatwa porównywalno, c) łatwo odtwarzania, d) łatwo stosowania, e) wysoka dokładno,

18

Parametrami wzorca s: a) nominalna miara wzorca, b) niedokładno miary wzorca, c) okres zachowania niedokładnoci miary wzorca, d) warunki, w których miara i dokładno s zachowane, np. zakres dopuszczalnych temperatur i wilgotnoci. W powszechnie stosowanym midzynarodowym układzie jednostek SI wystpuj jednostki podstawowe, uzupełniajce i pochodne. Jednostkami podstawowymi s:

1. metr, 2. kilogram, 3. sekunda, 4. amper, 5. kelwin, 6. kandela, 7. mol

Jednostki uzupełniajce:

1. radian, 2. steradian.

19

Wzorce mog mie rón form, np.

1. atomowy wzorzec czasu, 2. naturalny wzorzec temperatury, 3. sztuczne wzorce masy, wiatłoci, prdu, 4. wzorce porednie, np. wzorzec prdu zbudowany przy wykorzystaniu wzorcowego ródła

napiciowego i rezystora wzorcowego – tzw. wzorzec liczalny. Przykłady wzorców:

1. wzorcowe ródło prdu – waga prdowa Zawiera dwie cewki umieszczone koncentrycznie jedna w drugiej i połczone szeregowo. Przez te cewki płynie prd o wzorcowej wartoci I, który powoduje ruch cewki wewntrznej. Cewka ta jest zamocowana do ramienia precyzyjnej wagi. Do drugiego ramienia zamontowana jest szalka, na której umieszczane s odwaniki o masie m. W stanie równowagi wagi spełnione jest równanie

cgm

I⋅

=

gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie, a współczynnik kształtu cewek zaleny od ich rozmiarów geometrycznych. Waga prdowa umoliwia odtworzenie jednostki prdu z dokładnoci do 6 ppm, czyli 6x10-6.

20

2. Wzorcowe ródło napicia stałego – ogniwo Westona Jest to ogniwo elektrochemiczne elektrody wykonane s z rtci oraz mieszaniny kadmu z rtci. Elektrolitem jest wodny roztwór siarczanu kadmu. Warto nominalna napicia na tym ródle w temperaturze 20oC wynosi od 1,01854 V do 1,01873 V. Ze ródła tego mona pobiera prd o wartoci nieprzekraczajcej 1 µA. 3. Wzorce rezystancji – rezystory wzorcowe wykonane z drutu oporowego wykonanego z

manganinu lub nikrothalu. Charakteryzuj si one mał wartoci temperaturowego współczynnika rezystywnoci, który nie przekracza wartoci 2x10-5 K-1. Stosuje si 9 klas dokładnoci rezystorów wzorcowych oznaczanych symbolami: 0,0005, 0,001, 0,002, 0,005, 0,01, 0,02, 0,05, 0,1, 0,2. Symbole te oznaczaj tolerancj wykonania tych rezystorów.

Stosuje si wzorce rezystancji o ustalonej wartoci rezystancji i wzorce nastawne – najczciej rezystory dekadowe.

21

4.Dokładno pomiaru. Definicje błdów, metody obliczania błdów

Kady pomiar obarczony jest błdem, który wynika z niedokładnoci metod i przyrzdów pomiarowych, wpływów otoczenia (zakłóce) oraz błdów operatora.

Nie mona dokładnie wyznaczy wartoci mierzonej wielkoci, ale moliwe jest okrelenie dokładnoci pomiaru na podstawie znajomoci ródeł i przyczyn błdów. Informacja o przyczynach i ródłach błdów pozwala take na minimalizacj ich wpływu na wynik pomiaru oraz na opracowanie nowych, doskonalszych metod pomiarowych.

Wartoci błdów mog by przedstawione w postaci ich wartoci bezwzgldnej lub wzgldnej.

Błd bezwzgldny ε jest zdefiniowany jako rónica midzy wartoci zmierzon X a wartoci rzeczywist Xrz wielkoci mierzonej rzXX −=ε (2)

Poniewa przy pomiarze wielkoci fizycznych nie wiadomo jaki jest znak błdu ε, wic zawsze podaje si, e błd bezwzgldny wynosi ±ε. Jednak błd bezwzgldny nie jest dobr miar dokładnoci poniewa nie daje informacji o tym, jak cz wartoci mierzonej wielkosci stanowi błd. Przykładowo pomiar napicia 1 kV wykonany z dokładnoci do 10 mV jest w pełni wiarygodny, natomiast pomiar napicia o wartoci 1 mV z tak sam dokładnoci bezwzgldn jest praktycznie bezuyteczny. Dlatego czsto okrela si dokładno pomiaru przez podanie wartoci błdu wzgldnego.

22

Definuje si trzy rodzaje błdów wzgldnych: a) Rzeczywisty błd wzgldny

rz

rz Xεδ ±= (3)

b) Nominalny błd wzgldny

Xnomεδ ±= (4)

c) Zakresowy błd wzgldny

zakr

z Xεδ ±= (5)

Czsto, szczególnie w miernikach starszego typu, podaje si informacje o klasie przyrzdu zdefiniowanej jako

%100max ⋅=zakrX

klε

(6)

gdzie εmax oznacza maksymaln warto błdu bezwzgldnego, natomiast Xzakr – maksymaln warto mierzaln danym przyrzdem pomiarowym.

23

Ze wzgldu na czynniki powodujce błdy, dzieli si je na trzy grupy: a) Błdy systematyczne, które mona cile okreli, gdy wpływaj na kady pomiar w ten

sam sposób, np. dodaj si do wartoci mierzonej jako stała warto lub jako sygnał okresowy, np. sinusoidalny. Przy czym zale one od czasu, warunków pomiaru, uytych przyrzdów pomiarowych itd. A zatem mona tak dobra warunki pomiaru, aby błdy systematyczne były pomijalnie małe.

b) Błdy przypadkowe, spowodowane działaniem czynników trudno uchwytnych, zmieniaj sw warto chaotycznie i nie mona opisa ich wpływu na wynik pomiaru zalenoci analityczn. Przy pojedynczym pomiarze s one niemierzalne. Moliwa jest tylko analiza statystyczna tych błdów, gdy wykonano seri pomiarów. Prawdopodobiestwo popełnienia błdu jest malejc funkcj wartoci bezwzgldnej błdu.

c) Błdy grube, które wynikaj z pomyłki badacza, np. z nieprawidłowego odczytu zakresu pomiarowego.

24

Błdy systematyczne mona podzieli na: a) Błdy metody pomiarowej – wynikaj z niedoskonałoci wzorów i załoe

upraszczajcych, przyjtych przy opracowywaniu metody, b) Błdy przyrzdów pomiarowych – wynikaj z niedokładnoci konstrukcji przyrzdów

pomiarowych, niedokładnoci wykonania wzorca i innych trwałych wad. Pod wzgldem charakteru przebiegu, błdy systematyczne mog by stałe (nie zale od

wartoci mierzonej, ani od warunków klimatycznych), rosnce lub malejce (np. na skutek zmian napicia zasilajcego), okresowo zmienne lub mog si zmienia według innego znanego przepisu.

25

Przykład 1. Wyznaczy błd pomiaru prdu płyncego w obwodzie przedstawionym na rysunku, jeeli

wiadomo, e w pomiarach wykorzystano amperomierz o rezystancji wewntrznej równej RA oraz o klasie klA.

Jak wida błd systematyczny pomiaru prdu w tym obwodzie zawiera dwa składniki: a) Błd wynikajcy z dokładnoci zastosowanego przyrzdu pomiarowego, o którego wartoci

mówi klasa, b) błd wynikajcy z niezerowej wartoci rezystancji wewntrznej amperomierza.

RZ

R0

EZ

A

Rys.5. Analizowany układ pomiarowy.

26

Składnik a) błdu bezwzgldnego pomiaru wyznacza si na podstawie definicji klasy przyrzdu z zalenoci

100zakr

klAIklA⋅±=ε (7)

gdzie Izakr jest wartoci zakresu prdowego amperomierza, na którym wykonywany jest pomiar.

Z kolei w celu okrelenia wartoci błdu pomiaru wynikajcego z niezerowej wartoci rezystancji wewntrznej amperomierza, naley okreli rónic midzy wartoci prdu, która płynie w analizowanym obwodzie z amperomierzem i bez niego. Prd I1 płyncy w obwodzie bez amperomierza dany jest zalenoci

0

1 RRE

IZ

Z+

= (8)

natomiast prd I2 płyncy w obwodzie z amperomierzem dany jest wzorem

AZ

ZRRR

EI

++=

02 (9)

Zatem błd bezwzgldny pomiaru wynikajcy z niezerowej wartoci rezystancji wewntrznej amperomierza jest rónic prdów I1 oraz I2

++−

+⋅=>

AZZZR RRRRR

EA

000

11ε (10)

27

Jak wida błd ten maleje do zera, gdy rezystancja wewntrzna amperomierza dy do zera. A zatem wypadkowy maksymalny błd wzgldny pomiaru prdu dany jest wzorem

++

⋅⋅

±=02

max 100 RRR

IIklA

Z

Azakrδ (11)

Błdy przyrzdów pomiarowych s minimalizowane przez dokładne skalowanie i zabezpieczenie ich przed szkodliwymi wpływami rodowiska, np. wysok temperatur lub du wilgotnoci. Przy prawidłowym doborze przyrzdów pomiarowych, najistotniejszym składnikiem błdu systematycznego jest błd metody. Warto tego błdu mona wyznaczy, jeeli znana jest analityczna zaleno wielkoci badanej od wielkoci, które s mierzone za pomoc przyrzdów pomiarowych. Ogólnie zaleno ta opisana jest funkcj wielu zmiennych

( )nXXXfY ,...,, 21= (12) gdzie X1, X2, ..., Xn s wielkociami, których wartoci trzeba zmierzy, aby wyznaczy warto wielkoci Y.

Poniewa kada wielko Xi, gdzie i∈1;n , wyznaczona jest z błdem bezwzgldnym dXi, wic zaleno (12) mona przepisa w postaci ( )nn dXXdXXdXXfdYY ±±±=± ,...,, 2211 (13)

Aby wyznaczy warto błdu bezwzgldnego dY naley rozłoy praw stron zalenoci (13) w szereg Taylora i obci go po wyrazie liniowym. Wówczas otrzyma si zaleno

28

nn

dXXf

dXXf

dXXf

dY ⋅∂∂±±⋅

∂∂±⋅

∂∂±= ...2

21

1 (14)

gdzie dla uproszczenia zapisu przez f oznaczono f(X1, X2, ..., Xn). Poniewa błdy czstkowe maj podwójny znak i z góry nie wiadomo, który z nich naley

uwzgldni, wic w praktyce wyznacza si maksymalny błd bezwgldny εεεεmax z zalenoci

⋅

∂∂++⋅

∂∂+⋅

∂∂±= n

ndX

Xf

dXXf

dXXf

...22

11

maxε (15)

Jak wida błd bezwzgldny funkcji n zmiennych niezalenych równa si sumie wartoci bezwzgldnych wszystkich róniczek czstkowych tej funkcji. Przedstawiona metoda nosi nazw metody róniczki zupełnej.

Dla okrelenia wartoci błdu wzgldnego naley podzieli wyznaczon warto błdu bezwzgldnego przez warto zmierzon.

29

Jak wspomniano wczeniej, przy pomiarach mog wystpi take błdy przypadkowe, których przyczyny s trudne do ujcia i dlatego nie mona poda dla pojedynczego pomiaru wzoru opisujcego ten błd. W celu oceny wpływu błdu przypadkowego na wynik pomiaru, naley posługiwa si metodami statystycznymi. A zatem konieczne jest wykonanie serii pomiarów wartoci mierzonej wielkoci.

Jeeli wykonana zostanie długa seria pomiarów wartoci mierzonej wielkoci, to wyniki tych pomiarów przedstawione w postaci histogramu bd miały posta przedstawion na rys.6.

X

n i/n

/ ∆∆ ∆∆X

Xmin Xmax

∆X1 ∆X2 ∆Xn

Rys.6. Przykładowy rozkład wyników pomiarów.

Na rysunku tym przedstawiono histogram rozkładu wyników, który obrazuje, jakie jest prawdopodobiestwo zdarzenia, e w wyniku pomiaru uzyskana zostanie warto leca w

30

danym przedziale o szerokoci ∆X. Jeeli liczba pomiarów jest dostatecznie dua, a długo przedziału ∆X dy do zera, wówczas otrzymuje si cigł krzyw rozkładu wyników pomiarów. Pole znajdujce si pod czci krzywej, odpowiadajc przedziałowi ∆Xi jest równe prawdopodobiestwu przyjcia przez przypadkowy wynik pomiaru wartoci z tego przedziału. Z dowiadcze oraz z rachunku prawdopodobiestwa wynika, e pole histogramu jest równe 1, a rozkład wyników pomiarów opisany jest funkcj

( ) ( )

−⋅

⋅⋅=

⋅

−22

2exp

2

1σπσrXXXp (16)

Rozkład ten, nazywany jest rozkładem Gaussa lub normalnym, a o przebiegu wykresu tego rozkładu, pokazanego na rys.7, decyduj dwa parametry: a) warto rednia Xr b) błd redni kwadratowy σσσσ

Jak wida, maksimum o wartoci ( ) 12

−⋅⋅ πσ wystpuje przy wartoci redniej, która w

przypadku braku błdów systematycznych odpowiada wartoci rzeczywistej. Z kolei błd redni kwadratowy charakteryzuje stopie rozproszenia wyników pomiarów i moe by miar dokładnoci metody pomiarowej.

31

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 2 4 6 8 10X

p(x)

σ = 1

σ = 0,5

σ = 2

Xr = 5

Rys.7. Przykładowe wykresy normalnego rozkładu prawdopodobiestwa dla rónych wartoci parametru σ.

Prawdopodobiestwo, e wynik pomiaru bdzie zawarty w przedziale od X1 do X2 mona wyznaczy jako powierzchni zawart pod krzyw p(X) w tym przedziale, tzn.

( ) ( ) απσ σ

=⋅

−⋅

⋅⋅=<< ⋅

− dXXXXPX

X

rXX2

122

2

21 exp2

1 (17)

Przedział od X1 do X2 jest nazywany przedziałem ufnoci, a prawdopodobiestwo α, e wynik pomiaru znajduje si w tym przedziale to poziom ufnoci. Granice przedziału ufnoci s

32

typowo umieszczone symetrycznie wzgldem wartoci redniej, a jego szeroko okrelana jest jako wielokrotno błdu redniego kwadratowego σ. ( ) ασσ αα =⋅+<<⋅− tXXtXP

rr (18) gdzie tα jest współczynnikiem zalenym od poziomu ufnoci.

Szeroko przedziału ufnoci tα.σ oraz poziom ufnoci charakteryzuj przypadkowy błd

pomiaru. Dla rozkładu normalnego zaleno tych parametrów zestawiono w tabeli 1. Tabela 1.

tα α 0,5 0,38 0,7 0,51 1 0,683

1,64 0,9 2 0,954 3 0,997

3,5 0,9995 4 0,99993

Jak wida im wszy przedział ufnoci, tym mniejszy odpowiadajcy mu poziom ufnoci. Czsto, w praktyce pomiarowej błd przypadkowy odpowiadajcy przedziałowi ufnoci o tα

.=3.σσσσ jest wykorzystywany do charakteryzowania dokładnoci pomiaru i nazywany jest błdem granicznym.

33

Przedstawione rozwaania dotycz sytuacji wyidealizowanej, gdy badacz dysponuje bardzo du iloci wyników pomiarów. W praktyce, głównie ze wzgldów ekonomicznych, badacz ma do dyspozycji skoczon liczb wyników pomiarów.

Jak wynika ze statystyki matematycznej, najlepszym przyblieniem rzeczywistej wartoci wielkoci mierzonej jest rednia arytmetyczna wyników pomiarów

n

X

nXXX

X

n

ii

nr

==

+++= 121 ...

(19)

gdzie n jest iloci wykonanych pomiarów wartoci wielkoci X. Gdy ilo pomiarów dy do nieskoczonoci, to warto rednia dy do wartoci rzeczywistej. Błd redni kwadratowy σn opisany jest wzorem

( )

11

2

−

−==

n

XXn

iri

nσ (20)

Parametr σn jest miar błdu, popełnianego przy wykorzystaniu dowolnego pojedynczego wyniku pomiaru. W celu okrelenia, jaki błd popełnia badacz przyjmujcy warto redni z n pomiarów za warto rzeczywist, wykorzystuje si błd redni kwadratowy z wartoci redniej

nn

X rσσ = (21)

34

Jak wida rozwaany błd maleje pierwiastkowo wraz ze wzrostem iloci pomiarów. Przy czym zjawisko to jest najsilniej obserwowalne dla małych n. W praktyce, głównie ze wzgldów ekonomicznych wykonuje si zaledwie kilka pomiarów. Dla tak małej iloci pomiarów, stosowanie rozkładu normalnego powoduje zanienie szerokoci przedziału ufnoci przy załoonym poziomie ufnoci. Dlatego przy małej iloci pomiarów zalecane jest stosowanie rozkładu Studenta, opisanego zalenoci

( )

22

11

21

1

2)(

n

nt

nn

n

tp−

−+⋅

−Γ⋅−⋅

Γ=

π (22)

gdzie

rX

rzr XXt

σ−= (23)

natomiast Γ oznacza funkcj gamma Eulera o postaci

( ) ∞

−− ⋅⋅=0

1 dkkex xkΓ dla x > 0 (24)

Jak wida w przypadku rozkładu Studenta, przedział ufnoci zaley nie tylko od załoonego poziomu ufnoci, lecz równie od iloci wykonanych pomiarów. Wartoci parametru tα odpowiadajce wybranym wartociom poziomu ufnoci dla rónych iloci wykonanych pomiarów przedstawiono w tabeli 2.

35

Tabela 2 n α 0,7 0,9 0,95 0,99

2 1,96 6,31 12,70 63,65 3 1,85 2,92 4,30 9,92 4 1,35 2,35 3,18 5,84 5 1,19 2,13 2,77 4,60 6 1,15 2,01 2,57 4,03 7 1,13 1,94 2,44 3,70 8 1,11 1,89 2,36 3,49 9 1,10 1,86 2,30 3,35 10 1,10 1,83 2,26 3,25 ∝ 1,03 1,64 1,96 2,57

Warto zauway, e dla liczby pomiarów dcej do nieskoczonoci, rozkład Studenta przechodzi w rozkład normalny.

36

Przykład 2

Wykonano pi pomiarów napicia za pomoc woltomierza. Uzyskano nastpujce wyniki: 12,0 V; 12,1 V; 11,9 V, 12,2 V, 12,0 V. Naley obliczy przedział ufnoci dla poziomu ufnoci 0,95. Na podstawie podanych wyej wzorów otrzymuje si: Warto redni

V,,,,

n

X

X

n

ii

r 04125

12212911112121 =++++===

(25)

Błd redni kwadratowy

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )V,

,,,,,,,,

n

XXn

iri

n

114015

041212041221204129110412112041212

122222

1

2

=−

−+−+−+−+−=

=−

−==σ

(26)

Błd redni kwadratowy wartoci redniej

37

V,V,

nn

X r 05105

1140 === σσ (27)

Z tabeli 2 dla n = 5 i α = 0,95 odczytuje si warto tα = 2,77 (rozkład Studenta) lub tα = 1,96 (rozkład normalny). A zatem iloczyn tα

.σ wynosi 0,141 V (rozkład Studenta) lub 0,1 V (rozkład normalny). Otrzymany wynik oznacza, e z prawdopodobiestwem równym 0,95 rzeczywista warto mierzonego napicia wynosi 12,04 V ± 0,141 V (rozkład Studenta) lub 12,04 V ± 0,1 V (rozkład normalny). Otrzymany wynik potwierdza tez, e wykorzystujc rozkład normalny do oceny dokładnoci pomiaru, uzyska si wynik zbyt optymistyczny, tzn. wszy przedział ufnoci (mniejsz niepewno pomiaru).

Przedstawione powyej rozwaania dotyczyły przypadku, gdy pomiar wykonywany był metod bezporedni. Jednak w praktyce, czsto wykorzystuje si metody porednie, np. pomiar rezystancji jako ilorazu napicia i prdu. W takim przypadku mona ogólnie napisa, e wielko Z jest funkcj wielkoci X oraz Y. A zatem warto rednia wielkoci Z jest funkcj wartoci rednich Xr oraz Yr, które wyliczane s ze wzoru (19) odpowiadajcego pomiarowi bezporedniemu. Błd redni kwadratowy wyznaczenia wartoci wielkoci Z dany jest zalenoci

( ) ( ) 2

22

2

∂∂⋅+

∂∂⋅=

r

rrY

r

rrXZ Y

Y,XfX

Y,Xf σσσ (28)

gdzie σX oraz σY oznaczaj błdy rednie kwadratowe wyznaczenia wielkoci X oraz Y.

38

Błd redni kwadratowy wyznaczenia wartoci redniej σZr odpowiadajcy poziomowi ufnoci α opisany jest wzorem

( ) ( ) 2

22

2

∂∂⋅+

∂∂⋅=

r

rrYsr

r

rrXsrZsr Y

Y,XfX

Y,Xf σσσ (29)

Przykład 3.

Wyznaczy rzeczywist warto mocy wydzielanej na rezystorze R0, jeeli pomiar wykonany został dziewiciokrotnie w układzie pokazanym na rys.8 za pomoc woltomierza o klasie 1 i rezystancji wewntrznej RV = 6.105 Ω ± 0,1 % na zakresie 30 V oraz amperomierza o klasie 1, rezystancji wewntrznej RA = 4 Ω ± 1 % i zakresie 150 mA. Wyznaczy błd systematyczny i przypadkowy dla poziomu ufnoci α = 0,99. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli 3.

39

EZ

RA

R0

RV

A

V

Rys.8. Analizowany układ pomiarowy.

Tabela 3 i UV [V] IA [mA] 1 20,1 98 2 20,0 97 3 20,3 101 4 19,8 103 5 19,9 105 6 20,2 99 7 19,9 98 8 19,8 100 9 20 99

40

Z analizy układu pomiarowego wynika, e moc wydzielana na rezystorze dana jest wzorem

AAAV RIIUP ⋅−⋅= 20 (30)

Z drugiej strony, moc ta jest sum wartoci redniej mocy P0r oraz błedów przypadkowego i systematycznego.

pPo

SPorPP εε ±±= 00 (31)

Rozwizanie zadanie rozpoczniemy od wyznaczenia wartoci rednich prdu i napicia, które dane s wzorami

][20911 9

11VUU

nU

iVi

n

iVir =⋅=⋅=

== (32)

][100911 9

11mAII

nI

iAi

n

iAir =⋅=⋅=

== (33)

Warto rednia mocy dana jest wzorem

]W[,RIIUP AAsrAsrVsrr 96120 =⋅−⋅= (34)

Błd redni kwadratowy wyznaczenia napicia wynosi

( )

( )

( )

( ) ]V[,]V[,

UU

nn

UUi

VsrVi

n

iVsrVi

Usr 057089

2401991

9

1

2

1

2

=⋅

=−⋅

−=

−⋅

−=

==σ (35)

41

Błd redni kwadratowy wyznaczenia prdu wynosi

( )

( )

( )

( ) ]mA[,]mA[

II

nn

IIi

AsrAi

n

iAsrAi

Isr 866089

541991

9

1

2

1

2

=⋅

=−⋅

−=

−⋅

−=

==σ (36)

Dla rozkładu Studenta przy n = 9 oraz α = 0,99 otrzymuje si tα = 3,35

[ ]

( ) ( ) pPo

ArrIsrAUsrr

rIsr

r

rUsrPosr

]mW[,,,,,

RIUItIP

UP

t

ε

σσσσσ αα

==⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅=

∂∂

⋅+

∂∂

⋅⋅=

885821988601000570353

2

22

22222

022

02

(37)

Z kolei, błd systematyczny pomiaru wynika z klasy woltomierza i amperomierza oraz z niezerowej rezystancji wewntrznej amperomierza, a zatem stosujc metod róniczki zupełnej uzyskuje si nastpujcy opis błdu systematycznego

( ) ( ) ( ) RAAIAAAVUVARAA

IAA

UvV

sPo IRIUI

RP

IP

UP εεεεεεε ⋅+⋅⋅⋅−+⋅±=

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

±= 2000 2 (38)

W powyszym wzorze naley przyj wartoci rednie zmierzonego napicia i prdu. Błdy bezwzgldne wyznaczenia napicia, prdu i rezystancji wewntrznej amperomierza wynosz odpowiednio

VV

Uv 3,0%10030%1 =⋅=ε (39)

42

mAmA

IA 5,1%100

150%1 =⋅=ε (40)

Ω=Ω⋅= 04,0%1004%1

RAε (41)

A zatem, po podstawieniu zalenoci (39-41) do wzoru (38) i podstawieniu wartoci liczbowych warto błdu systematycznego pomiaru mocy wynosi

( ) ][2,5904,01005,141002203,0100 22 mWmAmAmAVVmAsPo ±=Ω∗+⋅Ω⋅⋅−+⋅±=ε (42)

Zatem z prawdopodobiestwem równym 0,99, warto mocy wydzielanej na rezystorze wynosi P0 = 1960 mW ± 59,2 mW ± 58,88 mW (43)

Systematyczny błd wzgldny wynosi 3,02%, natomiast przypadkowy błd wzgldny 3%.

Przykład 4

W układzie jak na rys.9 wykonano pomiar napicia i prdu płyncego przez rezystor za pomoc amperomierza o klasie 1 i rezystancji wewntrznej 0,2 Ω oraz woltomierza o klasie 1 i rezystancji wewntrznej 100 kΩ.

43

AI

Ro Vo

IV

VU

A

Ro

IV

VU

b)a)

Rys.9. Schematy analizowanych układów pomiarowych

Na podstawie wykonanych pomiarów wyznaczono warto rezystancji RO. Wyznaczy błd systematyczny pomiaru RO w obu układach, jeeli uzyskano nastpujce wyniki pomiarów: 1) AI A 1= , VUV 10= , AI zakr 5,1. = , VVzakr 15. = 2) AI A µ8= , VUV 800= , AI zakr µ10. = , kVVzakr 1. = Rozwizanie:

W układzie z rys. 6a warto rzeczywista Ro wynosi:

VA

Vorz II

UR

−= (44)

Warto zmierzona

44

A

Voz I

UR = (45)

Błd metody dany jest wzorem ( )

( ) ( ) AVA

V

AVA

VAAV

A

V

VA

Vozorzm III

UIII

IIIUI

UII

URR

⋅−=

⋅−+−⋅=−

−=−=ε (46)

Podstawiajc

V

VV R

UI =

(47)

uzyskuje si ostatecznie

( )VVAA

V

V

VAA

V

V

m URIIU

RU

II

RU

−⋅=

−

=2

2

ε (48)

Oprócz błdu metody wystpuje błd wynikajcy z dokładnoci zastosowanych przyrzdów pomiarowych, który naley wyznaczy metod róniczki zupełnej wzoru (45)

A

Aoz

A

VA

A

V

A

VA

A

ozV

V

ozm I

IR

IU

II

UIU

IIR

UUR ∆∆∆∆∆

δδ∆

δδε ⋅−=⋅−=⋅+⋅=

2 (49)

Błdy bezwgldne pomiaru woltomierzem i amperomierzem dane s wzorami

45

100. VklU

U zakrV

⋅=∆ (50)

100. AklI

I zakrA

⋅=∆ (51)

Ostatecznie całkowity błd pomiaru rezystancji dany jest wzorem

( )

⋅⋅+⋅+

−±=+=

100100.

2.

2 AklII

UI

VklUURII

U zakr

A

V

A

zakr

VVAA

Vmp εεε (52)

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si 1) Dla zestawu 1) Roz = 10 Ω oraz

( ) Ω±=++±=

⋅⋅+

⋅⋅+

−⋅⋅±= − 301,015,015,010

10015,1

110

1100115

10101001110 3

23

2

ε (53)

Zatem błd wzgldny pomiaru wynosi

%01,3±==ozR

εδ (54)

2) Dla zestawu 2) Roz = 100 MΩ oraz

( ) Ω⋅±=⋅+±=

=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

−⋅⋅⋅⋅±= −−−−−

868

666566

2

10025,1105,210

100108108800

10810011000

80010108108800ε

(55)

Zatem błd wzgldny pomiaru wynosi

46

%5,102±==ozR

εδ (56)

W układzie z rys.6b warto rzeczywista rezystancji R0 wynosi

A

AAVorz I

RIUR

⋅−= (57)

natomiast warto zmierzona

A

Voz I

UR = (58)

Błd metody

AA

V

A

AAVozorzm R

IU

IRIU

RR −=−⋅−=−=ε (59)

Błd przyrzdów pomiarowych jest taki sam jak w układzie z punktu b), a zatem całkowity błd pomiaru opisany jest wzorem

⋅⋅+⋅+±=+=

100100.

2. AklI

IU

IVklU

R zakr

A

V

A

zakrAmp εεε (60)

Po podstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si: 1) dla zestawu 1) Roz = 10 Ω oraz

Ω±=++±=

⋅⋅+

⋅⋅+±= 5,015,015,02,0

10015,1

110

1100115

2,0 2ε (61)

47

Zatem błd wzgldny pomiaru wynosi

%5±==ozR

εδ (62)

2) dla zestawu 2) Roz = 100 MΩ oraz

Ωε 66666

1052105220100108108

800

108100

1100020 ⋅±=⋅+±=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+±= −−− ,,,, (63)

Zatem błd wzgldny pomiaru wynosi

%5,2±==ozR

εδ (64)

48

Niepewno pomiaru O ile błd pomiaru odnosi si do konkretnego wyniku pomiaru, to rozrzut wyników

pomiarów uzyskanych w jednej serii pomiarów wykonanych w powtarzalnych warunkach jest

charakteryzowany przez niepewno pomiarów wynikajc z losowoci zjawisk

zakłócajcych pomiar. Czasami w literaturze podaje si, e niepewno pomiaru jest

odpowiednikiem granicznego błdu pomiaru.

Niedokładno pomiaru charakteryzuje si przez podanie niepewnoci standardowej,

niepewnoci łcznej i niepewnoci rozszerzonej.

Niepewno standardowa u równa jest odchyleniu standardowemu wyników pomiarów

S = σn.

Niepewno złoona (łczna) uτ to niepewno standardowa wyniku pomiaru wykonanego

metod poredni. Jest ona dana wzorem

=

⋅

∂∂=

n

ii

i

uXf

u1

2

2

τ (B23)

49

gdzie f jest funkcj pomiarow, Xi oznacza wielko mierzon metod bezporedni,

natomiast ui – niepewno standardow pomiaru wielkoci Xi.

Z kolei, niepewno rozszerzona U okrela szeroko przedziału wartoci mierzonej

wielkoci, w którym z prawdopodobiestwem równym poziomowi ufnoci znajduje si

warto prawdziwa mierzonej wielkoci

( )yukU p τ⋅= (B24)

gdzie warto współczynnika rozszerzenia kp jest równa wartoci uprzednio wprowadzonego

współczynnika tα, któr naley odczyta z tabeli 1, gdy n > 30 lub z tabeli 2, gdy n<30.

Niepewno pomiaru moe by wyznaczona metodami statystycznymi (niepewno typu A)

lub innymi metodami (niepewno typu B). Wystpujca w analizie niepewnoci wielko

nazywana estymat wartoci prawdziwej równa jest sumie wartoci redniej Xr wyników

pomiarów i wartoci wszystkich poprawek, tzn. błdów systematycznych.

50

Niepewno typu A okrela si za pomoc metod statystycznych. Najpierw ze wzoru (B13)

wyliczana jest warto rednia mierzonej wielkoci Xr. Nastpnie wyznacza si niepewno

standardow typu A ze wzoru

( )( ) nn

XXu

n

iri

A ⋅−

−=

=

11

2

(B25)

Niepewno rozszerzon U wylicza si ze wzoru (B24) przy załoonym poziomie ufnoci,

przy czym uτ = uA. Jeeli rozkład wyników pomiarów nie jest opisany ani przez rozkład

normalny, ani przez rozkład t-Studenta naley przyj arbitralnie warto kp = 2 dla poziomu

ufnoci 0,95 lub kp = 3 dla poziomu ufnoci 0,99.

Z kolei, niepewno typu B jest typowo stosowana przy ocenie niepewnoci wynikajcej z

niedoskonałoci aparatury pomiarowej. Wówczas wykorzystuje si graniczne wartoci błdów

εg, charakteryzowane przez klas przyrzdu, a rozkład prawdopodobiestwa popełnienia błdu

ma posta rozkładu równomiernego lub trójktnego. W tym przypadku niepewno

standardowa typu B dana jest wzorem

51

=otrójkatnegrozkladudla

egorównomiernrozkladudlau

g

g

B

6

3ε

ε

(B26)

Niepewno rozszerzona U jest w tym przypadku równa iloczynowi poziomu ufnoci i błdu

granicznego εg.

Jak wspomniano, jeeli przy rozwaanym pomiarze wystpuje tylko niepewno typu A, to

niepewno łczna uτ jest równa niepewnoci standardowej uA, natomiast gdy w pomiarze

wystpuje niepewno typu A oraz niepewno typu B, to niepewno łczna dana jest

wzorem

22BA uuu +=τ (B27)

52

Przykład

Wykonano omiu pomiarów prdu za pomoc amperomierza o klasie 2 i zakresie 2 A.

Uzyskano nastpujce wyniki: 0,97 A, 1 A, 1,01 A, 1,03 A, 1,04 A, 0,99 A, 0,98 A, 1,02 A.

Naley obliczy niepewno pomiaru dla poziomu ufnoci α = 0,95. Na podstawie podanych

wyej wzorów otrzymuje si:

-warto redni

Vn

XX

n

ii

r 005,18

02,198,099,004,103,101,1197,01 =+++++++==

= (B28)

Poniewa na niepewno pomiaru wpływa zarówno błd przypadkowy o rozkładzie

t-Studenta, charakteryzowany przez niepewno typu A, jak równie błd systematyczny

amperomierza, charakteryzowany przez niepewno typu B, naley po kolei wyznaczy

wartoci niepewnoci standardowych uA oraz uB. Niepewno standardowa typu A dana jest

wzorem

53

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) mAnn

XXu

n

iri

A 66,8818

02,1005,198,0005,199,0005,104,1005,1

03,1005,101,1005,11005,197,0005,1

1

2222

2222

1

2

=⋅−

−+−+−+−+

−+−+−+−

=⋅−

−=

= (B29)

Z kolei, niepewno typu B przy równomiernym rozkładzie wartoci błdów amperomierza

dana jest wzorem

mAIkl

uB 09,233100

22

3100max =

⋅⋅=

⋅⋅

= (B30)

Niepewno łczna wyraona jest wzorem

( ) ( ) mAuuu BA 66,2409,2366,8 2222 =+=+=τ (B31)

Poniewa niepewno typu B jest znacznie wiksza od niepewnoci typu A, wic przy wyznaczaniu niepewnoci rozszerzonej wykorzystuje si warto współczynnika 3⋅= αpk . A zatem niepewno rozszerzona wynosi

mAmAukU p 58,4066,24395,0 =⋅⋅=⋅= τ (B32)

Z przeprowadzonych oblicze wynika, e z prawdopodobiestwem równym 0,95 prawdziwa warto prdu wynosi 1,005 A±40,58 mA.

54

Procedura wyznaczania niepewnoci pomiaru składa si z nastpujcych kroków: 1. Ustalenie zwizku funkcjonalnego midzy wielkoci mierzon Y a wielkociami

pomocniczymi (mierzonymi bezporednio) Xj. Moe by to funkcja analityczna okrelona teoretycznie albo funkcja wyznaczona eksperymentalnie lub zaleno rozwizywana numerycznie.

2. Wyznaczenie wartoci oczekiwanych wielkoci pomocniczych i okrelenie oraz wniesienie poprawek o charakterze systematycznym do wartoci tych wielkoci.

3. Wyznaczenie i zestawienie niepewnoci standardowych wyznaczenia wartoci wielkoci Xj uzyskanych przy wykorzystaniu metody A oraz B.

4. Wyznaczenie wartoci oczekiwanej wielkoci mierzonej porednio Y w oparciu o zwizek tej wielkoci z wielkociami pomocniczymi Xj.

5. Oszacowanie łcznej niepewnoci standardowej wyznaczenia wartoci wielkoci Y w oparciu o wyznaczone wartoci wariancji i kowariancji wartoci oczekiwanych wielkoci mierzonych porednio Xj.

6. Wyznaczenie niepewnoci rozszerzonej (całkowitej). Współczynnik rozszerzenia w laboratoriach pomiarowych powinien wynosi 2.

7. Jeeli liczba pomiarów, dla których stosujemy wyznaczanie niepewnoci metod A jest mniejsza od 10 lub dane stosowane w metodzie B s niepewne, to naley współczynnik rozszerzenia pomnoy przez współczynnik zaleny od rozkładu prawdopodobiestwa popełnienia błdu (wikszy od 1).

8. Poda wynik pomiaru wraz z jego niepewnoci standardow lub rozszerzon oraz komentarzem opisujcym sposób wyznaczenia tych wartoci.

55

5. Mierniki magnetoelektryczne W mierniku magnetoelektrycznym, którego

schemat mechaniczny przedstawiono na rys.10, wykorzystywane jest wzajemne oddziaływanie pól magnetycznych pochodzcych od magnesu trwałego i od mierzonego prdu płyncego przez przewodnik.

Na rys.10. symbole cyfrowe oznaczaj:

1 – magnes trwały 2 – nabiegunniki 3 – rdze 4 – cewka 5 – wskazówka 6 – sprynki zwrotne 7 – oka 8 – łoyska.

Obwód magnetyczny złoony z magnesu trwałego, nabiegunników i rdzenia wytwarza w szczelinie pole magnetyczne, którego indukcja B ma rozkład pokazany na rys.11.

Rys.10. Schemat mechaniczny miernika magnetoelektrycznego

56

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

ΘΘΘΘ

B

Θmin Θmax−π/2 π/2

Rys.11. Rozkład indukcji pola magnetycznego B w szczelinie.

Jak wiadomo z podstawowego kursu fizyki, na przewodnik o długoci l, znajdujcy si w polu magnetycznym o indukcji B prostopadle do linii sił pola magnetycznego, przez który płynie prd I działa siła o wartoci lBIF ⋅⋅= (68)

Jeeli w polu magnetycznym, zamiast odcinka przewodu, zostanie umieszczona prostoktna cewka o z zwojach i bokach majcych długoci a oraz b, gdzie bok a jest

57

prostopadły do linii sił pola magnetycznego, to przy przepływie przez cewk prdu I, bdzie na ni działa para sił F’-F’, powodujca obrót cewki o kt ϕ. Wówczas na cewk działa moment napdowy Mn opisany zalenoci

ϕcoszbaIBM n ⋅⋅⋅⋅⋅= (69) W praktycznych rozwizaniach mierników dy si do takiego ukształtowania obwodu

magnetycznego, aby uzyska zerow warto kta ϕ midzy płaszczyzn cewki a liniami sił pola magnetycznego magnesu trwałego. Wówczas moment napdowy nie zaley od kta wychylenia cewki.

Aby uzyska stabilne wskazanie miernika, naley momentowi napdowemu Mn przeciwstawi moment zwrotny Mz proporcjonalny do kta obrotu cewki. Wystpienie momentu zwrotnego o danej wartoci zapewnia zamocowanie osi cewki na sprynkach, które jednoczenie s doprowadzeniami mierzonego prdu.

Θ⋅= zz kM (70) gdzie kz jest stał, natomiast Θ – ktem obrotu cewki.

W stanie ustalonym moment napdowy jest równy momentowi zwrotnemu. A zatem kt obrotu cewki opisany jest zalenoci

ISIk

zbaBI

z⋅=⋅⋅⋅⋅=Θ (71)

gdzie SI oznacza czuło prdow miernika.

58

Jak wida w celu poprawy czułoci przyrzdu naley zastosowa cewk o duej iloci zwojów.

Mierniki magnetoelektryczne ze swej zasady działania s amperomierzami, poniewa ich wskazanie jest proporcjonalne do mierzonego prdu, kierunek wychylenia wskazówki przyrzdu zaley od kierunku przepływu prdu. Przy pomiarach prdu przemiennego, miernik wskae warto redni mierzonego prdu. Mierniki magnetoelektryczne s odporne na działanie zakłócajce innych pól magnetycznych.

Na skali miernika znajduj si nastpujce informacje: a) typ miernika - magnetoelektryczny b) rodzaj mierzonego prdu = - prd stały c) prawidłowe połoenie miernika w czasie pracy - poziome lub - pionowe d) klas przyrzdu (liczba) e) napicie próby f) rezystancj wewntrzn przyrzdu lub pobór prdu przez woltomierz lub spadek napicia na

amperomierzu Jak zaznaczono wczeniej, mierniki magnetoelektryczne s ze swej zasady działania

amperomierzami. Jednak z faktu, e posiadaj niezerow rezystancj o stałej wartoci wynika, zgodnie z prawem Ohma, e mog by one zastosowane zarówno do pomiaru prdu jak i napicia.

59

Konkretny miernik magnetoelektryczny umoliwia pomiar prdu tylko na jednym zakresie pomiarowym. Aby rozszerzy zakres mierzonych prdów do wikszych wartoci naley zastosowa rezystor połczony równolegle z amperomierzem. Przez ten rezystor, nazywany bocznikiem, płynie prd bdcy rónic midzy rozszerzon wartoci zakresow a wartoci zakresow miernika. Sposób włczenia bocznika ilustruje rys.12.

I

IB

IA RA

RB

A

Rys.12. Sposób podłczenia bocznika do amperomierza.

W przypadku podłczenia bocznika, prd I dzieli si na prd IA płyncy przez amperomierz oraz prd IB płyncy przez bocznik. Zgodnie z prawem Kirchhoffa, spadek napicia na boczniku musi by taki sam jak spadek napicia na amperomierzu

( ) BAAA RIIRI ⋅−=⋅ (72) Std wynika relacja midzy prdem całkowitym I a prdem mierzonym przez amperomierz

IA o nastpujcej postaci

60

AB

AA Im

RR

II ⋅=

+⋅= 1 (73)

A zatem chcc rozszerzy zakres pomiarowy amperomierza m razy, naley dobra warto bocznika zgodnie ze wzorem

1−=

mR

R AB (74)

W przypadku zastosowania bocznika RB do pomiaru prdu I, błd systematyczny wyznaczenia tego prdu wynika z trzech przyczyn: dokładnoci amperomierza, dokładnoci wyznaczenia rezystancji wewntrznej amperomierza oraz dokładnoci wykonania bocznika. Stosujc metod róniczki zupełnej do wzoru (73) otrzymuje si nastpujc zaleno opisujc błd bezwzgldny tego pomiaru

BB

AAA

B

AA

B

A RR

RIR

RI

IRR

I ∆⋅⋅

+∆⋅+∆⋅

+=∆

21 (75)

Std wzgldny błd pomiaru prdu I dany jest wzorem

∆+

∆⋅

++

∆=∆

B

B

A

A

BA

A

A

ARR

RR

RRR

II

II

(76)

Dobierajc bocznik do amperomierza naley uwzgldni maksymaln warto mocy PB jaka moe si w nim wydzieli. Moc ta powinna spełnia warunek

61

( ) BAB RIIP ⋅−> 2 (77)

Wykorzystujc miernik magnetoelektryczny do pomiaru napi naley stosowa dodatkowe rezystory, nazywane posobnikami, włczone szeregowo z miernikiem, w celu zminimalizowania wartoci prdu pobieranego z układu pomiarowego. Sposób włczenia posobnika ilustruje rys.13.

URP

U

UA

I RARP

A

Rys.13. Sposób podłczenia posobnika do amperomierza przy pomiarze napicia.

W rozwaanej sytuacji, napicie mierzone U jest sum spadku napicia na amperomierzu UA oraz na posobniku URP. Warto prdu płyncego przez amperomierz dana jest zalenoci

PA RRU

I+

= (78)

Na podstawie powyszej zalenoci oraz przytoczonych wczeniej zalenoci kta wychylenia wskazówki amperomierza od wartoci płyncego przez ten przyrzd prdu mona

62

okreli zaleno kta wychylenia wskazówki miernika od napicia U. Zaleno ta dana jest wzorem

USRR

US U

PAI ⋅=

+⋅=Θ (79)

gdzie SU oznacza czuło napiciow woltomierza. W celu rozszerzenia zakresu napiciowego woltomierza o rezystancji wewntrznej RV i

zakresie napiciowym UV naley szeregowo z woltomierzem włczy rezystor nazywany posobnikiem o rezystancji Rp. Jeeli zakres napiciowy woltomierza ma by rozszerzony m-krotnie, to rezystancja posobnika wyraona jest wzorem

( )1−⋅= mRR VP (79a)

63

Na rys.14 przedstawiono schemat omomierza szeregowego. Układ składa si ze ródła napicia zasilajcego o wydajnoci EZ i rezystancji wewntrznej RZ, mierzonego rezystora RX oraz amperomierza.

RA

RZ

RX

EZ

A

Rys.14. Schemat omomierza szeregowego.

Maksymalna warto prdu płyncego w układzie pomiarowym opisana jest zalenoci

AZ

ZRR

EI

+=max (80)

natomiast w przypadku włczenia w obwód badanego rezystora o rezystancji RX prd IX płyncy w układzie opisany jest zalenoci

64

XAZ

ZX RRR

EI

++=

(81)

Przepływowi prdu Imax odpowiada maksymalne wychylenie wskazówki amperomierza, natomiast wraz ze wzrostem wartoci rezystancji RX wychylenie to, proporcjonalne do wartoci prdu płyncego w obwodzie, jest coraz mniejsze. Przekształcajc powysze wzory uzyskuje si nastpujc zaleno kta wychylenia Θ wskazówki miernika od wartoci mierzonej rezystancji RX.

maxmaxmaxmax 1

1 Θ⋅

++

=Θ⋅++

+=Θ⋅=Θ

AZ

XXAZ

AZXX

RRRRRR

RRII

(82)

Jak wida zaleno powysza jest hiperboliczna. Oznacza to, e skala przyrzdu te musi by nieliniowa. Maksymalnemu wychyleniu wskazówki odpowiada zerowa warto rezystancji, rodek skali odpowiada rezystancji RX równej sumie rezystancji wewntrznej ródła zasilajcego oraz amperomierza, natomiast zerowe wychylenie odpowiada nieskoczenie duej wartoci rezystancji. Z faktu, e skala przyrzdu pomiarowego jest nieliniowa wynika, e dokładno pomiaru rezystancji bdzie róna, w zalenoci od kta wychylenia wskazówki.

Przekształcajc wzór (82) uzyskuje si zaleno opisujc warto rezystancji mierzonej RX.

65

( )AZ

XX RRR +⋅

−

ΘΘ

= 1max (83)

Błd bezwzgldny wyznaczenia wartoci rezystancji RX zaley od dokładnoci przyrzdu pomiarowego oraz od błdu wyznaczenia rezystancji wewntrznych ródła i miernika

( ) ( )AZX

XAZX

X RRRRR ∆+∆⋅

−

ΘΘ

+∆Θ⋅+⋅Θ

Θ=∆ 1max

2max

(84)

Błd wzgldny wyznaczenia tej rezystancji opisany jest wzorem

AZ

AZ

XXAZ

AZX

X

X

X

XRR

RRklRR

RRRR

+∆+∆

+

ΘΘ

⋅

ΘΘ

−=

+∆+∆

+Θ∆Θ

⋅−

ΘΘ

Θ

Θ

=∆

maxmax

maxmax

2

2max

11 (85)

Na rys.15 przedstawiono przebieg błdu wzgldnego pomiaru rezystancji omomierzem szeregowym dla rónych wartoci klasy miernika.

Jak wida rozwaany błd osiga minimum przy wychyleniu wskazówki do połowy skali.

66

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ΘΘΘΘX/ΘΘΘΘmax

∆∆ ∆∆RX/R

X [%

]

kl = 0,5

kl = 1

kl = 2

Rys.15. Zaleno błdu pomiaru rezystancji w zalenoci od kta wychylenia wskazówki miernika.

67

6.Woltomierze napi przemiennych Woltomierze elektroniczne umoliwiaj pomiar parametrów napi zmiennych przy

wykorzystaniu mierników magnetoelektrycznych. Sygnał przemienny moe by scharakteryzowany przez jeden z poniszych parametrów: 1. Warto chwilowa u(t) – która zaley od momentu wykonywania pomiaru 2. Warto szczytowa (amplituda) Um 3. Warto midzyszczytowa Upp

−+ −= mmpp UUU 4. Warto skuteczna (URMS) – warto odpowiadajca wartoci napicia stałego, które w tym

samym obwodzie wydziela tak sam moc jak sygnał badany.

( )

=∞→

τ

τ τ 0

221lim

Ru

dtR

tu RMS

(86)

A zatem warto skuteczn napicia URMS definiuj nastpujce wzory

( )Τ

⋅Τ

=0

21dttuU RMS (87)

dla przebiegu okresowego oraz

( ) ⋅=∞→

T

RMS dttuU0

211lim

τττ (88)

dla przebiegu nieokresowego.

68

Przykładowo, dla sygnału harmonicznego o postaci ( ) ( )ϕω +⋅= tUtu m sin (89) warto skuteczna wynosi

( )

2sin

1

0

22 mmRMS

UdttUU =⋅+⋅⋅

Τ=

Τϕω

(90)

5. Warto rednia u definiowana jest wzorem

( ) ⋅=∞→

τ

τ τ 0

1lim dttuu (91)

dla sygnału nieokresowego

( )Τ

⋅Τ

=0

1dttuu (92)

dla sygnału okresowego. Przykładowo dla przebiegu harmonicznego, danego wzorem (89), warto rednia wynosi

( )Τ

=⋅+⋅Τ

=0

0sin1

dttUu m ϕω (93)

69

6. Warto rednia z modułu u definiowana jest wzorem

( ) ⋅=

∞→

τ

τ τ 0

1lim dttuu

(94)

Przykładowo dla sygnału harmonicznego

( )( ) mo

m UdttUu ⋅=⋅+⋅⋅Τ

= Τ′

πϕω 2

sin1

(95)

Woltomierze napicia przemiennego charakteryzuj nastpujce parametry: 1. Zakres 2. Przedział czstotliwoci mierzonych napi 3. Dopuszczalny kształt mierzonego przebiegu (najczciej sinusoidalny) 4. Rodzaj mierzonej wartoci napicia, np. skuteczna, szczytowa, rednia z modułu 5. Błd pomiaru 6. Impedancja (rezystancja) wejciowa

Z punktu widzenia zacisków wejciowych woltomierz mona przedstawi jako równoległe połczenie pojemnoci Cwe i rezystancji Rwe. Admitancja wejciowa układu jest wówczas opisana wzorem wewewe CjGY ω+= (96) gdzie wewe RG 1= (97)

70

W przypadku idealnym

0→weC i ∞→weR (98) Definiuje si dwie rezystancje wejciowe:

chwilow rezystancj wejciow wer - równ ilorazowi wartoci chwilowej napicia i prdu

we

wewe i

ur = (99)

oraz efektywn (skuteczn) rezystancj wejciow weR definiowan jako rezystancja o takiej wartoci, e przy tym samym napiciu wejciowym wydziela si na niej taka sama moc rednia, jak na rezystancji wejciowej woltomierza.

Poniej przedstawiono opis wybranych układów woltomierzy prostownikowych.

W metrologii z prostownikiem utosamia si element, na którego wyjciu po podaniu na wejcie sygnału przemiennego w czasie (przewanie bez składowej stałej) pojawia si sygnał zawierajcy składow stał (warto rednia wiksza od zera). Układy prostowników realizuje si przede wszystkim przy uyciu diod półprzewodnikowych.

Parametrami charakteryzujcymi diody prostownicze s m. in. maksymalne napicie wsteczne, maksymalny prd przewodzenia, maksymalna warto prdu wyprostowanego, maksymalna temperatura złcza. Podaje si równie pojemno własn diody i czstotliwo graniczn.

71

Pod wzgldem pomiarowym wanym parametrem jest take sprawno prostowania

F

R

R

Fp r

rII

k == (100)

przy czym: IF , rF oznaczaj odpowiednio prd i rezystancj dynamiczn diody spolaryzowanej w kierunku przewodzenia; IR, rR - prd i rezystancj dynamiczn diody spolaryzowanej w kierunku zaporowym.

Sprawno prostowania dla danej diody nie jest wielkoci stał, zaley ona od doprowadzonego napicia (nieliniowo charakterystyki prdowo-napiciowej) i temperatury.

Innym czynnikiem ograniczajcym moliwo stosowania diod jako prostowników jest ich pojemno własna — ogranicza ona górn warto czstotliwoci sygnału prostowanego.

W celu scharakteryzowania napicia lub prdu przemiennego podaje si ich warto skuteczn, redni lub maksymaln (szczytow). Wielkoci wyjciow w prostowniku jest składowa stała wyprostowanego prdu (napicia), równa wartoci redniej tego przebiegu. Współczynnik przetwarzania K = Xwy/Xwe i błdy przetwarzania bd róne w zalenoci od tego, jak warto traktuje si jako wielko wejciow. Z tych powodów prostowniki dzieli si na:

— prostowniki wartoci redniej; — prostowniki wartoci skutecznej; — prostowniki wartoci szczytowej (maksymalnej).

Podział ten jest cile zwizany z zasad działania przetwornika, z właciwociami stosowanych elementów, ich punktem pracy.

72

Prostowniki wartoci redniej Najprostszym przetwornikiem wartoci redniej napicia (lub prdu) przemiennego jest

jednopołówkowy prostownik szeregowy (rys. 16a). Najczciej korzysta si jednak z prostownika dwupołówkowego w układzie mostka Graetza (rys. 16b). O właciwociach układu prostowniczego decyduj diody.

Rys. 16. Schematy prostowników: a) jednopołówkowego; b) dwupołówkowego

Zasada pracy prostownika jednopołówkowego zostanie rozwaona na przykładzie przetwornika wartoci redniej napicia. Jeli dioda ma charakterystyk prdowo-napiciow o przebiegu jak na rys.17, tzn. e w kierunku wstecznym i = 0, a w kierunku przewodzenia i = bu, to warto rednia prdu płyncego przez obcienie (jeli u = Um sin(ωt)) dana jest wzorem.

73

( ) ( ) avm

m

T

av UbU

btdtsinUbdtubT

I ⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅= 2211

0

2

0π

ωωπ

π

(101)

W rzeczywistoci charakterystyka diody w kierunku przewodzenia nie jest liniowa (rys.18), mona j w przyblieniu opisa równaniem

...ubububbi +⋅+⋅+⋅+= 33

2210 (102)

Rys. 18. Przebiegi w idealnym prostowniku liniowym

74

Rys. 19. Przebiegi w rzeczywistym prostowniku

Jeli charakterystyka diody przechodzi przez pocztek układu współrzdnych, to (i = 0 dla u = 0), a warto rednia prdu płyncego przez obcienie (dla takiego samego wymuszenia jak poprzednio) dana jest wzorem

( ) ( ) ...Ub

Ub

...tdubtdubdtiT

I RMSav

T

av +⋅+⋅=

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅= 222

11 21

0

22

01

2

0

ωωπ

ππ

(103)

Warto rednia prdu wyprostowanego jest wic proporcjonalna do wartoci redniej mierzonego napicia (lub prdu) tylko wtedy, gdy charakterystyka elementu prostowniczego jest liniowa. Oczywicie, adna dioda nie ma takiej charakterystyki. Znaczn popraw liniowoci charakterystyki przetwarzania uzyska mona włczajc w szereg z diod rezystor

75

liniowy (rys.20). Rezystor powoduje jednak zmniejszenie wartoci prdu w obcieniu przy takim samym napiciu.

Rys. 20. Linearyzacja charakterystyki przetwarzania prostowników za pomoc rezystora

Innym sposobem linearyzacji charakterystyki przetwarzania jest stosowanie układów ze wzmacniaczami operacyjnymi (rys.21). Przedstawiony układ jest przetwornikiem napicia na prd. Dziki prostownikowi dwupołówkowemu włczonemu w ptl sprzenia zwrotnego (a jednoczenie w obwód obcienia), warto chwilowa prdu obcienia i = Ux/R Wobec tego i warto rednia prdu płyncego przez obcienie jest funkcj liniow napicia wejciowego. Układ prostowniczy ma liniow charakterystyk przetwarzania, niezalenie od charakterystyk diod.

76

Rys. 21. Liniowy prostownik ze wzmacniaczem operacyjnym

1. Woltomierz prostownikowy jednopołówkowy umoliwia pomiar wartoci redniej z

modułu badanego napicia. Schemat tego układu przedstawiono na rys.22. W dalszych rozwaaniach przyjto, e dioda D jest diod idealn, tzn., e jej

charakterystyka statyczna opisana jest wzorem

>∞≤

=0

00

D

DD udla

udlai

(104)

oraz oznaczono Ap RRR +=

77

AR

pR

A

DU

wei DAi

weu

Rys.22. Układ woltomierza prostownikowego jednopołówkowego.

Prd amperomierza opisany jest wzorem

Ap

RA RR

Ui

+= (105)

przy czym zachodzi równo ADwe iii == (106) ( ) Riifuuu weDRDwe +=+= (107) gdzie f(iD) opisuje charakterystyk diody, dan wzorem (100). A zatem dla 0≤weu

D

r

DRwe UUUud ∞→

=+= (108) natomiast dla 0≥weu

78

R

r

DRwe UUUud 0=

=+= (109) A zatem prd płynie w układzie tylko przez połow okresu. Graficznie działanie rozwaanego układu zilustrowano na rys.23. Sinusoidalny przebieg napicia wejciowego powoduje przepływ prdu tylko w przypadku, gdy rezystancja dynamiczna diody jest skoczona, tzn. dla napi wejciowych Uwe >0. a) b)

i

pR

u

i

t

c)

t

weU Rys. 23. Przebiegi w układzie woltomierza prostownikowego jednopołówkowego.

79

Zgodnie z zasad działania miernika magnetoelektrycznego, kt wychylenia wskazówki jest proporcjonalny do wartoci redniej prdu iwe

Τ

⋅⋅Τ

=0

1dtii wewe (110)

Zakładajc, e mierzone napicie ma przebieg sinusoidalny, otrzymuje si nastpujc zaleno opisujc warto redni prdu

( ) ( ) ( ) ( )

ΤΤ

+⋅=⋅

+⋅Τ=⋅⋅

+Τ=

2

00

1sinsin

1

Ap

m

Ap

m

dA

mwe RR

Udtt

RRU

dttRR

Ui

πωω (111)

Z kolei, chwilowa rezystancja wejciowa opisana jest wzorem

( )

( ) ( )

Τ+<<Τ+∞

Τ+<<==

12

12

212

ntndla

ntnTdlaR

iU

rwe

wewe

,....1,0=n (112)

W celu wyznaczenia rezystancji efektywnej Rwe naley wyznaczy warto redni mocy wydzielanej na rezystancji wejciowej oraz na Rwe

wewe iup ⋅= (113) Warto rednia mocy wydzielanej w rozwaanym woltomierzu opisana jest zalenoci

80

dtR

uu

Tdtiup

Twe

wewewe ⋅⋅⋅=⋅Τ

= Τ

00

11 (114)

Dla sinusoidalnego napicia wejciowego, moc ta wynosi

( ) ( ) ( )

( )R

ut

tRu

dttRu

dttRu

tup

mm

mmm

⋅=

⋅⋅⋅

−Τ⋅

=

=⋅Τ⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅Τ

=

Τ

ΤΤ

42sin

41

2

sinsinsin1

22

0

2

2

0

222

0

ωω

ωωω

(115)

Z kolei moc wydzielana na rezystancji Rwe opisana jest wzorem

( ) ( ) ( ) Τ Τ

⋅=⋅

⋅Τ=⋅⋅⋅⋅

Τ=

0 0

22

2

2sin

sinsin

1

we

m

we

m

we

mmRwe R

udtt

Ru

dtR

tutup ωωω

(116)

Z przyrównania wzorów (115) i (116) otrzymuje si

we

mm

Ru

Ru

⋅=

⋅ 24

22

(117)

Std rezystancja ekwiwalentna dana jest wzorem

( )Apwe RRRR +== 22 (118)

81

2. Woltomierz prostownikowy szeregowy szczytowy przedstawiono na rys.24, natomiast przebiegi wybranych napi w tym układzie w stanie ustalonym pokazano na rys.25.

iwe

iA

RP

RA

UD

Uwe

µA

URUcC

D

Rys.24. Układ woltomierza prostownikowego szeregowego szczytowego

82

T

Uwe

Uc

t0 tt1 t2

Uc minUc min

Rys.25. Przebiegi napi w woltomierzu prostownikowym szeregowym szczytowym

W czasie pracy układu naprzemiennie wystpuj cykle ładowania i rozładowania pojemnoci. W czasie ładowania pojemnoci C spełnione s równania ACladwe iii += (119) weC uu = (120) natomiast w czasie rozładowania pojemnoci C – równania ACrozl ii = (121) DweC uuu += (122)

83

Przyjmujc, e na wejciu układu wystpuje sygnał harmoniczny, przebiegi napicia w układzie maj kształt przedstawiony na rys.25, gdzie przedziałowi czasu ( )10 , tt odpowiada rozładowanie pojemnoci C, natomiast przedziałowi ( )21 t,t - ładowanie pojemnoci C.

Poniewa rozładowanie pojemnoci nastpuje przez rezystor R = RP + RA, napicie na pojemnoci po czasie t1 wynosi

−−=′RC

ttUu mC

01min exp (123)

Z kolei po czasie T napicie to byłoby równe

Τ−=RC

Uu mC expmin (124)

Jeeli czas ładowania jest znacznie krótszy od czasu rozładowania, tzn., gdy 0112 tttt −<<− , to uzasadnione jest przyjcie uproszczenia minmin cC Uu ′≅ . Wówczas

Τ−=′

RCU

u

m

C expmin (125)

W zalenoci od wartoci ilorazu RC/T=n, relacja midzy napiciem U’Cmin a Um przyjmuje róne wartoci, co zilustrowano w tabeli 4.

84

n

Τ−=′

RCU

u

m

C expmin

Τ−−Τ RC

RCexp1

9,49 19,5 99,5 999,5

0,9 0,95 0,99 0,999

0,949 0,975 0,995 0,999

Prd płyncy przez miernik wynosi

Ru

i CA = (126)

natomiast napicie na kondensatorze

−⋅=RCt

Uu mC exp (127)

Wówczas wskazanie miernika jest proporcjonalne do wartoci redniej prdu, danej wzorem

ΤΤ

⋅Τ−−

Τ⋅⋅=⋅

⋅

−Τ⋅

≅⋅Τ

=00

exp1exp1

~CR

CRR

udt

CRt

Ru

dtii mmAAα (128)

dla RC/T>>1 wyraenie w nawiasie dy do 1 (tabela 4) i wówczas

RU

i mA = (129)

A zatem wskazania woltomierza s proporcjonalne do amplitudy mierzonego napicia.

85

W celu obliczenia ekwiwalentnej rezystancji wejciowej naley wyznaczy redni moc wydzielan w rozwaanym układzie. Dana jest ona wzorem

Ru

CRTCR

Ru

dtCRt

Ru

dtRu

p mmmC2

0

22

0

2 2exp1

2exp

1 ≈

⋅⋅−−

Τ⋅⋅=

⋅⋅−

Τ⋅=

Τ=

ΤΤ

(130)

Podobnie jak w przypadku woltomierza prostownikowego jednopołówkowego, przyrównuje si moce rednie wydzielane w woltomierzu i na rezystancji Rwe (wzór (116))

we

mm

Ru

Ru

⋅≅

2

22

(131)

Std rezystancja ekwiwalentna dana jest wzorem

22Ap

we

RRRR

+== (132)

86

3. Woltomierz prostownikowy równoległy szczytowy przedstawiono na rys.26. Jak wida, w porównaniu z układem woltomierza prostownikowego szeregowego szczytowego dioda i kondensator zostały zamienione miejscami.

C

Aµ

Cu

DUAR

pR

Ai

ładCirozłCi

wei

Rys.26. Układ woltomierza prostownikowego równoległego szczytowego.

Układ pracuje w dwóch cyklach: ładowania i rozładowania pojemnoci. W czasie ładownia pojemnoci spełnione s zalenoci:

ladCwe ii = (133)

0=Ai (134) weC uu −= (135) natomiast w czasie rozładowania pojemnoci - zalenoci AladCwe iii == (136)

87

CweDR uUuu +== (137) Wskazanie amperomierza jest proporcjonalne do wartoci redniej płyncego przez niego

prdu. A zatem

( )

⋅

−−⋅⋅=

=

⋅

−++⋅⋅=⋅⋅=⋅=

CRT

expCR

RU

dtCR

texptcos

Ru

dtuR

dtii~

m

mT

D

T

AA

1

1111

000

Τ

πωΤΤΤ

αΤ

(138)

Poniewa, jak wynika z tabeli 3, drugi czynnik dy do 1 dla RC/T>>1, wic

RU

i mA = (139)

Oznacza to, e wskazanie rozwaanego woltomierza dla dostatecznie duej czstotliwoci sygnału mierzonego jest proporcjonalne do amplitudy tego sygnału.

W celu wyznaczenia rezystancji ekwiwalentnej przyrzdu naley obliczy warto redni mocy w nim wydzielanej ze wzoru

( )( )ΤΤ

⋅=⋅+⋅Τ

≅⋅Τ

=0

22

2

0

2

23

cos11

RU

dttR

Udt

RU

p mmm ω (140)

Z przyrównania mocy wydzielanej w przyrzdzie i na rezystancji Rwe

we

mm

RU

RU

⋅=⋅

223 22

(141)

88

otrzymuje si zaleno opisujc Rwe o postaci

3Ap

we

RRR

+= (142)

Woltomierz równoległy szczytowy umoliwia pomiar napi zmiennych ze składow stała. Jej wpływ jest eliminowany, co ilustruje nastpujca analiza.

Przyjmijmy, e na wejcie woltomierza podano sygnał harmoniczny ze składow stał, opisany zalenoci

( )tUuu mDCwe ωcos⋅−= (143) Wówczas wychylenie wskazówki amperomierza proporcjonalne jest do wartoci redniej

prdu, danej wzorem

( ) ( )

RU

CRCR

RU

CRCR

Ru

dtCR

tuUtUu

Rdtii

mmDC

DCmmDCAA

=

⋅Τ−−

Τ⋅⋅+

⋅Τ−−

Τ⋅−=

=⋅

⋅

−⋅++⋅−Τ⋅

=⋅Τ

= ΤΤ

exp1exp11

expcos11

~00

ωα

(144)

Jak wida, wskazanie amperomierza jest proporcjonalne do amplitudy, a składowa stała nie ma wpływu na wynik pomiaru.

W układzie prostownika równoległego rezystancja wejciowa jest mniejsza ni w układzie prostownika szeregowego, mimo to jest on czciej stosowany, gdy w przeciwiestwie do prostowników szeregowych umoliwia eliminacj składowej stałej z mierzonego przebiegu napicia. Do pomiaru napi niesymetrycznych stosuje si układy prostowania

89

midzyszczytowego (rys.27a). Prostownik taki jest połczeniem kaskadowym dwóch prostowników: równoległego (szczytu dodatniego) i szeregowego (szczytu ujemnego). Jeli napicie prostowane jest sinusoidalne, to przebieg napicia na diodzie D1 jest taki jak u1 na rys.27b. Podczas trwania półfali ujemnej sygnału wejciowego warto szczytowa tego napicia jest równa podwójnej amplitudzie 2Um . Wobec tego kondensator bdzie ładował si te do takiej wartoci.

Rys.27. Wyjanienie zasady działania prostownika wartoci midzyszczytowej.

Układy prostowników szczytowych biernych maj wiele wad: współczynnik przetwarzania (Kp = Uav / Um ) nie przekracza jednoci (mała czuło), a charakterystyka przetwarzania nie jest liniowa. Wady te mona wyeliminowa stosujc układy prostowników ze wzmacniaczami, ogranicza si jednak wówczas górny zakres czstotliwociowy. Linearyzacj charakterystyki przetwarzania najłatwiej zrealizowa przez umieszczenie prostownika w ptli ujemnego sprzenia zwrotnego wzmacniacza operacyjnego (rys. 28).

90

Rys. 28. Schemat prostownika szczytowego ze wzmacniaczem operacyjnym.

Wzmocnienie układu wynosi jeden. Wzmacniacz pobiera ze ródła badanego napicia tylko prd polaryzacyjny. Czas narastania napicia na wyjciu wzmacniacza w zasadzie zaley tylko od moliwoci prdowych jego wyjcia, a nie zaley od stałej czasowej τ = rF C . Dioda D2

zabezpiecza wzmacniacz przed przecieniem, gdy napicie na jego wyjciu osiga ujemny stan nasycenia oraz ogranicza napicie wsteczne diody D1. Błd przetwarzania mona zmniejszy przez zastosowanie wzmacniacza z tranzystorami unipolarnymi na wejciu.

91

Prostowniki wartoci skutecznej

Realizacja pomiarów wartoci skutecznej napicia jest moliwa w układzie o schemacie blokowym, pokazanym na rys. 29, realizujcym wzór definicyjny (87).

weu×

blok realizujcymnoenie

układ całkujcy ( )Τ

Τ 0

21dttu

UUDC =

Rys.29. Schemat blokowy woltomierza wartoci skutecznej.

Przy realizacji konieczne jest wykonanie bloku, który zrealizuje funkcj kwadratow (np. tranzystora polowego, pracujcego w zakresie nasycenia), układu całkujcego oraz układu pierwiastkujcego.

Detekcja wartoci skutecznej jest w zasadzie moliwa tylko przy uyciu elementów prostowniczych o parabolicznych charakterystykach prdowo-napiciowych

2uai ⋅= (145) Wówczas warto rednia prdu w obcieniu dana jest wzorem

92

2

0

2

0

11aUdtu

Taidt

TI

TT

av === (146)

Aby zrealizowa tak charakterystyk przetwarzania, wykorzystuje si pocztkow cz charakterystyki diody półprzewodnikowej, któr mona aproksymowa przebiegiem parabolicznym. Inny sposób, to aproksymowanie danej charakterystyki parabolicznej odcinkami. W tym celu buduje si odpowiednie układy diodowo-rezystancyjne, np. podany na rys.30.

Rys. 30. Schemat przetwornika prostownikowego wartoci skutecznej.

93

ródło napicia U0 wraz z rezystorem o duej rezystancji Ro tworz ródło prdowe. Rezystancje rezystorów Rn i R’n s tak dobrane, e praktycznie cały prd ze ródła płynie przez rezystory R’n. Powstałe na nich spadki napicia Un s stałe i niezalene od prdów płyncych przez diody, gdy prd ze ródła U0 jest znacznie wikszy od prdów diod. Due wartoci rezystancji rezystorów Rn zapewniaj spełnienie powyszych warunków oraz linearyzuj charakterystyki diod, z których jest składana charakterystyka przetwornika. Due wartoci rezystancji Rn powoduj ponadto uniezalenienie charakterystyki przetwornika od rezystancji wewntrznej ródła mierzonego napicia Rg oraz rezystancji dynamicznych w kierunku przewodzenia rF diod włczonych w układzie mostka prostowniczego.

Rys.31. Zasada kształtowania parabolicznej charakterystyki przetwarzania

Zasada działania układu jest nastpujca. Wzrostowi wartoci chwilowej napicia mierzonego towarzyszy wzrost napicia wyprostowanego U. Dopóki jego warto nie przekroczy U1 (rys.31), dopóty przez przyrzd nie płynie prd. Gdy warto ta zostanie

94

przekroczona przewodzi dioda D1. Prd miernika jest wówczas okrelony charakterystyk wypadkow diody D1 i rezystora R1. Napicie mierzone wzrasta dalej, w zwizku z czym napicie wyprostowane przekracza kolejne napicia progowe U2 ,U3 , ... , Un . Prd płyncy przez miernik jest wic okrelony charakterystyk wypadkow przewodzcych diod. Otrzymana charakterystyka układu, dziki doborowi elementów Rn i R’n oraz napicia U0 , jest zbliona do paraboli. Przyblienia jest tym lepsze, im wicej jest uytych układów aproksymujcych Rn, R’n, Dn (w praktyce stosuje si od 4 do 8 takich układów).

Przetworniki termoelektryczne wartoci skutecznej.

Jako przetworniki wartoci skutecznej współpracujce z miernikiem sygnałów stałoprdowych stosuje si przetworniki termoelektryczne. Przetwornik taki składa si z grzejnika i termoogniwa (termoelementu). Grzejnik moe by budowany oddzielnie albo łcznie z termogniwem. Wykonanie pierwsze umoliwia dobranie kadego z elementów oddzielnie. Grzejnik dobiera si ze wzgldu na moliwo duego wydzielenia ciepła, mał intensywno zjawiska naskórkowoci, małe pojemnoci rozproszone. Termoogniwo natomiast ze wzgldu na warto powstajcego napicia termoelektrycznego. Wykonanie drugie jest stosowane dla mniejszych prdów. Grzejnik moe by nieizolowany od termoogniwa lub izolowany (rys.32).

95

Rys. 32. Schematy przetworników termoelektrycznych : a) z grzejnikiem nieizolowanym ; b) z grzejnikiem

izolowanym.

Przetworniki termoelektryczne do pomiaru małych prdów (mniejszych od 1A) wykonuje si jako próniowe (pogorszenie chłodzenia pozwala uzyska podwyszenie temperatury grzejnika). Grzejniki wykonuje si z materiałów o duej rezystywnoci (dua rezystancja i dua moc wydzielana przy małych wymiarach) odpornych na wysokie temperatury. Metalami spełniajcymi te wymagania s najczciej: konstantan, chromonikielina, wolfram, platyna, platynorod.

Termoogniwo składa si z dwóch termoelektrod, wykonanych z rónych metali dobranych tak, aby napicie powstałe przy rónicy temperatur midzy kocami złczonymi (punkt 1 na rys.32) i wolnymi (punkt 2) była jak najwiksza. Do budowy przetworników pomiarowych najczciej s uywane nastpujce termoogniwa: konstantan-chromel, konstantan-elazo, platyna-platynorod.

Prd mierzony przepływajc przez grzejnik ogrzewa go (powodujc zmian temperatury grzejnika). Podwysza si wic równie temperatura spoiny termoogniwa z wartoci To

96

(temperatura otoczenia ) do temperatury T1 odpowiednio wyszej. Przyrost temperatury grzejnika (∆T= T1-To) jest proporcjonalny do mocy wydzielonej na grzejniku, a tym samym do kwadratu wartoci skutecznej przepływajcego prdu.

2

skkIT =∆ (147) Pod wpływem rónicy temperatury midzy złczonymi i wolnymi kocami termoogniwa,

powstaje midzy kocami wolnymi napicie termoelektryczne, którego warto mona wyznaczy według wzoru

...)TT(b)TT(aET +++−= 20

2101 (148)

gdzie: a i b – współczynniki stałe, zalene od materiału termoelektrod. Jeli rónica temperatur ∆T jest niezbyt dua, czyli a >> b, to

2

01 Ika)TT(aET ⋅⋅=−≈ (149) W układach rzeczywistych, zawierajcych grzejniki w postaci odcinków prostych

przewodów z termoogniwami umocowanymi w ich rodku, wystpuj znaczne odchylenia od podanej wyej zalenoci. Rónice te wynikaj zarówno ze strat cieplnych grzejników, jak i zalenoci rezystancji grzejników od temperatury. Dlatego w ogólnym przypadku naley mówi o zalenoci

)I(fET2

1= (150) Pod wpływem napicia termoelektrycznego w obcieniu, którym moe by miernik

magnetoelektryczny, włczonym od zacisków wolnych termoogniwa, popłynie prd stały

97

)( 22 If

RE

I TL == (151)

gdzie R – rezystancja termoogniwa i miernika magnetoelektrycznego.

W celu zwikszenia czułoci pomiaru i zwikszenia rezystancji wejciowej przyrzdu pomiarowego, przed układem woltomierza stosuje si wzmacniacz (rys.33), a przy pomiarach napicia o wysokiej czstotliwoci stosuje si specjalne sondy pomiarowe.

AI

Aµ 1>>II A

I

weUDC

Rys. 33. Schemat blokowy woltomierza napicia przemiennego ze wzmacniaczem. Przyrzdy pomiarowe s typowo wyskalowane w wartociach skutecznych dla przebiegu

sinusoidalnego, a mierz napicie rednie z modułu lub szczytowe. W przypadku pomiaru sygnału o innym kształcie ni sinusoidalny wskazanie byłoby błdne. Dlatego definiuje si współczynniki korekcyjne, nazywane współczynnikami szczytu i współczynnikami kształtu.

Współczynnik szczytu zdefiniowany jest wzorem

RMS

ms U

uk = (152)

98

natomiast współczynnik kształtu zdefiniowany jest wzorem

U

Uk RMS

k = (153)

Przykład 5 Wyznaczy warto współczynnika szczytu i współczynnika kształtu dla sygnału w

postaci fali prostoktnej i dla sygnału sinusoidalnego. Zgodnie z definicja dan wzorem (152), w celu wyznaczenia wartoci współczynnika

szczytu naley wyznaczy warto skuteczn oraz maksymaln dla rozwaanych przebiegów. Dla przebiegu prostoktnego, przedstawionego na rys.34, warto maksymalna wynosi

Um, natomiast warto skuteczna dana jest wzorem

mm

/T

mRMSp UT

UT

dtUT

u =⋅⋅=⋅⋅= 22

21 2

2

0

2

(154)

A zatem współczynnik szczytu dla przebiegu prostoktnego wynosi

1==m

msp U

Uk (155)

99

t0

Um

-Um

TT/2

Rys. 34. Rozwaany przebieg prostoktny.

Z kolei, dla przebiegu sinusoidalnego warto skuteczna opisana jest wzorem

( ) ( )24

22

41

22

21 2

0

2

0

22 mm

/T

m

/T

m~RMSUT

TUtsin

tT

UdttsinUT

u =⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅=⋅⋅⋅= ωω

ω (156)

Std współczynnik szczytu wynosi

2

2

~ ==m

ms U

Uk

(157)

Jak wynika z wzoru (153), do obliczenia wartoci współczynnika kształtu potrzebne s wartoci: rednia z modułu i skuteczna. Warto skuteczna obliczono przy wyznaczaniu

100

współczynnika szczytu, natomiast warto rednia z modułu dla przebiegu prostoktnego wynosi

=⋅⋅=T

mm UdtUT

u0

1 (158)

Std współczynnik kształtu tego przebiegu wynosi

1==m

mkp U

Uk (159)

Z kolei, dla przebiegu harmonicznego warto rednia z modułu wynosi

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] mmm

TTmm

T

m

UU

TU

tTU

dttTU

dttUT

u

⋅=⋅=−⋅⋅

⋅−=

=⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

πππ

ω

ωω

ωω

240coscos

2

cos12

sin2

sin1 2/

0

2/

00~

(160)

A std współczynnik kształtu równy jest

2222

~π

π

=⋅

=m

m

kU

U

k (161)

Aby przeliczy napicie wskazane przez miernik wartoci redniej z modułu na napicie

skuteczne dla badanego przebiegu, naley zastosowa nastpujcy wzór

101

~~k

kRMS U

kk

U = (162)

gdzie U~ jest wskazaniem przyrzdu, natomiast kk oraz kk~ s współczynnikami kształtu badanego sygnału oraz sygnału sinusoidalnego

W przypadku miernika wartoci szczytowej naley posłuy si zalenoci

~s

~sRMS U

kk

U = (163)

gdzie kS oraz kS~ oznaczaj współczynniki szczytu odpowiednio sygnału mierzonego i sygnału sinusoidalnego

Wartoci tych współczynników dla przebiegu sinusoidalnego, trójktnego oraz prostoktnego podano w tabeli 4.

Tabela4 sinus trójkt prostokt

mUU

π2

21

1

RMSm

S UUk =

2 3 1

UUk RMS

k = 22 ⋅π

3

2

1

102

Przykład 6. Miernikiem uniwersalnym, o wskazaniach proporcjonalnych do wartoci redniej z

modułu, zmierzono warto a) napicia trójktnego b) napicia prostoktnego Ile wynosi błd wynikajcy z nieuwzgldnienia kształtu mierzonego napicia?

W przypadku przebiegu trójktnego błd ten wynosi

04,0

22

32

11~~

~~

~

~

~ −=−=−=−

=−= ∆

∆

∆

πδk

kk

k

kk

U

Ukk

U

UUU

(164)

natomiast dla przebiegu prostoktnego

1,0

22

111

~~

~~

~

~

~ −=−=−=⋅−

=−

= πδk

kpk

kp

p

k

k

U

Uk

kU

U

UU

(165)

Jak zatem wida, dla przebiegu trójktnego wynik pomiaru jest zawyony o 4%, natomiast dla prostoktnego o 10%.

103

Przykład 7. Woltomierzem elektronicznym o odchyleniu proporcjonalnym do wartoci szczytowej

zmierzono warto skuteczn napicia prostoktnego. Obliczy błd wynikajcy z nieuwzgldnienia jego kształtu.

Błd ten wyraony jest wzorem

414,012

11 ~

~

~~

~

~

~ −=−=−=−

=−

=sp

ssp

s

p

k

k

U

Ukk

U

U

UUδ (166)

Jak zatem wida, błd pomiaru wynosi w tym przypadku a 41,4%.

*

104

Mostki prdu stałego.

Mostki rezystancyjne (mostki prdu stałego) s wykorzystywane w metrologii do pomiarów wartoci rezystancji. Struktur najprostszego czterogałziowego mostka prdu stałego mostka Wheatstone’a przedstawiono na rys.33. Składa si on z czterech gałzi zawierajcych rezystory oraz dwóch przektnych mostka, w które włczone s ródło napicia zasilania oraz wskanik równowagi (galwanometr). Prd płyncy w gałzi kontrolnej mostka przez galwanometr jest opisany zalenoci

Rys. 33. Mostek Wheatstone’a.

105

( ) ( ) ( )[ ]4343214321

3241

RRRRRRRRRRRRRRR

UIg

g +++++−= (164)

Łatwo zauway, e prd Ig = 0, gdy spełniony jest warunek 03241 =− RRRR (165) A zatem w stanie równowagi mostka (gdy Ig = 0) mona wyznaczy warto rezystancji R1 na podstawie znajomoci trzech pozostałych rezystancji w mostku. Jeeli mierzony rezystor Rx włczony jest w gałzi R1, to jego warto w stanie równowagi mostka opisuje zaleno

4

32 R

RRRx = (166)

Z postaci powyszego wzoru wynikaj moliwoci równowaenia mostka przez zmian rezystancji rezystora R2 lub przez zmian ilorazu rezystancji R3/R4. W praktyce, w zalenoci od danej dokładnoci pomiaru wykorzystuje si mostki techniczne (rys. 34) lub laboratoryjne (rys.35).

106

Rys.34. Układ technicznego mostka Wheatstone’a.

W mostku technicznym za pomoc przełcznika P1 wybiera si warto rezystora R2, która powinna by tego samego rzdu, co rezystancja mierzona Rx, natomiast równowaenia dokonuje si przez regulacj połoenia suwaka potencjometru, które decyduje o relacji R3/R4. W pocztkowym etapie pomiaru przełcznik P2 znajduje si w połoeniu 1, ograniczajc prd galwanometru. Po wstpnym zrównowaeniu przełcznik P2 przełczany jest w pozycj 2, umoliwiajc wykorzystanie czułoci galwanometru wbudowanego w mostek. Zakres mierzonych rezystancji zawiera si typowo od kilku Ω do kilkuset kΩ, a dokładno pomiaru jest rzdu ułamka %. Mostki takie s zwykle wykonywane w jednej obudowie a czas pomiaru rezystancji jest krótki.

107

Z kolei w mostku laboratoryjnym, którego schemat przedstawiono na rys.35, za pomoc przełczników kołkowych wybiera si wartoci R3 oraz R4 tak, aby ich iloraz zapewniał pełne wykorzystanie dekad rezystora R2 przy równowaeniu. Przy zastosowaniu rezystancji o wartociach podanych na rysunku zakres mierzonych rezystancji Rx zawiera si w przedziale od 1 Ω do 10 MΩ. Zewntrzny galwanometr charakteryzuje si dua czułoci, natomiast rezystor RS ogranicza warto płyncego przez niego prdu podczas wstpnego równowaenia mostka.

Ω100010 ⋅⋅⋅⋅

Ω10010 ⋅⋅⋅⋅

Ω1010 ⋅⋅⋅⋅

Ω110 ⋅⋅⋅⋅

Ω1,010 ⋅⋅⋅⋅

Rys.35. Układ laboratoryjnego mostka Wheatstone’a.

108

Błdy przy pomiarach mostkiem Wheatstone’a mona wyznaczy stosujc metod rózniczki zupełnej w odniesieniu do zalenoci (166). Wówczas błd wzgldny wyznaczenia rezystancji RX opisuje wzór 432 RRRsRx δ−δ+δ=δ (167) gdzie δR2, δR3, δR4 oznaczaj błdy wzgldne okrelenia wartoci rezystancji w mostku, odpowiednio R2, R3, R4. Poniewa znaki tolerancji rezystorów mog by róne, wic mona posługiwa si błdem granicznym δsgRx

432 RRRsgRx δ+δ+δ=δ (168) W przypadku stosowania mostka technicznego, błd ten wynika z niedokładnoci wyznaczenia rezystancji rezystora R2 oraz niedokładnoci wyznaczania ilorazu R3/R4. 4/32 RRRsRx δ+δ=δ (169) Błd pomiaru ograniczony jest take czułoci galwanometru Sm,

Ri

m

aS

δ∆=

(170)

gdzie ∆a oznacza jedn działk na skali przyrzdu. Stosuje si take definicj czułoci prdowej mostka

Ri

gmI

IS

δ= (171)

109

oraz czułoci galwanometru na zmian poszczególnych rezystancji w mostku

1

1

R

gmI

IS

δ= ;

2

2

R

gmI

IS

δ= ;

3

3

R

g

mI

IS

δ= ;

4

4

R

gmI

IS

δ= (172)

Jak łatwo wykaza 41 mImI SS = oraz 132 mImImI SSS −== (173) Czuło prdow mostka mona opisa zalenoci

( )RfRR

UI

SmgR

gmI +

=δ

= 1 (174)

gdzie f(R) jest pewn funkcj rezystancji rezystorów mostka. A zatem czuło mostka jest opisana wzorem

( ) ( )RfRRC

UC

IaS

mgIgRIg

g

R

m +=

δ=

δ∆= 1

(175)

Błd nieczułoci mostka jest definiowany wzorem

2

2

RR

RR n

x

xnn

∆=∆=δ (176)

który mona przekształci do postaci

110

( )

( )RUf

RRCk

Sk mgIg

m

n

+==δ 1

(177)

z wzoru tego wynika, e w celu uzyskania najlepszej dokładnoci pomiaru naley stosowa galwanometr o duej czułoci i małej rezystancji wewntrznej oraz moliwie due napicie zasilania mostka. Oprócz mostków zrównowaonych stosuje si take w metrologii mostki niezrównowaone, w których pomiar wykonywany jest przy prdzie Ig ≠ 0. Charakterystyk takiego mostka przedstawiono na rys.36

Rys.36. Charakterystyka mostka niezrównowaonego

111

Mostki niezrównowaone s stosowane do wielu pomiarów przemysłowych, np. do pomiaru temperatury, siły, naprenia, przesunicia za pomoc czujników rezystancyjnych. W celu zwikszenia czułoci układu pomiarowego i poprawienia jego liniowoci, stosuje si w mostkach niezrównowaonych dwa czujniki rezystancyjne o przeciwnych zmianach ∆R. Właciwoci mostka niezrównowaonego s wyzyskiwane przy masowej produkcji oporników do automatycznej segregacji według grup tolerancji. Napicie nierównowagi mostka uruchamia — przez specjalne wzmacniacze - urzdzenie zbierajce oporniki o rónych tolerancjach, np. 0,5; l; 2; 5;10%, w oddzielnych pojemnikach. Mostek Thomsona Modyfikacj mostka Wheatstone'a jest mostek szeciogałziowy nazywany mostkiem Thomsona lub mostkiem podwójnym (rys.37a). Przeznaczony jest on do pomiaru małych rezystancji, gdy umoliwia eliminowanie wpływu rezystancji przewodów łczcych, która moe by współmierna z mierzon rezystancj RX.

112

Rys.37. Mostek Thomsona: a) układ; b) układ zastpczy

Do analizy działania i właciwoci mostka wygodnie jest przekształci układ szeciogałziowy w czterogałziowy. W tym celu obwód ABC połczony w trójkt zastpuje si równowanym mu obwodem połczonym w gwiazd (rys.37b). Rezystancje ramion gwiazdy wyznacza si z nastpujcych wzorów:

;''

''

43

31 RRr

rRR

++=

43

42 ''

''

RRrrR

R++

= ; 43

43

''''

'RRr

RRR g ++

= (178)

Rezystancj r stanowi rezystancja przewodu łczcego zacisk prdowy rezystora mierzonego RX i wzorcowego R2, mierzon midzy zaciskami napiciowymi tych rezystorów. W stanie równowagi mostka obowizuje zaleno

113

4

22

3

11 ''R

RRR

RR +=

+ (179)

z której po przekształceniu otrzymuje si równanie

4

2

4

2

3

1

3

1 ''RR

RR

RR

RR

+=+ (180)

Równanie to upraszcza si do postaci podobnej jak dla mostka Wheatstone'a

4

2

3

1

RR

RR

= (181)

wtedy, gdy spełniony jest warunek

4

2

3

1 ''RR

RR

= (182)

Podstawiajc wyraenia na R'1 i R'2 do wyej podanego wzoru, otrzymuje si po uproszczeniu

4

4

3

3 ''RR

RR

= (183)

Jest to warunek, który musi by spełniony, aby wzór (181) był poprawny dla mostka podwójnego. Ze wzgldów konstrukcyjnych najłatwiej jest spełni ten warunek przez dobór 33 RR =′ oraz 44 RR =′ (184) Układ połcze laboratoryjnego mostka Thomsona przedstawiono na rys.38. Rezystory RX i R2 (wzorcowy, o rezystancji zblionej do RX) s włczone w zewntrzny obwód prdowy, zamykajcy si poza mostkiem właciwym. Zaciski prdowe rezystorów RX i R2 łczy si

114

przewodem miedzianym, moliwie krótkim i grubym, aby jego rezystancja r była jak najmniejsza. Zaciski napiciowe tych rezystorów dołcza si do mostka. Rezystory R3 i R'3 s skonstruowane jako zestaw podwójnych dekad sprzonych mechanicznie (na kadej osi przełcznika po dwie jednakowe dekady). Rezystor wzorcowy R2 jest elementem czterozaciskowym, wymiennym, zalenie od wartoci RX. Stosuje si rezystory wzorcowe o rezystancjach od 0,0001 Ω do l Ω i dopuszczalnym prdzie obcienia nawet do ok. 100 A, w celu uzyskania dostatecznej czułoci przy małych rezystancjach mierzonych. Zakres pomiaru mostka zmienia si przełcznikiem kołkowym, wybierajc odpowiedni par jednakowych wartoci R4 i R'4.

Ω1,010 ⋅⋅⋅⋅Ω100010 ⋅⋅⋅⋅

Rys.38. Uproszczony układ laboratoryjnego mostka Thomsona

115

Rezystory laboratoryjnych mostków Thomsona wykonuje si z tolerancj 0,02% lub 0,05%. Mostki takie s budowane najczciej jako czterodekadowe, gdy wykazuj nieco wiksze błdy pomiaru ni laboratoryjne mostki Wheatstone'a, które s budowane jako 5- lub 6-dekadowe. Zakresy pomiarowe mostków Thomsona obejmuj rezystancje od Ω−610 do Ω10 przy łcznym błdzie pomiaru w granicach od 0,05% do 0,2%.

Oprócz mostków laboratoryjnych Thomsona s take budowane mostki techniczne. S to mostki przenone, o kilku zakresach pomiaru, prostej konstrukcji, z wbudowanym galwonometrem. Równowaenie osiga si przez regulacj rezystora R2 wykonanego w postaci manganinowego potencjometru drutowego o rezystancji Ω−410 do Ω−210 . Suwak potencjometru jest sprzony z podziałk, opisan np. w miliomach, umoliwiajc bezporedni odczyt wyniku pomiaru. Błdy pomiaru mostkami technicznymi zwykle przekraczaj 1%.

Spotyka si równie laboratoryjne mostki kombinowane o przełczalnym układzie, w których przez proste przełczenie elementów uzyskuje si mostek Wheatstone'a lub Thomsona. Błdy pomiaru mostkiem Thomsona zale przede wszystkim od tolerancji wykonania rezystorów mostka i od błdu nieczułoci. Błd systematyczny, wynikajcy z ograniczonej dokładnoci rezystorów mostka, oblicza si za pomoc róniczki zupełnej równania mostka zrównowaonego. Graniczny błd systematyczny wynosi

( )4343432 ''

2RRRR

xRRRsgRx RR

r δδδδδδδδ ++++

+++= (185)

116

Błd systematyczny pomiaru mostkiem Thomsona moe by zbliony do błdu pomiaru mostkiem Wheatstone'a wówczas, gdy rezystancja r przewodu łczcego rezystory RX i R2 jest dostatecznie mała w porównaniu z sum rezystancji RX+R2. Błd nieczułoci mostka Thomsona wyznacza si dowiadczalnie podczas pomiaru. Czuło układu dobiera si tak, aby błd nieczułoci był znacznie mniejszy od błdu systematycznego granicznego, a wtedy mona go pomin. W mostku laboratoryjnym zwikszenie czułoci osiga si przez zwikszenie prdu w obwodzie RX i R2 (w granicach wynikajcych z dopuszczalnej mocy rezystorów) i zastosowanie czulszego galwanometru. MOSTKI PRDU PRZEMIENNEGO Mostki prdu przemiennego s przeznaczone do pomiarów parametrów elektrycznych cewek i kondensatorów a take obwodów, w których wystpuj indukcyjnoci lub pojemnoci. Istnieje wiele odmian układów mostków prdu przemiennego rónicych si liczb ramion, rodzajem włczonych elementów (rezystory, kondensatory, cewki, transformatory), przeznaczeniem, zakresem pomiaru itp. Mostki laboratoryjne umoliwiaj pomiary z błdem nie przekraczajcym 0,5%.

117

Rys.39. Układ mostka prdu przemiennego

Mostki prdu przemiennego s układami czterogałziowymi, jak na rys.39, lub mog by przekształcone do takiej postaci. Zasilane s napiciem sinusoidalnym (zwykle o czstotliwo f = 1 kHz), a jako wskanik równowagi stosuje si zwykle woltomierze selektywne o rónych konstrukcjach. Przy czstotliwociach akustycznych wskanikiem równowagi moe by słuchawka. W stanie równowagi mostka wskanik równowagi wskazuje zerowe napicie, co wiadczy o tym, e wartoci chwilowe napicia w punktach dołczenia wskanika (CD) s jednakowe. Obowizuje wtedy nastpujce równanie równowagi mostka

3241 ZZZZ = (186) Impedancje ramion mog by przedstawione w postaci zespolonej jXRZ += (187) lub w postaci wykładniczej

118

ϕjZeZ = (188)

Rozwizanie równania mostka prdu przemiennego prowadzi do dwóch warunków równowagi. Przy postaci zespolonej otrzymuje si dwa równania, wynikajce z przyrównania osobno czci rzeczywistych i osobno czci urojonych. Przy postaci wykładniczej otrzymuje si równanie modułów i faz

3241

3241

ϕϕϕϕ +=+= ZZZZ

(189)

Dwa warunki równowagi wskazuj na konieczno równowaenia mostka dwoma elementami regulowanymi. Równowaenie takie przeprowadza si metod kolejnych przyblie, sprowadzajc do minimum odchylenie wskanika równowagi dwoma elementami równowacymi. W wikszoci mostków czterogałziowych rozrónia si dwa ramiona podstawowe i dwa pomocnicze. W ramionach podstawowych włczona jest impedancja mierzona i impedancja odwzorowujca wielko mierzon. Ramiona pomocnicze słu do zmiany zakresu pomiarowego mostka. Warunek równowagi mostka, w którym ramionami podstawowymi s impedancj Z1 i Z2, a pomocniczymi - stałe impedancje Z3 i Z4, mona zapisa w postaci kZZ 21 = (190) przy czym

4

3Z

Zk = (191)

119

Wynika std, e w stanie równowagi mostka, składowe R1 i X1 impedancji mierzonej mog by okrelone przez składowe impedancji równowacej R2 i X2 Do mostków prdu przemiennego zalicza si take układy pomiarowe z transformatorem rónicowym. Transformator rónicowy pozwala na zrealizowanie układu mostkowego przedstawionego na rys.40. W układzie tym dwie symetryczne połowy pierwotnego uzwojenia transformatora rónicowego tworz dwa ramiona mostka, a dwie pozostałe s utworzone z impedancji mierzonej Zx i wzorcowej Zw. Do uzwojenia wtórnego transformatora jest dołczony wskanik równowagi. Wskanik równowagi wykazuje brak napicia na uzwojeniu wtórnym, gdy prdy I1 oraz I2 w obu połówkach uzwojenia pierwotnego s równe. Równo prdów wiadczy o równoci impedancji

wx ZZ = (192)

Rys.40. Układ mostka z transformatorem rónicowym

120

Na tej zasadzie buduje si wiele odmian układów pomiarowych, nazywanych mostkami transformatorowymi. Transformatory rónicowe mog mie uzwojenia o rónych liczbach zwojów. W zalenoci od sposobu równowaenia rozrónia si mostki równowaone rcznie, półautomatyczne i automatyczne. W elektrotechnice stosuje si kilka podstawowych układów mostków prdu przemiennego; waniejsze z nich opisano w nastpnych podrozdziałach. Mostek Maxwella Mostek Maxwella słuy do pomiaru indukcyjnoci własnej obwodów liniowych (nie zawierajcych rdzeni ferromagnetycznych). Układ mostka Maxwella przedstawiono na rys.41. Indukcyjno mierzon Lx porównuje si w mostku z indukcyjnoci wzorcow Lw.

Rys.41. Układ mostka Maxwella

121

W stanie równowagi mostka, przy załoeniu r = 0, obowizuje zaleno ( ) ( ) 34 RLjRRLjR wwxx ωω +=+ (193) std 3344 RLjRRRLjRR wwxx ωω +=+ (194) Z porównania czci rzeczywistych oraz urojonych otrzymuje si '34 RRRR wx = oraz 34 RLRL wx = (195) A zatem indukcyjno i rezystancj badanego obwodu opisuj wzory

4

3

RR

LL wx = ; 4

3

RR

RR wx = (196)

które stanowi dwa warunki równowagi mostka. Dzielc stronami te wzory, otrzymuje si

w

w

x

x

RL

RL

= (197)

Mostek osiga wic stan równowagi tylko w przypadku równoci stałych czasowych elementu mierzonego i wzorca indukcyjnoci. Równo taka zachodzi bardzo rzadko. Wprowadza si wic w mostku dodatkowy regulowany rezystor r, który włcza si przełcznikiem P w rami Rx (połoenie 1) lub Rw (połoenie 2) zalenie od tego, które z ramion ma wiksz stal czasow. Jeli Lx/Rx>Lw/Rw, to po ustawieniu przełcznika w pozycji l przez regulacj rezystora r osiga si warunek równowagi

w

w

x

x

RL

rRL

=+ (198)

122

We wzorze (196) uwzgldnia si warto r dodajc j do Rx lub Rw, zalenie od połoenia przełcznika P. W praktyce proces równowaenia mostka zaczyna si przy zerowej wartoci r i ustawieniu P w dowolnej pozycji. Zmieniajc rezystancj R3, sprowadza si wskazanie wskanika równowagi na warto minimaln, a nastpnie zwikszajc rezystancj r obserwuje si odchylenie wskanika równowagi. Jeeli wzrost wartoci r od zera powoduje zmniejszenie napicia nierównowagi, to znaczy, e przełcznik P jest ustawiony we właciwym połoeniu. Jeeli natomiast nastpi zwikszenie napicia nierównowagi, to naley zmieni połoenie przełcznika. Całkowite zrównowaenie mostka wymaga kilkakrotnego regulowania na przemian rezystorów R3 i r. Wielkoci charakteryzujc jako cewki indukcyjnej jest jej dobro Q, przy czym dla szeregowego układu zastpczego cewki wyznacza si j ze wzoru

x

x

RL

Q⋅

=ω

(199)

Graniczny błd systematyczny, wynikajcy z tolerancji wykonania elementów mostka, oblicza si ze wzoru podobnego jak w przypadku mostków prdu stałego

43 RRLL wxδδδδ ++= (200)

Na podstawie pomiaru mostkiem Maxwella mona wyznaczy indukcyjno wzajemn dwóch cewek. Dwukrotnie mierzy si indukcyjno cewek połczonych szeregowo-zgodnie i szeregowo-przeciwsobnie. W wyniku pomiarów otrzymuje si dwie wartoci indukcyjnoci

123

1221 2' LLLL ++= (201) 1221 2'' LLLL −+= (202) Odejmujc równania stronami, otrzymuje si 124''' LLL ⋅=− (203) std indukcyjno wzajemna dana jest wzorem

4'''

12LL

L−= (204)

Do pomiarów indukcyjnoci stosuje si równie tzw. mostki Maxwella-Wiena, w których mierzon indukcyjno porównuje si z pojemnoci kondensatora wzorcowego. W mostku takim, w ramieniu Z1 umieszcza si badan cewk L1, R1; ramiona Z2 i Z3 stanowi rezystory R2 i R3, a w ramieniu Z4 znajduj si równolegle połczone opornik R4 i kondensator C4. Z warunku równowagi mostka otrzymuje si wzory okrelajce mierzone parametry cewki

4

321 R

RRR = 4321 CRRL = (205)

Mostki takie s stosowane do pomiaru indukcyjnoci w zakresie do ok. 10 H, z błdem od 0,1% do 0,2% w do szerokim zakresie czstotliwoci.

124

Mostek Wiena Mostek Wiena jest przeznaczony do pomiarów pojemnoci i stratnoci kondensatorów. Uproszczony układ pomiarowy mostka przedstawiono na rys.42. Pojemno mierzon Cx porównuje si w mostku z pojemnoci Cw kondensatora wzorcowego. Rezystancje Rx i Rc reprezentujce straty kondensatora badanego i wzorcowego.

Rys.42. Układ mostka Wiena

Równowaenia mostka dokonuje si kolejno rezystorami R4 i R2. W stanie równowagi, gdy wskanik równowagi wskazuje zero, zachodzi równo

32411

RCj

RRRCj

Rw

cx

x

++=

+

ωω (206)

125

Std po przyrównaniu czci rzeczywistych i urojonych otrzymuje si dwa warunki równowagi o postaci

3

4

RR

CC wx = ( )4

32 R

RRRR cx += (207)

W kondensatorach wzorcowych, praktycznie bezstratnych (np. powietrznych), rezystancja strat moe by pominita, wtedy 0≈cR Stratno badanego kondensatora tgδ mona wyznaczy z zalenoci

( ) ( )24

32

3

4 RRCRR

RRRR

CRCtg cwcwxxx +=+== ωωωδ (208)

Rys.43 przedstawia wykres wskazowy mostka Wiena w stanie równowagi. Rysowanie wykresu wygodnie jest rozpocz od prdu I1,który w stanie równowagi jest równy prdowi I2. Wyznaczone spadki napicia na składowych impedancji Z1 i Z2 stanowi napicie U zasilajce mostek. Prd I3 = I4 w rezystancyjnych ramionach pomocniczych jest w fazie z napiciem zasilajcym. Podział spadków napicia na rezystorach R3 i R4 jest taki, e punkt d na wykresie pokrywa si z punktem b. wiadczy to o braku rónicy potencjałów w przektnej mostka.

126

21 II ====

XCI

ω1

1

(((( ))))22 RRI C ++++

WCI

ω1

2

43 II ==== Rys.43. Wykres wektorowy mostka Wiena

Błdy systematyczne graniczne pomiaru, wynikajce z niedokładnoci elementów mostka, oblicza si ze wzorów

43 RrRCC wxδδδδ ++= (209)

2

2

22 RR

RRR

R

cR

c

cRCtg cw +

++

++= δδδδδ ωδ (210)

przy czym ωδ jest wzgldnym błdem okrelenia czstotliwoci napicia zasilajcego mostek.

127

Mostki transformatorowe Mostki transformatorowe s budowane z jednym lub z dwoma transformatorami. Układy o dwóch transformatorach wykazuj wiele zalet, dlatego te s czciej stosowane. Przykładem mostka transformatorowego o regulowanej impedancji równowacej jest układ przedstawiony na rys.44 pomiar mostkiem polega na zrównaniu wartoci prdów I1 i I2 w symetrycznych połowach uzwojenia transformatora rónicowego T2. Zerowe odchylenie wskanika równowagi (Ig = 0) wiadczy o równoci prdów I1 = I2. Prdy w impedancji mierzonej i równowacej wyznacza si z zalenoci

Rys.44. Układ mostka transformatorowego równowaonego kondensatorem i rezystorem R2

1

11

ZU

I = , 2

22

ZU

I = (211)

128

Napicie wyjciowe U2 transformatora zasilajcego T1 jest regulowane przez zmian liczby zwojów N2 uzwojenia wtórnego. Napicie to ma faz zgodn z napiciem U1

1

212

NN

UU = (212)

przy czym N2/N1 jest stosunkiem liczby zwojów uzwoje wtórnych. W mostku zrównowaonym, gdy Ig = 0, wystpuje równo prdów

12

21

1

1

NZNU

ZU = (213)

std

2

121

NN

ZZZ X == (214)

Łatwo wykaza, e mierzon pojemno i stratno okrelaj nastpujce wzory:

1

22

NN

CCx = ; 22

21

tgtgCR

xω

δδ == (215)

Regulowana liczba zwojów N2 umoliwia zmian zakresu pomiaru pojemnoci Cx. Przedstawiony na rys.44 mostek musi mie regulowany kondensator wzorcowy C2, np. dekadowy oraz regulowany rezystor wzorcowy R2. Budowane s równie mostki transformatorowe nie wymagajce stosowania regulowanych wzorców pojemnoci i rezystancji. Przykład mostka transformatorowego o stałej pojemnoci wzorcowej C2 i stałej rezystancji R2 przedstawiono na rys.45. Równowaenia mostka dokonuje si przez zmian liczby zwojów w transformatorach T1 i T2. Zmieniajc liczb zwojów N2 w

129

transformatorze zasilajcym T1, zmienia si zakres pomiaru. Transformator rónicowy ma trzy uzwojenia pierwotne: jedno o nieregulowanej liczbie zwojów N3 oraz dwa o regulowanej liczbie zwojów N4 i N5. W zrównowaonym mostku galwanometr wskazuje Ig = 0, gdy suma przepływów w transformatorze rónicowym jest równa zeru 0524231 =−− NININI RC (216)

Rys.45. Mostek transformatorowy równowaony za pomoc zmiany liczby zwojów

Std równanie 524231 NININI RC += (217)

130

Przy załoeniu, e impedancje uzwoje transformatora rónicowego s pomijalne w porównaniu z impedancj mierzon i wzorcow oraz przyjmujc równoległy schemat zastpczy kondensatora badanego, poszczególne prdy mona opisa nastpujcymi wzorami:

)( 11

1

11 x

xCj

RU

ZU

I ω+== (218)

21

21

2

22 Cj

NN

UXU

IC

C ω== (219)

21

21

2

22

1RN

NU

RU

I R == (220)

Podstawiajc te zalenoci do równania przepływów, otrzymuje si wzór

21

252

1

24

13

1RN

NNCj

NN

NN CxjRx

+=

+ ωω (221)

Std, z porównania czci urojonych i rzeczywistych, otrzymuje si wyraenia opisujce wartoci mierzonej pojemnoci Cx i rezystancji strat równoległych Rx

31

422

NNNN

CCx = (222)

52

312

NNNN

RRx = (223)

stratno opisana jest wzorem

5

422

11tg

NN

CRCR xxx

ωωδ == (224)

131

Mostki transformatorowe stosuje si do pomiarów parametrów zarówno kondensatorów jak i cewek. Podział liczby zwojów w mostku moe by okrelony znacznie dokładniej ni wyznacza si wartoci wzorcowe C2 i R2. dlatego te głównym ródłem błdu systematycznego, wynikajcego z niedokładnoci zastosowanych elementów, jest wzorcowy kondensator C2 i rezystor R2. Nowe konstrukcje mostków transformatorowych umoliwiaj wykonywanie pomiarów z wiksz dokładnoci ni w innych mostkach prdu przemiennego. Mostki półautomatyczne RLC Mostki półautomatyczne RLC s przeznaczone do pomiaru rezystancji, indukcyjnoci i pojemnoci oraz umoliwiaj wyznaczenie dobroci cewek i stratnoci kondensatorów Przy omawianiu mostków prdu zmiennego wykazano, e do zrównowaenia mostka jest potrzebna regulacja wartoci dwóch elementów. W mostkach półautomatycznych jedn warto ustawia si rcznie, druga natomiast zmienia si samoczynnie, czyli automatycznie. Typowy mostek półautomatyczny RLC umoliwia siedem rodzajów pomiarów: rezystancji mierzonych prdem stałym; indukcyjnoci LS i rezystancji RS cewki wyznaczonych dla szeregowego układu zastpczego; indukcyjnoci Lp i rezystancji Rp cewki wyznaczonych dla równoległego układu

zastpczego; indukcyjnoci LA z automatycznym równowaeniem rezystancji strat;

132

pojemnoci CS i rezystancji strat RS kondensatora wyznaczonych dla szeregowego układu zastpczego;

pojemnoci Cp i rezystancji strat Rp kondensatora wyznaczonych dla równoległego układu zastpczego;

pojemnoci CA kondensatora z automatycznym równowaeniem strat. Wymienione funkcje pomiarowe realizowane s w siedmiu układach zrównowaonego mostka czterogałziowego. Pomiar rezystancji odbywa si w mostku Wheatstone`a zasilanym napiciem stałym. Przebieg pomiaru jest taki jak w mostku laboratoryjnym Wheatstone`a. Pomiary indukcyjnoci odbywaj si na podstawie porównania z wzorcem pojemnoci w układzie mostka Maxwella - Wiena z rys.46. W mostkach przedstawionych na rys.46 elementami porównawczymi s: nastawny rezystor R2, który słuy do zmiany zakresu pomiarowego; wielodekadowy rezystor R3, który słuy do rcznego równowaenia mostka; kondensator wzorcowy Cw i płynnie regulowany (rcznie) rezystor R4 - słuy do równowaenia składowej rezystancyjnej mierzonej cewki. W zrównowaonym mostku z rys.46a (napicie Ug w przektnej mostka równe zeru) wyznacza si wielkoci charakteryzujce cewk w szeregowym układzie zastpczym

133

Rys.46. Układy mostków Maxwella - Wiena do pomiarów indukcyjnoci: a) o szeregowym układzie zastpczym; b) o

równoległym układzie zastpczym

32 RRCL ws = , 4

32

RR

RRS = (225)

oraz dobro cewki

WS

SCR

RL

Q 4ωω == (226)

Układ ten słuy do pomiaru cewek o małych wartociach dobroci Q (do ok. 10), to znaczy cewek o duych rezystancjach strat, poniewa dla duych wartoci Q naleałoby stosowa rezystor R4 o bardzo duej rezystancji.

134

W mostku przedstawionym na rys.46b wyznacza si wielkoci charakteryzujce cewk w równoległym układzie zastpczym. Wielkoci mierzone wyznacza si z zalenoci

CRRLp 32= ; 4

32 R

RRRp = (227)

natomiast dobro cewki w układzie równoległym wynosi

wp

p

CRLR

Q4

1ωω

== (228)

W cewkach o małych stratach rezystancja równoległego układu zastpczego Rp osiga bardzo due wartoci, rzdu megaomów. Pomiar indukcyjnoci cewki z automatycznym równowaeniem strat wymaga tylko równowaenia rcznego rezystorem dekadowym R3 (rys.47), natomiast równowaenie rezystancji cewki przebiega samoczynnie w obwodzie RA dołczonym równolegle do kondensatora Cw. Mierzon indukcyjno opisuje zaleno LA = R2R3CW. Rezystancji cewki ani jej dobroci w tym pomiarze nie wyznacza si.

135

Rys.47. Mostek do pomiaru indukcyjnoci z automatycznym równowaeniem rezystancji cewki.

W wielu przypadkach istotna jest tylko indukcyjno cewki, a nie jej rezystancja, wtedy korzysta si z pomiaru półautomatycznego. Zaleno midzy indukcyjnoci cewki w układzie szeregowym i równoległym jest okrelona równaniem

pS LQ

QL 2

2

1+= (229)

Przy duych wartociach dobroci indukcyjnoci te s praktycznie równe LS≈ Lp. Pomiary pojemnoci i stratnoci kondensatorów przeprowadza si rcznie w dwóch układach przedstawionych na rys.47, podobnie jak poprzednio opisane pomiary indukcyjnoci. Mostek doprowadza si do równowagi rezystorem dekadowym R4 i płynnie regulowanym R3.

136

Układ z rys.47a słuy do pomiaru pojemnoci i kta strat kondensatora w szeregowym układzie zastpczym; wyznacza si je z zalenoci:

2

4

RR

CC WS = ; 4

23

RR

RRS = ; wSS CRCR ⋅⋅=⋅= 3tg ωωδ (230)

Układ ten jest stosowany do pomiarów parametrów kondensatorów o małych wartociach tgδ ≤ 0,1.

Rys.48. Układ mostków do pomiaru pojemnoci: a) kondensatorów o szeregowym układzie zastpczym; b)

kondensatorów o równoległym układzie zastpczym Wielkoci charakteryzujce kondensatory o równoległym układzie zastpczym mierzy si mostkiem, którego układ pokazano na rys.48b. Opisane s one równaniami:

137

2

4

RR

CC Wp = ; 4

23

RR

RRp = ; wpp

xCRCR 3

11tg

ωωδ == (231)

Układ ten jest przydatny do pomiarów kondensatorów o duych wartociach tgδ ≥ 0,1. Pomiar pojemnoci CA kondensatorów z automatycznym równowaeniem rezystancji strat

wykonuje si w układzie przedstawionym na rys.49. Równowaenie mostka przeprowadza si rcznie rezystorem dekadowym R4, a równowaenie rezystancji strat przebiega automatycznie za pomoc sterowanej rezystancji RA włczonej równolegle do kondensatora wzorcowego. Mierzon pojemno wyraa zaleno

2

4

RR

CC WA = (232)

jest to pojemno w równoległym układzie zastpczym. Rezystancji strat w tym pomiarze nie wyznacza si. Zwizek midzy pojemnoci zastpczego układu szeregowego i równoległego jest nastpujcy: CS = Cp (1+tg2δ) (233)

138

Rys.49. Mostek do pomiaru pojemnoci z automatycznym równowaeniem rezystancji strat.

Działanie mostka z automatycznym równowaeniem rezystancji strat cewki lub kondensatora wyjania schemat blokowy na rys.50, na przykładzie pomiaru pojemnoci. Rezystorem dekadowym R4 w mostku równoway si rcznie składow reaktancyjn elementu mierzonego, natomiast składow rezystancyjn równoway automatycznie rezystancja sterowana RA połczona z kondensatorem wzorcowym. Rezystancj sterowan stanowi fotorezystor owietlany diod elektroluminescencyjn. Fotorezystor nieowietlony ma bardzo du rezystancj, natomiast w miar zwikszania natenia owietlenia rezystancja ta maleje. Intensywno owietlenia zaley od prdu diody elektroluminescencyjnej. Napicie nierównowagi mostka jest wzmacniane we wzmacniaczu 1 (rys.50), nastpnie prostowane w detektorze fazoczułym 2 i doprowadzone do magnetoelektrycznego wskanika nierównowagi. Detektor fazoczuły sterowany napiciem z przesuwnika fazowego ϕ2,

139

wprowadzajcego przesunicie fazowe 900, wyodrbnia z napicia niezrównowaenia warto zalen od niezrównowaenia składowej reaktancyjnej mierzonej impedancji. Napicie pobrane z kondensatora wzorcowego jest napiciem odniesienia dla obu detektorów fazoczułych. Detektor 3 sterowany napiciem z przesuwnika fazowego ϕ1 wyodrbnia z napicia nierównowagi warto proporcjonaln do składowej rezystancyjnej elementu mierzonego. Napicie z detektora 3 jest całkowane w układzie 4, który steruje diod elektroluminescencyjn a tym samym fotorezystorem. Prowadzi to do równowaenia mostka. Półautomatyczny pomiar indukcyjnoci LA przebiega analogicznie do opisanego pomiaru CA. Laboratoryjne półautomatyczne mostki RLC maj dekadowy rezystor równowacy i umoliwiaj pomiar wartoci R, L, C na wielu zakresach z błdami podstawowymi od ±0,1% do ±0,5%, zalenie od zakresu i wielkoci mierzonej.

140

RA

R4

~1 kHz

Wzmacniacz

Wzmacniacz 1φ 2φ

Detektor

DetektorR2

CX

CW

4 3

1 2

Rys. 50. Schemat blokowy półautomatycznego mostka do pomiaru pojemnoci

141

Mostki automatyczne RLC - cyfrowe Cyfrowe mostki prdu przemiennego, podobnie jak równowaone rcznie, s stosowane do pomiarów indukcyjnoci, pojemnoci, strat dielektrycznych i rezystancji. Algorytm automatycznego równowaenia mostka cyfrowego prdu przemiennego jest skomplikowany, poniewa konieczne jest jednoczesne równowaenie dwóch składowych impedancji: reaktancyjnej i rezystancyjnej lub susceptancyjnej i konduktancyjnej. Najczciej automatyzowane s mostki transformatorowe (nazywane take rónicowymi), ze wzgldu na takie ich korzystne właciwoci metrologiczne jak szeroki zakres pomiarowy i dua dokładno. Ze wzgldu na sposób automatycznego równowaenia i cyfrowego wskazywania (indykacji) składowych impedancji, mostki mona podzieli na dwie grupy. W mostkach pierwszej grupy równowaenie automatyczne i cyfrowa ekspozycja wyniku obejmuje tylko główn składow, np. L lub C, natomiast składowa resztkowa (rezystancja strat) jest równowaona automatycznie bez moliwoci odczytu. W mostkach drugiej grupy równowaenie obydwu składowych przebiega automatycznie i obie s wywietlane w postaci wartoci cyfrowej.

142

G e nera tor D etektorU k ład rów -now aen ia

P o leodczytow e

N2

CW

C /A C

GWC /A

G

EW

Z (Y )X X I

X

IW

N1

Rys.51. Schemat funkcjonalny cyfrowego mostka prdu przemiennego

Uproszczony schemat funkcjonalny mostka cyfrowego z oddzielnym wywietlaniem obydwu składowych (np. C i tgδ ) pokazano na rys.51. Mostek jest zrównowaony wówczas, gdy N1Ix = N2Iw, a poniewa

143

x

xx

ZE

I = oraz w

ww

ZE

I = (234)

zatem impedancja mierzona

ww

xx Z

EE

NN

Z2

1= (235)

Równowaenie mostka odbywa si przez zmian ilorazów N1/N2 i Ex/Ew oraz składowych impedancji Zw. Automatyczna zmiana zakresów odbywa si poprzez zmian ilorazów N1/N2 i Ex/Ew. Uzyskuje si to za pomoc odpowiednich układów przełczajcych składajcych si z przełczników tranzystorowych i przekaników. Dokładne zrównowaenie mostka uzyskuje si za pomoc dwóch przetworników cyfrowo - analogowych. Jeden z nich znajduje si w torze składowej biernej (susceptancyjnej), a drugi w torze składowej czynnej (konduktancyjnej). Sygnały analogowe tych przetworników steruj wartociami Cw i Gw. Równowaenie mostka rozpoczyna si wtedy, gdy detektor zera wykae stan niezrównowaenia. Detektor zera jest układem fazoczułym i w zwizku z tym sygnał niezrównowaenia jest rozkładany na dwie składowe przesunite wzgldem siebie w fazie o 900. Sygnały te s podawane do układu równowaenia, który przez przetworniki cyfrowo - analogowe w kolejnych cyklach powoduje równowaenie jednej składowej, a nastpnie drugiej. W czasie równowaenia kadej składowej detektor wysyła impulsy do licznika zmieniajc jego stan oraz zmieniajc napicie wyjciowe z przetwornika cyfrowo - analogowego. Stan dekad Cw i Gw po zakoczeniu procesu równowaenia jest dekodowany i wywietlany na dwuczciowym polu odczytowym.

144

Błdy przy pomiarach mostkami prdu przemiennego Dokładno mostków prdu przemiennego jest na ogół mniejsza ni dokładno mostków prdu stałego. Głównymi przyczynami powstawania błdów pomiaru w układach mostków prdu przemiennego s: • niedokładno elementów mostka; • niedostateczna czuło mostka; • wpływ szkodliwych sprze i zakłóce. Błdy podstawowe elementów R,L,C, okrelone ich klas dokładnoci przy czstotliwoci akustycznej (najczciej stosowane w mostkach pomiarowych), zwykle s mniejsze ni 0,1%; w specjalnych wykonaniach elementy te s troch dokładniejsze. Ograniczenia dokładnoci elementów przy prdzie przemiennym wynikaj głównie z wewntrznych indukcyjnoci i pojemnoci pasoytniczych wzorców R, L, C. Błd systematyczny graniczny pomiaru mostkiem, wynikajcy z niedokładnoci elementów, oblicza si jako sum odpowiednich błdów wzgldnych impedancji ramion mostka według wzorów podanych przy omawianiu kolejnych mostków. Niedostateczna czuło mostka moe by dodatkowym ródłem błdów pomiaru, tzn. błdów nieczułoci. Właciwy dobór czułoci umoliwia ograniczenie błdu nieczułoci do dostatecznie małej wartoci. Przy analizie czułoci prdu przemiennego stosuje si wiele okrele: czuło prdowa, napiciowa, mocowa, bezwzgldna, wzgldna, całkowita, jednostkowa itp. Przy stosowaniu elektronicznych wskaników równowagi zwykle wyznacza si czuło wzgldn napiciow

145

11 0

limZ

g

Zu

US δδ∆

→= (236)

przy czym ∆Ug - przyrost napicia w gałzi wskanika, wywołany rozrównowaeniem mostka o

11 /1 ZZZ ∆=δ (237) Czuło mostka zaley od trzech czynników: parametrów ródła zasilania, parametrów wskanika równowagi i od doboru impedancji ramion mostka. Wzrost napicia lub prdu zasilajcego mostek powoduje wzrost czułoci, natomiast dua czuło wskanika równowagi ma decydujcy wpływ na du czuło mostka. Uzyskanie maksymalnej czułoci wie si z wieloma trudnociami konstrukcyjnymi. Jednak przebieg czułoci w zalenoci od zmian wartoci impedancji poszczególnych ramion ma charakter do płaski. W zwizku z tym odstpstwa w pewnych granicach od warunków optymalnych nie powoduj istotnego obnienia czułoci. Osignicie wymaganej czułoci w mostkach prdu przemiennego nie nastrcza wikszych trudnoci. Szkodliwe sprzenie midzy elementami mostka a otoczeniem oraz midzy samymi elementami zniekształcaj teoretyczny układ mostka i powoduj wystpienie prdów, które nie były uwzgldnione przy rozpatrywaniu układu mostka. Wynikaj z tego inne warunki równowagi mostka, bliej nieokrelone, co jest powodem wystpowania dodatkowych błdów pomiaru. Rozrónia si sprzenia rezystancyjne, indukcyjne i pojemnociowe. Sprzenia rezystancyjne powstaj wskutek upływnoci izolacji. Współczesne materiały izolacyjne skutecznie ograniczaj wpływ tych sprze. Sprzenia indukcyjne wystpuj

146

najsilniej midzy transformatorami, cewkami i elementami z nimi ssiadujcymi. Sprzenia indukcyjne ogranicza si przez magnetyczne ekranowanie transformatorów i cewek, umieszczanie elementów w duych odległociach od siebie, skrcania parami przewodów łczcych itp. Sprzenia pojemnociowe wystpuj midzy elementami mostka a mas oraz midzy elementami. Powoduj one istotne błdy pomiaru, zwłaszcza przy wikszych czstotliwociach. Wpływ tych sprze na wynik pomiaru ogranicza si przez elektrostatyczne ekranowanie elementów i łczenie ekranów do odpowiednich punktów mostka. Nie eliminuje si w ten sposób pojemnoci szkodliwych, lecz powoduje si ich ustalenie w okrelonych punktach układu, dziki czemu zmiana połoenia elementów przewodzcych (np. rki mierzcego) w pobliu układu nie wpływa na stan równowagi. Przykład ekranowania mostka podano na rys.52. Dołczenie ekranów do wzłów mostka wprowadza pojemnoci dodatkowe; niektóre z nich zmieniaj impedancje w mostku, inne za nie. Ustalone pojemnoci sprze mog by uwzgldnione przy wzorcowaniu układu pomiarowego.

147

Z4Z

3

Z2

Z1

Rys.52. Przykład ekranowania mostka

Lepsze ograniczenie wpływu sprze pojemnociowych osiga si przez zastosowanie w mostku dodatkowego transformatora wejciowego i transformatora wyjciowego. Transformator wejciowy, o ekranowanych uzwojeniach, umoliwia eliminowanie sprze pojemnociowych midzy generatorem i mostkiem. Transformator wyjciowy, o ekranowanych uzwojeniach, znacznie ogranicza wpływ sprze pojemnociowych midzy wskanikiem równowagi a mostkiem. Wpływ sprze pojemnociowych ogranicza si równie przez zastosowanie tzw. gałzi Wagnera, pokazanej razem z mostkiem na rys.53. Gał Wagnera utworzona z impedancji Z5 i Z6 stanowi mostek pomocniczy z ramionami Z1 i Z3 mostka głównego. Równoway si na

148

przemian mostek główny i pomocniczy, a do otrzymania pełnej równowagi obu mostków. Wówczas wzły A, B i C układu maj potencjał masy, dziki temu znikaj prdy pojemnociowe doziemne z punktów dołczenia wskanika. Jeli ponadto s uziemione obudowy ródła zasilania i wskanika równowagi, to eliminuje si praktycznie cały wpływ sprze pojemnociowych.

Z4

Z3

Z2

Z1

A B

Z5

Z6

Rys.53. Układ mostka z gałzi Wagnera

Produkowane fabrycznie mostki prdu przemiennego s budowane najczciej jako przyrzdy zamknite, zawierajce we wspólnej obudowie elementy R, L, C wzorcowe i równowace, transformatory, generator napicia sinusoidalnego zasilajcego mostek, elektroniczny wskanik równowagi i potrzebne przełczniki. Cały przyrzd jest zasilany z sieci lub z

149

wewntrznej baterii. S konstruowane jako przyrzdy przeznaczone do pomiaru parametrów kondensatorów lub cewek, lub przyrzdy uniwersalne do pomiaru wielu parametrów obwodów RLC. Zamknita konstrukcja mostków pozwala skutecznie ograniczy wpływ sprze i zakłóce zewntrznych na błd pomiaru. Literatura [1] Chwaleba A., Poniski M., Siedlecki A.: Metrologia elektryczna. WNT, Warszawa, 1998. [2] Dusza J., Gortat G., Leniewski A.: Podstawy miernictwa. Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998. [3] Jdrzejowski K. i inni: Laboratorium podstaw miernictwa. Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1998. [4] Zielonko R. i inni: Laboratorium z podstaw miernictwa. Wydawnictwo Politechniki

Gdaskiej, Gdask, 1998. [5] Kołodziejski J., Spiralski L., Stolarski E.: Pomiary przyrzdów półprzewodnikowych.

WKiŁ, Warszawa 1990.