Microéconomie

Pierre GarrousteUniversité de Nice-Sophia Antipolis

etGREDEG

pierre.garrouste@orange.fr

Plan 1. Rappels

Préférences

Utilité

Risque

Information

La règle de Bayes

2. L’équilibre général L’équilibre walrasien

L’existence de l’équilibre

Le premier théorème du bien-être

Le second théorème du bien-être

3. Les défaillances du marché Les externalités

Le financement des biens publics

4. Les asymétries d’information La sélection adverse

Le hasard moral

Rappels

Pierre GarrousteUniversité de Nice-Sophia Antipolis

etGREDEG

pierre.garrouste@orange.fr

Avec des emprunts à Jean-Louis Rullière

Les préférences

Les préférences

Les préferences

L’utilité

Utilité et loterie

Théorème de l’utilité espérée

Le comportement face au risque

Le comportement face au risque

Comportement face au risque

Les différents ‘types’ d’information

On distingue l’information selon qu’elle est: complète ou incomplète parfaite ou imparfaite symétrique ou asymétrique certaine ou incertaine

a) L’information est complète si le joueur connaît: les stratégies, les issues, les gains et les caractéristiques de tous les joueurs. Elle est incomplète sinon (par exemple un joueur ne connaît pas le type des autres joueurs)

b) L’information est parfaite si l’ensemble d’information d’un joueur est un singleton

c) L’information est symétrique si tous les joueurs disposent de la même information.

d) L’information est certaine si la nature ne modifie pas l’issue du jeu a posteriori

La règle de Bayes et ses problèmes

En économie on fait l’hypothèse que les agents révisent leurs croyances en utilisant la règles de Bayes.

Deux tests de la règle de Bayes:

1. Le problème des trois cartes

Soit trois cartes placées dans une urne. Une carte est de couleur rouge des deux côtés. La deuxième est noire des deux côtés et la dernière est noire d’un côté et rouge de l’autre. On tire une carte de l’urne est on examine la couleur d’un de ces côtés. Le problème est le suivant : « sachant que le carte tirée a un côté rouge quelle est la probabilité pour que l’autre côté soit rouge » ?

La règle de Bayes et ses problèmes

Si on pose le problème en utilisant la règle de Bayes, on a :

p(R|R) = p(R et R)/p(R)

p(R) = 1/2 car il y a trois côtés rouges et trois côtés noirs

p(R et R) = 1/3 car il y a une seule car rouge et rouge sur les trois cartes

d’où la probabilité pour que la carte tirée étant rouge son autre côté le soit aussi est de 2/3

On peut justifier ce résultat à l’aide de l’intuition suivante. Il y a trois côtés rouges R1, R2, R3 (et trois noirs N1, N2, N3). Supposons que R1 et R2 les deux côtés rouges de la même carte. Dans deux cas sur trois l’autre côté est rouge à savoir R1 et R2. Si on voit R1 l’autre côté R2 est rouge. De même si on voit R2. Si on fait le rapport entre le nombre de cas favorables (2) et le nombre de cas possibles (3), on obtient 2/3

La règle de Bayes et ses problèmes

Le problème est que la réponse donnée n’est en général pas celle-ci mais plus souvent 1/2.

Le raisonnement est alors le suivant:

Je tire une carte qui a un côté rouge.

La carte peut être rouge-rouge ou rouge-noire

Elle ne peut pas être noire-noire puisqu’un de ses côtés est rouge.

J’ai donc une chance sur deux que l’autre côté de ma carte soit rouge.

La règle de Bayes et ses problèmes

2. Ce problème est similaire de celui des trois portes par Slembeck and Tyran (2004):

Soit trois portes

Il y a un cadeau et un seul derrière une des trois portes

Le sujet doit choisir une porte sans l’ouvrir

L’observateur ouvre l’une des deux portes non choisies derrière laquelle il n’y a pas le cadeau

On demande au sujet s’il veut modifier son choix

Il ne le fait pas estimant qu’il y a ½ que le cadeau soit derrière l’une des deux portes restantes

En fait le règle de Bayes entraîne qu’il devrait le faire

Les cascades informationnelles

Soit deux urnes A et B avec respectivement 2 boules noires et une boule blanche et deux boules blanches et une boule noire

L’observateur tire une urne au hasard (soit pA= pB = 1/2) Les sujets sont invités successivement à tirer une boule de l’urne tirée au

sort, de regarder la couleur de la boule (information privée) et à indiquer l’urne (information publique) dont ils pensent que la boule est issue.

Les expériences en laboratoire semblent confirmer que les sujets ont un comportement bayésien, c’est-à-dire qu’ils créent des cascades informationnelles qui proviennent de ce que les sujets se référent à l’information publique plutôt qu’à leur information privée

Or: Si n (m) est le nombre de fois où une boule noire (blanche) est tirée p(A|n,m) = [p(n,m|A) p(A)]/([p(n,m|A) p(A)]+[p(n,m|B) p(B)])

= 2n/(2n + 2m)

Les cascades informationnelles

Si après deux tirages, les sujets ont tirés successivement deux boules noires et aucune boule blanche et si le troisième sujet tire une boule blanche alors: p(A|n=2,m=1) = 4/(4+2) = 2/3

alors que P(B|n=2,m=1) = 1/3

Le troisième sujet doit donc annoncer l’urne A alors que son information privée lui indique l’urne B comme étant celle pour laquelle p(A,B|m) est la plus élevée.

Tout se passe donc comme si les agents utilisaient la règle de Bayes

L’équilibre général

Pierre GarrousteUniversité de Nice-Sophia Antipolis

etGREDEG

pierre.garrouste@orange.fr

Plan

1) L’équilibre Walrasien

2) l’existence d’un équilibre

3) le premier théorème du bien-être

4) le second théorème du bien-être

Références:

Varian, H. R. (1992) Microeconomic Analysis, New-York: W.W. Norton & Company

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R. (1996) Microeconomic Theory, Oxford University Press

L’équilibre walrasein

Chaque consommateur i est doté d’une fonction de préférence (ou d’utilité ui).

Il possède une dotation initiale ωi d’un bien k

Soit xij le consommation du bien j

xi ={xi1, xi

2,…, xin}

Une allocation est définie par:

x = {x1, x2, …, xn}

Dans une économie d’échange pur:

Dans le cas de deux biens et deux consommateurs on utilise la boîte d’Edgeworth. Elle est telle que ω1 = ω1

1 + ω21 et ω2 = ω1

2 + ω22

Le couple (x11, x 1

2) indique combien l’agent 1 possède du bien 1 et donc l’agent 2 possède (x2

1, x22) = (ω1 – x1

1, ω2, - x 12)

n

i

n

i ii1 1ωx

La boîte d’Edgeworth

L’équilibre walrasien

Dans la mesure où les agents sont nombreux on peut faire l’hypothèse que les prix sont indépendants de leurs actions

Il peut exister un vecteur de prix

p = (p1, p2, …, pk)

Les agents i résolvent le problème suivant:

maxxi ui(xi) tel que pxi = pωi

xi (p, pωi) est la courbe de demande du consommateur i. Si mi est le revenu de i, on suppose ici que mi = pωi

Pour un vecteur prix p quelconque la demande agrégée peut ne

pas être égal à l’offre agrégée

L’équilibre walrasien est une paire (p*, x*) telle que

n

i

ii

1

),( pωpx

n

i

i

1

ω

n

i

n

i

iii

1 1

)**,( ωωppx

L’existence de l’équilibre walrasien

Les courbes de demandes sont homogènes de degré 0, donc

xi (p, pωi) = xi (kp, kpωi) pour tout k > 0

La fonction d’excès de demande agrégée qui s’écrit

est également homogène de degré 0

Si les fonctions de demandes sont continues, la fonction z(.) l’est aussi. De plus le fonction d’excès de demande agrégée doit satisfaire la loi de Walras:

Pour tout vecteur de prix p, on a pz(p) 0, c’est-à-dire que la valeur de l’excès de demande est identique à 0

Preuve:

puisque xi (p, pωi) doit satisfaire la contrainte de budget pxi = pωi pour tout i

n

i

iii

1

]),([ ωpωpxz(p)

n

i

iii

n

i

n

i

iii

11 1

0)()( pωpωp,pxωpωp,xppz(p)

L’existence de l’équilibre walrasien

Marché soldé:

Si les demandes et les offres sont égales sur k-1 marchés, et si pk>0, alors l’offre et la demande sont égales sur le kième marché

Si ce n’était pas le cas alors la loi de Walras serait violée

Biens libres:

Si p* est un équilibre walrasien et si zj(p*) < 0, alors p*j = 0. En d’autres termes si un bien est caractérisé par un excès d’offre, c’est un bien libre.

Puisque p* est un équilibre walrasien, z(p*)≤ 0. Puisque les prix sont non négatifs,

Si zj(p*) < 0 et p*j > 0 nous devrions avoir p*z(p*) < 0, ce qui contredit le loi de Walras

Désirabilité: Si pi = 0 alors zi(p) > 0 pour i = 1, 2, …, k

k

i

ii zp1

* 0)( *pz(p*)*p

L’existence de l’équilibre walrasien

Égalité entre offre et demande: Si tous les biens sont désirables et p* est un équilibre walrasien, alors z(p*) = 0

Supposons que zi(p*) < 0. Alors du fait de la proposition du bien libre, pi* = 0. Mais alors, d’après le principe de désirabilité, zi(p*) = 0 ce constitue, une contradiction.

Puisque la fonction d’excès de demande est homogène de degré 0 on peut donc normaliser les prix:

La somme des pi est donc égale à 1

Si on se restreint au simplex unité de dimension k-1:

k

j

j

ii

p

pp

1

k

i

i

kk pRS1

1 1: dans p

L’existence de l’équilibre walrasien

Les figures suivantes illustrent les cas S1 et S2

L’existence de l’équilibre walrasien

Pour démontrer l’existence d’un équilibre walrasien, on utilise le théorème du point fixe de Brouwer:

Si f est une fonction telle que f: Sk-1 Sk-1 est continue du simplex unité sur lui-même il existe x dans Sk-1 tel que x=f(x)

Examinons le cas k=2. Dans ce cas on peut définir le simplex S1 dans l’intervalle unité [0,1]. On a donc une fonction f de [0,1] [0,1]. On veut montrer qu’il existe x dans [0,1] tel que x=f(x). Soit une fonction g(x)=f(x) – x

Un point fixe x* tel que g(x*) = 0

g(0) = f(0) – 0 ≥ 0 puisque f(0) est dans [0,1]

g(1) = f(1) – 1 ≤ 0 puisque f(1) est dans [0,1]

Puisque f est continue, on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire et conclure qu’il existe x tel que g(x) = f(x) – x = 0 ce qui prouve le théorème pour k = 2

L’existence de l’équilibre walrasien

Exemple de points fixes pour k = 2. Il y a trois points tels que x = f(x)

L’existence de l’équilibre walrasien

Si z : Sk-1 Rk est une fonction continue qui satisfait la loi de Walras, pz(p) 0 alors il existe p* dans Sk-1 tel que z(p*) ≤ 0

Si on définit une correspondance g : Sk-1 Sk-1 par:

Cette fonction est continue puisque z(.) et que la fonction max sont des

fonctions continues. De plus g(p) est un point de Sk-1 puisque

Cette correspondance signifie que s’il y a un excès de demande sur un marché (zi(p) ≥ 0), alors le prix relatif du bien correspondant augmente

En utilisant le théorème du point fixe, il existe p* tel que p* = g(p*)

ki

z

zpg

j

iii ,...,1

))(0max1

))(,0max()(

pour

p,(

pp

k

1j

i

ig 1)(p

L’existence de l’équilibre walrasien

On a donc:

Ou encore:

Si on multiplie des k équations par zi(p*), on obtient:

Si on fait la somme de ces k équations, on obtient:

kiz

zpp

j j

iii ,...,1

))(,0max(1

))(,0max(**

pour

p

p*

*

k

j

iji zzp1

* ))(,0max())(,0max( ** pp

))(,0max()())(,0max()(1

* ****pppp ii

k

j

jii zzzpz

k

i

k

i

iiii

k

j

j zzzpz1 1

*

1

))(,0max()()())(,0max( ****pppp

L’existence de l’équilibre walrasien

Or d’après la loi de Walras:

Chacun des termes de la somme peuvent être égal ou bien à 0 ou à zi(p*)2. Si un des termes est strictement positif, l’égalité n’est pas respectée. Donc tous les termes doivent être égaux à 0.

0))(,0max()(

0)(

1

1

*

k

i

ii

k

i

ii

zz

donc

zp

**

*

pp

p

Le premier théorème du bien-être

Pareto optimalité (ou Pareto efficience):

une allocation x est faiblement Pareto optimale si il n’y a pas d’allocation x’telle que les agents préfèrent strictement x’ à x. Une allocation x est fortement Pareto optimale s’il n’existe pas d’allocation x’ telle que tous les agents préfèrent faiblement x’ à x et certains agents préfèrent strictement x’ à x.

Equivalence entre Pareto optimalité faible et forte. Soit des fonctions de préférences continues et monotones. Une allocation est faiblement Pareto optimale si et seulement si elle est fortement Pareto optimale.

Si elle est fortement Pareto optimale elle l’est aussi faiblement

Soit une allocation non fortement optimale. Supposons que l’on puisse améliorer le sort d’un individu sans détériorer celui des autres. Nous devons montrer que l’on peut améliorer le sort de tous. Si on prend un portion θ de son panier xi que l’on redistribue aux autres tel que xj = xj + (1- θ) xi /(n-1). Par continuité il est possible de choisir θ proche de 1 tel que si i voit toujours sa situation meilleure. Par monotonie tous les autres voit leur sort s’améliorer

Le premier théorème du bien-être

Si on se situe dans le cas à deux biens et deux consommateurs, le programme alors est le suivant:

Dans la boîte d’Edgeworth pour un individu donné il faut trouver le point de sa courbe d’indifférence qui correspond à la plus grande utilité pour l’autre. Clairement ce point sera tangent au deux courbes d’indifférence. Les taux marginaux de substitution sont alors égaux

C’est ce que montre la figure suivante:

2121

2

xx1

ωωxx

x

x21

22

,1

)(

)(max

uuquetel

u

Courbe des contrats

Le premier théorème du bien-être

Définition d’un équilibre walrasien: un couple allocation-prix (x, p) est un équilibre walrasien 1) si l’allocation x est réalisable et 2) si chaque agent fait un

choix optimal compte tenu de son budget.

Premier théorème du bien-être: si (x,p) est un équilibre walrasien, alors xest Pareto optimal

Si x n’est pas Pareto optimal, alors il existe un allocation réalisable x’ que tous les agents préfèrent à x. D’après la définition d’un équilibre walrasien on a:

pxi’ > pxi pour i = 1,…, n

D’où:

i

'

ii

'

i pxpx x x

alorsiparàpréféréestsi

xn

i

n

i

ii

)2

)11 1

n

i

n

i

n

i

toire contradicce qui est11 1

ωpxpωp i

'

ii

Le second théorème du bien-être

Second théorème du bien-être: Soit une allocation x* Pareto optimal dans laquelle des agents détiennent une quantité positive de chaque bien. Soient des préférences convexes, continues et monotones. Alors x* est un équilibre walrasien pour les dotations initiales ωi = xi* pour i = 1,…, n

Soit

C’est l’ensemble des paniers que l’agent i préfère à xi*

Soit

Cet ensemble est composé des paniers des k biens qui améliore le sort de tous les individus. Comme Pi est convexe P l’est aussi

*: iii

k

ii RdansP xx x

n

i

n

i

ii PdansavecPP1 1

: x xzz ii

Le second théorème du bien-être

Soit

le panier agrégé de biens. Puisque x* est Pareto optimal il n’y a pas de redistribution de x* qui améliore le bien-être de tous. Ce qui entraîne que ωn’appartient pas a P. D’après le théorème de l’hyperplan séparateur(*), il existe p≠0 tel que:

(1)

Il nous faut montrer que p est un vecteur prix d’équilibre

(*) Si A et B sont deux ensembles dans Rn, non vides disjoints et convexes, alors il existe une fonctionnelle linéaire p telle que px ≥ py pour tout x de A et y de B

n

i

i

1

*xω

dans Ptoutpour

soit

dans Ptoutpour

n

i

i

n

i

i

z xzp

z xppz

1

*

1

*

0)(

Le second théorème du bien-être

1) Montrons d’abord que p ≥ 0

Soit ei = (0, …, 1, …, 0) dont le iième élément est égal à 1. Puisque les préférences sont monotones, ω+ei doit être dans P puisque si on a un unité de plus d’un bien il est possible de le redistribuer pour améliorer le sort de tous

Donc selon l’inégalité (1),

p(ω + ei - ω) ≥ 0

D’où

p(ei) ≥ 0 pour i = 1,…, k

Donc pi ≥ 0 pout i = 1, …, k

2) Montrons ensuite que si

pour tous j = 1,…, n

Nous savons que si tous les agents préfèrent yi à xi* alors

**

jjjjj alors pxpy xy

n

i

n

i

ii

1 1

*xpyp

Le second théorème du bien-être

Si on suppose qu’un individu j préfère yj à xj. Si une allocation z est telle que prélève une quantité de chaque bien à j et que l’on la redistribue aux autres agents. Soit θ ce montant. Alors

Pour θ suffisamment petit, la monotonie entraîne que z sera préférée à x* donc selon (1), on a:

jin

yxz

yz

j

ii

jj

1

.

)1(

*

*

***

1 1

*

.)1(

ij

ji

iii

ji

ii

n

i

n

i

ii

pxpy

xxpyxyp

xpzp

Le second théorème du bien-être

3) Montrons enfin que cette inégalité est stricte, c’est-à-dire que:

On va montrer que pyj = pxj* est contradiction

Du fait de l’hypothèse de continuité des fonctions de préférences, on peut trouver θ (0< θ <1) tel que θ. yj est strictement préféré à xj*. On vient de montrer que yj doit coûter au moins autant que xj* donc θ. pyj ≥ pxj*. Une des hypothèses que nous avons faites est tous les composant de xj* étaient strictement positifs. Il suit que pxj*> 0. Si donc que pyj - pxj* = 0, il suit que pyj < pxj*, ce qui contredit pyj ≥ pxj*.

**

jjjj alorssi pxpy xx

Les externalités

Pierre GarrousteUniversité de Nice-Sophia Antipolis

etGREDEG

pierre.garrouste@orange.fr

Plan

Définition

Non optimalité

La solution pigouvienne

La création d’un marché de droits

Références:

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J.R. (1996) Microeconomic Theory, Oxford University Press

Définition

Une externalité existe lorsque le bien-être d’un consommateur ou les possibilités de production d’une firme sont directement affectés par les actions d’un autre agent de l’économie.

Il existe des externalités positives et négatives suivant que l’effet est positif ou négatif

Les externalités peuvent être croisées (ex: horticulteur et apiculteur)

Une externalité n’est pas automatiquement compensée par une transfert compensatoire, comme dans les échanges ‘classiques’

Non optimalité

Soit une action h de R+ pris par un agent 1 qui affecte le bien-être de l’agent 2

La fonction d’utilité de l’agent i peut s’écrire u1 (xi, h) et celle de j u2(xi, h) avec

Si on suppose que l’agent i maximise son utilité on peut écrire:

p étant le vecteur prix et ωi la dotation de i

Si on exclu l’existence de la monnaie (ou si les fonctions sont quasi-linéaires par rapport à la monnaie), alors:

0/),(2 hhxu i

ii

iix

ii

px

avec

hxuhpvi

),(max),,(0

iiii hphpv ),(),,(

Non optimalité

Comme les prix ne varient pas en fonction de h, on peut supprimer le vecteur pet écrire,

avec concave et deux fois différenciable

Les individus sont supposés maximiser leur utilité, d’où:

L’équilibre de Pareto suppose que le niveau optimal de h, h° est tel qu’il maximise le surplus joint des deux agents donc il résout:

La condition de premier ordre est:

La présence d’effets externes tels que

n’est pas optimal sauf si h* = h° =0

Dans le cas d’externalités négatives, c’est à si

)(hi(.)i

00)( **'

1 pour hh

)()(max 210

hhh

0)()( '

2

'

1 ooo hsihh 0)('

2 h

0(.)'

2

Non optimalité

On a donc h* > h° car , et décroissante

On peut représenter une externalités négatives à l’aide de la figure suivante:

0)()( '

2

'

1 oo hh 0)( *'

1 h (.)'

1

La solution pigouvienne

Cette solution consiste a faire payer une taxe à l’agent 1 telle que celui-cirésolve:

Dont la condition de premier ordre est:

On a alors:

On obtient la figure suivante:

hth hh

)(max 10

0)('1 havecth h

o

o

h

hhdonc

ht

)('

2

La solution pigouvienne

La création d’un marché de droits

Si on attribue à l’agent 2 le droit de ne pas subir d’externalité négative, pour produire h l’agent 1 doit avoir la permission de 2 de le faire. Soit un processus de négociation de type ‘à prendre ou à laisser’. Le joueur 2 demande T en échange de la production de h. Le joueur 1 acceptera ssi:

L’offre de 2 sera telle que:

Toutes les solutions sont bornées par

Pour 2 on a donc:

Ce qui correspond à h°, le niveau pareto-optimal

Cette solution est due à Coase (1960) et au Théorème qui lui est associé. Elle consiste à distribuer des droits d’effectuer des externalités et de permettre leur échange

)0()( 11 Th

)0()(

)(max

11

2,0

Thavec

ThTh

)0()( 11 hT

)0()()(max 20

hhh