mgeo_u1_ea_clrm
TRANSCRIPT
![Page 1: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/1.jpg)
UNADM
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
Geometría
Unidad 1
Evidencia de aprendizaje.
Alumno: Claudio Ramón Rodríguez Mondragón.
Matrícula: AL13503064
![Page 2: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/2.jpg)
1.-Sean dos rectas en R1 y R2 en un plano P paralelas. Demostrar que existen dos planos que contienen a las rectas que no son paralelos.
Una recta puede ser elemento de dos o más planos, inclusive infinito.
Los planos P1 y P3, no son paralelos.
2.- Observa con detalle la siguiente figura:
Si el ángulo α = 56.39°, ¿Cuánto miden los ángulos β, δ, y ε?
![Page 3: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/3.jpg)
ε = α, por ser opuestos por el vértice.
Entonces:
ε = 56.39°, por ser opuesto por el vértice, mide lo mismo que el ángulo α
α + δ = 180°, porque son suplementarios.
Entonces:
δ=180 °−α
δ=180 °−56.39 °
δ=123.61 °
β= δ, por ser opuestos por el vértice.
Entonces:
β = 123.61 °, por ser opuestos por el vértice, mide lo mismo que el ángulo δ
Se debe de cumplir:
α+δ=180 °
β+ε=180 °
α+β=180 °
ε+δ=180°
Además:
α+δ+ε+β=360 °
Por consiguiente:
123.61° + 56.39° = 180
para cualquier par de ángulos suplementarios.
Y por último, la suma de los cuatro ángulos debe de ser igual a 360°
123.61° + 56.39° + 123.61° + 56.39° = 360°
![Page 4: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/4.jpg)
360° ≡ 360°
3. Sea un cuadrado. Demostrar que si se traza un diámetro en el cuadrado, este divide al mismo en dos triángulos isósceles.
Se construye el cuadrado perfecto ABCD, y una circunferencia circunscrita toca sus cuatro vértices.
Con GEOGEBRA, se identifican los cuatro ángulos rectos del polígono.
Después se traza un diámetro, de punto a punto de la circunferencia, pasando por el centro E, además que toque dos de los vértices del cuadrado ABCD.
![Page 5: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/5.jpg)
Con GEOGEBRA se localizan los nuevos ángulos cortados. El diámetro cumple función de bisectriz.
Se formarán dos triángulos, que en este caso son triángulos isósceles.
Definición:
Triángulo isósceles es aquél triángulo que tiene dos de sus lados iguales y el tercer lado desigual y por consiguiente los ángulos opuestos a estos lados iguales, también son iguales, y el tercer ángulo desigual (Baldor, 2004, pág. 55).
En la figura se forman dos triángulos isósceles, al trazar un diámetro de vértice a vértice opuesto. Estos triángulos son congruentes.
![Page 6: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/6.jpg)
Triángulos isósceles: Δ ACD y Δ ABC.
Para el Δ ACD:
Las medidas de los ángulos iguales: ζ = η = 45°
Las medidas de los lados iguales: AD=CD
Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.
Para el Δ ABC:
Las medidas de los ángulos iguales: θ= I = 45°
Las medidas de los lados iguales: AB=BC
Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.
![Page 7: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/7.jpg)
4. Sea un triángulo cuya bisectriz es al mismo tiempo su altura. Demostrar que este triángulo es isósceles.
Definición:
Bisectriz: Es la recta que bisecta o divide en dos ángulos congruentes a un ángulo partiendo del vértice del mismo (Guerrero, 2006, pág. 88)
La bisectriz en un triángulo es la recta notable que parte en dos ángulos iguales a un ángulo interior del triángulo. Un triángulo tiene tres bisectrices para cada ángulo interior (Guerrero, 2006, pág. 89).
Altura: Es la longitud (en este caso representada por un segmento de recta) del segmento perpendicular desde uno de los vértices del triángulo, a la recta del lado opuesto a dicho vértice (Guerrero, 2006, pág. 106). En pocas palabras, es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (Baldor, 2004, pág. 57).
![Page 8: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/8.jpg)
En la figura se traza un triángulo isósceles.
Para el Δ ABD:
Las medidas de los ángulos iguales: y = β = 70°
Las medidas de los lados iguales: AD=BD
Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.
Trazamos su bisectriz, usando GEOGEBRA:
El segmento BK es la bisectriz.
Ahora se traza la altura sobre la base AB y perpendicular al vértice D.
![Page 9: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/9.jpg)
AB⊥∢D
Analizando con GEOGEBRA, nos damos cuenta que la altur y la bisectriz están en el mismo segmento KD.
Además:
∢DKB=90 ° : por la perpendicularidad de laaltura .
∢α=∢ ADB
∢α=40°
![Page 10: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/10.jpg)
La bisectriz corta en dos ángulos congruentes el ángulo ∢α .
∢ ADK≡∢KDB
Ahora con GEOGEBRA mediremos los ángulos que resultaron de la bisectriz aplicada y de la altura trazada.
Ahora:
En el vértice D, los ángulos congruentes miden lo mismo:
ζ=ϵ=20 °.
![Page 11: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/11.jpg)
Analizando un triángulo escaleno y un triángulo equilátero encontramos lo siguiente:
La bisectriz también divide en dos ángulos congruentes.
![Page 12: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/12.jpg)
Para un triángulo equilátero, también se cumple esta demostración.
∢ β=30 °
∢ y=30 °
∢α=90 ° , es⊥
∢ ACB=∢ y+∢ β=60 °
∢ϕ=60°∢ μ=60°
Para un triángulo equilátero, también se cumple esta demostración.
5. Sea un triángulo y extendemos uno de los lados más allá de uno de sus vértices. Demostrar que el ángulo exterior de esta recta extendida es
![Page 13: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/13.jpg)
suplementario al ángulo al cual es adyacente y que la suma de los otros dos ángulos internos opuestos es equivalente a este ángulo externo.
Definición:
Ángulo exterior: Es el ángulo que, prolongado uno de sus lados del triángulo, la abertura de este queda fuera del interior del triángulo.
Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes (Baldor, 2004, pág. 59).
Analizando la situación con un ejemplo real, trazamos un triángulo en GEOGEBRA:
(nota: los ángulos se dibujaron con valores decimales a propósito)
∢α+∢ β=∢δ
54.75° + 78.28° = 133.03°
Por lo tanto: La suma de los dos ángulos internos opuestos no adyacentes, es equivalente al ángulo externo.
![Page 14: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/14.jpg)
∢ y+∢δ=180 °
46.97° + 133.03° = 180°
Por lo tanto:
∢ y ,∢δ : sonángulos suplementarios .
6. Sea C una circunferencia en el plano P. Dados los puntos A y B sobre la circunferencia con el punto O forman un triángulo. Demostrar que los radios OA y OB sumados son mayores o iguales que la cuerda cuyos límites son los puntos A y B.
Trazamos una circunferencia en GEOGEBRA y se dan las medidas reales:
AB=8.44
OA=5
![Page 15: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/15.jpg)
OB=5
Se debe de cumplir:
OA+OB≥ AB
5 + 5 ≥ 8.44
10 ≥ 8.44: Verdadero.
Por lo tanto, se cumple la condición:
OA+OB≥ AB
7. Sea un triángulo cuyos vértices son A, B y C. Demostrar que la suma de los ángulos internos del triángulo suman dos rectos.
Analizando la situación con GEOGEBRA, se traza una figura:
Sean los ángulos:
∢ β=∢ δ : por ser alternosinternos
∢ϵ=: por ser alternos internos
Los ángulos sobre la recta GG´, deben de sumar 180°
∢δ+∢α+∢ϵ=180 °
Por consiguiente:
∢ β+∢α+∢ y=180 °
Que es la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
![Page 16: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/16.jpg)
UU´ es secante.
QQ´ es secante.
Para la suma de los ángulos sobre la recta horizontal GG´:
∢δ+∢α+∢ϵ=180 °
29.37° + 123.3° + 27.33° = 180°
Para la suma de los ángulos internos del triángulo Δ ABC:
∢ β+∢α+∢ y=180 °
29.37° + 123.3° + 27.33° = 180°
Con lo cual queda afirmada la demostración.
![Page 17: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/17.jpg)
8. Sea un polígono regular. Demostrar que los ángulos externos a sus vértices son congruentes.
Elaborando con GEOGEBRA un polígono regular de 5 lados:
n=5
por ser pentágono ,5 lados ,5 ángulos
Los ángulos centrales miden 72°
∢C=360°n
∢C=360°5
![Page 18: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/18.jpg)
∢C=72 °
Trazando todos sus radios, desdeel punto F, se forman 5 triángulos congruentes, isósceles, cuyo ángulo en el punto F, es el central, y los otros dos ángulos miden cada uno:
∢q=180°−∢C2
∢q=180°−72°2
∢q=54 °
Si juntamos y sumamos dos ángulos ∢q=54, encontramos el ángulo interno:
![Page 19: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/19.jpg)
∢ I=180 °−∢C
∢ I=180 °−72
∢ I=108 °
Todos los ángulos internos miden 108° y son congruentes entre ellos.
Ahora si prolongamos con una semirrecta todos los lados del polígono de cinco lados, obtenemos los ángulos externos y son los siguientes ángulos:
Obtenemos que el suplemento del ángulo interno sea 72°, entonces el ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior.
∢E=180°−∢ I
∢E=180°−108 °
![Page 20: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/20.jpg)
∢E=72°
Como es un polígono regular, estos ángulos son los mismos en cada vértice, entonces, todos los ángulos exteriores miden lo mismo y son congruentes.
Para comprobar los suplementos y las relaciones de los ángulos, se analiza la siguiente figura:
En los vértices D, C, y B, se comprueban los ángulos suplementarios entre los ángulos interior y exterior.
En los vértices A y E, observamos que la suma de los tres ángulos que están sobre el lado y la prolongación de la semirrecta, suman 180°.
En conclusión, el ángulo exterior es congruente al ángulo central.
∢E≡∢C
![Page 21: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/21.jpg)
Para este polígono, de cinco lados, obtenemos que:
∢E=72°
∢C=72 °
Por consiguiente:
∢E≡∢C
72° ≡ 72°
9. Determina el polígono regular cuyos ángulos internos son de 60º
Datos: ∢ I=60 °
Formulas:
∢ I=180 °−∢C
∢C=360°n
Sustituyendo las fórmulas:
∢ I=180 °−360 °n
Sustituyendo los datos:
60 °=180 °−360 °n
Despejando:
360°n
=180 °−60°
360°n
=120 °
360°120°
=n
n=3
![Page 22: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/22.jpg)
El polígono regular de tres lados se llama triángulo:
10. Hallar la suma de los ángulos interiores del polígono regular de cinco lados.
Datos:
n=5
Fórmulas:
∢ I=180 °−360 °n
Para encontrar la suma:
![Page 23: MGEO_U1_EA_CLRM](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062515/55cf99c9550346d0339f25a1/html5/thumbnails/23.jpg)
∑∢ I=n(180 °−360 °n )Sustituyendo valores:
∑∢ I=5 (180 °−360°5 )Resultado:
∑∢ I=540 °
Software:
GEOGEBRA
BibliografíaBaldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. México: Publicaciones Cultural
S.A.
Guerrero, A. (2006). Geometría: Desarrollo Axiomático. Bogotá: Ecoe Ediciones.