metody rozwiązania równania schrödingeragladys/prezentacja2.pdf · 3 numeryczne metody...
TRANSCRIPT
Metody rozwiązania równania Schrödingera
• Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne
• Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni
potencjału
• Problem rozwiązania równania Schrödingera dla układu ze
zmienną masą
• Metoda różnicowa pozwalająca wyznaczyć strukturę pasmową
dla skończonej studni potencjału
2
Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa
1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia
kinetyczna, energia potencjalna
2. Równanie Schrödingera
- swobodny elektron
- elektron w studni potencjału: potencjał !!!
Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału
3
Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera
Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi
- metody macierzowe znane również jako metody globalne
- metody strzałów (metoda Numerowa)
Metody wariacyjne
Metody elementów skończonych
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
4
Operator drugiej pochodnej w ‘postaci numerycznej’
5
Równanie Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej
6
Idea rozwiązania równania Schrödingera metodą strzałów (Numerowa)
Warunki brzegowe:
Przykładowe warunki startowe:
7
Postać ‘bezwymiarowa’ równania Schrödingera
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
8
Bezwymiarowa postać równania Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
9
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
10
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii
11
Rozwiązanie przy pomocy metody z Lapacka
Nagłówek procedury służącej do obliczania wartości własnych symetrycznej
Macierzy (procedura była omawiana)
Uwaga! Sprowadzenie macierzy do bezwymiarowej postaci nie jest konieczne
jednak jest bardzo wygodne
12
Algorytm Martina-Deana
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
13
Kwantowanie energii elektronów – nieskończona studnia potencjału (przypomnienie)
Funkcja próbna:
Z0 d
Z warunków brzegowych mamy:
14
Kwantowanie energii elektronów – skończona studnia potencjału (przypomnienie)
W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo
Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze
Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia
…
15
Skończona studnia potencjału
Warunek brzegowy:
Rozwiązanie postaci:
Oznaczenia:
Otrzymujemy równanie:
16
Skończona studnia
Rozwiązanie równania Schrödingera dla
skończonej studni potencjału sprowadza się do
numerycznego wyznaczenia zera funkcji.
17
Ruch elektronu w ciele stałym – masa efektywna
1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha)
2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?)
3. Pojęcie masy efektywnej
18
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Gdzie pojawia się problem przy masie zmiennej z położeniem?
Operator pędu zakłada, że masa efektywna nie zmienia się z
położeniem co nie prawdą w przypadku studni kwantowych
realizowanych w strukturach półprzewodnikowych.
19
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).
20
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).
g0:=2.62452e-4
21
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
w-jest to odwrotność masy efektywnej wyznaczona na siatce
punktów pośrednich
Algebraiczne zagadnienie własne można sprowadzić do postaci:
Gdzie:
Algebraiczne zagadnienie własne można rozwiązać przy pomocy algorytmu
Martina-Deana lub przy pomocy zewnętrznej funkcji diagonalizującej macierz
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
22
Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej studni kwantowej
Równanie Schrödingera
Zakładamy Hamiltonian postaci:
Operator:
Rozkładamy Hamiltonian ze względu na potęgę przy kz.
A,B,C macierze odpowiadające metodzie np. 8kp.
Zapewnienie ciągłości funkcji falowej na interfejsach oraz hermitowskość
macierzy gwarantują następujące dyskretyzację operatorów
24
Otrzymujemy następujące równanie macierzowe:
Rząd macierzy N=n*Nz
Nz- pokrojenie w przestrzeni rzeczywistej
25
Oznaczenia
Mi,j to macierze:
gdzie 𝐴 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧2,
𝐵 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧a 𝐶 jest macierzą niezależną od wyrazów 𝑘𝑧. Każda z macierzy jest rozmiaru 𝑛×𝑛 gdzie 𝑛 oznacza liczbę funkcji bazowych
(rodzaj modelu kp np.:8)
Indeks i numeruje macierze w zależności od położenia
26
• Tworzymy macierze A, B i C, dla konkretnych wartości kx, ky. Na zadane siatce punktów w przestrzeni rzeczywistej. Na podstawie hamiltonianu odpowiadającemu metodzie kp, grupujemy człony ze względu na kz.
• Tworzymy macierz N-rzędu n*Nz i ją diagonalizumemy. Możemy od razu uzyskać funkcję falową.
• Proces powtarzamy dla zadanego punktu w przestrzeni k (np. [100])
Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej
27
• Musimy wybrać ilość fal płaskich i dokonać transformaty Fouriera dla wszystkich wielkości zależnych od położenia
• Szybkość metody zależy od ilości fal płaskich i czas obliczeń wzrasta wykładniczo wraz z ilością fal płaskich
• Dokładność metody zależy od ilości fal płaskich
• Przy optymalnym doborze parametrów metoda szybka
• Punktem wyjścia jest dyskretyzacja wszystkich wielkości w przestrzeni rzeczywistej
• Dokładność metody zależy od pokrojenia w przestrzeni rzeczywistej
• Szybkość metody zależy od liczby punktów w przestrzeni rzeczywistej
• Metoda stosunkowo wolna
Metoda Fal płaskich vs. Metoda Elementów skończonych
Metoda rozwinięcia na fale płaskie Metoda elementów skończonych
28
Porównanie metody fal płaskich(PWE) i metody elementów skończonych(FDM)
29
Jeszcze raz o falach płaskich
Fala płaska – jest to fala, której powierzchnie falowe tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej.
Równanieopisujące falę płaską:
Fala płaska w
1D
Przedstawiając daną wielkość w
bazie fal płaskich musimy znaleźć
układ ortonormalny o węzłach
odpowiadających pokojeniu w Kz
𝑢 𝑧 = 𝐴𝑒−2𝜋𝑖𝑘(𝑧+𝑑𝑧)
Fala płaska rozchodząca się w
Kierunku z w periodycznej sieci
(niezależna od czasu)
𝑘 =𝜋 ∗ 𝑛
𝐿
30
• W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze 2Nx2N. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe.
Transformata Fouriera
𝐴𝐹 = න0
𝐿 𝑧𝑖 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛∙A(z) ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑑𝑧 − 1 ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑧
i==-N..Nj=-N..Nn=i-j𝑛 ≠ 0
𝑛 = 0
AF=0𝐿𝐴 𝑧 / 𝐿𝑑𝑧
Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej
i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty)
𝐾𝑧 =𝜋 ∗ (𝑖 + 𝑗)
𝐿
Oznaczenia zi=i(zespolone)