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Sistema de ecuaciones lineales

El sistema de ecuaciones lineales

puede ser escrito en forma matricial como , donde:

es llamada matriz de los coeficientes (reales) del sistema

es el vector de las incgnitas y

es el vector de los trminos (independientes) libres.

Todo esto puede ser resumido en: Para

.

El objetivo de esta unidad, en el presente curso es resolver numricamente un sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver usando los mtodos adquiridos en Enseanza

Media: por sustitucin, igualacin o eliminacin, los cuales no son mtodos numricos o iterativos.

Si la matriz es tal que , el sistema el sistema tiene solucin nica. Por ejemplo,

usando la regla de Cramer para resolver el sistema

calculamos:

,

,

Con lo cual se obtiene la solucin

,

.

Por lo tanto la solucin es .

Recordamos que, para una matriz de orden n, calcular un determinante tiene un costo computacional

del orden . Utilizando el mtodo de Cramer, se deben calcular n+1 determinantes, lo cual encarece el

costo computacional. Adems, aunque se disponga de tiempo infinito, si la matriz A tiene determinante

muy cercano a cero, esto puede darnos soluciones errneas, debido a la acumulacin de errores de

redondeo. Esto, hace necesario el estudio de mtodos iterativos.

Los mtodos iterativos son aquellos que parten de una aproximacin inicial a la solucin del sistema

dado y construye, a partir de dicha aproximacin, una sucesin de vectores que si converge lo hace a

la solucin del sistema. Tendremos frmulas para calcular los trminos de la sucesin. En general se

podra calcular el lmite de la sucesin, pero para los objetivos de este curso, bastar con tomar alguna

condicin de trmino para el clculo de las iteraciones, obteniendo una solucin aproximada del

sistema.

Los mtodos Iterativos a estudiar son:

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JACOBI y GAUSS-SEIDEL

Los mtodos que se estudiarn pueden ser vistos como generalizaciones del mtodo de punto fijo:

Dado el sistema , o equivalentemente

, donde es no singular (es invertible) y

, lo transformamos en un sistema equivalente

para alguna matriz y algn vector .

Se construye entonces la sucesin de vectores a partir de la frmula de iteracin

, con , esperando que sea convergente a la nica solucin del

sistema .

Para el sistema

Los esquemas de iteracin para cada uno de ellos es el siguiente:

Si , y siguiendo el proceso algebraico dado en clases, se obtienen las iteraciones:

Para JACOBI

Lo que es resumido en:

Para GAUSS-SEIDEL (o de desplazamientos sucesivos)

Una posible mejora en el algoritmo de Jacobi es la siguiente: En vez de calcular usando todas

las componentes de y como ya se han calculado las nuevas aproximaciones

, las cuales supuestamente son mejores aproximaciones que las

componentes

parece ms recomendable calcular

usando los

valores actualizados cuando proceda. Esto es:

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Lo que es resumido en:

CONVERGENCIA

Para el anlisis de la convergencia de los mtodos iterativos se necesita de los siguientes conceptos:

1) Matriz Estrictamente Diagonalmente Dominante (E.D.D.)

Una matriz es estrictamente diagonalmente si

Ejemplo

a. Para la matriz

se tiene que

y

y

y

Como 4 > 3, 5 > 3 y 9 > 6, se concluye que la matriz A es E.D.D.

b.

no es E.D.D porque

2) Normas de matrices

Norma 1: mxima suma por columnas.

Norma infinita: mxima suma por filas.

Norma de Frobenius:

Ejemplo: Para la matriz

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EJEMPLO RESUELTO 1 (JACOBI)

Realizar 10 iteraciones para estimar la solucin del sistema, comenzando con

.

Para JACOBI el esquema de iteracin es:

La siguiente tabla resume para i=1, 2, 3 y k=0, 1, , 10:

K= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1,5000 1,3917 1,6125 1,4595 1,5256 1,4677 1,4975 1,4770 1,4895 1,4818

0 0,8000 0,6667 0,9567 0,8556 0,9416 0,8913 0,9219 0,9018 0,9139 0,9061

0 1,1667 1,7833 1,7514 1,8135 1,7538 1,7725 1,7520 1,7618 1,7549 1,7591

Cada debe formar una sucesin convergente

Cmo nos aseguramos que se forma sucesin convergente para i=1, 2, 3.?

Resp.: Si A es E.D.D se asegura convergencia.

Se debe analizar si la matriz A (matriz de coeficientes) es E.D.D.

1: y ,

2: y

3: y

Como 4 > 3, 5 > 4 y 6 > 4, se asegura que la matriz A es Estrictamente Diagonal Dominante. Por lo

tanto, se puede garantizar la convergencia de la sucesin para .

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EJEMPLO RESUELTO 2 (GAUSS-SEIDEL)

Para el sistema de ecuaciones

Pruebe que es E.D.D, luego escriba las ecuaciones de iteracin usando mtodo de Gauss Seidel.

Realizar tres iteraciones para determinar la solucin aproximada, partiendo con , , .

Solucin: La matriz

es E.D.D. porque

1: y ,

2: y

3: y

Como 6 > 3, 5 > 4 y 7 > 6, aseguramos que la matriz A es Estrictamente Diagonal Dominante. Por lo

tanto, se puede garantizar la convergencia de la sucesin para .

El esquema de iteracin segn Gauss Seidel es el siguiente

, ,

K= 0 1 2 3 4 5 6 7

-0,5 1,6667 1,2857 0,8639 1,0303 0,9974 0,9992 1,0004

0 -0,3333 1,5143 0,8999 1,0049 1,0040 0,9983 1,0003

-1 1,9524 0,7878 1,0183 1,0058 0,9970 1,0007 0,9999

2,16667 -0,381 -0,4218 0,16638 -0,0329 0,00179 0,00127

-0,3333 1,84762 -0,6144 0,10508 -0,0009 -0,0057 0,002

2,95238 -1,1646 0,23059 -0,0125 -0,0089 0,00376 -0,0008

Norma 2

3,67724 2,21702 0,78011 0,19718 0,03413 0,00705 0,0025

Como

, los valores aproximados son

, , .

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Dado el sistema

Indicar si se puede garantizar o no, que los esquema de Jabobi y Gauss - Seidel son convergente

a la solucin exacta del sistema. (Debe analizar si A es EDD)

Si necesitamos una tolerancia de en la solucin, obtenerlas iniciando con ,

2) Indicar si las matrices son EDD

y

3) Resuelva los sistemas mediante Jacobi y Gauss Seidel realizando 4 iteraciones y analizar su

convergencia. I

Iniciando con ,

a)

=

b)

= .

4) Un ingeniero Civil Industrial supervisa la produccin de 4 tipos de equipos. Se requieren

Equipo Hrs./Hombre Kg/Equipo

Metales kg./equipo

Plsticos kg/equipo

Comp. Unidades/equipos

1 3 20 10 10

2 4 25 15 8

3 7 40 20 10

4 20 50 22 15

Si se dispone diariamente de 504 hrs/hombre, 1970 kgs. de metal, 970 kgs. de plstico y 601

componentes. Cuntos equipos de cada tipo se pueden construir por da?

5) Dados los sistemas, obtener las soluciones aproximadas mediante Jacobi y Gauss Seidel, de tal

forma que la tolerancia sea

a)

=

b)

=

6) Dado el sistema

a) Deducir el esquema iterativo de Gauss Seidel y de Jacobi garantizando convergencia.

b) Usando el esquema obtenido en a), encontrar una solucin aproximada del sistema, con una

exactitud de 2 cifras decimales, considerando la aproximacin inicial ,