NGJ/v06 Unidad I 1

Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851

Introducción a los métodos numéricos

Objetivos UNIDAD I Introducción a los métodos numéricos

duración 1.5 hrs. Contenido temático objetivos

1.1 Definición de métodos numéricos 1.2 Conceptos en los que se basan los

métodos numéricos 1.3 Programación de métodos

* Reconocer la importancia de utilizar los métodos numéricos en la resolución de problemas * Definir, identificar y aplicar recursión y aproximación como base de los métodos numéricos * Definir dónde se utilizan los métodos numéricos * Describir los pasos para la programación de métodos numéricos

Bibliografía del tema Apostol, TEMAS: Introducción al análisis numérico Burden, TEMAS: Preliminares matemáticos, Algoritmos y convergencias y Software numérico Chapra, TEMAS: Modelos, computadoras y análisis del error, Modelos matemáticos y solución de problemas de ingeniería, Computadoras y programas Gerald, TEMAS: Cálculo numérico y computadoras Maron, TEMAS: La necesidad de los métodos numéricos Nieves, TEMAS: Sistemas numéricos, Manejo de números en la computadora Introducción histórica1

El planeta Urano fue descubierto en 1781 por un inteligente astrónomo aficionado, Willeam Herschel (1738 – 1822), con un telescopio de frabricación casera. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, la prevista órbita de Urano fue rápidamente calculada a partir de unas pocas observaciones muy separadas entre sí. Se encontró que la distancia media de Urano al Sol era aproximadamente el doble que la de Saturno y que una órbita completa requería 84 años. En 1830 los datos empíricos acumulados pusieron de manifiesto desviaciones inexplicables de la órbita prevista. Algunos astrónomos llegaron a pensar que la ley de gravitación universal de Newton no fuera válida para distancias tan grandes como la de Urano al Sol; otros sospecharon que las perturbaciones fueran debidas a un cometa aún no descubierto o a un planeta más lejano. Un estudiante de bachillerato de la Universidad de Cambridge, John Couch Adams (1819 – 1892), estaba intrigado por la posibilidad de un planeta desconocido. Se asignó la difícil tares de calcular la influencia de un tal planeta en las posiciones observadas de Urano, suponiendo válida la ley de gravitación de Newton. Completó su

1 Texto integro transcrito del libro de Apostol; Calculus, vol 2.

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cálculo en 1845 e instó al Real Observatorio de Greenwich a buscar el supuesto planeta, pero su requerimiento no fue tomado en cuenta. Independientemente y casi simultáneamente Jean Joseph Leverrier (1811 – 1877) de París, realizó un cálculo parecido y pidió a Johann Galle, jefe del Observatorio de Berlín, que confirmara su predicción. La misma noche que recibió la carta de Leverrier, Galle encontró el nuevo planeta, Neptuno, casi exactamente en la posición calculada. Éste fue otro triunfo de la ley de gravitación de Newton y uno de los primeros grandes triunfos del análisis numérico, el arte y la ciencia de calcular. La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. Se ha encontradouna tabilla de barro con los cuadrados enteros del 1 al 30. Los babilonios adoraban los cuerpos celestes y elaboraban efemérides2 astronómicas. El famoso astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de ecplises que databan del año 747 a. C. Arquímides, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 7

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10 33 << π . El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado prinicpalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico. En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620, los logartímos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son ciete cifras decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas de logarítmos con catorce decimales de los números 1 al 100,000. El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la localización del planeta Neptuno por Adam y Leverrier en 1845, la importancia cinetífica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre. A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo atomático estimuló más aún el desarrolllo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos presisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados. [Apostol, 695 y 696].

2 En astronomía es el libro en que se anotan anualmente las coordenadas de los planetas y de las estrellas fijas, respecto a la Eclíptica y al Ecuador, así como los eclipses, distancias lunares, ecuaciones de tiempo y otros elementos necesarios para los cálculos puramente astronómicos y para los marinos de situación.

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1 Introducción a los métodos numéricos 1.1 Definición de métodos numéricos, su importancia y el porqué

• “Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas” [Chapra]

• Los métodos numéricos se utilizan para:

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales • Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales • Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación • Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una curva: ajuste de curvas • Integración numérica de una función • Solución numérica de ecuaciones diferenciales

1.2 Conceptos en que se basan los métodos numéricos: recursividad y aproximaciones sucesivas

• Los métodos numéricos se basan en dos conceptos principales: recursión y aproximaciones. Esto significa que utilizan la recursión y las aproximaciones así como la iteración para encontrar una solución.

• Recursividad: Relaciona términos sucesivos en función de términos

anteriores. Ejemplo:

⎩⎨⎧

>−=

=0)!1(

01!

nnnn

n

• Aproximaciones Método iterativo con el cual en cada iteración se acerca a la solución real del problema. Ejemplo: 0123 23 =−− xx

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0123 23 =−− xx

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.3 Programación de métodos numéricos

os pasos para la solución de un problema de ingeniería son:

ción

in computadoras:

on computadoras:

o

os métodos numéricos son herramientas para la solución de problemas.

on un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas ya que permiten

1 L

• Formulación • Solución • Interpreta

S FORMULACIÓN: Leyes

OLUCIÓN: métodos muy

TERPRETACIÓN: análisis

osición profunda

OLUCIÓN: método de la

TERPRETACIÓN: la facilidad de

fundamentales explicadas brevemente Selaborados y frecuentemente complicados para hacer manejable el problema INprofundo limitado por una solución que consume tiempo [Chapra]

C FORMULACIÓN: exp de la relación del problema con las

leyes fundamentales Scomputadora fácil de usar INcalcular permite pensar logísticamente y desarrollar la intuición; se puede estudiar la sensibilidad y el comportamiento del sistema

C nclusiones L Sconvertir matemáticas superiores en operaciones aritméticas simples.